第5讲 空间向量及其运算
第八章 第5讲 空间向量及其运算.pptx
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
___a_1_b_1_＋__a_2_b_2＋__a__3b_3_＝__0___
模 夹角
|a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a32
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
6
知识衍化体验
考点聚焦突破
3
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，
b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b_互__相___垂__直___，
22
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)解 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∵A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋A→A1＝a＋b＋c， ∴| A→C 1| ＝ |a ＋ b ＋ c| ＝ （a＋b＋c）2 ＝ |a|2＋|b|2＋|c|2＋2（a·b＋b·c＋c·a） ＝
12
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)解析 O→C＝12A→C＝12(A→B＋A→D)， ∴O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1＝12A→B＋12A→D＋A→A1. 答案 12A→B＋12A→D＋A→A1 (2)解 M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N＝12O→A＋23(O→N－O→A)＝12O→A＋23[12(O→B＋O→C)－O→A]＝ －16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
第5讲 空间向量及其运算
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应 用的基础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面 问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．
3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向 量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或 证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
考点三 空间向量的数量积及其应用 【例3】 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝
90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求 BD的长．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
【训练3】 如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝ AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范
围是 0≤〈a，b〉≤π ，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
3．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 模
夹角
向量表示
a·b a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，
(word完整版)空间向量及其运算知识,文档
厦门一中 2021 级数学竞赛讲座空间向量及其运算1．空间向量的看法：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算相同，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下OB OA AB a b ; BA OA OBa b ; OPa(R)运算律：⑴加法交换律：a b b aD'⑵加法结合律： (a b ) ca (b c)⑶数乘分配律：( a b)abA'a3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，D叫做平行六面体，并记作： ABCD －A BCD 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 A B4. 平面向量共线定理方向相同也许相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 aλ，使 b ＝ λ .要注意其中对向量 a 的非零要求． 5 共线向量若是表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． a 平行于 b 记作 a // b ．当我们说向量 a 、 b 共线〔或 a // b 〕时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同素来线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量 a 、 b 〔 b ≠ 0 〕， a // b 的充要条件是存在实数λ，使＝ λb .推论：若是 l 为经过点A 且平行于非零向量a 的直线，那么对于任意一点 O ，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OAt a ．其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .空间直线的向量参数表示式：C'B'CaOP OA t a 或 OP OA t (OB OA ) (1 t)OAtOB ，中点公式． OP1(OA OB )2ruuur r7．向量与平面平行：平面和向量 a ，作 OAa ，r若是直线 OA 平行于 或在内，那么我们说向量a 平行于平面 r．平时我们把平行于同一平面的向量， ，记作： a // 叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 rrr8．共面向量定理：若是两个向量a,b 不共线，p 与向量rrrr r a,b 共面的充要条件是存在实数x, y 使 pxaybBpPbMaA A 'O1厦门一中 2021 级数学竞赛讲座推论：空间一点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x, y ， 使uuur uuur uuuruuur uuuur uuur uuurMPxMAyMB①或对空间任一点 O ，有 OP OM xMA yMB ②uuuruuuruuuruuuur或 OP xOA yOB zOM ,( x y z 1) ③上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式r9 空间向量根本定理：若是三个向量r r ra, b, c 不共面，那么对空间任向来量 p ，存在一个唯一的有rrrr序实数组 x, y, z ，使 pxayb zcrrrrrr rrr假设三向量 a,b,ca,b , c 叫做基向量， 空间任意 不共面， 我们把 { a,b ,c} 叫做空间的一个基底，三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点，那么对空间任一点 P ，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z ，uuur uuur uuur uuur使 OP xOA yOB zOCr ruuur r uuurr10 空间向量的夹角及其表示：两非零向量a, b ，在空间任取一点O ，作 OAa, OBb ，那么 r rr r ；且规定0 r r，显然有AOB 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 ， 记 作 a,b a,br r r r r rr r 互相垂直，记作： r r a, bb, a ；假设 a,b 2 ，那么称 a 与b a b .uuur ruuurrr11．向量的模：设 OAa ，那么有向线段 OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：| a |.12．向量的数量积：向量r rr rcosr rr rr ra, b ，那么 | a ||b | a, b 叫做 a, b 的数量积，记作a b ，即r rrrr r ．a b| a| |b | cosa, bruuurrl 上与 l 同方向的单位向量，作点A 在 l 上的射影 A ，作点 B向量 ABa 和轴 l ， e 是在 l 上的射影uuuuruuurr. 可以证明uuuur B ，那么 AB 叫做向量 AB 在轴 l上或在 e 上的正射影 AB 的长度uuuur uuur r rr r |AB | | AB | cos a, e | a e |．13．空间向量数量积的性质：rr〔 r r r r r r r 0 r 2 1〕 a e | a | cos a, e ．〔 2〕 a ba b ．〔 3〕 | a | 14．空间向量数量积运算律： rrr r r r〔 r rr r1〕 ( a)b(a b)a (b) ．〔 2〕 ab b a 〔交换律〕． 〔 rrr r r r r3〕 a (bc ) a b a c 〔分配律〕r r a a ．z空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：A(x,y,z)〔1〕假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单r r rk位正交基底，用 { i, j , k} 表示；r r rO j yO 和一个单位正交基底i〔 2〕在空间选定一点{i , j, k} ，以点 O 为原点，r r rx 轴、 y 轴、 z 轴，它x分别以 i , j ,k 的方向为正方向建立三条数轴：r r rO xyz ，点 O 叫原点，向量 们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系i , j, k 都叫坐标 向量．经过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：uuur 在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z) ，使rrO xyz 中的坐标，记作OA xiyj zk ，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系2厦门一中 2021 级数学竞赛讲座A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标．常有坐标系①正方体：以以下图，正方体ABCD A ' B ' C 'D ' 的棱长为 a ，一般选择点 D 为原点， DA 、 DC 、 DD ' 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ，那么各点坐标为亦可选 A 点为原点 . 在长方体中建立空间直角坐标系与之近似 . ②正周围体： 以以下图， 正周围体 A BCD 的棱长为 a ，一般选择 A 在BCD 上的射影为原点， OC 、 OD 〔或 OB 〕、 OA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，那么各点坐标为z D C ''A B ''DC yABxz A③正四棱锥：以以下图，正四棱锥P ABCD 的棱长为 a ，一般选择点 P 在平面 ABCD 的射影为原点， OA 〔或 OC 〕、 OB 〔或 OD 〕、 OP BOD所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，那么各点 zy坐标为PCx④正三棱柱： 以以下图， 正三棱柱 ABC A' B 'C ' 的底面边长为 a ，高为 h ，一般选择 AC 中点为原点， OC 〔或 OA 〕、 OB 、 OE 〔 E 为 O在 A 'C ' 上的射影〕所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，那么各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：r r〔 1〕假设 a (a 1 , a 2 , a 3) ， b (b 1 ,b 2 , b 3 ) ，那么r ra b (a 1b 1, a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) ，rrra b (a 1 b 1, a 2 b 2 , a 3 r b 3 ) ， a ( a 1 , a 2 , a 3 )(R) ，r rra b a 1b 1a 2b 2 a 3b 3 ， a // b a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 (R) ，rra b a 1b 1 a 2b 2 a 3 b 3 0 ．