2013-2014学年高中数学第二十二教时换底公式教案新人教A版必修1

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人教a版数学必修1教案6篇

人教a版数学必修1教案6篇人教a版数学必修1教案篇1教学准备教学目标1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质;2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力;归纳——猜想——证明的数学研究方法;3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。

教学重难点重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列;难点：等比数列的性质的探索过程。

教学过程教学过程：1、问题引入：前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。

问题1：满足什么条件的数列是等差数列?如何确定一个等差数列?(学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

要想确定一个等差数列，只要知道它的首项a1和公差d。

已知等差数列的首项a1和d，那么等差数列的通项公式为：(板书)an=a1+(n-1)d。

师：事实上，等差数列的关键是一个“差”字，即如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

(第一次类比)类似的，我们提出这样一个问题。

问题2：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的……等于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。

(这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法，对于“和”与“积”的情况，可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话，这个数列是一个各项重复出现的“周期数列”，而与等差数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。

而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。

)2、新课：1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做公比。

师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题，回忆一下等差数列的通项公式是怎样得到的?类似于等差数列，要想确定一个等比数列的通项公式，要知道什么?师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的方法：累加法和迭代法。

教学：高中数学 2.2.1 对数与对数运算教案新人教A版必修1

2.2.1 对数与对数运算第一课时对数的概念三维目标定向〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

高中数学第二十二教时换底公式教案新人教A版必修1

第二十二教时教材：换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。

过程：一、复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？二、换底公式：aNN m m a log log log = ( a > 0 , a ≠ 1 )证：设 log a N = x , 则 a x= N两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m xm log log log log =⇒=从而得：a N x m m log log = ∴ aNN m m a log log log =两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ b mnb a na m log log =（ a , b > 0且均不为1）证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a 2︒ b m na mb n ab b a mn na m log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1︒ 3log 12.05- 2︒ 421432log 3log ⋅解：1︒ 原式 = 15315555531log 3log 52.0=== 2︒ 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅例二、已知 log 18 9 = a , 18 b= 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a ∵ 18b= 5 ∴ log 18 5 = b∴ aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836例三、设 1643>===t zyx求证：yx z 2111=- 证：∵1643>===t zyx∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，， ∴yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq3135lg +=以下例题备用：例五、计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=例六、若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m解：由题意：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m ∴3=m 四、小结：换底公式及其推论五、作业：1．求下列各式的值：1︒ 65353log 9--+ )(41-2︒ 7log 15log 1864925+ (10)3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(41 4︒ )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(12252．已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222logx的值。

数学：2.1.2(1)教案(新人教A版必修1)

2.1.2指数函数及其性质（2个课时）一. 三维目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.第一课时一．教学设想： 1. 情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)xy x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2，请问这两个函数有什么共同特征.②这两个函数有什么共同特征157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.二．讲授新课指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2xy =-（4）xy π= （5）2y x = （6）24y x =（7）x y x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x 当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xy a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究a ＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象从图中我们看出12()2xxy y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2xxy y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x xx x y y y y ====的函数图象.问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看x y a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.x（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或（2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；例题：例1：（P 66 例6）已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.分析：要求(0),(1),(3),,xf f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.提问：要求出指数函数，需要几个条件？课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题补充练习：1、函数1()()2xf x =的定义域和值域分别是多少? 2、当[1,1],()32xx f x ∈-=-时函数的值域是多少? 解（1）,0x R y ∈> （2）（－53，１）例2：求下列函数的定义域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =分析：类为(1,0)xy a a a =≠>的定义域是R ，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 . 3．归纳小结1、理解指数函数(0),101xy a a a a =>><<注意与两种情况。

新人教版高中数学必修第一册换底公式ppt课件及课时作业

反思感悟利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
跟踪训练1
(1)
log89 log23
的值是
√A.23
B.32
C.1
D.2
方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
lg 9
即lloogg8293＝llgg
83＝23llgg
3 lg 2·lg
32＝23.
lg 2
方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
√D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则
跟踪训练2 已知 3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，求 c 的值.
∵3a＝5b＝c，∴c>0， ∴a＝log3c，b＝log5c， ∴1a＝logc3，1b＝logc5， ∴1a＋1b＝logc15. 由logc15＝2得c2＝15，即 c＝ 15(负值舍去).
三
实际问题中的对数运算
例3 某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初
跟踪训练3 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现
ห้องสมุดไป่ตู้
“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学
者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一
局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据
最接近
3361 10 00052

