大学物理 第三章_动量与角动量
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
大学物理动量与角动量
恒力的冲量：
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
3 动量与角动量(1)
的动量，但不会引起系统动量的改变，揭
示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体间的相互作用及机械运动发生转
移的规律。
第三章 动量与角动量
32
大学 物理学
两个质子发生二维的完全弹性碰撞
两个质子在盛 有液态氢的容器中 发生弹性碰撞 . 一 个质子从左向右运 动, 与另一个静止 质子相碰撞,碰撞后, 两个质子的运动方 向相互垂直 。磁感 强度的方向垂直纸 面向里 。
大学 物理学
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
t2 n n ex F dt mi vi mi vi 0 P P0 i 1 i 1
t1
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系动量定理
第三章 动量与角动量 30
大学 物理学
(5) 守恒条件：合外力为零． ex in ex ex F Fi 0 当 F F 时，可近 似地认为系统总动量守恒．
ex ex ex (6) 若 F Fi 0，但满足 Fx 0
有 Px
F F F
ex x ex y
pe(电子)
pν(中微子)
pN
电子动量为1.210-22 kg· s-1，中微子的动 m· 量为6.410-23 kg· s-1．问新的原子核的动 m· 量的值和方向如何？
第三章 动量与角动量
35
大学 物理学
pe 1.2 10 kg m s 23 1 pν 6.4 10 kg m s 解 pe pν pN 0 pe pν 2 2 12 pN ( pe pν )
示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体间的相互作用及机械运动发生转
移的规律。
第三章 动量与角动量
32
大学 物理学
两个质子发生二维的完全弹性碰撞
两个质子在盛 有液态氢的容器中 发生弹性碰撞 . 一 个质子从左向右运 动, 与另一个静止 质子相碰撞,碰撞后, 两个质子的运动方 向相互垂直 。磁感 强度的方向垂直纸 面向里 。
大学 物理学
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
t2 n n ex F dt mi vi mi vi 0 P P0 i 1 i 1
t1
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系动量定理
第三章 动量与角动量 30
大学 物理学
(5) 守恒条件：合外力为零． ex in ex ex F Fi 0 当 F F 时，可近 似地认为系统总动量守恒．
ex ex ex (6) 若 F Fi 0，但满足 Fx 0
有 Px
F F F
ex x ex y
pe(电子)
pν(中微子)
pN
电子动量为1.210-22 kg· s-1，中微子的动 m· 量为6.410-23 kg· s-1．问新的原子核的动 m· 量的值和方向如何？
第三章 动量与角动量
35
大学 物理学
pe 1.2 10 kg m s 23 1 pν 6.4 10 kg m s 解 pe pν pN 0 pe pν 2 2 12 pN ( pe pν )
清华大学自用 大学物理一 教学课件第三章 动量与角动量
m1v1 m1v10 m2v2 m2v20
第三章 动量和角动量
14
物理学
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 )dt F21)dt
m1v1 m1v10 m2v2 m2v20
因内力F12 F21 0，故将两式相加后得：
t2
0ddmm
由牛顿第 三定律
I P
方向与 P相反
P
I P
F
t
第三章 动量和角动量
13
物理学
质点系的动量定理
对两质点分别应用 质点动量定理：
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 )dt F21)dt
v mu(cos sin )
M m
2. 若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹
3. 自锁现象，即 v=0 时
第三章 动量和角动量
32
物理学
例. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为。 如果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘 在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与 其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面 积为S的圆柱体）
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易
引发交通事故
第三章 动量和角动量
3
物理学
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物
体的质量有关。
动量 Fpdmp v d(mv)
物理动量和角动量
02
角动量
定义
总结词
角动量是描述旋转运动的物理量，表示物体转动惯量和角速度的乘积。
详细描述
角动量是描述旋转运动的物理量，它等于物体转动惯量和角速度的乘积。转动惯量是描述物体转动惯 性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。角速度是描述物体旋转快慢的物理量，等于物 体转过的角度与时间的比值。
