高中数学人教A版选修4-5导学案4.1数学归纳法
人教版数学高二A版选修4-5 4.1数学归纳法
课后训练1．设111()12331f n n ＝＋＋＋＋－(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．132n ＋ B ．11331n n ＋＋ C ．113132n n ＋＋＋ D ．11133132n n n ＋＋＋＋ 2．某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )．A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题成立D ．当n ＝4时，该命题不成立3．设1111()1232f n n n n n＝＋＋＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．121n ＋ B ．122n ＋ C ．112122n n ＋＋＋ D ．112122n n －＋＋ 4．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．5．用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，n ＝1时，原式＝__________，从k 到k ＋1时需添加的项是__________．6．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N ＋)．7．求证：n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是f (n )＝12n (n －3)(n ∈N ＋，n ≥4)． 8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N ＋)．(1)求a 1、a 3、a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N ＋，其中x 1＝0，x 2＝a (a ＞0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．参考答案1. 答案：D解析：因为111()12331f n n ＝＋＋＋＋－. 所以111111(1)1233133132f n n n n n ＋＝＋＋＋＋＋＋＋－＋＋. 所以111(1)()33132f n f n n n n ＋－＝＋＋＋＋. 2. 答案：D解析：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n ＝k ＋1时命题不成立，则n ＝k 时命题不成立，所以n ＝4时命题不成立． 3. 答案：D解析：因为111()122f n n n n＝＋＋＋＋＋， 所以11111(1)2322122f n n n n n n ＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋. 所以()11111(1)212212122f n f n n n n n n ＋－＝＋－＝－＋＋＋＋＋. 4. 答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋32＋…＋(2k )2，而f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.5. 答案：1＋2＋22＋23＋2425k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋46. 分析：当n ＝k ＋1时，左边的项应该增加两项(2k ＋1)2－(2k ＋2)2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－2k 2－5k －3＝－(k ＋1)(2k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋，等式成立．7. 分析：利用“递推”法，f (k ＋1)－f (k )来寻找n ＝k ＋1比n ＝k 时增加的对角面的个数． 证明：(1)当n ＝4时，四棱柱有2个对角面，12×4×(4－3)＝2，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f (k )＝12k (k －3)，现在考虑n ＝k ＋1的情形，第k ＋1条棱A k ＋1B k ＋1与其余和它不相邻的k －2条棱分别增加了1个对角面，共(k －2)个，而面A 1B 1B k A k 变成了对角面，因此对角面的个数变为f (k )＋(k －2)＋1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k －2)(k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]，即f (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 由(1)(2)可知，命题对n ≥4，n ∈N ＋都成立．8. 解：(1)∵(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)(n ∈N ＋)，且a 2＝6， ∴当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 3＝3(a 2－1)＝15； 当n ＝3时，2a 4＝4(a 3－1)＝56，∴a 4＝28.(2)由a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13. 猜想a n ＋1－a n ＝4n ＋1，∴a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)． ∴a n ＝2n 2－n (n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，故猜想正确． ②假设当n ＝k 时，有a k ＝2k 2－k (k ∈N ＋，且k ≥1)． ∴(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(2k 2－k －1)． ∴a k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)． 即当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②知，a n ＝2n 2－n (n ∈N ＋)．9. 解：(1)当n ≥3时，122n n n x x x －－＋＝. (2)a 1＝x 2－x 1＝a ， a 2＝x 3－x 2＝2122x x x ＋－＝2111()22x x a --－＝， a 3＝x 4－x 3＝3232x x x ＋－＝321111()()2224x x a -－＝－－＝． 由此推测112n n a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，012112a x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＝＝，通项公式成立． ②假设当n ＝k 时，112k k a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1 ＝11111()222k k k k k k x x x x x a --＋＋＋＋－＝－＝11122k a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭－＝ (1)112k a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋－＝，通项公式成立． 由①②知，112n n a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝(n ∈N ＋)．。
数学人教A版选修4-5学案：课堂导学4.1数学归纳法含解析
课堂导学三点剖析一,熟悉数学归纳法证题的步骤【例1】 已知f(n ）=1+21+31+…+n1(n≥2且n∈N )，求证：n+f （1)+…+f （n —1）=nf （n)。
证明:(1)当n=2时,等式成立。
