2016年广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷(文科)(解析版)

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2016届广西自治区桂林柳州高考压轴数学(文)试题(解析版)

2016届广西自治区桂林柳州高考压轴数学（文）试题一、选择题1．设平面向量()1,2m =- ，()2,n b = ，若//m n ，则m n -等于（）A ．【答案】D【解析】试题分析： //m n，∴1220b -⨯-⨯=，得4b =-，()()()1,22,43,6m n -=---=- ，∴m n -== D ．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.2．若复数z 满足112iz i-=+，则z =（）A ．25 B ．35 C 【答案】C【解析】试题分析：()()()()1121312125i i i z z i i ----==⇒=+-．故应选C ．【考点】1、复数的概念；2、复数的运算. 3．设集合12164x x⎧⎫A =<<⎨⎬⎩⎭，(){}2ln 3x y x x B ==-，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C【解析】试题分析：()2,4A =-，()(),03,B =-∞+∞ ，()()2,03,4A B =- ，所求概率是()()()43021422-+--⎡⎤⎣⎦=--．故应选C ．【考点】1、集合的表示；2、几何概型概率公式. 4．如图，给出的是求111124630+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A ．15i ≥B ．15i ≤C ．14i ≥D ．14i ≤ 【答案】B【解析】试题分析：框图中最后一次执行循环体时i 的值应为15，结合条件满足时执行循环体，当1615i =>时就会终止循环，所以条件应为15i ≤．故应选B ．【考点】1、程序框图；2、循环结构.5．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A ．4πB ．163π C ．203π D ．443π+【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体由一个球和一个圆锥组合而成，球的半径为1，体积为43π，圆锥体积为212343ππ⋅⋅=，组合体体积为163π．故应选B ．【考点】1、几何体的三视图；2、圆锥和球的体积公式.6．在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3 【答案】D【解析】试题分析：因为3221b =T +，4321b =T +两式相减得3432b b b -=-，从而求得433b b =．故应选D. 【考点】1、等比数列的定义；2、公式()12n n n a S S n -=-≥的应用 .7．已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（）A ．3B ．132C ．12D ．23 【答案】A【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把2z x y =+变形为2y x z =-+．平移2y x =-由图可以看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点B 时，截距z 最小．解方程组1430x x y =⎧⎨-+=⎩，得B 点坐标为()1,1；所以min 2113z =⨯+=．故应选A ．【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中可行域的画法及利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．已知函数()46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（）A ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】试题分析：函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得c o s 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得()cos 2cos 23s i n 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由22222k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，得44k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，所以,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦符合．故应选B ．【考点】1、三角函数的平移变换；2、正弦函数的单调性.9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限，(),x y A 是其终边上的一点，向量()3,4m = ，若m ⊥OA ，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．7B ．17-C ．7-D ．17【答案】D【解析】试题分析：设m与x 轴正向的夹角为θ，则4tan 3θ=，因为角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限且m ⊥OA ，所以2παθ=+，()()41tan 1313tan tan 44411tan 713θππαθθ-+-⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+ ．故应选D ．【考点】1、向量垂直的性质；2、两角和的正切公式.10．已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为a b 的值为（）A．．． D．【答案】A【解析】试题分析：联立2211y x ax by =-+⎧⎨+=⎩，得()2210a b x b x b +-+-=，设()11,x y A ，()22,x y B ，则122bx x a b+=+，1212211ay y x x a b+=-+-+=+，所以AB 中点为,b a a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，其与原点所在直线的斜率为2aa ab b b a b+==-+．故应选A ．【考点】1、直线双曲线的位置关系；2、直线的斜率及韦达定理.11．已知函数()3,0,0x f x b x ≥=+<，满足条件：对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =．当)()3ff b =成立时，则实数a b +=（）A．3+ D．3+【答案】D【解析】试题分析：由题设条件对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =，知()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调，得3b =，且0a <．由)()3ff b =有2233a +=，解得a =，故3a b +=．故应选D ．【考点】1、分段函数的解析式；2、数形结合思想与转化思想的应用.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、数形结合思想与转化思想的应用，属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 本题将“对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x = ”根据图象转化为“()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调”是解题的关键.12．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n n n A +=B +，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C【解析】试题分析：由等差数列前n 项和的性质知，212114387191272211n n n n a n n b n n n --A ++====+B +++，故当1n =，2，3，5，11时，n na b 为整数，故使得nna b 为整数的正整数n 的个数是5．故应选C ．【考点】1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于难题.等差数列性质很多，其中性质‘若2,m n p q r +=+= 则2m n p q r a a a a a +=+=，应用非常广，它往往结合等差数列前n 项和公式（12nn a a S n +=⨯）综合出题，本题就是利用‘121121212,2n n n n a a a a a S ---++==’推出结论2121n n n n a b --A =B 后，再利用n 是整数这一特性进一步解答的.二、填空题13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为．【答案】4800【解析】试题分析：由题知乙型号产品所占比例为80503808-=，所以该批次产品总数为3180048008÷=．故答案为4800. 【考点】分层抽样的应用. 14．函数()21ln 2f x x x x =-+的单调增区间为．【答案】⎛ ⎝⎭【解析】试题分析：()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞，由()0f x '>，得2010x x x >⎧⎨-++>⎩，得01x <<+∴增区间为⎛ ⎝⎭．故答案为⎛ ⎝⎭. 【考点】利用导数研究函数的单调性.15．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．数列{}n a 的通项公式n a = ．【答案】21n -【解析】试题分析：因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-，故答案为21n -.【考点】1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求解，问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16．已知奇函数()f x 满足对任意R x ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，且()11f =，则()()20152016f f += ．【答案】1-【解析】试题分析：令3x =-，则()()()3633f f f -+=-+，因为()f x 是奇函数，所以()()33f f -=-，所以()30f =，所以()()6f x f x +=，所以()f x 是周期为6的周期函数，()()()2015111f f f =-=-=-，()()201600f f ==，()()201520161f f +=-．故答案为1-.【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.【方法点睛】本题主要考查函数的解析式、奇偶性和周期性，属于难题.对函数各种性质综合考察也是近几年命题热点，一般放在填空题后两题位置，由于综合性较强,这就要求同学们必须熟练掌握函数的各种性质，关于抽象函数的周期，常见形式如下:(1)若()()f x a f x +=，则周期为a ；（2）若()()f x a f x +=-，则周期为2a ；（3）若()()1f x a f x +=±，则周期为2a .三、解答题17．如图3，CD AB 是直角梯形，//CD AB ，2CD 2AB ==，CD C =B ，E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，F 是C A 与D E 的交点．（1）求sin C D ∠A 的值；（2）求DF ∆A 的面积．【答案】（1）10；（2）14.【解析】试题分析：（1）先由勾股定理得到C A =，D A =到，cos C D 10∠A =，判断出C D ∠A 为锐角后可根据同角三角函数之间的关系可得；（2）根据三角形全等得到1F C 2A =A =. 试题解析：（1）由条件可知，2AB =，C 1B =，C 90∠AB = ，∴C A =E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，∴D 1AE =E =，D A ==由余弦定理可知222C D CD cos C D2C D 10A +A -∠A ===A ⋅A ． CD ∆A 是钝角三角形，∴C D ∠A 为锐角，∴sin C D ∠A ==．（2） F 是C A 与D E 的交点，由已知可得F 是C A 的中点，∴1F C 22A =A =∴DF ∆A 的面积DF 111F D sin C D 222104S ∆A =A ⋅A ⋅∠A =⨯= 【考点】1、余弦定理及勾股定理；2、三角形面积公式.18．某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（CS NEP ）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图4所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．【答案】（1）81；（2）15. 【解析】试题分析：（1）设初赛成绩的中位数为x ,可根据中位数左右两边面积和均为12，列方程求解；（2）该校学生的初赛分数在[)110,130有4人，分别记为A ，B ，C ，D ，分数在[)130,150有2人，分别记为a ，b ，列举出总事件个数有20个，在同一组的事件个数有4个，根据古典概型概率公式求解即可.试题解析：（1）设初赛成绩的中位数为x ，则()()0.0010.0040.009200.02700.5x ++⨯+⨯-=．解得81x =．所以初赛成绩的中位数为81．（2）该校学生的初赛分数在[)110,130有4人，分别记为A ，B ，C ，D ，分数在[)130,150有2人，分别记为a ，b ，则在6人中随机选取3人，总的事件有(),,C A B ，(),,D A B ，(),,a A B ，(),,b A B ，(),C,D A ，(),C,a A ，(),C,b A ，(),D,a A ，(),D,b A ，(),,a b A ，(),C,D B ，(),C,a B ，(),C,b B ，(),D,a B ，(),D,b B ，(),,a b B ，()C,D,a ，()C,D,b ，()C,,a b ，()D,,a b 共20个基本事件，取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的基本事件有(),,C A B ，(),,D A B ，(),C,D A ，(),C,D B 共4个．故选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率为41205P ==．【考点】1、频率分布直方图及中位数；2、古典概型概率公式.19．如图，CD AB 是平行四边形，已知2C 4AB =B =，D B =C BE =E ，平面C B E ⊥平面CD AB ．（1）证明：D C B ⊥E ；（2）若C BE =E =D B -A E 的体积D V B-A E ．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），求得()0,1,1BE =，()DC 2,0,0=，可得DC 0BE⋅= ，即可证结论；（2）先根据F C B ⊥A 确定F 的位置，在求出平面FAB 的一个法向量，可证平面ABP 一个的法向量为()20,1,0n =，利用空间向量夹角余弦公式即可得结论. 试题解析：（1）证明：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()C 2,2,0，()D 0,2,0，()0,0,2P ．由E 为棱C P 的中点，得()1,1,1E ．向量()0,1,1BE = ，()DC 2,0,0=，故DC 0BE⋅=．所以DC BE ⊥．（2）向量()C 1,2,0B = ，()C 2,2,2P =-- ，()C 2,2,0A = ，()1,0,0AB =．由点F 在棱C P 上，设CF C λ=P，01λ≤≤．故()F C CF C C 12,22,2λλλλB =B +=B +P =--．由F C B ⊥A ，得F C 0B ⋅A = ，因此，()()2122220λλ-+-=，解得34λ=．即113F ,,222⎛⎫B =- ⎪⎝⎭．设()1,,n x y z = 为平面F AB 的法向量，则110F 0n n ⎧⋅AB =⎪⎨⋅B =⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩．不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则121212cos,n nn nn n⋅===⋅．易知，二面角F-AB-P．【考点】1、空间直线垂直的判定；2、空间向量夹角余弦公式.20．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差，且椭圆过点⎛⎝⎭，单位圆O的切线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：OA⊥OB．【答案】（1）221443x y+=；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）椭圆过点0,3⎛⎝⎭得b=，可得c的值，进而得到，可得椭圆方程；（2）设:l y kx m=+1=，即221k m+=，由2234y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，得()222316340k x kmx m+++-=，根据韦达定理可证1212x x y yOA⋅OB=+=即可得OA⊥OB.试题解析：（1）设椭圆C的方程为22221x ya b+=，（0a b>>）由题意可知()()23a c a c c+--==，3b=，解得2a=．所以椭圆C的方程为221443x y+=．（2）当单位圆:O221x y+=的切线l的斜率不存在，则:l1x=±．在221443x y+=中令1x=得1y=±．不妨设()1,1A，()1,1B-，则110OA⋅OB=-=．所以OA⊥OB．同理，当:l1x=-时，也有OA⊥OB．当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222316340k x kmx m +++-=．显然0∆>．设()11,x y A ，()22,x y B ，则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．所以()()()221222346113131m km x x y y k x x km x x m k km mk k -OA⋅OB =+=++++=+-+++()()()()222222222222213463141444440313131k m k m k m k k m k k k k +--+++----====+++．所以OA ⊥OB ．综上所述，总有OA ⊥OB 成立．【考点】1、待定系数法求椭圆方程；2、点到直线的距离公式及平面向量数量积公式. 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及点到直线的距离公式和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21．已知函数()ln bf x x ax x=-+，对任意的()0,x ∈+∞，满足()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，其中a ，b 为常数．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点()0,5-，求a 的值；（2）已知01a <<，求证202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；（3）当()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．【答案】（1）2a =-；（2）证明见解析；（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由()10f =和()112f a '=-=()51501f --=-解得；（2）化简22a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，构造函数()322ln ln 22x g x x x =+--，根据函数()y g x =的单调性，证明()g x 的最小值大于零即可；（3）讨论三种情况0a ≤，12a ≥，102a <<，排除前两种，证明第三种情况符合题意即可. 试题解析：（1）在()10f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭中，取1x =，得()10f =，又()1ln1f a b a b =-+=-+，所以b a =．从而()ln af x x ax x=-+， ()2111f x a x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，()112f a '=-．又()()511501f f --'==-，所以125a -=，2a =-．（2）223322ln 2ln ln 22222a a a a f a a a ⎛⎫=-+=+-- ⎪⎝⎭．令()322ln ln 22x g x x x =+--，则()()42223412232x x x g x x x x x -+-'=--=，所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()0,1x ∈时，()()1312ln 2ln 022g x g e >=-->->，所以01a <<时，02a f ⎛⎫>⎪⎝⎭．（3）()222111ax x a f x a x x x -+-⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭， ①当0a ≤时，在()0,+∞上，()0f x '>，()f x 递增，所以，()f x 至多只有一个零点，不合题意； ②当12a ≥时，在()0,+∞上，()0f x '≤，()f x 递减，所以，()f x 也至多只有一个零点，不合题意；③当102a <<时，令()0f x '=，得11x =<，21x =>．此时，()f x 在()10,x 上递减，()12,x x 上递增，()2,x +∞上递减，所以，()f x 至多有三个零点．因为()f x 在()1,1x 上递增，所以()()110f x f <=．又因为202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以201,2a x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =．又()0010f f x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，()10f =，所以()f x 恰有三个不同的零点：0x ，1，01x ．综上所述，当()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及函数零点问题.【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值、函数零点问题立，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）、（3）解题过程都是围绕先求单调区间再求最值这一思路，进一步解答问题的. 22．如图所示，四边形CD AB 中，D//C A B ，CD AB =，C A ，D B 交于点Q ，C CD ∠BA =∠A ，AP 为四边形CD AB 外接圆的切线，交D B 的延长线于点P ．（1）求证：2Q D P =P ⋅PB ；（2）若3AB =，2AP =，4D 3A =，求Q A 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）109. 【解析】试题分析：（1）有弦切角定理得D D ∠PA =∠AB ，进而得，Q PA =P ，再由切割线定理可得2Q D P =P ⋅PB ；（2）先证D ∆PA ∆PBA ∽得D PA PB=A AB，可求92PB =，再由切割线定理求出8D 9P =，进而求Q A 的长. 试题解析：四边形CD AB 为等腰梯形．（1） PA 为圆的切线，∴D D ∠PA =∠AB ．又 C C D ∠AB =∠A ，∴D C D C D ∠PA +∠A =∠BA +∠AB ，∴Q Q ∠PA =∠A P ， ∴Q PA =P ．PA 为圆的切线，∴2D PA =P ⋅PB ，∴2Q D P =P ⋅PB ．（2） D ∆PA ∆PBA ∽，∴D PA PB =A AB ，∴92PB =． 2D PA =P ⋅PB ，∴8D 9P =，∴810Q DQ D 299A ==PA -P =-=．【考点】1、弦切角定理；2、切割线定理及相识三角形.23．已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),x y P 是直线l 与圆Cy +的取值范围．【答案】（1）222x y x +=-；（2）[]2,2-.【解析】试题分析：（1）先利用两角差的正弦公式展开4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后两边同乘ρ，再利用公式222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可；（2）将1212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入z y =+，得z t =- ，首先求出ty +的取值范围. 试题解析：（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以214sin 4cos 62πρρθρθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以圆C的直角坐标方程为222x y x +=-．（2）设z y +，圆C 方程化为()(2214x y ++=，所以圆C的圆心是(-，半径是2，将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入z y =+，得z t =-．又因为直线l过(C -，所以22t -≤≤，所以22t -≤-≤，y +的取值范围是[]2,2-．【考点】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数方程的应用. 24．已知函数()11f x x a x =+--．（1）当2a =-时，解不等式()5f x >；（2）若()3f x a x ≤+，求a 的取值范围．【答案】（1）423x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）12a ≥. 【解析】试题分析：（1）当2a =-时，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后找交集即可；（2）由()3fx a x ≤+，得113x a x x +≥-++，再根据基本不等式1321x x x -++≥+，进而得a 的取值范围为12a ≥. 试题解析：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩由()f x 的单调性及()4253f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()5f x >的解集为423x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．（2）由()3f x a x ≤+，得113x a x x +≥-++，由1321x x x -++≥+，得11132x x x +≤-++，得12a ≥．（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）故a的取值范围为12a ．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值.。