2-2-1-第3课时换底公式课件(人教A版必修1)

n (2)logambn＝ m logab(其中 a>0 且 a≠1，b>0)
第一章 1.1 1.1.1
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4．利用换底公式求值： 2
(1)log54·log85＝ 3 . 10
(2)log89·log2732＝ 9 .
第一章 1.1 1.1.1
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解法二：(换成以 3 为底)：log927＝lloogg33297＝lloogg333332＝32lloogg3333 ＝32.
解法三：(利用 loganbm＝mn logab)：log927＝log3233＝32log33 ＝32.
(3)log89·log2732＝llgg98·llgg3227＝llgg3223·llgg2353＝23llgg32·53llgg23＝190.
第一章 1.1 1.1.1
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(1)求证：logambn＝mn logab(a<0 且 a≠1，b>0) (2)log927； (3)log89·log2732.
第一章 1.1 1.1.1
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[解题流程] 原式及换常―底―用公→结式论同底数的对数式对数运算
第一章 1.1 1.1.1
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新课引入通过以前的学习，我们对于对数的基本运算性质已经有了一定的了解，能应用真数的积、商、幂的对数运算解决一些问题．平时我们可以遇到这样的化简，如 alogaN，又能在化简中遇到 logab 与 logba 的化简问题，这些问题怎么解决呢？
第一章 1.1 1.1.1

高中数学 2.2.1对数的运算换底公式素材新人教A版必修1

《对数与对数运算------换底公式》一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第二章《基本初等函数（I）》中2.2.1节《对数与对数运算》的第三课时，主要内容是探究换底公式并会用其进行简单的证明和计算.在此之前，学生已经学习过了对数的概念、指数与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，本节课就是在此基础上，探究讨论对数的换底公式.从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让学生去探究，对学生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导学生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的问题.教学的重点：对数的换底公式的应用.本节内容具有很强的灵活性，换底公式在以后的学习中有着非常重要的应用，对数的运算法则是在同底的基础上，就使得其有很强的局限性，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要.特别是在解决实际问题，计算具体的对数数值时，换底公式更是不可或缺.因此要反复训练，强化记忆.本节内容由两部分构成，其一探究对数的换底公式并对其进行证明，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法；其二利用换底公式去进行具体的求值和运算.本节课内容是体现新课程让学生积极自主探索、合作交流学习方式的良好素材.本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在探究换底公式的过程中，以特殊例子为引入，然后逐步的一般化，体现了从特殊到一般以及转化的数学思想.本节的实例，可以让学生体会数学知识在实际生活中的应用，从而向学生渗透学好数学、用好数学的思想，能让学生对数学知识的学习产生浓厚的兴趣.也能给学生一些科普方面的教育.同时，本节课又教给学生如何利用计算器去算对数的方法，增强了本节课的实用性,也给了学生动手操作的机会.二、目标和目标解析（一）教学目标1．掌握对数的换底公式，并能利用换底公式解决对数问题.2．在探究换底公式过程中，体会转化与化归以及从特殊到一般的数学思想.3．培养学生应用已有知识发现问题及解决问题的能力，体会数学知识在实际生活中的应用，提高学生学习数学的热情.（二）教学目标解析1．掌握换底公式指的是：熟记换底公式，能够证明换底公式，并且要鼓励学生尝试不同的方法去证明,拓展思维；对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，这里要求学生能够利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算.2．体会数学思想指的是：通过问题1、问题2和问题3的逐步的推进和一般化，体会数学从特殊到一般的解决问题的数学思想方法，同时，利用指数对数的转化或者题目中底数的化归统一等，加深对转化和化归的理解.3．对于具体的求值问题，可以应用不同的性质来解决，非常灵活，但不困难，题目做起来非常有趣；通过这部分内容，培养学生的数学能力，感受数学学科的特点.如例2是一道跟历史、科普知识有关的题目，而且还要用到计算器，这些都将吸引学生，并且激发学生学习数学的兴趣.三、教学问题诊断分析（一）问题诊断分析（1）个别同学在求解时会存在无从下手的感觉，其根本原因是学生对于利用指数与对数转化探究对数性质的过程理解不深刻，教学中以小组合作探究式的学习方式来弥补这一不足.（2）在解决具体问题时，学生不能选择适当的底数来应用换底公式.出现这一问题的原因是：学生对换底公式尚不太熟悉，转化的能力也有待提高。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第四章指数函数与对数函数对数运算性质与换底公式的应用

