对称式

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对称式得参数方程

对称式参数方程引言对称式参数方程是一种描述曲线或曲面的数学工具。

通过使用参数方程，我们可以更加准确地描述和分析几何图形的形状和属性。

对称式参数方程特别适用于描述对称性的图形，如圆、椭圆、双曲线等。

本文将深入探讨对称式参数方程的概念、性质和应用。

首先，我们将介绍参数方程的基本概念和定义。

接着，我们将讨论对称式参数方程的特点和性质。

最后，我们将通过实例来说明对称式参数方程的具体应用。

一、参数方程的基本概念和定义1.1 参数方程的定义参数方程是一种使用参数表示变量之间关系的数学表达式。

对于平面曲线或曲面，参数方程通常以参数形式表示其坐标。

例如，对于平面曲线，参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。

曲线上的每个点都可以通过参数t唯一确定。

1.2 参数方程与直角坐标方程的转换直角坐标方程是描述曲线的另一种常见形式。

与参数方程不同，直角坐标方程使用x和y的关系来表示曲线。

我们可以通过消去参数t来将参数方程转换为直角坐标方程，或者通过引入参数t来将直角坐标方程转换为参数方程。

二、对称式参数方程的特点和性质对称式参数方程是一种特殊的参数方程，它具有对称性。

对称式参数方程的特点和性质有以下几个方面。

2.1 对称方程的定义对称式参数方程是指满足对称性质的参数方程。

对称性质可以是关于x轴、y轴、原点或其他轴线的对称。

对称式参数方程可以通过对参数方程进行变换得到。

2.2 对称方程的性质对称式参数方程具有以下性质： - 对称式参数方程关于x轴对称的形式为： -x=f(t)，y=−g(t) - 对称式参数方程关于y轴对称的形式为： - x=−f(t)，y=g(t) - 对称式参数方程关于原点对称的形式为： - x=−f(t)，y=−g(t) -对称式参数方程关于直线y=kx对称的形式为： - x=u(t)−kv(t)1+k2，y=ku(t)+v(t)1+k2，其中u(t)和v(t)是关于t的函数，k是给定的常数2.3 对称方程的应用对称式参数方程在几何学和物理学中具有广泛的应用。

空间直线方程的几种形式

空间直线方程的几种形式在空间解析几何中，直线是一个基本的几何要素。

直线是由两个不同的点所确定的，而其方向则由这两个点所连线的方向所决定。

在空间中，直线的方程有多种形式，本文将介绍其中的几种形式。

一、点向式点向式是指直线上的一点和直线的方向向量所构成的方程形式。

对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的点向式方程为：L: r = P + λv其中，r表示直线上的任意一点，λ为实数。

点向式方程的优点在于通过给定的点和方向向量，可以很容易地确定直线的方程。

同时，由于方向向量的存在，点向式方程也可以很方便地求出直线的参数方程和对称式方程。

二、参数式参数式是指直线上的任意一点可以表示为参数的函数形式。

对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的参数式方程为：x = x0 + tvxy = y0 + tvyz = z0 + tvz其中，t为参数，(x0,y0,z0)为直线上的一点，(vx,vy,vz)为方向向量。

参数式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点的坐标，同时也可以很容易地求出直线的对称式方程和点向式方程。

三、对称式对称式是指直线上的任意一点到直线上某一点的距离等于该点到直线上另一点的距离。

对于一条直线L，其上有两个不同的点P1和P2，则该直线的对称式方程为：(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z - z1)/(z2 - z1)其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为直线上的两个不同的点。

对称式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点到直线上某一点的距离，同时也可以很容易地求出直线的参数式方程和点向式方程。

四、一般式一般式是指直线的方程可以表示为三个平面的交点形式。

对于一条直线L，其方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，(A,B,C)为直线的方向向量的分量，D为常数。

一般式方程的优点在于可以很容易地求出直线与其他平面的交点，同时也可以很方便地求出直线的参数式方程和点向式方程。

对称式和轮换对称式的因式分解

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。

直线一般方程怎么化为对称式方程

直线一般方程怎么化为对称式方程
直线一般方程是指形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B、C为常数，x、y为变量。

