一次函数图象的平移规律
(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律
一次函数图象的平移及解析式的变化规律
我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:
一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:
（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .
（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .
注意:
（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.
一次函数图象平移的三种类型
一次函数图象平移的三种类型
求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.
一、一次函数平移的三种方式：
⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.
⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.
⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化.
二、典型例题：
（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个
x
一次函数图象的平移及解析式的变化规律
一次函数图象的平移及解析式的变化规律
我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:
一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:
（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .
（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .
注意:
（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.
一次函数的左右平移规律
一次函数的左右平移规律
一次函数，也称为一次方程，是数学中最基本的函数之一。它的一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b分别代表函数的斜率和截距。一次函数的图像呈直线，具有特定的斜率和截距。
在研究一次函数时，我们常常会遇到需要对函数进行平移的情况。平移是指将函数的图像沿着坐标轴的方向进行移动，而不改变其形状和斜率。具体而言，我们可以对一次函数进行左右平移。
我们来看一次函数的左平移规律。左平移是指将函数的图像沿着x 轴的负方向移动一定的距离。假设原来的一次函数为y = kx + b，我们要对其进行左平移，可以将x替换为x + a，其中a为平移的距离。这样一来，新的函数变为y = k(x + a) + b，简化后为y = kx + ka + b。通过比较两个函数的表达式，我们可以发现，左平移的结果相当于在原函数的基础上，斜率和截距不变，但截距增加了ka。
接下来，我们来看一次函数的右平移规律。右平移是指将函数的图像沿着x轴的正方向移动一定的距离。同样假设原来的一次函数为y = kx + b，我们要对其进行右平移，可以将x替换为x - a，其中a为平移的距离。这样一来，新的函数变为y = k(x - a) + b，简化后为y = kx - ka + b。通过比较两个函数的表达式，我们可以发现，右平移的结果相当于在原函数的基础上，斜率和截距不变，但截距
减少了ka。
左右平移是一次函数常用的变换方式，可以通过改变函数的截距来实现图像在横轴上的移动。这种变换可以用来解决很多实际问题。例如，在经济学中，可以利用一次函数的左右平移规律来分析市场需求的变化。当市场需求增加时，可以将需求曲线右平移，反之，当市场需求减少时，可以将需求曲线左平移。这样一来，我们就可以通过一次函数的平移规律，预测市场在不同条件下的供需情况，从而做出相应的决策。
一次函数向上下左右平移规律
一次函数向上下左右平移规律
一次函数是数学中非常常见的一种函数类型，其形式可以写成y = ax + b的形式，其中a和b都是实数常数。这个函数图像通常是一条直线，其斜率是a，截距是b。在本文中，我们将探讨一次函数在平面直角坐标系中的平移规律。
向上平移
如果我们想将一次函数的图像向上平移h个单位，我们只需要将原来的函数变成y = a(x) + b + h的形式。这是因为在这个新的函数中，常数b增加了h，因此所有的纵坐标也都增加了h，图像整体向上平移了h个单位。
向下平移
相似地，如果我们想将一次函数的图像向下平移h个单位，我们只需要将原来的函数变成y = a(x) + b - h的形式。这是因为在这个新的函数中，常数b减少了h，因此所有的纵坐标也都减少了h，图像整体向下平移了h个单位。
向左平移
如果我们想将一次函数的图像向左平移k个单位，我们可以通过将原来的函数变成y = a(x + k) + b的形式来实现。这是因为在这个
新的函数中，x的值增加了k，因此整个函数图像向左平移了k个单位。
向右平移
相似地，如果我们想将一次函数的图像向右平移k个单位，我们可以将原来的函数变成y = a(x - k) + b的形式。这是因为在这个新的函数中，x的值减少了k，因此整个函数图像向右平移了k个单位。
总结
通过上述四种平移方式，我们可以将一次函数在平面直角坐标系中的图像任意平移。这种平移方式非常常见，不仅在数学中，也在物理、经济等领域中广泛应用。掌握这种平移规律，可以为我们的学习和工作带来很多便利。
【数学知识点】一次函数平移规律口诀
【数学知识点】一次函数平移规律口诀
平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。一次函数是函数中的一种，一般形如
y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。
设原直线为y=f(x)=kx+b
y=f(x-n)=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=f(x+n)=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
y=f(x)+n=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=f(x)-n=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀：左加右减相对于X，上加下减相对于b。
上加下减，左加右减
y=a(x+b)²+c，是将y=ax²的二次函数图像按以下规律平移
(1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。
(2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。
(3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。
(4)b<0时，图像向右平移b个单位(右减)。
(1)y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。
即：y=kx+b(k≠0)(k不等于0，且k，b为常数)。
(2)当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为(0，b)。
当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)。
(3)k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ(角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，θ≠90°)。
(4)当b=0时(即y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
(6)函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行;
当k不同，且b相等，图象相交于Y轴;当k互为负倒数时，两直线垂直。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
一次函数图象的平移规律
一次函数图象平移的探究
我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx平移I b I个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b v 0时，向上平移）•例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3,将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-i .需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移•这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移.
