七年级数学下 2 等腰三角形

合集下载

初中数学等腰三角形的性质教案(通用10篇)

初中数学等腰三角形的性质教案（通用10篇）初中数学等腰三角形的性质教案篇1一、教材分析1、教材的地位和作用等腰三角形是最常见的图形，由于它具有一些特殊性质，因而在生活中被广泛应用。

等腰三角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，也是今后论证两角相等的重要依据之一。

等腰三角形沿底边上的高对折完全重合是今后论证两条线段相等及线段垂直的重要依据。

同时通过这节课的学习还可培养学生的动手、动脑、动口、合作交流等能力，加强学生对直觉、猜想、演绎、类比、归纳、转化等数学思想、方法的领会掌握，培养学生的探究能力和创新精神。

2、教材重组《数学新课程标准》要求教师要创造性地使用教材，积极开发，利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，所以我制作了学生非常熟悉和感兴趣的电视转播塔、房屋人字架等课件，让学生观察寻找出其熟悉的几何图形，然后动手作出这个图形，并裁下来，动手折叠，发现规律。

如此把教材内容还原成生动活泼的思维创造活动，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

3、学习目标根据《数学新课程标准》对学生在知识与技能、数学思考以及情感与态度等方面的要求，我把本节课的学习目标确定为：知识目标：了解等腰三角形和等边三角形有关概念，探索并掌握等腰三角形和等边三角形性质，能应用性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题。

情感目标：通过创设问题情境，激发学生自主探求的热情和积极参与的意识；通过合作交流，培养学生团结协作、乐于助人的品质。

4、教学重、难点：重点:等腰三角形性质的探索与应用。

难点：等腰三角形性质的探索及证明。

5、突破难点策略：通过创设启发性强、学生感兴趣、有利于自主学习和探索的问题情境，让学生在活动丰富、思维积极的状态下进行探究学习，组织合作学习，引导合作过程，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

二、学情分析刚进入二年级的学生，观察、操作、猜测能力较强，但演绎推理、归纳和数学意识的应用能力较弱，缺乏思维的广泛性、敏捷性、紧凑性和灵活性，自主探究和合作学习的能力需要在课堂教学中进一步加强和引导。

数学北师大版七年级下册等腰三角形三线合一

等腰三角形 “三线合一”
西安市华山中学海文
等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简称为三线合一。
A
B
D
C
要明确以下几点： 1、必须是在等腰三角形中 2、不是任意的角平分线，而是顶角的角平分线 3、不是任意边上的中线，而是底边上的中线 4、不是任意边上的高，而是底边上的高
用法特点：知一推二
理由如下： ∵ AB＝AC，D为BC中点 ∴ AD平分∠BAC ∴ ∠EAD=∠FAD ∵ DE⊥AB，DF⊥AC ∴ ∠AED=∠AFD=90° 在∆EAD和∆FAD中 ∵ ∠AED=∠AFD ∠EAD=∠FAD AD=AD ∴ ∆EAD ≌ ∆FAD(AAS） ∴ ∠ADE=∠ADF
A
E B D
F C

1、由一个条件可推出多个隐藏条件 2、减少不必要的全等三角形证明,简化解题步骤 3、掌握三线合一能够更好的体会等腰三角形的轴对称性
A
如果在等腰三角形中，已知AD是顶角的角平分线，那么它也是底边上的高和底边上的中线。 ∵ 等腰三角形中，AD是顶角的角平分线 ∴AD是BC边上的高; AD是BC边上的中线
BDBiblioteka C∵AB=AC , AD平分∠BAC ∴AD⊥BC; BD=CD
如果在等腰三角形中，已知AD是底边上的中线，那么它也是底边上的高和顶角的角平分线。 ∵ 等腰三角形中，AD是底边上的中线 ∴AD是底边上的高; AD是顶角的角平分线
如果在等腰三角形中，已知AD是底边上的高，那么它也是顶角的角平分线和底边上的中线。 ∵ 等腰三角形中，AD是底边上的高 ∴AD是顶角的角平分线; AD是底边上的中线
∵AB=AC ,AD⊥BC ∴AD平分∠BAC; BD=CD
∵ ∴

七年级(下)数学第14讲等腰三角形二 (解析版)