2016年广西柳州市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(解析版)

2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}2．已知zi=i﹣1，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限 D．第二象限3．命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（）A．∃x∈R，sinx≤1 B．∀x∈R，sinx＞1 C．∃x∈R，sinx=1 D．∀x∈R，sinx≤1 4．已知等差数列{a n}中，若a3+3a6+a9=120，则2a7﹣a8的值为（）A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣205．已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0）=f（0），则正确的选项是（）A．B．C．D．6．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．37．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣5 B．C．0 D．28．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．29．函数g（x）=x3++3lnx+b（b∈R）在x=1处的切线过点（0，﹣5），则b=（）A．B．C．D．10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．4 B．2 C．D．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A，B两点，且直线l与圆x2﹣px+y2﹣=0交于C，D两点，若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为（）A．B．C．±1 D．12．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为_______．14．已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于_______．15．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是_______．16．数列{a n}满足a1=2，且a n+1﹣a n=2n（n∈N*），则数列的前10项和为_______．三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=accosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015+a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点（1）证明：AB⊥PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．20．已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为+1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF 与△OBC的面积相等，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2x+2a，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．四.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（Ⅰ）求证：CE2=CD•CB．（Ⅱ）若D为BC的中点，且BC=2，求AB与DE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，∵B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D．2．已知zi=i﹣1，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限 D．第二象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：zi=i﹣1，∴﹣izi=﹣i（i﹣1），化为：z=1+i，则复数z在复平面上所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：C．3．命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（）A．∃x∈R，sinx≤1 B．∀x∈R，sinx＞1 C．∃x∈R，sinx=1 D．∀x∈R，sinx≤1 【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x＞0，sinx≤1，故选：D．4．已知等差数列{a n}中，若a3+3a6+a9=120，则2a7﹣a8的值为（）A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣20【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出2a7﹣a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+3a6+a9=120，∴5（a1+5d）=120，∴a1+5d=24，∴2a7﹣a8=a1+5d=24．故选：A．5．已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0）=f（0），则正确的选项是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数f（x）的部分图象知f（0）=，分别验证A、B、C、D选项是否满足条件即可．【解答】解：根据函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象知，f（0）=，对于A，cos（π+）=cos=cos=，满足题意；对于B，cos（π+）=﹣cos=﹣，不满足题意；对于C，cos（π+）=cos2π=1，不满足题意；对于D，cos（π+）=﹣cos=﹣，不满足题意；故选：A．6．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得b=2a，由a，b，c的关系和点到直线的距离公式，可得c=a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），渐近线方程为y=x，由题意可得d==b=2a，可得c==a，即有离心率e==．故选：C．7．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣5 B．C．0 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（3，4）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=3﹣8=﹣5，∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．故选：A．8．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得：i=0，A=2执行循环体，i=1，A=，不满足条件i＞2016，执行循环体，i=2，A=﹣1；不满足条件i＞2016，执行循环体，i=3，A=2；不满足条件i＞2016，执行循环体，i=4，A=，…循环下去，而20116=3×672，i=2017时，与i=4输出值相同，即A=．故选：B．9．函数g（x）=x3++3lnx+b（b∈R）在x=1处的切线过点（0，﹣5），则b=（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出g（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用两点的斜率公式，解方程，即可得到b的值．【解答】解：函数g（x）=x3++3lnx+b的导数为g′（x）=3x2+5x+，可得g（x）在x=1处的切线斜率为k=11，切点为（1， +b），由两点的斜率公式可得11=，解得b=．故选：B．10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．4 B．2 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、线面的位置关系，由线面垂直的定义判断几何体四个面中的直角三角形，由勾股定理和三角形面积公式求出直角三角形的面积和．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且PB⊥平面ABC，底面是的等腰三角形，底BC=2，BC边上的高为2，∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥BC、PB⊥AB，即△PBC、△PAB是直角三角形，∵AB=，∴直角三角形的面积和S==2+故选：D．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A，B两点，且直线l与圆x2﹣px+y2﹣=0交于C，D两点，若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为（）A．B．C．±1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由F，由x2﹣px+y2﹣=0配方为： +y2=p2，可得：|CD|=2p．设直线l的方程为y=k，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线方程联立化为：x2﹣x+=0，利用根与系数的关系及其抛物线的定义可得：|AB|=x1+x2+p=2p+．利用|AB|=2|CD|，即可得出．【解答】解：由F，由x2﹣px+y2﹣=0配方为： +y2=p2，可得：|CD|=2p．设直线l的方程为y=k，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：x2﹣x+=0，∴x1+x2=p+．∴|AB|=x1+x2+p=2p+．由|AB|=2|CD|，∴2p+=4p．，可得k2=1，解得k=±1．故选：C．12．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】由函数的性质得到周期性，由函数零点转换为两图象相交，由数形结合得到m的范围．【解答】解：∵任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．∴函数f（x）的周期是4，∵在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，即函数f（x）与函数h（x）=mx﹣m在区间[﹣5，3]上有三个不同的交点，在同一直角坐标系上画出两个函数的图象：得到≤m ＜即﹣≤m ＜﹣，故选B ．二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，以线段AC 为半径的圆面积小于π的概率为．【考点】几何概型．【分析】设AC=x ，根据圆的面积小于π，得到0＜x ＜1，然后结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：设AC=x ，若以线段AC 为半径的圆面积小于π，则πx 2＜π，则0＜x ＜1，则对应的概率P=，故答案为：．14．已知向量=（x ，y ），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于 5 ．【考点】向量的模；向量的加法及其几何意义．【分析】根据向量=（x ，y ），=（﹣1，2 ），且+=（1，3）三个条件得到的坐标，本题要求一个向量的模长，这种问题一般对要求的结果先平方，变为已知的向量的模长和数量积的问题．【解答】解：∵向量=（x ，y ），=（﹣1，2 ），∴=（x ﹣1，y +2）∵+=（1，3），∴（x ﹣1，y +2））=（1，3）∴x ﹣1=1，y +2=3，∴x=2，y=1，∴=（2，1）∴||=，||=， =0，∴|﹣2|===5，故答案为：515．已知正实数x ，y 满足xy=x +y ，若xy ≥m ﹣2恒成立，则实数m 的最大值是 6 ．【考点】基本不等式．【分析】求出xy 的最大值，问题转化为m ﹣2≤4，求出m 的最大值即可．【解答】解：由x ＞0，y ＞0，xy=x +y ≥2，得：xy ≥4，于是由m ﹣2≤xy 恒成立，得：m ﹣2≤4，解得：m ≤6，故答案为：6．16．数列{a n }满足a 1=2，且a n+1﹣a n =2n （n ∈N *），则数列的前10项和为．【考点】数列的求和．【分析】由a 1=2，且a n+1﹣a n =2n ，利用“累加求和”方法可得a n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：∵a 1=2，且a n+1﹣a n =2n ，∴n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2n ﹣1+2n ﹣2+…+2+2=+1=2n ，当n=1时也成立，∴a n =2n ．∴=．∴数列的前10项和==．故答案为：．三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且三角形的面积为S=accosB ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若c=8，点D 在BC 上，且CD=2，cos ∠ADB=﹣，求b 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I ）由S △ABC =得出tanB=，故而B=；（II ）在△ABD 中使用正弦定理求出AD ，在△ACD 中使用余弦定理计算AC ．【解答】解：（I ）在△ABC 中，∵S △ABC =，∴tanB=．∴B=．（II ）∵cos ∠ADB=﹣，∴sin ∠ADB=，cos ∠ADC=．在△ABD 中，由正弦定理得，即，解得AD=7．在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2﹣2AD •CDcos ∠ADC=49+4﹣4=49， ∴AC=7．即b=7．18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015+a ；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．【考点】线性回归方程．【分析】（I ）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II ）由于到2020年用水量趋于稳定，故2023年的用水量约等于2020年的用水量，把x=2020代入回归方程求出用水量的估计值．【解答】解：（I ）=2013， ==260.2，=（﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8=130．=4+1+0+1+4=10．∴b==13，∴回归方程为y﹣260.2=13（x﹣2013），即y=13（x﹣2013）+260.2．（II）当x=2020时，y=13+260.2=351.2（万吨）．答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点（1）证明：AB⊥PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）利用直线平面的垂直来证明得出AB⊥平面PEC，再利用转为直线直线的垂直证明．（2）作出AD与平面ABC所成角的角，转化为三角形求解即可．【解答】证明：（1）取AB中点E，∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形∴CE⊥AB，PE⊥AB，∵CE∩PE=E，∴∵PC⊂平面PEC∴AB⊥PC解：（2）∵，∴角形PEC为正三角形，过P作PO⊥CE，则PO⊥平面ABC，过D作DH平行PO，则DH⊥平面ABC，连AH，则∠DAH为所求角，，．20．已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为+1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF 与△OBC的面积相等，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，a+c=1+，解得a，由b=，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，运用中点坐标公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）哟题意可得c=1，a+c=1+，解得a=，b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），联立，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8+8k2＞0成立，x1+x2=，由△OAF与△OBC的面积相等，可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，AB的中点的横坐标为，CF的中点的横坐标为，即有=，解得k=±．则所求直线的方程为y=±（x﹣1），即为x±y﹣1=0．21．已知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2x+2a，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）max＜g（x）max，分别求出其最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣1+=（x＞0），①a≤0时，由于x＞0，故x﹣a＞0，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）递减，②a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=a，在区间（0，a）上，f′（x）＞0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，无递增区间，a＞0时，函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；（Ⅱ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，g（x）max=2a，由（Ⅰ）得：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减，值域是R，不合题意，a=0时，f（x）=﹣x＜0=g（x）max，符合题意，a＞0时，f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（a）=﹣a+alna，故2a＞﹣a+alna，解得：0＜a＜e3．综上，a的范围是[0，e3]．四.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（Ⅰ）求证：CE2=CD•CB．（Ⅱ）若D为BC的中点，且BC=2，求AB与DE的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）连接BE，由切线的性质和相似三角形的判定定理可得△CED∽△CBE，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE2=CB•CD，结合条件可得CE=2，运用直角三角形的勾股定理可得OB=1，由勾股定理可得AD，再由切割线定理可得BD2=DE•DA，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE，由BC为圆O的切线，可得∠ABC=90°，∠CBE=∠A，由OA=OE，可得∠A=∠AEO，由∠AEO=∠CED，可得∠CED=∠CBE，又∠C=∠C，可得△CED∽△CBE，即有=，可得CE2=CB•CD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE2=CB•CD，D为BC的中点，且BC=2，可得CE2=2×=4，即CE=2，又OB2+BC2=OC2=（OE+EC）2=（OB+CE）2，OB2+8=OB2+4OB+4，解得OB=1，AB=2OB=2，又AD===，由切割线定理可得BD2=DE•DA，则DE===．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．【解答】解：（1）圆C1（φ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4即：x2+y2﹣4x=0转化成极坐标方程为：ρ2=4ρcosθ即：ρ=4cosθ圆C2（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1即：x2+y2﹣2y=0转化成极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ即：ρ=2sinθ（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）则：|OP|==，|OQ|==则：|OP||OQ|==设sinα+cosα=t（）则：则关系式转化为：4=由于：所以：（|OP||OQ|）max=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）将m=a=﹣1代入（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）m=a=﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|≥x，x＜﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：x≤﹣2，﹣1≤x≤1时，（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：0≤x＜1，x≥1时，（x+1）﹣（x﹣1）≥x，解得：1≤x≤2，综上，不等式的解集是{x|x≤﹣2或0≤x≤2}；（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x ﹣a|≥2m|a|≥2，解得：a≤﹣或a≥，∵数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，故=3，解得：m=，∴实数m的集合是{m|m=}．2016年9月12日第21页（共21页）。

