关于两类拉伸杆的斜截面应力分布的探究
轴向拉(压)杆截面上的应力
轴向拉（压）杆截面上的应力
图5-5
轴向拉（压）杆截面上的应力
由于杆件的连续性假设，可假想杆件是 由许多纵向纤维所组成的，由平面假设可以 推断，两任意横截面间的纵向纤维具有相同 的伸长变形。由于材料是均匀的，不难想象， 各纵向纤维变形相同，受力也应相同，由此 可以推断横截面上各点处的应力均匀分布， 如图5-5（c）所示。
其中，BD杆承受拉应力，CD杆承受压应力。
轴向拉（压）杆截面上的应力
1.2 轴向拉压杆斜截面上的应力
前面分析了等直杆拉伸或压缩时横截 面上的应力。但实验表明，铸铁试件受压 时，并不是沿着横截面方向发生破坏，而 是沿着斜截面方向破坏。所以需要研究拉 （压）杆在任意斜截面上的应力情况。
轴向拉（压）杆截面上的应力
轴向拉（压）杆截面上的应力
由内力、应力的概念可知，横截面上应力的合力即 为横截面上的轴力FN，由于轴力垂直于横截面，可知拉压 杆横截面上只有垂直于截面的正应力σ，因此有
即 （5-2）
式中，A为横截面面积。正应力的正负号随轴力的正 负号而定，即拉应力为正，压应力为负。
轴向拉（压）杆截面上的应力
【例5-2】
图5-6
轴向拉（压）杆截面上的应力
【解】（1）内力分析。取结点D为研究对象，其受力图如图56（b）所示，求各杆轴力：
∑Fy=0，FNBD·cos 45°－F=0，FNBD=2F=31.4 kN ∑Fx=0，－FNCD－FNBD·sin 45°=0，FNCD=－F=－22.2 kN可见， BD杆受拉，CD杆受压。 （2）求各杆的应力。 根据公式（5-2）可得
第三章 杆件的应力与强度计算(拉伸杆)
横向变形
横向应变
3、泊松比 (Poisson’s ratio)
b b1 b b1 b Δb b b
ν 称为泊松比
4、胡克定律 (Hooke’s law)
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此 弹性范围内，正应力与线应变成正比. 由
E tg
比例极限p A′对应的应力是线弹性 阶段最高值
(二)屈服阶段(AC段) 塑性变形（残余变形）：卸载后不能恢复的变形。 变形特点： σ基本不变，ε显著增加 ——屈服或流动 上屈服极限——不稳定
下屈服极限——稳定——屈服极限（σs）
塑性材料的失效应力:s
滑移线（与轴线成45°夹角）
（三）强化阶段（ CD段） 材料的强化：材料恢复抵抗变形
q
C A
钢拉杆
8.5m
B
解： ① 整体平衡求支反力 q
FAx
FAy
钢拉杆
8.5m
FB
F 0 , F m F 0,
x B
Ax
0 FAy 19.5kN
② 局部平衡求 轴力： q FCx FCy
mC F 0 FN 26.3kN
③应力：
FAx
FAy ④强度校核与结论： FN
h 1.5 ~ 3.0 d
d
h
2.低碳钢压缩时的σ-ε曲线
拉压杆斜截面上的应力
拉杆的应力分布与杆的材料、截 面形状、尺寸以及加载方式等因 素有关。
压杆的应力分布
压杆在轴向受到压力时，应力分布从 截面中心向边缘递减，最大应力出现 在截面中心。
压杆的应力分布同样受到材料、截面 形状、尺寸以及加载方式等因素的影 响。
拉压杆的应力计算
根据材料力学中的相关理论，可以通过计算得到拉杆或压杆在轴向力作用下的应 力值。
表面。
斜截面上的应力方向与截面的 法线方向垂直，并垂直于杆件
的轴线。
在拉压杆的轴线方向上，斜截 面上的应力呈现对称分布，而 在垂直方向上呈现非对称分布 。
斜截面上的应力状态可能包括 正应力和剪应力，剪应力的存 在可能导致剪切变形。
03 拉压杆的应力分析
拉杆的应力分布
01
拉杆在轴向受到拉伸力时，应力 分布从截面中心向边缘递增，最 大应力出现在截面边缘。
可能不同。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ截面上的应力计算
根据材料力学中的应力计算公式，可 以求出斜截面上任意一点的应力值。
在计算斜截面上的应力时，需要选择 适当的公式并根据实际情况进行计算。
常用的应力计算公式包括：切应力公 式、正应力公式和剪应力公式等。
斜截面上的应力特点
斜截面上的应力分布不均匀， 最大应力出现在截面的边缘或
拉压杆的设计原则与注意事项
设计原则
拉压杆的设计应遵循力学原理和相关标准规范，确保其具有足够的强度、刚度 和稳定性。
第17讲拉压杆斜截面上的应力
二、拉压杆的应力 1、横截面上的应力: F
s
N(x)
2、拉压杆斜截面上的应力
xBiblioteka Baidu
N α =F 杆内纵向纤维的伸长相等 说明斜截面上的应力也是均匀分布的 P α =FN /A α =F/A α A α =A/cos α 则：P α =（F/A）*cos α ＝σcosα α为斜截面外法向与轴线夹角； σ横截面上正应力. σ α =P α cos α =σcos2 α =（σ/2)*(1+ cos2 α) τ α =P α sin α =σcos α sin α =（σ/2 ）*sin2 α