本节主要针对等腰三角形的综合性问题进行讲解，对于条件不足的问题，通过添加平行线或截长补短或倍长中线等构造全等的三角形，综合性较强．根据等腰三角形的性质进行角度和边长的相关计算．【例1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】经分析可知，等腰三角形有：ABC ABD ACE BCE BDC，，，，，BEF CDF BCF，，，共8个．【总结】考查等腰三角形定义及三角形内角和的综合运用．等腰三角形二内容分析知识结构模块一：计算知识精讲例题解析ABCDEF2 / 22【例2】如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，求∠A 的度数．【答案】45A ∠=︒．【解析】BE ED EBD EDB =∴∠=∠，2233180818022.5245AED EBD EDB AED EBD AD ED A AED EBD BD BC C CDB AB AC C ABC C CDB ABCCDB A EBD CDB EBDC ABC CDB EBD A ABC C EBD EBD A EBD ∠=∠+∠∴∠=∠=∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠=∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒，，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．【例3】如图，AC =BC ，DF =DB ，AE =AD ，求∠A 的度数．【答案】36A ∠=︒【解析】AC BC A B =∴∠=∠，2180518036DB DF F BA B F EDA B F EDA A AD AE ADE AEDA ADE AED A A =∴∠=∠∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠=∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．【例4】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF =70°，求∠AFD 的度数．【答案】160AFD ∠=︒．【解析】AB AC B C =∴∠=∠， 90702018070707090160DE AB DF BC DEB FDC FDB FDE EDB B DEB EDB B C AFD C FDC AFD ⊥⊥∴∠=∠=∠=︒∠=︒∴∠=︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒+︒=︒，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．A BC DE FAB C DE FABCDE【例5】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，∠BAD =30°，在AC 上取点E ，使AE =AD ，求∠EDC 的度数．【答案】15EDC ∠=︒．【解析】AB AC B C AD AE ADE AED =∴∠=∠=∴∠=∠，，，23015ADC B BAD AED C EDCADC ADE EDC B BADC EDC EDC B BAD EDC BAD BAD EDC ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=︒∴∠=︒，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用，注意观察角度间的关系．【例6】如图，△ABC 中，∠C =90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE =AC ，BD =12， DE +BC =1，求∠ABC 的度数．【答案】30ABC ∠=︒．【解析】解：延长BC 至点F ，使CF DE =，联结AF ()1190..111222909030DE BC BF BC CF BC DE BE AC DEB ACF DE CFBDE AFC S A S BD AF BD B FAC AF BF B BAC FAC BAC ABC +=∴=+=+==∠=∠=︒=∴≅=∴==∠=∠∴=∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，，，，【总结】考查全等三角形的判定及性质，注意辅助线的添加．【例7】如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC =BD +AB ，求∠B ：∠C 的值．【答案】:2:1B C ∠∠=．【解析】在AC 上取点E ，使AE AB =，联结DEAD 平分BAC ∠，()..ABD AED S A S ∴≅B AED BD DE ∴∠=∠=，，AC BD AB =+EC DE C EDC ∴=∴∠=∠，2:2:1AED C B B C ∴∠=∠=∠∴∠∠=，【总结】考查截长补短构造全等三角形及等腰三角形的性质及外角性质．AB CDEABC DEF EABCD4 / 22【例8】在△ABC 中，已知AB =AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数．【答案】454590︒︒︒，，或3636108︒︒︒，，或367272︒︒︒，，或180540540777，，．【解析】解：如图（1），当BD AD CD ==时， AB AC B C BD AD DC B BAD CAD C=∴∠=∠==∴∠=∠=∠=∠，，，41804590B B C BAC ∴∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=︒，，；如图（2）当BD AD CD AC ==，时， AB AC B C =∴∠=∠，，BD AD CD AC B BAD CDA DAC ==∴∠=∠∠=∠，，， 23CDA B BAD CDA B BAC B ∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠，， 180518036108B C BAC B B C BAC ∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒，，，如图（3）当AD BD BC ==时，同理可得：51803672A A ABC C ∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，，；如图（4）当AD BD BC CD ==，时同理可得180540718077A A ABC C ︒︒∠=︒∴∠=∠=∠=，，．