数列中的存在性问题 经典
数列中的存在性问题 经典
专题：数列中的存在性问题
一、单存在性变量
解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。
例1、已知数列{
n
a }的前n 项和为
n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n
b b +-=0，问是
否存在常数c 使得对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理
由.
解析：假设存在常数c 使得对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，
∵
n S =235n n
+，
∴当n =1时，则
1a =
1
S =8，
当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，
当n =1适合， ∴
n a =62n +，
又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164，
∴数列{n b
}是首项为8，公比为1
64的等比数列， ∴n
b =
118(
)64n -=962n -，
则
log n c n a b +=
9662log 2n c n -++=
62(96)log 2a n n ++-=
6(1log 2)29log 2
a a n -++，
又∵对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，
∴
6(1log 2)
a -=0，解得c =2，
∴M =
29log 2
a +=11，
∴存在常数c =2使得对任意n ，
数列存在性问题的分析与解答教案
数列存在性问题的分析与解答教案
1.问题呈现
题目：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S +=
*()n ∈N . （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在非零整数λ
，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<L 一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
2.分析与解答
分析：第（1）问根据数列通项()12n n n a S S n -=-≥很容易求出；关键是第（2）问中根据第（1）问的结论2n a n =，可得11
cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，则可考虑分离参数λ，
令n b =
n b 的单调性以确定n b 的最值.最后，
需要考虑n 为奇数和偶数进行分类讨论. 解（1）由(2)4
n n n a a S +=. 当1n =时，1111(2)4a a a S +==
，解得12a =或10a =（舍去）． 当2n ≥时， 由111(2)(2)44
n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=
-22112()n n n n a a a a --⇒-=+， ∵0n a >，∴10n n a a -+≠，则12n n a a --=， ∴{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，故2n a n =．
（2）由2n a n =，得11
cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，
设n b =1(1)n n b λ+-<
数列中项数问题
（2） bn
(m 3，m N) 成等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) an 2n 1, Sn n2 (2) 当 t 2 时， m 7 ；当 t 3 时， m 5 ；当 t 5 时， m 4 ．
【解析】（1） an 2n 1, Sn n2
前 63 组之和为 2016，用 2013 个数剔除 an 中的项即可
6.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 a5 a13 34，S3 9 ．
（1）求数列{an} 的通项公式及前 n 项和公式；
（2）设数列 {bn }
的通项公式为 bn
an an
t
，问：是否存在正整数 t，使得 b1，b2，bm
5
Ćo
Ć
Ć logĆo =o o Ć
Ć logĆo Ć t ，
依题意 ⺁ Ć ，
o o Ć Ć logĆo Ć t ⺁ Ć Ćo
，
即oĆ t 5Ćo t Ć Ć logĆo Ć ⺁ ，
o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo ⺁ 4.
当 logĆo 时，即 o 时， o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo 6Ć9
2 3
r
2 3
t
即： 2s1t3ts 3tr 2tr 由于 r s t ，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾．
一轮复习专题数列中的存在性问题
专题：数列中的存在性问题
学大苏分教研中心 周坤
一、单存在性变量
解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。
例1、已知数列{
n
a }的前n 项和为
n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n b b
+-=0，
问是否存在常数c 使得对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不
存在说明理由.
解析：假设存在常数c 使得对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，
∵
n
S =2
35n n +，
∴当n =1时，则
1a =1
S =8，
当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，
当n =1适合， ∴
n
a =62n +，
又∵164n n
b b +-=0， ∴1n n b b +=1
64，
∴数列{n b
}是首项为8，公比为1
64的等比数列， ∴n
b =
118(
)64n -=962n -，
则
log n c n
a b +=
9662log 2n c n -++=
62(96)log 2
a n n ++-=
6(1log 2)29log 2
a a n -++，
又∵对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，
∴
6(1log 2)
a -=0，解得c =2，
∴M =
29log 2
a +=11，
数列中的存在性问题专题
数列中的存在性问题
数列中的存在性问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往涉及数论、函数、
例题：已知a n＝2n，是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得a p，a q，a r成等差数列？并说明理由．
变式1已知a n＝2n，是否存在三个互不相等正整数p，q，r，且p，q，r成等差数列，使得a p－1，a q－1，a r－1成等比数列？并说明理由．
变式2已知a n＝n＋2，是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得a p，a q，a r成等比数列？并说明理由．
串讲1已知数列是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a n 2＝S 2n －1，令
b n ＝
1
a n ·a n ＋1
，数列{b n }的前n 项和{b n }为T n .