可见，在拉压杆一斜截面上，不仅有正应力， 还有切应力，且与斜截面方位有关。 最大正应力在 α ＝0时，σ α max=σ 最大切应力在α ＝450时，τ α max=σ/2 在α ＝900 时，σ α =τ α =0,表明在平行于轴 线的纵向截面上无任何应力。
例： 图示杆件受轴向力拉力 F=20kN的作用，试求指定截面上 的正应力和切应力，杆的横截面面 积A=10cm2，β=π/3 。
图1
材料力学-2-拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力
将微元沿指定斜截面（ 截开， 将微元沿指定斜截面 （ θ ） 截开 ， 令斜截面上的正应 力和切应力分别为σθ和τθ 。并令微元斜截面的面积为dA。 并令微元斜截面的面积为d 根据平衡方程 有
∑F
n
=0
∑F
t
=0
σθ dA− (σ xdAcosθ )cosθ = 0 τθ dA− (σ xdAcosθ )sinθ = 0
2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力
为了确定拉( 杆斜截面上的应力， 为了确定拉 ( 压 ) 杆斜截面上的应力 ， 可以用假想 截面沿斜截面方向将杆截开， 截面沿斜截面方向将杆截开 ， 斜截面法线与杆轴线的 考察截开后任意部分的平衡， 夹角设为θ。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截 面上的总内力。 面上的总内力。
2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力
σθ =σx cos2 θ
τθ = σx sin 2θ
的截面（即横截面） 取最大值， 在θ＝0的截面（即横截面）上， σθ 取最大值，即 F σθm = σ x = P ax A 45°的斜截面上， 取最大值， 在θ＝45°的斜截面上， τθ 取最大值，即
1 2
τθm =τ45 ax
3. 应用截面法求控制面上的轴力
FA
FNA A A FN B' ' B" B l
材料力学 第2章杆件的拉伸与压缩
第2章 杆件的拉伸与压缩
提要：轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法。为了判断材料是否会发生破坏，还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。由试验观察得到的现象做出平面假设，进而得出横截面上的正应力计算公式。根据有些构件受轴力作用后破坏形式是沿斜截面断裂，进一步讨论斜截面上的应力计算公式。
为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。
本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，一个目的是分析拉压杆的刚度问题，另一个目的就是为解决超静定问题做准备，因为超静定结构必须借助于结构的变形协调关系所建立的补充方程，才能求出全部未知力。在超静定问题中还介绍了温度应力和装配应力的概念及计算。
不同的材料具有不同的力学性能，本章介绍了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能。
2.1 轴向拉伸和压缩的概念
在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架
第2章 杆件的拉伸与压缩 ·9·
·9·
2.2 拉(压)杆的内力计算
2.2.1 轴力的概念
为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。下面讨论杆件横截面上内力的计算。
取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反、作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2.2(a)所示。为了显示拉杆横截面上的内力，取横截面把m m −拉杆分成两段。杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为N F ，如图2.2(b)和2.2(c)所示。由于外力P 的作用线与杆轴线相重合，所以N F 的作用线也与杆轴线相重合，故称N F 为轴力(axial force)。由左段的静力平衡条件0X =∑有：()0+−=N F P ，得=N F P 。
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论
第⼗章应⼒状态与强度理论
第⼀节概述
前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.
