2021版高考数学导与练一轮复习(浙江版)：第四章 第三节 二次函数与不等式

第三节二次函数与不等式
[选题明细表]
知识点、方法题号
一元二次方程12
一元二次不等式的解法1,5,9
二次函数与分式不等式 2
二次函数与绝对值不等式4,7,8,15 二次函数与一元二次不等式的综合问题3,6,10,11,13,14
一、选择题
1.不等式x(1-2x)>0的解集是( B )
(A)(-∞,) (B)(0,)
(C)(-∞,0)∪(,+∞) (D)(,+∞)
解析:x(1-2x)>0⇔x(x-)<0⇔0<x<.
2.不等式||<1的解集为( D )
(A){x|0<x<1或x>1} (B){x|0<x<1}
(C){x|-1<x<0} (D){x|x<0}
解析:由||<1,可得|x+1|<|x-1|,得
(x+1)2<(x-1)2,
化简,得4x<0,故x<0.
3.在R上定义运算a※b=(a+1)b,若对于∀x∈[2,3],使得不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为( B )
(A)(-2,3) (B)(-3,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3)
解析:根据题意,(m-x)※(m+x)<4,
即(m-x+1)(m+x)<4,
变形可得(x-m-1)(x+m)>-4,
即m2+m-4<x2-x,
又由x∈[2,3],则x2-x的最小值为2,
则有m2+m-6<0,
解得-3<m<2,
即m的取值范围为(-3,2).故选B.
4.定义运算x*y=若|m-1|*m=|m-1|,则m的取值范围是( A )
(A)[,+∞) (B)[1,+∞)
(C)(-∞,) (D)(0,+∞)
解析:依题意,若|m-1|*m=|m-1|,则|m-1|≤m.
则m≥0且(m-1)2≤m2,
即-2m+1≤0,
所以m≥,故选A.
5.已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为 ,则( C )
(A)a<0,Δ>0 (B)a<0,Δ≤0
(C)a>0,Δ≤0 (D)a>0,Δ>0
6.若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为( A )
(A)(-,+∞) (B)[-,1]
(C)(1,+∞) (D)(-∞,-1)
解析:a>=-,故选A.
7.已知二次函数f(x)=x2-2ax+5.若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数a的取值范围是( A )
(A)[2,3] (B)[1,2] (C)[-1,3] (D)[2,+∞)
解析:由题意知,二次函数f(x)的图象的开口向上,由函数f(x)在
(-∞,2]上是减函数,知a≥2.若对任意的x1,x2∈[1,a+1],|f(x1)-
f(x2)|≤4恒成立,只需f(x)max-f(x)min≤4(x∈[1,a+1])即可,下面只需求函数f(x)=x2-2ax+5在[1,a+1]上的最大值和最小值.由于对称轴x=a ∈[1,a+1],所以f(x)min=f(a)=5-a2.
又(a-1)-(a+1-a)=a-2≥0,
故f(x)max=f(1)=6-2a.
由f(x)max-f(x)min≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,故a的取值范围为[2,3].
8.不等式kx+3k>|x2-4x-5|对x∈[-1,5]恒成立,则实数k的取值范围为( B )
(A)(-2,+∞) (B)(2,+∞)
(C)(-∞,-2) (D)(-∞,2)
解析:若不等式kx+3k>|x2-4x-5|对x∈[-1,5]恒成立,
则直线y=k(x+3)在y=|x2-4x-5|,x∈[-1,5]图象的上方,如图.
联立可得x2+(k-4)x+3k-5=0,
令Δ=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得k=2或18(舍去),
所以k>2,故选B.
9.若关于x的不等式x2-ax+b<0的解集是(-1,2),则a= ,b= .
解析:由题得
所以a=1,b=-2.
答案:1 -2
10.已知二次函数f(x)=x2+2ax-4,当a 时,f(x)在[1,+∞)上是增函数;当a 时,函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞).
解析:因为f(x)=x2+2ax-4=(x+a)2-4-a2,
所以f(x)的单调递增区间是[-a,+∞).
所以当-a≤1时,
f(x)在[1,+∞)上是增函数,即a≥-1.
当a=-1时,函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞).
答案:≥-1 =-1
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2,其中a∈R.
(1)当a=1时,f(-1)= ;
(2)若f(x)的值域是R,则a的取值范围为.
解析:(1)当a=1,x>0时,f(x)=x2-2x+3,函数f(x)是定义在R上的奇
函数,
f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2;
(2)由f(x)的图象关于原点对称,
可得f(0)=0,又当x>0时,f(x)的对称轴为x=a,
若f(x)的值域是R,
则当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2必须满足:
或
解得a≥2或a≤-2,
即a的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
答案:(1)-2 (2)(-∞,-2]∪[2,+∞)
二、填空题
12.方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为
.
解析:x2+ax-2=0在[1,5]上有解,即a=-x+在[1,5]上有解.令g(x)= -x+,则g(x)为减函数,且g(x)∈[-,1],故a∈[-,1].
答案:[-,1]
13.已知f(x)=则f(a2-3a)>f(4)的解集为.
解析:因为f(x)在(-∞,0]上为减函数,f(x)在区间(0,+∞)上是减
函数,
所以f(x)在R上是减函数,
所以f(a2-3a)>f(4)可转化为a2-3a<4,
即-1<a<4,所以其解集为(-1,4).
答案:(-1,4)
三、解答题
14.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(x)=f(2-x),f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
解:(1)根据题意,f(x)是二次函数,且f(x)=f(2-x),可得函数f(x)的对称轴为x=1,又其最小值为1,
设f(x)=a(x-1)2+1,
又因为f(0)=3,则a+1=3,解可得a=2,
则f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)根据题意,若2x2-4x+3>2x+2m+1在[-1,1]上恒成立,化简得m<x2-3x+1,
设g(x)=x2-3x+1,则g(x)在区间[-1,1]上单调递减,
g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,
则有m<-1,
故m的取值范围为(-∞,-1).
15.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
解:(1)g(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2x]=-x2+2x.
(2)g(x)≥f(x)-|x-1|等价于
-x2+2x≥x2+2x-|x-1|,
即|x-1|≥2x2,
x-1≥2x2或x-1≤-2x2,
解得-1≤x≤.
即不等式解集为[-1,].
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