2020年最新高考数学--以恒成立或有解为背景的选择填空题(原卷版)

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2020年上海市高考数学试卷【含详答】

2020年上海市高考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 下列等式恒成立的是( )A. a 2+b 2≤2abB. a 2+b 2≥−2abC. a +b ≥2√|ab|D. a 2+b 2≤−2ab2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( )A. { x =1+3t y =−1−4tB. {x =1−4t y =−1+3tC. {x =1−3t y =−1+4tD. {x =1+4ty =1−3t 3. 在棱长为10的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( )A. AA 1B 1BB. BB 1C 1CC. CC 1D 1DD. ABCD4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0，则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 已知集合A ={1,2，4}，集合B ={2,4，5}，则A ∩B = ．6. 计算：lim n→∞ n+13n−1= 7. 已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则|z|= ．8. 已知函数f(x)=x 3，f′(x)是f(x)的反函数，则f′(x)= 。

9. 已知x 、y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0，则z =y −2x 的最大值为10. 已知行列式|1a b 2c d 300|=6，则|a b c d|= 11. 已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ． 12. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则a 1+a 2+⋯+a 9a 10= ．13.从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14.已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限)，若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l 的方程是．15.设a∈R，若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件：(1)对任意的x0∈R，f(x0)的值为x0或x02；(2)关于x的方程f(x)=a无实数解，则a的取值范围是．16.已知a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，b1⃗⃗⃗ ，b2⃗⃗⃗⃗ ，…，b k⃗⃗⃗⃗ (k∈N∗)是平面内两两互不相等的向量，满足|a1⃗⃗⃗⃗ −a2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i⃗⃗⃗ −b j⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i=1，2，j=1，2，…，k)，则k的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．(1)求该圆柱的表面积；(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转π2至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18.已知函数f(x)=sinωx，ω>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．19. 在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v =q x ，x 为道路密度，q 为车辆密度．v =f(x)={100−135⋅(13)x ,0<x <40−k(x −40)+85,40≤x ≤80． (1)若交通流量v >95，求道路密度x 的取值范围；(2)已知道路密度x =80，交通流量v =50，求车辆密度q 的最大值．20. 已知双曲线Γ1:x 24−y 2b =1与圆Γ2:x 2+y 2=4+b 2(b >0)交于点A(x A ,y A )(第一象限)，曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x >|x A |的部分．(1)若x A =√6，求b 的值；(2)当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|=8，求∠F 1PF 2；(3)过点D(0,b 22+2)斜率为−b 2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.已知数列{a n}为有限数列，满足|a1−a2|≤|a1−a3|≤⋯≤|a1−a m|，则称{a n}满足性质P．(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；(3)若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列(m≥4)，{b n}符合b k=a k+1(k=1,2，…，m−1)，{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．2020年上海市高考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 下列等式恒成立的是( )A. a 2+b 2≤2abB. a 2+b 2≥−2abC. a +b ≥2√|ab|D. a 2+b 2≤−2ab【答案】B【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．利用(a +b)2≥0恒成立，可直接得到a 2+b 2≥−2ab 成立，通过举反例可排除ACD ．【解答】解：A.显然当a <0，b >0时，不等式a 2+b 2≤2ab 不成立，故A 错误；B ．∵(a +b)2≥0，∴a 2+b 2+2ab ≥0，∴a 2+b 2≥−2ab ，故B 正确，D 错误； C.显然当a <0，b <0时，不等式a +b ≥2√|ab|不成立，故C 错误；故选：B ．2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( )A. { x =1+3t y =−1−4tB. {x =1−4t y =−1+3tC. {x =1−3t y =−1+4tD. {x =1+4ty =1−3t 【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．【解答】解：{ x =1+3t y =−1−4t的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1−4t y =−1+3t的普通方程为：x−1y+1=−43，即3x +4y +1=0，正确； {x =1−3t y =−1+4t的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1+4t y =1−3t的普通方程为：x−1y−1=−43，即3x +4y −7=0，不正确；故选：B ．3.在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P,Q两点，则Q点所在的平面是()A. AA1B1BB. BB1C1CC. CC1D1DD. ABCD【答案】D【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．【解答】解：如图，由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，可得P在△AA1D内，过P作EF//A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG//CD，交BC于G，则平面EFG//平面A1DC．连接AC，交FG于M，连接EM，∵平面EFG//平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC=A1C，平面A1AC∩平面EFM=EM，∴EM//A1C．在ΔEFM中，过P作PN//EM，且PN∩FM于N，则PN//A1C．∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内．∴点N即为过点P且与A1C平行的直线与正方体的交点，即与点Q重合∴点Q在平面ABCD内故选：D．4.命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f(x+a)<f(x)+f(a)；命题q1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q2:f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，则下列说法正确的是()A. 只有q1是p的充分条件B. 只有q2是p的充分条件C. q1，q2都是p的充分条件D. q1，q2都不是p的充分条件【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．对于命题q1：当a>0时，结合f(x)单调递减，可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a=x0<0时，f(a)=f(x0)=0，结合f(x)单调递增，推出f(x+a)<f(x)，进而f(x+a)<f(x)+f(a)，命题q2都是p的充分条件．【解答】解：对于命题q1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a>0时，此时x+a>x，又因为f(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，当a=x0<0时，此时x+a<x，f(a)=f(x0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x+a)<f(x)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.已知集合A={1,2，4}，集合B={2,4，5}，则A∩B=．【答案】{2,4}【解析】【分析】本题考查交集及其运算，属于基础题．由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为A={1,2，3}，B={2,4，5}，则A∩B={2,4}．故答案为：{2,4}．6.计算：limn→∞ n+13n−1=【答案】13【解析】【分析】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解答】解：，故答案为：13．7.已知复数z=1−2i(i为虚数单位)，则|z|=．【答案】√5【解析】【分析】本题考查复数模的求法，属于基础题．由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z=1−2i，得|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．8. 已知函数f(x)=x 3，f′(x)是f(x)的反函数，则f′(x)= 。

2020年高考数学(理)函数与导数专题14 恒成立及存在性问题(解析版)

函数与导数14 导数及其应用恒成立及存在性问题一、具体目标：1. 导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。