上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态
凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。⼀点处的
应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述
1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应
⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：
拉压杆斜截面上的应力
拉压杆的刚度条件
01
02
03
杆件变形
在承受外力时，拉压杆会 发生变形，包括弯曲、伸 长或缩短等。
刚度条件
为保证杆件的正常工作， 必须限制杆件的变形量， 使其不超过允许的变形范 围。
刚度条件公式
刚度条件可以用公式表示， 即杆件的变形量不超过允 许的变形范围。
拉压杆的稳定性分析
1 2
失稳现象
当拉压杆受到外力作用时，如果外力过大或杆件 本身的抗弯刚度不足，杆件会发生弯曲甚至失稳。
剪切应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的切向应力，其方向与 切线方向一致。
正应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的径向应力，其方向与
垂直线方向一致。
斜截面应力分布的规律
规律
斜截面应力分布的规律与杆件的材料、 截面的形状、外力的大小和方向等因 素有关。
影响因素
在拉压杆件中，斜截面上的应力分布 受到杆件的材料、截面的形状、外力 的大小和方向等因素的影响。
拉压杆斜截面上的应 力
目录
CONTENTS
• 拉压杆应力概述 • 斜截面上的应力分布 • 拉压杆的强度和刚度 • 斜截面上的应力计算 • 拉压杆的设计与优化
01 拉压杆应力概述
拉压杆应力的定义
01
拉压杆应力是指在拉压杆件中， 由于受到外力作用而产生的内部 应力，表现为杆件内部相邻部分 之间的相互挤压或拉伸。
轴向拉压时斜截面上的应力
二向应力状态斜截面上的应力
如图为二向应力状态：
考虑平衡可得到：
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
二向应力状态下的强度理论
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第四强度理论
第四强度理论（形状改变比能理论）
– 这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生屈服 破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态 下，只要形状改变比能Ux达到材料在单向拉伸屈服时 的形状改变比能Uxs，材料就发生屈服破坏。即：(p291) Ux=Uxs 其强度条件为：
二向应力状态下的强度理论强度理论的适用范围在三向拉伸应力状态无论是脆性材料还是塑性材料都会发生断裂应采用最大拉应力理论即第一强度理论
二向应力状态下的强度理论
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
轴向拉压时斜截面上的应力
轴向拉压横截面正应力计算 公式 – σ=F/A
斜截面上应力公式
即斜截面上应力公式为：
正应力公式为： cos
02.3.应力·拉(压)杆内的应力解析
得：等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s FN
A
第9页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
公式应用范围：
1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些 特定杆件,例如锲[qiè]形变截面杆受拉伸(压缩)时，平截面 假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。
2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。
FF
Fx 0 FN1 cos 45 FN 2 0
x
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
第18页
武生院建筑工程学院：材料力学
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
2、计算各杆件的应力。
B
s1
FN1 A1
28.3103 202 106
=0)的正应力。
第21页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
p
F A
F
A / cos
F cos
A
s 0 cos
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
k P
s
p
s p cos s 0 cos2
材料力学第2章2
0
F
t
0
据此可以得到与前面完全相同的结果。
第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的应力
FN FP cos ＝ ＝ x cos 2 Aθ Aθ
FPsin 1 ＝ ＝ xsin 2 Aθ Aθ 2 FQ
上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横截面上只有正 应力；斜截面上则既有正应力又有切应力。而且，对于不同倾 角的斜截面，其上的正应力和切应力各不相同。
第二章 轴向拉伸和压缩
拉、压杆件的变形分析
Δl x l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆 件各处均匀变形的情形。 对于各处变形不均匀的情形，
必须考察杆件上沿轴向的微段dx的变形，并以微段dx的相对 变形作为杆件局部的变形程度。
第二章 轴向拉伸和压缩
拉、压杆件的变形分析
这时
B A 1
2、沿杆件方向绘出变形
B1
90
变形必须与内力一致! 拉力伸长；压力缩短
B2
2
3、以切线代替圆弧，交
B
点即为节点新位置。
利用小变形条件!