2016届广西柳州市高考数学一模试卷(文科)

广西柳州市2015-2016学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|0＜x＜3}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{0，1，} C．{0，3，4} D．{3，4}2．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．给出下列四个命题，其中假命题是（）A．“∀x∈R，sinx≤1”的否定为“∂x∈R，sinx＞1”B．“若a＞b，则a﹣5＞b﹣5”的逆否命题是“若a﹣5≤b﹣5，则a≤b”C．∂x0∈（0，2），使得sinx=1 D．∀x∈R，2x﹣1＞04．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，m），且sinα=﹣，则tanα等于（）A．﹣ B．C．D．﹣5．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣16．如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（）A．B．C．或D．或7．根据程序框图计算，当a=98，b=63时，该程序框图结束的结果是（）A．a=7，b=7 B．a=6，b=7 C．a=7，b=6 D．a=8，b=88．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．πD．π9．已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．10．已知三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．8πB．8πC．5πD．6πx3A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a12．已知a，b∈（0，1），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（3，1），=（1，m），若向量与2﹣共线，则m=．14．如图，在坡角（坡面与水平面的夹角）为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离米，则旗杆的高度为米．15．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，||，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为．16．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）=x4﹣x3﹣x2．若函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为．三、解答题（共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n=（3n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．近期雾霾天气多发，对城市环境造成很大影响，某城市环保部门加强了对空气质量的检测，按国家环保部门发布的《环境空气质量标准》的规定：居民区的PM2.5（大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．抽取某居民区监控点记录的20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数集记录为如图茎叶图：（2）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率．19．如图，在几何体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，EC∥FA，FA=2EC=2，底面ABCD为平行四边形，AD⊥BD，AD=BD=2，FD⊥BE．（1）求证：FD⊥平面BDE；（2）求三棱锥F﹣BDE的体积．20．已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足=0，设M为弦AB的中点．（1）求点M的轨迹T的方程；（2）若以点M为圆心，||为半径的圆与直线x=﹣1相切，求||21．已知a∈R，函数f（x）=ax+lnx，g（x）=﹣（e为自然对数的底数）．（1）若a=﹣e2，求函数f（x）的极值；（2）若a=﹣1，求证：当x＞0时，f（x）＞g（x）﹣x恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FAFB，证明：EF∥CD．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016广西模拟）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．[选修4-5：不等式证明]24．=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|0＜x＜3}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{0，1，} C．{0，3，4} D．{3，4}解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∴∁U B={x|x＞4或x＜2}，即A∩（∁U B）={0，3，4}，故选：C．2．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i解：在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，结合所给的图形可得z1=﹣2﹣i，z2=i，则复数==﹣1+2i，故选A．3．给出下列四个命题，其中假命题是（）A．“∀x∈R，sinx≤1”的否定为“∂x∈R，sinx＞1”B．“若a＞b，则a﹣5＞b﹣5”的逆否命题是“若a﹣5≤b﹣5，则a≤b”C．∂x0∈（0，2），使得sinx=1 D．∀x∈R，2x﹣1＞0解：A对任意命题的否定：任意改为存在，再否定结论，故“∀x∈R，sinx≤1”的否定为“∂x∈R，sinx＞1”，故正确；B逆否命题把命题的条件结论都否定，再互换，故“若a＞b，则a﹣5＞b﹣5”的逆否命题是“若a﹣5≤b﹣5，则a≤b”故正确；C当x=时，sinx=1，故∂x0∈（0，2），使得sinx=1，故正确；D当x=0时，2x﹣1=0，故错误．故选D．4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，m），且sinα=﹣，则tanα等于（）A．﹣ B．C．D．﹣解：由题意可得sinα==﹣，m=﹣4，故tanα==，故选：B．5．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1解：∵函数f（x）=，f（x）是奇函数，∴f（﹣3）=﹣f（3），∴log2（1+3）=﹣[g（3）+1]，则g（3）=﹣3．故选：C．6．如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（）A．B．C．或D．或若△OAB是RT△，仅当l1⊥l2，得：k=﹣，A（4，0），B（，），△OAB的面积是4=，故选：B．7．根据程序框图计算，当a=98，b=63时，该程序框图结束的结果是（）A．a=7，b=7 B．a=6，b=7 C．a=7，b=6 D．a=8，b=8解：由题意，可得该程序按如下步骤执行第一步，比较输入的a、b，由于a=98且b=63，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a＞b”的回答为“是”，将a﹣b的值赋给a，得a=35；第二步，此时a=35且b=63，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a＞b”的回答为“否”，将b﹣a的值赋给b，得b=28；第三步，此时a=35且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a＞b”的回答为“是”，将a﹣b的值赋给a，得a=7；第四步，此时a=7且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a＞b”的回答为“否”，将b﹣a的值赋给b，得b=21；第五步，此时a=7且b=21，对判断框“a≠b”的回答为“是”此时对判断框“a＞b”的回答为“否”，将b﹣a的值赋给b，得b=14；第六步，此时a=7且b=14，对判断框“a≠b”的回答为“是”此时对判断框“a＞b”的回答为“否”，将b﹣a的值赋给b，得b=7；第七步，此时a=7且b=7，对判断框“a≠b”的回答为“否”，结束循环体并输出a、b的值．综上所述，可得最后输出的值为a=7，b=7 故选：A8．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．πD．π解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象的解析式为为：f（x）=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），其图象关于y轴对称，可得当x=0时，函数取得最值，可得：2φ+=kπ，k∈Z，解得：φ=+，k∈Z，当k=0时，φ取得最小正值为．故选：A．9．已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有＞2c，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），故选：B．10．已知三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．8πB．8πC．5πD．6π解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=，该三棱锥的外接球的表面积为：4×π×（）2=6π，故选：D．11．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=x3+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a解：由f（x）=2x+x=0得2x=﹣x，g（x）=log2x+x=0得log2x=﹣x，h（x）=x3+x=0得x3=﹣x，分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x3和y=﹣x的图象如图，，由图象知a＜c＜b，故选：B．．12．已知a，b∈（0，1），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．解：函数f（x）在[1，+∞）上递增，由二次函数的单调性可知﹣=≤1，即a≥2b．由题意得，画出图示得阴影部分面积．∴概率为=，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（3，1），=（1，m），若向量与2﹣共线，则m=．解：向量=（3，1），=（1，m），2﹣=（5，2﹣m）向量与2﹣共线，可得1×5=3×（2﹣m），解得m=．故答案为：．14．如图，在坡角（坡面与水平面的夹角）为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离米，则旗杆的高度为30米．解：由已知得∠ACD=30°+15°=45°，∠ADC=180°﹣60°﹣15°=105°，∴∠CAD=30°．在△ACD中，由正弦定理得，即，解得AD=20．∴AB=ADsin∠ADB=20=30（米）．故答案为：30．15．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，||，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为．解：由题意知，2a+2b=2|F1F2|=4c，，∴a=2c﹣b，又a2=b2+c2，∴（2c﹣b）2=b2+c2，解得：c=4．∴b=3，a=5．∴椭圆C的方程为．故答案为：．16．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）=x4﹣x3﹣x2．若函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为4．解：∵函数f（x）=，∴，∴f″（x）=x2﹣2x﹣3，∵函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，∴在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．∴a=﹣1，b=3，∴b﹣a=3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．三、解答题（共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．解：（1）∵S n=（3n﹣1），∴a1=S1==3．=（3n﹣1）﹣，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1化为：a n=3n．当n=1时，上式也成立．∴a n=3n．（2）b n=na n=n3n．∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×33+…+n3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n×3n+1，上两式作差可得﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=×3n+1﹣，∴T n=+．（2）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，∴5天任取2天的情况有=10种，其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种，∴恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率p=．19．解：（1）∵FA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FA⊥BD，又AD⊥BD，FA⊂FAD，AD⊂平面FAD，FA∩AD=A，∴BD⊥平面FAD，∵FD⊂平面FAD，∴BD⊥FD，又FD⊥BE，BD⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，BD∩BE=B，∴FD⊥平面BDE．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BD=BC=2，∵AD⊥BD，∴CD=2，∵CE=，∴BE==，DE=．∴BD2+BE2=DE2，∴BD⊥BE．∵FA=2，AD=2，∴FD==2．∴V F===2．﹣BDE20．解：（1）连接OM，OA，由=0得AC⊥BC，∴|CM|=|AM|=|BM|=|AB|，由垂径定理知|OM|2+|AM|2=|OA|2，即|OM|2+|AM|2=9，设M（x，y），则x2+y2+（x﹣1）2+y2=9，即x2﹣x+y2=4，则点M的轨迹T的方程是x2﹣x+y2=4．（2）∵以点M为圆心，||为半径的圆与直线x=﹣1相切，∴点M到直线x=﹣1的距离与到点C（1，0）的距离相等，根据抛物线的定义知点M在抛物线y2=2px上，其中，则p=2，故抛物线方程为y2=4x，|CM|=，|AB|=2=2×2=4，即||=421．解：（1）函数f（x）=﹣e2x+lnx（x＞0）的导数为f′（x）=﹣e2+=﹣，当x＞时，f′（x）＜0；当0＜x＜时，f′（x）＞0．即有f（x）在（0，）递增，在（，+∞）时，f（x）递减．可得f（x）在x=处取得极大值﹣1+ln=﹣3，无极小值；（2）证明：a=﹣1时，要证当x＞0时，f（x）＞g（x）﹣x恒成立，即证﹣x+lnx＞﹣﹣x，即为xlnx＞﹣在x＞0恒成立．设m（x）=xlnx，m′（x）=1+lnx，当x∈（0，）时，m′（x）＜0，m（x）递减；当x∈（，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增．可得m（x）在x=处取得极小值，且为最小值﹣；设n（x）=﹣，n′（x）=，当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）递增；当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）递减．可得n（x）在x=1处取得极大值，且为最大值﹣=﹣．由于最值不同时取得，即有xlnx＞﹣在x＞0恒成立．则当x＞0时，f（x）＞g（x）﹣x恒成立．22．解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FAFB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．23．解：（1）曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），普通方程为．曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）曲线C1的极坐标方程为，所以=+=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．。

广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷文(含解析)