乒乓球的旋转速度和方向决定了球的 轨迹和落点，对于比赛结果具有重要 影响。因此，乒乓球运动员需要熟练 掌握各种旋转球技术，以提高比赛水 平。
感谢您的观看
THANKS
动量的计算公式
总结词
动量的计算公式是质量与速度的乘积 。
详细描述
动量的计算公式为 P=mv，其中 P 表示 动量，m 表示质量，v 表示速度。这个 公式用于计算物体的动量，是物理学中 常用的基本公式之一。
动量的矢量性
总结词
动量是一个矢量，具有方向和大小。
详细描述
动量具有矢量性，表示物体运动的方向和大小。在物理学中，动量的方向与速度 的方向一致，大小等于质量与速度的乘积。矢量性是动量最基本的性质之一，对 于描述物体的运动状态和变化趋势非常重要。
角动量的计算公式
总结词
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。
详细描述
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。转动惯量 I 是由物体的质量分布和旋转轴的位置决定的， 可以通过质心坐标系和刚体转动轴的垂直距 离计算得出。角速度 ω 是描述物体旋转快慢 的物理量，等于物体转过的角度与时间的比
动量的守恒定律
总结词
在没有外力作用的情况下，封闭系统中的总动量保持不变。
水务工程大学物理第三章动量和角动量.ppt
y
桌面部分质量为 m2=( l - y) 受力分析如图右
y
m1g
m2g
O
N
y
y
m1g
m2g
系统所受合外力为 F外= m1g + m2g + N = m1g
在无限小时间间隔dt内, F外的冲量为F外dt. 由质点系的动量定理 Fdt = m1gdt = ygdt = dp 在时刻t,链条下垂长度为y, 下落速度为v,它的动量为
m2r2
mn rnห้องสมุดไป่ตู้
m1 m2 mn
mi ri M
质心位置的分量式：
xc
mi xi mi
yc
mi yi mi
zc
mi zi mi
连续体的质心位置： rc rdm / M
dm 的质量元坐标为 ( x , y , z )
分量式：
t
F1
f12 )dt
p1
p10
m2 : f21, F2
t0 (F2 f21)dt p2 p20
两式相加
t
(
t0
F1
F2
f12 f21
f12
f21)dt ( p1 p2 ) ( p10 p20)
t1
t2
t
冲量的几何意义：冲量 Ix 在数值上等于
F
x
~t
图线与坐标轴所围的面积。
二、质点的动量定理
根据牛顿第二定律
F dP dt
----动量定理的微分形式
如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从 p0 p
大学物理第三章动量与角动量分解
mg=Mgx/L
所以
F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
19
例2:(page72)一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过,每
秒钟落入车厢的煤为Δ m=500kg.如果使车厢的速率保持不
变,应用多大的牵引力拉车厢?
v
dm m F
20
例3:质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量 为m的小球水平向右飞行,以速度 v 1 (相对地面)与滑块斜 面相碰,碰后竖直向上弹起,速度为 v (相对地面).若碰撞
F 可分解为两个分量 F//
与水对船的垂直阻力相平衡 与船平行,并指向船前进的方 向 10
例4.一篮球质量m = 0.58kg,从h = 2.0m的高度下落,到达 地面后以同样速率反弹,接触地面时间 t 0.019 s 。 求：篮球对地面的平均冲力 F 球对地
解：篮球到达地面的速率为：
f f’
m1
m2
F2
碰撞后两质点的速度分别为
1和 2
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
p 2mv 篮球接触地面前后动量改变（大小）为：
由动量定理有： F 地对球 t p 2mv 由牛顿第三定律有： F 球对地 F 地对球
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
2mv 2 0.58 6.26 t 0.019 3.82 10 2 N
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
大学物理3_3 角动量 角动量守恒定律
将
R 、 h1 、h2 和 v1 各值代入，得
2 6.13公里/ 秒
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-8 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器 圆盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴 转动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合 为一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度. 解: 系统角动量守恒
( L mR )
2
得
LdL m gR cosd
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
一
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0
质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 2
2
航天器调姿
1