以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平
移.对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？
【探究一】函数图像的上下平移
我们先从一些具体的函数关系开始.
问题1已知直线I : y=2x-3，将直线I向上平移2个单位长度得到直线I 1, 求直线11的解析式.
分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线I i的解
析式为y=2x+ b,由于直线l i的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可.怎样得到这个条件呢？注意到直线I i与两条坐标轴分别交于两点，而直线
11与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线11的解析式可求.
解：设直线11的解析式为y=2x+b，直线I i交y轴于点（0，-3），向上平移2 个单位长度后变为（0，-1）.把（0，-1）坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线11 的解析式为y=2x-1 .
问题2 已知直线I : y=2x-3，将直线I向下平移3个单位长度得到直线I 2, 求直线12的解析式.
一次函数上下平移规律
一次函数上下平移规律
一次函数是一种常见的数学函数，其表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。在这个函数中，a 决定了函数的斜率，而 b 决定了函数的纵轴截距。
平移是指将函数沿着 x 轴或 y 轴方向移动。对于一次函数，平移的规律可以通过改变常数 b 来实现。
如果将常数 b 改为 b + k（其中 k 为正常数），则函数将向上平移 k 个单位。换句话说，函数的图像将沿着 y 轴方向上移 k 个单位。这是因为常数 b 决定了函数与纵轴的交点，通过增加 b 的值，纵轴截距也将增加，从而使函数上移。
同样地，如果将常数 b 改为 b - k（其中 k 为正常数），则函数将向下平移 k 个单位。函数的图像将沿着 y 轴方向下移 k 个单位。这是因为通过减小 b 的值，纵轴截距也将减小，从而使函数下移。
这种平移规律可以通过实例来更好地理解。假设有一条一次函数的表达式为 y = 2x + 3。如果我们将常数 b 改为 b + 2，即变为 y = 2x + 5，那么函数的图像将向上平移 2 个单位。同样地，如果我们将常数 b 改为 b - 2，即变为 y = 2x + 1，那么函数的图像将向下平移2 个单位。
总的来说，一次函数的上下平移规律可以通过改变常数 b 来实现。增加常数 b 的值将使函数上移，减小常数 b 的值将使函数下移。这种平移规律在数学和实际问题中都有广泛的应用，例如用于描述线性关系或进行数据分析。
一次函数上下左右平移位置规律
结论
（2）图像的左右平移与k，b无关，只与自 变量x有关系，向左移动x的值增加，向右移 动x的值减小。 简称：左 + 右 -
结论：
（1）一次函数y=kx+b的图像可以看做是y=kx平移|b| 个单位长度而得到（b>0时，向上平移，b<0时，向下平 移。） （2）图像的上下平移与K无关
（3）图像的上下平移与b有关，图像向上移动b的值增加, 图像向下移动b的值减小。
4.把直线y=-3x+1向左平移2个单位长 度后，其解析式_____，移动后与x 轴的交点坐标为_______。 5.把直线y=2x+5向右平移3个单位长 度后，其解析式_______，移动后 与x轴的交点坐标为_______。 6.把直线y=-x--3向右平移4个单位长 度后，其解析式______，移动后与 x轴的交点坐标为________。
x
-3
-4 -5 -6
（3）直线y=2x+6与y=-xห้องสมุดไป่ตู้6的位置关系如何？
y=-x+6
y 6 4 2 o -2 -4
y=2x+6
-6
-4
-2
2
4
6
x
两条直线相交于Y轴上一点 K1≠K2
b1=b2
注： 两条直线的位置关系：y =
k1 k 2
b1=b2