这种方程描述的是平面上的一条直线，但是它并不直观，不利于直观理解和计算。

因此，我们需要将它化为对称式方程，以便更好地理解和计算。

对称式方程是指形如(x - x0) / a = (y - y0) / b的方程，其中(x0, y0)为直线上的一点，a、b为常数。

这种方程描述的是以(x0, y0)为中心，a、b为半轴的椭圆的边界，也就是直线的对称轴。

将直线一般方程化为对称式方程，可以更好地描述直线的性质和特点。

下面，我们来介绍一下如何将直线一般方程化为对称式方程。

我们需要确定直线上的一点和直线的斜率。

直线的斜率可以通过一般方程的系数求得，即斜率为-m / n，其中m、n为A、B的系数。

直线上的一点可以通过将x或y设为0，求解另一个变量得到。

接下来，我们需要确定直线的对称轴。

对称轴是直线上的一点关于直线的垂线，因此我们可以通过直线的斜率求得对称轴的斜率，即对称轴的斜率为n / m。

然后，我们可以通过直线上的一点和对称轴的斜率求得对称轴的方程。

我们将直线的一般方程化为对称式方程。

我们可以通过直线上的一点和对称轴的方程求得椭圆的中心坐标(x0, y0)，以及椭圆的半轴长度a、b。

然后，我们就可以将直线的一般方程化为对称式方程了。

将直线一般方程化为对称式方程可以更好地描述直线的性质和特点，有助于我们更好地理解和计算。

通过上述方法，我们可以轻松地将直线一般方程化为对称式方程。

空间中直线表达式

空间中直线表达式在三维空间中，直线是一个基本几何概念。

直线有许多表达方式，有向直线、带方向的直线、两点式、参数方程等，本文将按类别分别介绍空间中直线的不同表示方式。

1. 向量式表示向量式表示直线是为了方便运用向量的性质。

设直线上的任意两点分别为 $A$ 和 $B$，则直线的向量表示可以写成以下形式：$$\vec{r}=\vec{a}+t \vec{u}$$其中 $\vec{a}$ 是一点坐标，$\vec{u}$ 是方向向量，$t$ 为任意实数。

这个表示方式简单明了，易于计算。

2. 对称式表示对称式表示直线是为了方便求直线与平面的交点。

这个表示方式是通过向量面积叉乘的方法得到的。

设直线上的任意一点为 $P$，平面$E$ 中过 $P$ 的垂线交较 $E$ 于 $Q$，则直线的对称式可表示为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上一点的坐标，$l,m,n$ 是平面 $E$ 的法向量的 $x,y,z$ 分量。

这个表示方式方便求出交点坐标，是平面、直线的运用中不可或缺的工具。

3. 参数式表示参数式表示直线是为了方便描述直线上的点。

设直线上的任意一点为$P(t)$，则直线的参数式可表示为：$$\begin{cases}x=x_0+ta\\y=y_0+tb\\z=z_0+tc\end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量，$t$ 为直线上的任意实数。

这个表示方式便于描述过直线上某一点的一条曲线。

4. 对称式、两点式组合表示直线的对称式、两点式组合表示是为了方便求出直线与平面的交点，且同时满足过两点的条件。

设直线上的两点分别为 $A(x_1,y_1,z_1)$ 和$B(x_2,y_2,z_2)$，平面 $E$ 中过 $A$、$B$ 的垂线交 $E$ 于 $C$、$D$ 两点，则直线的组合式可表示为：$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$或者$$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$$其中 $a=x_2-x_1$，$b=y_2-y_1$，$c=z_2-z_1$。