考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述：一）函数的单调性：1.设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则函数y =f (x )为增函数；如果f ' (x )<0，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ' ( x )＝0，则y =f (x )为常函数.【考点讲解】2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f (x )在区间I 上可导，那么0)(>'x f 是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数，但 f '(0)=0，这说明f '(x )>0非必要条件．)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定．4. 讨论可导函数的单调性的步骤：（1）确定)(x f 的定义域；（2）求)(x f '，令0)(='x f ，解方程求分界点；（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断)(x f '在每个开区间内的符号，即可确定)(x f 的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f (x )、g (x )均在[a 、b ]上连续，(a ，b )上可导，那么令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )也在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )上可导，若对任何x ∈(a ，b )有h '(x )>0且 h (a )≥0，则当x ∈(a ，b )时 h (x )>h (a )=0，从而f (x )>g (x )对所有x ∈(a ，b )成立．二）函数的极、最值： 1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x )的极小值． (2)函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f(x)在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b ]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b ]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．三）高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究相关结论：结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>；结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>；结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>；结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>；结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空.1. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为（） A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x-----+=-=-=---- 11122(1)2011x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 【真题分析】当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【答案】C2.【优选题】设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a的取值范围是（） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令()()()21,xg x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ，使得()g t 在直线()h x 的下方.()()21'=+xg x ex ，当12x <-时，函数单调递减，当12x >-，函数单调递增，当12x =-时，函数取得最小值为122e --.当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，(1)0g e =>，直线()h x ax a =-过定点()1,0，斜率为a ，故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--，解得3,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭a e . 【答案】D3.【2019年高考北京】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【答案】(]1,0--∞4.【优选题】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ，若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时，显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故只需Δ>0，即1－8m >0，解得m <18.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18. 【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，18 5.【优选题】若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【解析】由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞. 【答案】 (,0)-∞ 6.【2018年江苏卷】若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()∞+，0内有且只有一个零点，则()x f 在[]11，-上的最大值与最小值的和为________．【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用. 由题意可求得原函数的导函数为()0262=-='ax x x f 解得3,0ax x ==，因为函数在()∞+，0上有且只有一个零点，且有()10=f ，所以有03,03=⎪⎭⎫⎝⎛>a f a，因此有3,0133223==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a ，函数()x f 在[]01，-上单调递增，在[]10，上单调递减，所以有()()10max ==f x f ，()()41min -=-=f x f ，()()3min max -=+x f x f .【答案】–37.【2018年理新课标I 卷】已知函数()x x x f 2sin sin 2+=，则()x f 的最小值是_____________．【解析】本题考点是函数的单调性、最值与三角函数的综合应用. 由题意可()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=+='21cos 1cos 42cos 2cos 42cos 2cos 22x x x x x x x f ，所以当21cos <x 时函数单调减，当21cos >x 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,352ππππ，函数的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππ，所以当()Z k k x ∈-=,32ππ时，函数()x f 取得最小值，此时232sin ,23sin -=-=x x ，所以()23323232min-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f ，故答案是233-. 【答案】233-8.【优选题】已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12x x 、都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 . 【解析】由题意可知()'2af x x x=+≥（x ＞0）恒成立，∴22a x x ≥-恒成立，令()()22211g x x x x =-=--+则()max x g a ≥，∵()22g x x x =-为开口方向向下，对称轴为x =1的抛物线，∴当x =1时，()22g x x x =-取得最大值()11=g ，∴1≥a 即a 的取值范围是[1，+∞）．【答案】[)1,+∞9. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l ]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则332a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则33a =或33a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 10.【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 1,0.f x a x x x ++>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有(),2x f x a ≤ 求a 的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 1,04f x x x x =-++>． 31(12)(211)()42141x x f 'x x x x x+-++=-+=++，所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得204a <≤．当204a <≤时，()2x f x a ≤等价于2212ln 0x x x a a +--≥．令1t a=，则22t ≥．设2()212ln ,22g t tx t x x t =-+-≥，则211()(1)2ln xg t x t x x x+=-+--．（i）当1,7x⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，1122x+≤，则()(22)84212lng t g x x x≥=-+-．记1()4221ln,7p x x x x x=-+-≥，则2212121()11x x x xp'xxx x x x+--+=--=++(1)[1(221)]1(1)(12)x x xx x x x x-++-=++++.故x171(,1)71 (1,)+∞()p'x-0 +()p x1()7p单调递减极小值(1)p单调递增所以，()(1)0p x p≥=．因此，()(22)2()0g t g p x≥=≥．（ii）当211,e7x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12ln(1)()12x x xg t gx x⎛⎫--++=⎪⎪⎝⎭…．令211()2ln(1),,e7q x x x x x⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则ln2()10xq'xx+=+>，故()q x在211,e7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q⎛⎫⎪⎝⎭„．由（i）得，127127(1)07777q p p⎛⎫⎛⎫=-<-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x．因此1()()102q xg t gx x⎛⎫+=->⎪⎪⎝⎭…．由（i）（ii）知对任意21,ex⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，[22,),()0t g t∈+∞…，即对任意21,ex⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf xa„．综上所述，所求a 的取值范围是20,4⎛⎤ ⎥ ⎝⎦．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）20,4⎛⎤⎥ ⎝⎦.1.设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（）A ．)31,0( B ．]45,31( C ．]23,31( D ．]23,45(【解析】当32a =时，3237()322f x x x x =--+，()()20,30f f <<，不符合题意，故排除C ，D.当54a =时，32515()344f x x x x =--+，()()()()10,20,30,40f f f f ><=>，故54a =符合题意.【答案】B2.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e - C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【解析】 ()0(21)xf x e x ax a <⇔-<-，记()(21)xg x e x =-，则题意说明存在唯一的整数0x ，使()g x 的图象在直线y ax a =-下方，'()(21)x g x e x =+，当12x <-时，'()0g x <，当12x >-时，'()0g x >，【模拟考场】因此当12x =-时，()g x 取得极小值也是最小值21()22g e --=-，又(0)1g =-，(1)0g e =>，直线y ax a =-过点（1,0）且斜率为a ，故1(0)1(1)3a g g e a a -->=-⎧⎨-=-≥--⎩，解得312a e ≤<．【答案】D3.若函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围（） A.()1,3- B.()3,1- C.()3,+∞ D.(),1-∞- 【解析】考查函数()2ln xg x a x x a m =+--，则问题转化为曲线()y g x =与直线2y =有两个公共点，则()()ln 2ln 1ln 2x x g x a a x a a a x '=+-=-+，则()00g '=，当01a <<时，ln 0a <，当0x <时，10x a ->，()1ln 0x a a -<，20x <，则()1ln 20x a a x -+<，当0x >，10x a -<，()1ln 0x a a ->，20x >，则()1ln 20x a a x -+>，此时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，同理，当1a >时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，因此函数()2ln xg x a x x a m =+--在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 01g x g m ==-，y =g x ()1-my=2yxO由于函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，结合图象知12m -<，解得13m -<<，故选A. 【答案】A4.设()321252f x x x x =--+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[]1,2x ∈-时()f x m <恒成立，求m 的取值范围【解析】试题分析：（1）由原函数求出导数，通过导数的正负求出相应的单调区间（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题中需求函数()f x 的最大值，可通过导数求解. 试题解析：（1）由()'2320f x x x =--> 得1x >或23x <-，所以函数的单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞ ；单调减区间为2, 13⎛⎫-⎪⎝⎭.（2）根据上一步知函数在区间21, 3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上递增，在区间2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在区间[]1,2上递增，又()211627327f f ⎛⎫-=<= ⎪⎝⎭，所以在区间[]1, 2-上max 7f =要使()f x m <恒成立，只需7m >即可. 【答案】（1）增区间为2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()1,+∞ 单调减区间为2, 13⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）7m > 5.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，242a a x --=或242a a x +-=.当2244(0,)(,)22a a a a x --+-∈+∞U 时，()0f x '<；当2244(,)22a a a a x --+-∈时，()0f x '>. 所以()f x 在2244(0,),(,)22a a a a --+-+∞单调递减，在2244(,)22a a a a --+-单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 6.已知函数()ln 2a xf x x x =++．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x af x x x x +-'=-+=，令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时，即12a >-，方程两根为12481122ax a --+==--+，21+12x a =-+，122x x +=-，122x x a =-，①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞；②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的减区间为()0,112a -++，增区间为()112,a -+++∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+，令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的减区间为()0,112a -++，增区间为()112,a -+++∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．7.已知函数f (x )=x −ln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．【解析】（Ⅰ）函数f （x ）的导函数11()2f x xx '=-，由12()()f x f x ''=得1212111122x x x x -=-，因为12x x ≠，所以121112x x +=．由基本不等式得4121212122x x x x x x =+≥．因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得12112212121()()ln ln ln()2f x f x x x x x x x x x +=-+-=-．设1()ln 2g x x x =-，则1()(4)4g x x x'=-，所以x（0，16）16 （16，+∞）()g x ' − 0 + ()g x2−4ln2所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0，f （n ）–kn –a <1()a n k n n --≤||1()a n k n+-<0，所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点．由f （x ）=kx +a 得ln x x ak x--=．设l (n )x ah xx x --=，则22ln )1)((12xx ag x x x a x h '=--+--+=，其中2(n )l x g x x -=．由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2，故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln 2+a ≤0，所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根．综上，当a ≤3–4ln 2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 8.【优选题】已知函数21()(2)2ln 2f x x a x a x =-++(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为2y x b =+，求2a b +的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设函数()(2)g x a x =-+，若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】本题是函数的综合问题.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()(2)'=-++a f x x a x， ∴1(1)(2)22f a b =-+=+，(1)1(2)22'=-++=f a a ，解得132,2a b ==-，∴210a b +=-．（2）2(2)2(2)()()-++--'==x a x a x x a f x x x，当2a =时，()0(0,)'≥⇒∈+∞f x x ，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞.当02a <<时，由'()0(0,)(2,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞由'()0(,2)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(,2)a .当2a >时，由'()0(0,2)(,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞由'()0(2,)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(2,)a .综上所述：当2a =时，'()0(0,)f x x ≥⇒∈+∞，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，当02a <<时，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞，()f x 的单调减区间为(,2)a 当2a >时，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞，()f x 的单调减区间为(2,)a . （3）若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >，∴212ln 02x a x +>，当[,4]x e ∈时，ln 1x >，∴2122ln x a x>-有解，令212()ln xh x x=-，∴min 2()a h x >.2'22111ln (ln )22()0(ln )(ln )x x x x x x h x x x -⋅-=-=-<，∴()h x 在[,4]e 上单调递减，min 4()(4)ln 2h x h == ∴42ln 2a >得，2ln 2a >．9.【2018山东模拟】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中（Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率.（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围.【解析】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力. （1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时，所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.（2） 12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1 因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

2020年高考理科数学(全国卷Ⅰ真题)——(含答案和解析)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
18.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8. 的展开式中x3y3的系数为（）
A.5B.10
C.15D.20
【答案】C
据此结合目标函数几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
A.0B.1C. D.2

2020年江苏省高考数学填空题考前压轴冲刺——专题02 不等式(恒成立与有解问题)(解析版)

2020年江苏省高考数学填空题考前压轴冲刺专题02 不等式（恒成立与有解问题）2020年江苏高考填空题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .例1.不等式0152>+-ax e x 在R 上恒成立，正整数a 的最大值为___________.【答案】14【解析】法一：（分离参数）不等式0152>+-ax e x 变形为152+<xe ax（1）当0≤x 时，不等式恒成立. （2）当0>x 时，xe a x 152+<令x e x g x 152)(+=，215)1(2)(x e x x g x --='，令15)1(2)(--=x e x x t ，02)(>='x xe x t ，15)1(2)(--=xe x x t 在0>x 单调增.0x ∃，使0)(0=x t ，)3,2(0∈x 设015)1(2)(200=--='x e x x g x 得),0(0x x ∈，0)(<'x g ；),(0+∞∈x x ，0)(>'x g 所以：0x x =时，11515115152)(0000min 0-=+-=+=x x x x e x g x )3,2(0∈x ，即)15,215(115)(0min ∈-=x x g 所以：min )(x g a <时正整数a 的最大值为14.法二：（数形结合）由题意152->ax e x过)15,0(-作x e y 2=的切线，设切点)2,(00x e x ，x e y 2='，切线为)(22000x x e e y x x -=-过)15,0(-，得015)1(2=--xe x . 15)1(2)(000--=x e x x g 在0>x 单调增，0)3()2(<g g ，)3,2(0∈x 所以)15,215(115200∈-==x e a x ，所以：min )(x g a <时正整数a 的最大值为14.例2.0ln 1)1(≤--+x x a 对任意]1,21[∈x 恒成立，则a 的最大值为___________.【答案】2ln 21-【解析】法一：（分离参数）0ln 1)1(≤--+x x a 对任意]1,21[∈x 恒成立得：。

江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题11 不等式之恒成立与有解问题(填空题)(原卷版)

专题11 不等式恒成立与有解问题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.已知函数f （x ）＝x ﹣2（e x ﹣e ﹣x ），则不等式f （x 2﹣2x ）＞0的解集为．2.已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式lnx ≤a （x ﹣2）+b 对一切正实数x 恒成立，则当a +b 取最小值时，b 的值为 ﹣ ．3.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣专项突破一、填空题（共12小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．2.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．3.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．4.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．5.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．7.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．8.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．9.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．10.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣11.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．12.已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是﹣．。

27导数恒成立答案打印

导数应用--恒成立求取值范围1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】【解析】设h (x )=f (x )−2x −c ，则h (x )=2ln x −2x +1−c ，其定义域为(0，+∞)，2()2h x x'=-. （1）当0<x <1时，h '(x )>0；当x >1时，h '(x )<0.所以h (x )在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x =1时，h (x )取得最大值，最大值为h (1)=−1−c .故当且仅当−1−c ≤0，即c ≥−1时，f (x )≤2x +c .所以c 的取值范围为[−1，+∞).（2）()()2(ln ln )()f x f a x a g x x a x a --==--，x ∈(0，a )∪(a ，+∞). 222(ln ln )2(1ln )()()()x a a a a x x x x g x x a x a -+--+'==-- 取c =−1得h (x )=2ln x −2x +2，h (1)=0，则由（1）知，当x ≠1时，h (x )<0，即1−x +ln x <0.故当x ∈(0，a )∪(a ，+∞)时，1ln 0a a x x-+<，从而()0g x '<. 所以()g x 在区间(0，a )，(a ，+∞)单调递减.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】【解析】（1）当a =1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则()f x '=e x +2x –1．故当x ∈（–∞，0）时，()f x '<0；当x ∈（0，+∞）时，()f x '>0．所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）31()12f x x ≥+等价于321(1)e 12x x ax x --++≤.设函数321()(1)e (0)2x g x x ax x x -=-++≥，则32213()(121)e 22x g x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2x x x a x a -=--+++ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----. （i ）若2a +1≤0，即12a ≤-，则当x ∈（0，2）时，()g x '>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a +1<2，即1122a -<<，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，2)时，g'(x )>0.所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增.由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥27e 4-. 所以当27e 142a -≤<时，g (x )≤1. （iii ）若2a +1≥2，即12a ≥，则g (x )≤31(1)e 2x x x -++. 由于27e 10[,)42-∈，故由（ii ）可得31(1)e 2x x x -++≤1. 故当12a ≥时，g (x )≤1. 综上，a 的取值范围是27e [,)4-+∞. 3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，11()e x f x a x-'=-．（1）当e a =时，()e ln 1x f x x =-+，(1)e 1f '=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+．直线(e 1)2y x =-+在x 轴，y 轴上的截距分别为2e 1--，2．因此所求三角形的面积为2e 1-．（2）当01a <<时，(1)ln 1f a a =+<．当1a =时，1()e ln x f x x -=-，11()e x f x x-'=-．当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>．所以当1x =时，()f x 取得最小值，最小值为(1)1f =，从而()1f x ≥．当1a >时，11()e ln ln e ln 1x x f x a x a x --=-+≥-≥．综上，a 的取值范围是[1,)+∞．。