uuur〔 2〕假设 A(x 1, y 1 , z 1) ， B( x 2 , y 2 , z 2 ) ，那么 AB( x 2x 1 , y 2 y 1 , z 2z 1 ) ．DOCx AB yz AECABOC Byx一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标rr4 模长公式：假设a (a 1, a 2 , a 3 ) ，b (b 1, b 2 ,b 3 ) ，r r r a 12a 22a 32 rr r b 12b 22b 32． 那么 | a | a a， | b |b br r r rrab ra 1b 1 a 2 b 2a 3b 35．夹角公式： cos a b2．| a | |b | 2a 3 2222a 1 a 2b 1 b 2b 36．两点间的距离公式：假设 A(x 1, y 1 , z 1) ， B( x 2 , y 2 , z 2 ) ，uuur uuur 2 (x 2 x 1)2y 1 )2 (z 2 z 1)2 ，或 d A, B ( x 2 x 1 )2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2那么|AB| AB( y 2空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 在空间直角坐标系中，由uuurA(x 1, y 1 , z 1) 与 B( x 2 , y 2 , z 2 ) 确定直线 AB 的方向向量是 AB ( x 2x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) .r r的法向量 .平面法向量若是 a ，那么向量 a 叫做平面3厦门一中 2021 级数学竞赛讲座二、证明平行问题r rr ra 1b 1,a 2b 2 ,a 3b 3 (a 1 a 2a3 .1．线线平行：证明两直线平行可用a //b R) 或a//brrrrr r b 1b2rb 32.线面平行：直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，且 lur ，假设an 即 a n 0 那么 a// .uruuruur ur uur// .3.面面平行：平面的法向量为 n ，平面的法向量为 n ，假设n // n 即 nn那么12121 2三、证明垂直问题r r r r1．线线垂直：证明两直线垂直可用a ba b a 1b 1 a 2 b 2 a 3b 3 0r rr rrrr 2．线面垂直： 直线 l 的方向向量为 a ，平面 的法向量为 n ，且 lur，假设 a // n 即 a n 那么 a .uruuruurur uur3.面面垂直：平面 的法向量为 n 1 ，平面的法向量为 n 2 ，假设n 1n 2 即 n 1 n 2 0 那么.四、求夹角rrr r r r r r．线线夹角：设 a (a 1, a 2 ,a 3) b (b 1,b 2,b 3) (0 ,90] 为一面直线所成角， 那么：ab |a| |b| cos a,b ； 1r r r r r rcos r a b ra 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 ； cos | cos | . a,b a,b | a | | b | a 12 a 22a 32b 12 b 22 r b 32PA P．线面夹角： 如图， 为平面 的一条斜线， n 为平面 的一个法向量， 过 作平面 的 2垂线 PO ，连结 OA 那么PAO 为斜线 PA 和平面所成的角，记为易得sin| sin(uuur uuur ) | | cos uuur uuur |2OP, AP OP, APr uuurPr uuurr uuurn| cos | | cos| | n PA |n, APn, PAr uuur .ur uur| n || PA |OθA3． 面面夹角：设 n 1 、 n 2 分别是二面角两个半平面 、 的法向量，αur uurur uur当法向量 n 1 、 n 2 同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为n 1 , n 2 ；uurur uurur当法向量 n 1 、 n 2 一个指向二面角内， 另一外指向二面角外时， 二面角的大小为n 1, n 2.五、距离1．点点距离：设 A( x 1 , y 1, z 1 ) ， B( x 2 , y 2 , z 2 ) ， d A, B(x 2 x 1 )2( y 2 y 1 )2 ( z 2 z 1 )2uuur uuur uuur 2y 1 )2z 1 )2| AB| AB AB (x 2 x 1 ) ( y 2 ( z 2r2．点面距离： A 为平面 任一点， PA 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法向量，过P 作平面 的垂线 PO ，连结 OA 那么 PAO 为斜线 PA 和平面所成的角，记为易得uuur uuuruuuruuur r uuuruuur ruuur r| cos| PA n || PA n || PO | | PA | sin| PA|PA, n ||PA|uuurrr.| PA| | n || n |．线线距离： 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算. 设两条异面直线 a 、b 的3rr公垂线的方向向量为 n , 这时分别在 a 、 b 上任取 A 、 B 两点，那么向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、 b 的距离 .即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线 ruuurr uuur 方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线 a 、 b 的距离 dn | AB n|.| ABr |r| n||n| 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离. 直线到平面的距离可转变成求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行4厦门一中 2021 级数学竞赛讲座平面间的局部叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.5。
高中数学同步教学课件 空间向量及其运算
在 D 中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，
但 a·b 与 a·c 不一定等于零，故 D 错误．
对于 B 项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，
∴|a·b|简： (1)12(a＋2b－3c)＋523a－12b＋23c＝________； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝________． (1)263a－32b＋161c (2)0 [(1)原式＝12a＋b－32c＋130a－52b＋130c ＝263a－32b＋161c． (2)原式＝A→B－A→C－C→D＋B→D＝C→B＋B→D－C→D＝C→D－C→D＝0．]
2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作 0． (2)单位向量：模等于 1 的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相 平行，此 时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常 规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有 向线段通过平移后，都能在 同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？
2．下列命题中正确的是( )
A．(a·b)2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若 a⊥(b－c)，则 a·b＝a·c＝0
B [对于 A 项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，
∴左边≤右边，故 A 错误．
对于 C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．
《空间向量及其运算》课件
向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
空间向量及其运算知识总结
共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些
向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可
能是同一直线，也可能是平行直线． 6． 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在 实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于 任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式
， ，， ，， ． （2）若，，则． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标
4
模长公式：若，， 则，． 5．夹角公式：． 6．两点间的距离公式：若，， 则，或
空间向量应用
一、直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在 空间直角坐标系中，由与确定直线的方向向量是.
当法向量、同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为； 当法向量、一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的 大小为.
五、距离
1．点点距离：设，，
2．点面距离：为平面任一点，已知为平面的一条 斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连 结则为斜线和平面所成的角，记为易得
.
3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量 的正射影性质直接计算.设两条异面直线、的公垂线 的方向向量为, 这时分别在、上任取、两点，则向 量在上的正射影长就是两条异面直线、的距离.即两 异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点 的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.直线、的距离. 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条 直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到 这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点 到平面的距离. 5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做 两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面 间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的 长度叫做两个平行平面间的距离.
空间向量及其运算(共22张PPT)
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
8-5空间向量及其运算课件共83张PPT
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第五节空间向量的运算及其坐标表示
3．空间向量有关运算
(1)坐标运算：设a＝x1，y1，z1 ，b＝x2，y2，z2 ， 则a＋b＝ (x1 x2,y1 y2,z1 z2 ) ； a－b＝ (x1 x2,y1 y2,z1 z2 ) ； λa＝ (x1, y1,z1) ．
(2)数量积运算：a·b＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝ |a||b|cos〈a，b〉．
B．共面 C．共线 D．不共线
②对空间中四点 A，B，C，P，若A→P ＝81 A→B ＋18 A→C ，则 P，A，B，C 四点( )
A．不共面
B．共面 C．共线 D．不共线
பைடு நூலகம்
③对空间中四点 A，B，C，P，若空间任意一点 O 都有O→P ＝43 O→A ＋81 O→B ＋
1 8
O→ C
，则 P，A，B，C 四点(
(2)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共
面，则实数λ等于(
A．672
B．673
) C．674
D．675
【解析】选D.由a，b，c三向量共面，设a＝mb＋nc，
则(2，－1，3)＝m(－1，4，－2)＋n(7，5，λ)，
2＝－m＋7n
即 －1＝4m＋5n ，解得λ＝675 . 3＝－2m＋nλ
＝12
O→ A
＋23
1 (2
O→ B
＋12
O→ C
－21
O→ A
)＝61
O→ A
＋13
O→ B
＋13
O→ C
，
所以x＝16 ，y＝13 ，z＝13 .
