关于两类拉伸杆的斜截面应力分布的探究
工程力学第21讲 应力状态分析：求斜截面应力
工程力学第21讲应力状态分析：求斜截面应力在工程力学中，应力状态分析是研究物体受到外力作用后内部应力分布的一门学科。
在实际工程中，经常需要求解物体内部某一点的应力值。
在本文中，我们将着重介绍如何求解斜截面上的应力值。
斜截面应力状态的分析是典型的三维问题，但在一些实际应用中，我们只需要在某一平面上求解应力分量。
为了方便分析，我们通常假设物体是等截面的，其剖面可以看成一个平面截形，如下图所示。
假设物体受到一个外作用力F，我们需要分析该力作用在斜截面xy上，求解点P处的应力状态（包括法向应力σn和切应力τxy）。
点P的坐标可以表示为(x,y,z)。
截面上的任一元素dA的面积可以表示为dA=dxdy，其对应的法向为b。
为了求解点P处的应力状态，我们可以采用以下的步骤：### 第一步：求解对x分量的力和对y分量的力为了便于分析，我们可以将作用力F分解成两个分量F_x和F_y，如下图所示。
在这里，我们需要注意F_x和F_y的方向。
如图所示，F_x沿x轴正方向，F_y沿y轴正方向，因为较难确定夹角a和b的正负号，所以F_x和F_y以及后面的应力分量都是以箭头的方向表示。
同时我们还需要注意到式中的F_z。
如下图所示，我们可以建立一个平面一对应着力分解后的F_x，F_y和截面。
然后我们可以求解在x和y方向上的应力分量。
对应的应力分量为：$$\sigma_x=\frac{F_x}{A_x}$$$$\sigma_y=\frac{F_y}{A_y}$$其中，Ax和Ay分别是上图中标注的x和y方向上的面积。
由于F_x和F_y都垂直于z 轴，所以在z方向上不存在应力分量。
### 第三步：求解点P处的应力状态现在我们已经求解了对x分量的力和对y分量的力在x和y方向上的应力分量，接下来我们需要求解点P处的应力状态。
如下图所示，我们需要确定切线方向上的应力σ_t和法线方向上的应力σ_n。
材料拉伸应力
试计算图示杆件1 试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正 应力.已知横截面面积A=2 A=2× 应力.已知横截面面积A=2×103mm2 1 20KN 20KN 2 40KN 3 40KN
1
2
40kN
3
σ 1−1 = −10 MPa σ 2−2 = 0
20kN
σ 3−3 = 20 MPa
图示支架，AB杆为圆截面杆， 图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm, 杆为圆截面杆 BC 杆为正方形截面杆，其边长a=60mm F=10KN， a=60mm， 杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，F=10KN，试求 AB杆和BC杆横截面上的正应力 杆和BC杆横截面上的正应力。 AB杆和BC杆横截面上的正应力。
NL ∆L = EA
上式只适用于 在杆长为l长度内N 均为常值的情况下， 1、在杆长为l长度内N、E、A均为常值的情况下，即在 杆为l长度内变形是均匀的情况。 杆为l长度内变形是均匀的情况。 否则，则应分段计算ΔL=Δ …+Δ 否则，则应分段计算ΔL=ΔL1+ΔL2+…+ΔLn 2、应力不超过比例极限 、 E为拉压弹性模量，反映了材料抗拉压的能力，是材料的拉 为拉压弹性模量，反映了材料抗拉压的能力， 压刚度指标，单位Pa EA称为杆的拉压刚度 Pa。 压刚度指标，单位Pa。EA称为杆的拉压刚度 ,反映了杆件 抵抗拉压的能力 虎克定律的另一表达式： 虎克定律的另一表达式：
例3
解：(1)、计算支反力 (1)、 ∑X=0 P2-P1-RA=0 RA=P2-P1=-20KN (2)、计算各段杆件 (2)、 横截面上的轴力 AB段 AB段： NAB=RA=－20kN BD段 BD段： NBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（ (3)、画出轴力图，如图（c）所示。 所示。 (4)、 (4)、计算各段应力 AB段 AB段： σ AB
拉压杆斜截面上的应力
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面 上的应力，F为轴向拉伸 力，A为横截面面积。
压杆
定义
压杆是受到压缩作用的杆 件，其轴向压力垂直于杆 轴线。
受力特点
压杆在轴向压力作用下， 其横截面上的应力分布呈 现均匀性，且方向与压缩 力方向相反。
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面上 的应力，F为轴向压缩力， A为横截面面积。
常用的计算方法包括：截面法、能量法等，具体计算方法的选择取决于问题的具 体条件和要求。
04 斜截面上的应力对拉压杆 的影响
斜截面上的应力对拉杆的影响
拉杆在受到拉伸时，斜截面上的应力分布不均匀，表现为拉应力。拉应力的大小与拉杆的长度、截面 尺寸和材料有关。斜截面上的拉应力会导致拉杆发生伸长变形，影响其承载能力和稳定性。
拉压杆的设计原则与注意事项
设计原则
拉压杆的设计应遵循力学原理和相关标准规范，确保其具有足够的强度、刚度 和稳定性。
注意事项
在拉压杆的设计过程中，还需要考虑制造工艺、使用环境和维修保养等因素， 以确保其性能和安全可靠性。
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为了提高拉压杆的整体稳定性，可以通过优化设计、选择合 适的材料和加强结构措施等手段来改善斜截面上的应力分布 。例如，可以通过改变截面形状、增加加强筋或采用复合材 料等方法来提高拉压杆的承载能力和稳定性。
05 拉压杆的设计与优化
拉杆的设计与优化
拉杆的设计
拉杆的设计应考虑其承受的拉力 大小、方向和作用点，以及使用 环境和材料特性等因素。
表面。
斜截面上的应力方向与截面的 法线方向垂直，并垂直于杆件
的轴线。
在拉压杆的轴线方向上，斜截 面上的应力呈现对称分布，而 在垂直方向上呈现非对称分布 。
应力分布规律.