（2）假设n=k 时，k+f （1）+…+f(k -1）=kf （k ）。
当n=k+1时,左边=k+1+f （1）+…+f(k -1)+f(k ）=1+f(k ）+kf （k ）=(k+1)f （k)+1=（k+1)［f （k ）+11 k ] =(k+1）f(k+1）=右边。
由（1)(2)，知对n≥2且n∈N 等式均成立。
温馨提示用数学归纳法证题一般都有“两个步骤一个结论",用框图表示如下:在证明时要注意书写的规范性.各个击破类题演练1在同一平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，证明这n 个圆将平面分成n 2—n+2个部分。
证明：(1)当n=1时,n2—n+2=2,即把平面分成两个部分，结论成立.(2)假设n=k时,k个圆把平面分成k2—k+2个部分.若再增加一个圆,它与原来的k个圆相交，共有2k个交点.这些点把第k+1个圆分成2k段弧,而每段弧把它所在的那块平面分成两块,即增加了一个部分,因此总数增加了2k个部分.所以当n=k+1时，平面被分成了（k2-k+2)+2k=(k+1)2-（k+1）+2个部分，即n=k+1时命题成立。
由（1)(2)，知n∈N时结论成立。
变式提升1设有2n个球分成许多堆,我们可以任意选甲乙两堆按以下规则挪动.若甲堆的球数是p,不少于乙堆的球数q,则从甲堆里拿q个球放到乙堆里，这样算挪动一次。
证明可以经过有限次挪动，把所有的球合并成一堆。
证明:（1)当n=1时,有两个球,分为两堆,挪动一次就行了，即命题成立。
（2）假设当n=k，即有2k个球时命题成立。
当n=k+1时，有2k+1=2·2k 个球,显然球的个数为偶数，把它们两两配对可分成2k对.这时只需将每对球看成一个整体,即2k个“球”,于是问题就变成n=k时的情形了，由归纳假设知n=k+1时命题也成立。
人教版高中数学选修4-5《4.1 数学归纳法》
所以等式对所有正整数都成立
第一步是递推的基础，缺少了第一步，就会成为无水之源， 不要认为第一步是一个简单的验证，可有可无。递推基础不可少！
变式2、乙同学用数学归纳法证明等式2+4+6+ +2n=n（n+1），n N，
（1）当n=1时，左边=2=右边，等式成立，
如下：
（2）假设当n=k(k 1, k N )时， 2+4+6++2k=k（k+1）成立，
变式1、甲同学猜想2+4+6+ +2n=n2 +n+1，并用数学归纳法证明如下， 请问该同学的结论正确吗？ 证明：假设当n=k, k N 时，2+4+6++2k=k2 +k+1成立
那么当n=k+1时，2+4+6+ +2k+2(k+1) =k k 1 2k 2 (k+1) (k 1) 1，即n=k+1时等式成立
步骤2：归纳假设要用到，解题目标要明确
结论：结论写明莫忘掉
核心： 递推思想
2、思想: 类比思想 递推思想： 命题从第一个值开始从前往后自 动递推，实现有限到无限的飞跃
五、作业布置
教材第50页习题4.1 1-5
谢谢！
数学归纳法
一、课题引入
• 情景一：给出第一个盒子里装的部分白色粉笔，猜测盒子里装的全是什么颜色 的粉笔？
不完全归纳法：考察部分对象作出一般结论 的推理方法（结论不一定正确） 完全归纳法：考察全部对象得出一般结论的 推理方法（结论一定正确）
• 情景二：如何断定第二个盒子里装的粉笔全是白色的？
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出
线段(或射线)
直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又 被这k条直线分成k＋1部分，所以这k＋1条直线彼此互相分 割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2条线段(或射线)，即n＝k＋1时， 命题成立．
由(1)，(2)知，命题成立．
点击下图进入创新演练
[(3k＋3)＋1]· 7k＋1－1＝[3k＋1＋3]· 7· 7k－1＝
7· (3k＋1)· 7k－1＋21· 7k ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k
k k k
由归纳假设(3k＋1)·k－1能被9整除，又因为 18k·k＋ 7 7
27·k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·k＋1－1能被9整除， 7 7
1 1 1 1 1 ＝( ＋ ＋…＋ )＋ － 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 1 ＝( ＋…＋ ＋ )＋( － ) 2k 2k＋1 k＋2 k＋1 2k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋…＋ ＋ ＋ ＝右边， 2k 2k＋1 2k＋2 k＋2 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
nn－3 5．求证：凸 n 边形对角线条数 f(n)＝ (n∈N＋， 2 n≥3)．
证明：(1)当 n＝3 时，即 f(3)＝0 时，三角形没有对角线， 命题成立． (2)假设 n＝k(k∈N＋，k≥3)时命题成立，即凸 k 边形对角 kk－3 线条数 f(k)＝ .将凸 k 边形 A1A2…Ak 在其外面增加 2 一个新顶点 Ak＋1，得到凸 k＋1 边形 A1A2…AkAk＋1，Ak＋1 依次与 A2，A3，…，Ak－1 相连得到对角线 k－2 条，原凸
人教A版选修4-5 4.1 数学归纳法 学案
一 数学归纳法 第12课时 数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n ＝n 0时命题成立；(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．知识点一 用数学归纳法证明恒等式1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：观察分母知，首项为n ，末项为n 2，公差为1，共有n 2－n ＋1项，且f (2)＝12＋13＋14.答案：D2．(2019·江西师大附中模拟)用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N ＋)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N ＋)．当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ·k ＋12－1k ＋12＝k ＋1k ·k ＋22k ·k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．根据①和②知，对n ≥2，n ∈N ＋时，等式成立． 知识点二 用数学归纳法证明整除问题3．(2019·湖南邵东一中月考)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设n ＝k 时，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)2能被9整除，那么当n ＝k ＋1时，则(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k 3＋3k 2×3＋3k ×32＋33)＝k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(9k 2＋27k ＋27)．故只需展开(k ＋3)3即可，故选A.答案：A4．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”时，在第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用归纳假设应将5k ＋1－2k ＋1变形为________．解析：假设n ＝k 时，应有5k －2k 能被3整除，当n ＝k ＋1时，应变形为5k＋1－2k ＋1＝5(5k －2k )＋3·2k . 答案：5(5k －2k )＋3·2k知识点三 用数学归纳法证明几何问题5．(2019·福清东张中学期中)平面内原有k 条直线，他们的交点个数记为。
12新人教A版高中数学(选修4-5)《数学归纳法》
上面四个式子的结果分 别是 2,3,4,5,由此猜想: 1 3 5 1 2n 1 1 n .
n n
怎样证明它呢?