求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）

求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。

轮换对称

k1 ( x3 y3 z3 ) k2 ( x2 y y2 z z 2 x) k3 ( xy 2 yz 2 zx2 ) k4 xyz
轮换对称式因式分解的步骤
a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b)
解：设原式= k (a b)(b c)(c a) 比较等号两边 a2b 项的系数，得 k 1 所以，原式= (a b)(b c)(c a)
x2 y y 2 z z 2 x
2. 关于相同字母的对称式或轮换式的和、差、积、商仍是对称式或轮换式 3. 若对称式或轮换式中含有某种形式的式子，则必含有这种形式的同型式。
常见的关于 x、y、z 的齐次轮换对称式一次二次三次
k (a b c)
k1 ( x2 y2 z 2 ) k2 ( xy yz zx)
【例6】
因式分解： x2 y y 2 z z 2 x xy 2 yz 2 zx2 3xyz
奥巴马老师语录：特殊问题特殊对待，并非每道题都需要用一般方法来解决。
【例 7】（2012 某重点高中预录取）因式分解：
( x a)3 (b c) ( x b)3 (c a) ( x c)3 (a b)
3.
k1 ( x y z ) k2 ( x2 y y2 z z 2 x) k3 ( xy 2 yz 2 zx2 ) k4 xyz
利用待定系数法，反求 k 值
4.
【例1】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因式分解： a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b)
【例2】
因式分解： (a b c)4 (a b)4 (b c)4 (c a)4 a4 b4 c4

直线的一般方程化为对称式方程

直线的一般方程化为对称式方程
直线的一般方程化为对称式方程，可以通过将一般式方程经过一定的变形，得到对称式方程。

一般来说，直线的一般方程形式是Ax+By+C=0，其中A、B、C 是常数。

对于一般式方程，我们可以通过将其变形为对称式方程来更方便的表示直线的性质。

对称式方程是直线方程的一种常见形式，其形式为xcosα+ysinα=p，其中α是直线与x轴的夹角，p是直线到原点的距离。

与一般式方程相比，对称式方程更容易表示出直线的斜率和截距等性质，因此在实际应用中更加方便。

要将一般式方程转化为对称式方程，我们可以通过以下步骤进行。

首先，我们可以将一般式方程中的A除以C，得到一个新的常数k=-A/C。

然后，我们将一般式方程中的x和y分别用x'=x-kC和y'=y-kA替换，得到一个新的方程
Ax'+By'+C'=0。

最后，我们可以将这个新的方程表示为对称式方程的形式
xcosα+ysinα=p，其中α=tan⁡(-k)。

总之，将直线的一般方程化为对称式方程可以更方便地表示直线的性质，同时也可以更加方便地进行实际应用。

轮换对称式

一.定义在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy, 都是对称式.其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。

如是一个二元对称式． (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1例题求方程x+y=xy 的整数解。

分析这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y 交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。

解： ∵ x+y=xy∴ (x-1)(y-1)=1.解之，得 x-1=1,y-1=1;或 x-1=-1, y-1=-1.∴ x=2 y=2或 x=0 y=0关于x 、y 、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y 换成 z , 把z 换成 x ），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x 、y 、z 的轮换对称式.简称轮换式.例如：代数式 a2(b －c)+b2(c －a)+c2(a －b),2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx ）， . 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1、含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例如：轮换式分解因式：y x 11+222()2a b a ab b +=++abc c b a 1111-++111()x y z ++222222222111b a c a c b c b a -++-++-+a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)＝－ (a －b) (b －c) (c －a)例如：轮换式a3(b －c)+b3(c －a)+c3(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项.４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.等也都是对称式.又如：也都是轮换式。

平面的对称式方程

平面的对称式方程对称是数学中重要的一个概念，它可以帮助我们更好地理解平面图形的特征和属性。

在平面几何中，对称轴是使平面图形关于轴线对称的轴线。

对称轴的方程称为平面的对称式方程，下文将分步骤阐述这一方程的性质。

第一步是了解对称轴的坐标。

对称轴通常是一个直线，其在坐标系中可以表示为 y = mx + b 或 x = c 的形式，其中 m、b、c 是常数。

其中， y = mx + b 表示在直线上点的坐标，x = c 表示所有从坐标轴垂直于直线的点的坐标。

接下来，利用对称轴的坐标，我们可以得出平面的对称式方程。

对于一个点 (x, y) 和对称轴 y = mx + b 的情况，点在对称轴上的距离为：d = |y - mx - b| / sqrt(1 + m^2)那么点对称到该直线上的另一个点的距离也应该是 d。