一次函数向上下左右平移规律
一次函数向上下左右平移规律一次函数是数学中非常基础的函数形式，它的表达式形式为y = kx + b。其中k表示直线的斜率，b则是函数图像在y轴上的截距。
在学习一次函数的图像性质时，我们需要掌握函数的平移规律。平移就是将原本在坐标系中的函数图像向上、下、左、右移动。
首先，我们来看一下向上平移。当我们将函数图像向上移动a个单位时，实际上就是在原有函数图像所在的y轴坐标下，加上一个常数a。因此，函数y = kx + b经过向上平移后，表达式变成y = kx + b + a，直线的斜率k不变，只有截距b加上一个a的值。
接下来是向下平移。向下平移亦同，只不过此时我们需要将原来的坐标轴y值减少a个单位。改变后的函数表达式就变成了y = kx + b - a。斜率仍然是k，但截距则是原有的b减去a。
除了向上向下平移，我们还经常会遇到函数图像需要向左或向右平移的情况。这时我们需要在原坐标轴的x值上进行加减操作，平移a 个单位时，我们就需要在原有的函数表达式中对x进行加减法。向左平移，就是在x值上减少a，函数表达式就是y = k(x-a) + b；向右平移，就是在原x值上加上a，函数表达式变为y = k(x+a) + b。
不难看出，向上下左右平移规律对于我们理解一次函数的性质和性质变化非常重要。在学习过程中，我们需要细心观察图像变化的规律，理解平移的本质，加强对函数的直观把握。掌握好了这个规律，
我们在处理一次函数的问题时会更加游刃有余，也更容易理解其在现实应用中的价值。
一次函数上下左右平移规律
y
例 在同一坐标系内作出下列函数 y＝2x, y＝2x＋3,y＝2x－2的图象。 2x y=2 （ 0， 0 ） （ 1 ， 2）
5 4 3 2
1
y=2x＋3
y=2x
（-1.5，0） y=2 2x＋3（0，3） 2x －2（0，-2） （ 1， 0） y=2
y=2x－2
k相等
两条直线平行
直线y2x2与y轴交于点2上下y4231321102312345x675y2xy2x3y2x2直线ykxb可以看作直线ykx向上或向下平移b个单位长度得到的当b0时向下平移当b0时向上平移y4231321102312345x675y2xy2x3y2x26o446246224xy2y2x向右平移4个单位变成直线y2x向左平移4个单位变成直线868y2xy2x42x8y2x42x8y2x8y2x8结论
付出定有回报，努力就有收获。 来到翰林我们共同建立学习目标，请相信……
y 8
6 4 2 o -2 -4 6 8
y=2x-8 y=2x+8
y=2(x+4)=2x+8 y=2（x-4）=2x-8 y=2x
-6
-4
-2
2
4
6
x
（2）在同一坐标系中作出下列函数的图象
y 3 2 1 -3 -2 -1 o -1 -2 1 2 3 x
一次函数的平移与性质
一次函数是指具有x的一次幂的代数式。在本节中，我们将探讨一次函数的平 移以及与平移相关的性质。
什么是一次函数
一次函数是具有x的一次幂的代数式。它的一般形式为y = ax + b，其中a和b 是实数，a ≠ 0。
一次函数的图像与斜率
图像
一次函数的图像是一条直线，可 以通过两个点来确定。
左移
水平方向左移h个单位，函数的解析式变为y = f(x + h)。
垂直方向平移的公式
上移
垂直方向上移k个单位，函数的解析式变为y = f(x) + k。
下移
垂直方向下移k个单位，函数的解析式变为y = f(x) - k。
平移后的一次函数图像
平移后的一次函数图像与原函数图像具有相同的斜率，但整体位置发生了移动。
平移前后的斜率比较
平移不会改变一次函数的斜率，只会改变函数图像的位置。
平移对函数性质的影响
1 单调性
平移不会改变一次函数的 单调性，即函数的递增或 递减性质保持不变。
2 增wenku.baidu.com性
平移不会改变一次函数的 增减性，即函数的正负性 质保持不变。
3 奇偶性
平移不会改变一次函数的 奇偶性，即函数的轴对称 性质保持不变。
一次函数的应用案例
一次函数广泛应用于数学、物理学和经济学等领域，可以用来描述线性关系。
一次函数图像的平移规律
一次函数图像的平移规律
一次函数图像的平移规律是：对于任意一次函数
y=f(x)，将原函数上所有点向同一方向平移a个单位（间隔）长度，则新函数y'=f(x-a)或y'=f(x+a)。即函数