分析 这个问题的特点是 要证不等式 在 n 为 :
任何正整数时都成立虽然我们可以验证n 1, 2, . 3,4,5, 甚至 n 1 000,100 000, 时这个等式成立 , 但是正整数是无限多个我们无法对它们一一验 , 证.所以, 通过验证的方法无法完 成证明 .
由 1 , 2 可知 , 对于 n n N , n 3 个点 , 相应的直 1 线共有 n n 1 条 . 2
思考 结合上述证明过程你认为 , 数学归纳法有什么特殊 作用?
数学归纳法是证明一些 与无限多 个正整数相关的命题的 有力工具, 它用有限的步骤
1奠基和2
一般地, 当要证明一个命题对于不小于某个 正整数n0的所有正整数 都成立时, 可以用以 n 下两个步骤:
1证明当n n0时命题成立 ;
2假设当n k k N , 且k n0 时命题成立,
证明n k 1时命题也成立 .
在完成这两个步骤后就可以断定命题对于 , 不小于n0 的所有正整数都成立 .这种证明方
3
被6整除.
证明
1 当 n
1 时 , n 5 n 显然能够被
3
2
6 整除 ,
命题成立 .
2 假设当
n k k 1 时 , 命题成立 .即 k 5 k 能
够被 6 整除 .
当 n k 1时 ,
k
1 5 k 1 k 3 k 3 k 1 5 k 5
数学归纳法mathematical induction . 法称为
2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：4.1数学归纳法导学案 Word版含解析
4.1 数学归纳法学习目标1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究思考探究 探究1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?探究2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨：1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n ＝n 0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n ＝n 0时，命题成立，n ＝n 0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)就有了依据，在n ＝n 0成立时，n 0＋1成立，n 0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n ＝k ＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n ＝n 0(n 0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋时)，命题成立，利用假设证明n ＝k ＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n ≥n 0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n ＝n 0是基础，找准n 0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．【例1】 看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正．用数学归纳法证明：1－2＋4－8＋…＋(－1)n －1·2n －1＝(－1)n －1·＋. 2n 313 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝＋＝1，等式成立．2313(2)假设n ＝k 时，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋(－1)k －12k －1＝(－1)k －1·＋.2k 313则当n ＝k ＋1时，有1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k ·2k＝ ＝－ ＝－(－1)k ＋1· ＝(－1)k ·＋.1－ －2 k ＋11－ －2 13 －2 k ＋13132k ＋132k ＋1313这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)与(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立．【变式训练1】 用数学归纳法证明：n ∈N ＋时，＋＋…＋＝.11×313×51 2n －1 2n ＋1 n 2n ＋1【例2】 设x ∈N ＋，n ∈N ＋，求证：x n ＋2＋(x ＋1)2n ＋1能被x 2＋x ＋1整除．【变式训练2】 求证：二项式x 2n －y 2n (n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．【例3】 平面上有n 条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线把平面分割成f (n )＝块区域．n 2＋n ＋22【变式训练3】 已知n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．参考答案1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依据，在n＝n0成立时，n0＋1成立，n0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n＝k＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n＝n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋时)，命题成立，利用假设证明n＝k＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n＝n0是基础，找准n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n＝k到n＝k＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．探究1．提示 不一定．探究2．提示 不可以．这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.【例1】【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立．在第二步中，证n ＝k ＋1时没有用上假设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的．第二步正确证法应为：当n ＝k ＋1时，1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k 2k＝(－1)k －1·＋＋(－1)k ·2k 2k 313＝－(－1)k ·＋(－1)k ·2k ＋2k 313＝(－1)k ·2k ＋(－13＋1)13＝(－1)k ·＋.2k ＋1313即当n ＝k ＋1时，等式也成立．【变式训练1】证明 (1)当n ＝1时，左边＝＝，右边＝＝，11×31312×1＋113左边＝右边，∴等式成立．(2)假设n ＝k 时，等式成立，即＋＋…＋＝.11×313×51 2k －1 2k ＋1 k 2k ＋1则当n ＝k ＋1时，＋＋…＋＋11×313×51 2k －1 2k ＋1 1 2k ＋1 2k ＋3＝＋＝＝k 2k ＋11 2k ＋1 2k ＋3 2k 2＋3k ＋1 2k ＋1 2k ＋3 2k ＋1 k ＋1 2k ＋1 2k ＋3＝＝.k ＋12k ＋3k ＋12 k ＋1 ＋1即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)，(2)可知对一切n ∈N ＋等式成立．【例2】【证明】 (1)当n ＝1时，x 3＋(x ＋1)3＝[x ＋(x ＋1)]·[x 2－x (x ＋1)＋(x ＋1)2]＝(2x ＋1)(x 2＋x ＋1)，结论成立．(2)假设n ＝k 时，结论成立，即x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1能被x 2＋x ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时，x (k ＋1)＋2＋(x ＋1)2(k ＋1)＋1＝x ·x k ＋2＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1－x (x ＋1)2k ＋1 ＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x 2＋x ＋1)(x ＋1)2k ＋1.由假设知，x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1及x 2＋x ＋1均能被x 2＋x ＋1整除，故x (k ＋1)＋2＋(x ＋1)2(k ＋1)＋1能被x 2＋x ＋1整除，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)知，原结论成立．