答案：16 ，31 ，13
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． ①化简 A1O －12 A→B －21 A→D ＝________． ②用A→B ，A→D ， AA1 表示 OC1 ，则 OC1 ＝________．
空间向量及其运算
3.1向量及其运算1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量，如位移、速度、力等。
向量的大小叫做向量的长度或者向量的模。
模为0的向量叫做零向量，模为1的向量叫做单位向量。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2.向量的加减运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：b a+=+=； b a -=-=； )(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+；⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++；⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(.说明：①引导学生利用图形验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
例1.下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ；(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(6)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．(2)正确．∵AB →＝DC →∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(3)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c .(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向． 故选C.例2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c[答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A.3.向量的数乘运算共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .注意：对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量。
高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第8章 第5讲 空间向量及其运算
第5讲 空间向量及其运算一、知识梳理1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a ＝λb ．(2)共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ,b ,c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a ,b ,在空间中任取一点O ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉．通常规定0≤〈a ,b 〉≤π．若〈a ,b 〉＝π2,则称向量a ,b互相垂直,记作a ⊥b .(2)两向量的数量积两个非零向量a ,b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ,e 〉(其中e 为单位向量); ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0; ③|a |2＝a ·a ＝a 2; ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b ); ②a ·b ＝b ·a (交换律);③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算 (1)设a ＝(a 1,a 2,a 3),b ＝(b 1,b 2,b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1,a 2＋b 2,a 3＋b 3), a －b ＝(a 1－b 1,a 2－b 2,a 3－b 3),λa ＝(λa 1,λa 2,λa 3),a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3, a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0,a ∥b ⇔a 1＝λb 1,a 2＝λb 2,a 3＝λb 3(λ∈R ), cos 〈a ,b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. (2)设A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2),则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:l 是空间一直线,A ,B 是直线l 上任意两点,则称AB →为直线l 的方向向量,与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义:与平面垂直的向量,称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量．②确定:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0n·b ＝0. 5．空间位置关系的向量表示1．向量三点共线定理在平面中A ,B ,C 三点共线的充要条件是:OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1),O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件是:OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1),O 为空间任意一点．二、教材衍化1．如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则BM →＝________(用a ,b ,c 表示)．解析:BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .答案:－12a ＋12b ＋c2．正四面体ABCD 的棱长为2,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,则EF 的长为________． 解析:|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2,所以|EF →|＝2,所以EF 的长为 2. 答案: 23.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,O 是底面正方形ABCD 的中心,M 是D 1D 的中点,N 是A 1B 1的中点,则直线ON ,AM 的位置关系是________．解析:以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设DA ＝2,则A (2,0,0),M (0,0,1),O (1,1,0),N (2,1,2),所以AM →＝(－2,0,1),ON →＝(1,0,2),AM →·ON →＝－2＋0＋2＝0,所以AM ⊥ON .答案:垂直一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ,b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ,由a ·b ＝b ·c ,则a ＝c .( )(4)若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则a ,b ,c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (6)若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√二、易错纠偏复习指导| (1)忽视向量共线与共面的区别; (2)使用数量积公式出错．1．在空间直角坐标系中,已知A (1,2,3),B (－2,－1,6),C (3,2,1),D (4,3,0),则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直解析:选B ．由题意得,AB →＝(－3,－3,3),CD →＝(1,1,－1), 所以AB →＝－3CD →,所以AB →与CD →共线, 又AB 与CD 没有公共点,所以AB ∥CD .2．O 为空间中任意一点,A ,B ,C 三点不共线,且OP →＝34OA →＋18OB →＋t OC →,若P ,A ,B ,C 四点共面,则实数t ＝________．解析:因为P ,A ,B ,C 四点共面,所以34＋18＋t ＝1,所以t ＝18.答案:18考点一 空间向量的线性运算(基础型)复习指导| 了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 核心素养:数学运算、数学抽象1.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则下列向量中与BM →相等的向量是 ( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c解析:选A ．由题意,根据向量运算的几何运算法则,BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2．在空间四边形ABCD 中,若AB →＝(－3,5,2),CD →＝(－7,－1,－4),点E ,F 分别为线段BC ,AD的中点,则EF →的坐标为( )A ．(2,3,3)B ．(－2,－3,－3)C ．(5,－2,1)D ．(－5,2,－1)解析:选B ．因为点E ,F 分别为线段BC ,AD 的中点,O 为坐标原点,所以EF →＝OF →－OE →,OF →＝12(OA →＋OD →),OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →)＝12[(3,－5,－2)＋(－7,－1,－4)]＝12(－4,－6,－6)＝(－2,－3,－3)． 3.在三棱锥O -ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用基向量OA →,OB →,OC →表示(1)MG →;(2)OG →.解:(1)MG →＝MA →＋AG → ＝12OA →＋23AN → ＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.(2)OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC → ＝13OA →＋13OB →＋13OC →.用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．考点二 共线、共面向量定理的应用(基础型)复习指导| 了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．核心素养:数学运算如图所示,已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →,AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 【解】 (1)因为AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →, 所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→,所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →,AA 1→共面．(2)当k ＝0时,点M ,A 重合,点N ,B 重合,MN 在平面ABB 1A 1内,当0＜k ≤1时,MN 不在平面ABB 1A 1内,又由(1)知MN →与AB →,AA 1→共面,所以MN ∥平面ABB 1A 1.三点P ,A ,B 共线空间四点M ,P ,A ,B 共面 P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ,＝OA →＋tAB →对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ,OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ,OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →1．若A (－1,2,3),B (2,1,4),C (m ,n ,1)三点共线,则m ＋n ＝________． 解析:AB →＝(3,－1,1),AC →＝(m ＋1,n －2,－2)． 因为A ,B ,C 三点共线,所以存在实数λ, 使得AC →＝λAB →.即(m ＋1,n －2,－2)＝λ(3,－1,1)＝(3λ,－λ,λ), 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λn －2＝－λ－2＝λ,解得λ＝－2,m ＝－7,n ＝4.所以m ＋n ＝－3. 答案:－32．如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是平行四边形,E ,F ,G 分别是A 1D 1,D 1D ,D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →,AD →,AA 1→表示AG →;(2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解:(1)设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c . 由题图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12AB →＝12a ＋b ＋c＝12AB →＋AD →＋AA 1→. (2)证明:由题图,得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b , EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →,因为EG 与AC 无公共点,所以EG ∥AC ,因为EG ⊄平面AB 1C ,AC ⊂平面AB 1C , 所以EG ∥平面AB 1C . 又因为AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c , FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→,因为FG 与AB 1无公共点,所以FG ∥AB 1,因为FG ⊄平面AB 1C ,AB 1⊂平面AB 1C , 所以FG ∥平面AB 1C ,又因为FG ∩EG ＝G ,FG ,EG ⊂平面EFG , 所以平面EFG ∥平面AB 1C .考点三 空间向量数量积的应用(基础型)复习指导| 掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 核心素养:数学运算如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算:(1)EF →·BA →;(2)EG →·BD →.【解】 设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°,(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ,BA →＝－a ,EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12) ＝12. 【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下,求证EG ⊥AB . 证明:由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a ),所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝⎛⎭⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG →⊥AB →,即EG ⊥AB .