排列数公式课件
排列与排列数课件(最新)PPT
复习
1．排列的定义 2.排列数公式
Anm n(n 1)( n 2) (n m 1) 共有 m个整数相乘。（ m n)
n! Ann n(n 1)(n 2) 21
A
m n
n! （ 0 ( n m )!
m
n)
规定0！ 1，An0 1
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复习
思考 : Ax4 840, x ?
A22 A33 A44 288（种）
A44 A53 1440
A33 A44 144
练习3。由1,2,3,4组成的四位数，小于4123的 有多少个？
千位是3选1，其他任排。 A31 A33 18
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A93
二类：0被选中放在十位或个位 A21 A92
A93 A21 A92 648
A3 10
A2 9
A A3 10
2 9
．
10
9
8
9
8
648.
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思考：对于（4）用全排列减去（4）得：
（3）情形：甲————————乙 和乙————————甲
（4）甲乙不能在两端，包括不能： 甲——————————乙 乙——————————甲 甲——————————X 乙——————————X X-------------------------------甲 X--------------------------------乙
§ 1.2.1 排列与排列数
§
李森
珠海市斗门区第一中学
学习目标
重点难点
珠海市斗门区第一中学
1.熟练运用排列数计算 公式求解排列数问题。
2.掌握常见的带限制条 重点：用适合的方法解决排列问 件的排列数计算方法： 。
1-1.2.1第2课时排列与排列数公式
栏目导引
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数． 排列数 表示法 乘积 形式 形式 性质 备注
工具
Anm
Anm＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) .
排列数 公式
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(2)1！＋2·2！＋3·3！＋„＋n·n!
＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋„＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
[题后感悟]
(1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其
中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样做往往会减少运算量．
数字的两位数？
(2)从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数
字的三位数？
(3)从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数 字的四位数？ 观察以上问题，你认为从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排成一列，有多少种不同的排法？排列数公式是什么？
工具
第一章 计算原理
工具
第一章 计算原理
栏目导引
2A85＋7A84 An－1m 1· n－mn m A 1.计算：(1) ；(2) . － A88－A95 An－1n 1
－
－
2A85＋7A84 解析： (1) A88－A95 2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 ＝ ＝1. 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 An－1m 1· n－mn A (2) － An－1n 1
2025高考数学一轮复习-7.2.2-排列数公式【课件】
二、阶乘的概念及性质
知识梳理
1.阶乘的概念
Ann ＝ n(n－1)(n－2)×…×3×2×1 . Ann 称为n的阶乘，通常用n！表示，
即 Ann ＝n！.
2.阶乘的相关应用
(1)规定：0！＝ 1 .
n！
(2)排列公式的阶乘式：Amn ＝ n－m！ (n≥m).
例 2 解方程：3Ax8＝4Ax9－1.
证明 方法一 因为 Amn＋1－Anm
＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！ ＝n－n！m！·n＋n＋1－1 m－1 ＝n－n！m！·n＋m1－m ＝m·n＋1n－！m！＝mAmn －1， 所以 Amn＋1－Amn ＝mAmn －1.
方法二 Amn＋1表示从 n＋1 个元素中取出 m 个元素的排列数，其中不含元 素 a1 的有 Anm个. 含有a1的可这样进行排列： 先排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m－1 个元素排在剩下 的 m－1 个位置上，有 Amn －1种排法.
故 Amn＋1＝mAmn －1＋Amn ，
所以 mAmn －1＝Amn＋1－Anm.
反思感悟 对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一 般用阶乘式.
解析 对于 A，(n＋1)Amn ＝(n＋1)·n－n！m！＝nn－＋m1！！＝[n＋1n－＋1m！＋1]！＝ Amn＋＋11，正确； 对于 B，nnn！－1＝nn－1n－n2n×－…1×3×2×1＝(n－2)！，正确； 对于 C，Amm≠nA！mn ，错误； 对于 D，n－1 mAmn ＋1＝n－1 m·n－mn！－1！＝n－n！m！＝Amn ，正确.