C
l 2
B
4、根据几何关系求出 水平位移（ BB）和 1 垂直位移（ B B）。
1
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
l1
1.5m B A 2m
第二章 轴向拉伸和压缩
2 拉伸和压缩.
2 拉伸和压缩
2.1 轴向拉伸和压缩的概念及实例
在工程实际中，常见很多直杆，例如图2.1所示的悬臂吊车的拉杆，图2.2所示的液压传动机构中油缸的活塞杆，还有桁架结构中的每根杆等，略去次要受力后，它们所受到的外力的作用线或外力的合力作用线都是与杆件的轴线重合的，所引起的杆件变形均主要是沿轴线方向的伸长或缩短。我们称这种变形为轴
向拉抻或轴向压缩，工程上，常称发生这种变形的杆件为拉杆或压杆。
2.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的内力和应力
2.2.1 轴向拉伸和压缩时横截面上的内力
杆件受到外力作用时，其内部各质点的相对位置发生改变引起内力，该内力随外力增加而增大，达到某一限度时杆件发生破坏。
图2.1 悬臂吊车的拉杆 图2.2 液压传动机构中油缸的活塞杆
拉
压
图2.3 轴向拉伸、压缩杆件的计算简图
2.2.1.1内力的名称和符号规定
假想地用一截面m -m 将杆件截开，分为Ⅰ和Ⅱ两部分。取其中的任一部分，例如Ⅰ为研究对象，弃去的部分Ⅱ对Ⅰ的作用以截开面上的内力代之。因为整个杆件处于平衡状态，故Ⅰ部分也应满足平衡方程，即P 与截开面上的内力构成平衡力系，由此显易得出截开面上的内力也必定与轴线重合（图2.4c ），且由 0,0=-=∑P N X 得 P N =
为了区别拉伸和压缩，我们对轴力N 作如下符号规定，即：轴力的指向离开所作用的截面时为正号，也称为拉力；指向朝着作用的截面时为负号，也称为压力。
2.2.1.2 内力的图形表示——轴力图
当外力沿杆件轴线连续分布时，轴力是轴坐标x 的连续函数，即()x N 。该图形中以横坐标表示横截面的位置，以纵坐标表示轴力的大小，以该方式绘制的图形称为轴力图。
杆件的应力与强度
第3章杆件的应力与强度
判断
1、轴向拉压杆件任意斜截面上的内力作用线一定与杆件的轴线重合”
2、拉杆内只存在均匀分布的正应力，不存在剪应力。”
3、杆件在轴向拉压时最大正应力发生在横截面上”
4、杆件在轴向拉压时最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上”
5、材料的延伸率与试件的尺寸有关。“
6、没有明显的屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2%应变时的应力作为屈服极限。“
7、构件失效时的极限应力是材料的强度极限。”
8、对平衡构件，无论应力是否超过弹性极限，剪应力互等定理均成立。”
9、直杆扭转变形时，横截面的最大剪应力在距截面形心最远处。”
10、塑性材料圆轴扭转时的失效形式为沿横截面断裂”
11、对于受扭的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上”
12、”圆轴受扭时，横截面的最大剪应力发生在距截面形心最远处。”
13、圆轴受扭时，轴内各点均处于纯剪切状态“
14、”薄壁圆管与空心圆管的扭转剪应力计算公式完全一样。”
15、”圆轴的扭转变形实际上是剪切变形。”
16、”圆轴扭转时，根据剪应力互等定理，其纵截面上也存在剪应力。”
17、剪应力互等定理只适用于纯剪状态”
18、传动轴的转速越高，则其横截面的直径应越大”
19、受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料、横截面
的大小以及横截面的形状无关”
20、普通碳钢扭转屈服极限铲120MPa,剪变模量G=80GPa,则由剪切虎克定律r
=G^到剪应变为丫=1.5 xi0ad "
21、山等直圆杆，当受到扭转时，杆内沿轴线方向会产生拉应变。”
22、低碳钢圆柱试件受扭时,沿450螺旋面断裂。”
材料力学斜截面应力分析
根据斜截面上切应力的计算公式，由τ α = 0 可得到主平面的计算方法，设主 平面外法线方向与 x 轴的夹角为 α 0 ，则有： τα = − σ x −σ y 2 sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 = 0
另外，由