(1)求数列{a n }的通项公式及数列{b n }的前n 项和T n ；
(2)是否存在正整数m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由．
串讲2已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n
＋1
－b n )恒成立．
(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；
(2)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1<s <t )，使A 1B 1，A s B s ，A t
B t
成等差数
列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由．
高考数学《数列中的存在性问题》
高考数学 数列中的存在性问题
解析：(1) an＝2n－1，Sn＝n2. (2) bn＝2n2－n－1＋1 t，要使得 b1，b2，bm 成等差数列，则 2b2＝b1＋bm， 即 23＋3 t＝1＋1 t＋2m2m－－1＋1 t，即 m＝3＋t－4 1. 因为 m，t∈N*，所以 t 只能取 2,3,5. 当 t＝2 时，m＝7；当 t＝3 时，m＝5；当 t＝5 时，m＝4. 点评：“存在”则等价于不定方程有满足条件的正整数解，本例利用整除性质解 决．
高考数学 数列中的存在性问题
解析：(1) 因为 anbn＝2，所以 an＝b2n， 4
则 bn＋1＝anbn－12＋anan＝2－1＋bnb2n＝2－bn＋4 2＝b2n＋bn2，
所以bn1＋1＝b1n＋12.
又 a1＝3，所以 b1＝23，故b1n是首项为32，公差为12的等差数列， 即b1n＝32＋(n－1)×12＝n＋2 2，所以 bn＝n＋2 2.
高考数学 数列中的存在性问题
例 2 已知数列{an}中，a2＝1，前 n 项和为 Sn，且 Sn＝nan2－a1. (1) 求 a1； (2) 证明：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； (3) 设 lgbn＝a3n＋n 1，试问：是否存在正整数 p，q(其中 1<p<q)，使 b1，bp，bq 成等比 数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，请说明理由．
邹生书：高考热点——数列中的存在项问题
邹生书：高考热点——数列中的存在项问题
湖北省阳新县高级中学邹生书
新课程标准指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式”。自主探究是以问题为导向，使学生从数学学习材料中发现问题、分析问题和解决问题，从而形成探究能力。现在高考和模拟考加强了对探究能力的考查力度，数列中存在项项问题，三项成等差数列的存在性问题等是数列中的热点考题，是考查考生探究能力的素材。这类问题在考查等差等比数列有关知识的同时，重点考查探索问题的能力以及数与式的整除性，问题综合性强对运算求解能力和探索存在性问题能力有一定的要求。
存在性探索问题的考查，在一个题目中往往是最后一问，为了问题的完整性和资料性，本文保留原题各问，解答时只对存在性探索部分进行解析。
【评注】本解法假设中构成等差数列三项的设法很有特色也具有一般性，存在性判断中用到了奇偶分析法，这些都是解决这类问题的常用方法。
例3（2011年高考湖北卷理科第19题）
【评注】本题是一道存性与任意性兼容的试题，已知的是：存在k∈N*,使得S K+1,S K,S K+2成等差数列，要判断的是：对任意的m∈N*,，且m≥2，a m+1,a m,a m+2是否成等差数列。由于结论的不确定性，解题过程是一个推理论证和思辨的过程，也具有探究的成分。
例4（2012年江西省八校四月联考理科第19题）
【点评】本题最容易出现的错误是：在第一问求数列{a n}的通项公式时，由于没有关注等式a=(1+λ)/λ·a n+1成立的范围，误认为数列{a n}是从第一项开始的等比数列，第一问解答出错而导致第二问题错中错，造成错误累加。另外，在第2问假设存在的三项a1中是否包括首项需要分类讨论，这也是最容易忽视的。
专题04 数列中的存在性与恒成立问题(解析版)
专题4 数列中的存在性与恒成立问题
1．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2
*4
1,n
n
a S n N +=∈.数列{}n
b 满
足2*1221,n n b b n n n N ++=++∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）试问:数列{}n n b S -是否构成等比数列(注:n S 是数列{}n a 的前n 项和)?请说明理由；
（3）若11,b =是否存在正整数n
，使得211155
(1)1111n
n
k k k k k k
k
k b b b ==+-≤≤++∑成立?若存在求所有的正整数
n ；否则，请说明理由.