（a）
3. 根据钢管的横截面尺寸算得：
π 2 [ D ( D 2d ) 2 ] 4 40.8 10 4 m 2 π I [ D 4 ( D 2d ) 4 ] 64 868108 m 4 I W 124 10 6 m3 D/2 A
1
max
例题 1 图a所示折杆ACB由钢管焊成，A和B处铰支,C 处作
用有集中荷载F=10 kN。试求此折杆危险截面上的最大拉应力 和最大压应力。已知钢管的外直径D =140 mm，壁厚d =10 mm。
解： 1.约束力FA=FB= 5 kN。折杆的受力图如图b。
根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆；将约束 力FA分解为FAx =3 kN和FAy=4 kN后可知，AC 杆的危险截面为
350000 350 506 0.20.3 0.20.32
d
200 300 200 P
2 max
11.7 MP a
M
图（1）
2019/3/8
图（2）
F A 350000 8.75MP a 0.2 0.2
10
例2图示钢板受力F=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板 宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？ F
2019/3/8
y 已知 ay， az 后 ， 可求 F力的一个作用点( z F , yF ) 9
可见中性轴与力的作用点在对称的象限,力作 用点离坐标原点越近，中性轴离其越远。
例1 图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN，试分别求出两柱
内的绝对值最大正应力。 解：两柱均为压应力
F F
斜拉实验报告
斜拉实验报告引言：斜拉实验是一种常见的力学实验，用于研究杆件或桥梁的力学性质。
通过施加不同角度的拉力并测量相应的变形，我们可以了解杆件或桥梁在斜拉状态下的强度和稳定性。
本实验旨在通过斜拉实验研究一种新型结构材料的力学性能，并对实验结果进行分析和讨论。
实验方法：首先，我们根据实验要求制备了一根长度为1米、直径为10毫米的实验杆。
然后，我们在实验室灵活调整的支点上悬挂该实验杆，并使用称重仪器施加垂直于实验杆的拉力。
为了保证实验准确性，我们使用多次试验并取平均值。
实验过程：我们首先施加了一个与实验杆呈30度角的斜向拉力，并记录了实验杆的变形情况。
随后，我们逐渐增大拉力，并测量相应的变形。
当拉力达到一定程度时，我们观察到实验杆出现明显的塑性变形，这时我们停止拉力的增加并记录相关数据。
整个实验过程中，我们还注意到了实验室环境因素，如温度和湿度的变化，以排除其对实验结果的影响。
实验结果：通过实验获得的数据，我们制作了一条拉力-位移曲线，并通过曲线上的数据点进行分析。
首先，我们观察到在拉力增加的初期，实验杆的变形较小，与预期一致。
然而，当拉力逐渐增大时，实验杆的变形也随之增加，并且变形速度呈现出逐渐加快的趋势。
最终，当拉力达到杆件的强度极限时，我们观察到杆件出现塑性变形，丧失了原有的结构稳定性。
实验讨论：通过斜拉实验，我们对这种新型结构材料的力学性能有了初步的了解。
首先，我们观察到杆件在不同角度的拉力下会产生不同的变形情况，这说明力的方向对杆件的力学性质有重要影响。
其次，我们观察到杆件在拉力逐渐增大时呈现出塑性变形的特点，这提醒我们在实际工程中选择合适的材料和结构以确保结构的稳定性。
此外，我们还发现在实验过程中环境因素对实验结果有一定影响。
例如，温度的变化可能导致材料的热胀冷缩，从而改变了杆件的刚度和变形特性。
因此，在实际应用中，我们需要考虑环境因素的影响，并进行相应的修正和调整。
结论：通过斜拉实验，我们对一种新型结构材料的力学性能进行了初步研究，并获得了实验结果。
斜截面应力演示文稿
x
x
第十六页，共20页。
第四节 拉压杆内的应力单元体
拉压杆内的应力单元体
F
B
Cα
F
N
B
A
B
N
A
β=1350
α=450
C
单向应力状态
x
第十七页，共20页。
例5-3 已知：F=10kN，d=10mm，α=450。
取拉杆内C点的应力单元体，计算各面应力
F
Cα
F
解：横截面应力
取C点的应力单元体 α截面应力
x
正负号规定
2
sin 2
α——从x轴到外法线n，逆时针为正
正应力σα——拉为正
讨论
切应力τα——顺时针为正
1. α= 0 ，σα=σmax=σ ，τα= 0
2. α=45°，
2
max
2
第十四页，共20页。
3. α= 90°，σα= 0 ，τα= 0
拉压杆内的应力
F
F
F
N
A
F
pα = σcos α
F
α pα α
全应力为
p
N A
F
A / cos
cos
α截面上的全应力分解为正应力σα 和切应力τα
p cos cos2
p
sin
2
sin
2
2
1
cos 2
第十三页，共20页。
二、 拉压杆斜截面上的应力
m F
α截面上的应力为
F 正应力σα 和切应力τα
F F
α α α
m
α
α
pα
pα
n
2
1 cos 2
横截面和斜截面上的应力
已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大
正应力。
1
2