【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下,求EG 的长． 解:由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ,|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12,则|EG →|＝22,即EG 的长为22.【迁移探究3】 (变问法)在本例条件下,求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解:由例题知AG →＝12b ＋12c ,CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ,cos 〈AG →,CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23,由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0π2.所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.空间向量数量积的三个应用求夹角 设向量a ,b 所成的角为θ,则cos θ＝a ·b|a ||b |,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离) 运用公式|a |2＝a ·a ,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM ＝2A 1M ,C 1N＝2B 1N .设AB →＝a ,AC →＝b ,AA 1→＝c .(1)试用a ,b ,c 表示向量MN →;(2)若∠BAC ＝90°,∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°,AB ＝AC ＝AA 1＝1,求MN 的长． 解:(1)由题图知MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)由题设条件知,因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5,所以|a ＋b ＋c |＝5,|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53.考点四 利用向量证明平行与垂直(应用型)复习指导| 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)． 核心素养:逻辑推理 角度一 证明平行问题(一题多解)如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ＝2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点．求证:(1)PB ∥平面EFG ; (2)平面EFG ∥平面PBC .【证明】 (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ,且ABCD 为正方形,所以AB ,AP ,AD 两两垂直．以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0)．法一:EF →＝(0,1,0),EG →＝(1,2,－1), 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0n ·EG →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＋2y －z ＝0令z ＝1,则n ＝(1,0,1)为平面EFG 的一个法向量, 因为PB →＝(2,0,－2), 所以PB →·n ＝0,所以n ⊥PB →,因为PB ⊄平面EFG ,所以PB ∥平面EFG .法二:PB →＝(2,0,－2),FE →＝(0,－1,0),FG →＝(1,1,－1)．设PB →＝sFE →＋tFG →, 即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1),所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2t －s ＝0－t ＝－2解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →,又因为FE →与FG →不共线, 所以PB →,FE →与FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ,所以PB ∥平面EFG . (2)因为EF →＝(0,1,0),BC →＝(0,2,0), 所以BC →＝2EF →, 所以BC ∥EF .又因为EF ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , 所以EF ∥平面PBC , 同理可证GF ∥PC , 从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ,EF ⊂平面EFG ,GF ⊂平面EFG , 所以平面EFG ∥平面PBC . 角度二 证明垂直问题如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ＝AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8,PO ＝4,AO ＝3,OD ＝2.(1)证明:AP ⊥BC ;(2)若点M 是线段AP 上一点,且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【证明】 (1)如图所示,以O 为坐标原点,以射线DB 方向为x 轴正方向,射线OD 为y 轴正半轴,射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O(0,0,0),A(0,－3,0),B(4,2,0),C(－4,2,0),P(0,0,4)．于是AP→＝(0,3,4),BC→＝(－8,0,0),所以AP→·BC→＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0,所以AP→⊥BC→,即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5,又AM＝3,且点M在线段AP上,所以AM→＝35AP→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫095125,又BA→＝(－4,－5,0),所以BM→＝BA→＋AM→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4－165125,则AP→·BM→＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4－165125＝0,所以AP→⊥BM→,即AP⊥BM,又根据(1)的结论知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知图形中的垂直关系;②建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系;④根据运算结果解释相关问题．(2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ,m 的方向向量分别为a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2),平面α,β的法向量分别为u ＝(a 3,b 3,c 3),v ＝(a 4,b 4,c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2,b 1＝kb 2,c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3,b 1＝kb 3,c 1＝kc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4,b 3＝kb 4,c 3＝kc 4. ⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.如图所示,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面为平行四边形,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长; (2)求证: AC 1⊥BD .解:(1)记AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°,所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6, 所以|AC 1→|＝6,即AC 1的长为 6. (2)证明:因为AC 1→＝a ＋b ＋c ,BD →＝b －a , 所以AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0.所以AC 1→⊥BD →,所以AC 1⊥BD .[基础题组练]1．已知a ＝(2,1,－3),b ＝(－1,2,3),c ＝(7,6,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析:选B ．由题意知c ＝x a ＋y b ,即(7,6,λ)＝x (2,1,－3)＋y (－1,2,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7x ＋2y ＝6－3x ＋3y ＝λ解得λ＝－9.2．(多选)有下列四个命题,其中不正确的命题有( ) A ．已知A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0,则AB →∥CD →C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ,y ,z ∈R ),则P ,A ,B ,C 四点共面解析:选ACD ．对于A,已知A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0,错误;对于B,若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0,则AB →∥CD →,正确;对于C,分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量,不正确;对于D,对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ,y ,z ∈R ),仅当x ＋y ＋z ＝1时,P ,A ,B ,C 四点共面,故错误．3．在空间四边形ABCD 中,AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析:选B ．如图,令AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c ,则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.4.如图,在大小为45°的二面角A EF D 中,四边形ABFE ,四边形CDEF 都是边长为1的正方形,则B ,D 两点间的距离是( )A ． 3B ． 2C ．1D ．3－ 2解析:选D ．因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →,所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2,所以|BD →|＝3－ 2.5．已知A (1,0,0),B (0,－1,1),O 为坐标原点,OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°,则λ的值为( ) A ．±66 B ．66C ．－66D ．± 6解析:选C ．OA →＋λOB →＝(1,－λ,λ),cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12,得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意,舍去,所以λ＝－66. 6.如图所示,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点．用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→＝________．解析:因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →),所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.答案:12AB →＋12AD →＋AA 1→7.已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是CD ,PC 的中点,并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中,则MN ＝________．解析:连接PD ,因为M ,N 分别为CD ,PC 的中点,所以MN ＝12PD ,又P (0,0,1),D (0,1,0),所以PD ＝02＋(－1)2＋12＝2, 所以MN ＝22. 答案:228.如图所示,已知空间四边形OABC ,OB ＝OC ,且∠AOB ＝∠AOC ＝π3,则cos 〈OA →,BC →〉的值为________．解析:设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,由已知条件得〈a ,b 〉＝〈a ,c 〉＝π3,且|b |＝|c |,OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0, 所以OA →⊥BC →,所以cos 〈OA →,BC →〉＝0. 答案:09.如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面AA 1C 1C 和平面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直,M 为AA 1的中点,N 为BC 1的中点．求证:(1)MN ∥平面A 1B 1C 1; (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ;证明:由题意知,AA 1,AB ,AC 两两垂直,则以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2,则A (0,0,0),A 1(2,0,0),B (0,2,0),B 1(2,2,0),C (0,0,2),C 1(2,0,2),M (1,0,0),N (1,1,1)． (1)因为AA 1⊥A 1B 1,AA 1⊥A 1C 1, 且A 1B 1∩A 1C 1＝A 1, 所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为MN →＝(0,1,1),AA 1→＝(2,0,0), 所以MN →·AA 1→＝0,即MN ⊥AA 1. 因为MN ⊄平面A 1B 1C 1, 故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0),MC 1→＝(1,0,2), 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0n 1·MC →1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＝0x 1＋2z 1＝0令x 1＝2,则n 1＝(2,1,－1)．同理可得n 2＝(0,1,1)． 因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0, 所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .10.如图,在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,P A ＝AB ＝1,BC ＝2.求证:(1)EF ∥平面P AB ; (2)平面P AD ⊥平面PDC .证明:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),P (0,0,1),所以E⎝⎛⎭⎪⎪⎫12112,F⎝⎛⎭⎪⎫0112,EF→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12,PB→＝(1,0,－1),PD→＝(0,2,－1),AP→＝(0,0,1),AD→＝(0,2,0),DC→＝(1,0,0),AB→＝(1,0,0)．