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-6 如图所示，有一质量为 m1 、长度为 l 的均质细 棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为 m2 的水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块 碰撞前、后的速率分别为 和 u ，桌面与细棒的滑动摩 擦系数为 。求：（1）从碰撞到细棒停止运动所需的时 间；（2）从碰撞到细棒停止运动，细棒转过的圈数。
大学物理第3章_动量与角动量
C
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
大学物理第一册第三章
即恒力的冲量的方向与恒力 F 的方向相同。
3.1.3 动量定理
dp t2 p2 F Fdt dp Fdt dp t1 p1 dt I p2 p1 mv2 mv1
质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。 I 1)上式表明过程量 I 仅与状态量 p 的增
15
Fi
质点系
· · ·· f j ·f · ··
i
ij ji
pi
Fi 为质点 i 受的合外力， f ij 为质点 i 受质点 j 的内力， pi 为质点 i 的动量。
j i 对质点系： ( Fi f ij） t d pi d i j i i 由牛顿第三定律有： f ij 0
31
§3.4 质点的角动量及守恒定理
32
3.4.1 质点的角动量
质点m对惯性系中的固定点 O的角动量定义为： L
L r p r (mv )
O
·
r m
p
大小：L rp sin rmv sin ， 方向： 垂直于 r，p 决定的平面（满足右手螺旋） 单位：kg m2/s
例：总质量为M的船以速度 v 在水中航行， 同时分别从船头和船尾以相对于船的速度 u 抛出质量为m和2m的两物体。设 v 和 u 共线，
忽略水的阻力。求抛出两物体后小船的速度。
u v
m M-3m
2m
u
分析：1）船和物体构成的系统，在水平方 向上动量守恒。2）注意动量守恒定理应用 的条件——惯性参考系，因此注意相对运动 23 问题。
无论质量如何分布，也不论外力作用在什么位置，质 心的运动就像是质点系的全部质量集中于质心，所有 外力也集中作用于质心的一个质点的运动，且与质点 系的内力无关。
大学物理-动量与角动量
解：以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
大学物理教学资料——动量与角动量
（2）IP2P1
0 t1 x
y
一个过程量等于始末两个状态量之差。
冲量是矢量, 冲量的方向一般不同于初、 末 动量的方向，而是动量 增量的方向。
冲量还可用平均冲力来表示
应用举例: Fx
Fx
0
t1
p1x
碰撞问题的平均打击力
F(t2t1)
t2 t1
Fd
t
平均冲力
F
1
t2
Fd
t
t2t1 t1 p
M2F101F22XM1 2mM2M 21 0 FM 分2内如外2 内别力图 力力受矩d 设d矩外F有(tL 1M 力1 2质M 1F点10L . 2.M M 2 1F m )1 221。0Fm4 22
O 两相M 式加1对 ：质M 点M 1 0 1 （ 1d M d ） L 1 1：t 0M 12 M 对M 2 质2内M 0 点力M d d 1 （2 矩( 0 L 2 0 t 1 ） M d ：d L L 2 2 2)t 0 3 20
v0
1 2 (m m 0 )u 2 1 2 (m m 0 )v 2 1 2 k (L L 0 )2
a
(m m 0 )L 0 u (m m 0 )Lsv in
v
m2v02 k(LL0)2 (mm0)2 mm0
sin
m0L v0
Lm 2v0 2k(LL0)2(mm 0)
例半地质 径 轴量为OO为R’的与m地的球小表球平v面A0行，水，以平小速切球度向A向的v0右轨沿飞道质出与量（轴为如OMO图’的相），
t1
L1
写成分量式: t2
Lx2
Mxdt dLx Lx2Lx1
t1
Lx1
t2
Ly2
Mydt dLy Ly2Ly1
0 t1 x
y
一个过程量等于始末两个状态量之差。
冲量是矢量, 冲量的方向一般不同于初、 末 动量的方向，而是动量 增量的方向。
冲量还可用平均冲力来表示
应用举例: Fx
Fx
0
t1
p1x
碰撞问题的平均打击力
F(t2t1)
t2 t1
Fd
t
平均冲力
F
1
t2
Fd
t
t2t1 t1 p
M2F101F22XM1 2mM2M 21 0 FM 分2内如外2 内别力图 力力受矩d 设d矩外F有(tL 1M 力1 2质M 1F点10L . 2.M M 2 1F m )1 221。0Fm4 22
O 两相M 式加1对 ：质M 点M 1 0 1 （ 1d M d ） L 1 1：t 0M 12 M 对M 2 质2内M 0 点力M d d 1 （2 矩( 0 L 2 0 t 1 ） M d ：d L L 2 2 2)t 0 3 20
v0
1 2 (m m 0 )u 2 1 2 (m m 0 )v 2 1 2 k (L L 0 )2
a
(m m 0 )L 0 u (m m 0 )Lsv in
v
m2v02 k(LL0)2 (mm0)2 mm0
sin
m0L v0
Lm 2v0 2k(LL0)2(mm 0)
例半地质 径 轴量为OO为R’的与m地的球小表球平v面A0行，水，以平小速切球度向A向的v0右轨沿飞道质出与量（轴为如OMO图’的相），
t1
L1
写成分量式: t2
Lx2
Mxdt dLx Lx2Lx1
t1
Lx1
t2
Ly2
Mydt dLy Ly2Ly1
大学物理第三章动量与角动量学习资料
m’
已知μs
N
f
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入
箱子时,在冲力的作用下箱子的受力
F
是否平衡.