解:
F
F
①计算轴力
1
2
FN =-20KN ②计算最大的正应力值
A11—1
A22—2
h h0 h
Amin= A2=（h- h0）b=（25 -10）×20mm2= 300mm2
F
b
b
FN
σmax= FN/A 2=-20×103/300（MPa）=-66.7 MPa
第十四讲
教学内容：
§12-3横截面和斜截面上的应力
§12-4拉压杆的变形及虎克定律
教学要求：
1、理解正应力、切应力的概念，掌握拉压杆横截面 和斜截面上的应力计算公式。
2、理解应变、泊松比，掌握虎克定律及其应用方法。
可编辑ppt
1
第三节 横截面和斜截面上的应力
一、应力的概念
平均应力：横截面某范围内单位面积上微内力的平 均集度 p F
面，仅沿轴向产生了相对可平编辑移ppt。
5
由此可推断出：横截面上各点的变形程度相 同，受力相同；亦即内力——轴力在横截面上均 匀分布。由材料均匀性假设可的如下结论：
轴向拉压杆横截面上各点的应力大小相等， 方向垂直于横截面。
F
FN FN
A
即横截面上的正应力计算式为
可编辑ppt
6
例 一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
A
F1
m F微内力
O点 A微面积
F2
m
可编辑ppt
2
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和
方向都将趋于一定极限(即全应力)，
得到
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律机械工业出版社/doc/be3628979.html,用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必然先被拉断。
这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于内力在横截面上分布的密集程度。
分布内力在某点处的集度，即为该点处的应力。
第二节拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理一、杆件在一般情况下应力的概念m F 2F 1O 点F 微内力A 微面积AF p ??=m研究图示杆件。
在截面m-m 上任一点O 的周围取一微小面积?A ，设在?A 上分布内力的合力为?F ，?F 与?A 的比值称为?A 上的平均应力，用p m 表示，即m F 2F 1m F 2F 1O 点?F 微内力A 微面积p m AF p ??=m全应力一般情况下，内力在截面上的分布并非均匀，为了更真实的描述内力的实际分布情况，应使?A 面积缩小并趋近于零，则平均应力p m 的极限值称为m-m 截面上O 点处的全应力，并用p 表示，即OAFA F p A d d lim 0==→?m F P2F P1mF P2F P1K 点F 微内力A 微面积p 全应力K全应力p m 的方向即?F 的方向。
通常将应力分解成垂直于截面的法向分量σ和相切于截面的切向分量τ。
σ称正应力，τ称为切应力。
στ正应力切应力m F P2F P1F P2F P1K 点F 微内力A 微面积p 全应力K在我国的法定计量单位中，应力的单位为Pa（帕），1Pa=1N/m 2。
在工程实际中，这一单位太小，常用兆帕（MPa ）和吉帕（GPa ），其关系为1MPa=106Pa ，1GPa=109Pa 。
στ正应力切应力/doc/be3628979.html,1．实验观察取一等截面直杆，在杆上画出与杆轴线垂直的横向线1-1和2-2 ，再画上与杆轴向平行的纵向线，然后沿杆的轴线作用拉(压)力F ，使杆件产生拉伸变形。
轴向拉压杆斜截面上的应力
（4） 90 90 0 平行于杆轴线的纵向截面上没有应力 90 0
【例题】 一轴向受压等截面直杆， A 200 mm2 F 25 kN
F
F
45
45
（1）横截面上的正应力：
45
FN A
F A
25103 N 200 mm2
125 MPa
（2）斜截面上的正应力和切应力
45 cos2 125 cos2 (45) 62.5 MPa
45
2
sin
2
125 sin(2 2
45)
62.5
MPa
轴向拉压杆 斜截面上的应力
斜截面
横截面 斜截面
斜截面的方位：以其外法线on与x轴的夹角 表示
自杆轴至斜截面外法线以逆时针转向为正
斜截面的角度
自杆轴至斜截面外法线以逆时针转向为正
斜截面上的应力
FN
p
A
p
A
cos
p
FN A
cos
F A
cos
cos
cos2
1 2
sin
2
圆轴扭转时斜截面上的应力 平面应力状态 斜截面上的应力
“应力的正负问题”
正
负
正
正应力
拉为正，压为负
负
切应力
顺为正，逆为负
分析
（1）在通过拉压杆内任一点的各个截面上，一般都存 在正应力和切应力，其大小和方向随角度作周期性变化
应力状态 分析
（2） 0 0 max 横截面上正应力最大
（3） 45
பைடு நூலகம்5
2
max
最大切应力发生在45斜截面上
工程力学中的杆件受力分析和应力分布的分析
工程力学中的杆件受力分析和应力分布的分析在工程力学的领域中，杆件受力分析和应力分布的研究是至关重要的。
这不仅关乎到结构的稳定性和安全性，也对工程设计的合理性和经济性有着深远的影响。