【变式训练2】证明 (1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，∴命题成立．(2)假设n ＝k 时，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除，那么n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－y 2(k ＋1)＝x 2·x 2k －y 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋x 2y 2k －y 2·y 2k ＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)．∵x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，∴x 2(x 2k ＋y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)能被x ＋y 整除．即n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 命题成立．【例3】【证明】 (1)当n ＝1时，一条直线把平面分割成2块．而f (1)＝＝2，命题成立．12＋1＋22(2)假设n ＝k 时，k 条直线把平面分成f (k )＝块区域，那么当n ＝k ＋1时，设k ＋1条直k 2＋k ＋22线为l 1，l 2，l 3…l k ，l k ＋1，不妨取出l 1，余下的k 条直线l 2，l 3…，l k ，l k ＋1将平面分割成f (k )＝k 2＋k ＋22块区域， 直线l 1被这k 条直线分割成k ＋1条射线或线段，它们又分别将各自所在区域一分为二，故增加了k ＋1块区域，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝＋k ＋1＝＝，这就k 2＋k ＋22k 2＋3k ＋42 k ＋1 2＋ k ＋1 ＋22是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，命题对一切n ∈N ＋成立．【变式训练3】证明 (1)当n ＝1时，1个圆把平面分成两部分，而2＝12－1＋2.所以当n ＝1时，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．当n＝k＋1时，平面上增加第k＋1个圆，它与原来的k个圆中的每个圆都相交于两个不同点，共2k个交点，而这2k个交点把第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧把原来的区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了2k块．∴k＋1个圆把平面划分成的块数为(k2－k＋2)＋2k＝k2＋k＋2＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，∴当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，命题对n∈N＋都成立．。
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak， 共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 1 1 2 f(k＋1)＝ k(k－3)＋k－1＝ (k －k－2) 2 2 1 1 ＝ (k＋1)(k－2)＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 2 2 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课件：4.1 数学归纳法
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.数学归纳法及其证明思路 剖析:归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推 理方法.它包括不完全归纳法和完全归纳法. 不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一 般结论的推理方法.比如在学习数列的知识时,我们可以通过观察数 列的前几项来写数列的通项公式,这个过程用的就是不完全归纳法, 我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不 正确的.例如,一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2,容易验证 a1=1,a2=1,a3=1,a4=1.但如果由此作出结论——对任何n∈N+,an=(n25n+5)2=1都成立,那就是错误的,事实上,a5=25≠1. 完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 . 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发 现规律,用数学归纳法证明结论.
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一 数学归纳法
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D典例透析 IANLI TOUXI
归纳假设的使用是数学归纳法证明的关键,这也是能否由“n=k” 递推到“n=k+1”的关键,在证明过程中,需根据命题的变化或者在步 骤的变化中,从数学式子的结构特点上,利用拼凑的方法,凑假设,凑 结论,从而使“递推关系”得以顺利进行,命题得以证明.
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一 数学归纳法
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D典例透析 IANLI TOUXI
2.应用数学归纳法证明问题的条件和n0值的确定 剖析:数学归纳法一般用来证明某些涉及正整数n的命题,n可取
新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法教案
数学归纳法一、教学目标：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，会用归纳、猜想、证明这种探索思想解决一些数学问题．二、教学重点：数学归纳法及其原理的理解，归纳、猜想、证明这一探索思想的应用．三、教学过程：（一）主要知识：数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.1．归纳法及其分类2．数学归纳法及其原理3．数学归纳法的基本步骤4．归纳、猜想、证明的探索思想（二）知识点详析1．归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
2．数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
3．数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.4．数学归纳法的应用：运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、整除性问题、几何中计算问题，数列的通项与和等等。
2020秋高中数学人教A版选修4-5：第四讲4.1数学归纳法
解析：(1)当n＝1时，恒为1＋k，故(1)不正确． (2)当n＝1时，恒为1，故(2)不正确． (3)当n＝1时恒为1＋12＋13，故(3)正确． (4)f(k＋1)＝f(k)＋3k1＋2＋3k1＋3＋3k1＋4－k＋1 1，故 (4)错误．
答案：(1)× (2)× (3)√ (3)×
归纳升华 利用数学归纳法证明恒等式的注意点
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一 是要准确表达n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点，并且一定要记 住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
[变式训练]
用数学归纳法证明1－
1 2
＋
1 3
－
1 4
类型1 用数学归纳法证明恒等式(自主研析) [典例1] 用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn＋1)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当n＝k＋1时，
＋…＋
2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n≥1，n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命
题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，
即1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋
1 2k.