α mg
刚好不下滑时:
m g f s s m c in o g s s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足: s ( m c o F g cs ) o ( m s s i F g s n ) i m n
解：篮球到达地面的速率为：
v 2 g h 2 9 .8 2 0 6 .2m 6 /s
篮球接触地面前后动量改变（大小）为：p2mv
由动量定理有： F 地对 t 球 p2 m v
由牛顿第三定律有： F球 对地 F地 对 球
2mv 20.586.26
t
0.019
3.82102 N
方向向上
10
例5.在斜面上放着一个盛有细沙的箱子,在摩擦力的作用 下箱子刚好不下滑.若有一物体m’从竖直方向坠入箱中,试 问在该物体的冲力作用下,箱子是否还能保持静止?
利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲5
应用举例: 例1.
例2.问题：人为什 么从高处跳到地面 时，要把腿弯一下？
6
例3. “船行八面风”---帆船靠风力推动前进，只要有风，不
管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。
7
F风对帆 F横
F进
v1 v2 帆
F
x
F
y
F
z
dP x
t2 F x dt
dt
t1
dP y
dt dP z
dt
或
t2
t1 t2
t1
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
大学物理第三章动量与角动量分解
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
d F1 F2 ( P1 P2 ) dt ( F1 F2 )dt d ( P1 P2 ) ( m1 1 m2 2 ) ( m1 10 m2 20 )
由牛顿第三定律有： f ij 0
i j i
15
d t d pi 所以有： ( Fi） i i 令 Fi F外 ， pi P
则有：
F外 d t d P
F外 dP dt
i
i
或
质点系动量定理 （微分形式）
t2 F t1 外
m’ N
已知μs
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入 箱子时,在冲力的作用下箱子的受力 是否
mgsin f s mg cos s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:
s ( mg cos F cos ) ( mg sin F sin ) ma
力在时间上的积累效应：
平动 冲量，改变动量 转动 冲量矩，改变角动量
2
1、冲量（impulse）
定义:力对一段时间的积累
t2 大小： I ＝ Fdt
t1
F F
方向：速度变化的方向 单位：N· s 0 t
量纲：MLT－1
微分形式: d I F d t d p
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
动量和角动量守恒原理
动量和角动量守恒原理一、动量守恒原理动量是描述物体运动状态的物理量，它等于物体的质量乘以速度，用数学公式表示为：动量= 质量× 速度。
动量守恒原理指的是，在一个孤立系统中，系统的总动量在相互作用过程中保持不变。
动量守恒原理可由牛顿第二定律推导得到。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与施加在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
当物体的质量不变时，可以得到物体的加速度与物体受到的合力成正比。
根据牛顿第三定律，物体受到的合力等于其他物体对它施加的力的矢量和。
因此，在相互作用过程中，物体受到的合力等于其他物体对它施加的力的矢量和，根据物体的加速度与物体受到的合力成正比的关系，可以得到物体的加速度等于其他物体对它施加的力的矢量和除以物体的质量。
将物体的加速度代入动量的定义式中，可以得到物体的动量在相互作用过程中保持不变。
动量守恒原理在物理学中有广泛的应用。
例如，在碰撞过程中，根据动量守恒原理可以计算物体碰撞前后的速度和质量。
在火箭发射过程中，根据动量守恒原理可以计算火箭推进剂的质量和速度，以及火箭的推力。
在运动中的摩擦力、阻力等问题中，也可以利用动量守恒原理进行分析和计算。