y=f(x)向右平移a个单位，其图像变为y'=f(x-a)；函数y=f(x)向左平移a个单位，其图像变为y'=f(x+a)。
一次函数的平移规律
一次函数的平移规律
一次函数是数学中的基础概念之一，也被称为线性函数。线性函数是一种特殊的函数，其特点是输入变量的变化与输出变量的变化成正比例关系。换句话说，当输入变量增加或
减少时，输出变量会以相同的比例相应地增加或减少。这种性质使得线性函数在许多实际
应用中极为重要，例如经济学、工程学和物理学等。
对于一次函数，其方程可以写为y = mx + b，其中m和b是常数，分别称为斜率和截距。斜率决定直线的倾斜程度，截距则决定直线与y轴的截点位置。换句话说，一次函数
的图像是一条直线，可以通过斜率和截距来描述。
一次函数的平移指的是将其图像在平面上偏移的过程。平移可以使得函数的图像发生
水平、垂直或对角移动。在这篇文章中，我们将探讨一次函数的平移规律，包括水平平移
和垂直平移。
水平平移
考虑一次函数y = mx + b，在坐标系中表示为一条直线。如果我们想要将这条直线向左或向右平移h个单位，我们可以将方程写为y = m(x - h) + b。这样，现在的横坐标x
被减去了h，因此函数的图像向左移动了h个单位。如果将方程写为y = m(x + h) + b，
则函数的图像向右移动h个单位。
值得注意的是，当我们平移一条直线时，其斜率不会改变，因为斜率是直线的基本属性。截距会受到平移的影响。如果我们将直线向右平移h个单位，截距将变为b - mh；如果我们将直线向左平移h个单位，则截距变为b + mh。
垂直平移
与水平平移不同，垂直平移涉及到改变函数的纵坐标。如果我们想要将一条直线向上
或向下平移k个单位，我们可以将方程写为y = mx + (b + k)。这样，现在的函数值y加上了k，因此函数的图像向上移动k个单位。如果将方程写为y = mx + (b - k)，则函数
一次函数图像的平移
一次函数图像的平移集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
一次函数图像的平移
函数y＝kx＋b上的每个点（x,y）
一、向左移动m个单位后,y不变,而x变成了x＋m，函数就变成了y＝k（x+m）＋b
二、向右移动m个单位后,y不变,而x变成了x－m，函数就变成了y＝k（x-m）＋b
三、向上移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面加上n，函数就变成了y＝kx＋b+n
四、向下移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面减去n，函数就变成了y＝kx＋b-n
一次函数y=kx+b的规律：“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是x进行加减。例如：y=2x+1向上平移2个单位，向左平移3个单位，可得y=2（x+3）+1+2，最后函数为y=2x+9．
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向上平移)．或者说，直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到直线y=kx+b (当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．
以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢
一次函数图象平移的三种类型
一次函数图象平移的三种类型
求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.
一、一次函数平移的三种方式：
⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.
⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.
⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化.