σ x −σ y dσ α = 2(− sin 2α + τ xy cos 2α ) = 0 可看出，切应力为零的斜 dα 2
Px σ x τ xy cos α 结合 = 有： Py τ yx σ y sin α σ x τ xy cos α cos α = p τ sin α yx σ y sin α σ x τ xy 上式表现为实对称矩阵 的特征值问题：主应力为特征值，主平面 τ yx σ y 的法线方向单位矢量为特征向量。 基于这个性质，可采用特征值问题解法去获取 主应力和主平面，且满足相应的性质。 如可根据特征多项式为零的条件求主应力： σx − p τ xy =0 τ yx σy − p (σ x − p )(σ y − p ) − τ xy = 0 p 2 − (σ x + σ y ) p + σ xσ y − τ xy = 0 p1, 2 = σ x +σ y 2 ± ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy
σx −σ y σ −σ y 2 cos 2α 0 = = x R 2R 上面两式可通过 α = α 0 时 τ α = 0 验证： τα = − σx −σ y sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 2 σx −σ y τ 2 = R(− sin 2α 0 + xy cos 2α 0 ) R R = R(− cos 2α 0 sin 2α 0 + sin 2α 0 cos 2α 0 ) =0 利用 α 0 ，任意斜截面上的应力分量还可进一步分析得： σα = σx +σ y σx −σ y + cos 2α + τ xy sin 2α 2 2 σx −σy σ +σy τ = x + R( 2 cos 2α + xy sin 2α ) 2 R R σ +σy = x + R(cos 2α 0 cos 2α + sin 2α 0 sin 2α ) 2 σ +σy = x + R cos(2α 0 − 2α ) 2 τα = − σx −σ y sin 2α + τ xy cos 2α 2 σx −σy τ 2 = R(− sin 2α + xy cos 2α ) R R = R(− cos 2α 0 sin 2α + sin 2α 0 cos 2α ) = R sin(2α 0 − 2α )
1拉压杆横截面上的应力
1拉压杆横截面上的应力
6.1.1 应力的概念
同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向
拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横
截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力F N 并不能判断
拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1
而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m 上的任意一点C 处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m 处截开，在截面上围绕C 点取微小面积ΔA ，ΔA 上分布内力的合力为Δp (图6-1a)，将Δp 除以面积ΔA ，即
A
p p ∆∆=m （6-1） p m 称为在面积ΔA 上的平均应力，它尚不能精确表示C 点处内力的分布状况。当面积无限趋近于零时比值A
p ∆∆的极限，才真实地反映任意一点C 处内力的分布状况，即 lim 0dA
dp A p p A =∆∆=→∆ （6-2） 上式p 定义为C 点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b ），法向分量称为正应力，用σ 表示；切向分量称为切应力，用τ表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。
应力的单位为“帕”，用Pa 表示。1Pa=1N/m 2
, 常用单位为兆帕MPa ，
昆明理工大学材料力学第五章-轴向拉压杆的应力和变形
（3）当a 45o时， 45o = max s 0/2。即最大切应力发
生在与轴线成45o角的斜截面上。此时正应力为s 0/2 。