杆件，作为常见的工程构件，在各种结构中都发挥着重要作用。
要理解杆件的行为，首先得从受力分析开始。
当杆件受到外力作用时，我们需要明确这些力的大小、方向和作用点。
比如，一个简单的悬臂梁，可能在端部受到垂直向下的集中力，或者在梁的长度方向上受到均匀分布的力。
在进行受力分析时，我们通常会运用力的平衡原理。
这意味着，对于一个处于静止状态的杆件，所有作用在其上的力的合力必须为零，并且对于任何一点，力矩的总和也必须为零。
通过这种方式，我们可以确定未知的力的大小和方向。
以一个水平放置的简支梁为例，假设在梁的中间有一个集中力作用。
我们可以将梁两端的支撑反力分别设为 R1 和 R2 。
根据力的平衡，R1 ＋ R2 等于集中力的大小。
同时，考虑到力矩平衡，以梁的一端为支点，可以得出 R1 和 R2 与集中力和梁的长度之间的关系，从而准确求解出R1 和 R2 的值。
受力分析只是第一步，接下来更关键的是研究应力在杆件中的分布情况。
应力，简单来说，是单位面积上所承受的内力。
它反映了材料内部的受力状态。
对于拉伸或压缩的杆件，应力在横截面上是均匀分布的。
假设杆件受到一个轴向拉力 F ，横截面积为 A ，那么应力σ 就等于 F ／ A 。
这种均匀分布的应力对于设计简单的拉杆或压杆非常重要，我们可以根据材料的许用应力来确定杆件所需的横截面积，以保证杆件在工作过程中不会发生破坏。
然而，在实际情况中，杆件的受力往往更加复杂。
比如弯曲的杆件，其应力分布就不再是均匀的。
在弯曲时，杆件的一侧受到拉伸，另一侧受到压缩，而在中性层处应力为零。
应力的大小与到中性层的距离成正比。
为了更准确地描述弯曲应力，我们引入了弯矩的概念。
弯矩越大，弯曲应力也就越大。
而且，杆件的截面形状和尺寸也会影响应力的分布。
拉压杆斜截面上的应力
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拉压杆应力与材料力学性能的关系
材料力学性能包括弹性模量、 泊松比和剪切模量等参数，这 些参பைடு நூலகம்与拉压杆应力之间存在
密切关系。
泊松比是描述材料横向变形与 纵向变形关系的参数，泊松比 越大，材料横向变形越小，拉 压杆的应力越大。
弹性模量是描述材料抵抗变形 能力的参数，弹性模量越大， 材料抵抗变形的能力越强，因
稳定性分析
为了防止失稳现象的发生，需要对拉压杆进行稳 定性分析，确定其临界载荷和失稳形态。
3
稳定性分析方法
可以采用静力学方法和动力学方法进行稳定性分 析，以确定拉压杆的临界载荷和失稳形态。
04 斜截面上的应力计算
斜截面应力的计算公式
公式推导
斜截面应力计算公式是通过材料力学 中的应力分析方法推导得出的，考虑 了杆件受力、截面尺寸等因素的影响 。
拉压杆斜截面上的应 力
目录
CONTENTS
• 拉压杆应力概述 • 斜截面上的应力分布 • 拉压杆的强度和刚度 • 斜截面上的应力计算 • 拉压杆的设计与优化
01 拉压杆应力概述
拉压杆应力的定义
01
拉压杆应力是指在拉压杆件中， 由于受到外力作用而产生的内部 应力，表现为杆件内部相邻部分 之间的相互挤压或拉伸。
剪切应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的切向应力，其方向与 切线方向一致。
正应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的径向应力，其方向与
垂直线方向一致。
斜截面应力分布的规律
规律
斜截面应力分布的规律与杆件的材料、 截面的形状、外力的大小和方向等因 素有关。
轴向拉压时斜截面上的应力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第四强度理论
第四强度理论（形状改变比能理论）
– 这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生屈服 破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态 下，只要形状改变比能Ux达到材料在单向拉伸屈服时 的形状改变比能Uxs，材料就发生屈服破坏。即：(p291) Ux=Uxs 其强度条件为：
二向应力状态斜截面上的应力
如图为二向应力状态：
考虑平衡可得到：
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
二向应力状态下的强度理论源自东 财Dongbei University of Finance Economics ＆
强度理论－第一强度理论
强度理论
– 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设
第一强度理论（最大拉应力理论）★★★★
只要有一个主应力的值达到单向拉伸时σ b，材料就发生屈服； 即： σ1＝ σ b；引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件 为：
σr1＝ σ1≤[σ]， 式中： σr1称为第一强度理论的相当应力； [σ]为单向拉伸时
的许用应力