（2）已知,,是不等于1的正数，且 = =

解设 = = = ,由题意得， > 0,且 ≠ 1.
∵ ,,是不等于1的正数，
∴ lg = lg ,lg = lg ,lg = lg ,
∴ = log , = log , = log ,
∴
1

1

1

1

= log , = log , = log .
1

1

∵ + + = 0,∴ log + log + log = 0,
即log () = 0,∴ = 1.
1
，

1

1

+ + = 0,求的值.
规律方法有附加条件的求值问题的解题策略
2
[解析] =

=

=

.故答案为 .

2.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算
方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到
十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即 = ⇔ = log ,

= − = − ( − ) = − ( − ) = + − ,
规律方法将已知和要求的都用同底的对数表示是解决这类问题的关键.（1）将已知
条件化为同底的对数,用字母表示一些对数式的值;（2）要求的对数式运用换底公式化
为与（1）中同底的对数;（3）将（2）中对数的真数用（1）中对数式的真数表示;（4）

新人教B版高中数学必修一3.2.1《换底公式》word同步教案

反思
学科：数学
课题：3.2.1换底公式
教学目标（三维融通表述）：
通过讲解学生掌握换底公式，会运用换底公式进行灵活运算
教学重点：对换底公式的理解及应用
教学难点：运用换底公式进行灵活运算
教学过程
教学环节
问题与任务
时间
教师活动
学生活动
新课讲解
典型例题分析
理解对数的换底公式
会运用换底公式计算
8分钟
34分钟
引导学生理解换底公式
1.对数换底公式是： ______________，
特别地换成以10为底时，换成以e为底时，
2.推论：(1)倒数公式: ，(2) ，(3)
引导学生用换底公式计算，讲解运用公式的思路
例1.求值：（1）
（2）
（3）
（4）
例2.求证（1）
（2）
例3.已知求证
例4.若，则 =.
例5.（1）已知，，试用a、b表示的值；
（2）已知，用a、b表示 .
理解换底公式设计
课题
换底公式例
作业训练
作业训练：
1．对应的指数式是（）.
A. B. C. D.
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）.
A. B.
C. D.
3．设，则x的值等于（）.
A. 10 B. 0.01 C. 100 D. 1000
4．设，则底数x的值等于（）.
A. 2 B. C. 4 D.
5.计算（1）（2）；（3）
（4）（5）（6）
6.已知
7．已知 ,则的值等于（）.
A. 1 B. 2 C. 8 D. 12
8.化简的结果是（）.
A .1 B. C. 2 D.3