知识梳理
1.排列数公式 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有排列的个数 ，叫 作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示，Amn＝_n_(n_－__ 1)(n－2)…(n－m＋1) ，其中n，m∈N*，且m≤n. 2.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积. (2)第一个数最大，是A的下标n. (3)第m个数最小，是n－m＋1.
6.2.2排列数-【精品课件】高中数学人教A版选择性必修第三册
3
学习新知
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做
从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号
表示。
排列数与一个排列相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有
ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，
：
邢
启
强
14
课堂小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成
一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为
完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与
位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以
根据排列的意义写出所有的排列．
讲
(n m)!
(n m)! (n m)!
m
讲
课
人
：
邢
启
强
m
A
n
9
练习1：证明：
证明：
讲
课
人
：
邢
启
强
A 8A 7 A A
8
7
6
7
8
7
6
7
A 8A 7 A 8A 8A A A
8
7
6
7
7
7
7
8
7
6
7
7
7
7
10
巩固练习
3
7
1．与 A10·A7不相等的是( B )
8
问题5：证明：（1）
证明：
（1）
m1
n An-1
高中数学第5章计数原理§22.1排列与排列数2.2排列数公式课件
[跟进训练] 2．(1)计算A316A－35 A66； (2)已知 Amn －1＝5×6×7×…×2 020，求 m，n 的值． [解] (1)原式＝16×15×14－5×6×4×5×3 4×3×2×1＝4×14－12＝ 44．
(2)∵5×6×7×…×2 020 中最大的数为 2 020，共有 2 020－5＋ 1＝2 016 个数，
[解] (1)A215＝15×14＝210； (2)A88＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40 320； (3)Amn－－A11nn·－ －A11nn－ －mm＝[n－1n－－m1－！1]！·(n－m)！·n－11！ ＝nn－－m1！！·(n－m)！·n－11！＝1；
(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n＋1)！ －n！]＝(n＋1)！－1；
A．4 B．6 C．8 D．12
D [共有 A24＝4×3＝12 种选法．]
3．将 3 张电影票分给 10 人中的 3 人，每人 1 张，共有________
种不同的分法．
720
[问题相当于从
10
张电影票中选出
3
张排列起来，共有
A3 10
＝10×9×8＝720 种分法．]
4．解方程：3A3x＝2A2x＋1＋6A2x．
【例 3】 (1)写出从 4 个不同元素 a、b、c、d 中任取 3 个元素 的所有排列，并指出有多少种不同的排列？
(2)从 3、5、7、8 中任意选两个分别作为对数的底数与真数，能 构成多少个不同的对数值？
[思路点拨] (1)依据排列的定义，用枚举法求解；(2)看能不能把 问题归结为排列问题，若能，进一步确定 m 与 n 的取值．
∴5×6×7×…×2 020＝A22 001260， ∴m－1＝2 016，n＝2 020， ∴m＝2 017，n＝2 020．
排列与排列数 (课件)
它们的答案是否一致？
如果用A、B、C分别表示上述问题（1）中的三所大学，用（A,B）表示，第一志愿
是A，第二志愿是B，你能列出小张所有的选择方式吗？上述问题，（2）（3）的结
果是否也能用类似的方法表示？
概念解析
一、排列的定义
一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,
典例解析
例1.求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有
的排列。
解：所求排列数为33 = 3 × 2 × 1 = 6.
所有的排列可用图表示
由图可知，所有排列为
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
概念解析
2.排列数公式的阶乘表示
全排列数公式的阶乘表示:A =n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会;
(3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式.
解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标
的顺序有关,所以这是排列问题.
(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.
− !
!
− −1 !
!
=
× 1+
− !
− −1
!
+1
=
×+
− !
− −1
=
( + 1)!
=
+1
+1 − !
典例探究
探究2.假设有 + 1加一个对象，甲是其中一个，从 + 1对象中取出m个做
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
排列(课件)-高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2)...[n-m+1]
探究新知
排列数公式
∗
= − 1 − 2 . . . − + 1 ，其中， ∈ N ，并且 ≤ .
把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。此时，
分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5 x 5 x 5 = 125
探究新知
二、排列数
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上
午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?