当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k ＋2k1＋1－2k1＋2＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2，
新人教选修4-5教案 数学归纳法
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用：① 出示例1：求证*111111111,234212122n N n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅+∈-++ 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除.分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·y k=x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ).③ 出示例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2.2. 练习：① 求证: 11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+-g g n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明：（Ⅰ）2274297n n --能被264整除；（Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数）③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 求证：222*12(1),1335(21)(21)2(21)n n n n N n n n ++++=∈⋅⋅-++L . 2. 求证：*11111,23421n n n N +++++≤∈-L .二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：比较2n 与2n 的大小，试证明你的结论.分析：试值1,2,3,4,5,6n = → 猜想结论 → 用数学归纳法证明→ 要点：222222(1)2123k k k k k k k k k k +=++<++<+<+<…. 小结：试值→猜想→证明② 练习：已知数列{}n a 的各项为正数，S n 为前n 项和，且11()2n n nS a a =+，归纳出a n 的公式并证明你的结论.解题要点：试值n =1,2,3,4， → 猜想a n → 数学归纳法证明③ 出示例2：证明不等式|sin ||sin |()n n n N θθ*≤∈.要点：|sin(1)||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |k k k k k θθθθθθθθθ+=+≤+ |sin ||sin ||sin ||sin |(1)|sin |k k k θθθθθ≤+≤+=+④ 出示例3：证明贝努利不等式. (1)1(1,0,,1)n x nx x x n N n +>+>-≠∈>2. 练习：试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有a n +c n ＞2b n .解答要点：当a 、b 、c 为等比数列时，设a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1). ∴ a n +c n =…. 当a 、b 、c 为等差数列时，有2b =a +c ，则需证2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *). …. 当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a ) =41(a k +c k )(a +c )＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1 . 3. 小结：应用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：1. 用数学归纳法证明： 111tan(2)(1)(1)....(1)cos2cos4cos2tan n n θθθθθ+++=. 2. 已知1111,2,12122n N n n n n∈≥<+++<++L 证明：. 3. 作业：教材P 54 3、5、8题.。
高中数学新人教A版选修4-5 数学归纳法
一数学归纳法1．数学归纳法的概念先证明当n 取第一个值n 0(例如可取n 0＝1)时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明． 3．数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤(1)证明当n 取第一个值n 0(如取n 0＝1或2等)时命题成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 由此可以断定，对于任意不小于n 0的正整数n ，命题都成立．[例1] 用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. [思路点拨] 首先判断第1步是否满足，然后考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加了哪些项，进行分析变形，从而证明等式．[证明] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k－1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k－1k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)得对任意n ∈N ＋，有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使用归纳假设．1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n ，均有 1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛1n ＋2＋1n ＋4＋…＋⎭⎫12n 成立时，(1)第一步检验的初始值n 0是多少？(2)第二步归纳假设n ＝2k 时(k ∈N ＋)等式成立，需证明n 为何值时，方具有递推性； (3)若第二步归纳假设n ＝k (k 为正偶数)时等式成立，需证明n 为何值时，等式成立． 解：(1)n 0为2.此时左边为1－12，右边为2×14＝12.(2)假设n ＝2k (k ∈N ＋)时，等式成立，就需证明n ＝2k ＋2(即下一个偶数)时，命题也成立．(3)若假设n ＝k (k 为正偶数)时，等式成立，就需证明n ＝k ＋2(即k 的下一个正偶数)时，命题也成立．2．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13，左边＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立． 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 当n ＝k ＋1时，左边＝121×3＋223×5＋…＋k2(2k－1)(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝k(k＋1)(2k＋3)＋2(k＋1)2 2(2k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(2k2＋5k＋2) 2(2k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2) 2(2k＋3)，∴当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)知对任意n∈N＋，等式成立．[例2]＋[证明](1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1，可被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·a k＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，所以a k＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知命题对所有n∈N＋都成立．利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．证明：(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，[(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．则由(1)(2)可知对所有正整数n命题成立．4．用数学归纳法证明：1－(3＋x)n(n∈N＋)能被x＋2整除．证明：(1)n＝1时，1－(3＋x)＝－(x＋2)，能被x＋2整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，1－(3＋x)n能被x＋2整除，则可设1－(3＋x)k＝(x＋2)f(x)(f(x)为k－1次多项式)，当n＝k＋1时，1－(3＋x)k＋1＝1－(3＋x)(3＋x)k＝1－(3＋x)[1－(x＋2)f(x)]＝1－(3＋x)＋(x＋2)(3＋x)f(x)＝－(x＋2)＋(x＋2)(3＋x)f(x)＝(x＋2)[－1＋(3＋x)f(x)]，能被x＋2整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对n∈N＋，1－(3＋x)n能被x＋2整除.[例3]＋过同一点，求证：这n条直线共有f(n)＝n(n－1)2个交点．[思路点拨]本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n 的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明．[证明](1)当n＝2时，∵符合条件是两直线只有1个交点，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1.∴当n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，则当n＝k＋1时，任取其中一条直线记为l，如图，剩下的k条直线为l1，l2，…，l k.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k)＝k(k－1)2.由于l 与这k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l 与l 1，l 2，l 3，…，l k 的交点共有k 个．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝k (k －1)2＋k ＝k 2＋k 2＝k (k ＋1)2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]2. ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n ∈N ＋且n ≥2成立．