【答案】（1）21n a n =-；（2）不构成，理由见解析；（3）存在，10n =. 【解析】 【分析】
（1）由11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到{}n a 是等差数列，即可得解；
（2）首先求出n S ，则2
n n n b S b n -=-，即可得到11n n b S ++-，再由1n n b b ++，即可得到11()n n n n b S b S ++-=--，
即可得证；
（3）由（2）可得2k b k =，所求不等式即2424211155(1)11111n
n
k
k k k k
k k k k ==+-≤≤++++∑∑.设21
()1
f k k k =
-+，利
用裂项相消法可得到42
1
1
((1)(1))12n
k k f f n k k ==-+++∑
，同理，有2
42
1
1
((1)(1)),21,*12(1)11((1)(1)),2,*2
专题22 数列中的探究性问题(解析版)
专题22 数列中的探究性问题
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题,对于此类问题的求解,通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解,本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值X 围,从而对X 围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题,也可以运用反证法,反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来,不要有遗漏．②归谬：从反设出发,通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设,从而得出原命题结论成立．
一、题型选讲
题型一 、数列中项存在的问题
例1、(2018某某期末)已知数列{an}满足⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1an ＝1an
,n ∈N*,Sn 是数列{an}的前n 项和．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若ap,30,Sq 成等差数列,ap,18,Sq 成等比数列,求正整数p,q 的值；
(3) 是否存在k ∈N*,使得
akak ＋1＋16为数列{an}中的项？若存在,求出所有满足条件的k 的值；若不存
在,请说明理由． 思路分析 (1)利用关系式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1an ＝1an
对一切n ∈N*恒成立,通过赋值,整体处理,将复杂的递推关系式转化为an 与an －1的关系式,根据定义可求得数列{an}的通项公式,这也是处理复杂递推数列关系式常用的方法；
专题16 数列中项数问题(解析版)
专题16 数列中项数问题
数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想．
类型一整数解问题
典例1.已知集合A={x|x=2n+1,n∈N∗}，B={x|x=2n−1,n∈N∗},C=A∪B．对于数列{a n}，a1=1，且对于任意n≥2，n∈N∗，有a n=min{x∈C|x>a n−1}．记S n为数列{a n}的前n项和.
(Ⅰ)写出a7，a8的值；
(Ⅱ)数列{a n}中，对于任意n∈N∗，存在k n∈N∗，使a k
n
=2n−1，求数列{k n}的通项公式；
(Ⅲ)数列{a n}中，对于任意n∈N∗，存在k∈N∗，有a k+1=2n+1.求使得S k+1>27a k+1成立的k的最小值．【答案】(1) a7=8, a8=9 (2) k n=2n−2+n−1(n≥3) (3)57
【解析】
（I）A={x|x=2n+1,n∈N∗}={3,5,7,9,11,13,⋅⋅⋅,2n+1,⋅⋅⋅},
B={x|x=2n−1,n∈N∗}={1,2,4,8,16,32,⋅⋅⋅,2n−1,⋅⋅⋅}，
C=A∪B={1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,⋅⋅⋅}.
因为a1=1，且对于任意n≥2,n∈N∗，a n=min{x∈C|x>a n−1}，
所以a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,a6=7,a7=8,a8=9.
（II）对于任意n≥2，n∈N∗，有a n=min{x∈C|x>a n−1}，
数列中的存在性问题
数列中的若干问题
一数列的项的问题
已知等差数列的首项为，
，等比数列的首项为
若，求数列的通项公
）中的数列，对任意在之间插入个
新的数列，试求满足等式
的所有正整数
已知等差数列的首项为，
等比数列的首项为
）已知，若存值使得等式成立，
二 存在性问题 (4月1日日常练习)
例2.已知等差数列{a n }中，首项a 1=1，公差d 为整数, 且满足a 1+1a 4.记数列1{}n
a 的前n 项和为S n . (1)求a n ；
(2)证明：当n ≥1时，1
22--n n S S ≥12
；并利用该结论找出一个自然数n ，使得S n >2009；并说明理由. (3)是否存在关于正整数n 的函数)(n f ，使得)1)((121-=+⋅⋅⋅++-n n S n f S S S 对于大于1的正整数n 都成立？证明你的结论.