优等生·江苏版高考数学专题26：以恒成立或有解为背景的填空题

优等生�江苏版高考数学专题26：以恒成立或有解为背景的填空题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得()220x yy x e y x ae ----=成立，则实数a 的取值范围为__________.2．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)>f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为________． 3．设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________．4．若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为______5．设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 __________．6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．7．不等式()22a mb b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈，存在R λ∈成立，则实数m 的取值范围为．8．函数()331f x x x =--，若对于区间[]3,2-上的任意12,x x ，都有()()12||f x f x t -≤，则实数t 的最小值是．9．已知变量x ，y 满足约束条件，若恒成立，则实数a 的取值范围为________．10．若关于x 的不等式()()1ln 0ax x ax -+≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围是． 11．若对，不等式恒成立，则正实数的最大值是____________．12．已知函数21(),()()2x f x x g x m ==-，若对12[1,2],[0,2]x x ∀∈-∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是．13．13．13．设，不等式对任意恒成立，求的取值范围．14．已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间1[2]3，上是增函数，则实数a 的取值范围 .15．设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f(x ＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是________．参考答案1．103e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】因为()220x yy x ey x ae ----=，所以()33x y a e y x -=-，令t y x=- ，则3t ta e=3101tta t e '-==∴= 当1t <时310,,a a e ⎛⎫>∈-∞ ⎪⎝⎭' ；当1t ≥时310,0,a a e ⎛⎤≤∈ ⎥⎝⎦' 因此要有两个y ，需310,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 2．()(),24,-∞-⋃+∞【解析】因为()2f x －是偶函数，所以函数f (x )的图象关于2x ＝－对称，由题意知()f x 在()2∞－，－上为增函数，则()f x 在()2∞－，＋上为减函数，所以不等式()()221f sinx f sinx m >－－－恒成立等价于22212s i n x s i n x m <－＋－－＋，即21sinx sinx m <＋－，两边同时平方，得()()2232110sin x m sinx m <－－－－，即()()3110sinx m sinx m <＋－－＋，即310{ 10sinx m sinx m +->-+< 或310{ 10sinx m sinx m +-<-+>，即31{1sinx m sinx m>-<-或31{1sinx m sinx m<->-，即13{ 11m m -<-->或13{ 11m m ->-<-，即2m <－或4m > ，故m 的取值范围为()()24∞⋃∞－，－，＋．即答案为()()24∞⋃∞－，－，＋． 3．【解析】试题分析：由题意得，由得：在上恒成立，等价于＞0且，可解得，则：，令，（＞0）,.故最大值为.考点：1二次函数;基本不等式.4．【解析】原不等式等价于.令，则，因在上是单调减函数，且，故当，，在内是单调增函数；当，当，，在内是单调减函数，所以，所以，解得，填．点睛：不等式有较多的参数，变形化简后就是函数的最值问题，利用导数可以求出函数的单调性从而得到函数的最值，也就得到参数的取值范围．5．【解析】不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如下图所示：因为，所以由得：设目标函数为：，因为，所以其最优解只可能在顶点处取得，所以，要使恒成立，一定有：此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1，宽为的矩形，面积为.所以答案应填: . 6．（-4，2）【解析】试题分析：因为当且仅当时取等号，所以考点：基本不等式求最值 7．[)1,-+∞【解析】试题分析：由题意得22220a ba mb b λλ-+-≥对于任意的a R ∈成立，即()222240b mb bλλ∆=--≤对于任意的b R∈成立，所以存在R λ∈使得2440m λλ-+≤成立，因此2min4 1.4m λλ⎛⎫+≥=- ⎪⎝⎭考点：不等式恒成立问题 8．20 【解析】试题分析：对于区间[]3,2-上的任意12,x x 都有()()12||f x f x t -≤，等价于对于区间[]3,2-上的任意x ，都有()()m a x m i nfx f x t -≤，∵()331f x x x =--，∴()()()2'33311f x x x x =-=-+，∵3[]2x ∈-，，∴函数在[][]3112--，、，上单调递增，在[11]-，上单调递减，∴()()()()()211319max min f x f f f x f ==-==-=-，∴()()20max min f x f x -=，∴20t ≥．考点：利用导数求函数的单调性与最值．【思路点睛】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，对于区间[]3,2-上的任意12,x x 都有()()12||f x f x t -≤，等价于对于区间[]3,2-上的任意x ，都有()()m a x m i nfx f x t -≤，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可求出结果；本题正确求导，确定函数的最值是解题的关键． 9．.【解析】易知a ≤1，不等式表示的平面区域如图所示，设，平面区域内动点，则，当P 是x =a 与x -y =1交点时，PQ 的斜率最大，为当P 是x =a 与x +y =1交点时，的斜率最小，为，由且得0≤a <2，又，所以.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．若约束条件中含参数，可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值 10．【解析】试题分析：令()()()()()1,ln ,f x ax g x x ax M x f x g x =-=+=⋅，令()1110,ax g x a x x x a+='=+==-．（1）当0a =时， ()ln M x x =-，不符合题意；（2）当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒为负，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上恒为正； ()g x 在()0,+∞上单调递增，则需1ln 10g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭,此时a e =，符合题意；（3）当0a <时， ()f x 在()0,+∞恒为负； ()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()g x 在1x a=-处取得极大值也即是最大值， ()11ln 10g x g a a ⎛⎫⎛⎫≤-=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a e ≤-．考点：1、函数与导数的单调性与极值最值问题；2、数形结合与分类讨论的思想；3、划归与转化的思想．【方法点晴】本题是填空题中的压轴题，主要考查了函数与导数、分类讨论的思想．题目的突破口在于对条件()()1ln 0ax x ax -+≥的处理，把它变成两个函数相乘， ()f x 是一次函数， ()g x 是一个可以利用导数作为工具很容易研究清楚的函数，这样转化之后两个函数都变成容易求解的形式．利用导数作为工具，画出两个函数图象之后，结果就显而易见了．对于选择填空题中的函数问题，如果能熟练运用函数图象，数形结合，将会提高你的解题能力． 11．【解析】因为，所以“对，不等式恒成立”转化为：“对，不等式恒成立”，进而转化为“”，于是构造函数，则，令可得x =2，易知f （x ）的最小值为，所以，即.据此可得正实数的最大值是.12．1[,)4+∞ 【解析】试题分析：要满足12()()f x g x ≥，只需满足1min 2min ()()f x g x ≥()[]2,1,2f x x x =∈-时最小值为0，()[]1,0,22xg x m x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭时最小值为14m -，110,44m m ⎡⎫∴≥-∴∈+∞⎪⎢⎣⎭考点：函数及性质点评：本题将不等式成立转化为求函数最值，从而借助于函数性质，如单调性求出其最值，本题中是存在x 值使不等式成立，注意与不等式恒成立的区别13．【解析】试题分析：根据题意有，即，结合题中所给的角的范围，求得的取值范围是．考点：一元二次不等式恒成立的条件，三角不等式的求解． 14．4[,)3+∞. 【解析】试题分析：∵1()20f x x a x '=+-≥在1[,2]3恒成立，即12a x x ≥-+在1[,2]3恒成立， ∵max 18()3x x -+=，∴823a ≥，即43a ≥.考点：1.导数的运用；2.恒成立问题. 15．【解析】试题分析：由当x≥0时，f （x ）=x 2，函数是奇函数，可得当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2，从而f （x ）在R 上是单调递增函数，且满足2f （x ）=f （x ），再根据不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （x ）在[t ，t+2]恒成立，可得x+t≥x 在[t ，t+2]恒成立，即可得出答案．解：当x≥0时，f （x ）=x 2∵函数是奇函数∴当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2 ∴f （x ）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴t+2≤（1+）t解得：t≥，故答案为：[，+∞）．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．。

2020年最新高考数学--以恒成立或有解为背景的选择填空题(解析版)