2016年广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}2．复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．33．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（）A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（）A．B．C．D．25．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12y 6 m 3 2A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m=4C．可以预测，当x=11时，y=2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（）A．30π B．28π C．26π D．25π9．若数列{a n}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{a n}的前10项和S10=（）A．15B．15 C．31D．3110．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．44 B．56 C．68 D．7212．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=_______．14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为_______．15．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=8，a3=4．则的最小值为_______．16．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．（1）求角A的大小；（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：小明 6 6 9 9小红7 9 6 10（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．（1）求证AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，且m＞n（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；（2）若m+2n=1，求+的最小值．2016年广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B={0，1，2}故选：D．2．复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】根据复数的运算法则，化简复数z，进而得到数z的虚部．【解答】解：z===﹣3﹣2i，则复数z=的虚部为﹣2，故选：A．3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（）A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】直接利用逆否命题与原命题的关系写出结果即可．【解答】解：命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为若a≥或a≤﹣，则a2≥b．故选：C．4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（）A．B．C．D．2【考点】三角函数的化简求值．【分析】判断角所在象限，求出余弦函数值，然后求解即可．【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0，所以cosα＞0，α是第一象限角，cosα==．∴tanα==．故选：B．5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12y 6 m 3 2A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m=4C．可以预测，当x=11时，y=2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）【考点】线性回归方程．【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出m．【解答】解： ==9，∴=﹣0.7×9+10.3=4．∴，解得m=5．故选B．6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出．【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，∴c＞b＞a，故选：C．7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由题意知：=π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin（2x++φ），因为，所得图象关于x=轴对称，所以， ++φ=kπ+，k∈Z，所以，φ=kπ﹣，k∈Z，因为，0＜φ＜π，所以，φ=．可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选：B．8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（）A．30π B．28π C．26π D．25π【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出可行域D，可得将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，求出大圆的半径及小圆的半径，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出平面区域D如图，联立，解得B（5，3）；联立，解得C（3，5）；又A（0，2），∴将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，且大圆的半径为，小圆的半径为2．则圆环的面积为34π﹣4π=30π．故选：A．9．若数列{a n}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{a n}的前10项和S10=（）A．15B．15 C．31D．31【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2×+a5，化为：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=．∵a2=2﹣=a1×，解得a1=﹣1．则数列{a n}的前10项和S10==25﹣1=31，故选：D．10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论．【解答】解：由于函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且在x≥0上为增函数，f（2）=1 ∴不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2）即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜，故选：A．11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．44 B．56 C．68 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，且长方体长、宽、高为4、4、6；三棱柱的底面是直角边分别为4、3的直角三角形，高为4；三棱柱的底面是直角边分别为2、4的直角三角形，高为3；∴该几何体的体积V=4×4×6﹣﹣=68，故选：C．12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|===b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件即可求出，且，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值．【解答】解：根据条件：；∴=16+16+16=16×3；∴．故答案为：．14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为 1 ．【考点】程序框图．【分析】计算循环中n与i的值，当i=7时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=0，n=3执行循环体，满足条件n为奇数，n=10，i=1不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=5，i=2不满足条件i≥7，执行循环体，满足条件n为奇数，n=16，i=3不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=8，i=4不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=4，i=5不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=2，i=6不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=1，i=7满足条件i≥7，退出循环，输出n的值为1．故答案为：1．15．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=8，a3=4．则的最小值为﹣4 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S8=8，a3=4．利用等差数列的通项公式、求和公式可得a1，d，进而得到：a n，S n．代入=+n﹣15，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8=8，a3=4．∴8a1+d=8，a1+2d=4，解得a1=8，d=﹣2．∴a n=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，S n==9n﹣n2．则==+n﹣15，令f（x）=﹣15，（x≥1）．f′（x）=1﹣=，可知：当x=时，f（x）取得最小值，又f（5）=6+5﹣15=﹣4，f（6）=5+6﹣15=﹣4．∴f（n）的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．16．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＞0时，，；∵f（x）在[0，1]上单调递减；∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；∴a≥e2；（2）当a=0时，f（x）=e x，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；∴a≠0；（3）当a＜0时，在R上单调递增；令得，；∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；又f（x）在[0，1]上为减函数；∴；∴a≤﹣e2；∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．（1）求角A的大小；（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB ≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．（Ⅱ）由余弦定理可解得：，设BC边上的高为h，由，即可解得h的值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）由及正弦定理可得：，…因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，…因为sinB≠0，所以，…因为0＜A＜π，所以．…（Ⅱ）由余弦定理可知：，…所以：，解得：．…设BC边上的高为h，由，…得：，…解得：h=1．…18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：小明 6 6 9 9小红7 9 6 10（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．【考点】极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意，利用定义计算平均数与方差即可；（2）利用列举法计算基本事件数，求对应的概率即可．【解答】解：（1）根据题意，平均数x1==7.5，x2==8；=×（1.52×4）=2.25，=×（1×2+4×2）=2.5；…（2）记小明的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；小红的4局比赛为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10；则从小明和小红的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）；…其中满足条件的有：（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）；…故所求的概率为．…19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）连接BD，B1D1，通过证明AC⊥平面B1D1DB得出AC⊥BE；（2）利用菱形的性质计算S△ABC，于是=S△ABC•AA1．【解答】解：（1）连接BD，B1D1，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AA1⊥平面ABCD，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，又BB1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D1D，∵E是A′C′的中点，四边形A′B′C′D′是菱形，∴E是B1D1的中点，∴BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=A1B1=2，∠ABC=∠ADC=120°，∴S△ABC===，∴=S△ABC•AA1==．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（1，8），即可得到圆的方程；（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l1、l2始终相互垂直．【解答】解：（1）由题意得b=4，e==，又a2﹣c2=16，解得a=7，b=4，c=．∴椭圆C的方程为+=1；由题意可得圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点为（1，8），即有r2=65，则圆M的方程：x2+y2=65；（2）如图，①当过点A与椭圆C： +=1相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=±4，∵点A在圆M：x2+y2=65上，则A（±4，±7），∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），由，得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，由于直线与椭圆相切，∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，∴k1k2=，∵P（m，n）在圆x2+y2=65上，∴m2+n2=65，∴16﹣m2=n2﹣49，∴k1k2=﹣1，则两直线互相垂直．综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线斜率，即可得到所求切线方程．（2）通过，对∀x＞1恒成立；构造函数，求出导数求出极值点，判断函数的单调性，求解函数的最值，即可推出a的范围．【解答】解：（1）依题意，，故f'（1）=﹣2，因为f（1）=1，…故所求切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），得y=﹣2x+3；…（2）依题意，因为x∈（1，+∞），故lnx＞0，故，对∀x＞1恒成立；…令，则，令h'（x）=0，得，当时，h（x）单调递减；时，h（x）单调递增…所以当时，h（x）取得最小值…∴…又∵，∴…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．（1）求证AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明△ABD∽△CAD，即可证明AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函数求AD的长．【解答】（1）证明：∵AD切圆O于点A，∴∠B=∠CAD，∵∠ADB=∠CDA，∴△ABD∽△CAD，∴=，∴AC•AD=AB•CD；（2）解：∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵ED∥AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∠CDE=∠B，∴∠CAD=∠CDE，∵DE=4，DC=5，∴CE=3，∴sin∠CAD==sin∠CDE=，∴AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），利用cos2α+sin2α=1，即可得出直角坐标方程，进而得出极坐标方程．点（，1）在曲线C上，故切线的斜率=﹣=﹣，即可得出切线方程，进而化为极坐标方程．（2）点A的极坐标化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），∵cos2α+sin2α=1，∴x2+y2=3．可得极坐标方程为：ρ2=3，即．∵点（，1）在曲线C上，故切线的斜率k=﹣=﹣，故切线的方程为：y﹣1=（x﹣），可得： x+y=3．即cosθ+ρsinθ=3．（2）点A的极坐标为（2，），化为直角坐标A，即A （2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，∵直线与圆相切，∴=，∴k2﹣8k+1=0，解得k=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，且m＞n（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；（2）若m+2n=1，求+的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）作差法比较即可；（2）“乘1法”结合基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（1）由题意得：m2+n﹣（mn+m）=m2﹣mn+n﹣m=（m﹣1）（m﹣n），∵n＞1，故m＞1，故（m﹣1）（m﹣n）＞0，即m2+n＞mn+m；（2）由题意得：+=（+）（m+2n）=2+++2≥8，当且仅当m=2n=时“=”成立．。

2016届广西桂林市、崇左市高考联合模拟考试数学(文)试题(解析版)