2013-2014学年高中数学北师大版必修1示范教案3.4.2换底公式

4.2 换底公式导入新课思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，log a b ＝log c b log c a.教师直接点出课题．思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．推进新课新知探究提出问题①已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a >0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1， 100．301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2. 因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x ＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x＝log c b x log c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a ≠1，b ＞0，c ＞0，c ≠1)称为对数换底公式． ④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2，即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813，所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg 1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例思路1例1计算：(1)log 927；(2)log 89·log 2732.活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．(1)解：log 927＝log 327log 39＝32. (2)解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. 解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109. 解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109. 点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：log 248；log 310；log 8π；log 550；log 1.0822.解：log 248＝5.585；log 310＝2.096；log 8π≈0.550；log 550＝2.431；log 1.0822＝8.795.例3 (1)证明log a x log ab x＝1＋log a b ； (2)已知log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，求证：log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p ，x ＝(ab )q ＝a q b q ，b ＝a r .所以a p ＝(ab )q ＝a q (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．因为q ≠0，所以p q ＝1＋r ，即log a x log ab x ＝1＋log a b (获证)．证法二：左边＝log a x log ab x ＝log x ab log x a＝log a ab ＝1＋log a b ＝右边． (2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ. 由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以lg b 1b 2…b n lg a 1a 2…a n ＝λ. 所以log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg b 1b 2…b n lg a 1a 2…a n ＝λ. 点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义．解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .则经过1年，剩留量是y ＝0.84；经过2年，剩留量是y ＝0.842；……经过x 年，剩留量是y ＝0.84x .即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．方法二：依题意得0.84x ＝0.5，用科学计算器计算得x ＝log 0.840.5＝ln 0.5ln 0.84＝3.98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．图2点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．思路2例1 (1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.(2)若log 83＝p ，log 35＝q ，求lg 5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：(1)因为log 23＝a ，则1a＝log 32，又因为log 37＝b ，所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. (2)因为log 83＝p ，即log 233＝p ，所以log 23＝3p .所以log 32＝13p. 又因为log 35＝q ，所以lg5＝log 35log 310＝log 35log 32＋log 35＝3pq 1＋3pq. 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.变式训练已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.解：因为log 189＝a ，所以log 18182＝1－log 182＝a .所以log 182＝1－a . 因为18b ＝5，所以log 185＝b .所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 2－a. 点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.例2 设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z；(2)比较3x,4y,6z 的大小．活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x ，y ，z 表示出来，根据对数的定义把3x ＝4y ＝6z 转化为指数式，求出x ，y ，z ，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x ，y ，z ∈(0，＋∞)，所以k ＞1.取对数，得x ＝lg k lg 3，y ＝lg k lg 4，z ＝lg k lg 6，所以1x ＋12y ＝lg 3lg k ＋lg 42lg k ＝2lg 3＋lg 42lg k ＝2lg 3＋2lg 22lg k ＝lg 6lg k ＝1z，即1x ＋12y ＝1z. (2)解：因为3x －4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 3－4lg 4lg k ＝lg 64－lg 81lg3·lg 4lg k ＝lg k ·lg 6481lg 3·lg 4＜0，所以3x ＜4y .又因为4y －6z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4lg 4－6lg 6lg k ＝lg 36－lg 64lg 2·lg 6lg k ＝lg k ·lg 916lg 2·lg 6＜0，所以4y ＜6z .所以3x ＜4y ＜6z .点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析．例3 已知log a x ＝log a c ＋b ，求x .活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．解法一：由对数定义，可知x ＝a log a c ＋b ＝a log a c ·a b ＝c ·a b .解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a x c ＝b ，由对数定义，知x c ＝a b ，所以x ＝c ·a b .解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b .所以x ＝c ·a b . 点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．知能训练(1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( )． A.2a ＋b 1＋a ＋b B.a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 1－a ＋bD.a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值为( )．A ．1B ．4C ．1或4D ．4或－1(3)若3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________.(4)lg 12.5－lg 58＋lg 0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x ＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c N log c a. 证法二：由对数恒等式，得N ＝a log a N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n ＝c mn .两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .课堂小结1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明．作业1．已知1271log 7＝a ，131log 5＝b ，求log 81175的值．解：因为1271log 7＝log 277＝13log 37＝a ，所以log 37＝3a . 又因为131log 5＝log 35＝b ，所以log 81175＝14log 325×7＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n)log 9n32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝＝n log 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边．设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料【备选例题】【例1】化简：log a M log b N ·log b M log c N ·log c M log d N ·log d M log a N. 解：原式＝log a M log a N ·log b M log b N ·log c M log c N ·log d M log d N＝log N M ·log N M ·log N M ·log N M ＝(log N M )4. 【例2】求证：log a b ＝1log b a(a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)．证法一：log a b ＝log b b log b a ＝1log b a. 证法二：1log b a ＝log b b log b a＝log a b . 【例3】试证：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x ＝1log n ！x. 证明：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x＝log x (2×3×4×…×n ) ＝log x (1×2×3×4×…×n )＝log x n ！＝1log n ！x. 对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550—1617年)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，….1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 024,2 048,4 096,8 192,16 384，….这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．(设计者：刘菲)。