(1)因为EF→＝－12AB→,所以EF→∥AB→,即EF∥AB.又AB⊂平面P AB,EF⊂/ 平面P AB,所以EF∥平面P AB.(2)因为AP→·DC→＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0,所以AP→⊥DC→,AD→⊥DC→,即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD＝A,所以DC⊥平面P AD.所以平面P AD⊥平面PDC.[综合题组练]1．已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x,y,z∈R),则“x ＝2,y＝－3,z＝2”是“P,A,B,C四点共面”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:选B．当x＝2,y＝－3,z＝2时,即OP→＝2OA→－3OB→＋2OC→.则AP→－AO→＝2OA→－3(AB→－AO→)＋2(AC→－AO→),即AP→＝－3AB→＋2AC→,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设AP→＝mAB→＋nAC→(m,n∈R),即OP→－OA→＝m(OB→－OA→)＋n(OC→－OA→),即OP→＝(1－m－n)OA→＋mOB→＋nOC→,即x＝1－m－n,y＝m,z＝n,这组数显然不止2,－3,2.故“x＝2,y＝－3,z＝2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件．2.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB＝2,AF＝1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为()A．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23231C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22221D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫24241解析:选C ．设M 点的坐标为(x ,y ,1),因为AC ∩BD ＝O ,所以O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22220,又E (0,0,1),A (2,2,0),所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－221,AM →＝(x －2,y －2,1),因为AM ∥平面BDE ,所以OE →∥AM →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－22y －2＝－22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22y ＝22 所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22221.3．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面边长为1,M 为BC 的中点,C 1N →＝λNC →,且AB 1⊥MN ,则λ的值为________．解析:如图所示,取B 1C 1的中点P ,连接MP ,以MC →,MA →,MP →的方向为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系,因为底面边长为1,侧棱长为2,则A⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0320,B 1(－12,0,2),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200,C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1202,M (0,0,0),设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫120t ,因为C 1N →＝λNC →,所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1221＋λ, 所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－322,MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12021＋λ. 又因为AB 1⊥MN ,所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0,所以λ＝15.答案:154.如图,四面体ABCD 中,E ,F 分别为AB ,DC 上的点,且AE ＝BE ,CF ＝2DF ,设DA →＝a ,DB →＝b ,DC →＝c .(1)以{a,b,c}为基底表示FE→,则FE→＝______;(2)若∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°,且|DA→|＝4,|DB→|＝3,|DC→|＝3,则|FE→|＝______．解析:(1)如图所示,连接DE.因为FE→＝FD→＋DE→,FD→＝－DF→＝－13DC→,DE→＝12(DA→＋DB→),所以FE→＝－13c＋12a＋12b.(2)|FE→|2＝⎝⎛⎭⎫12a＋12b－13c2＝14a2＋14b2＋19c2＋12a·b－13a·c－13b·c＝14×42＋14×32＋19×32＋12×4×3×12－13×4×3×12－13×3×3×12＝274.所以|FE→|＝332.答案:－13c＋12a＋12b3325．在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD＝DC,E,F分别是AB,PB的中点．(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面P AD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB？若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由．解: (1)证明:由题意知,DA,DC,DP两两垂直．如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD＝a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E⎝⎛⎭⎪⎫aa2,P(0,0,a),F⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2a2a2.EF→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a2a2,DC→＝(0,a,0)．因为EF→·DC→＝0,所以EF→⊥DC→,从而得EF⊥CD.(2)存在．理由如下:假设存在满足条件的点G,设G (x ,0,z ),则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2, 若使GF ⊥平面PCB ,则由 FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2·(a ,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0,得x ＝a 2; 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2·(0,－a ,a )＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0,得z ＝0. 所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 200, 故存在满足条件的点G ,且点G 为AD 的中点．6．如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证:BD ⊥AA 1;(2)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由．解:(1)证明:设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1＝2,AO ＝1,∠A 1AO ＝60°,所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3, 所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21,所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ,且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ,A 1O ⊂平面AA 1C 1C ,所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,－1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (－3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3)．由于BD →＝(－23,0,0),AA 1→＝(0,1,3),AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0,所以BD →⊥AA 1→,即BD ⊥AA 1.(2)存在．理由如下:假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,设CP →＝λCC 1→,P (x ,y ,z ),则(x ,y －1,z )＝λ(0,1,3)． 从而有P (0,1＋λ,3λ),BP →＝(－3,1＋λ,3λ)．设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x 2,y 2,z 2),则⎩⎨⎧n ⊥A 1C 1→n ⊥DA 1→ 又A 1C 1→＝(0,2,0),DA 1→＝(3,0,3),则⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝03x 2＋3z 2＝0 取n ＝(1,0,－1),因为BP ∥平面DA 1C 1,则n ⊥BP →,即n ·BP →＝－3－3λ＝0,得λ＝－1,即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C ＝CP .。
空间向量及其运算知识
空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有O P O M x M A y M =++ ② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ .11．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a.12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影. 可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3） 2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体 如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体如图所示，正四面体A BCD -的棱长为a ，一般选择A 在BCD ∆上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥如图所示，正四棱锥P ABCD -的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱 如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为 3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ， 112233a b a b a b a b ⋅=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈ ，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则||a ==，||b == ．5．夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB == ，x y或,A B d =空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z =---.平面法向量 如果a α⊥ ，那么向量a叫做平面α的法向量.二、证明平行问题1．证明线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a aa b b b b ⇔== .2.证明线面平行 直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥ 即0a n ⋅= 则//a α.3.证明面面平行平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.三、证明垂直问题 1．证明线线垂直 证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=2．证明线面垂直 直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ= 则a α⊥.3.证明面面垂直 平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥ 即120n n ⋅=则αβ⊥. 四、夹角1．求线线夹角设123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则： ||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；cos ,||||a b a b a b ⋅<>==⋅；cos |cos ,|a b θ=<> .2．求线面夹角如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<> |cos ,|OP AP =<>|cos ,|n AP =<> |cos ,|n PA =<> ||||||n PA n PA ⋅=. 3．求面面夹角设1n 、2n分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>；当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>.五、距离1．求点点距离设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z，,A B d =||AB == 2．求点面距离如图，A 为平面α任一点，已知PA 为平面α的一条斜线，n为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<> ||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||PA n n ⋅=. 3．求线线距离求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅=. 4．求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.。
空间向量及其运算
空间向量及其运算
空间向量是指在三维空间中的一个有方向的矢量，由一个点和一个方向确定，可以用一个箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
空间向量的运算包括：
1.
加法：两个空间向量可以相加，结果是一个新的空间向量，其大小和方向是由两个空间向量的大小和方向决定的。
2.
减法：两个空间向量可以相减，结果是一个新的空间向量，其大小和方向是由两个空间向量的大小和方向决定的。
3.
乘法：空间向量可以与一个标量相乘，结果是一个新的空间向量，其大小是原空间向量的大小乘以标量，方向不变。
4.