实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料 沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或 三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
二向应力状态下的强度理论
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第二强度理论
第二强度理论（最大伸长线应变理论）
二向应力状态下的强度理论
杆件轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆。力的指向可先假定一方向）
B 用截面法取节点B为研究对象
C
2
F
FN1
y
FN 2 45° B x
Fx 0 Fy 0
FN1 cos 45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
二、截面法求内力
m F
m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
(1)假想沿m-m横截面将杆切开
F
(2)留下左半段或右半段
(3)将弃去部分对留下部分的作
F 用用内力代替
(4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计
算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
圣 维 南 原 理
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.2
A
1
45°
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知
F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆
实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截
面发生，有时却是沿斜截面发生的。
k
F
k
ห้องสมุดไป่ตู้
F FN F
AA
F
k p
F
F F
A
A
cos
F
k
k p
p
F A
F A
(完整word版)斜杆的受力分析
斜杆的受力分析
计算斜杆截面内力的基本方法仍然是截面法。
由于斜杆的杆轴与横截面方向都是倾斜的,
因而截面的轴力与剪力方向也是倾斜的.这是斜杆计算中的特点。
直杆内力的微分、增量、积分关系也适用于斜杆，但其中的x 、y 方向过分别换成斜杆轴线的切线、法线方向。
为了说明简支斜杆在竖向荷载作用下的受力特点，比较图2－9a 、b 所示的简支水平梁和指支斜架.二者水平跨度相同，承受的竖向荷载也相同。
由两根梁的整体平行条件可分别计算其支座反力.不难知道，两根梁的支座反力完全相同。
即：
⎪⎭
⎪⎬⎫
====Y Y Y Y X X B 0
B A 0
A A 0
A 0 取隔离体入图2-10a 、b 所示。
若斜梁C 截面上的三个内力分量分别表示为：力偶M C 、水平力X C 和竖向
力Y C ，则可知水平粱内与谢粱内力之间有以下关系：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
===M M Q Y X 0
C C 0C C C 0
若将斜粱截面上的竖向力分解为斜粱的剪力Q C 和轴力N C ，便可得到(图2—10c ）
⎪⎭
⎪
⎬⎫ϕ-ϕ=SIN COS Q N Q Q 0
C C 0
C C 由此可知，两梁的弯矩彼此相等,斜梁的剪力和轴力分别等于水平梁剪力沿斜梁轴线法向和切向的投影。
例2－2 图2－11a 所示的简支斜梁沿水平线每单位长度内作用竖向荷载q ，求作内力图。
本题，如果将B 支座方向改为与斜杆垂直，那么其弯矩M 图，剪力Q 图都不变，只有轴力N 突发生改变,（B 端为零，A 端为ϕsin ql —-即为一三角形）。
拉压杆斜截面上的应力
在阶梯的轴肩处要用圆弧过渡且尽量使圆弧半 径大些。 各种材料对应力集中的敏感程度并不相同。
7
5
例： 图示杆件受轴向力拉力 F=20kN的作用，试求指定截面上的 正应力和切应力，杆的横截面面积
A=10cm2，β=π/3 。
图1
β F
6
应力集中的概念
因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大 的现象，称为应力集中。
σmax >集σ中m 的k=程σm度ax/σm(>1)应力集中系数 反映了应力 实验结果表明 截面尺寸改变得越急剧、角越尖、孔越小，应力
τ α =P α sin α =σcos α sin α =（σ/2 ）*sin2 α
3
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
x
2
N α =F 杆内纵向纤维的伸长相等
说明斜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面上的应力也是均匀分布的
P α =FN /A α =F/A α A α =A/cos α 则：P α =（F/A）*cos α ＝σcosα α为斜截面外法向与轴线夹角；
σ横截面上正应力.