专题一压轴选择填空题第7关以恒成立或有解为背景的选择填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点．它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查．解决这类问题，主要是运用分离变量法，等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值．【典例解剖】类型一分类讨论求函数最值典例1．（2020·上海普陀区三模）已知0a >，函数()([1,2])af x x x x=-∈的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1MN ≤恒成立，则a 的最大值是______．【答案】6+．【解析】【分析】由,A B 的坐标可以将直线l 的方程找到，通过M 点的坐标可以得到N 的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于a 的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a 的最大值．【详解】∵()([1,2])a f x x x x =-∈，0a >，∴(1,1),(2,2)2aA aB --， ∴直线l 的方程为(1)(1)12a y x a =+-+-，设(,)a M t t t -，∴(,(1)(1)1)2aN t t a +-+-，∵1MN ≤恒成立，∴(1)(1)1()12a a t a t t +-+---≤恒成立，∴23212t t at-+≤， ∵2()32g t t t =-+在[1,2]t ∈时小于等于0恒成立，∴23212t t a t-+-≤，①当1t =或2t =时，01≤显然成立； ②当(1,2)t ∈时，2222323t a t t t t--≤=-++-，∴由基本不等式得6a ≤=，此时t =，∴a的最大值为6+，故答案是：6+．【名师点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目．【举一反三】1．（2020·上海南模中学高三开学考试）若对于任意x R ∈，不等式1234x ax -≤+--≤恒成立，则实数a 的值为______．【答案】1- 【解析】【分析】设()23f x x ax =+--，当1a ≠±时，()f x 无最大值或最小值，不满足题意；当1a =时，可得()f x 解析式，从而得到()f x 最大值和最小值，可知不满足题意；当1a =-时，可得()f x 解析式，从而得到()f x 最大值和最小值，满足恒成立的不等式．【详解】设()23f x x ax =+--，当1a ≠且1a ≠-时，若x →+∞或x →-∞时，()f x 无最大值或最小值，1a ∴≠±不符合题意；当1a =时，()5,22321,235,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩，()min 5f x ∴=-，()max 5f x =，不符合题意；当1a =-时，()1,3232325,321,2x f x x x x x x x x ≤-⎧⎪=+---=+-+=---<<-⎨⎪-≥-⎩，()min 1f x ∴=-，()max 1f x =，满足题意．综上所述：1a =-，故答案为：1-．类型二参变分离求具体函数最值典例2．（2020·上海华师大二附中期中）若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】设2t x y =+则0t >，44t xy +=，t ≥∴2442t xy t ≥=+∴4t ≥，不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立可化为223202t ta a ++-≥恒成立，即232212at a -≥+恒成立，故2322412aa -≤+，∴(]5,3,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【名师指点】本题主要考查不等式恒成立问题，采用参变量分离法，求新函数的范围是关键．【举一反三】（2020江苏丹靖沭10联考）设0a b c >>>，若不等式log 2019log 2019log 2019a b a bccd +≥对于所有满足题设的a ，b ，c 均成立，则实数d 的最大值是__________．【答案】4 【解析】∵log 2019log 2019log 2019a b a b c c d +≥，∴lg 2019lg 2019lg 2019lg lg lg lg lg lg d a b b c a c+≥---，即11lg lg lg lg lg lg d a b b c a c+≥---，又∵算数平均数≥ 调和平均数，即2112a b a b +≥+ 411a b a b⇒+≥+，即1144=lg lg lg lg lg lg +lg lg lg lg a b b c a b b c a c +≥-----，当且仅当11=lg lg lg lg a b b c --即2lg +lg =2lg a c b ac b ⇒=，即a ，b ，c 成等比数列时取等号，故d 的最大值为4，故填4．类型三数形结合求临界点典例3．（2020·上海华师大二附中高三月考）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的最大值是______．【解析】【分析】(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-最小值为14-，根据()()12f x f x +=，从(]0,1x ∈往x 轴负方向每移动一个单位，最小值都是相邻的12倍，同理从(]0,1x ∈往x 轴正方向每移动一个单位，最小值都是相邻区间的2倍，(]1,2x ∈的最值为12-，(]2,3x ∈的最值为1-，∴对任意(],x m ∈-∞，()23f x ≥-时，m 的最大值为(]2,3x ∈图像与直线23y =-左交点的横坐标．【详解】(]0,1x ∈时，()()2111()24f x x x x =-=--，最小值为14-，()()12f x f x +=，(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，()()2111111(1)()22228f x f x x x x ∴=+=+=+-，最小值为18-，同理(]2,1x ∈--最小值为1,16-，(]1,2x ∈的最小值为12-，(]2,3x ∈的最值为1-，∴对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，m 的最大值为(]2,3x ∈图像与直线23y =-，左交点的横坐标．(]2,3x ∈时，2(0,1]x -∈，()()214(2)4(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，令()24(2)(3)3f x x x =--≥-，解得2x <≤3x ≤≤，∴x ≤()23f x ≥-恒成立，即对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m ，故答案为：156．【名师点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征，考查函数的图像，以及一元二次不等式的解法，可借助函数图像直观性找到解题思路，属于难题．【举一反三】1．（2020·上海实验学校期中）已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是___________．【答案】3【解析】∵20x R f x ax bx c ∀∈=++≥，（）恒成立，02a b ＜＜， ∴202 40a bb ac ⎧⎨-≤⎩＜＜＝，得24b ac ≤，又02a b <<，∴24b c a≥， ∴ ()()1 0(1)()f a b c a b c f f c a b c b a++++=----+-＝ 222222444444()44b a b a ab b a ab b a b a a b a ab a ++++++≥==---，设bt a=，由02a b ＜＜得，2t ＞，则()()()22144(1)6(1)9191[16]6630(1)4(1)4(1)4(1)4f t t t t t f f t t t ++-+-+≥==-++≥⨯+=-----（），当且仅当911t t ＝-- 时取等号，此时4t ，= ()()()101f f f --取最小值是3，故答案为3．【精选名校模拟】1．（2020·上海曹杨二中高三期中）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()1,0,a λλ=>且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，则20191+λμ的最小值（） A． B ．4CD．【答案】B 【解析】【分析】先将20192019220192019S a -化简成2018201922019S a +的形式，再分奇偶不同的情况，用并项求和法求出2018S 的值，和累加法求出2019a 的值，代入201920192101020192019S a μ-=-即可将μ用λ表示出来，最后化简20191+λμ得()222001919λλ-，根据基本不等式或二次函数的最值，求出20191+λμ的最小值是4 【详解】由21(1)n n n a a n ++=-得，2121a a +=-，2343a a +=-，2565a a +=-，…，2201720182017a a +=-， ()22222018122018...135...2017S a a a ∴=+++=-++++，由奇数平方和公式()()22222411+3+5+...+213k k k --=得()()2222220181009410091135 (20173)S ⨯⨯-=-++++=-．当n 为奇数时，21n n a a n ++=-，()2121n n a a n +++=+，两式作差得，()2221n n a a n n +-=++ 则122201207920172018a a +-=，122201205720152016a a +-=，122201203520132014a a +-=，…，231212a a +-=，累加得，22222017201520132019201720152019311+123...2018a a a a a a a a a a -==--+-+-++++，由自然数平方和公式()()2222121123 (6)k k k k ++++++=得，()()222212019201820181220181123 (20186)a a λ⨯+⨯⨯+=+++++=+则()201820192019201920192019201920182019222220192019201920192019S a a S a S a S a -==+--+=()()()21009410091201892100920112018122013920186λλ⎡⎤⨯⨯-=⨯+⨯⨯++⨯=+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦又201920192101020192019S a μ-=-，20192019λμ-∴=，()22019120192019++201920192019λλλμλλ∴=--=， 0λ>，根据基本不等式，()()2220192420192019λλλλ∴+-⎡⎤≤=⎢⎣-⎥⎦，当且仅当2019λλ=-，即2019=2λ时，()2201199420λλ-=，()22242012019120192019+=201994λλμλ≥-∴=，即20191+λμ的最小值是4，故选B ． 2．（2020·上海闵行区期末）若实数,x y 满足方程228x y +=，则|2||6||6|x y x y x y +-++++--的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．24【答案】C 【解析】【分析】令x y t +=22，可得44t -．化简原式12|2|t =++，即可得答案．【详解】令t x y =+，则4sin [4,4]4t πθθθ⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，于是|2|[0,6]t -∈，60t +>，60t ->，从而|2||6||6||2||6||6||2|12[12,18]x y x y x y t t t t +-++++--=-+++-=++∈，故选C ． 3．（2020·上海普陀区一模）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为（） A ．76B．4-C．5-D．6-【答案】B 【解析】【分析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b b a b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0b t a=>，21()121t g t t t =+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得．【详解】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b，则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+．令0b t a =>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++22214231t t t t ++=++21231tt t =+++11312t t=+++．∵12333t t ++≥=+12t t =即t =时取最小值，1141213tt∴+≤+=-++()max4g t g==-⎝⎭B．4．（2020·上海交大附中高三）已知2(3)f x x x=+，若1x a-≤，则下列不等式一定成立的是（）A．33()()f x f a a-≤+B．24()()f x f a a-≤+C．()()5f x f a a-≤+D．2|()()2|(1)f x f a a-≤+【答案】B【解析】令a=0，则1x≤，即-1≤x≤1，()()()()()0?f x f a f x f f x-=-=≤4，此时A，C，D不成立，下面证明选项B成立：()()2233f x f a x x a a-=+--=()()3x a x a-++≤()()3x a x a-++≤()3x a++= 23x a a-++≤23x a a-++≤24a+，故选B．5．（2020·上海普陀区11月调研）已知等差数列{}n a（公差不为零）和等差数列{}n b，如果关于x的实系数方程21291299()0x a a a x b b b-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下九个方程20i ix a x b-+=（1,2,3,,9i=⋅⋅⋅）中，无实数解的方程最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】【分析】设等差数列{}n a的公差为1d不为零，等差数列{}n b的公差为2d，运用求和公式，化简可得，2554a b≥，设方程211x a x b-+=与方程299x a x b-+=的判别式分别为1∆和9∆，利用等差数列的性质可得190∆+∆≥，从而判断方程实数解的情况；同理可得剩余方程实数解的情况．【详解】设等差数列{}n a的公差为1d不为零，等差数列{}n b的公差为2d，因为关于x的实系数方程21291299()0x a a a x b b b-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，所以()()2129129490a a ab b b∆=++⋅⋅⋅+-⨯++⋅⋅⋅+≥，即()()21919993622a a b b ++⎡⎤⎡⎤≥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得2554a b ≥，所以第五个方程有解．设方程2110x a x b -+=与方程2990x a x b -+=的判别式分别为1∆和9∆，则()()()()21922191199194442a a ab a b b b +∆+∆=-+-≥-+()()2525552422402a b a b =-⨯=-≥，所以10∆<和90∆<至多一个成立，同理可知，20∆<和80∆<至多一个成立，30∆<和70∆<至多一个成立，40∆<和60∆<至多一个成立，所以在所给的9个方程中无实数解的方程最多4个，故选B ．6．（2020·上海七宝中学月考）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（）个 A ．17个 B ．64个C ．81个D ．72个【答案】D【解析】由9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩得98a bx ≤<，不妨设1n =，故a 可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种可能，b 可取9,10,11,12,13,14,15,16共8种可能，可以满足整数解有1个，为1．所以有序数对(),a b 共有9872⨯=个，故选D ．7．（2020·广西南宁三中期末）已知0a >时，对任意0x >，有2()()0x a x bx a -+-≥恒成立，则ab的取值范围是_________________．【答案】()(),10,-∞-+∞【解析】【分析】根据条件的x a =为方程20x bx a +-=的根，化简ab为一元函数，再求取值范围．【详解】∵对任意0x >，有()()20x a x bx a -+-≥恒成立，∴x a =为方程20x bx a +-=的根，即210,10,1,111a a a ba a a b b a b a a+-=+-==-==-+--， ∵0a >，∴111,11a a -<∴>-或101a <-，即1a b <-或0a b >． 8．（2020·上海华师大二附中月考）对任意x 和[0,]2πθ∈，恒有221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≤72a ≥【解析】【分析】利用()()2222a ba b +≥-的形式进行放缩，最终化简为1322sin cos a sin cos θθθθ+-≤+或1322sin cos a sin cos θθθθ++≥+，利用函数单调性，基本不等式即可求得最值【详解】先给出公式：()()2222a ba b +≥-，证明如下，()()()()22222222222222=+20a b a b a b a b ab a b ab a b +--=+-+-+=+≥，即()()2222a b a b -+≥，则原式221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥可变形为 []22211(32sin cos )(sin cos )(32sin cos )(sin cos )28x x a a x x a a θθθθθθθθ⎡⎤+++++≥++-++≥⎣⎦，即[]21(32sin cos )(sin cos )4x x a a θθθθ++-++≥，[]2132sin cos (sin cos )4a θθθθ+-+≥，()1322sin cos a sin cos θθθθ∴+-+≥或()1322sin cos a sin cos θθθθ+-+≤-，[0,]2πθ∈①，1sin cos θθ⎡+∈⎣，由①得1322sin cos a sin cos θθθθ+-≤+②或1322sin cos a sin cos θθθθ++≥+③()1332123222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ+-++==++≥+++，当且仅当sin cos θθ+=1322sin cos sin cos θθθθ+-+，a ≤()132522sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++=++++，显然当()512x ,f x x x⎡∈=+⎣为减函数（由对勾函数性质可得），()()5711122maxx,f x f⎡∈==+=⎣，由此可得132722sin cossin cosθθθθ++≤+，即72a≥，综上所述：a≤或72a≥．9．（2020·上海中学月考）若对任意x A∈，(,)y B A R B R∈⊆⊆有唯一确定的(,)f x y与之对应，则称(,)f x y为关于x，y的二元函数，现定义满足下列性质的(,)f x y为关于实数x，y的广义“距离”．（1）非负性：(,)0f x y≥，当且仅当x y=时取等号；（2）对称性：(,)(,)f x y f y x=；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y≤+对任意的实数z均成立．给出三个二元函数：①(,)f x y x y=-；②2(,)()f x y x y=-；③(,)f x y则所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号为__________．【答案】①【解析】对于①，由于(,)0f x y x y=-≥，故满足非负性；又(,)(,)f x y x y y x f y x=-=-=，故满足对称性；另外(,)()()(,)(,)f x y x y x z z y x z z y f x z f z y=-=-+-≤-+-=+，故满足三角形不等式．∴①能够成为关于x，y的广义“距离”．对于②，不妨设2x y-=，则有122x y x yx y++-=-=，此时有2()4x y-=，而22122x y x yx y++⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故(,)(,)(,)f x y f x z f z y≤+不成立，∴不满足三角形不等式，故②不能成为关于x，y的广义“距离”．对于③，由于0x y->时，(,)f y x=x，y的广义“距离”．综上①符合题意．答案：①．10．（2020·上海曹杨二中高三期中）已知实数,a b满足：2224b a-=，则2a b-的最小值为______．【答案】2【解析】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点(),a b到直线20a b-=”问题，若相切，则()22224b b z-+=有唯一解，222440b zb z +++=，()2221684042z z z z =-+=⇒=⇒=，两平行线20a b -=与20a b z --=的距离d ==22a b -==．方法二：柯西不等式法补充知识：二元柯西不等式已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bx y ax by ++≥+，()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy ++≥+⇔+++≥++()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by --≤-，()()()222222222222222222ab x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy --≤-⇔--+≤+-()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥∴()()()22242212b aa b =--≤-，∴22a b -≥．方法三：判别式法设22a b t a b t -=⇒=+，将其代入2224b a -=，下面仿照方法一即可．方法四：整体换元0a ->0a +>，设x ay a ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，则()40,0xy x y =>>，且22222y x a y x a b b -⎧=⎪-⎪⇒-==≥=⎨⎪=⎪⎩．方法五：三角换元由对称性，不妨设2tan b a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为锐角），∴cos 22tan 22cos a b θθθθ-=-==≥=，∴2a b -的最小值为2．11．（2020·上海行知中学高三月考）若关于x 的不等式|2|1x a x -+>在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 【答案】2a >【解析】由题得|2x -a |>-x +1，当1＜x ≤2时，-x +1<0，∴不等式|21x a x -+恒成立；当0≤x ≤1时，-x +1≥0，∴2x -a ＞-x+1或2x -a ＜x -1，∴a ＜3x -1或a ＞x +1在[0，1]上恒成立， ∴a <-1或a >2，∵a >0，综合得a >2，故答案为a >2．12．（2020·上海浦东新区期末）已知函数()2-,24161,22x a x x x f x x ⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，若对任意的)12,x ⎡∈+∞⎣，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()12f x f x =，则实数a 的取值范围为______________．【答案】[)2,6- 【解析】【分析】由题意可得()f x 在2x ≥的范围包含在2x <的范围内，先运用基本不等式求得()f x 在2x ≥的范围，再讨论2,2a a <≥，结合函数的单调性可得()f x 的范围，解a 的不等式可得所求范围．【详解】当)12,x ⎡∈+∞⎣时，12111110,16164164x x x x ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦+，当()2,2x ∈-∞时，若2a 时，||11()22x a a xf x --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,2)-∞上是单调递增函数，所以()221(0,2)a f x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()()12f x f x =则2110,](0),162a -⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭（，所以241112162a -⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 24,6a a ∴-<<，又2a ，所以[2,6)a ∈．若2a <时，则1,21()21,22a xx ax a x a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(,)a -∞上是单调递增函数，此时()(0,1)f x ∈，()f x 在[,2)a 上是单调递减函数，此时21()(,1]2af x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()()12f x f x = 则211162a-⎛⎫⎪⎝⎭，2,a ∴-又2a <，所以[2,2)a ∈-，综上，[2,6)a ∈-，故答案为[)2,6-．13．（2020·上海复兴中学月考）已知221log 2()220xx f x x xx ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩，若1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，且方程2[()]()0f x af xb -+=有5的取值范围为________ 【答案】【解析】【分析】设()t f x =，作出函数()y f x =的图象，由方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有5个不同根转化为二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，并构造函数()2g t t at b =-+，转化为二次函数的零点分布，得出()()0010g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，结合1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，可作出关于a 、b 视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，结合图象可得出答案．【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：设()t f x =，则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有5个不同根转化二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，构造函数()2g t t at b =-+，可得不等式()()0010g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即010b a b <⎧⎨-+>⎩，结合1111ab -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，作出图形如下图所示，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域为边长为2的正方形ABCD ，不等式组101111b a b a b <⎧⎪-+>⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩表示的区域为下图中的阴影部分（不包括a 轴）视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，当点(),a b 与点()1,0E==的取值范围是0,5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，故答案为：0,5⎡⎢⎣⎭．14．（2020·上海建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【解析】【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围．【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤，故答案为：21(0,]2019．15．（2020·上海长宁嘉定一模）已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素【答案】3 【解析】【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素，故答案为3．。

