两条相交直线的夹角.pptx

平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条相交直线的夹角．
规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为０．
所以，两条相交直线的夹角0 ．
2
2. 夹角公式：
如果已知两条直线的方程分别为：l1: l2 :
a x1 b 1y c1 a2 x b2 y c2
当 b 0 时， b 3a ，直线方程为： x 3y 1 0 ；
所以，直线l 的方程为： x 3y 1 0 或 x 2 0 ．
注意：此处设直线的点法向式方程，而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向 式 方程可以表示所有直线．
解 2：若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为： y 3 k (x 2) .
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例 2、已知直线l1 : 3x y 0 与直线kx y 1 0，若直线l1和直线l2 的夹角为60 ，求 k
的值.
| 3k 1| 1
解：由
得 k 3或0 .
2 k 2 1 2
cos 0 得两直线的夹角为 ，称两条直线相互垂直，是两直线相交的一种特殊情形，
2
回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直（板书）的命题？
一寸光阴不可轻
课题：两条相交直线的夹角(教案)
【教学目标】： 1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相 交直线的夹角；
2、理解两条直线垂直的充要条件. 3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力. 【教学重点】：两条相交直线的夹角. 【教学难点】：夹角公式的应用. 【教学过程】： 一、课题引入：
y d1 d2 l1
当0
时，
；当
l 时 ，
．于是，cos cos

．
2
2
2
根据直线方程，可设它们的方向向O量 别为：d1 bx1,a1 , d2 b2, a2 ．由夹角的
分
计算公式得： cos d1d2 a1a2 b1b2
，
d1 d2
a12 b12 a22 b22
1
一 寸 光 阴 不 可轻
3
解１：设直线l 的一个法向量为n a,b ，则直线l 的点法向式方程为：
a x 2 b y 3 0
整理得： ax by 2a 3b 0 ，
a 3b
由公式得：
1 a 3b a2 b2 b2 3ab
1 3 a2 b2 2
当 b 0 时，直线方程为： x 2 0 ；
a 2 b 3 c 0
则由题意：
a 3b
1 ，后解同解１．
1 3 a2 b2 2
三、小结：1.
定义，
两条直线的夹角
0，2
夹角公式cos 1
2
a1a2 bb
．
a12 b1 2 a 22 b 2 2
2. 设直线方程时要依题而设，好中选优；利用画图、数形结合的方法．
3
一 寸 光 阴 不 可轻
则由题意： k 3 1 ，解得k 3 .
k 2 1 1 3 2
3
直线方程为： x 3y 1 0 .
若直线l 的斜率不存在，即方程为 x 2；则直线l 与直线l
0的夹角为
，满足题意.
3
所以，直线l 的方程为： x 3y 1 0 或 x 2 0 ．
解 3：设直线l 的一般式方程为： ax by c 0（ a,b 不同时为零）．
平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定
平面上两条直线有几种位置关系？ 相交、平行、重合．（垂直是相交的一种特殊情形） 下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究．（引出课题：两条直线的夹角） 二、新课讲授：
1. 两条直线的夹角： 平面上两条相交直线，它们构成四个角，是两对对顶角．如果一对是锐角，另一对是钝角， 那么我们规定锐角作为它们的夹角．如果四个角都是直角，那么规定两直线夹角是直角，此 时也称两条直线相互垂直．
于是，两条直线的夹角公式为： cos
a1a2 b1b2
．
a12 b12 a22 b22
a1, a2 ,b1,b2 分别是直线一般式方程中 x, y 前面的系数，已知这四个数就可以应用夹角
公式求两直线夹角的余弦．因为余弦函数在
0,
2
上单调递减，所以此时角
是唯一确定
的．
例 1、已知两条直线的方程分别是： l1 : x 2 y 3 0, l2 : x 3y 2 0 ，求两条直线的
夹角 ．
解：由题意： cos 11 23 2 ，
12 22 12 (3)2
2
，即两直线的夹角为 ．
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4
练习：求下列各组直线的夹角.
（1）
1l
:
y
3x
1,2l
:
3y
x
4
0
2
（2） l1 : x 2 0,l2 : 3x y 3 0 6
（3） 1l : y x 1 02,l : y 4
当 a1a2 b1b2
0时， cos 0 ，此时，两直线相互垂直；反之，当两直线
2
垂 直 时 ， 它 们 的 方 向 向 量 d1 b1, a1 , d2 b2, a2 也 相 互 垂 直 ， 所 以
d1d2 b1b2 a1a2 0 ．两条直线垂直的充要条件是： a1a2 b1b2 0 ；
课题：两条相交直线的夹角(学案)
【教学目标】： 1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相
交直线的夹角；
2、理解两条直线垂直的充要条件.
3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力.
【教学重点】：两条相交直线的夹角.
【教学难点】：夹角公式的应用.
【教学过程】：
1. 两条直线的夹角：
当 k1, k2 都存在时，两条直线垂直的充要条件是： k1 k2 1；
所以两条直线垂直的充要条件也可为： k1 k2 1 或一条斜率不存在另一条的斜率为
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一 寸 光 阴 不 可轻
零．
例 3、已知直线l 经过点 P 2,
方程．
3 ，且与直线l0 : x
3y 2 0 的夹角为 ，求直线l 的
0 （其中a
0
1,
b1
不同时为零，a2, b
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不同时为零）．系数确定，方程确定，直线确定，它们的夹角也就确定，那么如何根据方程
来求l1与 l2 的夹角？
设 l1, l2 的方向向量分别为d1, d2 ，向量 d1, d2 的夹角为 ，直线l1, l2 的夹角为 ．将直
线 l1,l2 的方向向量d1,d2平移至同一起点，构成四种情形，如图．