除法：空间向量可以与一个标量相除，结果是一个新的空间向量，其大小是原空间向量的大小除以标量，方向不变。
第05讲 空间向量及其应用 (讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习
第05讲 空间向量及其应用 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析题型一：空间向量的线性运算 题型二：共线、共面向量定理的应用 题型三：空间向量的数量积及其应用角度1：求空间向量的数量积 角度2：利用数量积求长度 角度3：利用数量积求夹角 角度4：利用向量解决平行和垂直问题角度5：向量的投影和投影向量 题型四：利用空间向量证明平行与垂直第四部分：高考真题感悟知识点一：空间向量的有关概念1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．2、几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量1、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．（1）共线向量定理推论：如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+①，若在l 上取AB a =，则①可以化作：OP OA t AB =+（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点O ，空间中三点,,P A B 共线的充要条件是OP OA AB λμ=+，其中1λμ+=2、共面向量定理如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使p xa yb =+（1）空间共面向量的表示如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使AP xAB y AC =+．或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（,,,P A B C 四点共面）的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使OP OA xAB y AC =++，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （2）拓展对于空间任意一点O ，四点,,,P C A B 共面（其中,,C A B 不共线）的充要条件是OP xOC yOA zOB =++（其中1x y z ++=）．3、空间向量基本定理如果向量三个向量,,,a b c 不共面，那么对空间任意向量,p 存在有序实数组{},,,x y z 使得.p xa yb zc =++知识点三：空间向量的数量积1、空间两个向量的夹角（1）定义：如图已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a =，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b 的夹角，记,a b <>.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）（2）范围：[],0,a b π<>∈． 特别地，（1）如果,2a b π<>=，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故a,b 0<>=(或a,b π<>=)//a b ⇔(,a b 为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a 都是共线的，即0a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量,a b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ， (1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<2π， (2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2π时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>. 2、空间向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，则||||cos ,a b a b <>叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅；即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.3、向量a 的投影3.1．如图(1)，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ,||bca ab b =<>向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A '，B '，得到A B ''，向量A B ''称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A B ''的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量a ，b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos ,b a b <>的乘积或等于b 的长度||b 与a 在b 方向上的投影||cos ,a a b <>的乘积.5、数量积的运算：（1）()()a b a b λλ⋅=⋅，R λ∈. （2）a b b a ⋅=⋅(交换律)．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律).知识点四：空间向量的坐标表示及其应用设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，空间向量的坐标运算法则如下表所示：数量积 a b a b a b a b ⋅=112233＋＋共线（平行）(0)a b b ≠()112233a b a b a b R a bλλλλλ=⎧⎪⇔=⇔=∈⎨⎪=⎩垂直 a b ⊥⇔11223300a b a b a b a b ⋅=⇔++=（,a b 均非零向量）模22222||||a a a a a a ===++123，即222||a a a a =++123夹角cos ,a b <>=112233222222123123a b |a ||b |a b a b a b a a a b b b ++⋅=++++1、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta =，即AP t AB =2、平面法向量的概念如图，若直线 l α⊥ ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {|0}P a AP ⋅=．3、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面α的法向量为(,,)n x y z = 选向量：选取两不共线向量,AB AC 列方程组：由00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩列出方程组解方程组：解方程组0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1) 得结论：得到平面的一个法向量.知识点六：空间位置关系的向量表示1、空间中直线、平面的平行设直线1l ,2l 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为n ，m ，则 线线平行12l l ⇔a b ⇔a b λ=(R λ∈)线面平行 1l α⇔a n ⊥⇔0a n ⋅=面面平行αβ⇔n m ⇔n m λ=设直线1l 的方向向量为111(,,)a a b c =，直线2l 的方向向量为222(,,)b a b c =，平面α的法向量111(,,)n x y z =，平面β的法向量为222(,,)m x y z =，则 线线垂直12l l ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120a a b b c c ++=线面垂直1l α⊥⇔a n ⇔a n λ=⇔111111a x b y c zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩面面垂直 αβ⊥⇔n m ⊥⇔0n m ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=1．（2022·全国·高二课时练习）若平面α，β的一个法向量分别为11,,163m ⎛⎫⎪⎝=-⎭-，1,1,32n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则( )A ．αβ∥B ．αβ⊥C ．α与β相交但不垂直D ．αβ∥或α与β重合2．（2022·全国·高二课时练习）设平面α法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,4,)k --，若αβ∥，则k 等于( )A ．2B ．4-C ．4D ．2-3．（2022·全国·高二单元测试）若直线l 的方向向量(2,2,1)a =-，平面α的法向量(6,8,4)u =-，则直线l 与平面α的位置关系是__________________．4．（2022·全国·高二课时练习）已知51,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,,2b x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭分别是直线12,l l 的一个方向向量．若12l l ∥，则( ) A ．153,2x y ==B ．315,24x y ==C ．3,15x y ==D ．153,4x y ==5．（2022·全国·高二课时练习）若(2,3,1)n =-是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0,3,1)-B ．(2,0,1)C ．(2,3,1)--D ．(2,3,1)--题型一：空间向量的线性运算典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，给出下列各式： ①()AB BC +1CC +．②()111AA A D +11D C +．③()1AB DD +11BC +．④()1AD CB +AC +．其中运算结果为向量1AC 的共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设OA a =，OB b =，OC c =，若AN NB =，2BM MC =，则MN =（ ）A ．112263a b c +-B ．112263a b c --+C ．111263a b c --D ．111263a bc -++题型归类练1．（2022·全国·高二期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =，则向量MN 可表示为（ ）A ．12a b c ++B ．1144a b c ++C ．131484a b c --D ．313444a b c +-2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111AC B D F =，若1AF xAB yAD zAA =++，则x y z ++=___________.3．（2022·全国·高二开学考试）如图，在三棱锥P —ABC 中， M 是侧棱PC 的中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x ＋y ＋z 的值为______．题型二：共线、共面向量定理的应用典型例题例题1．（2022·天津·南开中学高一期末）如图，在ABC 中，13AD DC =，P 是线段BD 上一点，若15AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．23C ．2D ．15例题2．（2022·山西太原·高一期中）在ABC 中，点D 在BC 上，且2BD DC =，过D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，记AM AB λ=，AN AC μ=，若23λ=，则μ=（ ） A ．53B ．32C ．43D ．54例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P M ，为空间任意两点，如果有1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必在平面_________内.例题4．（2022·全国·高二课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ） A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面 D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面题型归类练1．（2022·全国·高二）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．（2022·江苏·高二课时练习）A ，B ，C 三点不共线，对空间内任意一点O ，若311488OA OB O OC P →→→→=++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期中）在△ABC 中，点M 是BC 上一点，且3BC BM =，P为AM 上一点，向量(0,0)BP BA BC λμλμ=+>>，则31λμ+的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4题型三：空间向量的数量积及其应用角度1：求空间向量的数量积典型例题例题1．（2022·全国·高二）已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10例题2．（2022·上海长宁·二模）已知OA AB ⊥，若()1,1,0OA =，则OA OB ⋅=_________． 例题3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥P ABC -中，1PB PC ==，90APB APC ∠=∠=︒，60BPC ∠=︒，则AB PC ⋅=（ ）A ．12B 3C ．1D 2例题4．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（ ）A ．12B ．8C ．6D ．4题型归类练1．（2022·广东·高三阶段练习）已知正四面体ABCD 的棱长为1，且2BE EC =，则AE CD ⋅=（ ） A ．16B ．16-C ．13-D ．132．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，,,AP AB AC 两两垂直，2,1,AP AB AC M ===为PC 的中点，则AC BM ⋅的值为（ ）A ．1B ．13C ．14D ．12 3．（2022·全国·高二单元测试）已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，17，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）A ．