σ α =P α cos α =σcos2 α =（σ/2)*(1+ cos2 α)
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
钢筋混凝土斜截面受剪实验报告
sq
1.1 0.65
Wmax
（4）简述裂缝的出现、分布和展开的过程与机理。
弹性阶段：再此阶段混凝土的受拉应力应变曲线和受压应力应变曲线都近似直线，因此，基本上可 看成混凝土在弹性范围内工作。而钢筋此时也工作在弹性范围内，所以整根钢筋混凝土梁可看似一
te sq
As 1413 0.0256 Ate 0.5 210 525
MK F a 220.5 103 1000 370.6 N / mm 2 h0 As h0 As 0.87 484 1413
1.1 0.65
Bs
te sq
计算极限剪力： 由Vcs acv f t bh0 f yv Vcs acv f tk bh0 f stk
（2）绘出试验梁 p-f 变形曲线。 （计算挠度）
-6-
极限荷载时，最大挠度的计算：
h0 484mm
As 1413mm 2
Es As 2 105 1413 E 0.099 4 Ec bh0 2.8 10 210 484
《混凝土结构设计原理》实验报告
实验二 钢筋混凝土受弯构件斜截面试验
土木工程专业 10 级
3
班
姓名
学号
二零一零年十二月
仲恺农业工程学院城市建设学院
目
录
一、实验目的： · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 二、实验设备： · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 2.1 试件 2.2 实验仪器设备 三、实验成果与分析，包括原始数据、实验结果数据与曲线、根据实验数据绘制曲线· · · · ·3 3.1 实验简图 2 3.1.1 实验简图 3.1.2 斜拉破坏-配筋截面 3.1.3 剪压破坏-配筋截面 3.14 斜压破坏-配筋截面 3.2 斜拉破坏： · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 3.2.1 计算的开裂剪力、极限剪力与模拟实验的数值对比，分析原因 3.2.2 绘出试验梁 p-f 变形曲线 3.2.3 绘制裂缝分布形态图 3.2.4 简述裂缝的出现、分布和展开的过程与机理 3.3 剪压破坏： · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 3.231 计算的开裂剪力、极限剪力与模拟实验的数值对比，分析原因 3.3.2 绘出试验梁 p-f 变形曲线 3.3.3 绘制裂缝分布形态图 3.3.4 简述裂缝的出现、分布和展开的过程与机理 3.3.5 简述配筋率对受弯构件正截面承载力、挠度和裂缝宽度的影响 3.4 斜压破坏： · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 3.4.1 计算的开裂剪力、极限剪力与模拟实验的数值对比，分析原因 3.4.2 绘出试验梁 p-f 变形曲线 3.4.3 绘制裂缝分布形态图 3.4.4 简述裂缝的出现、分布和展开的过程与机理 3.3.5 简述配筋率对受弯构件正截面承载力、挠度和裂缝宽度的影响 四、实验结果讨论与实验小结。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11
1拉压杆横截面上的应力
1拉压杆横截面上的应力6.1.1 应力的概念同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。
但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。
这说明单凭轴力F N 并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m 上的任意一点C 处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m 处截开，在截面上围绕C 点取微小面积ΔA ，ΔA 上分布内力的合力为Δp (图6-1a)，将Δp 除以面积ΔA ，即Ap p ∆∆=m （6-1） p m 称为在面积ΔA 上的平均应力，它尚不能精确表示C 点处内力的分布状况。
当面积无限趋近于零时比值Ap ∆∆的极限，才真实地反映任意一点C 处内力的分布状况，即 lim 0dAdp A p p A =∆∆=→∆ （6-2） 上式p 定义为C 点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。
其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b ），法向分量称为正应力，用σ 表示；切向分量称为切应力，用τ表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。
因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。
应力的单位为“帕”，用Pa 表示。
1Pa=1N/m 2, 常用单位为兆帕MPa ，1MPa=106Pa=1MN/mm 2=1N/mm 2，1GPa=109Pa 。
6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab 和 cd ，然后在杆两端施加一对轴向拉力F 使杆发生变形，此时直线ab 、 cd分别平移至a 'b '、 c 'd '且仍保持为直线（图6-2a ）。
材料力学斜截面应力分析