2016届广西桂林市、崇左市高考联合模拟考试数学（文）试题一、选择题1．已知两集合{}221200x A x x x B xx ⎧-⎫=+-≤=>⎨⎬⎩⎭，，则A B =（）（A ）[)2,0- （B ）1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）[)12,0,12⎛⎤- ⎥⎝⎦（D ）[)1,+∞ 【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，[2,1]A =-，∵2100x x x ->⇒<或12x >， ∴1(,0)(,)2B =-∞+∞ ，∴1[2,0)(,1]2A B =- ，故选C ．【考点】本题主要考查集合的运算．2．复数()(1)z a i i =+-,,R a i ∈是虚数单位.若2z =，则a =（）（A ）1 （B ）-1 （C ）0 （D ）1±【答案】D.【解析】试题分析：由题意得，2||21221z a a =⇒+⋅=⇒=±，故选D ．【考点】本题主要考查复数的计算． 3．若向量,a b 满足:1,=a (),(3)+⊥+⊥a b a a b b ，则=b （）（A ）3 （B ）3 （C ）1 （D ）33【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，2()0a a b a b a ⋅+=⇒⋅=- ，21(3)03b a b a b b ⋅+=⇒⋅=- ，∴221||3||33a b b a =⇒==，故选B ．【考点】本题主要考查平面向量数量积．4．若函数()ln f x x ax =-在区间()1,+∞上单调递减，则a 的取值范围是（）（A ）[)1,+∞ （B ）[)1,-+∞ （C ）(],1-∞ （D ）(],1-∞- 【答案】A.【解析】试题分析：由题意得，max 11'()0()1f x a a x x=-≤⇒≥=，即实数a 的取值范围是[1,)+∞，故选A ．【考点】本题主要考查导数的运用．5．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值是（）（A ）13 （B ）1 （C ）53（D ）2 【答案】D.【解析】试题分析：由题意得，3()44k πωππ-=，k Z ∈，∴2k ω=，k Z ∈，∴1k =时，ω的最小值是2，故选D ．【考点】本题主要考查三角函数的图象变换．6．一个几何体的三视图如图示，则该几何体的表面积等于（）（A ）2π （B ）4π（C ）6+2+13π（）（D ）4213π+（）【答案】C.【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为半个圆锥，故其表面积21112132436(213)222S πππ=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++，故选C ．【考点】本题主要考查三视图与空间几何体的表面积．7．下图中，123,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分,当126,9,8.5x x p ===时，3x = （）（A ）11 （B ）10 （C ）8 （D ）7 【答案】C.【解析】试题分析：分析题意可知，输出的分数3336,7.529,7.52x x p x x +⎧<⎪⎪=⎨+⎪≥⎪⎩，故易得38x =，选C ．【考点】本题主要考查程序框图．8．不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，下列命题中正确的是（）（A ）(),,21x y D x y ∀∈+≤- （B ）(),,22x y D x y ∀∈+≥- （C ）(),,23x y D x y ∀∈+≤ （D ）(),,22x y D x y ∀∈+≥ 【答案】B.【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：20x y +=，平移l ，从而可知当2x =，1y =-时，min (2)0x y +=，即20x y +≥，故只有B 成立，故选B ．【考点】本题主要考查线性规划系．9．直线l 过拋物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F, 与该拋物线及其准线的交点依次为A 、B 、C ，若|BC|＝2|BF|，|AF|＝3，则P ＝（）（A ）34 （B ）32 （C ）94 （D ）92【答案】B.【解析】试题分析：如下图所示，设直线l 的倾斜角为θ，过B 作准线的垂线，垂足为H ，∵||2||BC BF =，∴||1||2||cos ||2BH BC BH BC θ=⇒==，∴3πθ=，∴3||231cos 2p AF p p θ===⇒=-，故选B ．【考点】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质．10．已知三棱柱ABC A B C '''-的6个顶点都在球O 的球面上，若13AB AC ==，,AB AC ⊥23AA '=，则球O 的直径为（）（A ）2 （B ）13 （C ）15 （D ）4 【答案】D.【解析】试题分析：分析题意可知，球心在BC 与''B C 中点连线的中点处，故直径为2314+=，故选D ．【考点】本题主要考查空间几何体的外接球．11．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，若12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）（A ）5 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A.【解析】试题分析：根据对称性，不妨121222||||||||2F P F P F F F P c =+=+，又∵12||||2F P F P a -=，∴1||22F Pca =-，2||24F P c a =-，又∵2221212||||||F P F P F F +=，∴222(22)(24)(2)5cc a c a c e a-+-=⇒==，故选A 【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及其性质．12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的R x ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）（A ）()34,2 （B ）()2,+∞ （C ）()31,4 （D ） ()1,2【答案】A.【解析】试题分析：由条件可得()(4)()f x f x f x =+=-，∴()f x 的图象如下图所示，而问题等价于()f x 的图象与函数log (1)a y x =+在(2,6]-上有3个不同的交点，故可知点(2,3)在log (1)a y x =+的上方，点(6,3)在log (1)a y x =+的下方， ∴3log 4342log 83a a a <⎧⇒<<⎨>⎩，即实数a 的取值范围是3(4,2)，故选A.【考点】本题主要考查抽象函数的奇偶性及其性质．二、填空题13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若21=a ，125=S ，则6a 等于 . 【答案】3.【解析】试题分析：由题意得，11512215451252a a d S a d ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨⋅==+=⎪⎪⎩⎩，∴6153a a d =+=，故填：3．【考点】本题主要考查等差数列的通项公式及其前n 项和．14．若点,3)n （在函数3xy =的图象上，则cos 3nπ的值是 . 【答案】12. 【解析】试题分析：由题意得，331nn =⇒=，∴1coscos332nππ==，故填：12．【考点】本题主要考查指数函数与三角函数值的计算．15．已知圆22:2410C x x y y -+++=,经过点(3,4)P 的直线分别与圆C 相切于点A B 、,则三角形ABC 的面积等于 .【答案】65. 【解析】试题分析：将圆的一般方程化为标准方程：22(1)(2)4x y -++=，如下图所示，易验证其中一条切线PB 的方程为3x =，∴6tan 32PCB ∠==， ∴2233tan tan 2134ACB ACB ⋅∠=∠==--，∴3sin 5ACB ∠=， ∴1136sin 222255ABCS AC BC ACB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=，故填：65．【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 、Q 分别是边AB 、BC 边上的动点，且,AQ DP ⊥ .则CP QP ⋅的最小值为．【答案】3.【解析】试题分析：如下图所示，由条件易证ABQ DAP ∆≅∆，∴设(02)AP BQ t t ==<<，如图所示建立空间直角坐标系，则(0,2)C ，(2,)P t ，(2,2)Q t -，∴(2,2)CP t =- ，(,2)QP t t =- ，∴22244(1)33CP QP t t t t ⋅=+-+=-+≥，当且仅当1t =时，等号成立，故所求最小值为3，故填：3.【考点】本题主要考查平面向量数量积的运算与函数最值．三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2D D BC A C ===，60A ∠=°．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）求BCD △的面积．【答案】（1）217；（2）374. 【解析】试题分析：本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，在ABD ∆中，利用余弦定理求出BD 的长，在ABD ∆中，利用正弦定理解出sin ABD ∠；第二问，在BCD ∆中利用余弦定理解出1cos 8C =，利用平方关系得到37sin 8C =，最后代入到三角形面积公式中即可.试题解析：（Ⅰ）在△ABD 中,由余弦定理，得222?32232cos60=7BD =+-⨯⨯⨯．∴7BD =．由正弦定理, 得sin sin ∠=AD AABD BD21.7=（Ⅱ）在△BCD 中,由余弦定理，得22222222cos =7BD C =+-⨯⨯. ∴1cos 8C =. 又()0C π∈，，∴37sin 8C =. ∴1sin 2=⋅ BC D S BC CD C . 374=【考点】本题主要考查：1.三角恒等变换；2.解三角形.18．有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛, 由550名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 5010020015050（Ⅰ）为了调查大众评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数50100 200 150 50 抽取人数6（Ⅱ）在（Ⅰ）中, 若A, C 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. 【答案】（1）详见解析；（2）19. 【解析】试题分析：本题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，在分层抽样中，利用样本容量÷总容量，计算表中的值；第二问，先求出每组中支持1号歌手的概率，最后将两个概率值乘在一起即可. 试题解析：（Ⅰ）组别 A B C D E 人数50100 200 150 50 抽取人数 361293（Ⅱ） A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为32. C 组抽取的12人中有2人支持1号歌手,则从12人中任选2人,支持支持1号歌手的概率为21126=. 现从抽样评委A 组3人,C 组12人中各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率2213129p ==. ∴ 从A,C 两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率为19. 【考点】本题主要考查：1.分层抽样；2.古典概型.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC ==．（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）23.【解析】试题分析：本题主要考查面面垂直的判定与性质、空间几何体体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，在ABD ∆中，利用边长得到勾股定理，从而AD BD ⊥，由面面垂直的性质定理得到BD ⊥平面PAD ，最后由面面垂直的判定定理得平面MBD ⊥平面PAD ；第二问，由面面垂直得到线面垂直，即得到锥体的高，再求底面梯形ABCD 的面积，最后代入到锥体的体积公式中.试题解析：（Ⅰ）证明：在ABD △中，由于2AD =，4BD =，25AB =，∴ 222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ．∴PO 为四棱锥P ABCD -的高. 又PAD △是边长为2的等边三角形, ∴ 3232PO =⨯=．在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形. 在Rt ADB △中，斜边AB 边上的高为2445525⨯=， ∴四边形ABCD 的面积为25545625S +=⨯=．故163233P ABCD V -=⨯⨯=．【考点】本题主要考查：1.面面垂直的证明；2.空间几何体体积求解. 20．设0>a 且a ≠0，函数x a x a x x f ln )1(21)(2++-=. （I ）当2=a 时，求曲线)(x f y =在（3，)3(f ）处切线的斜率；（Ⅱ）求函数)(x f 的极值点. 【答案】（1）23；（2）详见解析. 【解析】试题分析：利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：1.已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；2.已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为'()0f x ≥（或'()0f x ≤）恒成立的问题；3.已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．试题解析：（1）由已知0>x ，当2=a 时，xx x f 23)('+-=， ()y f x ∴=在))3(,3(f 处切线的斜率为32)3('=f . （2）xa x x x a x a x x a a x x f ))(1()1()1()('2--=++-=++-=.由0)('=x f 得 1=x 或a x =.①当10<<a 时，当),0(a x ∈时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；当)1,(a x ∈时，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，此时a x =是)(x f 的极大值点，1=x 是)(x f 的极小值点. ②当1>a 时，当)1,0(∈x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；当)1,(a x ∈时，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；当),(+∞∈a x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，此时1=x 是)(x f 的极大值点，a x =是)(x f 的极小值点.③当1a =时，0x >时0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，)(x f 没有极值点；综上，当10<<a ，a x =是)(x f 极大值点，1=x 是)(x f 极小值点；当1=a ，)(x f 没有极值点.【考点】本题主要考查导数的运用.21．已知点(1,0)B ,A 是圆22:(1)20C x y ++=上的动点，线段AB 的垂直平分线与线段AC 交于点P ．（I ）求动点P 的轨迹1C 的方程；（Ⅱ）设1(0,)5M ，N 为抛物线22:C y x =上的一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交曲线1C 于,P Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．【答案】（1）22154x y +=；（2）1305. 【解析】试题分析：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．试题解析：（Ⅰ）由已知可得，点P 满足252PB PC AC BC +==>=,∴动点P 的轨迹1C 是一个椭圆，其中225a =，22c =动点P 的轨迹1C 的方程为22154x y +=. （Ⅱ）设2(,)N t t ，则PQ 的方程为：222()2y t t x t y tx t -=-⇒=-，联立方程组2222154y tx t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得： 2234(420)205200t x t x t +-+-=，有()2431224122804200,20,420520.420t t t x x t t x x t ⎧∆=+->⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩而()2422122804201414,420t t PQ t x x t t +-=+⨯-=+⨯+点M 到PQ 的高为2215,14t h t +=+由1||2MPQ S PQ h ∆=代入，即225(10)10410∆=--+MPQ S t 5130104105≤⋅=. 当且仅当210t =时，MPQ S ∆可取最大值1305. 【考点】本题主要考查：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.22．选修4-1:几何证明选讲如图，ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=︒．以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点．连结OD 交圆O 于点M .（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）求证：22DE DM AC DM AB =⋅+⋅【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查圆的基本性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，由AB 为直径，得BE ⊥EC ，由ODE ∆和ODB ∆对应边相等，证明两个三角形全等，从而得到90OBD OED ∠=∠=︒，得证四点共圆.试题解析：（1）证明：如图，连结OE 、BE ，则BE ⊥EC又∵D 是BC 的中点， ∴DE BD =.又∵OE OB =，OD OD =， ∴ODE ODB ∆≅∆，∴90OBD OED ∠=∠=︒. ∴O 、B 、D 、E 四点共圆．（Ⅱ）证明：延长DO 交圆O 于点H .由（1）知DE 为圆O 的切线，∴2()DE DM DH DM DO OH DM DO DM OH =⋅=⋅+=⋅+⋅， ∴211()()22DE DM AC DM AB =⋅+⋅.∴22DE DM AC DM AB =⋅+⋅．【考点】本题主要考查：1.圆的基本性质；2.切线的性质；3.相似三角形的判定与性质.23．选修4-5:不等式已知定义在R 上的函数f （x ）＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为m ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若c b a ,,是实数，且满足m c b a =++，求证：3222≥++c b a ．【答案】（1）3m =；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：试题解析：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用不等式的性质求函数的最小值，注意等号成立的条件；第二问，利用柯西不等式证明或利用基本不等式证明. （Ⅰ）12(1)(2)3,x x x x ++-≥+--=12x -≤≤当且仅当时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即m=3.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,,,++=a b c a b c 又是实数，2222222)(111)()9a b c a b c ++++≥++=所以（，222 3.a b c ++≥即222212,12,12.1a a b b c c a b c +≥+≥+≥===法：相加即得（当时取等号）.【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.。