《2.2.2换底公式》教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.2《《《《《《《一一一一一一一1.一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一2.一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一3.一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一1《《《《《一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一1一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一e 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一————一一一一一一一一2《《《一一一一一一一一一一一一一215一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一215=x 一一一一一一一2x=15一一一一一一一一Xlg2=lg15一一x=2lg 15lg 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一215=2lg 15lg ≈3.9068906.一一一一一一一一一一一一一一ln 一一一一215=2ln 15ln ≈3.9068906.一一一一一一一215=x =2lg 15lg 一一一一一一一一一一一一一一215一一 lg15一lg2 一一一一一一一一215 一一一一10一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一????????b 一一一一一一一一一一一10一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一1一一一一一一一一一一一一一一一一一一一b N 一一一一一一一一一一一a 一一一一一一一3《《《《《《《《一一一一一一一一b N=b Na a log log ( a,b>0,a,b ≠1,N>0).一一一一一一一一一一一一一一一一b N=x,一一一一一一一一N=b x一一一一a 一一一一一一一一a N=一a b x一 x 一a b =一a N 一一一b ≠1一一a b ≠0一一一x=bNa a log log 一一b N=bNa a log log 一一一一一一一一a b=a b log 1一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一b N 一一一一a 一一一N 一一一一一一一一a 一一一b 一一一一一一一一　一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一4《《《一1一一89一2732一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一10一一一一一一e 一一一一一一一一一一一一一一＝8lg 9lg ·27lg 32lg =2g 313g 21·3g 312g 51=910.一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一8一32,9一27一一一一一一一一2一一一一3一一一一一一一一一一一一一一一一2.一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一84℅一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一1一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 2 B 一4一。

高中数学必修一新课标人教版第二章基本初等函数对数函数换底公式-32页文档

第二章基本初等函数（Ⅰ）
人教 A 版数学
第二章基本初等函数（Ⅰ）
[例1] 计算log2215·log318·log519.
人
教
[分析] 将底统一成以10为底的常用对数
A 版
数
1 11
学
[解析] 原式＝llgg225·llgg38·llgg59
＝(－2lg5)·l(g－2l3gl3gl2g)5·(－2lg3)＝－12.
[分析] (1)可考虑指对互化后换为都是以 36 为底的对数
人
式，然后利用对数的运算法则求解．
教 A
版
(2)∵4＝22,36＝22×33,2×3＝6.故可考虑将条件式取以 6
数学
为底的对数，然后利用对数的运算法则求解．
第二章基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 解法1：由3a＝4b＝36得log336＝a，log436＝
A．6次
B．7次
人教
A
C．8次
D．9次
版
数
[答案] C
学
[解析] 设至少要抽n次
(1－60%)n<0.1%，即(25)N<10－3.
∴n>1－32lg2≈7.6.故选C.
第二章基本初等函数（Ⅰ）
人教 A 版数学
第二章基本初等函数（Ⅰ）
[例 3] 设 3a＝4b＝36，求2a＋1b的值．
教
C．3
D．－23
A 版数
学
[答案] A
第二章基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 因为lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278
＝lg2－1－(lg5－lg8)＋lg25－lg2－llgg98·llgg287

人教A版高一数学必修一《对数换底公式》公开课教案

课题：对数与对数运算之对数的换底公式及其应用【教学目标】1、知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力。

2、过程与方法让学生经历推导对数换底公式的过程，归纳整理本节所学知识。

3、情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识及严谨的思维品质，让学生感受到对数的广泛应用。

【重点难点】重点：对数的运算性质、换底公式及其应用。

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式。

【教学过程】「导入新课」问题：前两节课我们学习了以下内容：1、对数的定义及性质；2、对数恒等式；3、对数的运算性质。

用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容：对数与对数运算之对数的换底公式及其应用。

「推进新课」提出问题：（教材P66探究）你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？01010)c a c bb a ac c b a=>≠>≠>log log (，且，，且，log 解决问题：下面我们来证明对数的换底公式c a c bb a=log log log 。