解析：要解决该问题，可以分为两个步骤：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选择1名参加上午的活动，
（3）排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
◆排列数公式的应用
探究新知
1.公式 A ＝n（n-1）·…·（n-m+1）适用于具体计算以及解当m较小时
m
n
的含有排列数的方程或不等式.在运用该公式时要注意它的特点：从n
起连续写出m个数的乘积.
2.公式 A ＝ (n n!m)! 适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题.
少种排法.
问题引入
从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,
另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?
上午
甲
乙
丙
下午
相应的选法
乙
甲乙
丙
甲
甲丙
乙甲
丙
甲
乙丙
丙甲
丙乙
乙
我们把上面问题中被取出的对象叫做元素.
共有6种选法.
6.2.2 排列数(课件)高二数学(新教材人教A版选择性必修第三册)
十位数字和百位数字的排法种数有
A
2 4
种
，
故
奇
数
有
A
1 3
×A
2 4
＝
3×4×3＝36(个)．
3．用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数 位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________ 个． 144 解析：先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33 ＝144(个)．
() A．720
B．360
C．240
D．120
C 解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作 一人，与其余四人全排列共有 A55种排法，但甲、乙两人之间有 A22种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A55A22＝240(种)不同的排法．
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，一 般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个“大元 素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列． 2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也 就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
解：(1)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中 选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法， 因此共有 A25A66＝14 400(种)不同排法． 方法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排 法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A55＝14 400(种)不 同排法．
北师大版选择性521522排列与排列数排列数公式课件(40张)
探究点二
列举法写排列
[例2] 四个人A,B,C,D坐成一排照相有多少种坐法?将它们列出来.
解:先安排A有4种坐法,安排B有3种坐法,安排C有2种坐法,安排D有1种坐
法,由分步乘法计数原理得,有4×3×2×1=24种坐法,画出树形图.
由“树形图”可知,所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,
BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,
DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.
变式探究:对本例,若加上限制条件:D不能在“排头”(即每个排列的最左端
不是D),这样的排列有多少种?
解:由例2的树形图可知这样的排列共有24-6=18种.
排其他日游景点,有 =6 种排法.故总的排法有 2×4×6=48 种.
方法总结
无约束条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制
的问题,这种类型的题目相对简单,分清元素和位置即可.一般情况下涉及
的“大数”是元素数,“小数”是位置数.同时,要明确完成一件事是分类
还是分步.
[针对训练] (1)按序给出a,b两类元素,a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、
A.84
C
)
B.78
C.72
D.54
解析:先将除甲乙以外的 3 人进行全排列,共 种排法,则 3 个人共产生
4 个空,从 4 个空中取两个对甲乙进行排列,则有 种排法,结合分步乘法计
探究点三
(1)计算:
解:(1)
排列数公式
+
-
+
-
=
;
课件1：1.2.1 排列
４× ３×２＝２４种
４种 ３种
２种
问题探究
问题３ 从n个不同元素中取出2个元素，排成一列，共有多少种
排列方法？
问题４ 从n个不同元素中取出3个元素，排成一列，共有多少种 排列方法？
n种 (n-1)种 (n-2)种
n种 (n-1)种 n (n-1) 种
n (n-1)(n-2) 种
算.
n Am
理论迁移
例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加， 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进
行多少场比赛.