2016年高考数学调研卷(第一模拟)文(含解析)

2016年全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学（第一模拟）一、选择题：共12题1．已知集合A={x|x2+x-2=0},B={x|-x2+x=0},则A∩B=A.{-1,0}B.{0,1}C.{1}D.{0}【答案】C【解析】本题考查一元二次方程的解、集合的交运算.先求出两个集合A,B,再利用集合知识求解即可.因为A={-2,1},B={0,1},所以A∩B={1}.选C.2．已知(a+b i)·(1-2i)=5(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b的值为A.-1B.1C.2D.3【答案】D【解析】本题主要考查复数的乘法运算、复数相等的概念.解题时,先利用复数的乘法运算对已知条件进行运算,然后根据复数相等的概念求出a,b即可求解.因为(a+b i)(1-2i)=a+2b+(b-2a)i=5,故, 解得a=1,b=2,故a+b=3,选D.3．高三某班有学生56人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、33号、47号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为A.13B.17C.19D.21【答案】C【解析】本题主要考查系统抽样在实际问题中的应用,考查考生对基础知识的掌握情况.因为47-33=14,所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5+14=19.4．“x>1”是“log2(x-1)<0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查不等式的知识与充要关系的判断.分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断是解题的关键.由log2(x-1)<0得0<x-1<1,即1<x<2,故“x>1”是“log2(x-1)<0”的必要不充分条件,选B.5．在约束条件下,目标函数z=x+2y的最大值为A.26B.24C.22D.20【答案】A【解析】本题主要考查线性规划的知识,数形结合是解决线性规划题目的常用方法.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+2y得y=-x+,当y=-x+经过点C时,目标函数z=x+2y取得最大值,由得,即C(6,10),故目标函数z=x+2y的最大值为6+2×10=26,选A.6．已知角θ的终边经过点P(-1,-),则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=A.-B.C.-D.【答案】D【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式、三角函数的求值等,考查考生的运算求解能力及转化思想.通解因为角θ的终边经过点P(-1,-),故tanθ=,故,由sin2θ+cos2θ=1可得cos2θ=,即cosθ=-,所以sinθ=-,sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ=+(-)×(-)-,选D.优解因为角θ的终边经过点P(-1,-),故tanθ=,故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ==,选D.7．执行如图所示的程序框图,若输出的结果为43,则判断框内应填入的条件是A.z≤42?B.z≤20?C.z≤50?D.z≤52?【答案】A【解析】本题考查程序框图的知识,解题时,要注意z的值是否满足输出结果,何时终止循环.运行程序:x=0,y=1,因为z=1不满足输出结果,则x=1,y=1,因为z=2×1+1=3不满足输出结果,则x=1,y=3,因为z=2×1+3=5不满足输出结果,则x=3,y=5,因为z=2×3+5=11不满足输出结果,则x=5,y=11,因为z=2×5+11=21不满足输出结果,则x=11,y=21,因为z=2×11+21=43满足输出结果,此时需终止循环,结合选项可知,选A.8．设各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n,且a4a8=32,则S11的最小值为A.22B.44C.22D.44【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质、前n项和公式,利用基本不等式求最值等知识.解答的关键是利用好基本不等式.因为数列{a n}为各项均为正数的等差数列,所以a4+a8≥2=8,S11=(a4+a8)≥×8=44,故S11的最小值为44,当且仅当a4=a8=4时取等号.选B.9．已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.6+B.10+C.10+D.6+【答案】B【解析】本题考查三视图、几何体的体积,考查考生的计算能力、空间想象能力.由三视图还原出几何体是解题的关键.由三视图可知该几何体是由一个各棱长均为2的正四棱锥、一个棱长为2的正方体和一个直三棱柱构成的,正方体的体积为2×2×2=8,三棱柱的体积为×2×1×2=2,棱长为2的正四棱锥的高为,故其体积为×2×2×,故该几何体的体积为8+2+=10+,选B.10．将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度得到y=sin x的图象,则函数f(x)的单调递增区间为A.[2kπ-,2kπ+],k∈ZB.[2kπ-,2kπ+],k∈ZC.[kπ-,kπ+],k∈ZD.[kπ-,kπ+],k∈Z【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数的图象变换等知识.先根据三角函数图象变换求出ω,φ的值,再求其单调区间.通解将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则函数变为y=sin(ωx+φ),再向左平移个单位长度得到的函数为y=sin[ω(x+)+φ]=sin(ωx++φ)=sin x,又ω>0,所以,又-≤φ<,所以ω=2,φ=-,f(x)=sin(2x-),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.选C.优解将y=sin x的图象向右平移个单位长度得到的函数为y=sin(x-),将函数y=sin(x-)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则函数变为y=sin(2x-)=f(x),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,选C.11．已知变量a,b满足b=-a2+3ln a(a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+上,则(a-m)2+(b-n)2的最小值为A. B. C.9 D.3【答案】A【解析】本题主要考查导数的几何意义、点到直线的距离公式,考查考生构造函数解决问题的意识、数据处理能力等,属于中上等难度题.将问题转化为函数图象上的动点与直线上的动点的距离问题,可用与已知直线平行的切线求解.由题意知,y=2x+表示斜率为2的直线,变量a,b满足b=-a2+3ln a,设函数f(x)=-x2+3ln x,则f'(x)=-x+,设当切线斜率为2时,函数f(x)图象的切点的横坐标为x0,则-x0+=2,∴x0=1,此时切点坐标为(1,-),切点到直线y=2x+的距离d=,∴(a-m)2+(b-n)2的最小值为d2=.12．已知双曲线C:-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为A.+2B.+1C.-2D.-1【答案】D【解析】本题综合考查双曲线的方程、渐近线,抛物线的定义、性质等,考查考生分析问题、解决问题的能力.-4y2=1的右顶点坐标为(a,0),一条渐近线为x-2ay=0.由点到直线的距离公式得d=,解得a=或a=-(舍去),故双曲线的方程为-4y2=1.因为c==1,故双曲线的右焦点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),所以p=2,x=-1是抛物线的准线,因为点M到y轴的距离为d1,所以到准线的距离为d1+1,设抛物线的焦点为F,则d1+1=|MF|,所以d1+d2=d1+1+d2-1=|MF|+d2-1,焦点到直线l的距离d3=,而|MF|+d2≥d3=,所以d1+d2=|MF|+d2-1≥-1,选D.二、填空题：共4题13．设向量a,b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,则(-3a+b)·(a+2b)=.【答案】0【解析】本题主要考查向量的模与夹角、向量的数量积等,考查考生的运算能力.因为向量a,b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,所以a·b=|a|·|b|cos 60°=1×2×=1,则(-3a+b)·(a+2b)=-3a2-6a·b+a·b+2b2=-3-5+8=0.14．已知在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,4),B(6,2),则三角形OAB的外接圆的方程是.【答案】x2+y2-6x-2y=0【解析】本题主要考查三角形的外接圆等知识.有两种方法解决,一是待定系数法,设出圆的一般方程,求出D,E,F即可,二是先判断出三角形OAB为直角三角形,再利用直角三角形的性质求出其外接圆的方程.解法一设三角形OAB的外接圆方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意可得,解得,故三角形OAB的外接圆的方程是x2+y2-6x-2y=0.解法二因为直线OA的斜率k OA==2,直线AB的斜率k AB==-,k AB×k OA=2×(-)=-1,所以三角形OAB 是直角三角形,点A为直角顶点,OB为斜边,因为|OB|=,故外接圆的半径r=,又OB的中点坐标为(3,1),故三角形OAB的外接圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=10,即x2+y2-6x-2y=0.15．已知棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为的球面上,则a的值为.【答案】1【解析】本题主要考查球的内接三棱柱等,考查考生的空间想象能力与运算能力.设O是球心,D是等边三角形A1B1C1的中心,则OA1=,因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a,所以A1D=a×a,OD=,故A1D2+OD2=(a)2+()2=()2,得a2=,即a2=1,得a=1.16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且S1,S2+2,S3成等差数列,记数列{a n·(2n+1)}的前n项和为T n,则T n=.【答案】2-(1-2n)×2n+1【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求和.利用已知条件可以求出{a n}的通项公式,再利用错位相减法求和即可.设数列{a n}的公比为q,由可得4+4q+4=2+2+2q+2q2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),∴a n=2n(n∈N*),a n·(2n+1)=(2n+1)×2n,故T n=3×2+5×22+…+(2n+1)×2n,则2T n=3×22+5×23+…+(2n+1)×2n+1,故-T n=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1=6+2×-(2n+1)×2n+1=-2+(1-2n)×2n+1,故T n=2-(1-2n)×2n+1.三、解答题：共8题17．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,.(1)求角A的大小;(2)求△ABC的面积的最大值.【答案】(1)根据正弦定理,由可得,,∴b2-a2=bc-c2,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,∵A∈(0,π),∴A=.(2)由a=2及余弦定理可得cos A=,故b2+c2=bc+4.又bc+4=b2+c2≥2bc,∴bc≤4+2,当且仅当b=c=时等号成立.故所求△ABC的面积的最大值为×(4+2)×+1.【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,基本不等式及三角形的面积公式等,考查了考生的计算能力,属于中档题.(1)利用正弦定理与余弦定理即可得出;(2)先利用余弦定理、基本不等式求出bc的最大值,再利用三角形的面积计算公式即可得出.【备注】解三角形的常见类型和方法:(1)已知两角和一边,首先根据内角和求出第三角,再用正弦定理、余弦定理求解相关问题;(2)已知两边和夹角,先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理求另两角,必有一解;(3)已知三边可先应用余弦定理求对应的三个角,再求解相关问题.18．某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.【答案】(1)由题意知,样本数据的平均数=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为,由此估计这90个服务网点中有90×=30个优秀服务网点.(3)由于样本中优秀服务网点有2个,分别记为a1,a2,非优秀服务网点有4个,分别记为b1,b2,b3,b4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3), (b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M,则事件M包含的可能情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8种,故所求概率P(M)=.【解析】本题主要考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识.(1)先根据茎叶图读出数据,再利用公式求解即可;(2)利用样本估计总体的知识即可得出;(3)先利用列举法将满足条件的情况逐一列出来,再利用古典概型的概率计算公式解答.【备注】概率与统计解答题是近几年新课标高考的热点考题,利用茎叶图解答实际问题是当今命题的热点与亮点.这类题往往借助于熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的问题进行命题,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,往往对分层抽样、系统抽样比较偏重,考生只有正确处理茎叶图,读准数据,掌握古典概型的概率的计算,考试时才不会失分.19．在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF是正方形,AB∥DC,AB=AD=1,CD=2,AC=EC=.(1)求证:平面EBC⊥平面EBD;(2)设M为线段EC上一点,且3EM=EC,试问在线段BC上是否存在一点T,使得MT∥平面BDE,若存在,试指出点T的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)因为AD=1,CD=2,AC=,所以AD2+CD2=AC2,所以△ADC为直角三角形,且AD⊥D C.同理,因为ED=1,CD=2,EC=,所以ED2+CD2=EC2,所以△EDC为直角三角形,且ED⊥DC.又四边形ADEF是正方形,所以AD⊥DE,又AD∩DC=D,所以ED⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.在梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于点H,故四边形ABHD是正方形,所以∠ADB=45°,BD=.在Rt△BCH中,BH=CH=1,所以BC=,故BD2+BC2=DC2,所以BC⊥BD.因为BD∩ED=D,BD⊂平面EBD,ED⊂平面EBD,所以BC⊥平面EBD,又BC⊂平面EBC,所以平面EBC⊥平面EBD.(2)在线段BC上存在一点T,使得MT∥平面BDE,此时3BT=BC.连接MT,在△EBC中,因为,所以MT∥EB.又MT⊄平面BDE,EB⊂平面BDE,所以MT∥平面BDE.【解析】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系等,考查考生的推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力.(1)先利用勾股定理证明△ADC、△EDC 是直角三角形,最后证明平面EBC⊥平面EBD;(2)是探究性问题,先利用分析法找到点T,再进行证明.【备注】与平行、垂直有关的探究性问题是高考常考题型之一,解答的基本思路是先根据条件猜测点的位置,再给出证明.在探究点的存在性问题时,点多为中点、三等分点等特殊点,有时也需结合平面几何知识找点.20．设F1、F2分别是椭圆E:+=1(b>0)的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,且·的最大值为1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=ky-1与椭圆E交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求k的取值范围.【答案】(1)解法一易知a=2,c=,b2<4,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-4+b2=x2+b2--4+b2=(1-)x2+2b2-4.因为x∈[-2,2],故当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,·有最大值1,即1=(1-)×4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为+y2=1.解法二由题意知a=2,c=,b2<4,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=||·||·cos∠F1PF2=||·||·[+y2++y2-16+4b2]=(1-)x2+2b2-4.因为x∈[-2,2],故当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,·有最大值1,即1=(1-)×4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+4)y2-2ky-3=0,Δ=(-2k)2+12(4+k2)=16k2+48>0,故y1+y2=,y1·y2=.又∠AOB为锐角,故·=x1x2+y1y2>0,又x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=k2y1y2-k(y1+y2)+1,所以x1x2+y1y2=(1+k2)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+k2)·-+1=>0,所以k2<,解得-<k<,故k的取值范围是(-,).【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.(1)先设P(x,y),表示出F1、F2的坐标,然后求出、,得到·关于x的表达式,利用·的最大值求得b2的值,进而可求出椭圆的方程;(2)将x=ky-1与椭圆方程联立消去x,利用根与系数的关系表示出y1+y2和y1y2,由∠AOB为锐角可得x1x2+y1y2>0,将x1=ky1-1,x2=ky2-1代入求得x1x2+y1y2关于k的表达式,解不等式求出k的取值范围.【备注】每年高考试题都有一道解析几何的解答题,此题难度中等偏上,综合考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题和直线与圆锥曲线的位置关系等知识.由于解析几何解答题的综合性较强,对考生的能力要求较高,所以解答这类问题时,要注意观察问题的个性特征,熟练运用圆锥曲线的几何性质,以减少解题过程中的运算量.21．已知函数f(x)=ax2-ln x+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当a=1时,f(x)>x2+在(1,+∞)上恒成立.【答案】(1)由于f(x)=ax2-ln x+1(a∈R),故f'(x)=2ax-(x>0).①当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.②当a>0时,令f'(x)=0,得x=.当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(0,)(,+∞)f'(x) -0 +f(x) ↘极小值↗由表可知,f(x)在(0,)上是单调递减函数,在(,+∞)上是单调递增函数.综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).(2)当a=1时,f(x)=x2-ln x+1,设F(x)=x2-ln x+1-x2-x2-ln x-,则F'(x)=x->0在(1,+∞)上恒成立,∴F(x)在(1,+∞)上为增函数,且F(1)=0,即F(x)>0在(1,+∞)上恒成立,∴当a=1时,f(x)>x2+在(1,+∞)上恒成立.【解析】本题考查运用导数知识求函数的单调区间及不等式的恒成立问题,涉及分类讨论、构造法等思想方法.第(1)问是求函数的单调区间问题,对f(x)求导,分a≤0和a>0进行讨论,进而求出单调区间;第(2)问通过构造函数,利用函数的单调性进行证明.【备注】函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点与热点,函数与不等式等结合的题目往往成为考卷的压轴题,因而预计2016年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂,因而本题试图在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的难度,在不增加考生题意理解难度的基础上,力争考查更多的知识.22．如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长BA和CD相交于点P,BD为☉O的直径,过点C 作CE⊥BD于点E,BE=,AD=,,.(1)求BC的值;(2)求sin∠BDC的值.【答案】(1)因为四边形ABCD是☉O的内接四边形,所以∠PAD=∠PCB,又∠P=∠P,所以△PAD∽△PC B.设PA=a,PD=b,则有,即,故b=a,所以.又AD=,所以BC=4.(2)由BD为☉O的直径可知,BC⊥CD,又CE⊥BD,所以在Rt△BCD中,由射影定理知,BC2=BE·BD,故42=·BD,解得BD=3.故sin∠BDC=.【解析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形相似、射影定理等.对于第(1)问要先得到△PAD 与△PCB相似,再利用已知条件得到比例关系式,即可求出BC的值;对于第(2)问要充分利用射影定理求出BD的值,进而求解sin∠BDC的值.【备注】与圆有关的证明或计算问题是高考考查的重点内容,它主要以圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等作为证明角相等的依据,以圆的切割线定理、相交弦定理作为证明线段成比例的依据,以圆内接四边形的有关性质作为证明四点共圆的依据.求解时要依据图形,合理推理,准确转化,必要时需要借助辅助线将问题转化.23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+k sinθ)=-2(k为实数).(1)判断曲线C1与直线l的位置关系,并说明理由;(2)若曲线C1和直线l相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的斜率.【答案】(1)由曲线C1的参数方程可得其普通方程为(x+1)2+y2=1.由ρ(cosθ+k sinθ)=-2可得直线l的直角坐标方程为x+ky+2=0.因为圆心(-1,0)到直线l的距离d=≤1,所以直线与圆相交或相切,当k=0时,直线l与曲线C1相切;当k≠0时,直线l与曲线C1相交.(2)由于曲线C1和直线l相交于A,B两点,且|AB|=,故圆心到直线l的距离d=,解得k=±1,所以直线l的斜率为±1.【解析】本题考查曲线的参数方程及直线的极坐标方程,考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等.【备注】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法;极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是用好公式:.24．设函数f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)解不等式f(x)≥0;(2)若f(x)+2|x-1|≥m对任意的实数x均成立,求m的取值范围.【答案】(1)通解f(x)≥0等价于|x+3|≥|x-1|,当x>1时,|x+3|≥|x-1|等价于x+3≥x-1,即3≥-1,不等式恒成立,故x>1;当-3≤x≤1时,|x+3|≥|x-1|等价于x+3≥1-x,解得x≥-1,故-1≤x≤1;当x<-3时,|x+3|≥|x-1|等价于-x-3≥1-x,即-3≥1,无解.综上,原不等式的解集为{x|x≥-1}.优解f(x)≥0等价于|x+3|≥|x-1|,即(x+3)2≥(x-1)2,化简得8x≥-8,解得x≥-1,即原不等式的解集为{x|x≥-1}.(2)f(x)+2|x-1|=|x+3|-|x-1|+2|x-1|=|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4,要使f(x)+2|x-1|≥m 对任意的实数x均成立,则[f(x)+2|x-1|]min≥m,所以m≤4.【解析】第(1)问主要考查绝对值不等式的解法,可以利用分类讨论思想进行解答,也可以两边先平方然后化简求解;第(2)问主要考查绝对值不等式的恒成立问题,利用绝对值不等式的意义求出最小值即可解决.。