【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理及分类讨论的思想的运用．1．添加平行线构造全等三角形； 2．截长补短构造全等三角形； 3．倍长中线构造全等三角形．【例9】如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，BE=CF ，EF 交BC 于点G ，求证：EG =FG ．【答案】详见解析【解析】证明：过点E 作//EM AF ，交BC 于点M 则GCF GME EMB ACB ∠=∠∠=∠，，AB AC ABC ACB =∴∠=∠，ABC EMB EM EB BE CF EM CF ∴∠=∠∴==∴=，，， ()..EMG FCG A A S EG FG ∴≅∴=，．【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质的应用．【例10】如图，已知AD 是ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE =EF ，试说明AC =BF 的理由．【答案】详见解析．【解析】延长AD 至点M ，使MD FD =，联结MC()..BD CD BDF CDM DF DM BDF CDM S A S MC BF M BFM EA EF EAF EFA AFE BFM M MAC AC MC BF AC=∠=∠=∴≅∴=∠=∠=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=∴=，，，，，，，，，，，【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质应用．模块二：构造全等形知识精讲例题解析ABC E FGM AD FBCEM6 / 22【例11】如图，△ABC 中，∠B =60°，角平分线AD 、CE 交于点O ，试说明AE +CD =AC ．【答案】详见解析．【解析】证明：在AC 上取AF AE =，联结OF易证()..AEO AFO S A S AOE AOF ≅∴∠=∠，．AD CE 、分别平分BAC ACB ∠∠、，()1180602ECA DAC B ∴∠+∠=︒-∠=︒则180120AOC ECA DAC ∠=︒-∠-∠=︒ 120AOC DOE ∴∠=∠=︒， 60AOE COD AOF ∴∠=∠=∠=︒则60COF COD COF ∠=︒∴∠=∠，，又FCO DCO CO CO ∠=∠=， ()..FOC DOC A S A DC FC ∴≅∴=，AC AF FC AC AE CD =+∴=+，．【总结】考查通过辅助线构造全等三角形的性质应用，注意找寻角度间的关系．【例12】已知：如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ．求OEF ∠的度数．【答案】30OEF ∠=︒．【解析】解：ABC 是等边三角形，60,A ABC AB BC ∴∠=∠=︒=，BD =AE易证()..ABE BCD S A S ≅，ABE DCB ∴∠=∠ADO ABC DCB ABE BOD ∠=∠+∠=∠+∠6060BOD ABC EOF ∴∠=∠=︒∴∠=︒， 30EF CD OEF ⊥∴∠=︒，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用．ADFB CEOABCD EOF【例13】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC ，试说明BC =AB +CD ．【答案】详见解析．【解析】在BC 上截取BE BA =，联结DEBD 平分ABC ∠，BE BA =，()..ABD EBD S A S ∴≅10818010872DEB A DEC ∴∠=∠=︒∴∠=︒-︒=︒， ()1180108362AB AC C B =∴∠=∠=︒-︒=︒，， 72EDC CE CD BE CE AB CD ∴∠=︒∴=∴+=+，，，BC AB CD ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意添加合适的辅助线构造全等．【例14】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 平分∠ABC ，试说明BC =BD +AD ．【答案】详见解析．【解析】在BC 上截取BF BA =，联结DF ，在BC 上截取BE BD =，联结DEBD 平分ABC ∠，BF BA =()..ABD FBD S A S ∴≅，100DFB A ∴∠=∠=︒，18010080DFC ∴∠=︒-︒=︒．()1180101040200AB AC C A ABC =∴∠=∠∠==︒-︒︒=︒，，， 20DBC ∴∠=︒20BE BD DBC =∠=︒，，80BED BDE ∴∠=∠=︒， DFE FED DF DE ∴∠=∠∴=，804040FED C EDC EDC C ∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠，，， DE EC AD EC ∴=∴=，，BC AD BD ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的合理添加．ABCDE ABCDF E8 / 22【例15】在△ABC 中，已知AB =AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD =60°，1902ADB BDC ∠=︒-∠，试说明AB =BD +DC ．