A 14 13 182
2 14
理论迁移
例3（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有
பைடு நூலகம்
多少种不同的送法？
3 ( 种 ) 5 （2）从5种不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少
A
= 60
种不同的送法？
5 = 125 (种)
3
典型例题
题型一 数字排列的问题 例1.用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条 件的且没有重复数字的数： (1)五位奇数； (2)大于30 000的五位偶数．
解 (1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取
法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末 两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数
用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两
种．
课堂小结
1.判断一件事是否为排列关键有两个要素，一是取出的元素要考 虑顺序，二是事件中没有重复元素，否则就不能按排列原理求方 法数. n Am 2.排列与排列数是两个不同的概念，前者是指按照一定顺序排成的
第一章 1.2.1 第2课时 排列与排列数公式(共49张ppt)
幻灯片1第2课时排列与排列数公式幻灯片2幻灯片3排列数及排列数公式不同排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____ ____的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法排列mnA_________幻灯片4排列数公式乘积式=_____________________阶乘式性质=___,0!=__备注n,m∈N*,m≤nn(n-1)(n-2)…(n-m+1)m n A()n!n m !-m n A _________=n! 1n n A幻灯片5判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于式子 中的x 可以取小于或等于3的任意整数.( ) (2)排列数 是有n 个因式的乘积.( )(3)0！规定等于1，但它不能按阶乘的含义来解释.( ) (4) (n ∈N*且n<55)( )x 3Am n A()()()1469n 55n 56n 69n A ---⋯-=幻灯片6提示：(1)错误.x ≤3且x ∈N*.(2)错误.从n-m+1到n 共有m 个因式相乘. (3)正确.0!=1只是一种规定.(4)错误.(55-n)(56-n)…(69-n)共有15个因式相乘，故原式 等于 (n ∈N*且n ≤54).答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×1569n A-幻灯片7【知识点拨】1.排列与排列数的区别“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数”，它是一个数. 幻灯片8比如从3个元素a,b,c 中取出2个元素，按照一定的顺序排成一 列，有如下几种:ab,ac,ba,bc,ca,cb ，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号 表示排列数，在 此例中m n A23A 6.=幻灯片92．准确理解排列数公式(1)公式中的n ，m 应该满足n,m ∈N*，m ≤n ，当m>n 时不成立．(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n-m ＋1(下标-上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． 幻灯片10(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式．它是一个分式的形式，分子是下标n 的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即(n-m)的阶乘．(4)特别地，规定0!＝1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释． 幻灯片11类型一 排列数的计算问题 【典型例题】1.(2013·洛阳高二检测)乘积m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+20)可 表示为( )2.计算：2212021m m m 20m 20A.A B.A C.A D.A ++()()5439915651010A A 1A .2.A A +-幻灯片12 【解题探究】1.排列数 是几个因式的乘积？最大、最小数分别是什么？2.题2(2)中 能否均用 表示？ 探究提示：1.从n-m+1到n 共有m 个因式相乘，其中最小数为n-m+1，最大 数为n.2.能.m n A56591010A A A ，，49A54645499109109A 5A ,A 50A ,A 10A .===幻灯片13【解析】1.选D.因为m,m+1,m+2，…，m+20中最大的数为 m+20，且共有m+20-m+1=21个因式. 所以m(m+1)·(m+2) …(m+20)=21m 20A .+幻灯片14 2.(1)(2)方法一：315A 151413 2 730.=⨯⨯=5499651010A A A A +=-9876598761098765109876⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯()()9876513.1098765120⨯⨯⨯⨯+==⨯⨯⨯⨯⨯-幻灯片15 方法二：方法三：5444499999654441010999A A 5A A 6A 3.A A 50A 10A 40A 20++===--54996510109!9!A A 4!5! 