21.1.1 二次根式
九年级数学21.1.1二次根式课件
1.假设a5 2b3 =0，那么ab 2 =_____.
2.a.b为实数，且满足 a2b112b1
求出a及a+b 的值吗？
3 、 |1若 9 a |9 a 5 20 a ， 00 a 1 求 9 2 的 9 . 5
〔1〕二次根式的概念 〔2〕根号内字母的取值范围 〔3〕二次根式的非负性
隋堂练习 1
1 x1 2 244x 3 5x
x≥1
x≤6
〔3〕-5x≥0 ∴x≤0
这会有 意义吗？
即当x≤0时， 5x在实数范围内有意义.
当x为怎样的实数时，以下各式
有意义？
1
x≥3
x36xx≤6
∴3≤x≤6
21xx1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数.
x为任何实数.
b-3
2的圆形喷水池，
它的半径为
2 m〔 取3.14〕.
4、关系式中 h 5t2，用含有h的式子
表示t，那么t为 h
.
5
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500 b 3
2
h 5
表示一些正数的算术平方根．
二次根式的定义：
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
a
被开方数 二次根号
注意：a可以是数,也可以是式子.
说一说:
以下各式是二次根式吗?
(1) 32, (2)6,(3) 12,
(4)-mm0, (5) xy， 6 6-x, (7) a2 1 ,(8)3 5,9 x2 8
在实数范围内,负数没有平方根.
二次根式有意义的条件
当a是怎样的实数时，以下二次根式有意义？
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)21.1 二次根式知识点一二次根式的概念(1)一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。
二次根式a的实质是一个非负数a的算术平方根。
其中“”叫做二次根号。
(2)正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：①二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。
如4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根式。
②被开方数a必须是非负数，即a≥0.如3-就不是二次根式，但式子)3(-2是二次根式。
③“”的根指数为2，即“2”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。
提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。
知识点二二次根式的性质(1)a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a≥(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性。
(2)(a)2 = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。
(3)a2 = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数(式)时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。
知识点三代数式定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
21.2 二次根式的乘除知识点一 二次根式的乘法法则 一般地，对二次根式的乘法规定：a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
知识点二 积的算术平方根的性质ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。
知识点三 二次根式的除法法则 一般地，对二次根式的除法规定：b a =b a (a ≥0，b ＞0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
九年级上册数学书答案苏科版
三一文库（）/初中三年级〔九年级上册数学书答案苏科版〕
导语：数学是研究数量结构、变化、以及空间模型等概念的
科学.它是物理、化学等学科的基础，而且与我们的生活息
息相关.所以说，学好数学对于我们每个同学来说都是非常
重要的.以下是整理的九年级上册数学书答案苏科版，希望
对大家有帮助。
第二十一章二次根式§21.1二次根式（一）一、1.C2.Ｄ3.D
二、１.，92.，3.4.１三、１.50m２.（１）（２）＞-1（３）
（４）§21.1二次根式（二）一、1.C2.Ｂ3.D4.D二、１.，
２.１３.；三、１.或-3２.（１）；（２）５；（３）；（４）；
（５）；（６）；3.原式=§21.2二次根式的乘除（一）一、1．C2.
Ｄ3.B二、１.＜２.（为整数）３.１２s4.三、１.（１）（２）
（3）（４）–108２.1０cm23、cm§21.2二次根式的乘除（二）
一、1.C2.C3.D二、１.＞3２.３.（1）;(2);4.6三、
１.(1)(2)(3)5２.（１）（２）（３）３.,因此是倍.§21.2
二次根式的乘除（三）一、1.D2.A3.B二、１．２.,,３.14.
第1页共2页
三、１.（１）（２）102.3.(,0)(0,)；§21.3二次根式的加
减（一）一、1.C2.A3.C二、１.（答案不，如：、）２.＜＜
３.1三、１.（１）（２）（３）2（４）２.§21.3二次根式
的加减(二)一、1.A2.A3.B4.A二、１.1２.,３.三、１.（１）
（２）（3）4（4）2２.因为＞45所以王师傅的钢材不够用.
22。
华东师大版九年级上册 数学 教案 21.1 二次根式
华东师范大学出版社九年级上册第21章第一节
21.1.1二次根式（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本章主要内容是初中代数运算的基础内容，在整个中学代数中起承上启下的重要作用，内容有两部分，它们是二次根式的有关概念、性质和二次根式的四则运算。
本章的第一部分是二次根式的有关概念、性质。
它是把前面学习的实数写成式子进行运算，体现了由特殊到一般的数学思想，同时二次根式的概念和性质又是今后学习根式运算、函数的知识储备.