2016年南宁市高三摸底考试文科数学答案

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广西高考数学(文科)模拟考试卷附带答案解析

广西高考数学(文科)模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|M x x A =∈且}x B ∈,{}3,4,5,6,7A =与{}2,4,6,8B =，则M 等于（） A ．{}4,5,6 B ．{}4,6 C ．{}2,8D ．{}3,5,72．复数z2，则复数z 2的对应点位于复平面内（） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第二或三象限3．函数2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．()2ππ,2π,Z k k k -∈B ．()2π,2ππ,Z k k k +∈C ．7ππ(2π,2π),Z 66k k k --∈ D ．π5π(2π,2π),Z 66k k k -+∈4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A ．2exy x=B ．()22e x xy x+=C ．e 2xy x=D ．2e xy x=5．经过原点且倾斜角为60︒的直线被圆C:220x y a +-+=截得的弦长是C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于（）A ．83π-B ．163π-C ．83π-D ．163π-6．有一组样本数据由这组数据得到新的样本数据其中i iy cx =（1i =，2，…，n ），且0c ≠，则下列说法中错误的是（）A ．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c 倍B ．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c 倍C ．新样本数据的方差是原样本数据方差的c 倍D ．新样本数据的极差是原样本数据极差的c 倍7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（）A ．12B ．1CD 8．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且1122BC BA BP +=，则A ．0PA PB += B ．0PA PC += C ．0PC PB +=D ．0++=PA PB PC9．已知椭圆22:1126x y C +=的两焦点分别为1F ，2F 且P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于（）．A ．6B ．C ．D ．10．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=BC=2，60ABC ∠=︒将ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P 点，且PB =-P ABC 外接球的表面积是（）A ．15πB ．25πC ．D ．20π11．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F 过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =则C 的方程为（）A ．221124x y += B ．2211612x y += C ．221128x y += D ．2212016x y += 12．若存在实数x ，y 满足ln 3y y x x e e --+≥+，则x y +=（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．e二、填空题13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 夹角为__________．14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．15．函数()21f x x x=-+的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______． 16．已知11223x x -+=，则22x x --=___________．三、解答题17．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时），并根据统计数据分为六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在[]1,4内），得到频率分布直方图如图所示.(1)求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；(2)为了分析该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出20名居民进一步调查，试问在[)1.5,2时间段内应抽出多少人?18．在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a 与3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =点E 是棱PB 的中点．(1)求证：CB AE ⊥；(2)若2AB =，BC =求三棱锥P ACE -的体积． 20．已知函数()32123f x x x =-+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求函数()f x 在区间[](),10a a a +>的最大值． 21．已知抛物线22x py =上一点()2,1P -，焦点为F ． (1)求PF 的值；(2)已知A ，B 为抛物线上异于P 点的不同两个动点，且PA PB ⊥，过点P 作直线AB 的垂线，垂足为C ，求C 点的轨迹方程．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程； (2)若直线π6θ=与曲线1C 交于A 点、与曲线2C 交于B 点，求||AB 的值． 23．已知()112f x x x =-++的最小值为n ． (1)求n 的值；(2)若正实数,,a b c 满足a b c n ++=，求222a b c ++的最小值．参考答案与解析1．B【分析】利用交集的定义直接求解.【详解】因为 {}3,4,5,6,7A =，{}2,4,6,8B =与{|M x x A =∈且}x B ∈ 所以{}4,6M =. 故选：B 2．D【分析】结合复数的概念及模长求出复数z ，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限.【详解】设z a bi =+，因为2b z =，所以1a =±，所以1z =或1z =-若1z =+，则()2212z =+=-+，复数z 2的对应点位于复平面内第二象限；若1z =-，则()2212z =-=--，复数z 2的对应点位于复平面内第三象限；故选：D. 3．C【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答. 【详解】由2ππ2π,Z 6k x k k π-≤+≤∈，解得2π2π,Z 66k x k k 7ππ-≤≤-∈ 所以所求函数的增区间为7ππ(2π,2π),Z 66k k k --∈. 故选：C 4．C【分析】结合图象，根据函数值的特点排除A 、B ，根据单调性排除D 即可得正确选项. 【详解】对于A ：当0x <时2e0xy x=<，且2exy x=为奇函数图象关于原点对称，不符合题意，故选项A 不正确；对于B ：当0x <时()22e 0x xy x+=<，不符合题意，故选项B 不正确；对于D ：当0x >时由 2e x y x =可得()243e 2e 2e xx x x x x y x x -⋅-'== 当02x <<时0'<y ；当2x >时0'>y ，所以2e xy x=在()0,2单调递减，在()2,∞+单调递增，不符合图象特点，故选项D 不正确；故选：C. 5．A【分析】由已知利用垂径定理求得a ，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【详解】解：直线方程为y =，圆22:0C x y a +-+=的圆心坐标为(圆心(0y -=的距离d = 则4a =-．∴圆C 的圆心坐标为(，半径为4．如图sin OBC ∠60OBC ∠=︒ 60ACB ∠=︒∴．218463CAB S ππ=⨯⨯=扇形 144602ABC S sin =⨯⨯⨯︒=三角形∴圆C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于83π-．故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题． 6．C【分析】根据平均数，百分位数，极差以及方差的定义以及计算即可根据选项逐一求解.【详解】对于A ，根据平均数的定义知，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c 倍，选项A 正确；对于B ，根据百分位数的定义知，新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c 倍，选项B 正确；对于C ，根据方差的计算公式知，新样本数据的方差是原样本数据方差的2c 倍，所以选项C 错误；对于D ，根据极差的定义知，新样本数据的极差是原样本数据极差的c 倍，选项D 正确．故选：C 7．B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱,,AA BB CC '''，交于点P ，因为6AB BC AC ===,3A B B C A C ''''''===，则24PA PB PC AA '====，作PO ⊥底面ABC 于O ，连接BO ，则BO ==故2PO =，故正三棱台ABC A B C '''-的高为12PO= 故选：B 8．B【分析】由向量的加减法运算化简即可得解.【详解】2BC BA BP +=,移项得20,0BC BA BP BC BP BA BP PC PA +-=-+-=+=．【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题. 9．B故选：B 10．D【分析】在梯形ABCD 中，利用已知条件求出三角形ADC 和三角形ABC 的边长，分别取,AB AC 的中点,O F '，连接,,O F PF BF '，可证出PF ⊥面ABC ，由O P O A ''<知，三棱锥-P ABC 外接球的球心O 在平面ABC 的下方，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，连接OO '，作OH PF ⊥，垂足为H ，由()22222R O A O O OH PF O O '''=+=++，解出外接球半径，进而得出表面积．设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，连接OO '，作OH PF ⊥，垂足为H 由题中数据可得1PF = 1OH O F '== 2O A '= HF OO '=设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，则()22222R O A O O OH PF O O '''=+=++ 即()222141R O O O O ''=+=++，解得1'=O O 25R = 故三棱锥-P ABC 外接球的表面积是24π20πR =. 故选：D11．C【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程．【详解】22||2||AF BF = 2||3||AB BF ∴= 又1||||AB BF = 12||3||BF BF ∴= 又12||||2BF BF a += 2||2aBF ∴=2||AF a ∴= 13||2BF a =12||||2AF AF a += 1||AF a ∴= 12||||AF AF ∴= A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中22cos AF O a∠=在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为221128x y +=．故选：C ．【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x ya b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 12．C【分析】令()ln 3f x x x =-+，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令()y y g y e e -=+，结合基本不等式，求得()2g y ≥，进而得到ln 32x x -+=，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】令函数()ln 3f x x x =-+，可得11()1xf x x x-='-= 当(0,1)x ∈时0fx，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0f x '<，()f x 单调递减所以当1x =，可得max ()(1)ln1132f x f ==-+=令函数()y y g y e e -=+，则2y y e e -+≥，当且仅当0y =时取等号又由ln 3y y x x e e --+≥+，所以ln 32y y x x e e --+=+= 所以1,0x y ==，所以1x y +=．故选：C.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 13．6π 【分析】根据投影公式，求得m (3,3)b =，再由夹角公式得解．【详解】解：因为(1,3)a = (3,)b m =33a b m ∴=+ (212a =+=由公式b 在a 上的投影为||a ba 得，3332||a b a +==m所以(3,3)b =，即(23b =+由向量夹角公式33cos ,||||43a b a b a b +<>==因为[],0,a b π<>∈ 则a 与b 夹角6π．故答案为6π．【点睛】本题考查平面向量的数量积及投影公式的运用，考查向量夹角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．14【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由其侧面展开图为一个半圆可得r l 2π=π，所以2l r =，所以圆锥的表面积为223a r rl r r πππ=+=∴=15．3-【分析】求出函数的导函数，代入计算()1f '即可；【详解】解：因为()21f x x x=-+，所以()212f x x x '=--，即()2112131f '=-⨯-=-，故函数在点()()1,1f 处的切线的斜率为3-；故答案为：-316．±【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果.【详解】由11223x x-+=可得21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭ 即17x x -+= 又因为()()22114x x x x --+=-+ 即()22174x x -=-+，可得()2145x x -=-即1x x --=±所以()()(22117x x x x x x ----=+-=⨯±=±．故答案为±17．(1)0.5m =，平均数为2.4小时中位数为2.4小时(2)4人【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得m ，再利用平均数与中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算.【详解】（1）由频率分布直方图可知()0.20.420.30.10.51m ++++⨯=，解得：0.5m =平均数：()1.250.2 1.750.4 2.250.5 2.750.5 3.250.3 3.750.10.5 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时；中位数：由0.20.40.50.30.5，0.20.40.50.50.550.5得中位数在[)2,2.5内设中位数为a ，则()()0.20.40.520.50.5a +⨯+-⨯=，解得 2.4a =，即中位数为2.4小时（2）由已知可得在[)1.5,2时间段内的频率为0.40.50.2⨯=所以在[)1.5,2时间段内应抽出200.24⨯=人.18．（1）42n n a -=；（2）当3n =或4时n S 取得最大值，()max 64n S =.【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a 与3a 成等差数列，求得公比即可.（2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a a a -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）.因为2a ，43a 和3a 成等差数列所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --= 解得12q =或13q =-（舍）又3411a a q ==故18a =. 所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. （2）(7)321(4)21222n n n n n S a a a -++++-=== 又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72又n N +∈，故当3n =或4时二次函数取得最大值6故当3n =或4时n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19．(1)证明见解析【分析】（1）由线面垂直性质可得CB PA ⊥，结合CB AB ⊥，由线面垂直的判定可得CB ⊥平面PAB ，由线面垂直的性质可证得结论；（2）根据体积桥P ACE C PAE V V --=，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD CB PA ∴⊥；四边形ABCD 为矩形CB AB ∴⊥，又AB PA A =，,AB PA ⊂平面PAB CB ∴⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ，CB AE ∴⊥.（2）PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥又E 为PB 中点 11124PAE PAB SS PA AB ∴==⋅=由（1）知：CB ⊥平面PAB ，11133P ACE C PAE PAE V V S BC --∴==⋅=⨯20．(1)函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞单调递增，在()0,2单调递减(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）求导()()222f x x x x x '=-=-，由0f x ，()0f x '<求解；（2）根据（1）的结论，分01a <≤，12a <≤与2a >，讨论求解.(1)解：()()222f x x x x x '=-=-当0x <或2x >时0f x ；当02x <<时()0f x '<；∴函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞单调递增，在()0,2单调递减；(2)由（1）知当01a <≤，函数()f x 在区间[],1a a +单调递减∴()()32max 123f x f a a a ==-+ 当12a <≤，函数()f x 在区间[],2a 单调递减，在[]2,1a +单调递增()()()3231141112333f a a a a a +=+-++=-+ ()()2213+-=--f a f a a a①当1a <≤()()1f a f a ≥+，∴()()32max 123f x f a a a ==-+2a <≤时()()1f a f a <+，∴()()3max 14133f x f a a a =+=-+ 当2a >时函数()f x 在区间[],1a a +单调递增∴()()3max 14133f x f a a a =+=-+综上所述，当0a <≤时()32max 123f x a a =-+当>a ()3max 1433f x a a =-+ 21．(1)2(2)()2238x y +-=【分析】（1）将点()2,1P -代入抛物线方程，求得抛物线方程，再根据抛物线的定义即可得出答案；（2）设直线AB 的方程为y kx t =+，()()1122,,,A x y x y 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x 再根据PA PB ⊥，求得,k t 的关系，从而可得直线AB 过定点H ，再根据PC HC ⊥，可得C 点的轨迹为PH 为直径的圆，即可得出答案.【详解】（1）解：∵42p =，∴2p =∴抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =- 122p PF =+=；（2）解：由已知直线AB 存在斜率，设直线AB 的方程为：y kx t =+由24x y y kx t⎧=⎨=+⎩，有2440x kx t --=，记()()1122,,,A x y x y 则124x x k += 124x x t =- ∵22121212121211112244222244PA PBy y y y x x k k x x x x ------⋅=⋅=⋅=⋅++++ ()121224116x x x x -++==- ∴52t k =-则直线AB 的方程为：()25y k x =-+，过定点()2,5H∵PC HC ⊥，则C 点的轨迹为PH 为直径的圆，其方程为()2238x y +-=则轨迹方程为()2238x y +-=.22．(1)21:1(0)C x y x =+≥ 22:8cos 120C ρρθ-+=【分析】（1）消去参数t ，结合取值范围得1C 的方程，根据2C 为圆的标准参数方程可得普通方程，再根据极坐标与普通方程的关系式可得极坐标方程；（2）根据极坐标中极径的几何意义求解即可.【详解】（1）在1C 的参数方程中，消去参数t 得21(0)x y x =+≥；所以1C 的普通方程为21(0)x y x =+≥.又2C 是以()4,0为圆心，2为半径的圆，故其普通方程为22(4)4x y -+=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式得2C 的极坐标方程为28cos 120ρρθ-+=.（2）将π6θ=代入28cos 120ρρθ-+=可得2120ρ-+=，即(20ρ-=，解得ρ=||OB =.又1C 的极坐标方程为22cos sin 1ρθρθ=+ 把π6θ=代入1C 的极坐标方程得：23240ρρ--=解得ρ=ρ=故有||||||AB OB OA =-=23．(1)32 (2)34【分析】（1）先在数轴上标根，把数轴分成三区，再打开绝对值，写出分段函数()f x ，求其最小值.（2）先把a b c n ++=两边平方，再利用重要不等式进行放缩求出结果.【详解】（1）由已知121231()12211222x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，，当1x ≤-时3()2f x ≥；当11x -<<时3()2f x =；当1x ≥时3()2f x ≥. 所以3()2f x ≥，即min 3()2f x =，即32n =．（2）由（1）知：32a b c ++= 所以2222239()22224a b c a b c ab ac bc ⎛⎫++=+++++== ⎪⎝⎭因为222a b ab +≥，当a b =时取等号；同理222b c bc +≥，当b c =时取等号；222a c ac +≥当a c =时取等号. 所以222222222ab bc ac a b c ++++则()2222()3a b c a b c ++++ 所以22234a b c ++，当且仅当12a b c ===时取等号所以222a b c ++的最小值为34．。