10!10!A A 4!5!++=--59!9!69!3.510!10!410!20⨯+⨯===⨯-⨯幻灯片16【互动探究】在题1中，若将乘积改为m(m-1)(m-2)(m-3) …(m-20)(m>20)，则结果如何？【解析】因为m(m-1)(m-2)…(m-20)中最大数为m ，且共有 m-(m-20)+1=21(个)因式，所以m(m-1)(m-2)…(m-20)=21m A .幻灯片17【拓展提升】排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. 幻灯片18(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. (3)当计算的式子中含有多个排列数时，一般先利用阶乘的性质将其他排列数用最小的排列数表示，再计算. 幻灯片19类型二 与排列数有关的方程、不等式及证明问题 【典型例题】1.(1)已知 则n=______. (2)不等式 的解集为______.2.求证:332n n A 10A =，x x 288A 6A -<m m m 1n 1n n A A mA .-+-=幻灯片20 【解题探究】1.如何利用排列数公式将题1(1)(2)中的方程、不等式转化为 n 或x 的代数方程、不等式求解？2.如何选择排列数公式由题2中待证式左端过渡到右端？ 探究提示：1.利用排列数公式的乘积式或阶乘式进行转化.2.对 分别用排列数公式的阶乘形式过渡到右端.m m n 1n A A+，幻灯片21【解析】1.(1)因为 所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n- 1)(n-2)，即n2-9n+8=0,解得n=1或n=8,因为n ≥3，所以n=8. 答案：8332nn A 10A =，幻灯片22(2)由 得3≤x ≤8，x ∈N*. 由 得化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12, 又因为3≤x ≤8，所以x=8. 答案：{8}8x,x 21,≥⎧⎨-≥⎩()()88!68x !10x !<⨯--！，x x 288A 6A,-<幻灯片232.因为()()()m m n 1nn 1!n!AA n 1m !n m !++-=-+--()n!n 1(1)n m !n 1m +=⋅--+-()n!m n m !n 1m =⋅-+-()m 1m m m 1n n 1n n n!m mA ,A A mA .n 1m !--+=⋅=-=+-所以幻灯片24 【拓展提升】1.排列数公式阶乘式的应用公式 适用于与排列数有关的恒等式(或不等式)的证明或解有关排列数 (当m 与n 较接近时)的方程与不等式. 【提醒】在解有关排列数的方程式或不等式时，应注意排列 数中未知数满足的隐含条件“n,m ∈N*且m ≤n ”.()m nn!A n m !=-m n A幻灯片252.排列数的化简与证明技巧应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明， 化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的 内在联系.解题时要灵活地运用如下变式： ①n!=n(n-1)!；② ③n ·n!=(n+1)!-n!； ④m m 1nn 1A nA --=；()n 111.n!n 1!n!-=--幻灯片26【变式训练】1.解方程：【解题指南】首先明确x ≥3且x ∈N*，由排列数公式列出方 程，解方程即可.432x 1x A140A .+=幻灯片27【解析】由已知得 所以x ≥3,x ∈N*.又由 得(2x+1)·2x ·(2x-1)(2x-2) =140x(x-1)(x-2)，化简得，4x2-35x+69=0， 解得 (舍)， 所以方程的解为x=3.2x 14,x 3,+≥⎧⎨≥⎩432x 1x A 140A +=，1223x 3x 4==，幻灯片28 2.求证： 【证明】n m n mn n n m A A A .--=⋅()()m n m nnn mn n!A An m !n!A .n m !--⋅=-==-幻灯片29类型三 利用排列与排列数解简单计数应用题 【典型例题】1.从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共 有______个.2.(2013·兰州高二检测)一条铁路原有n 个车站，为了适应客 运需要，新增加了m(m>1)个车站，客运车票增加了62种，问 原有多少个车站？现有多少个车站？ 幻灯片30 【解题探究】1.每一个三位数对应怎样的一个排列？所求三位数的个数是 怎样的一个排列数？2.每一种车票对应怎样的一个排列？ 探究提示：1.每一个三位数对应从8个不同元素任取3个元素的一个排 列，故所求三位数的个数为2.每一种车票对应从n 个或(n+m)个不同元素，任取2个元素 的一个排列.38A .幻灯片31【解析】1.按顺序，有百位、十位、个位3个位置，8个数字 中取出3个依次排列，有 个. 答案：33638A 336=幻灯片322.因为原有车站n 个，所以原有客运车票有 种，又现有 (n+m)个车站，现有客运车票 种.所以 所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62, 所以 所以 即62>m2-m.所以m2-m-62<0.又m>1，从而得出 所以1<m ≤8. 即m=2时， 当m=3，4，5，6，7，8时，n 均不 为整数，故只有n=15,m=2符合题意，即原有15个车站，现有17个车站.2n A2m n A +22n m n A A 62,+-=()311m 1m 2>-，()311n m 10.m 2=-->12491m ,2+<<3121n 1522-=-=，幻灯片33【拓展提升】1.