证明：设a b x =log ，由对数的定义知道，xa b =；两边取c 为底的对数，得x c c c c a b x a b =⇒=log log log log ；所以c c b x a=log log ，即c a c bb a =log log log 。

定义：一般地，(01010)c a c bb a ac c b a=>≠>≠>log log ，且，，且，log 称为对数换底公式。

提出问题：1、你能用自己的话概括出换底公式吗？2、换底公式的意义是什么？有什么作用？解决问题：1、一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商。

2、换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值。

人教A版高中数学必修第一册第四章4-3-2第2课时换底公式课件

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
√ √
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
√
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
第四章指数函数与对数函数 4.3 对数 4.3.2 对数的运算
第2课时换底公式
整体感知
[学习目标] 1．掌握换底公式及其推论．(逻辑推理) 2．能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．(数学运算)
[讨论交流] 预习教材P125－P126，并思考以下问题：问题1．换底公式是如何表述的？问题2．如何证明换底公式？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 对数的换底公式探究问题1 通过上一课时的学习，我们知道lg 15＝lg 3＋lg 5，即lg 15 可以用lg 3，lg 5表示．能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？
logad
反思领悟利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
反思领悟利用对数式与指数式互化求值的方法
粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数
量首次不少于10万粒的是( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A．第5代种子
√B．第6代种子
C．第7代种子
D．第8代种子
应用迁移
题号
√
√
1
2
3
√
4
题号
√
1 2
3

高中数学函数第22教时人教版第一册

函数第二十二教时教材：换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。

过程：一、复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？二、换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log =∴ aNN m m a log log log = 两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ b mnb a n a m log log =（ a , b > 0且均不为1）证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a 2︒ b mna mb n a b b a m n na m log lg lg lg lg log ===三、例一、计算：1︒ 3log 12.05- 2︒ 421432log 3log ⋅解：1︒ 原式 =15315555531log 3log 52.0===2︒ 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a ∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b ∴ aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 例三、设 1643>===t z y x 求证：yx z 2111=-证：∵1643>===t z y x ∴6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，， ∴ yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq3135lg +=以下例题备用：例五、计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++=254545452log 233log 6532=+=+⋅=例六、若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m 解：由题意：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m ∴3=m四、小结：换底公式及其推论五、作业：1．求下列各式的值：1︒ 65353log 9--+ )(41-2︒ 7log 15log 1864925+ (10)3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(414︒ )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(12252．已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222log x 的值。

高中数学 2.2.1第2课时对数的运算新人教A版必修1

C．2
D．4
【解析】 log29·log34＝llgg 92·llgg 43＝2llgg23·2llgg32＝4.
【答案】 D
4.lloogg2293＝________．【解析】 lloogg2293＝log39＝log332＝2. 【答案】 2
• 预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中
自主学习
易
误
• 第2课时对数的运算
警示
· 基础知识
• [学习目标]
·
规
范
1. 理解对数的运算性
指导
质．(重点)2.知道用换底公式能将一般对数
合
作探
转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运课
究
时
· 重
用运算性质进行一些简单的化简与证明(易
作业
难
疑点
混点)．
• 一、对数的运算性质
方法
2：因为
log189＝a，即lg
2lg 3 2＋2lg
3＝a，
所以 lg 2＝2（1－aa）lg 3，
又
18b＝5，即
b＝lg
lg 5 2＋2lg
， 3
所以 lg 5＝2ablg 3，所以 log3645＝2llgg52＋＋22llgg33＝4（12a－ ab＋a）2 ＋2＝a2＋－ba.
• logab＝______(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)． 1
• 特别地：logab·log＝__(a＞0，a≠1，b＞0， b≠1)．
• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)积、商的对数可以化为对数的和、
差• (4(．)2由)(l换og底a(公x)式y)可＝得lolgogaaxb·＝lollooggga（（y－－.22(））ba.(

2013-2014学年高中数学 第二十二教时 换底公式教案 新人教A版必修1