2016届全国统一高考数学模拟试卷(文科)(新课标i)解析版

2016年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•临汾一模）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．（5分）（2016•宜宾模拟）若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．（5分）（2015•西城区二模）“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2016春•湖北月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．（5分）（2016•临汾一模）已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）（2016春•荆州校级月考）设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．（5分）（2016•临汾一模）执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．（5分）（2011•武昌区模拟）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a ﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．（5分）（2016•临汾一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．（5分）（2016春•宜昌期中）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．（5分）已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设（i为虚数单位），则=．14．（5分）已知向量，且，则=．15．（5分）（2016•连江县校级模拟）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．16．（5分）（2015秋•云南校级月考）函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•临汾一模）某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．18．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．（12分）（2016•临汾一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n ∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）（2016春•湖北月考）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．（10分）（2016•临汾一模）如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•临汾一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．（2016•临汾一模）已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2016年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•临汾一模）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．（5分）（2016•宜宾模拟）若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．【点评】本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质的合理运用．3．（5分）（2015•西城区二模）“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义求出m的等价条件是解决本题的关键．4．（5分）（2016春•湖北月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）（2016•临汾一模）已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）（2016春•荆州校级月考）设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．【点评】本题考查了导数的运算及导数的几何意义的应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．（5分）（2016•临汾一模）执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．【点评】本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行，属于基础题．8．（5分）（2011•武昌区模拟）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a ﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．【点评】本题考查圆关于直线对称的条件是圆心在直线上，以及圆的半径必须大于0．9．（5分）（2016•临汾一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．【点评】本题考查了解三角形，属于基础题．10．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）（2016春•宜昌期中）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查四面体的外接球的体积，确定三视图对应直观图的形状是关键．12．（5分）已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：取绝对值号，以及指数函数的单调性，增函数的定义，基本不等式的运用，清楚基本不等式等号成立的条件，指数式和对数式的互化，以及对数函数的单调性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设（i为虚数单位），则=2﹣i．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数求模公式的运用，是基础题．14．（5分）已知向量，且，则=5．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，也考查了向量模长的计算问题，是基础题目．15．（5分）（2016•连江县校级模拟）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．16．（5分）（2015秋•云南校级月考）函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的特征，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•临汾一模）某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．【点评】本题考查了独立性检验的体积思想，属于基础题．18．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…（1分），∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…（2分），又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°…（3分）∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…（4分），∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…（5分），∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…（6分），∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…（7分）．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…（8分）∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…（9分），可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…（10分）．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…（12分），∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…（14分）【点评】本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．19．（12分）（2016•临汾一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n ∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了错位相减法的应用．20．（12分）（2016春•湖北月考）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…（3分）由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（5分）（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…（7分）由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…（9分）将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…（12分）【点评】本题考查曲线方的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义、根的判别式、韦达定理的合理运用．21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），（8分）因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，（10分）设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．（12分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．选修4-1：几何证明与选讲22．（10分）（2016•临汾一模）如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．【点评】本题考查三角形相似的判断与应用，直角三角形的解法，考查计算能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•临汾一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，距离公式的应用，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2016•临汾一模）已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

2016年广西高考数学试卷及答案(文科)(全国新课标ⅲ)

2016年广西高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10} 2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8111．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a 2，a3；（2）求{a n}的通项公式．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年广西高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10}．故选：C．2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵t anθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣1=．故选：D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选A8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为﹣10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z=2x+3y﹣5为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．故答案为：﹣10．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=4．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2，∵直线l：x﹣y+6=0∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0，当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）=0，即有a n=2a n+1或a n=﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n=2a n+1，故数列{a n}是首项为a1=1，公比为的等比数列，则a n=1×（）n﹣1=（）n﹣1，故a n=（）n﹣1．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S===2，△BCM===．∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；G′（x）=c﹣1﹣c x lnc，G′′（x）=﹣（lnc）2c x＜0，∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc，由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0，∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；又因为：G（0）=G（1）=0，∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证；即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．。

2016届广西高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2016届广西高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x＜4}，集合B={x∈Z|x＞﹣1}，则A∩B等于（）A．{0，1} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}2．在复平面内，复数﹣2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0 B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0 D．∃x∈R，x2+2x+2＞04．已知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A．2B．2C．6 D．85．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C． D．6．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣2 B．﹣2或﹣1 C．1或﹣3 D．﹣2或7．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数y=（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）=sin（x+）B．f（x）=sin（x+）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）10．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，=a，a=2，若b∈[1，3]，则c的最小值为（）A．2 B．3 C．2D．212．若关于x的方程2x3﹣3x2+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，0]∪[1，28）B．[﹣4，28] C．[﹣4，0）∪（1，28]D．（﹣4，28）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是．14．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=．15．已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为．16．过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1时，数列{b n}满足b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．18．为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测，检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9．B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5．（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？并计算A班5名学生视力的方差；（2）现从B班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的概率．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC 的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；（2）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．20．已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB的面积．21．设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22．已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC=∠CAG；（2）求证：AC2=AE•AF．选修4--4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1位置关系；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值．2016年广西高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x＜4}，集合B={x∈Z|x＞﹣1}，则A∩B等于（）A．{0，1} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】先用描述法可得A∩B={x∈Z|﹣1＜x＜4}，再列举法表示出来即可．【解答】解：∵A={x|x＜4}，B={x∈Z|x＞﹣1}，∴A∩B={x∈Z|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，故选C．【点评】本题考查了集合的表示方法的应用．2．在复平面内，复数﹣2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数﹣2=﹣2=﹣1+i对应的点（﹣1，1）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0 B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0 D．∃x∈R，x2+2x+2＞0【考点】命题的否定．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定．【解答】解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：（1）“若A，则B”的否定为“若￢A，则￢B”；（2）全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；（3）切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题．本题考查第二种形式，属简单题．4．已知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A．2B．2C．6 D．8【考点】双曲线的简单性质．【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为2c，根据双曲线的几何性质求出c的值即可得焦距．【解答】解：设双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为2c，由已知得，a=2；又离心率e==b，且c2=4+b2，解得c=4；所以该双曲线的焦距为2c=8．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，是基础题目．5．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C． D．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．6．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣2 B．﹣2或﹣1 C．1或﹣3 D．﹣2或【考点】程序框图．【专题】探究型；分类讨论；数学模型法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x≤0时，由y=（）x﹣4=0，可得：x=﹣2；当x＞0时，由y=log+1=0，可得：x=；故选：D．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．函数y=（x 3﹣x ）2|x|图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y 为奇函数，它的图象关于原点对称，当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0，结合所给的选项得出结论．【解答】解：由于函数y=（x 3﹣x ）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0，故选：B ．【点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．9．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．f （x ）=sin （x+） B ．f （x ）=sin （x+） C ．f （x ）=sin （x+） D ．f （x ）=sin （x ﹣）【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】函数的图象的顶点坐标求出A的范围，由周期求出ω的范围，根据f（2π）＜0，结合所给的选项得出结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T=＞2π，求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象特征，属于基础题．10．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图与体积计算，属于中档题．11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，=a，a=2，若b∈[1，3]，则c的最小值为（）A．2 B．3 C．2D．2【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；解三角形．【分析】利用正弦定理，余弦定理化简已知得3cosC=sinC，可求cosC=，由余弦定理可得c=（b﹣）2+9，由b∈[1，3]，即可得解c的最小值．【解答】解：由=a，可得：，即：3cosC=sinC，可得：tanC=，故：cosC=，所以：c=（b﹣）2+9，因为：b∈[1，3]，所以：当b=时，c取得最小值3．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二次函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．12．若关于x的方程2x3﹣3x2+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，0]∪[1，28）B．[﹣4，28] C．[﹣4，0）∪（1，28]D．（﹣4，28）【考点】二分法的定义．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用导数求得函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点可得f（0）≠0，故①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：设f（x）=2x3﹣3x2+a，则f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），x∈[﹣2，2]，令f′（x）≥0，求得﹣2≤x≤0，1≤x≤2 令f′（x）＜0，求得0＜x＜1，故函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点，f（﹣2）=a﹣28，f（0）=a，f（1）=a﹣1，f（2）=a+4，若f（0）=a=0，则f（x）=x2（2x﹣3），显然不满足条件，故f（0）≠0．∴①，或②．解①求得1＜a≤28，解②求得﹣4≤a＜0，故选：C．【点评】本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是9．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】总体的个数是90人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概率是，用概率去乘以男员工的人数，得到结果【解答】解：总体的个数是90人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概率是=，男员工应选取的人数（90﹣36）×=9人，故答案为：9．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是注意在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据．14．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=6．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出2和，将•（﹣2）展开得出答案．【解答】解：==﹣2，2=||2=2，∴•（﹣2）=2﹣2=2+2×2=6．故答案为：6．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．15．已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；球．【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【解答】解：设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R=，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴得r2﹣r2=3，得r2=．球的表面积S=4πr2=4π×=π．故答案为：π．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．16．过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，求出A的坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E．∵|PA|=|AB|，∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2，∴x1=，∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1时，数列{b n}满足b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由等差数列前n项和公式、通项公式及等比数列性质，列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由a n≠a1，各b n=2=2n+1，由此能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列，∴，解得或，当时，a n=3；当时，a n=2+（n﹣1）=n+1．（2）∵a n≠a1，∴a n=n+1，∴b n=2=2n+1，∴，=2，∴{b n}是以4为首项，以2为公比的等比数列，∴T n===2n+2﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．18．为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测，检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9．B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5．（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？并计算A班5名学生视力的方差；（2）现从B班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）分别求出A班5名学生视力平均数和B班5名学生视力平均数，从计算结果看，A 个班的学生视力较好，再求出A班5名学生视力的方差．（2）从B班的上述5名学生中随机选取2名，基本事件总数n==10，这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5对立事件是这2名学生的视力都不低于4.5，用列举法求出这2名学生的视力都不低于4.5，包含的基本事件个数，由此能求出这2名学生的视力都不低于4.5的概率．【解答】解：（1）A班5名学生视力平均数==4.6，B班5名学生视力平均数==4.5，从计算结果看，A个班的学生视力较好，A班5名学生视力的方差：=[（4.3﹣4.6）2+（5.1﹣4.6）2+（4.6﹣4.6）2+（4.1﹣4.6）2+（4.9﹣4.6）2]=0.136．（2）从B班的上述5名学生中随机选取2名，基本事件总数n==10，这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5对立事件是这2名学生的视力都不低于4.5，这2名学生的视力都不低于4.5，包含的基本事件有（5.1，4.5），（5.1，4.9），（4.9，4.5），∴这2名学生的视力都不低于4.5的概率：p=1﹣=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC 的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；（2）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明：C1F∥平面ABE；（2）根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P﹣B1C1F的体积．【解答】（1）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，而FM⊄面ABE，∴FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1M∥AE，而C1M⊄平面ABE，∴C1M∥平面ABE，∵C1M∩FM=M，∴平面FC1M⊄平面ABE，∵C1F⊂平面FC1M，∴C1F∥平面ABE，（2）取B1C1的中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH=AB=FM，∵AB⊥平面BB1C1C，∴EH⊥平面BB1C1C，∵P是BE的中点，∴==．【点评】本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．20．已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），先求出c=，由椭圆过点（，1），得=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由，得，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆，得（2k2+1）x2+4kx ﹣2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1），∴设椭圆方程为=1（a＞b＞0），c为半焦距，c=，∴a2﹣b2=2，①由椭圆过点（，1），得=1，②由①②，得a2=4，b2=2，∴所求椭圆的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆，得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0，解得x=，设，，则﹣=2•，解得，∴△AOB的面积S=|OP|•|x1﹣x2|=•==．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量的数量积的合理运用．21．设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ利用x=1为f（x）的极大值点，得到f'（1）=0，然后利用导数研究f（x）的单调区间（用c表示）；（Ⅱ）分别讨论c的取值，讨论极大值和极小值之间的关系，从而确定c的取值范围．【解答】解：，∵x=1为f（x）的极值点，∴f'（1）=0，∴且c≠1，b+c+1=0．（I）若x=1为f（x）的极大值点，∴c＞1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜c时，f'（x）＜0；当x＞c时，f'（x）＞0．∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即，∴c＜0；②若0＜c＜1，则f（x）的极大值为f（c）=clnc+c2+bc，f，∵b=﹣1﹣c，则=clnc﹣c﹣，f，从而f（x）=0只有一解；③若c＞1，则=clnc﹣c﹣，，则f（x）=0只有一解．综上，使f（x）=0恰有两解的c的范围为：c＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，考查学生的计算能力，以及分类讨论思想．请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22．已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC=∠CAG；（2）求证：AC2=AE•AF．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；立体几何．【分析】（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AE•AF．【解答】证明：（1）连接BC，∵AB为⊙O的直径…∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…∵GC与⊙O相切于C，∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF∵GE与⊙O相切于C，∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…∴∴AC2=AE•AF…【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形．选修4--4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1位置关系；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】（1）利用加减消元法和平方消元法消去参数t，可把直线l与曲线C1的参数方程化为普通方程，结合直线与圆的位置关系，可得结论；（2）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的坐标，进而可化为极坐标．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）可得直线l过（﹣1，1）点，当直线l的斜率为2时，直线l的普通方程为y﹣1=2（x+1），即2x﹣y+3=0，由曲线C1的参数方程为（t为参数），消参得：（x﹣2）2+（y﹣4）2=4，则曲线C1表示以（2，4）点为圆心，以2为半径的圆，此时圆心到直线的距离d==＜2，故直线l与曲线C1相交；（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2﹣4x=0，由得：，故C1与C2交点的坐标为（2，2），故C1与C2交点的极坐标（2，）【点评】本题考查的知识点是参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系，圆的交点，难度中档．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由f（x）=+ax=a[（x﹣1）++1]，运用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；（2）运用|x+5|+|x+1|≥|（x+5）﹣（x+1）|=4，即可得到所求的最小值．【解答】解：（1）f（x）=+ax（a＞0，x＞1）=a[（x﹣1）++1]≥a（2+1）=3a，当且仅当x=2时，取得最小值3a，由题意可得3a=15，解得a=5；（2）函数g（x）=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|，由|x+5|+|x+1|≥|（x+5）﹣（x+1）|=4，当且仅当（x+5）（x+1）≤0，即﹣5≤x≤﹣1时，取得等号．则g（x）的最小值为4．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。