利用排列与排列数解排列应用题的基本思想幻灯片342.解简单的排列应用题的思路(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.(2)如果是的话，再进一步分析，这里n 个不同的元素指的是什么，以及从n 个不同的元素中任取m(m ≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件. (3)运用排列数公式求解. 幻灯片35【变式训练】有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4) 班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种 不同的安排方法？【解析】从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研 究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排 列.因此不同的安排方法有 (种).35A 54360=⨯⨯=幻灯片36【易错误区】忽视排列数中的隐含条件致误 【典例】已知 则n 为( )A.7，8，9，10，11，12B.8，9C.7，8D.7n n 1893A 4A -＜，幻灯片37【解析】选C.由排列数公式得， 所以 即 所以nn 1893A 4A -＜，()()38!49!,8n !10n !⨯⨯<--()()()()38!498!8n !10n 9n 8n !⨯⨯⨯<----()()49310n 9n ⨯<--，幻灯片38化简为n2-19n ＋78<0，所以6<n<13, 因为n ∈N*，所以n ＝7,8,9,10,11,12. 由排列数的意义，可知n ≤8且n-1≤9①， 即n ≤8，所以6<n ≤8.又n ∈N*，所以n ＝7或n ＝8. 幻灯片39 【误区警示】幻灯片40 【防范措施】 1.隐含条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件.如本例中 中，n,m ∈N*且m ≤n. 2.公式的灵活选用排列数公式有乘积式和阶乘式两种形式，在求解与证明中要 灵活选用以减少运算量和失误.如本例中选用阶乘式则较简单.m n A幻灯片41【类题试解】不等式 的解集为______. 【解析】由题意可得 所以解得n=3或n=4，所以原不等式的解集是{3,4}. 答案：{3，4}2n 1An 7--<()()n 12,n N*,n 1n 2n 7,⎧-≥⎪∈⎨⎪---<⎩2n 3,n 3,n N*,n N*,1n 5n 4n 50⎧≥≥⎧⎪⎪∈∈⎨⎨⎪⎪-<<--<⎩⎩即，，幻灯片421.乘积5×6×7×…×20等于( )【解析】选B.根据题意，由于乘积5×6×7×…×20表示的是从20到5的连续16个自然数的乘积，则可知表示的为1716151420202020A.A B.A C.A D.A 1620A .幻灯片432.从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有多 少种给法( )A.5种B.10种C.20 种D.60 种【解析】选C.由排列数定义知，共有 (种). 25A 5420=⨯= 幻灯片443.若 则x=( )【解析】选B.因为所以 n!x ,3!=3n 3n 3n n 3n 3A.A B.A C.A D.A -- ()n 3n A n(n 1)n n 31-=-⋯--+［］ ()n!n n 1(n 2)4,3!=--⋯⨯=n3n x A .-= 幻灯片454.满足 的n 的解集为______.【解析】由 得 且n ∈N*，所以n 的解集为{n|n>4且n ∈N*}.答案：{n|n>4且n ∈N*}1n 2A 2->n 21n 4n 22-≥⎧⇒>⎨->⎩，，1n 2A2->幻灯片465.方程 的解x=______.【解析】=(x-3)(x-4)+(x-3)=x2-6x+9=4，所以x2-6x+5=0，解得x=5或x=1(舍).答案：554x x 3x A A 4A+=54x x 3x A A A +=()()()()()()()()x x 1x 2x 3x 4x x 1x 2x 3x x 1(x 2)----+-----幻灯片476.求证：【证明】左边故原式成立.m 1n m n 1n m n 1n 1A A 1.A ------⋅=m 1n m n 1n m n 1n 1A A A ------⋅=()()()()n 1!1n m !n 1(m 1)!n 1!-=-----［］()()()()n 1!1n m !1.n m !n 1!-=-==--右边幻灯片48幻灯片49。
排列数(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第三册)
若 1,3,5,7 的顺序不定，则 4 个数字有 A44＝24(种)排法，
1
故 1,3,5,7 的顺序一定的排法只占全排列种数的24.
1
故有24×A77＝210(个)七位数符合条件.
6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给
同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．
例如：A32 __________
3 2 6 .
A53 ______________
5 4 3 60 .
m
*
A
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1).
(
m
,
n
N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
例3
计算：（1）
（2）
（3）
（4） ×
解：根据排列数公式可得
（1） =7 x 6 x 5 = 210
（2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840
!