【答案】详见解析【解析】证明：以AD 为轴作ABD 的对称'AB D''1'60'902B D BD AB AB AC B ABD ADB ADB BDC∴===∠=∠=︒∠=∠=︒-∠，，， '180ADB ADB BDC ∴∠+∠+∠=︒， 'C D B ∴、、共线， 'ACB ∴是等边三角形， AB BD DC ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的正确添加．【例16】已知：如图，AB =AC =BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线，试说明CD =12CE ．【答案】详见解析．【解析】证明：延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF ， ∵CD 为△ABC 中AB 边上的中线， ∴BD =AD ∵DF =CD ，ADC BDF ∠=∠，∴ADC BDF ≅∴BF AC BE ==，180ABF A ABC CBE ∠=∠=-∠=∠，∴180CBF ABF ABC ABC CBE ∠=∠+∠=-∠=∠，又∵BC BC =，∴CBF CBE ≅， ∴CE CF =，∵12CD CF =，∴CD =12CE ．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意倍长中线辅助线的运用．A BCDB ’ABCDEF【例17】如图，AM 为△ABC 的中线，AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，且AE =AB ，AF =AC ，MA 的延长线交EF 于点P ，试说明AP ⊥EF ．【答案】详见解析【解析】证明：延长AM 至N ，使MN AM =，联结CNAM 是BC 边上的中线，()..ABM NCM S A S ∴≅AB NC BAM N ABM NCM ∴=∠=∠∠=∠，， //180CN AB NCA BAC ∴∴∠+∠=︒，180AE AB AF AC EAF BAC ⊥⊥∴∠+∠=︒，，，180NCA BAC ∴∠+∠=︒，EAF NCA ∴∠=∠AE AB AF AC EAF NCA EFA NAC ==∴≅∴∠=∠，，，9090AF AC PAF NAC EAF NAC PAF EFA ⊥∴∠+∠=︒∠=∠∴∠+∠=︒，，， 90APF AP EF ∴∠=︒∴⊥，【总结】本题一方面考查中线倍长辅助线的添加，另一方面考查全等三角形的性质应用．【例18】如图，在△ABC 中，已知∠BAC =900，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB =∠CDF ．【答案】详见解析．【解析】证明：过A 作AG 平分BAC ∠交BD 于G190452BAC GAB CAG A ∠=︒∴∠=∠=∠=︒，()1180452AB AC C B C A =∴∠=∠∴∠=︒-∠=︒，，，C BAG ∴∠=∠ 9090AE BD ABE BAE CAF BAE ABE CAF ⊥∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，， ()..ABG CAF A S A AG CF ∴≅∴=，，D 为AC 中点，AD CD ∴=又45C DAG ∠=∠=，()..AGD CFD S A S ADB CDF ∴≅∴∠=∠，．【总结】考查等腰直角三角形的性质应用，注意辅助线的添加．ABCMEFPNA BCD E FG10 / 22【例19】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD =∠ACD =60°．试说明CD =AB -BD ．【答案】详见解析．【解析】证明：延长BD 到E ，使BE BA =，连接AE CE 、60ABD ∠=︒，ABE ∴为等边三角形6060AE AB AC BE ACE AEC AEB ACD AEB ACD DEC DCE DC DEBD DC BD DE BE AB DC AB BD∴===∠=∠∠=︒∠=︒∴∠=∠∴∠=∠=∴+=+==∴=-，，，，，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质的综合应用．利用等腰三角形的“三线合一”的性质构造等腰三角形【例20】如图，△ABC 中，∠ABC 、∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E ，求证：DE =BD +AE ．【答案】详见解析．【解析】证明：BP AP 、平分ABC CAB ∠∠、//CBP ABP CAP BAP DE AB DPB PBA EPA PABCBP DPB CAP EPA BD PD PE AE DE DP PE DE BD AE∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴===+∴=+，，，，，，，，，【总结】考查“平行线与角平分线得到等腰三角形”的基本模型的运用．模块三：构造等腰三角形知识精讲例题解析ABCD EPABCDE【例21】如图，△DEF 中，∠EDF =2∠E ，F A ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系? 【答案】DF AD AE +=【解析】证明：在AE 上取一点B ，使AB AD =，连接BF2,FA DE FD FB FBD D E FBD E BFE E BFE BE BF BE DF AE AB BE AD DF⊥∴=∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴=∴=+=+，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用．【例22】如图，△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD 是BC 边上的高，延长AB 到点E ，使BE =BD ，试说明AF =FC ．【答案】详见解析【解析】证明：BE BD E BDE =∴∠=∠，22ABC E BDE BDE ABC C C BDE BDE CDF C CDF DF FC∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=，，，AD 为BC 边上的高9090CDF ADF ADC C CAD CAD ADF DF AF AF FC∴∠+∠=∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∴=∴=，，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用．