（4）当a 90o时， s a = 0 ， a 0。即纵截面上无任何
应力。
● 正应力sa 和切应力 a 正负号的规定： （1）正应力sa ：离开截面（拉）为正，
指向截面（压）为负。
FF
F
F
22
}
例1. 等截面直杆，已知横截面面积A=500mm2。
(1)画轴力图; (2)求各段横截面上的正应力。
1 80kN 2 50kN 3
解：（1）求各段轴力
30kN
AB段: 由1-1右侧
A 1B
2 C 3D
FN1=80-50+30 =60kN
60
BC段: 由2-2右侧
30
FN2= 30-50
a
pasinas0coassia n
s0
2
sin2a
结论：轴向拉（压）时斜截面上既有正应力，还有
切应力。
F
k sa
pa
sa s0co2sa
讨论:
a
k
a
s0
2
sin2a
（1）saf(a),af(a)。 s0、a 的符号代入计算。
（2）当a 0时， s max= s 0。即横截面上的正应力为最大
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（上接第244页） 4.3 预冷槽车热车产生大量BOG
对策实施 ：由槽车安检人员对槽车进行检查，禁止两天 未进行充装作业的热车进入厂区进行充装。在槽车预冷的过 程中，若预冷五分钟仍未完成，则停止装车。热车前往其他 站点由液氮预冷完成后再回接收站装车，从 7 月开始对槽车热 车进行管控，并建立槽车违规记录表，对热车进厂装车的公 司进行一定程度的处罚。
其中
，
（1）
且已知斜截面面积为
，则正应力为
切应力为
（2）
在斜截面处沿横截面方向、纵截面方向切出一个小立方
体微元，沿长度方向的长度为 δx，设立方体微元上表面 A 的 横坐标为 xo，下表面 B 的横坐标为 xo+δx。由于 A、B 面都是 沿横截面切下的，故面内只有正应力，下面对 A、B 面正应力 进行计算。设杆件长为 L，横截面长为 a，宽为 b。现对 A 面 进行受力分析，设 A 面所在横截面受力为 Fxo，方向为正方向， 则 A’面所在横截面受力 Fx′o 与 Fxo 互为相反力，求出 Fx′o 相 当于求出 Fxo。则首先对整根杆做受力分析得杆的最上端受力
到 8.69t/h。新一轮卸船达到全速时，罐压降至 16.0kPa，BOG 量仍为 8.69t/h。
效果检测 ：整个过程只需开启一台压缩机，能实现 BOG 蒸发量降低这一目标。 5 效果总结
采用上述措施后，平均电耗由活动前的 6.06kW · h 降低至 4.82kW · h， 降 低 了 1.24kW · h， 降 低 比 率 为 20.5%。2015 年 下半年外输量 945002t，日平均外输量为 5192t 吨。通过活动， 2015 年下半年节省电量为 ：
Wang Jin-cheng，Wang Liu-qing
Abstract ：In most cases，people are learning and research are ignored rod weight，but in some special cases，the weight of the rod is not negligible，its weight to the impact of stress caused by the inner rod may be directly related to the strength check rods， in order to make the design and application engineering rod is more secure and reliable，this thesis studied a stretch considering the weight of the rod and does not consider the weight of the various types of stress at the inner rod in case of distribution，as long as the use of a localized thinking to solve a cross-section rods discontinuity problem，the conclusion that the two types of stem stress points to
