习题1

答案：C。
5．算法INSERTIONSORT 在A[1..8]={45,33,24,45,12,12,24,12}上运行时执行的元素比较次
数为（ ）。
A．14 B．28 C．7 D．22
答案：D。
二、填空题
1．某算法的计算时间Ｔ(n)满足递归关系式：T(n)=2T(n-1)+1，n>1；T(1)=1。
答案：n!。
三、解答题
1． 考虑下列排序算法 BUBBLESORT。
AlgorithmBUBBLESORT
Input: An array A[1..n] of n elements.
Output: A[1..n] sorted in nondecreasing order.
1. i←1; sorted←false
(e) 分别使用记号O 和 W来表示算法BUBBLESORT 的运行时间。
(f) 该算法的运行时间能使用记号Q来表示吗?为什么？
解答：
(a) 算法执行元素比较运算的最小次数是n－1。当输入A[1..n] 已经有非减次序时该算法执
行元素比较运算次数达到这个最小值。
(b) 算法执行元素比较运算的最大次数是(n－1)+( n－2)+?+ 2+1=n(n－1)/2。当输入A[1..n]
10. i←i+1
11. end while
(a) 算法执行元素比较运算的最小次数是多少？什么情况下达到这个最小值?
(b) 算法执行元素比较运算的最大次数是多少？什么情况下达到这个最大值?
(c) 算法执行元素赋值运算的最小次数是多少？什么情况下达到这个最小值?
(d) 算法执行元素赋值运算的最大次数是多少？什么情况下达到这个最大值?
则Ｔ(n)= 。
答案：2n-1。
2．某算法的计算时间Ｔ(n)满足递归关系式：T(n)=2T(n-1)+n，n>0；T(0)=0。
则Ｔ(n)= 。（使用记号T 表示T(n)）
答案：T(n2n)。
3．设n 是2 的整数次幂。某算法的计算时间Ｔ(n)满足递归关系式：T(n)=2T(n/2)+n，n>1；
为 。
答案：11。
8．已知函数f(n)=2n+3log100n。若使用T 记号表示f(n)，则f(n)= T(______)。
答案：n。
9．已知函数f(n)=7n3+100nlogn+3n。若使用T 记号表示f(n)，则f(n)= T(______)。
答案：n3。
10．已知函数f(n)= 2n+100n+n!。若使用T 记号表示f(n)，则f(n)= T(______)。
5．解下列递归方程：
(a) f(n)=f(n-1)+n2，（n≥1）；且f(0)=0。
(b) f(n)=2f(n-1)+n，（n≥1）；且f(0)=1。
(c) f(n)=3f(n-1)+2n，（n≥1）；且f(0)=3。
解答：
(a) f(n)= f(n-1)+ n2
= f(n-2)+(n-1)2+n2=??
A[1..n] 已有递减次序时该算法执行元素赋值运算次数达到这个最大值。
(e) 使用记号O 和W，算法BUBBLESORT 的运行时间分别表示为O(n2)和W(n)。
（a） (f) 该算法的运行时间不能使用记号Q来表示，这是因为算法的运行时间范围为n 的
一次方到二次方。
2．证明：Σj=1
n jlog j=Q (n 2logn)。
(a) 特征方程为x2-5x +6=0， 其解为 x1=2，x2=3。
因此，递归方程的解为f(n)= c1·2n + c2·3n （n≥0）。常数c1 和 c2由下列方程组确定：
f(0)=1= c1 + c2， f(1)=0=2c1 + 3c2。
解此方程组得c1=3，c2 = -2。
于是，f(n)=3·2n-2·3n （n≥0）。
其解为
g(n) =Σi=1
n i·2-i +1
= 2-(n+2)/2n+1
=3-(n+2)/2n （n≥0）。
因此， f(n)= 3·2n-n-2 （n≥0）。
(c) 令f(n)=3ng(n)（g(0)=f(0)=3）。于是，
3ng(n)=3·3n-1g(n-1)+ 2n，
从而有方程
(b) 特征方程为x2-4x +4=0，其解为x1=x2=2。
因此，递归方程的解为f(n)= c1·2n + c2·n 2n （n≥0）。常数 c1 和c2 由下列方程组确定：