用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从n ＝k 到n ＝k ＋1时，新增加的量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k 的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k ＋1个中分出1个来，剩下的k 个利用假设．5．求证：凸n 边形对角线条数f (n )＝n (n －3)2(n ∈N ＋，n ≥3)． 证明：(1)当n ＝3时，即f (3)＝0时，三角形没有对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥3)时命题成立，即凸k 边形对角线条数f (k )＝k (k －3)2.将凸k 边形A 1A 2…A k 在其外面增加一个新顶点A k ＋1，得到凸k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，A k ＋1依次与A 2，A 3，…，A k －1相连得到对角线k －2条，原凸k 边形的边A 1A k 变成了凸k ＋1边形的一条对角线，则凸k ＋1边形的对角线条数为f (k )＋k －2＋1＝k (k －3)2＋k －1＝(k ＋1)(k －2)2＝(k ＋1)[(k ＋1)－3]2＝f (k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，结论正确．根据(1)(2)可知，命题对任何n ∈N ＋，n ≥3都成立．6．求证：平面内有n (n ≥2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n 2条线段(或射线)．证明：(1)当n ＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，命题成立，即k 条满足条件的直线彼此互相分割成k 2条线段(或射线)．那么n ＝k ＋1时，取出其中一条直线为l ，其余k 条直线彼此互相分割成k 2条线段(或射线)，直线l 把这k 条直线又一分为二，多出k 条线段(或射线)；l 又被这k 条直线分成k ＋1部分，所以这k ＋1条直线彼此互相分割成k 2＋k ＋k ＋1＝(k ＋1)2条线段(或射线)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，命题成立．1．数学归纳法证明中，在验证了n ＝1时命题正确，假定n ＝k 时命题正确，此时k 的取值范围是( )A ．k ∈NB ．k >1，k ∈N ＋C ．k ≥1，k ∈N ＋D ．k >2，k ∈N ＋解析：选C 数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法，所以k 是正整数，又第一步是递推的基础，所以k 大于等于1.2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23.解析：选D 当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.3．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A 假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．4．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．5．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…猜想第n 个式子应为________．答案：1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)26．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.n ∈N ＋”时，若n ＝1，则左端应为________．解析：n ＝1时，左端应为1×4＝4. 答案：47．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 答案：π8．用数学归纳法证明对于整数n ≥0，A n ＝11n ＋2＋122n＋1能被133整除．证明：(1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假设n ＝k 时，A k ＝11k ＋2＋122k＋1能被133整除．当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意整数n ≥0，命题都成立．9．有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )＝n 2－n ＋2(n ∈N ＋)个部分．证明：(1)当n ＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f (1)＝1－1＋2＝2，所以n ＝1时命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时命题成立．即k 个圆把平面分成f (k )＝k 2－k ＋2个部分．则n ＝k ＋1时，在k ＋1个圆中任取一个圆O ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆O 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个点将圆O 分成2k 段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2. ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．综合(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，命题成立．10．试用n (n ≥2，n ∈N ＋)表示⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19·⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2的值，并用数学归纳法证明．解：当n ＝2时，原式＝1－14＝34；当n ＝3时，原式＝⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19＝46； 当n ＝4时，原式＝⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116＝58. 猜想⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n . 下面用数学归纳法证明这个结论． (1)当n ＝2时，易知结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时结论成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知对一切n ∈N ＋，结论都成立．。
高中数学人教A版选修4-5 4.1 数学归纳法 课件 (共16张PPT)
(2)假设当n k时命题成立,即凸k边形的对角线的条数 1 f (k ) k (k 3)(k 3).当n k 1时, k 1边形是在k边形的基础上 2 增加了一边, 增加了一个顶点 Ak 1 , 增加的对角线条数是顶 点Ak 1与 不相邻顶点连线再加上 原k边形的一边A1 Ak , 增加的对角线条数为 (k 2) 1 k 1
P50习题4.1第6题 : 平面上有n条直线, 其中任意两条都相 交, 任意三条不共点 , 这些直线把平面分成多 少个区域? 证明你的结论
n2 n 2 解 : 这样的n条直线把平面分成的区 域数目为f (n) 2 下面用数学归纳法证明
(1)当n 1时, 一条直线将平面分成两 部分, f (1) 2, n 1时命题成立 .
特别提示: 数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证 题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明 n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平面上有n(n N , n 3)个点, 其中任何三点都不在 同一条直线上 , 过这些点中任意两点作 直线, 这样的直线 共有多少条? 证明你的结论 .
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能 说明结论的正确性. 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了, 没有必要验证命题对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第 一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可 能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所 以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证 明. 完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.
高二数学人教A版选修4-5教案4.1数学归纳法 Word版含解析
数学归纳法一、教学目标．了解数学归纳法的原理及其使用范围．．会利用数学归纳法证明一些简单问题．二、课时安排课时三、教学重点．了解数学归纳法的原理及其使用范围．．会利用数学归纳法证明一些简单问题．四、教学难点．了解数学归纳法的原理及其使用范围．．会利用数学归纳法证明一些简单问题．五、教学过程（一）导入新课数学归纳法证明中，在验证了＝时命题正确，假定＝时命题正确，此时的取值范围是()．∈．＞，∈＋．≥，∈＋＞，∈＋【解析】数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法，所以是正整数，又第一步是递推的基础，所以大于等于.【答案】（二）讲授新课教材整理数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤：()证明当时命题成立；()假设当时命题成立，证明时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．（三）重难点精讲题型一、用数学归纳法证明等式例用数学归纳法证明：－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.【精彩点拨】要证等式的左边共项，右边共项，()与(＋)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“＝”到“＝＋”时要注意项的合并．【自主解答】①当＝时，左边＝－＝＝＝右边，所以等式成立．②假设＝(≥，∈＋)时等式成立，即－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当＝＋时，左边＝－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＝＋…＋＋＋＝右边，所以，＝＋时等式成立．由①②知，等式对任意∈＋成立．规律总结：．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与的取值是否有关．由＝到＝＋时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案：第四讲 一 数学归纳法