3-2-4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．7-04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．73--44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．[]-20，4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面α内有两点()1,1,2M -，(),3,3N a ，平面α的一个法向量为()6,3,6n =-，则=a （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 5．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知向量()()2,3,1,1,2,4a b →→=-=-，则a b →→⋅=（ ）A ．0B ．4C ．4-D ．-5 6．（2022·吉林·长春市第二十九中学高二阶段练习）已知()()()1,1,0,0,1,1,1,0,1,,2a b c p a b q a b c ====-=+-，则p q ⋅=________.角度2：利用数量积求长度典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形OABC 中，2OA OB OC ===，2AOC BOC π∠=∠=，π3AOB ∠=，点M ，N 分别在OA ，BC 上，且2OM MA =，BN CN =，则MN =（ ）A 22B 46C 34D 21例题2．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为（ ）A 5B 25C ．1D 5 例题3．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，112AM MC =，点N 为1BB 的中点，则||MN =___________.例题4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______. 题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为（ ）．A ．6B 6C ．3D 32．（2022·河南平顶山·高二期末（理））在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB BC BB ===，11ABB ABC B BC ∠=∠=∠3π=，12AE BD =，则1||B E =（ ）A 33B ．5C ．32D ．33．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间中非零向量a ，b ，且2a =，3b =，,60a b ︒<>=，则23a b -的值为（ ）．A 97B ．97C 61D ．614．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1112,45,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠===，则1AC =（ ）A ．1B 3C ．9D ．35．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））在空间直角坐标系中，已知点A (1,2,1),(4,11,4),(1,1,1)B D ，若点P 满足2AP PB =，则||PD =_______．6．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二期中）若()()2,3,5,3,1,4a b ==-， 则2a b -=__________________4．（2022·全国·高二）设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．角度3：利用数量积求夹角典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()()1,2,3,2,4,6,14a b c ==---=，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为______________.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知()1,0,0A 、()0,1,1B -、()0,0,0O ，OA OB λ+与OB 的夹角为120 ，则实数λ=______．例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =--，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．0B ．2πC ．23πD ．π题型归类练1．（2022·全国·高二）已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30 D ．150︒2．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足113DP DD =，则直线AP 与直线1D B 所成角的余弦值为（ ）A ．230B 230C 30D 303．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系O xyz -中，若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120︒，则λ的值为（ ）A ．1B ．17-C ．1-或17-D ．17或1- 5．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，且3a b ⋅=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6角度4：利用向量解决平行和垂直问题典型例题例题1．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量，且()1,3,5a =，(),,2b x y =，若12l l ∥，则（ ） A ．15x =，35y = B ．3x =，15y = C ．25x =，65y = D ．32x =，152y = 例题2．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量()()1,,3,,2,6m x n y =-=，若//m n ，则x y +的值为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-例题3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量(1,1,2)a k =，(1,0,1)b =--，(0,2,1)c =，且向量2a b -与c 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．2-C ．4-D ．0例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(1,3,2)a =-，(2,,4)b m =--，若//a b ，则实数m 的值是________.若a b ⊥，则实数m 的值是________.题型归类练1．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量()2,1,3a =-，(),2,6b x =-，若a b ∥，则实数x 的值为（ ）A ．2B ．4C ．4-D ．2-2．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知(3,2,1),(2,,0)a b m =--=，若a b ⊥，则m 的值为（ ）A ．3B ．4-C ．3-D ．43．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，2c a b λ=+，若b c ⊥，则实数λ=（ ）A ．－2B ．2C ．1D ．－14．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1-B ．43C ．53D ．755．（2022·全国·高二课时练习）如果(1,5,2)A -，(2,4,2)B ，(,3,2)C a b +三点在同一直线上，那么=a __________，b =__________．角度5：向量的投影和投影向量典型例题例题1．（2022·全国·高二）已知空间三点(1,1,1)A --，(1,2,2)B --，(2,1,1)C ，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.例题2．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知()2,0,1a =，()3,2,5b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是（ ）A ．()153,2,5-B ．()3,1382,5-C ．()152,0,1D ．()1382,0,1 题型归类练1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知()()0,1,1,0,0,1a b ==，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．()1,0,0B ．()0,0,1C ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2．（2022·广东惠州·高二期末）已知()0,1,1a =，()0,1,0b =，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．1 B 2 C ．()0,1,0 D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．（2022·全国·高一）已知,,i j k 为标准正交基底，23a i j k =++，则a 在i 方向上的投影为（ ）A ．1B ．－1C 14D 144．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量(2,1,2)a =-，(1,2,1)b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是（ ）A ．424(,,)333-B ．(2,1,2)-C ．242(,,)333-D ．(1,2,1)-5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量(1,22)(2,11)a b ==-,,,，则向量b 在向量a 上的投影向量为（ ）A ．244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭B ．244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（ ）A ．6-B ．a -C ．32D ．34-b题型四：利用空间向量证明平行与垂直典型例题例题1．（2022·福建莆田·高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD 且22PD =122AB BC AD ===，90BAD ∠=，//BC AD ，点M 为棱PC 的中点．(1)证明：PA DM ⊥；例题2．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图在边长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，1A C 的中点.(1)证明：平面1EAC ⊥平面1DA C ；例题3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）在如图所示的五面体ABCDFE 中，面ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥面ABCD ，//DF AE ，且112DF AE ==，N 为BE 的中点，N 为CD 中点.(1)求证：//FN 平面ABCD ；例题4．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，4PA =，122AB AD BC ===，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =.(1)求证：DE ⊥平面PAC ；题型归类练1．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；2．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．(1)求证：PN ∥面ACC 1A 1；3．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC BB ===，AB BC ⊥，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的一点．(1)证明：BF DE ⊥；4．（2022·江西赣州·高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =，2ADC π∠=，平面PBC ⊥平面ABCD ，且PB PC =，E为BC的中点.(1)证明：平面PAE⊥平面PBD.-中，底面ABCD为正方形，CD⊥5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）已知四棱锥P ABCD平面PAD，PD FD⊥，2==，E、F分别为AP、AB的中点.PD AD(1)求证：DF EC⊥；1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ）A ．平面1B EF ⊥平面1BDDB ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11AC D2．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；3．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱111ABC A B C-中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；。
空间向量及其运算
①如何把已知条件转化为向量表示， 待解决问题需要用到哪些向量？ 可用什么向量知识解决？
②考虑一些未知的向量能否用基向 量表示．
③如何对已经表示出来的向量进行 运算，才能获得需要的结论.
例4、如图所示，已知线段AB在平面α内，线 段AC⊥α，线段BD⊥AB,且与α所成角是30°. 如果AB=a,AC=BD=b,求C.D间的距离.
线 OB, AC ， M , N 分 别 是 对 边 OA, BC 的 中 点，点 G 在线段 MN 上，且 MG 2GN ，用 基底向量 OA,OB,OC 表示向量 OG
新疆 王新敞
奎屯
3.1.3 两个向量的数量积
一、复习引入: 叙述空间向量基本定理.
设O,A,B,C是不共面的四点, 则对空间任一点 P, 都存在唯一的三个有序实数x,y,z, 使
2
2
三、课堂练习: 1.如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别是 AD与BC的中点，求证： EF 1 (AB DC)
2
思考: 如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心. 则用: AB, AC, AD表示AG.