2020年高考数学专题+二++第二关++以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题

2020年高考数学专题二压轴填空题第二关以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一可转化为二次函数的恒成立问题典例1．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C. D ．【答案】A【解析】当时，在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立，故选A. 【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号f 去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理．【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,1-【解析】设t a x =-||,则t a x ±=,2222t at a x +±=,故原不等式转化为)0(0222≥≥±+t at t t ,即022≥±+a t ,所以022≤-≥±t a ,即11≤≤-a .故应填答R ()f x 0x ≥()3f x x =()()242f t f m mt ->+tm (,-∞()()),0-∞⋃+∞(),-∞⋃+∞0x <()33()()()()f x f x x f x x x R f x =--=⇒=∈⇒R 242t m mt ⇒->+t 2442t mt t m ⇒->++t 201680m m m <⎧⇒⇒∈⎨∆-<⎩(,-∞案[]1,1-.类型二利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式()()21112x n x ax ax++<+在()0+∞，上恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题可设()()()21112f x x n x ax ax =++--则问题转化为()0f x <在()0+∞，上恒成立，则'12211f x ln x ax a x =+--+>-（）（），（ⅰ）当0a ≤时'11210f x ln x a x =++-+，（）（）（）＞，则()f x 在()0+∞，上单调递增，所以00f x f =（）＞（）在()0+∞，上恒成立，与已知不符，故0a ≤不符合题意．（ⅱ）当0a ＞时，令()1''21x f x x a x ϕϕ=-+（）（），＝，且()1011x ∈+，， 21a ≥，即12a ≥时， ()1'201x a x ϕ-<+＝，于是x ϕ（）在0x ∈+∞（，）上单调递减，所以0120x a ϕϕ=-≤（）＜（），即'0f x （）＜在0x ∈+∞（，）上成立．则()f x 在0x ∈+∞（，）上单调递减，故00f x f =（）＜（）在()0+∞，上成立，符合题意．021a ＜＜，即102a ＜＜时，()12121110'2211a x a x a a x x ϕ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--++＞，＝＝，若1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，则'0x x ϕϕ（）＞，（）在1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增；若在112x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭，，则'0x x ϕϕ（）＜，（）在112x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，又0120a ϕ=-（）＞，则0x ϕ（）＞在1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上成立，即'0f x （）＞在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()f x 在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，则00f x f =（）＞（）在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上恒成立．与已知不符，故102a ＜＜不符合题意．综上所述， a 的取值范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.即答案为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【名师指点】()()f x g x ≤恒成立等价与()()0f x g x -≤恒成立，记()()()G x f x g x =-，则max ()0G x ≤，本题中由于()G x 有参数，需要分类讨论，利用导数求最值．【举一反三】设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】令，则（ⅰ）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（ⅱ）若方程的正根为此时，若则，故在该区间为减函数．所以，时，即与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．类型三利用参变分离求恒成立问题典例 2 【河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试数学】已知函数()331f x ax x =-+对(]0,1x ∈总有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________．()xxf x e e-=-0x ≥()f x ax ≥a (],2-∞g x f x ax =-（）（）''x x g x f x a e e a -=-=+-（）（），2a ≤0x ＞'20x xg x e e a a -=+--≥（）＞，g x （）0+∞（，）0x ≥00g x g ≥=（）（），f x ax ≥（）．2a ＞，'0g x =（）12lna x +=10x x ∈（，），'0g x （）＜g x （）10x x ∈（，）00g x g =（）＜（），f x ax （）＜，f x ax ≥（）a (],2-∞【答案】[4，＋∞)【解析】当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a≥331x x -，设g(x)＝331x x-，x ∈(0,1]，g′(x)＝()32641633132x x x x x x⎛⎫- ⎪--⎝⎭=-，因此g(x)的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．故答案为[4，＋∞)【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“()()g a h x >”形式，则只要求出()h x 的最大值M ，然后解()g a M >即可．【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数x x e x f 1)(22+=，x e x e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围为 . 【答案】[)1,+∞【解析】对于函数()f x ,当0x >时, 22211()2e x f x e x e x x +==+≥=,所以当2(0,)x ∈+∞,函数()f x 有最小值2e ；对于函数2()x e x g x e =,2(1)'()xe x g x e -=,当01,'()0x g x <<>；当1,'()0x g x ><,所以当1x =时,函数()g x 有最大值(1)g e =.又不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，0k >,所以21e e k k ≤+,所以1k ≥. 类型四利用图像法求恒成立问题典例 3 【2018江西南昌摸底】已知函数()21,0,()={3,0l n x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】3⎡⎤--⎣⎦【解析】不等式即： ()2mx f x ≤+恒成立，作出函数()2y f x =+的图象，则正比例函数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方，考查函数： 232y x x =+﹣经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为3k =--，由此可得：实数m 的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦，故答案为3⎡⎤--⎣⎦．【名师指点】()()f x g x ≤等价于在公共定义域区间内，函数()y f x =的图像落在()y g x =的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围．【举一反三】已知函数()f x =,若||≥,则的取值范围是__________. 【答案】[2,0]-. 【解析】试题分析：当0x >时，由|()|f x ax ≥，得|()|0f x ax -≥，即|ln(1)|0x ax +-≥，因为当0x >时，ln(1)0x +>，所以ln(1)0x ax +-≥，令ln(1)y x ax =+-，要使ln(1)0x ax +-≥，(0)x >成立，0a ≤；当0x =时，恒成立；当0x <时，由|()|f x ax ≥，得|()|f x a x≤，即2|2|x x a x -+≤，化简得|2|x a --≤，而|2|x --最大为2-，故2a ≥-，综上可得20a -≤≤. 【精选名校模拟】1．已知函数()()221f x ax a x =-+， ()1xg x e x =--，若对于任意的()10,x ∈+∞，2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由1xg x e x =--（），则'1xg x e =-（），令'0g x （）＞，解得0x ＞；令'0g x （）＜，解得0x ＜． ()g x ∴在0-∞（，）是减函数，在0+∞（，）是增函数，即min 00g x g==（）（）．对于任意的()10,x ∈+∞， 2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则有10f x g ≤（）（）即可．即不等式0f x ≤（）对于任意的0x ∈+∞（，）恒成立， ()'221f x ax a =-+（），当0a =时， '10f x =-<（）， f x ∴（）在0+∞（，）是减函数， 00max f x f ∴==（）（）， 0a ∴= 符合题意．当0a ＜时， ()'221f x ax a =-+（），，令'0f x （）＞，解得212a x a +> ；令'0f x （）＜，解得212a x a+<．当2102a a +< 即12a <-时， f x （）在0+∞（，）是减函数， 00max f x f ∴==（）（）， 0a ∴= （舍去）．当2102a a +≥ 即102a -≤<时， f x （）在2102a a +（，）是增函数，在21,2a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数，()()22121211212102222max a a a f x f a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+=+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（），恒成立．得102a -≤< 102a ∴-≤<符合题意．当0a ＞时，当x →+∞时， f x →+∞（），这与对于任意的0x ∈+∞（，）时0f x ≤（）矛盾．故不成立综上所述a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．即答案为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．【华大新高考联盟2018届高三】设函数()222(3x f x x e mx m e =-+为自然对数的底数），当x R ∈时， ()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[]0,6e【解析】由题意可得： 2223x x e mx m ≥-恒成立，令21222,3x y x e y mx m ==-，则()'2214224x x x y xe x e e x x =+=+，令()2240x e x x +=可得： 120,2x x ==-，绘制函数21222,3x y x e y mx m ==-的图像如图所示，满足题意时， 212xy x e =的图像不在223y mx m =-的图像的下方，设切点坐标为()00,P x y ，切线方程为： ()00y y k x x -=-，即： ()()0022000224x x y x e e x x x x -=+-，切线过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭，则： ()0022000202243x x x e e x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解方程可得： 00x =或01x =或043x =-，结合函数图像可得： ()024m e ≤≤+，即06m e ≤≤. 表示为区间形式即[]0,6e .3．已知函数2()ln f x x x =，若关于x 的不等式()10f x kx -+≥恒成立，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 ∵函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.4．已知函数()2xf x e x =--，若任意的[]1,1a ∈-，总存在[]1,1x ∈-，使得()224f x t at ≤--恒成立，则t 的取值范围是__________．【答案】][(),33,-∞-⋃+∞ 【解析】∵()2xf x e x =--，∴()1xf x e '=-，∴当()1,0x ∈-时， ()()0,f x f x '<单调递减；当()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '>单调递增。