对应学生用书P39数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当n 取第一值n 0(例如可取n 0＝1)时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明． (3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤： ①证明当n 取第一个值n 0(如取n 0＝1或2等)时命题正确；②假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时命题也正确． 由此可以断定，对于任意不小于n 0的正整数n ，命题都正确．对应学生用书P39[例1] 证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n. [思路点拨] 注意到这是与正整数n 有关的命题，可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴当n ＝2时，等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…(1－1k 2)＝k ＋12k当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N ＋等式成立．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使用归纳假设．1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n ，均有 1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛1n ＋2＋1n ＋4＋…＋⎭⎫12n 成立时，(1)第一步检验的初始值n 0是什么？(2)第二步归纳假设n ＝2k 时(k ∈N ＋)等式成立，需证明n 为何值时，方具有递推性； (3)若第二步归纳假设n ＝k (k 为正偶数)时等式成立，需证明n 为何值时，等式成立． 解：(1)n 0为2.此时左边为1－12，右边为2×14＝12.(2)假设n ＝2k (k ∈N ＋)时，等式成立，就需证明n ＝2k ＋2(即下一个偶数)时，命题也成立．(3)若假设n ＝k (k 为正偶数)时，等式成立，就需证明n ＝k ＋2(即k 的下一个正偶数)时，命题也成立．2．求证：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1(n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1＝1，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立， 即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋k ＝2k k ＋1.则当n ＝k ＋1时，1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋k ＋11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝2k k ＋1＋11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝2k k ＋1＋2(k ＋1)(k ＋2)＝2(k ＋1)2(k ＋1)(k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对任何x ∈N ＋等式都成立．[例2] 求证：x 2n －y 2n (n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．[思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x ＋y )有困难，故可考虑用数学归纳法证明．[证明] (1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )能被x ＋y 整除． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k ＋2＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2y 2k ＋x 2y 2k ＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)∵x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除， ∴x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)能被x ＋y 整除． 即n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k＋2能被x ＋y 整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n 命题均成立．利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n ＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．3．用数学归纳法证明：(3n ＋1)7n －1(n ∈N ＋)能被9整除． 证明：①当n ＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．②假设n ＝k 时命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，当n ＝k ＋1时， [(3k ＋3)＋1]·7k ＋1－1＝[3k ＋1＋3]·7·7k －1＝7·(3k ＋1)·7k －1＋21·7k＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k ＋21·7k ＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ，由归纳假设(3k ＋1)·7k －1能被9整除，又因为 18k ·7k ＋27·7k 也能被9整除，所以[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1能被9整除，即n ＝k ＋1时命题成立．则①②可知对所有正整数n 命题成立．4．用数学归纳法证明：1－(3＋x )n (n ∈N ＋)能被x ＋2整除．证明：(1)n ＝1时，1－(3＋x )＝－(x ＋2)，能被x ＋2整除，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时，1－(3＋x )n 能被x ＋2整除，则可设1－(3＋x )k ＝(x ＋2)f (x )(f (x )为k －1次多项式)，当n ＝k ＋1时，1－(3＋x )k ＋1＝1－(3＋x )(3＋x )k＝1－(3＋x )[1－(x ＋2)f (x )] ＝1－(3＋x )＋(x ＋2)(3＋x )f (x ) ＝－(x ＋2)＋(x ＋2)(3＋x )f (x ) ＝(x ＋2)[－1＋(3＋x )f (x )]，能被x ＋2整除，即当n ＝k ＋1时命题成立． 由(1)(2)可知，对n ∈N ＋，1－(3＋x )n 能被x ＋2整除.[例3] 平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n 条直线把平面分割成12(n 2＋n ＋2)个区域．[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与k ＋1条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到n ＝k ＋1时的证明．[证明] (1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两个区域，又12×(12＋1＋2)＝2，∴n ＝1时命题成立．(2)假设n ＝k 时，命题成立，即k 条满足题意的直线把平面分割成了12(k 2＋k ＋2)个区域．那么当n ＝k ＋1时，k ＋1条直线中的k 条直线把平面分成了12(k 2＋k ＋2)个区域，第k ＋1条直线被这k 条直线分成k ＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k ＋1个区域，所以k ＋1条直线把平面分成了12(k 2＋k ＋2)＋k ＋1＝12[(k ＋1)2＋(k ＋1)＋2]个区域．∴n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，对一切的n ∈N ＋，此命题均成立．用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从n ＝k 到n ＝k ＋1时，新增加的量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k 的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k ＋1个中分出1个来，剩下的k 个利用假设．5．求证：凸n 边形对角线条数f (n )＝n (n －3)2(n ∈N ＋，n ≥3)．证明：(1)当n ＝3时，即f (3)＝0时，三角形没有对角线，命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥3)时命题成立，即凸k 边形对角线条数f (k )＝k (k －3)2.将凸k 边形A 1A 2…A k 在其外面增加一个新顶点A k ＋1，得到凸k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，A k ＋1依次与A 2，A 3，…，A k －1相连得到对角线k －2条，原凸k 边形的边A 1A k 变成了凸k ＋1边形的一条对角线，则凸k ＋1边形的对角线条数为：f (k )＋k －2＋1＝k (k －3)2＋k －1＝(k ＋1)(k －2)2＝(k ＋1)[(k ＋1)－3]2＝f (k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，结论正确．根据(1)(2)可知，命题对任何n ∈N ＋，n ≥3都成立．6．求证：平面内有n (n ≥2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n 2条线段(或射线)．证明：(1)当n ＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，命题成立，即k 条满足条件的直线彼此互相分割成k 2条线段(或射线)．那么n ＝k ＋1时，取出其中一条直线为l ，其余k 条直线彼此互相分割成k 2条线段(或射线)直线l 把这k 条直线又一分为二，多出k 条线段(或射线)；l 又被这k 条直线分成k ＋1部分，所以这k ＋1条直线彼此互相分割成k 2＋k ＋k ＋1＝(k ＋1)2条线段(或射线)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，命题成立．对应学生用书P411．