二、典型例题：
（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单
x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最终我们可以得到： 函数图象向左平移 n 个单位，得到的函数为 y kx （ b km），
将直线 l ：y=3x-12 向左平移 5 个单位长度得到直线 l 1 的解析式为： y=3x+3， 这个函数关系可以改写为： y=3( x+5)-12 ；
将直线 l ：y=3x-12 向右平移 3 个单位长度得到直线 l 2 的解析式为：y=3x-21 ， 这个函数关系可以改写为： y=3( x-3)-12.
函数图象向右平移 n 个单位，得到的函数为 y kx （ b km）.
，则此
kk
时直线上任意一点的坐标就可以表示为 ( y b , y) ，由左右平移横坐标会发生变 kk
化，不改变纵坐标大小 ( 即令 y 恒定 ).
由此可知：如果一次函数图象向右移平移了 n 个单位，那么平移后点的坐标
就会变成 ( y b n, y) ，即 x y b n ，化成一般可得 kx y b kn ，变
我们再来探究一般情况 . 问题 3 已知直线 l ：y=kx+b，将直线 l 向上平移 m个单位长度得到直线 l 1， 求直线 l 1 的解析式． 简解： 设直线 l 1 的解析式为 y=kx+p，直线 l 交 y 轴于点 (0 ，b) ，向上平移 m 个单位长度后变为 (0 ，b+m) ，把 (0 ，b+m) 坐标代入 l 1 的解析式可得， p=b+m．从 而直线 l 1 的解析式为 y=kx+b+m． 问题 4 已知直线 l ：y=kx+b，将直线 l 向下平移 m个单位长度得到直线 l 2， 求直线 l 2 的解析式． 答案： 直线 l 2 的解析式为 y=kx+b- m．( 解答过程请同学们自己完成 )
对比直线 l 和直线 l 1、直线 l 2 的解析式可以发现： 将直线 l ： y=2x-3 向上平移 2 个单位长度得到直线 l 1 的解析式为： y=2x-3+2 ； 将直线 l ： y=2x-3 向下平移 3 个单位长度得到直线 l 2 的解析式为： y=2x-3-3 ． ( 此时你有什么新发现？ )
k
问题 8 已知直线 l ：y=kx+b，将直线 l 向右平移 n 个单位长度得到直线 l 2，
求直线 l 2 Hale Waihona Puke Baidu解析式．
答案： 直线 l 2 的解析式为 y=k( x- m) +b．( 解答过程请同学们自己完成 )
通过对于一般情况的研究， 我可以发现一些变化的规律， 现在我们用刚才的 具体的函数关系来验证一下我们得到的规律 .
总结：一次函数图像平移的规律 函数值：上加下减；自变量：左加右减 .
※特别注意：注意区别点坐标的平移规律与函数图像的平移规律 .
下面，我们对直线 y kx b(k 0) 在平移规律中”左加右减”作一点解释 .