v v v v v ，根据楔形体的平衡条件可 p = p x i + p y j （ i , j 分别为 x, y 轴方向的单位矢量） 得：
∑X ∑Y
化简得：
i
i
根据斜截面上切应力的计算公式，由τ α = 0 可得到主平面的计算方法，设主 平面外法线方向与 x 轴的夹角为 α 0 ，则有： τα = − σ x −σ y 2 sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 = 0
另外，由
σ x −σ y dσ α = 2(− sin 2α + τ xy cos 2α ) = 0 可看出，切应力为零的斜 dα 2
材料力学应力分析
（王家林）
图 1 空间应力单元 当 σ z = τ zx = τ xz = τ zy = τ yz = 0 时，退化为平面应力状态，应力单元为：
图 2 平面应力单元
对于图 2 的平面应力单元， 截取出如图 3 的楔形体分析对象 （厚度设为 dz ） ：
图 3 斜截面应力分析 如图 3，设斜截面与 x 轴的夹角为 α 、斜面长为 ds ，则沿 x 轴的投影长为
面上正应力取极值，也即是说，主应力是正应力的极值。 可解得： tg 2α 0 = 2τ xy σx −σy
2α 0 = tg −1 令： R= ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy =
2
2τ xy σ x −σ y
+ kπ
1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy 2
对于上面的 2α 0 ，可求得： sin 2α 0 = τ xy R
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对策实施 ：首先假定其它因素维持不变，对 7 月份船只， 只考虑改变储罐操作压力，来提高 BOG 量的稳定性。
在全速卸船阶段，将储罐压力保持在 16.0kPa（现有操作 16.1kPa），在此压力下，BOG 总量为 8.69t/h，开启一台 BOG 压缩机。在卸船后的非卸船状态期间，虽然漏热产生的 BOG 只有 8.3t/h，但将压缩机的处理量仍保持 8.69t/h 不变，储罐压 力持续下降，当压力降低到10.85kPa。之后调整处理量为8.3t/h， 储罐压力维持 10.85kPa 不变。新一轮的卸船开始时，储罐压 力迅速上升，最高时可达 19.8kPa，罐内液体成为过冷液体， 可将船上来的 BOG 冷凝。在此过程中，BOG 量由 8.3t/h 升高
针对第一种情况，由于 Fp 是施加在杆件轴线上的，结合 材料力学的均匀、连续、各向同性的基本假设，可知杆内的
内力是均匀分布的，且斜截面上应力是处处相等的。
假设斜截面与杆件横向成 α 角度，则截开后的面上轴向 方向的内力是相同的，将这些内力都向轴线简化，可 α 得到 总的轴力也为 Fp。现以平行于斜截面方向为 x 轴，垂直于斜 截面为 y 轴建立直角坐标系，将力 Fp 分别投影到两坐标轴上， 分别记为 FN 和 FQ。
《化工设计通讯》杂志系经国家新闻出版广电总署批准国内外公开发行的全国性石油化工科技类期刊，创刊于 1975 年，由 湖南化工医药设计院主办，主管单位为湖南省石油化学行业管理办公室。是 2014 年国家新闻出版广电总署《第一批认定的学术 期刊名单（共 5756 种）》中的 2804 号。被美国化学文摘（CA）、中国期刊网（CNKI）、中国期刊全文数据库（CJFD）、中国学 术期刊综合评价数据库（CAJCED）、《中国学术期刊（光盘版）》等收录。是中国科技论文统计源期刊。
收稿日期 ：2016–04–08 作者简介 ：王金城（1994—），男，四川江油人，本科在读生，主要
从事工程力学学习与研究工作。
由式（3）得斜截面切应力
F ab
x
（14）
由公式（13）可知，在考虑自重的情况下斜截面上一点 的正应力和切应力的大小不仅与斜截面和杆件横向方向的夹
角 α 有关，还与点所在位置的横坐标 xo 有关，当 α 大小确定时， xo 越大应力越小 ；xo 越小，即越接近杆的根部，应力越大。
（4） 元体切分为两半，任取一半进行分析。方法与第一种情况完
全类似，唯一区别为将第一种情况里的 Fp 替换为 Fxo。则由式
（2）得斜截面正应力
（5）
F
（13）
2.2 自重不可忽略杆 针对第二种情况，已知均布载荷为 p kN/m3，故斜截面上
轴线方向上的应力不是均匀分布的，故对斜截面上应力计算 带来了不便。换个思路，我们可以运用局部化分析思想来解 决这个问题。
其中
，
（1）
且已知斜截面面积为
，则正应力为
切应力为
（2）
在斜截面处沿横截面方向、纵截面方向切出一个小立方
体微元，沿长度方向的长度为 δx，设立方体微元上表面 A 的 横坐标为 xo，下表面 B 的横坐标为 xo+δx。由于 A、B 面都是 沿横截面切下的，故面内只有正应力，下面对 A、B 面正应力 进行计算。设杆件长为 L，横截面长为 a，宽为 b。现对 A 面 进行受力分析，设 A 面所在横截面受力为 Fxo，方向为正方向， 则 A’面所在横截面受力 Fx′o 与 Fxo 互为相反力，求出 Fx′o 相 当于求出 Fxo。则首先对整根杆做受力分析得杆的最上端受力
Wang Jin-cheng，Wang Liu-qing