答案：(1) a n =n (2) n 取2
4016 (3)f(n)=n
三 特殊化问题
（江苏海门）
例 3.已知无穷数列}{n a 的各项均为正整数，Sn 为数列}{n a 的前n 的和，
（1）若数列}{n a 为等差数列，且对任意的正整数n
都有33n n s =(s )成立，求数列}{n a 的通项公式.
（2）（二00七年高中数学联 赛四川赛区初赛试题20）已知正整数列}{n a 满足条件：对于任意正整数n ，从集合},,,{21n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整
数与n a a a ,,,2
1 一起恰好是1至n S 全体自然数组成的集合，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.
数列存在性问题
1.设{}n a 是公差不为零的等差数列，
n S 为其前n 项和，满足2222234577
a a a a ,S +=+= (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
(2)试求所有的正整数m ,使得12
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.
2.已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，
n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=， 令1
1n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T . (1)求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<， 使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的 ,m n 的值；若不存在，请说明理由.
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
5133349a a S +==，.(1)求数列{}n a 的通项公式及 前n 项和;(2)设数列{}n b 的通项公式为n n n a b a t =+， 问:是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，
成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在， 请说明理由.
4.数列{x n }和{y n }中，191105
n n n x x y +=-， 11355
n n n y x y +=-+（n ∈N ＋），且x 1＝3，y 1＝1． 是否存在实数t 使数列{x n ＋ty n }为等比数列？
如果存在，试求出t 的值；如果不存在，请说明理由．
数论中的存在性问题-邓汉元
数论存在性问题选讲
数学竞赛中出现的数论存在性问题比较多, 也比较难；求解这些问题的方法灵活多样，往往需要敏锐的观察力、丰富的想象力和必要的技巧. 这里选取了一些问题，尽量展示解决数论存在性问题的各种思想方法.
数论存在性问题的解决的方法的关键是综合运用有关数论知识，并结合反证法,归纳法,抽屉原理,计数方法和构造法等. 一. 利用整除理论
1. 对于正整数n , ()r n 表示n 分别被1,2,,n 除所得的余数之和. 证明存在无限多个n
使得()(1)r n r n =-.
解: 由带余除法知, n 被k 除所得的余数等于{}n
n k n k k k
⎢⎥
=-⎢⎥⎣⎦
. 所以, 有
1
()()n
k n r n n k k =⎢⎥
=-⎢⎥⎣⎦∑.
于是, 条件()(1)r n r n =-等价于
1
111()(1)n
n k k n n n k n k k k -==-⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑. 或
1
11121 (*)n
n k k n n n k k k k -==-⎢⎥⎢⎥
-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦∑∑ 若k 不整除n , 则1n n k k -⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
, 从而1n n k k k k -⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;若k 整除n , 则11n n k k -⎢⎥⎢⎥
=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 从而1n n k k k k k -⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 由此可得(*)等价于|21k n
n k -=∑. 易知, 2 ()m
n m N =∈满足上式. 事实上, 有
1221211222m m n +-=-=++++.
专题16 数列中项数问题(原卷版)
专题16 数列中项数问题
数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想．
类型一 整数解问题
典例1. 已知集合 ， , ．对于数列 ， ，且对于任意 ， ，有 ．记 为数列 的前 项和. (Ⅰ)写出 ， 的值；
(Ⅱ)数列 中，对于任意 ，存在 ，使 ，求数列 的通项公式；
(Ⅲ)数列 中，对于任意 ，存在 ，有 .求使得 成立的 的最小值．
类型二 存在性问题
典例2已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()
2
n n n a a S -=． （1）求a 1；
（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1
lg 3n n n
a b +=
，试问是否存在正整数p ，q (其中1
类型三 否定性问题
典例3等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+，． （1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （2）设()n
n S b n n
*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
1.公差d≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2＋2，S 3＝12＋32． （1）求数列{a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n ；
（2）记c n ＝S n
n ，试问：在数列{c n }中是否存在三项c r ，c s ，c t (r ＜s ＜t ，r ,s ,t ∈N *)恰好成等比数列？若存在，
求出此三项；若不存在，请说明理由.
2020年高三数学大串讲第19讲(数列单调性、奇偶项、存在性问题)(解析版)
第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）
【目标导航】
中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法． 【例题导读】
例1、设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2
369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()
*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使
221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等
差数列，
（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使1
2m n m
a T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）()
1
*
11,23n n n a n b n N -⎛⎫
==∈ ⎪
⎝⎭
（2）13144323
n n n n T -=
高考数学复习第二部分高考22题各个击破专题四数列4.2.2数列中的证明及存在性问题文省公开课一等奖百
成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在结果.