这意味着另一个点的坐标应该是：(x', y') = ((y - b + m * x) / (1 + m^2), (mx + y + b * m) / (1 + m^2))换句话说，这个方程表示了每一个在对称轴上方的点，通过对称轴，可以得到另一个在对称轴下方的点。

第三步是检查方程的适用范围。

平面的对称方程只适用于对称轴为直线的情况。

对于对称轴为任意曲线的情况，我们需要使用不同的方法。

最后，我们可以用平面的对称式方程来解决一系列相关问题。

例如，我们可以使用这个方程求出任意一个点，关于对称轴的对称点，并且在某些情况下，我们可以使用这个方程来解决一些实际问题，比如设计对称的艺术品或建筑。

总之，平面的对称式方程是一个重要的数学工具，它可以帮助我们探索和解决许多几何学问题。

当我们理解了这个方程的基本概念和应用，我们将更有信心处理复杂的几何问题，并且更有可能提出新的创新性方案。

韦达定理对称式求值

韦达定理对称式求值方法
哎，说起韦达定理，那可是代数里头的一个宝贝，尤其在求对称式值的时候，简直是得心应手。

你晓得嘛，韦达定理就是说，一个多项式方程的根，跟方程的系数有莫大的关系。

比如说，一个二次方程ax^2+bx+c= 0的两个根x1和x2，它们的和就是-b/a，它们的积就是c/a。

这个定理，对于高次方程也是适用的，只不过形式稍微复杂点。

当我们要求一个对称式的值，比如x1^3+x2^3+x3^3，而x1,x2,x3又是某个方程的根的时候，直接求根可能很难，但用韦达定理就简单多了。

你只需要先求出x1+x2+x3，x1x2+ x1x3+x2x3，x1x2x3这些值，然后把它们代入到对称式的表达式里头，通过一些代数变形，就能轻松求出结果。

这种方法的好处在于，它避免了直接求方程的根，要知道，有些方程的根可是很难求的。

而韦达定理，就像是一把钥匙，打开了求对称式值的大门。

举个例子，如果x1,x2,x3是方程x^3-3x^2+6x+6=0的解，你想求x1^3+x2^3+x3^3的值，直接解方程肯定很难，但用韦达定理，一下子就能算出来。

所以说，韦达定理在代数里头，真的是个好东西，尤其是求对称式值的时候，更是得心应手，让人不得不佩服。

图案的组织形式

3、重叠式四方连续纹样
重叠式四方连续纹样是两种不同的纹样重叠应用在单位纹样中的一种形式。一般把这两纹样分别称为“浮纹”和“地纹”。应用时要注意以表现浮纹为主，地纹尽量简洁以免层次不明、杂乱无章。
常见的有同形重叠和不同形重叠。
(1)同形重叠
又称影纹重叠，通常是散点与该散点的影子重叠排列，为了取得良好的影子变幻效果，浮纹与地纹的方向和大小可以不完全一致。
分隔得体及整体的平衡感。
角隅纹样
•
概念：角隅纹样是指与角的形状相适合，受到等边或不等
边的角形限制的装饰纹样。它可用于一角、对角或多角装饰上。除
内部纹样要随角形而变外，角尖端外形亦可作变化，广泛用于门窗、
手帕、方巾、桌布、床单、地毯、服装及各种角形器物上。
边饰纹样
•
概念：边饰纹样是指受一定外型的周边所制约的边框纹样。
具有明显的向前推进的运动效果，连绵不断、柔和顺畅。节奏起伏明显，动感较强。
５、水平式
６、一整二破式
中心位置有一个完整形，上下或者左右各有一个半破形。以此组合为单元体排列。
７、折线式
单位纹样之间以折线状转折作连接，直线形成的各种折线边角明显，刚劲有力，跳动活泼。
８、旋转式
９、综合式
(2)不同形重叠
通常是散点与连缀纹的重叠排列。散点作浮纹，形象鲜明生动连缀纹作地纹，形象朦胧迷幻。
四、装饰构图
•
概念：装饰构图又称综合构图，是指按照一定的工艺条件
．功能要求和审美需要，把单独构成适合构成、二方连续构成及四
方莲续构成等方法综合运用到一个完整的构图中，如地毯、台布、
窗帘、陶瓷、家具、建筑装饰等。
丰富的连续效果的纹样。
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对称式与轮换对称式