2．对象分析
（1）学生是乡镇普通初中九年级的学生，班级学生学习方面存在一定的差异；但学生对数学抱有浓厚的兴趣。
（2）学生在前面已学习了平方根，基本上掌握了平方根。
3．环境分析
（1）教师自制多媒体课件。
（2）上课环境为多媒体教室。
二、教学目标：
知识技能：积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动，在活动中体验成功的喜悦．
过程与方法：(1)了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
(2) 掌握二次根式有意义的条件。
(3) 掌握二次根式的基本性质：)0
a
≥a
(0≥
情感、态度、价值观：通过计算、观察、类比、归纳、猜想，探索二次根式的概念、
性质的发生过程；发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
三、教学重点、难点
教学重点：掌握二次根式的有关概念、性质；能熟练地运用二次根式的有关概念、
性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学难点：能熟练地运用二次根式的有关概念、性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学重点、难点突破方法：通过类比平方根和算术平方根的有关概念、性质突破难点
四、教学过程。
人教版九年级数学上册《二十一章 二次根式 21.1 二次根式》优质课教案_6
《二次根式》第1课时教案设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念. 2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础. 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解. 本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析 1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念． 2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断. 本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性. 四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h 的式子表示t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价. 【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例 2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力. 4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习. 练习2当x 是什么实数时，下列各式有意义. （1）；（2）；（3）；（4）. 【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件. 【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维. 5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题. （1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结. 【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法. 6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（） A. B. C. D. 【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数． 2. 当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题． 3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用． 4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．。
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（2）
≥0， ≥0）。
（3）等式
（ ≥0， ≥0）可以推广为
（ ≥0， ≥0）；
（ ≥0， ≥0）也可以倒过来使用，即
≥0， ≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次 根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
说明：（1）法则中 、 可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围， ≥0， 在分母中，因此 ＞0；
第二十二章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高 次数是 2 次的整式方程 叫 做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点 ：(1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
21.1 二次根式(1)二次根式的意义(备课件) 九年级数学上册同步备课系列(华东师大版)
课后练习
知识点 1：二次根式的概念
1．在下列各式中，一定是二次根式的是(
3
A． 2
C． a2＋1
B． －10
D． a
C
)
2．下列式子：
1
3
2
，
－1000
，
27
，
8
，
（－201）
，其中
2
二次根式的个数有( C
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．若
m－3
)
15
3m 是二次根式，则这个二次根式是__________.
新课导入
•问题
•1.要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的三角尺，
斜边的边长应该是_____cm；
•2. 面积为S的正方体边长为_____。
❖ 思考
❖
通过对上述问题的探究，可以得到形如
的式子，这些式子有什么特点？
65, S 之类
课前小测
1. 16的平方根是 ±4;
2. 9的算术平方根是 3 ;
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中
“
”称为二次根号.
二次根号
根号a
被开方数
可以是非负的数或单项
式、多项式、分式等
实为“
”，
通常将根指
数2省略不写
（1）被开方数 a 既可以是一个数，也可以是一个含有
字母的式子，但前提是 a 必须大于或等于 0.
（2） a （a≥0）实际上就是非负数 a 的算术平方根，
a的平方根是 a .
问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
21.1二次根式(老师)
教师辅导教案辅导科目：数学学员姓名：年级:初三学科教师：课时数：3 第1 次课授课主题二次根式教学目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握二次根式的性质.3、理解并掌握最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.4、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.授课日期及时段教学内容第一板块二次根式【知识梳理】一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，根号下面的数叫作被开方数．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负实数.二、二次根式的性质1.重要结论；；.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a≥）.（2）2a与2()a要注意区别与联系：①a的取值范围不同，2()a中a≥0，2a中a为任意值.②a ≥0时，2()a ＝2a ＝a ；a ＜0时，2()a 无意义，2a ＝a -.2.积的算术平方根（a ≥0，b ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a ≥0，b ≥0，才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了.三、最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数不含有分母.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】 一、二次根式的概念1．当x 为实数时，下列各式()2223,1,,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个. 