二、角动量守恒原理角动量是描述物体旋转状态的物理量，它等于物体的惯性力矩乘以角速度，用数学公式表示为：角动量= 惯性力矩× 角速度。
角动量守恒原理指的是，在一个孤立系统中，系统的总角动量在相互作用过程中保持不变。
角动量守恒原理可由角动量定理推导得到。
根据角动量定理，物体的角动量的变化率等于物体所受的力矩。
当物体受到的合力矩为零时，物体的角动量保持不变。
在一个孤立系统中，由于没有外力矩的作用，因此系统的总角动量保持不变。
角动量守恒原理同样在物理学中有广泛的应用。
例如，在刚体的旋转运动中，根据角动量守恒原理可以计算刚体旋转的角速度和惯性力矩。
在天体运动中，根据角动量守恒原理可以计算行星的轨道半径和角速度。
在自行车、滑板等运动装置的稳定性问题中，也可以利用角动量守恒原理进行分析和计算。
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的
动
量
定
理
：
I
t
F (t )dt
t0
p
p 0
动量定理常用于碰撞过程。
4
碰撞过程的平均冲击力：
F
y
Fm
F
v0
v
I
0 t0
tt
F
I t t0
t t
Fd t
0
t t0
p p0 t t0
5
【例】质量 m=140g 的垒球以速率 v = 40m
/s 沿水平方向飞向击球手，被击后以相同
速率沿仰角 60o 飞出。求棒对垒球的平均
火箭体对喷射的气体的推力：
dm[(v u) dt
v]
u dm dt
喷射的气体对火箭体的推力
：
F
u
dm dt
【思考】自由空间火箭质量随时间变化，应
用牛顿定d律(dmtv )
m
dv dt
v
dm dt
0
，求
出 错在哪里？
vf
vi
mi mf
20
§ 3.5 质心（ center of mass ）
第 3 章 动量与角动 量 Momentum and
Angular Momentum
2005 年春季学期 陈信义 编
目录
§3.1 冲量 动量定理
§3.2 质点系的动量定理
演示实验
§3.3 动量守恒定律
1 逆风行舟
§3.4 火箭飞行原理
2 载摆小车演示
§3.5 质心
动量守恒
§3.6 质心运动定理 质心参考系 3 质心运动（杠
造成的巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约
有足球场大小和 14 层楼深的凹洞。而撞击溅射出
的大量彗星尘埃和气体又将使坦普尔一号彗星熠
熠生辉，人们有可能通过小型天文望远镜目睹这
一史无前例的奇异天象。
10
科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的冰 冻残留物。他们希望深入彗星内部的研究将使他 们能够了解太阳系形成早期 40 多亿年前的情况， 并加深对太阳系起源的进一步了解。
天文学家们将组织一场国际规模的观测，以 期尽可能多地收集这次撞击的情况。美国宇航局 还计划调整哈勃、斯皮策和钱德拉太空望远镜， 在撞击时和撞击后锁定“坦普尔一号”进行观测 。 美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗 星或使彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。
11
§ 3.2 质点系的动量定理
一、质点系
fi
r
sin t
,
S
1 2
r
r
sin
太阳
r
S r
行星m
v
r sin
2m
S t
常数
所以，面速度
S t
常数。
行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫
过相等的面在积近。日点转得快，在远日点转得35 慢。
§3.9 质点系的角动量定理
一个质点系所受的合外力矩，等于该质
点系
的
总角
动
量对时 M
间的 dL dt
i
j i
fij
fi
d dt
i
pi
fi
p i
ri
mi f ij f ji
o惯性系rj m j
pj
fj
fij
i, j( i)
i
fi
d dt
i
pi
,
i,
j(
fij
i)
0（ 合 内 力 为 零 ）
i
fi
d dt
i
pi
,
即 F＝ddPt（系）惯性
14
§3.3 动量守恒定律
如果合外力为零，则质点系的总动量
dv
u
dM M
,
vf vi
vf
Mf
dv u
vi
u
ln
Mi Mf
Mi
dM M
设火箭质量比N Mi Mf ，火箭增加的速度为