备战2020高考数学恒成立与有解问题解法-分离变换法(原卷版)

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇专题一分离变换法一、分离变换法：分离变换是解决方程、不等式有解，不等式恒成立最常用的方法，根据分离对象的不同可分为分离常数法、分离整式法、分离参数法及分离函数法。

二、方法详解（一）分离常数法分离常数法是研究分式形式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.【例】已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( ) A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034 【例】若对任意实数x 恒有222231x a a x +<<+，求实数a 的取值范围.【类题展示】1、已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．2、若不等式33log 233x xa x x--->+对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围。

（二）分离整式法形如()()2c f xd y af x b+⎡⎤⎣⎦=+的函数可通过分离整式后利用基本不等式求最值。

【例】若函数()2()7101=-+-+f x x x a x 在()1,-+∞有零点，求a 的取值范围.【类题展示】1、函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________。

2、已知关于x 的方程有解，试确定参数a 的取值范围。

（三）分离参数法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，即分离参数法。

2020年新高考全国卷Ⅰ高考数学试题(答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．A．1B．−1 C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种 C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A．20°B．40°C．50°D．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A．62%B．56%C．46%D．42%6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A．1.2天B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A．B． C．D．8．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A．B．C．D．二、选择题：9．已知曲线.A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线10．下图是函数y= s in(ωx+φ)的部分图像，则s in(ωx+φ)=A．B．C． D．11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则A．B．C．D．12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年新高考数学复习恒成立问题专题解析

2020年新高考数学复习恒成立问题专题解析考纲要求:1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美. 基础知识回顾:恒成立：关于x 的不等式f (x )≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。

若函数()f x 在区间D 上存在最小值min ()f x 和最大值max ()f x ，则: ①不等式()f x a >在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔>； ②不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔≥； ③不等式()f x b <在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔<； ④不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔≤；若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(,)m n ，则： ①不等式()f x a >（或()f x a ≥）在区间D 上恒成立m a ⇔≥； ②不等式()f x b <（或()f x b ≤）在区间D 上恒成立n b ⇔≤；应用举例【例1】已知定义在R 上的函数和分别满足，，则下列不等式恒成立的是 A ．B ．C．D．【答案】C【详解】令，则，令，则，解得，则，令，，则函数在上单调递减，则，可得故选【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题。

【例2】设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A，令则令，可得当时，递减；当时，递增；则当时，，故的解集为：且则的取值范围是故选【点睛】本题运用导数解答了恒成立问题，先通过导数求出不等式左边的最小值，然后代入不等式，构造新函数，再次运用导数求出最值，从而计算出结果，本题导数的运用性较强、综合性强，需要掌握其解答方法。

2020年高考文科数学(1卷)：答案详细解析(最新)

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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）（概率统计）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A,B,C，
D 四个等级，加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2x y 2 0
13（. 线性规划）若 x，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z=x＋7y 的最大值为_____. y 1 0
【解析】由约束条件，作出可行域如图 A13 所示.
【答案】 y 2x
16. （数列）数列an 满足 an2 1n an 3n 1 ，前 16 项和为 540，则 a1 =____.
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
【解析】当 n 为偶数时，有 an2 an 3n 1，故
A. 1 16
B. 1 9
C. 1 8
D. 1 6
【解析】∵ a log3
4 log3 4a
2 ，∴ 4a
32
9 ，∴ 4a
1 4a
1. 9
【答案】B
9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的 n
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
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2020年最新高考数学--以数列为背景的选择填空题(原卷版)

专题一压轴选择填空题第5关以数列为背景的选择填空题【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值．【典例解剖】类型一以数列为载体考查数学思想与方法典例1．（2020上海交大附中高三月考）已知数列和满足，，，，可证明数列与数列，一个是等差数列一个是等比数列，则数列的通项公式为．【举一反三】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．类型二综合考查数列性质典例2．（2020上海奉贤区一模）由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（） ①第2列中的122232a a a 、、必成等比数列；②第1列中的112131a a a 、、不一定成等比数列；③12322123a a a a +>+；{}n a {}n b 11a =10b =1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-{}n n a b +{}n n a b -{}n a {}n a n a n =n n S ()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈MA ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【举一反三】数列为单调递增数列，且，则的取值范围是__________．类型三以生成数列为研究对象考查数学能力典例3．定义nP 1+P 2+．．．+P n 为n 个正数P 1，P 2，．．．，P n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，又b n =a n +12，则1b 1b 2+1b 2b 3+．．．+1b 9b 10=________．典例4．（2020上海建平中学高三期中考试）数列{}n a 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、．．．，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a =，51a =，62a =，74a =，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，．．．，如此继续，则2019a =（） A ．16 B ．4 C ．2 D ．1【举一反三】已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④．则上述四个命题中真命题的序号为____．{}n a ()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈t n S {}n a n ()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥()()()53222220172201822018a a a -+-+-=()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=20174034S =20184036S =20172S S <201720a a -<【精选名校模拟】1．（2020上海青浦中学高三月考）已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为S ，则“10a <”是“0S <”的（） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分也非必要条件2．（2020上海高三月考）对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设n A 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），n S 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，则lim n n S →∞=（）A B C D ．123．（2020上海南洋中学高三月考）无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项的和为n S ，则（） A ．n S 单调递减 B ．n S 单调递增 C ．n S 有最大值 D ．n S 有最小值4．（2020·上海格致中学高三月考）设数列{}n x 的各项都为正数且11x =，ABC ∆内的点()n P n N*∈均满足n P AB ∆和n P AC ∆的面积比为2:1，若()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=u u u v u u u v u u u v v，则5x 的值为（）A ．15B ．17C ．29D ．315．（2020·上海高三月考）已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b ，如果关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下九个方程20i i x a x b -+=（1,2,3,,9i =⋅⋅⋅）中，无实数解的方程最多有（） A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个6．（2020上海南模中学月考）已知数列{}n a 的通项公式为()()*11n a n N n n =∈+，其前n 项和910n S =，则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为（）A．3y x =± B．4y x =±C．10y x =±D．3y x =±7．（2020·上海建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足()2*110,n n n a a a a ta n N+=>=-+∈，若存在实数t ，使{}n a 单调递增，则a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,48．（2020·上海第四中学高三期中考试）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1n n nS S +→+∞=，则公比q 的取值范围是（） A ．01q << B ．01q <≤ C ．1q > D ．1q ≥9．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．10．（2020·上海高三月考）已知数列{}n a 满足，621616n n n n a n a --≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，*n N ∈，其中a 为常数且1a >，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞=________．11．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．12．已知数列{}n a 的通项公式为()()*12nnn a n n N =-⋅+∈，则这个数列的前n 项和nS=_____．13．（2020上海进才中学高三期中考试）已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______．14．（2020·上海控江中学高三月考）等比数列{}n a 的首项为1，公比为3，则极限122311221lim n n n n a a a a a a a a a +→∞-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为_______．15．（2020·上海高三月考）一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为．16．（2020·上海格致中学高三月考开学考试）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910，若这堆货物总价是9100200()10n -万元，则n 的值为________17．（2020·上海复旦附中高三月考）已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________18．（2020上海南模中学高三月考）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满2n S an bn =+(,a b 为常数)，且92a π=，设函数()()22sin 22sin ,2n n xf x x y f a =+-=记，则数列{}n y 的前17项和为_____．19．（2020·上海闵行中学高三期中考试）若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：12019a a π+=，120192b b ⋅=，函数()sin f x x =，则1009101110091011()1a af b b +=+________．20．（2020·上海闵行中学高三期中考试）设数列满足，，，，______．21．（2020·上海复兴中学期末）已知无穷等比数列满足：对任意的，，则数列公比的取值集合为__________．22．（2020·上海大同中学高三月考）已知函数，数列满足，，则的值为________23．（2020·上海西南位育中学高三期中考试）数列的通项公式，则________．24．（2020上海南模中学高三期中考试）在数列中，，，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值{}n a 11a =24,a =39a =()1234n n n n a a a a n ---=+-≥2019a ={}n a *n N ∈sin 1n a ={}n a q ()2x f x x =+{}n a 201912a =11()()()2n n f a f a n +=∈N*2019()f a {}n a ()1,110021,10023nn n a n N n n n *⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=∈⎨+⎪>⎪-⎩lim n n a →∞={}n a 11a =122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+≥nS 1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n *1(31)()1()3()m n mn S m m N S m ++-<∈-mn为．。

2020年高考数学压轴填空题闯关：以恒成立或有解为背景的填空题(解析版+原卷版)