【答案】 3； 【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B ；2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y ＝2+x －x 23-； 解：（1）1x -≥0，所以x ≥1.（2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32；举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ） A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x【答案】B ；二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)232()4-⨯- (2)2(3.14)π-【答案与解析】 解：(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三 【变式】（1）2)252(-＝_____________ （2）2)2(2a a ---＝_____________【答案】(1) 10；(2) 0.4. 已知0a <，那么22a a -可化简为（ ）A. a -B.aC.3a -D.3a 【答案】C ；【解析】0,=-233a a a a a <-=-=-∴原式.【总结升华】重点考查二次根式的性质：.举一反三【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________. 【答案】0或－1. 三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).【答案与解析】 解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母； 和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式. 举一反三【变式】化简2325(2)(0,0)a b c a b ->> 【答案】原式＝22242a ab c c ＝22abc ac .【能力检测】 对的，坚持；错的，放弃！一．选择题1.若二次根式1x -有意义，则x 的取值范围是（ ）. A.1x ≠ B ．x ≥1 C. x ＜1 D.全体实数2. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a -3. 若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.43x ≥B.43x >C.34x ≥D. 34x > 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).A.与B.与C.与D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．8 B ．24x y + C ．D ．6. k 、m 、n 为三整数，若135=k 15，450=15m 180=6n ，，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系正确的是（ ）A ．k ＜m=n A ．k ＜m=n C ．m ＜n ＜k D ．m ＜k ＜n7、若32a 3a +＝﹣a 3a +，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤a≤0B ．a≤0C ．a ＜0D ．a≥﹣3二. 填空题8. 当x ______时，式子x -在实数范围有意义； 当x _______时，式子2x -在实数范围有意义. 9.＝____________； 若，则____________.10．（1）2)53(-＝_____________.（2）9622++-a a a （a ＞0）＝__________________________.11.若22x x -+-＝0，则2(1)1x x--＝_______________.12.当x ≤0时，化简21-x x -＝________________________. 13. 在实数范围内分解因式22x -＝__________________.14．计算：(6＋5)2015·(6－5)2016＝________．三 ．解答题13. 当x 为何值时，下列式子有意义？（1）21x + (2) 2x -（3）11y x =-； （4）11y x =-；14. 已知实数x y ，满足，求代数式的值.15. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】 B ；2．【答案】 D ；【解析】因为1a < 原式＝1111a a a --=--=-. 3.【答案】 A ；【解析】根据题意得：3x －4≥0，解得：x ≥43. 4．【答案】 C ； 5．【答案】 B ；【解析】 根据最简二次根式的性质，A,D 选项都含有能开方的项，C 选项含有分母，所以选B.6．【答案】 D ；【解析】135=315，450=152180=65，，可得：k=3，m=2，n=5，则m ＜k ＜n ． 二、填空题7.【答案】 x ≤0；x ＝0； 8 【答案】2;7x m -=±； 9.【答案】(1) 45； (2) －3； 10.【答案】 －1；【解析】因为22x x -+-＝0，所以2－x ≥0，x －2≥0，所以x ＝2;则原式＝2(12)112-=--.11.【答案】 1；【解析】∵x ≤0时，∴21-=1+=1x x x x --. 12.【答案】(2)(2)x x +-； 三、 解答题 13.【解析】 解：（1）21x +≥0，即x 为任意实数.（2）2x -≥0，即2x ≤0，即x ＝0. （3）10,1x x ->>∴.（4）0,10,01x x x x ≥-≠≥≠∴且.14.【解析】 解：因为，所以x ＝5，y ＝－4. 则＝2008(54)-＝115.【解析】解：因为1+21122y x x =-+-，所以21x -≥0,12x -≥0，即x ＝12，y ＝12则2234x xy y ++=.第二板块 二次根式的乘除生活不是等待风暴过去，而是学会在雨中翩翩起舞。
数学人教版九年级上册知识点重难点总结
数学人教版九年级上册知识点重难点总结21.1二次根式1、二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
★常考点：求被开方数a 的取值范围2、二次根式的性质 （1）)0(≥a a ≥0（2）)0()(2≥=a a a)0(≥a a（3）==a a 2)0(<-a a★常考点：1、2a 与（a ）2的区别2、例题：=---x x 11（x+y ）2；求x 、y 的值21.2二次根式的乘除1、二次根式乘除运算法则：（1） 二次根式乘法法则b a ab ∙==b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥（2） 积的算术平方根的性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab（3）二次根式除法法则)0,0(≥≥=b a bab a ； （4） 除法法则逆运算ab =a b （a ≥0；b>0）2、最简二次根式 若二次根式满足：（1）被开方数的因数是整数；因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；把这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式；先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式；然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式；先将他们分解因数或因式；然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式的加减（1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后；如果被开方数相同；这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）二次根式加减法步骤：a.先将二次根式化成最简二次根式b.找出同类二次根式c.合并同类二次根式（3）二次根式混合运算法则：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样；先乘方；再乘除；最后加减；有括号的先算括号里的（或先去括号）。
常考题型：1、如果2(x-2)=2-x那么x 取值范围是________2、实数p 在数轴上的位置如图所示：化简：22)2()1(p p -+-= p-1+2-p=1二十二章 一元二次方程22.1一元二次方程1、一元二次方程概念含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
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1 . x 3
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【解析】(1) 由3-4x≥0，得x≤
∴当x≤
3 时，二次根式 4
3 . 4
3 4x 在实数范围内有意义.