Abstract ：In most cases，people are learning and research are ignored rod weight，but in some special cases，the weight of the rod is not negligible，its weight to the impact of stress caused by the inner rod may be directly related to the strength check rods， in order to make the design and application engineering rod is more secure and reliable，this thesis studied a stretch considering the weight of the rod and does not consider the weight of the various types of stress at the inner rod in case of distribution，as long as the use of a localized thinking to solve a cross-section rods discontinuity problem，the conclusion that the two types of stem stress points to
第42卷第4期
2016年4月
学术研究
Academic Research
化工设计通讯
Chemical Engineering Design Communications
关于两类拉伸杆的斜截面应力分布的探究
王金城，王柳菁 （大连理工大学运载工程与力学学部，辽宁大连 116024）
摘 要 ：在大多数工程实践中，细长杆件都是忽略自重的，但是某些特殊情况下，杆件的自重是不可忽略的，其自重给杆 内应力带来的影响直接关乎该杆件的强度校核。为了使工程中杆件的设计与应用更加安全可靠，本论文研究了拉伸杆件的在考 虑自重和不考虑自重两类情况下的杆内各点应力的分布情况，运用局部化思想解决杆件截面受力不均匀的难题，并得出两类杆 的各点应力准确计算公式。
945 002*1.24=1 171 802.48kW·h 活动后 2015 年下半年每天节省电量为 ：
5 192*1.24=6 438.08kW·h 当地工业用电电费为 0.878 元 / 度，活动后 2015 年下半年 每天节约电费 ：
6 438.08*0.878=5 652.63元≈0.565万元 活动后 2015 年下半年共节约电费 ：
accurately calculate the formula. Key words ：localized thinking ；Uneven stress ；Stress distribution
1 问题描述 以下两种情况下 ：（1）忽略杆件自重并将与自重等大的
轴力施加于杆件末端（2）考虑杆件自重。如何确定同一杆件 同一斜截面上同一点的应力。 2 问题分析 2.1 受轴向集中载荷无自重杆
当 xo=0，α=45° 时，截面内正应力最大，最大值为
（15）
·246·
化工设计通讯
Chemical Engineering Design Communications
学术研究
Academic Research
第42卷第4期
2016年4月
当 xo=0，α=45° 时）
3 结论 对比两种情况最终的应力公式（2）（3）（13）（14）发现，
同一斜截面上的各点的应力分布是不同的，不考虑自重情况 下，同一斜截面上的点的应力分布相同，即在其他条件不变 的情况下，应力大小只与斜截面角度 α 有关。也就是说杆件 任意与轴线成确定角度的斜截面上的点的应力是相等的，且 将斜截面沿轴线平移到任何位置，应力大小都不变化，因此
主要报道石油化工产品的设计、研究、生产、建设、技改、教学等方面的新工艺、新产品、新技术、新设备、新材料。 稿源来自全国各石油化工行业，刊登文章突出先进性、创新性、科学性、针对性、实用性、和效益性，以解决石油化工设计、 研究、教学和生产中遇到的理论和实际问题。 刊登范围 ：石油、化学、煤气、天然气、化肥、无机化工、有机化工、环境保护、三废治理、新能源、新材料、新技术、 医药工程等。主要刊登石油化工工艺技术方面的文章，也刊登化工设备、环保治理、给排水、仪表、自控、电气、热工、材料、 通风、技经、综论等方面的文章。 主要栏目 ：合成氨与尿素、煤气化与甲醇、化工教学、工业生产、勘探开发、石油工程、油气开采、钻井完井、化工装备、 化学工程、新材料与新技术、安全环保、化工能源、资源与环境、学术研究。 读者对象 ：从事石油化工生产、设计、研究、建设、教学和管理的工程技术人员、研究人员、管理干部、技术工人、大专 院校师生及信息和营销人员等。
参考文献 [1] 季顺迎 . 材料力学 [M]. 北京 ：科学出版社，2013.
（上接第244页） 4.3 预冷槽车热车产生大量BOG
对策实施 ：由槽车安检人员对槽车进行检查，禁止两天 未进行充装作业的热车进入厂区进行充装。在槽车预冷的过 程中，若预冷五分钟仍未完成，则停止装车。热车前往其他 站点由液氮预冷完成后再回接收站装车，从 7 月开始对槽车热 车进行管控，并建立槽车违规记录表，对热车进厂装车的公 司进行一定程度的处罚。
发行范围遍及全国各省市石油化工主管部门、设计院、科研院（所）、大中小化肥厂、化工企业、大专院校、图书馆及信 息部门等。世界上一些著名的大学也订阅了本刊 ：全世界排名前十的大学如哈佛大学、普林斯顿大学、加州理工学院等 ；中国 如香港大学、清华大学、北京大学等 ；还有一些世界著名的机构，如美国能源部、美国国防部、美国国会图书馆、法国国防部、 澳大利亚能源部、日本国会图书馆等 ；还有一些世界著名的跨国公司，如美国杜邦、德国巴斯夫、拜耳、中国石油、中国石化、 中国化工等。
到 8.69t/h。新一轮卸船达到全速时，罐压降至 16.0kPa，BOG 量仍为 8.69t/h。