1第七关以恒成立或有解为背景的填空题（解析版）【名师综述】含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点．它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查．解决这类问题，主要是运用分离变量法，等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值．类型一分类讨论求函数最值典例1．【2020江苏盐城中学月考】已知函数()2ln(2)f x tx x n =+-+，1()g x t x=-，若函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，且()()0f x g x ≤在定义域上恒成立，则实数t 的取值范围是______．【答案】{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦U 【解析】【分析】根据()'0h x ≥求得n 的值，由此化简()()0f x g x ≤，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t 的取值范围．【详解】由于函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，所以()()'24210h x x nx n =---≥恒成立，故()241610n n ∆=+-≤，即()220n -≤，所以2n =．故()()0f x g x ≤即()12ln 0tx x t x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立2ln 010tx x t x+≤⎧⎪⇔⎨-≥⎪⎩①，或2ln 010tx x t x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩②．2由①得ln 21x t xt x⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩③，构造函数()()ln 0x m x x x =->，()'2ln 1x m x x -=，所以()m x 在()0,e 上()'0m x <，()m x 递减，在(),e +∞上()'0m x >，()m x 递增，最小值为()1m e e=-，所以③等价于120t e t ⎧≤-⎪⎨⎪≤⎩，解得12t e ≤-．由②得ln 21x t xt x⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩④．由ln 12x x x -=解得21x e =．根据()m x 和1y x =的单调性可知，当且仅当21t e x ==时，④成立．综上所述，t 的取值范围是{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦U ，故答案为{}21,2e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦U ．【名师点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题．【举一反三】【2020江苏盐城上学期期中考试】设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0,2]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是________．【答案】5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】()3200023f x x x a =--，当0m ≤时，()0f x m ≥恒成立，符合题意．当0m >时，由()3200023f x x x a m =--≥，得320023x x a m --≤-或320023x x a m --≥，即3320023m a x x -≤-+或320023m a x x +≤-．构造函数()[]()321230,2g x x x x =-+∈，()()'161g x x x =--，所以()1g x 在区间()0,1上递增，在()1,2上递减，()1g x 最大值为()111g =．故1m a -≤①．构造函数()[]()322230,2g x x x x =-∈，()()'261g x x x =-，所以()2g x 在区间()0,1上递减，在()1,2上递增，且()()2200,24g g ==，所以()2g x 的最大值为()224g =．故4m a +≤②．①+②得525,2m m ≤≤，即502<≤m ．综上所述，m 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．类型二参变分离求具体函数最值典例2．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)z +x =0（其中e 为自然对数的底数），则实数z 的取值范围是___________．【答案】(−∞，0)∪[1e，+∞)【解析】由变量分离得﹣1z ＝（yx ﹣2e ）ln yx ＝（t ﹣2e ）lnt ，（令t ＝yx >0），令h(t)＝（t ﹣2e ）lnt ，（t ＞0），则h′(t)＝lnt+t -2e t，h′′(t)＝1t +2et2 ＞0，所以h′(t)在t ∈(0，+∞)递增，且h′（e ）＝0，h(t)在（0，e ）上递减，在（e ，+∞）上递增，∴h(t)≥h （e ）＝﹣e ，∴﹣1z ≥﹣e ，解得z ＜0或z≥1e ，∴实数z 的取值范围是（﹣∞，0）∪[1e ，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪[1e ，+∞）．【名师指点】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法构造函数，利用导数法求出函数的极值和最值，利用变量分离求新函数的范围是关键．【举一反三】【2020江苏丹靖沭10联考】设0a b c >>>，若不等式log 2019log 2019log 2019a b a bccd +≥对于所有满足题设的a ，b ，c 均成立，则实数d 的最大值是__________．4【答案】4【解析】因为log 2019log 2019log 2019a b a b c c d +≥，所以lg 2019lg 2019lg 2019lg lg lg lg lg lg d a b b c a c+≥---，即11lg lg lg lg lg lg d a b b c a c+≥---，又因为算数平均数≥ 调和平均数，即2112a b a b +≥+ 411a b a b⇒+≥+，即1144=lg lg lg lg lg lg +lg lg lg lg a b b c a b b c a c +≥-----，当且仅当11=lg lg lg lg a b b c--即2lg +lg =2lg a c b ac b ⇒=，即a ，b ，c 成等比数列时取等号，故d 的最大值为4，故填4．类型三数形结合求临界点典例3．【2020江苏镇江八校联考】已知函数64,2()25,02x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-+⎩＜＜，若方程()f x a =恰有两个实数解12,x x ()12x x ＜，且126x x ⋅＞，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(1，3)【解析】令64x a x+-=，化简2(4)60x a x -++=，设方程的两根为12,x x '，此时126x x '⋅=，不合题意，因为126x x ⋅＞，所以11x x '＞’，故1x 为25(02)y x x =-+<<与y a =的交点横坐标，由图可知a ∈(1，3)．5故答案为： (1，3)．【名师点睛】本题考查方程的零点，转化为函数图像交点的位置关系，根据图像上下关系，确定参数取值范围．【举一反三】【2020江苏南通如东中学月考】在三角形ABC ∆中，=4AB ，0AC λλ=>（），若2CA CB ⋅≥-u u u r u u u r对任意的0λ>恒成立，则角A 的取值范围为_____．【答案】,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】如图，由()2222CA CB AC AB AC AC AB AC ⋅≥-⇒-⋅-≥-⇒⋅-≤u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即24cos 20A λλ-+≥恒成立，同时除以λ得：()24cos ,0,A λλλ≤+∈+∞，2λλ+≥λ=所以cos 2A ≤，又因()0,A π∈，所以,4A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故答案为,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【精选名校模拟】61．【2020江苏扬州上学期期中考试】已知关于x 的不等式2(1)0x x k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是______．【答案】21,3e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】不等式2(1)0xx k e e --+<有且仅有三个整数解，即221x x e x k e e---<-=-，即21x k x e ->-+，设函数2()1xf x x e-=-+，22()1x xxe ef x ee --'=-=，所以函数()f x 在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，2(0)1f e =-，()1f e =，()22f =，()132f e =+，21(4)3f e =+，31(5)4f e=+，要使得21x k x e ->-+，有三个整数解，则()()14f k f <≤，即23e k e -<≤+，故答案为：23e k e -<≤+．2．【2020江苏淮阴中学上学期期中考试】已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是_______．【答案】ln 2104ln 216,23--⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由()2ln 122x x x a x a -+++„，可得2ln 122x x x xa x +-+…，设()2ln 122x x x xh x x +-=+，则()()222ln 5222x x x h x x ++-=+'．令()22ln 522x x x x ϕ=++- (0)x >，则()2250x x xϕ=++>'，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增．由于()20ϕ<，()30ϕ>，所以()02,3x ∃∈，()00x ϕ=，所以()h x 在()00,x 单调递减：在()0,x +∞单调递增．7要使不等式()()f x g x „的解集中恰有两个整数，即()a h x …的解集中恰有两个整数，必须解集中的两个整数为2和3．所以()1a h <，()2a h …，()3a h …，()4a h <，解得2ln2104ln2163a --≤<． 3．【2020江苏淮安四校联考】已知关于x 的不等式()3ln 2x x λ-≤有解，则整数λ的最小值为______．【答案】0【解析】构造函数()()3ln f x x x =-，则()33ln ln 1x f x x x x x-'=+=-+， ()2130f x x x''=+>对任意的0x >恒成立，所以，函数()y f x '=在()0,∞+上单调递增． 33ln 1022f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭Q ，()12ln 202f '=->．由零点存在定理知，存在3,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()3ln 10f t t t '=-+=．当0x t <<时，()0f x '<；当x t >时，()0f x '>．所以，函数()y f x =在x t =处取得最小值，即()()()()()2min3393ln 316t f x f t t t t t t tt -⎛⎫⎛⎫==-=--=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由双勾函数的单调性可知，函数96y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，当322t <<时，391622t t ⎛⎫-<-+<- ⎪⎝⎭，0x ∃>Q ，使得()3ln 2x x λ-≤，926t t λ⎛⎫∴≥-+ ⎪⎝⎭，8因此，整数λ的最小值为0．故答案为：0．4．【2020江苏南通调研】己知函数||()(21)x f x x =-，若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-„对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]4,0-【解析】函数()f x 的定义域为R ，且||||()(21)(21)()x x f x x x f x --=--=--=-，∴函数()f x 为奇函数，当0x >时，函数()(21)x f x x =-，显然此时函数()f x 为增函数，∴函数()f x 为定义在R 上的增函数，∴不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-„即为2223x x a ax ---„，2(2)230x a x a ∴+---„在[]1,3x ∈上恒成立，∴1223093(2)230a a a a +---⎧⎨+---⎩„„，解得40a -剟，故答案为[]4,0-． 5．【2020江苏沭阳修远中学月考】已知a R ∈，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围为_____．【答案】[]0,e【解析】（1）当1x ≤时，2()22f x x ax a =-+，过定点(1,1)，对称轴为x a =，当1a ≤时，22min ()()220f x f a a a a ==-+≥，解得：02a ≤≤，所以01a ≤≤；当1a >时，()f x 在(,1)-∞单调递减，且(1)10f =>，所以1a >；所以()0f x ≥在1x ≤恒成立，可得0a ≥．（2）当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥恒成立，即ln xa x≤恒成立，9令()ln x h x x =，则'2ln 1()ln x h x x-=，当'()0h x >时，x e >，所以()h x 在(,)e +∞单调递增，当'()0h x <时，1x e <<，所以()h x 在(1,,)e 单调递减，所以min ()a h x e ≤=．综合（1）（2）可得：0a e ≤≤．6．【2020江苏泰州上学期开学考试】已知函数()x x f x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为______．【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<．所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．7．【2020江苏淮安楚州中学月考】若函数124x xy a =++⋅，在(],1x ∈-∞上0y >恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】3+4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【解析】因为0y >恒成立，所以11()42x xa >-+在(],1x ∈-∞上恒成立；10设12xt =，则1[,)2t ∈+∞，2211()()24a t t t >-+=-++，因为1[,)2t ∈+∞时，2113()244t -++≤-，所以34a >-． 8．【2020江苏高邮开学考试】已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为______．【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<．所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．9．已知函数f(x)=x −(a +1)lnx −a x(a ∈R ，且a <1)，g(x)=12x 2+e x −xe x ，若存在x 1∈[e ， e 2]，使得对任意x 2∈[−2， 0]，f(x 1)<g(x 2)恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】a ∈(e 2−2e e+1， 1)【解析】f(x)的定义域为(0， +∞)，f′(x)=(x−1)(x−a)x 2 (a ∈R)，当a <1时，x ∈[e ，e 2]，f ′(x)≥0，f(x)为增函数，所以f(x)min =f(e)=e −(a +1)−ae ；若存在x 1∈[e ， e 2]，使得对任意的x 2∈[−2， 0]，f(x 1)<g(x 2)恒成立，即 f(x)min <g(x)min ， g′(x)=x +e x −xe x −e x =x(1−e x )，11当x ∈[−2， 0]时g′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min =g(0)=1， ∴e −(a +1)−ae <1，a >e 2−2e e+1，∴a ∈(e 2−2e e+1， 1)，故答案为：(e 2−2e e+1， 1)．