1.基本概念【定义1】一个n 元代数式f(X 1, X 2,皿 X n )，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i , j (1 <i c j < n )，都有f (X1… Xi … Xj ,HlXn)= f(X1,n] Xj ，血 Xi,工 Xn)那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。

x + y 2 2 2例如，x + y , xy ,—— ,X +y +z , xy + yz+zx 都是对称式。

xy如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式f (X ,y , z)中，若有ax 3项，则必有ay 3, az 3项；若有bx 2y 项，则必有bx 2z ，2 2 2 2by Z, by x , bz x , bz y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母X, y ，z 的二次对称多项式的般形式是:a(x 2 +y 2 +z 2) + b(xy + yz + zx) + c(x + y + z) + d【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ,那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

【定义3】一个n 元代数式f(X i , X 2,口 X n )，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i , j (1<i c j < n )，都有f(X i, 口 X i ,Q, X j, 口 X n )=—f(X 1 胆 X j,JL, X i ,, X n )那么就称这个代数式为 n 元交代式。

例如，X - y,(x-y)( y-z)(z 均是交代式。

X + y【定义4】如果一个n 交代数式f (X ,, X 2 口 X n ) ，如果将字母X i , X 2——，X n 以X 2代竞赛专题对称式与轮换对称式nc Xj, 由定义2知，n 元多项式X 2,D,X n )是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 f(tX i , tX 2,口 tX n )=t r f(X i , X 2口,X n )。

对称式

初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++，（xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+. 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1. 含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ，（x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式，∴z y x 111++＋xy+yz+z ，（zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值（1989年泉州市初二数学双基赛题）分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝－abcb ac 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m 得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1. 已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（）（A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.练习题参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0，原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0，因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。