3.1.2空间向量及其运算
一、预习内容： ⑴怎样的向量叫做共线向量？ ⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？ ⑹向量p与不共线向量a、b共面的 充要条件 是什么？ ⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什 么？
练习:
1、已知平行六面体 ABCD ABCD中，
AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 ， BAA DAA 60 ，求 AC的长
教案)空间向量及其运算
空间向量及其运算第一章：空间向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的定义和表示方法解释向量的方向和大小1.2 向量的图形表示绘制向量的起点和终点展示向量的箭头表示法1.3 向量的坐标表示介绍坐标系的概念解释如何用坐标表示向量第二章：空间向量的运算2.1 向量的加法介绍向量加法的定义和性质演示向量加法的图形表示法2.2 向量的减法介绍向量减法的定义和性质演示向量减法的图形表示法2.3 向量的数乘介绍向量数乘的定义和性质解释数乘对向量大小和方向的影响第三章：空间向量的线性组合3.1 线性组合的概念介绍线性组合的定义和表示方法解释线性组合的性质3.2 线性相关的向量组介绍线性相关的定义和判定条件展示线性相关向量组的例子3.3 线性无关的向量组介绍线性无关的定义和判定条件解释线性无关向量组的重要性第四章：空间向量的线性变换4.1 线性变换的概念介绍线性变换的定义和表示方法解释线性变换的性质4.2 矩阵与线性变换介绍矩阵的概念和表示方法解释矩阵与线性变换的关系4.3 线性变换的矩阵表示解释线性变换的矩阵表示方法演示如何求解线性变换的矩阵第五章：空间向量的内积和外积5.1 内积的概念介绍内积的定义和表示方法解释内积的性质和几何意义5.2 内积的计算公式介绍内积的计算公式和推导过程演示如何计算两个向量的内积5.3 外积的概念介绍外积的定义和表示方法解释外积的性质和几何意义5.4 外积的计算公式介绍外积的计算公式和推导过程演示如何计算两个向量的外积第六章：空间向量的投影6.1 投影的概念介绍向量投影的定义和表示方法解释投影的性质和几何意义6.2 投影的计算方法介绍投影的计算方法和推导过程演示如何计算一个向量在另一个向量上的投影6.3 投影的应用解释投影在几何和物理中的应用展示投影在坐标变换和图像处理中的应用第七章：空间向量的正交性7.1 正交性的概念介绍正交性的定义和表示方法解释正交性的几何意义和重要性7.2 正交向量组介绍正交向量组的定义和判定条件展示正交向量组的例子7.3 施密特正交化解释施密特正交化的概念和推导过程演示如何将一组向量正交化第八章：空间向量的范数8.1 范数的概念介绍范数的定义和表示方法解释范数的性质和几何意义8.2 常见范数介绍常见范数的概念和计算方法演示如何计算向量的不同范数8.3 范数与向量空间解释范数与向量空间的关系展示范数对向量空间结构的限制第九章：空间向量的角度和距离9.1 角度的概念介绍向量角度的定义和表示方法解释向量角度的几何意义9.2 角度的计算方法介绍向量角度的计算方法和推导过程演示如何计算两个向量之间的角度9.3 距离的概念介绍向量距离的定义和表示方法解释向量距离的几何意义9.4 距离的计算方法介绍向量距离的计算方法和推导过程演示如何计算两个向量之间的距离第十章：空间向量的应用10.1 向量在几何中的应用解释向量在几何中的作用和应用展示向量在证明几何定理和解决问题中的应用10.2 向量在物理中的应用介绍向量在物理中的基本概念和应用解释向量在力学和电磁学中的应用10.3 向量在工程和计算机科学中的应用介绍向量在工程和计算机科学中的应用展示向量在图像处理、机器学习和数据可视化等方面的应用第十一章：空间向量的分解11.1 向量分解的概念介绍向量分解的定义和表示方法解释向量分解的意义和几何意义11.2 向量的线性组合分解介绍向量的线性组合分解方法和步骤演示如何将一个向量分解为线性组合11.3 向量的正交分解解释向量的正交分解的概念和推导过程演示如何将一个向量正交分解为两个正交向量的和第十二章：空间向量组的极大线性无关组12.1 极大线性无关组的概念介绍极大线性无关组的定义和判定方法解释极大线性无关组的意义和重要性12.2 基底的概念介绍基底的概念和表示方法解释基底的作用和几何意义12.3 基底的选取方法介绍基底的选取方法和策略展示如何选择合适的基底第十三章：空间向量空间和子空间13.1 向量空间的概念介绍向量空间的概念和性质解释向量空间的作用和重要性13.2 子空间的概念介绍子空间的概念和判定方法解释子空间的意义和几何意义13.3 子空间的性质和运算介绍子空间的性质和运算规则演示如何计算子空间的交集和并集第十四章：空间向量的线性映射14.1 线性映射的概念介绍线性映射的定义和表示方法解释线性映射的性质和几何意义14.2 线性映射的矩阵表示解释线性映射的矩阵表示方法和推导过程演示如何求解线性映射的矩阵14.3 线性映射的性质和运算介绍线性映射的性质和运算规则展示线性映射的图像和特点第十五章：空间向量的应用案例分析15.1 向量在几何中的应用案例分析向量在几何中的经典应用案例解释向量在解决几何问题中的作用和方法15.2 向量在物理中的应用案例分析向量在物理中的经典应用案例解释向量在解决物理问题中的作用和方法15.3 向量在工程和计算机科学中的应用案例分析向量在工程和计算机科学中的经典应用案例解释向量在解决工程和计算机科学问题中的作用和方法重点和难点解析1. 向量的概念及其表示方法：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示法、坐标表示法等方法表示。
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第5讲空间向量及其运算一、填空题1．给出下列四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若MP→＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP→＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的序号是________．解析 其中①③为正确命题．答案 ①③2.如图所示，在平行六面体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM→用a ，b ，c 表示为________． 解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .答案 －12a ＋12b ＋c3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值是________．解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－3，μ＝12.答案 2，12或－3，124．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________． 解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值为355.答案 3555.如图，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA→，BC →〉的值为________． 解析 设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA→，BC →〉＝0. 答案 06．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.解析 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a ·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0.两式相减，得46a ·b ＝23|b |2，∴a ·b ＝12|b |2.代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a |＝|b |.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.答案 60°7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为________．解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 216a8．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM →＝2OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA→＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； 解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →，则MA →、MB →、MC →为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案 ③9．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．解析 |a |＝22＋(－1)2＋22＝3，|b |＝22＋22＋12＝3，a·b ＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝49，sin 〈a ，b 〉＝659，S 平行四边形＝|a||b|sin 〈a ，b 〉＝65.答案 6510．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列四个命题：①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 12；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B→的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|A B →·AA 1→·A D →|.其中正确命题的序号是________．解析 设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0.故④也不正确．答案 ①②二、解答题11．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063.12.如图，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求MN 的长．解 (1)设A B →＝p ，A C →＝q ，A D →＝r .由题意可知：|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.M N →＝A N →－AM →＝12(A C →＋A D →)－12A B →＝12(q ＋r －p )，∴M N →·A B →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0.∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD .(2)由(1)可知，MN ＝12(q ＋r －p )．∴|M N →2|＝MN →2＝14(q ＋r －p )2 ＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22. ∴|M N →|＝22a ，∴MN 的长为22a . 13．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＋2μ＋3v ＝0λ＋8μ－3v ＝0. 易知⎩⎨⎧ λ＝－5μ＝1v ＝1是其中一组解，则－5AB→＋AC →＋AD →＝0. ∴A 、B 、C 、D 共面．14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC→； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，(1)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a ) ＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。