f(0)=6= c1， f(1)=8=2c1 +2c2。
解此方程组得 c1=6，c2 = -2。
于是，f(n)=3·2n+1-n·2n+1 （n≥0）。
(b) f(n)=2f(n-1)，（n≥1）；且f(0)=2。
解答：
(c) (a) 特征方程为x=3。
因此， f(n)=c·3n （n≥0），其中c 由初始条件f(0)确定。
解方程 f(0)=5=c，得c=5。
于是，f(n)=5·3n （n≥0）。
(b) 特征方程为x=2。
因此，f(n)=c·2n （n≥0），其中c 由初始条件f(0)确定。
(a) 使用代数变换的方法。
(b) 使用定积分近似求和的方法。
解答：
(a) 一方面，Σj=1
n jlog j≤Σj=1
n nlog n≤n 2 log n，
另一方面，Σj=1
n jlog j≥Σj= én/2ù
n én/2ùlog én/2ù
≥?n/2? én/2ùlog én/2ù
D． 证明算法对所有可能的合法输入都能算出正确的答案
答案：C。
2．算法确认是（ ）。
A．将算法用某种程序设计语言恰当地表示出来
B．证明算法对所有可能的合法输入都能算出正确的答案
C．对算法需要多少计算时间和存储空间作定量分析
D．在抽象数据集合上执行程序，以确定是否会产生错误的结果
答案：B。
次数为 。
答案：54。
6．算法SELETCIONSORT 在A[1..8]= {45,33,24,45,12,12,24,12}上运行时执行的元素比较次
数为 。
答案：28。
7．算法BINARYSEARCH在A[1..2000]={1,2,?,2000}上搜索x= -3 时执行的元素比较次数
同时，
Σj=1
n jlog j=Σj=2
n jlog j≥∫1
n x log xdx≥(2n2 lnn-n2+1) / (4ln2)。
因此，Σj=1
n jlog j=Q (n 2lnn)= Q (n 2logn)。
3．解下列递归方程：
(a) f(n)=3f(n-1)，（n≥1）；且f(0)=5。
g(n)=g(n-1)+(2/3)n。
其解为
g(n) = g(0)+Σi=1
n(2/3) i
=3+Σi=1
n(2/3) i
=5-2(2/3) n （n≥0）。
因此， f(n)= 5·3n-2n+1 （n≥0）。�
已有递减次序时该算法执行元素比较运算次数达到这个最大值。
(c) 算法执行元素赋值运算的最小次数是0。当输入A[1..n] 已经有非减次序时该算法执行元
素赋值运算次数达到这个最小值。
(d) 算法执行元素赋值运算的最大次数是3[(n－1)+( n－2)+?+ 2+1]=3n(n－1)/2。当输入
2. while i￡n-1 and not sorted
3. sorted←true
4. for j←n downto i+1
5. if A[j]<A[j-1] then
6. interchange A[j] and A[j-1]
7. sorted←false
8. end if
9. end for
解方程 f(0)=2=c，得c=2。
于是，f(n)=2n+1 （n≥0）。
4．解下列递归方程：
(a) f(n)=5f(n-1) -6f(n-2)，（n≥2）；且f(0)=1，f(1)=0。
(b) f(n)=4f(n-1) -4f(n-2)，（n≥2）；且f(0)=6，f(1)=8。
解答：
T(1)=1。则Ｔ(n)= 。（使用记号T 表示T(n)）
答案：T(nlogn)。
4．算法INSERTIONSORT 在A[1..8]={4,3,12,5,6,7,2,9}上运行时执行的元素比较次数
为 。
答案：16Байду номын сангаас
5．算法BOTTOMUPSORT 在A[1..11]={2,17,19,5,13,11,4,8,15,12,7}上运行时执行的元素比较
≥(n-1)n/4·log(n/2)。
因此，Σj=1
n jlog j=Q (n 2logn)。
（b）令f(x)=x log x (x≥1)。由于f(x) 是增函数，故有
Σj=1
n jlog j≤∫1
n+1 x log xdx≤(2(n+1)2 ln(n+1)-(n+1)2+1) / (4ln2)；