第9页
-10-
对点训练3(云南昆明一中仿真,文17)已知数列{an}和
{bn},a1a2a3…an= 2 (n∈N*),且a1=2,b3-b2=3,数列{an}为等比数列,
公比为q.
(1)求a3及数列{bn}通项公式;
1
2
1-
1
2+1
1
< .
2
解题心得要证实关于一个数列前n项和不等式,普通有两种思绪:
一是先求和,再对和式放缩;二是先对数列通项放缩,再求数列和,必
要时对其和再放缩.
第6页
-7-
对点训练2已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.
(1)求数列{an}通项公式;
1
1
1
1
∴
+
+…+
2 -1 3 -2
+1 -
1
1
1
1
= 1 + 2 + 3 +…+
2
2
2
2
1 1 1
2- × 2
1
=
2
1-1
2
1
,
2
=1- <1.
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专题：数列中的存在性问题
一、单存在性变量
解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。
例1、已知数列{
n
a }的前n 项和为
n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n
b b +-=0，问是
否存在常数c 使得对任意n ，
log n c n
a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由.
解析：假设存在常数c 使得对任意n ，
log n c n
a b +恒为常数M ，
∵n S =235n n
+，
∴当n =1时，则
1a =
1
S =8，
当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，
当n =1适合， ∴
n a =62
n +，
又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164，
∴数列{n b
}是首项为8，公比为1
64的等比数列， ∴n
b =
118(
)64n -=962n -，
则
log n c n a b +=
9662log 2n c n -++=
62(96)log 2a n n ++-=
6(1log 2)29log 2
a a n -++，
又∵对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，
∴
6(1log 2)
a -=0，解得c =2，
∴M =
29log 2
a +=11，
∴存在常数c =2使得对任意n ，
log n c n
a b +恒为常数M =11.
二、双存在型变量
解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进
行检验。
例2、【2010南通一模】
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；
（2）设数列{}n b 的通项公式为n
n n a b a t
=
+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，
(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d. 由已知得51323439a a a +=⎧⎨
=⎩，， ………………2分 即118173a d a d +=⎧⎨
+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，
……………………………………………………………4分.
故2
21n n a n S n =-=，.…………………………………………………………………6分
（2）由（1）知
21
21n n b n t -=
-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即
312123121m t t m t -⨯=+
++-+，………………………………………………………………8分. （3）整理得
4
31m t =+
-，…………………………………………………………… 11分
因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.
当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.
故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ……………………………… 15分
例3、设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，数列{}n b 满足
*()n
n n a b m N a m
=
∈+.
（Ⅰ）若
128
,,b b b 成等比数列，试求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列？若存在，
请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）因为2
n S n =，所以当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-……………………3分
又当1n =时，
111
a S ==，适合上式，所以
21
n a n =-（*
n N ∈）…………………4分
所以
2121n n b n m -=
-+，则1281315
,,1315b b b m m m ===+++，由2
218b b b =，
得23115(
)3115m m m =⨯
+++，解得0m =（舍）或9m =，所以9m =………………7分 （Ⅱ）假设存在m ，使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列，即412t b b b =+，则
712127121t m m t m -⨯
=+
++-+，化简得
36
75t m =+-…………………………………12分 所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意， 即存在这样m ，且符合题意的m 共有9个 ………………………………………14分
例4、【2010徐州三模】
已知数列{}n a 是各项均不为
0的等差数列，
n
S 为其前n 项和，且满足
221
n n a S -=，令
1
1
n n n b a a +=
⋅，数列
{}n b 的前n 项和为n T .
（1）求数列
{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；
（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为{}n a 是等差数列，由
2
12121()(21)
(21)2n n n n
a a n a S n a --+-==
=-，
又因为
0n a ≠，所以
21
n a n =-，………………………………………………………2分
由
111111
()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +=
==--+-+
所以
111111(1)2335212121n n T n n n =-+-++-=
-++L ．……………………………6分 (2)由(1)知，
21n n T n =
+， 所以11,,32121m n m n
T T T m n ===
++，
若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21
321m n
m n =++，即2244163m n m m n =+++．……8分 解法一：由22
44163m n m m n =+++，可得223241
m m n m -++=，
所以2
2410m m -++>， ……………………………………………………………12分