对称式和轮换对称式的性质及其应用

●数学活动课程讲座●对称式和轮换对称式的性质及其应用祝朝富(四川省威远中学,642450) 收稿日期:2005-08-03 (本讲适合初中)对称式和轮换对称式是特殊的代数式.根据对称的特点,可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质,利用这些性质,可简便地解决有关对称的问题.下面介绍对称式和轮换对称式的基本性质及其在初中数学竞赛中的应用.1　预备知识1.1　对称式如果把一个代数式中的字母对调,所得的代数式和原来的代数式恒等,那么,就说原来的代数式关于这些字母成对称.原来的代数式就是关于这些字母的对称式.1.2　轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列,然后依次把第一个字母换成第二个字母,把第二个字母换成第三个字母,……,把最后一个字母换成第一个字母,我们称这种变换字母的方法叫做轮换.如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等,那么,就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式.1.3　齐次轮换对称式如果轮换对称式中各项的次数相等,那么,就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式.1.4　基本性质不难验证,对称式和轮换对称式具有以下性质:性质1　任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.性质2　对称式的和、差、积、商也是对称式.性质3　轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式.性质4　齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式.性质5　一个m 次对称式乘以一个n 次对称式,其积必为一个m +n 次对称式.2　基本应用2.1　多项式乘法例1　计算(x +y +z )(xy +yz +zx ).分析:因为原式中的两个因式都是关于x 、y 、z 的轮换对称式,由性质5知,其积也是关于x 、y 、z 的轮换对称式,于是,只要把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式,然后,按照轮换对称的规律写出其余各项即可.解:因x (xy +yz +zx )=x 2y +xyz +zx 2,所以,原式=x 2y +xyz +zx 2+y 2z +yzx +xy 2+z 2x +zxy +yz2=x 2y +zx 2+y 2z +xy 2+z 2x +yz 2+3xyz.2.2　因式分解由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解.例2　分解因式:(xy -1)2+(x +y -2)(x +y -2xy ).(1996,天津市初二数学竞赛决赛)分析:这是一个关于x、y的对称式,由性质1知,可以用它的基本对称式x+y和xy来表示.解:设x+y=u,xy=v,则原式=(v-1)2+(u-2)(u-2v)=v2-2v+1+u2-2u-2uv+4v=(u-v)2-2(u-v)+1=(u-v-1)2=(x+y-xy-1)2=(x-1)2(y-1)2.例3　设△ABC的三边长分别为a、b、c,且a-b 1+ab +b-c1+bc+c-a1+ca=0.则△ABC的形状一定是三角形.(1989,武汉市初二数学竞赛)分析:因为已知等式是关于a、b、c的轮换对称式,可考虑先去分母,再通过分解因式来确定a、b、c的关系.解:将原式去分母,并设其为f,得f=(a-b)(1+bc)(1+ca)+(b-c)(1+ab)·(1+ ca)+(c-a)(1+bc)(1+ab)=a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)=0.当a=b时,f=0,由因式定理知f有因式a- b.又f是关于a、b、c的轮换对称式,由性质知,f还有因式b-c和c- a.于是,f有因式g=(a-b)(b-c)(c-a).由于f和g都是三次齐次轮换对称式,故f 和g之间只差一个非零常数因子,即f=k(a-b)(b-c)(c-a)=0.由此可知,a-b、b-c、c-a中至少有一个等于0,即a、b、c中至少有两个相等,则三角形至少有两条边相等.所以,三角形是等腰三角形.2.3　化简求值例4　已知x和y是正整数,且满足条件xy+x+y=71,x2y+xy2=880.求x2+y2的值.(第14届江苏省初中数学竞赛)分析:已知式和所求式都是对称式,可先利用对称式的性质将其化简,再求值.解:设x+y=u,xy=v.由已知等式得u+v=71,uv=880.由韦达定理知u、v是一元二次方程t2-71t+880=0的两个根.解此方程得t=16或t=55.所以,u=16,v=55或u=55,v=16,即　x+y=16,xy=55或x+y=55,xy=16.由第一个方程组得x2-16x+55=0,Δ=62,方程有整数根;由第二个方程组得x2-55x+16=0,Δ=2961,方程无整数根.只有x+y=16,xy=55符合题意.故x2+y2=(x+y)2-2xy=146.例5　已知xyz=1,x+y+z=2,x2+ y2+z2=16.则1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y= .(2003,北京市中学生数学竞赛(初二决赛))分析:这是关于x、y、z的轮换对称式,根据性质1,可用它的基本对称式来表示.