数学归纳法证明中，在验证了n ＝1时命题正确，假定n ＝k 时命题正确，此时k 的取值范围是( )A ．k ∈NB ．k >1，k ∈N ＋C ．k ≥1，k ∈N ＋D ．k >2，k ∈N ＋解析：数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法，所以k 是正整数，又第一步是递推的基础，所以k 大于等于1.答案：C2．某个命题：(1)当n ＝1时，命题成立，(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时成立，可以推出n ＝k ＋2时也成立，则命题对________成立( )A ．正整数B ．正奇数C ．正偶数D ．都不是解析：由题意知，k ＝1时，k ＋2＝3；k ＝3时，k ＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立．答案：B3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2解析：因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案：D4．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对一切正整数n 都成立，a ，b 的值可以等于( )A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝3解析：令n ＝1,2得到关于a ，b 的方程组，解得即可． 答案：D5．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…猜想第n 个式子应为________．答案：1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)26．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.n ∈N ＋”时，若n ＝1，则左端应为________．解析：n ＝1时，左端应为1×4＝4. 答案：47．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 答案：π8．设a ∈N ＋，n ∈N ＋，求证：a n ＋2＋(a ＋1)2n＋1能被a 2＋a ＋1整除．证明：(1)当n ＝1时，a 3＋(a ＋1)3＝[a ＋(a ＋1)][a 2－a (a ＋1)＋(a ＋1)2]＝(2a ＋1)(a 2＋a ＋1)． 结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＋2＋(a ＋1)2k＋1能被a 2＋a ＋1整除，那么n ＝k ＋1时，有a (k＋1)＋2＋(a ＋1)2(k＋1)＋1＝a ·a k ＋2＋(a ＋1)2(a ＋1)2k ＋1＝a [a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k ＋1－a (a ＋1)2k ＋1＝a [a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k ＋1.因为a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1，a 2＋a ＋1均能被a 2＋a ＋1整除，又a ∈N ＋，故a (k＋1)＋2＋(a ＋1)2(k＋1)＋1能被a 2＋a ＋1整除，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可知，原结论成立．9．有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )＝n 2－n ＋2个部分．(n ∈N ＋)证明：(1)当n ＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f (1)＝1－1＋2＝2，所以n ＝1时命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时命题成立．即k 个圆把平面分成f (k )＝k 2－k ＋2个部分．则n ＝k ＋1时，在k ＋1个圆中任取一个圆O ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆O 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个点将圆O 分成2k 段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2. ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．综合(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，命题成立．10．用数学归纳法证明n ∈N ＋时，(2cos x －1)(2cos 2x －1)…(2cos 2n －1x －1)＝2cos 2n x ＋12cos x ＋1.证明：(1)当n ＝1时，左边＝2cos x －1， 右边＝2cos 2x ＋12cos x ＋1＝4cos 2 x －12cos x ＋1＝2cos x －1，即左边＝右边，∴命题成立． (2)假设当n ＝k 时，命题成立， 即(2cos x －1)(2cos 2x －1)…(2cos 2k －1x －1)＝2cos 2k x ＋12cos x ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝(2cos x －1)(2cos 2x －1)…(2cos 2k －1x －1)·(2cos 2kx －1)＝2cos 2k x ＋12cos x ＋1·(2cos 2k x －1)＝4(cos 2k x )2－12cos x ＋1＝4×1＋cos 2×2k x 2－12cos x ＋1＝2×cos 2k ＋1x ＋12cos x ＋1.∴n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对n ∈N ＋时命题成立．。
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4.1 数学归纳法
教学目标：
1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；
2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：
一、创设情境，引出课题
（1）不完全归纳法：
今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。
于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？
（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：
一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？
（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。
）
注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
结论：不完全归纳法→结论不可靠；
完全归纳法→结论可靠。
问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）
情境一：（播放多米诺骨牌视频）
问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？
二、讲授新课：
探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？
条件一：第一张骨牌倒下；
条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明
222(1)(21)1236
n n n +++++=2…+n 有些启发？ 得出结论：证明222(1)(21)1236
n n n +++++=
2…+n 的两个步骤： （1）证明当1n =时，命题成立； （2）假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；
（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时，命题也成立。
只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述方法叫做数学归纳法。
三、应用举例：
例1用数学归纳法证明：135+++2…+(2n-1)=n
证明：（1）当1n =时，左边1=，右边211==，等式成立；
（2）假设当n k =（k ≥1,k ∈N*）时，135+++2…+(2k-1)=k ，那么：
2[12(1)1](1)135(1)2
k k k ++-++++=+…+(2k-1)+(2k+1)=，则当1n k =+时也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立。
注：①对例1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当1n k =+时的证明必须利用n k =的归纳假设，
例2：用数学归纳法证明求证：)(53*
∈+N n n n 能被6 整除.
[证明]：︒1. 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即k k 53+能被6整除，
∴当1+=k n 时，)5()55()133()1(5)1(3
233k k k k k k k k +=+++++=+++ 6)1(3+++k k ，
∵两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数，)1(3+∴k k 能被6整除，
6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，
由︒︒2,1知命题时*∈N n 都正确.
即：当1n k =+时，等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立。
注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。
例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.
分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2.
证明：（略）
四、巩固练习：：
（1） 求证: 11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+
>-（n ∈N *）. （2） 用数学归纳法证明：
（Ⅰ）2274297n n --能被264整除；
（Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数）
（3） 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（4）教材50 1、2、5题
五、课堂小结：
两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
六、布置作业：
教材50 4、5、6题.。