（3） =!=7 x 6 x 5 = 210
（4） × =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720
解析
5 张参观券全部分给 4 人，分给同一人的 2 张参观券连号，方法数为：1
和 2，2 和 3，3 和 4，4 和 5，四种连号，其他号码各为一组，分给 4 人，共有
排列数课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
“ ≤ 且， ∈ ∗ ”的运用.
练习
方法技巧：
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程要对排
列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活的运用如下变式：
①! = ( − 1)!
；②
=
−1
−1 ；③
∙ ! = ( + 1)! − !
(2)(方法一 间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的排法有A22 × A66 种,故甲、
乙不相邻的排法有A77 − A22 × A66 =3 600(种).
(方法二 插空法)将其余 5 人全排列,有A55 种排法,5 人之间及两端共有 6 个位
置,任选 2 个排甲、乙两人,有A26 种排法.故共有A55 × A26 =3 600(种)排法.
=
( − ) × ⋯ × 2 × 1
!
= − =
.
− ( − )！
6！
2！
.
新知探索
特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排
l
列.这时，排列数公式中 = ，即有 = × ( − 1) × ( − 2) × ⋯ × 3 × 3 × 1.
素中任取个元素的每一种排列对应的是什么事件.
(3)对于相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法.
[提醒]避免排列的重复和遗漏.
课堂小结
全排列：将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积.正整数1到
的连乘积，叫做的阶乘，用!表示.3.排列数公式：
∗
(1)乘积形式：
=
(
−
1)(
题型3
高中数学第六章计数原理6.2.2排列数课件新人教A版选择性必修第三册
2．计算：A1248 AA614112 ＝________．
8！ 12！ 【解析】方法一：A1248AA164112 ＝41！2××118！！ ＝54！ ！ ＝5.
5！ 方法二：A1248AA614112 ＝（8×71×26××（5）11××（101×2…×1×16×）10×9） ＝5.
答案：5
3．求证：Amn＋1 －Amn ＝mAmn －1 .
(3)把五位数的每个数位看成五个空，数字4，5共有A52 ＝5×4＝20种排法，然后把 数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式．根据分步乘法计数原理， 可知由1，2，3，4，5组成的无重复数字且数字1，2，3必须按由大到小顺序排列 的五位数有A25 ×1＝20个．
【类题通法】数字排列问题的解题策略 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的 限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决 该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位 子，当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． (2)常用方法：直接法、间接法． (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当进行分类和分 步，尤其注意特殊元素“0”的处理．
【解析】根据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把丁丙视为一个元素， 先不管其他限制条件，使其与其他四项工程进行全排列共有A55 种排法，这些排 法中，甲、乙、丙相对顺序共有A33 种，所以满足条件的排法种数是AA5533 ＝20. 答案：20
探究点二 与数字有关的排列问题 【典例2】以下问题最终结果用数字表示 (1)由0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)由1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且2，3不相邻的五位数？ (3)由1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且数字1，2，3必须按由大到小 顺序排列的五位数？
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P n nn (n 1 )(n 2 )L321 n ! n (n 1 )(n 2 )L 3 2 1
Pnm
(n
n! m)!
今日思考
A、若n∈N*且55＜n＜69，则 (55－n)(56－n)……(68－n)(69－n)用排列数符号如何表示。
P 15 69 n
B、三张卡片的正反面分别写着数字2和3，4和5，7和8，若将 这三张卡片的正面或反面并列组成一个三位数，可以得到多 少个不同的三位数？
探究分析
根据分 步计数
原理
分析：
P
2 4
计算方法?
归纳研究步骤：
⑴ 理解P42的含义…… ⑵ 完成这件事需要几步……
⑶ 根据乘法原理计算……
P4243LL
Pnm ？
探究分析
探究4：符号
P
m n
表示：
从n个不同元素中，任取m个元素 所有排列的个数是多少？
分析4：P n m 计算方法?