解:把x+y+z=2两边平方得x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=4.把x2+y2+z2=16代入得xy+yz+zx=-6.由x+y+z=2,得z=2-x-y.所以,1xy+2z=1xy-2x-2y+4=1(x-2)(y-2).同理,1yz+2x=1(y-2)(z-2),1zx+2y=1(z-2)(x-2).故1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y=1(x-2)(y-2)+1(y-2)(z-2)+1(z-2)(x-2)=z -2+x-2+y-2(x-2)(y-2)(z-2)=x +y+z-6xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8=2-61-2×(-6)+4×2-8=-413.2.4　证明例6　设a、b、c是互不相等的实数.求证:a4(a-b)(a-c)+b4(b-c)(b-a)+c4(c-a)(c-b)>0.(2000,太原市初中数学竞赛)解:设不等式的左边为f,通分得f=-(b-c)a4-(c-a)b4-(a-b)c4 (a-b)(b-c)(c-a).由于分子是一个5次齐次轮换对称式,分母是一个3次齐次轮换对称式,由性质5知,商式是一个2次齐次轮换对称式.故可设f=-(b-c)a4-(c-a)b4-(a-b)c4 (a-b)(b-c)(c-a)=k(a2+b2+c2)+p(ab+bc+ca).取a=0,b=1,c=2,得5k+2p=7;取a=1,b=2,c=3,得14k+11p=25.解得p=1,k=1.故f=(a2+b2+c2)+(ab+bc+ca)=12[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2].由于a、b、c互不相等,所以,f>0.因此,所证不等式成立.例7　设a、b是方程x2-3x+1=0的两个根,c、d是方程x2-4x+2=0的两个根.已知ab+c+d +bc+d+a+cd+a+b+da+b+c=B.求证:a2b+c+d +b2c+d+a+c2d+a+b+d2a+b+c=7B-7.(1991—1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛)证明:由韦达定理得a+b=3,ab=1;c+d=4,cd=2.则a+b+c+d=3+4=7.因为a2+b2=(a+b)2-2ab=7,c2+d2=(c+d)2-2cd=12,所以,a2+b2+c2+d2=19.故a2b+c+d=a2+7a-7ab+c+d=7a-a(7-a)b+c+d=7ab+c+d- a.由于上式是关于a、b、c、d轮换对称的,同理可得b2c+d+a=7bc+d+a-b,c2d+a+b=7cd+a+b-c,d2a+b+c=7da+b+c- d.故a2b+c+d+b2c+d+a+c2d+a+b+d2a+b+c=7ab+c+d+bc+d+a+cd+a+b+da+b+c-(a+b+c+d)=7B-7.注:用同样方法可证a3b+c+d+b3c+d+a +c3d+a+b+d3a+b+c=49B-68.2.5　解对称方程组解对称方程组时,可以通过对称替换把原方程组化简.例8　求方程组x3+x3y3+y3=17,x+xy+y=5的实数解.(1990,浙江省绍兴市初二数学竞赛)解:设x+y=u,xy=v,则原方程组可化为u 3+v 3-3uv =17,u +v =5.①②②3-①得uv =6.③由式②、③得u =2,v =3或u =3,v =2,即　x +y =2,xy =3或x +y =3,xy =2.由韦达定理知,这两方程组中的x 、y 是方程t 2-2t +3=0或t 2-3t +2=0的两个根.第一个方程无实根,解第二个方程得t =1或t =2.故原方程组的实数解是x 1=1,y 1=2;x 2=2,y 2=1.练习题1.已知x +y =3,x 2+y 2-xy =4.则x 4+y 4+x 3y +xy 3的值为.(第13届江苏省初中数学竞赛)(提示:设x +y =u ,xy =v.答案:36.)2.分解因式:a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )-a 3-b 3-c 3-2abc.(提示:当a +b =c 时,原式=0.答案:(a +b -c )(b +c -a )(c +a -b ).)3.化简a21b-1c+b 21c-1a+c 21a-1ba1b-1c +b1c-1a+c1a-1b=.(1989,全国初中数学竞赛吉林省预选赛)(提示:先通分,设商式为k (a +b +c ).答案:a +b +c.)4.不等于0的三个数a 、b 、c 满足1a+1b+1c=1a +b +c.求证:a 、b 、c 中至少有两个互为相反数.(1999,北京市中学生数学邀请赛(初二))(提示:先通分,设f =(ab +bc +ca )(a +b +c )-abc.当a +b =0时,f =0.由此可得(a +b )(b +c )·(c +a )=0.)5.方程组x +xy +y =1,x 2+x 2y 2+y 2=17的实数解(x ,y )=.(1996,东方航空杯———上海市初中数学竞赛)(提示:设x +y =u ,xy =v.答案:x 1=3+172,y 1=3-172;x 2=3-172,y 2=3+172.)全国第六届初等数学研究学术交流会(第一轮)会议通知根据中国初等数学研究工作协调组第九次工作会议和全国第五届初等数学研究学术交流会的建议,全国第六届初等数学研究学术交流会将于2006年8月在湖北宜昌举行,由湖北大学《中学数学》编辑部和宜昌市教研中心联合承办。