τ
（16）
3 结论 对比两种情况最终的应力公式（2）（3）（13）（14）发现，
同一斜截面上的各点的应力分布是不同的，不考虑自重情况 下，同一斜截面上的点的应力分布相同，即在其他条件不变 的情况下，应力大小只与斜截面角度 α 有关。也就是说杆件 任意与轴线成确定角度的斜截面上的点的应力是相等的，且 将斜截面沿轴线平移到任何位置，应力大小都不变化，因此
当 xo=0，α=45° 时，截面内正应力最大，最大值为
（15）
·246·
化工设计通讯
Chemical Engineering Design Communications
学术研究
Academic Research
第42卷第4期
2016年4月
当 xo=0，α=45° 时，该点处的切应力最大，最大值为
945 002*1.24=1 171 802.48kW·h 活动后 2015 年下半年每天节省电量为 ：
5 192*1.24=6 438.08kW·h 当地工业用电电费为 0.878 元 / 度，活动后 2015 年下半年 每天节约电费 ：
6 438.08*0.878=5 652.63元≈0.565万元 活动后 2015 年下半年共节约电费 ：
效果检测 ：对 7 月—12 月槽车热车进行跟踪，槽车进厂装 车的现象取得明显效果，小目标实现。 4.4 储罐内BOG量不稳定
对策实施 ：首先假定其它因素维持不变，对 7 月份船只， 只考虑改变储罐操作压力，来提高 BOG 量的稳定性。
在全速卸船阶段，将储罐压力保持在 16.0kPa（现有操作 16.1kPa），在此压力下，BOG 总量为 8.69t/h，开启一台 BOG 压缩机。在卸船后的非卸船状态期间，虽然漏热产生的 BOG 只有 8.3t/h，但将压缩机的处理量仍保持 8.69t/h 不变，储罐压 力持续下降，当压力降低到10.85kPa。之后调整处理量为8.3t/h， 储罐压力维持 10.85kPa 不变。新一轮的卸船开始时，储罐压 力迅速上升，最高时可达 19.8kPa，罐内液体成为过冷液体， 可将船上来的 BOG 冷凝。在此过程中，BOG 量由 8.3t/h 升高
《化工设计通讯》杂志系经国家新闻出版广电总署批准国内外公开发行的全国性石油化工科技类期刊，创刊于 1975 年，由 湖南化工医药设计院主办，主管单位为湖南省石油化学行业管理办公室。是 2014 年国家新闻出版广电总署《第一批认定的学术 期刊名单（共 5756 种）》中的 2804 号。被美国化学文摘（CA）、中国期刊网（CNKI）、中国期刊全文数据库（CJFD）、中国学 术期刊综合评价数据库（CAJCED）、《中国学术期刊（光盘版）》等收录。是中国科技论文统计源期刊。
针对第一种情况，由于 Fp 是施加在杆件轴线上的，结合 材料力学的均匀、连续、各向同性的基本假设，可知杆内的
内力是均匀分布的，且斜截面上应力是处处相等的。
假设斜截面与杆件横向成 α 角度，则截开后的面上轴向 方向的内力是相同的，将这些内力都向轴线简化，可 α 得到 总的轴力也为 Fp。现以平行于斜截面方向为 x 轴，垂直于斜 截面为 y 轴建立直角坐标系，将力 Fp 分别投影到两坐标轴上， 分别记为 FN 和 FQ。
（4） 元体切分为两半，任取一半进行分析。方法与第一种情况完
全类似，唯一区别为将第一种情况里的 Fp 替换为 Fxo。则由式
（2）得斜截面正应力
（5）
F
（13）
2.2 自重不可忽略杆 针对第二种情况，已知均布载荷为 p kN/m3，故斜截面上
轴线方向上的应力不是均匀分布的，故对斜截面上应力计算 带来了不便。换个思路，我们可以运用局部化分析思想来解 决这个问题。
面和杆件横向方向之间的夹角 a 有关，而与斜截面的位置、 元体内内力可看做均匀分布。此时，可在微元体内任意用假
点在斜截面上的位置无关。
想平面切分，进而研究截面内的应力分布。下面采用和第一
当 α=0° 时，正应力 σα 最大，最大值为
当 α=45° 时，切应力最大，最大值为
τ
种情况相类似的斜面切割法，用与横截面成 α 角斜截面将微
收稿日期 ：2016–04–08 作者简介 ：王金城（1994—），男，四川江油人，本科在读生，主要
从事工程力学学习与研究工作。
由式（3）得斜截面切应力
F ab
x
（14）
由公式（13）可知，在考虑自重的情况下斜截面上一点 的正应力和切应力的大小不仅与斜截面和杆件横向方向的夹