我们知道，对于直线 y kx b(k 0) 上的任意一点的坐标可以表示为
yb
( x, kx b) ，反过来我们可以先将 y kx b 变一下形，得到： x
【探究二】函数图像的左右平移
问题 5 已知直线 l ：y=3x-12 ，将直线 l 向左平移 5 个单位长度得到直线 l 1，求直线 l 1的解析式．
简解： 根据“两直线平行，对应函数的一次项系数 k 相等”，可设直线 l 1 的解析式为 y=3x+b，直线 l 交 x 轴于点 (4 ，0) ，向左平移 5 个单位长度后变为 (-1 ，0) ．把(-1 ，0) 坐标代入 y=3x+b，得 b=3，从而直线 l 1 的解析式为 y=3x+3．
由此我们得到： 直线 y=kx+b 向左平移 n（n 为正）个单位长度得到直线 y=k( x+n) +b， 直线 y=kx+b 向右平移 n（n 为正）个单位长度得到直线 y=k( x- n) +b， 这是直线 y=kx+b 左右 ( 或沿 x 轴 ) 平移的规律．
这个规律可以简记为： 自变量：左加右减
以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平 移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？
【探究一】函数图像的上下平移
我们先从一些具体的函数关系开始 . 问题 1 已知直线 l ：y=2x-3 ，将直线 l 向上平移 2 个单位长度得到直线 l 1， 求直线 l 1 的解析式． 分析： 根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线 l 1 的解 析式为 y=2x+ b，由于直线 l 1 的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即 可．怎样得到这个条件呢？注意到直线 l 1 与两条坐标轴分别交于两点，而直线 l 1与 y 轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线 l 1 的解析式可求． 解： 设直线 l 1 的解析式为 y=2x+b，直线 l 1 交 y 轴于点 (0 ，-3) ，向上平移 2 个单位长度后变为 (0 ，-1) ．把 (0 ， -1) 坐标代入 y=2x+b，得 b=-1 ，从而直线 l 1 的解析式为 y=2x-1 ． 问题 2 已知直线 l ：y=2x-3 ，将直线 l 向下平移 3 个单位长度得到直线 l 2， 求直线 l 2 的解析式． 答案： 直线 l 2 的解析式为 y=2x-6 ． ( 解答过程请同学们自己完成 )
由此我们得到： 直线 y=kx+b 向上平移 m（m为正）个单位长度得到直线 y=kx+b+m， 直线 y=kx+b 向下平移 m（m为正）个单位长度得到直线 y=kx+b- m， 这是直线直线 y=kx+b 上下 ( 或沿 y 轴) 平移的规律． 这个规律可以简记为： 函数值：上加下减
以上我们探究了直线 y=kx+b 的上下 ( 或沿 y 轴) 的平移，如果直线 y=kx+b 不是上下 ( 或沿 y 轴) 平移，而是左右 ( 或沿 x 轴) 平移，又该怎样进行平移呢？
一次函数图象平移的探究
我们知道，一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b， 它可以看作由直线 y=kx 平移∣ b∣个单位长度得到 ( 当 b＞0 时，向上平移； 当 b＜0 时，向上平移 ) ．例如，将直线 y=- x 向上平移 3 个单位长度就得到直线 y=- x+3，将直线 y=- x 向下平移 1 个单位长度就可以得到直线 y=- x-1 ．需要注意 的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移， 是指函数图象的上下平移，而非左右平移．
问题 6 已知直线 l ：y=3x-12 ，将直线 l 向右平移 3 个单位长度得到直线 l 2，求直线 l 2的解析式．
答案： 直线 l 2 的解析式为 y=3x-21 ．( 解答过程请同学们自己完成 )
直接观察结果， 很难发现其中的一般规律， 那么我们尝试着探究一般情况 .
问题 7 已知直线 l ：y=kx+b，将直线 l 向左平移 n 个单位长度得到直线 l 1，
kk
kk
形可得 y （k x n） b 式
所以“右减” .
同理，如果一次函数的图象向左平移 n 个单位，那么平移后点的坐标就会变
成 ( y b n, y) ，即 x y b n ，化成一般可得 kx y b kn ，变形可得
kk
kk
y （k x n） b 式
所以“左加” .
如果我们从平移过程中函数图象与坐标轴的截距的变化情况也可以看出， 当 函数图象向左或向右平移 n 个单位时， 函数图象在 x 轴上的截距减小或增大 n 个 单位，而在 y 轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加 n 个单位。而是当 x 轴上的截距每减小 n 个单位，y 轴上的截距反而增加 kn 个单位；当 x 轴上的截距 每增大 n 个单位， y 轴上的截距反而减小 kn个单位 . 例如：函数 y=2x-2 ，
求直线 l 1 的解析式．
简解：设直线 l 1 的解析式为 y=kx+p，直线 l 交 x 轴于点 ( b ,0) ，向左平移 k
n 个 单 位 长 度 后变 为 ( b n,0) ， 把 ( b n,0) 坐 标 代 入 l 1 的解 析 式 可 得
k
k
0
b k(
n)
p ，p=kn+b．从而直线 l 1 的解析式为 y=kx+km+b，即 y=k( x+m) +b．