10．已知函数f (x )=xlnx ，g (x )=−x 2+ax −3，对一切x ∈(0，+∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】(−∞，4]【解析】因为2f (x )≥g (x )，代入解析式可得2xlnx ≥−x 2+ax −3，分离参数a 可得a ≤2lnx +x +3x．令ℎ(x)=2lnx +x +3x （x >0 ），则ℎ′(x)=(x+3)(x−1)x 2，令ℎ′(x)=0解得x 1=−3，x 2=1，所以当0＜x ＜1，ℎ′(x)<0，所以h （x ）在（0，1）上单调递减，当1＜x ，ℎ′(x)>0，所以h （x ）在（1，+∞）上单调递增，所以h （x ）在x=1时取得极小值，也即最小值．所以h （x ）≥h （1）=4．因为对一切x ∈（0，+∞），2f （x ）≥g （x ）恒成立，所以a≤h （x ）min=4．所以a 的取值范围为(−∞，4]． 11．【2019江苏宿迁期末考】已知函数f (x )=ax +e x (a 为常数，e 为自然对数的底数)，若对任意的x ∈[−1，2]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围为____．【答案】[−e ，1e ]【解析】由题意，函数f (x )=ax +e x ，则f ′(x )=a +e x ，x ∈[−1，2]，当a ≥0时，f ′(x )>0恒成立，所以函数f (x )在[−1，2]上单调递增，所以f (x )min =f(−1)=−a +1a ≥0，即0≤a ≤1e ；当a <0时，令f ′(x )=a +e x =0，解得x =ln(−a)，当f ′(x )>0时，解得x >ln(−a)，此时函数f (x )单调递增，当f ′(x )<0时，解得x <ln(−a)，此时函数f (x )单调递减，12若ln(−a)=−1，即a =−1e 时，若ln(−a)=2，即a =−e 2时，当−1e ≤a <0时，即ln(−a)≤−1，函数f (x )在[−1，2]上单调递增，所以f (x )min =f(2)=2a +e 2≥0，此时无解，当−e 2<a <−1e 时，−1<ln(−a)<2，函数f (x )在[−1，ln(−a)]上单调递减，在[ln(−a)，2]上单调递增，所以f (x )min =f(ln(−a))=aln(−a)−a ≥0，解得−e ≤a <−1e ．综上所述，可得实数a 的取值范围是[−e ，1e]．12．已知f(x)=x lnx−ax ，若∀x 1∈[e ，e 2]，∃x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f ′(x 2)+a 成立，则实数a 的取值范围是_____．【答案】[4e−14e，+∞)【解析】若∀x 1∈[e ，e 2]，∃x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f ′(x 2)+a 成立，等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f （x ）max ≤f ′（x ）max +a ”，当x ∈[e ，e 2]时，lnx ∈[1，2]，1lnx ∈[12，1]，f ′（x ）＝﹣a +lnx−1lnx ＝﹣（1lnx ﹣12）2+14﹣a ，f ′（x ）max +a ＝14，问题等价于：“当x ∈[e ，e 2]时，有f （x ）max ≤14”， ①当﹣a ≤﹣14，即a ≥14时，f ′（x ）＝﹣a +lnx−1(lnx )2＝﹣（1lnx ﹣12）2+14﹣a ＜0，f （x ）在[e ，e 2]上为减函数，则f （x ）max ＝f （e ）＝e ﹣ae ＝e （1﹣a ）≤14，∴a ≥1﹣14e ＝4e−14e，②当﹣14＜﹣a ＜0，即0＜a ＜14时，∵x ∈[e ，e 2]，∴1lnx ∈[12，1]，∵f ′（x ）＝﹣a +lnx−1(lnx )2，由复合函数的单调性知f ′（x ）在[e ，e 2]上为增函数，∴存在唯一x 0∈（e ，e 2），使f ′（x 0）＝0且满足：f （x ）在[e ，x 0）递减，在（x 0，e 2]递增，13f （x ）max ＝f （e ）或f （e 2），而f （e 2）＝e 22﹣ae 2，故e 22﹣ae 2≤14，解得：a ≥12﹣14e 2，无解舍去．综上，实数a 的取值范围为[4e−14e，+∞)，故答案为：[4e−14e，+∞)．13．设函数f(x)=|2x −ax 2|，若对任意x 1∈(−∞，0)，总存在x 2∈[2，+∞)，使得f(x 2)≤ f(x 1)，则实数a 的取值范围_______．【答案】[0 ，1]【解析】由题意，对任意x 1∈(−∞，0)，总存在x 2∈[2，+∞)，使得f(x 2)≤ f(x 1)，即当任意x 1∈(−∞，0)，总存在x 2∈[2，+∞)，使得f(x 2)min ≤ f(x 1)min ，当a =0时，f (x )=|2x |，当x 1∈(−∞，0)时，函数f (x 1)=−2x 1∈(0，+∞)，当x 2∈[2，+∞)，此时f (x 2)=2x 2∈(0，1]，符合题意；当a <0时，x <0时，f (x )=|2x−ax 2|≥0，此时最小值为0，而当x ≥2时，f (x )=2x−ax 2的导数为f ′(x)=−2ax −2x 2=−2ax 3−2x 2，可得x =√−1a 3为极小值点，可得f (x )的最小值为f (2)=1−4a 或f(√−1a 3)，均大于0，不满足题意；当a >0时，x >0时，f (x )=|2x −ax 2|的最小值为0或f (2)=1−4a ，当x <0时，f (x )=−2x+ax 2的导数为f ′(x )=2x2+2ax =2ax 3+2x 2，可得x =−√1a3为极小值点，且为最小值点，可得f (x )的最小值为f(−√1a 3)=3√a 3，由题意可得3√a 3≥|1−4a |，解得0<a ≤1，综上可得实数a 的范围是[0，1]．14．已知函数f(x)=2√2x −x 2，g(x)=lnx −ax +5（e 为自然对数的底数，e ≈2．718）．对于任意的x 0∈(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，则整数a的取值集合是_______．【答案】{3，4，5，6，7}【解析】f′（x）=2（√2﹣x），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜√2，令f′（x）＜0，解得：√2＜x＜e，故f（x）在（0，√2）递增，在（√2，e）递减，而f（0）=0，f（√2）=2，f（e）=e（2√2﹣e），故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），对于g（x）=lnx﹣ax+5，x∈（0，e），a=0时，g（x）=lnx+5，g （x）递增，在区间（0，e）上不存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），不合题意，a≠0时，g′（x）=1x ﹣a，令g′（x）=0，解得：x=1a，若在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），则只需0＜1a ＜e，故a＞1e，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1a ，令g′（x）＜0，解得：1a＜x＜e，故g（x）在（0，1a）递增，在（1a，e）递减，而x→0时，g（x）→﹣∞，g（1a）=﹣lna+4，g（e）=6﹣ae，若对于任意的x0∈（0，e），在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），只需{g(1a)=−lna+4≥2g(e)=6−ae≤0，解得：2．2≈6e≤a≤e2≈7．29，故满足条件的a的整数为：3，4，5，6，7，故答案为：{3，4，5，6，7}．15．若∀x∈(0，+∞)，不等式eλx−lnxλ≥0恒成立，则正实数λ的取值范围是_____．【答案】[1e，+∞)【解析】实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx−lnxλ≥0恒成立，即为（eλx−lnxλ）min≥0，设f（x）＝eλx−lnxλ，x＞0，f′（x）＝λeλx−1λx，令f′（x）＝0，可得eλx=1λ2x，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得y＝eλx和y=1λ2x有且只有一个交点，1415设为（m ，n ），当x ＞m 时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当0＜x ＜m 时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，即有f （x ）在x ＝m 处取得极小值，且为最小值．即有e λm =1λ2m ，令e λm −lnm λ=0，可得m ＝e ，λ=1e ，则当λ≥1e 时，不等式e λx −lnx λ≥0恒成立，故答案为[1e ，+∞)．16．设实数λ>0，若对任意的x ∈(0，+∞)，不等式e λx −lnx λ≥0恒成立，则λ的取值范围是．【答案】[1e，+∞)【解析】由e λx −lnx λ≥0得e λx ≥lnx λ，即λxe λx ≥lnx ∙e lnx 对任意的x ∈(0，+∞)恒成立．设f(t)=te t ，则f(λx)≥f(lnx)对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，又f ′(t )=te t +e t =(t +1)e t ， ∴当t <−1时，f ′(t)<0，f(t)单调递减；当t >−1时，f ′(t)>0，f(t)单调递增．画出图象为①当x ≥1e 时，t 1=λx >0，t 2=lnx >−1，此时函数f(t)单调递增，∴f(t 1)>f(t 2)，即f(λx)≥f(lnx)，所以λx ≥lnx 对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，∴λ≥lnx x对任意的x ∈(0，+∞)恒成立．设g (x )=lnx x，x >0，则g ′(x )=1−lnx x 2，则当0<x <e 时，g ′(x )>0，g(x)单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g(x)单调递减，∴g (x )max =g (e )=1e ，∴λ≥1e ． ②当0<x <1e 时，t 1=λx >0，t 2=lnx <−1，16由f (0)=0⋅e 0=0，结合函数f(t)的图象可得f(t 1)>0>f(t 2)，即f(λx)≥f(lnx)对任意的x ∈(0，+∞)恒成立．综上可得λ≥1e，∴实数λ的取值范围是[1e，+∞)．17第七关以恒成立或有解为背景的填空题（原卷版）【名师综述】含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点．它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查．解决这类问题，主要是运用分离变量法，等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值．类型一分类讨论求函数最值典例1．【2020江苏盐城中学月考】已知函数()2ln(2)f x tx x n =+-+，1()g x t x=-，若函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，且()()0f x g x ≤在定义域上恒成立，则实数t 的取值范围是______．【举一反三】【2020江苏盐城上学期期中考试】设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0,2]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是________．类型二参变分离求具体函数最值典例2．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)z +x =0（其中e 为自然对数的底数），则实数z 的取值范围是___________．【举一反三】【2020江苏丹靖沭10联考】设0a b c >>>，若不等式log 2019log 2019log 2019a b a bccd +≥18对于所有满足题设的a ，b ，c 均成立，则实数d 的最大值是__________．类型三数形结合求临界点典例3．【2020江苏镇江八校联考】已知函数64,2()25,02x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-+⎩＜＜，若方程()f x a =恰有两个实数解12,x x ()12x x ＜，且126x x ⋅＞，则实数a 的取值范围是__________．【举一反三】【2020江苏南通如东中学月考】在三角形ABC ∆中，=4AB ，0AC λλ=>（），若2CA CB ⋅≥-u u u r u u u r对任意的0λ>恒成立，则角A 的取值范围为_____．【精选名校模拟】1．【2020江苏扬州上学期期中考试】已知关于x 的不等式2(1)0x x k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是______．2．【2020江苏淮阴中学上学期期中考试】已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是_______．3．【2020江苏淮安四校联考】已知关于x 的不等式()3ln 2x x λ-≤有解，则整数λ的最小值为______．194．【2020江苏南通调研】己知函数||()(21)x f x x =-，若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-…对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______．5．【2020江苏沭阳修远中学月考】已知a R ∈，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围为_____．6．【2020江苏泰州上学期开学考试】已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为______．7．【2020江苏淮安楚州中学月考】若函数124x x y a =++⋅，在(],1x ∈-∞上0y >恒成立，则a 的取值范围是________．8．【2020江苏高邮开学考试】已知函数()x x f x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为______．9．已知函数f(x)=x −(a +1)lnx −ax(a ∈R ，且a <1)，g(x)=12x 2+e x −xe x ，若存在x 1∈[e ， e 2]，使得对任意x 2∈[−2， 0]，f(x 1)<g(x 2)恒成立，则a 的取值范围是________．10．已知函数f (x )=xlnx ，g (x )=−x 2+ax −3，对一切x ∈(0，+∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围为________．11．【2019江苏宿迁期末考】已知函数f (x )=ax +e x (a 为常数，e 为自然对数的底数)，若对任意的x ∈[−1，2]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围为____．−ax ，若∀x1∈[e，e2]，∃x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，则实数a的取值范12．已知f(x)=xlnx围是_____．−ax2|，若对任意x1∈(−∞，0)，总存在x2∈[2，+∞)，使得f(x2)≤f(x1)，则实数a 13．设函数f(x)=|2x的取值范围_______．14．已知函数f(x)=2√2x−x2，g(x)=lnx−ax+5（e为自然对数的底数，e≈2．718）．对于任意的x0∈(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，则整数a的取值集合是_______．≥0恒成立，则正实数λ的取值范围是_____．15．若∀x∈(0，+∞)，不等式eλx−lnxλ≥0恒成立，则λ的取值范围16．设实数λ>0，若对任意的x∈(0，+∞)，不等式eλx−lnxλ是．20。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【含答案】

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【含答案】一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数2(0)y x x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ．23B ．33C ．63D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无．．．．．．．效．） 13．（1-x ）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．2y 2 14．已知a ∈（2π，π），sin α=55，则tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB,CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。