角 α 有关，还与点所在位置的横坐标 xo 有关，当 α 大小确定时， xo 越大应力越小 ；xo 越小，即越接近杆的根部，应力越大。
主要报道石油化工产品的设计、研究、生产、建设、技改、教学等方面的新工艺、新产品、新技术、新设备、新材料。 稿源来自全国各石油化工行业，刊登文章突出先进性、创新性、科学性、针对性、实用性、和效益性，以解决石油化工设计、 研究、教学和生产中遇到的理论和实际问题。 刊登范围 ：石油、化学、煤气、天然气、化肥、无机化工、有机化工、环境保护、三废治理、新能源、新材料、新技术、 医药工程等。主要刊登石油化工工艺技术方面的文章，也刊登化工设备、环保治理、给排水、仪表、自控、电气、热工、材料、 通风、技经、综论等方面的文章。 主要栏目 ：合成氨与尿素、煤气化与甲醇、化工教学、工业生产、勘探开发、石油工程、油气开采、钻井完井、化工装备、 化学工程、新材料与新技术、安全环保、化工能源、资源与环境、学术研究。 读者对象 ：从事石油化工生产、设计、研究、建设、教学和管理的工程技术人员、研究人员、管理干部、技术工人、大专 院校师生及信息和营销人员等。
第42卷第4期
2016年4月
学术研究
Academic Research
化工设计通讯
Chemical Engineering Design Communications
关于两类拉伸杆的斜截面应力分布的探究
王金城，王柳菁 （大连理工大学运载工程与力学学部，辽宁大连 116024）
摘 要 ：在大多数工程实践中，细长杆件都是忽略自重的，但是某些特殊情况下，杆件的自重是不可忽略的，其自重给杆 内应力带来的影响直接关乎该杆件的强度校核。为了使工程中杆件的设计与应用更加安全可靠，本论文研究了拉伸杆件的在考 虑自重和不考虑自重两类情况下的杆内各点应力的分布情况，运用局部化思想解决杆件截面受力不均匀的难题，并得出两类杆 的各点应力准确计算公式。
关键词 ：局部化思想 ；应力分布 ；应力不均 中图分类号 ：U448.213 文献标志码 ：A 文章编号 ：1003–6490（2016）04–0246–02
Explore the Oblique Section on Types of Ttress Distribution in the Stretch Rod
accurately calculate the formula. Key words ：localized thinking ；Uneven stress ；Stress distribution
1 问题描述 以下两种情况下 ：（1）忽略杆件自重并将与自重等大的
轴力施加于杆件末端（2）考虑杆件自重。如何确定同一杆件 同一斜截面上同一点的应力。 2 问题分析 2.1 受轴向集中载荷无自重杆
（6）
方向为 x 轴负方向。对 A’面列平衡方程
F
x
（7）
解得
F abp L x
（8）
则
FF
x
（9）
同理，对 B 面列平衡方程
解得
F δx
F δx
由于 δx 足够小，故
δx
（10）
δx
（11）
（3）
FF
x
δx
（12）
故分析公式可知任意斜截面上的任意点的应力只与斜截
故微元的上下表面所受力大小可近似看做相等，那么微
发行范围遍及全国各省市石油化工主管部门、设计院、科研院（所）、大中小化肥厂、化工企业、大专院校、图书馆及信 息部门等。世界上一些著名的大学也订阅了本刊 ：全世界排名前十的大学如哈佛大学、普林斯顿大学、加州理工学院等 ；中国 如香港大学、清华大学、北京大学等 ；还有一些世界著名的机构，如美国能源部、美国国防部、美国国会图书馆、法国国防部、 澳大利亚能源部、日本国会图书馆等 ；还有一些世界著名的跨国公司，如美国杜邦、德国巴斯夫、拜耳、中国石油、中国石化、 中国化工等。
由公式（5）可计算最大切应力。 杆件自身重力不可忽略时，同一斜截面上的点的应力分
布是不均匀的，即杆件内一点处的应力大小不仅与斜截面角 度 α 有关，还与点所在位置的沿杆长度方向的坐标 x 有关。
通过以上分析，可以清楚地Biblioteka Baidu识到考虑自重与忽略自重 两种情况下，斜截面应力分布的计算方法的异同，该结论可 以应用到工程实际中。
945 002*0.878=829 711.756元≈82.97万元 参考文献
[1] 刘金浩，金国强 .LNG 接收站 B0G 气体处理工艺 [J]. 化工设计，
2006，（1）：13-16.
[2] 金光 .LNG 接收站蒸发气处理工艺 [J]. 低温工程，201l，（1）.
《化工设计通讯》征稿启事