(2)不管x取什么值，(x-3)2≥0，所以 x 32 中字母x的取
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x 1 0 【解析】选D.由题意知 ，解得x≥1且x≠2. x 2 0
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3.(2010·北京中考)若二次根式
2x 1 有意义，则x的取值
范围是_______．
【解析】由题意知2x-1≥0，解得x≥ 1 .
1 x 0
x 1 1 x =________.
x 1 0 【解析】由题意知 ， 解得x=1.
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要使式子有意义，一般应注意：
(1)分母不能为0；
(2)二次根式被开方数为非负数； (3)对具体的题目要根据式子的具体特点来确定，使式子的 各部分都有意义，在写式子的取值范围时应取其各部分取值 范围的公共部分.
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1 x3 2 1 C ＜x＜3 2
A
B x 3且x
1 2
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3.在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电
U 2 可得它两端的电压U为( 功率计算公式 P R R P A U B U P R
1 x 1
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1 【解析】选D. 是分式. x 1
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2.(2010·茂名中考)若代数式 围是( )
x 1 有意义，则x的取值范 x2
(A)x>1且x≠2 (C)x≠2
(B)x≥1 (D)x≥1且x≠2
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a 中的a<0,
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常见的负数形式有：负数、-a2+b(b<0),-|a|+b(b<0)等，
知
如
1, a 2 1.
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答案： a 2 1 (答案不惟一)
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5.(2010·荆门中考)化简
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Байду номын сангаас知 能
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先确定求算术平方根的运算；然后根据一个 非负数x满足x2=a,则x可以表示为 a 的形式.
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所以 a 2 1 中字母a的取值范围是任意实数.
………9分
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注意被开方数大于等于0，当二次根式有多个 时，须同时满足；注意分母中含未知数时，须保证分母不等 于0.
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答：此时两船相距13海里.
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二次根式的应用主要涉及求面积、直角三 角形边长等问题，关键是要将所求的问题转化为某一个数的
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算术平方根的形式.
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1.下列式子中，不是二次根式的是(
)
A 22
B 16
C 8
D
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选D.
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2.(2010·福州中考)若二次根式
x 1 有意义，则x的取值
范围为(
(A)x≠1
)
(B)x≥1 (C)x<1 (D)全体实数
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【解析】选B.二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-1≥ 0，所以x≥1.
二次根式的定义及成立的条件 【例1】(9分)a为怎样的实数时，下列各式有意义.
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1 5a 1; 2
1 ; 3 a 2 1. 1 2a
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【规范解答】(1)由5a+1≥0，得 a 1 . ………………2分 5 所以当 a 1 时， 5a 1 在实数范围内有意义． ……3分 5 1 0，得1-2a>0，即a< 1 . …………………5分 (2)由 1 2a 2 所以当a< 1 时， 1 在实数范围内有意义．………6分 2 1 2a (3)不管a取什么值，a2≥0，a2+1>0， …………………8分
)
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C U
PR
D U
PR
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U2 【解析】选C. P ， U 2 PR， U PR. R
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二、填空题(每小题4分，共12分) 4.写一个含有根号但不是二次根式的式子：____________. 【解析】答案不惟一，只需满足
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5.如图所示，在平面直角坐标系中， A(-2，3)，B(-4，0)，C(-2，0)是 三角形的三个顶点，求三角形各边 的长．
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【解析】AC=3-0=3，BC=-2-(-4)=2．
因为△ABC为直角三角形，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．
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二次根式的应用
【例2】甲、乙两艘船同时从港口O出
发，分别向正北和正东方向行驶，如
图，若甲、乙两船的航速分别为5海 里/小时和12海里/小时，1小时后，分别到达图中的B处和A 处，此时两船相距多远？
值范围是任意实数.
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2 x 0 x 2 得 ，所以x 2 . 3由 x 3 0 x 3
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【思路点拨】 AB OA2 OB2 . 【自主解答】由题意知:OB=5〓1=5(海里)，OA=12〓1=12(海
里),
在Rt△AOB中， AB OA2 OB2 13 (海里).
2
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答案：x≥ 1 2
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4.自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为 h=4.9t2．现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由
下落，到达地面需要的时间是_______秒．
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所以 AB AC2 BC2 32 22 13．
即三角形三边长分别为3，2， 13．
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在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段 的长度直接运用纵坐标差、横坐标差求解，不平行于坐标轴 的线段的长度运用勾股定理计算求解．
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