vf vi u ln N
提高速度的途径：
1 、提高气体喷射速度 u ；
2 、增大 Mi /Mf （受限制），采用多级火 箭，终速度为
v u1 ln N1 u2 ln N 2 u3 ln N 3 19
质点系的质心，是一个以质量为权重取
平均的特殊点。
1 、质心的位置
rc
N mi ri
i 1 N
mi
N mi ri
i 1
m
i 1
质点系
mi
ri c 质
心
o rc
【思考】写出上式的分量形式
21
对连续分布的物质，分成 N 个小质元计
算
rc N ri mi m rdm m
2
、
质
心
的
速
i 1
度 vC
i
j i ri
fij
d dt
i
合内力矩为零
系 Li
的角动量 定
fi
mi
fij
ri
O
ri rj
rj
fji
m
j
fj
i
j i ri
fij
1 2
1 2
ri
i , j(i j )
化；力矩的时间积累引起角动量的变化。
本章从牛顿力学出发给出动量和角动
量的定义，推导这两个守恒定律，并讨论
它们在牛顿力学中的应用。下一章讨论能
量。
3
§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为冲 量（ impulse ）：
dI Fdt
I
t
F (t
)dt
t0
牛顿第二定律 dI Fdt
质点 dp
drc dt
iN 1m i vi
m
3
、质心的动量 Pc
mvc
N
mi
vi
i 1
N
pi
i 1
P
在任何参考系中，质心的动量都等于质
点系的总动量。 4 、质心的加速度
ac
dvc dt
N
mi
ai
i 1
m
22
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定
理
F
dP dt
mac
（惯性系）
f2外
p2
F 2mv cos 30 t
30o mv1
60o m=140g
20.1440cos 1.210 3
30
8.1103(N)
平均打击力约为垒球自重的 5900 倍！在碰 撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。
8
【演示实验】逆风行舟
水
F阻
F横
龙
骨
F
F横
显示动量定理的矢量性 。
V
v1
F纵
m
帆
v2
但因宏观物体的角动量比 大得多，所
以 宏 观 物 体 的 角 动 量 可 以 看 作 是 连 续 变 化31
质点的角动量定理：
质点所受的合外力矩，等于质点角动量
对时间的变化率
合外
力
矩 ：M
r
M
dL dt
F ，角动
量
：L
r
p
M 和 L 都是相对惯性系中同一定点定义
积的分。形 式 ：
t2 t1
于所
受合
外
F＝
fi ：合外力
i P＝
pi
：总动量
i
内力可改变各质点的动量
fi
pi ri
mi fij f ji
， 无
但 影
合内力为零，对总动量 响应。用 质 点 系 动 量 定 理 不
o
惯
性
系rj
mj
p j
fj
必考虑内力。
13
证 明 ：对 第
点fij
fi
j i
i 个质
d dt
pi
对质点求和
p1
p
p 2
【思考】在逆风行舟实验中，能否顶风前进
？
9
“ 炮轰”彗星
2005 年 7 月 4 日，美国发射的 “深度撞击”号
（ Deep Impact ）探测器携带的重 372 千
克的铜头“炮弹” ，将以每小时 3.7 万公里的速
度与坦普尔一号彗星（ TEMPEL1 ）的彗核相撞
。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药
变
化率
合 总 它
外 角 们
力 动 都
矩 量 对
：M Mi
i
：L Li
i
i
惯性系中同
ri
fi
rii mivi
一定点定
m
义ri
i
【。思考】为什么不考虑内力矩 O
fi
rj
vi
mj
vj
fj
？
36
质点 理r：i
ri
i
的角动量定理质点
fi
fij
j i
dLi dt
fi
m2
m1
p3
m3
f1p外1 f3外
和内力为零 ！
P
F
m 质心
m Pc
mp11
mp 22
mp 33
F f1外 f2外 f3外 23
质心运动定理描述了物体质心的运动。 体系的内力不影响质心的运动。
【演示实验】质心运动（杠杆）、锥体上 滚 【例】已知 1/4 圆 M ， m 由静止下滑，求 t
过 程 ，实 验 表 明 ： 只 要 系 统 不 受 外 界 影 响
, 这些过程的动量守恒。
5 、物理学家对动量守恒定律具有充分信