观察数据 间的规律
第1步
n种
第2步
(n-1)种
第3步
……
(n-2)种 ……种
第m步
?[n-(m-1)]种
P n m n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n 3 ) … … （ n m 1 ）
基本公式
1、排列数公式⑴:
P n m n ( n 1 ) ( n 2 ) L ( n m 1 ) ， ( m , n N * , m n )
例2：用1，2，3……9这九个数字，可以组成多少个 没有重复数字的四位数？
解: P 9498763024
例3、从若干个元素中选出2个进行排列，可得210种 不同的排列，那么这些元素共有多少个？
解：设元素共有n个，由题意可得！
Pn2nn1210 n115 n214舍
强化训练
1．计算：（1）5P53 4P42 348（2） P41P42P43P4464 5 P 5 3 4 P 4 2 5 5 4 3 4 4 3 3 4 8 P 4 1 P 4 2 P 4 3 P 4 4 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 6 4
那么完成这件事共有：N=m1×m2×……×mn种不同的方法．
典型例题
*（思考）某商场有1号、2号、3号、4号4个大门，若从一个 门进去，购物后从一个门出来，有多少种不同的出入方式？
1号入
2号入
?
2号出 3号出 4号出 1号出 3号出 4号出
3号入
4号入
2号出 1号出 4号出 2号出 3号出 1号出
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 24 种不同的种植方法？
P4343224
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比
赛，并排定他们的出场顺序，有 60 种不同的方法？
P5354360
4、用红、黄、蓝三面小旗（三面都要用）竖挂在绳子上表示信 号，试问能表示多少种不同的信号？
2、全排列数公式:
P n nn (n 1 )(n 2 )L321
n ! 注意：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示。
n ! n (n 1 )(n 2 )L 3 2 1 Pnn n !
3、排列数公式⑵:
Pnm
(nn! m)!Fra bibliotek思考题
典型例题
例解1:、P 计44算：4 P 43 4 2124
56个
课后作业
课本P210 练习A组、1、2、3做在书上 4、5、6做在作业本上
重 要
*元素不能重复!
说 n个中不能重复，m个中也不能重复。 明
典型例题
（A）以圆上的10个点为端点作弦，共能画出多少条弦？ （B）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点
的射线，共能画出多少条射线？
P 表示为： 2 10 重 要 *“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断 说 一个问题是否是排列问题的关键。 明
（B）从2,3,5,7,11中任取两个数相除，共有多少种商？
P 表示为： 2 5 重 要 *两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全 说 相同，而且元素的排列顺序也完全相同。 明
典型例题
（A）20位同学互通一次电话，共通多少次电话？
（B）20位同学互通一封信，共写多少封信？
P 表示为： 2 20
回顾与思考
分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1 种不同的方法， 在第2类方式中有m2 种不同的方法，…，在第n 类方式中有mn
种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+mn 种不
同的方法．
分步计数原理（乘法原理）
P42=?
完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn 种不同的方法，
（B）从50名学生中选5人组成班委会，并且进行分工，共 有多少种选法？
表示为：
P
5 50
重 1、选排列： 如果m<n，那么从n个不同中取出m个不同元素
要
的排列，叫做选排列。
说
明 2、全排列： 如果m＝n，那么从n个不同中取出m个不同元
素的排列，叫做全排列。
典型例题
（A）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘，共有多少种乘积？
基本概念
1、排列： 从n个不同元素中，任取m (m≤n)个不同元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列。
2、排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排
列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排 列数。
用符号 P n m 表示。
典型例题
比一比、看一看
判断下列问题是否是排列？如果是请用排列数符号表示其结果！
第一题
第二题
第三题
第四题
选做题
游戏规则：1、每个小组都可以给其他小组选题； 2、被选小组完成问题解答，其他小组为评委； 3、学习班长记录比赛结果，评选优秀学习小组。 4、组长记录组员的积极表现，推荐学习明星。
典型例题
（A）从50名学生中选5人组成班委会，共有多少种选法？
P33 3216
课堂小结
一、基本概念： 排列 排列数
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列,所有这样排列的个数称为从n个不同元
素中取出m个元素的排列数.用符号 P n m 表示.
二、基本公式：
P n m n ( n 1 ) ( n 2 ) L ( n m 1 ) ， ( m , n N * , m n )