【例23】如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 和BE 两条高交于点H ，且AE =BE ．试说明AH =2BD ．【答案】详见解析．【解析】AD BE 、为高，90AEH BEC BDH ∴∠=∠=∠=︒BHD AHE EAH EBC ∠=∠∴∠=∠，，AE =BE ，()..AEH BEC A S A AH BC ∴≅∴=， 2AB AC AD BC BC BD =⊥∴=，，，2AH BD ∴=．【总结】考查等腰三角形的性质的应用．ABCDEFABCDE HAEFDB12 / 22【例24】如图，已知∠ABC =3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，试说明AC -AB =2BE ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BE 交AC 于点M90BE AE AEB AEM ⊥∴∠=∠=︒，，12ABE AME ∠=∠∴∠=∠，，2AB AM BE AE BM BE AC AB AC AM CM ∴=⊥∴=∴-=-=，，，，3322AMB C MBC ABC C ABC ABM MBC AMB MBC C AMB MBC MBC C MBC C CM BM AC AB BM BE∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴-==，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用，注意根据题目条件构造等腰三角形．【例25】如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE =BD ．试说明EC =ED ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BD 至F ，使DF AB =，连接EFABC 是等边三角形，60AB BC AC B ∴==∠=︒，．AE BD DF AB AE AB BD DF BE BF ==∴+=+=，，，即 60B ∠=︒，BEF ∴为等边三角形，60B F BE FE DF AB BC DF ∴∠=∠=︒==∴=，，， ()..BCE FDE S A S EC ED ∴≅∴=，【总结】考查等腰三角形的判定及性质的综合应用．【例26】如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =AB ，∠ABD =30°，试说明AD =DC ．【答案】详见解析．A BC2 E1 MABCDEFABCD E【解析】在BC 上截取BE AD =，连接DE9045AB AC BAC ABC ACB =∠=︒∴∠=∠=︒，， 3075BD AB ABD BAD BDA =∠=︒∴∠=∠=︒，，1515DAC BAC BAD DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒∠=∠-∠=︒， ()..1545154515DAC DBC BDE ACD S A S BDE ACD DE DC DCE DECDEC EBD BDE ACD DCE ACB ACD ACD ACD ACD ACD ∴∠=∠∴≅∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠=︒+∠∠=∠-∠=︒-∠∴︒+∠=︒-∠∴∠=︒，，，，，，，ACD DAC AD DC ∴∠=∠∴=，．【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形判定的综合应用．【例27】如图，四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD =180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H ，试说明EH ⊥FH ．【答案】详见解析【解析】连接EF ，则180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒180180BAD BCD FCE BCDBAD FCE ∠+∠=︒∠=∠∴∠+∠=︒，E F ∠∠、的平分线交于点H11221809018090CFH CFA HEC BEDA CFA CFE CEF BED CFH BEH CEF FCE CFH BEH CEF FCE H H EH FH∴∠=∠∠=∠∠+∠+∠+∠+∠=︒∴∠+∠+∠+∠=︒∠+∠+∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴⊥，，【总结】考查角平分线的性质及三角形内角和定理的综合应用，综合性较强，注意认真分析角度间的关系．【例28】已知：如图，在∆ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，CD ⊥AB ，垂足是D ，CE 平分∠ACD ，BF ⊥CE ，垂足是G ，交AC 于F ，交CD 于H ，试说明DH =12AF ．【答案】详见解析．ABC D EFM H14 / 22ACBEF【解析】证明：延长CD 到M ，使CM CB =，连接BM ，则M CBM ∠=∠90ACB AB BC ∠=︒=，，ABC ∴是等腰直角三角形． 4567.5CD AB BCM ACD M ⊥∴∠=∠=︒∴∠=︒，，， CE 平分ACD ∠，122.52GCH ACD ∴∠=∠=︒，67.5CE BF GHC ⊥∴∠=︒，， MHB GHC BM BH ∴∠=∠∴=，． ()90..2BD HM DH DMFCG HCG CGF CGH CG CG CGF CGH A S A CF CH AC BC CM AC CF CM CH AF HM AF DH⊥∴=∠=∠∠=∠=︒=∴≅∴===∴-=-∴=∴=，，，，，，即12DH AF =．【总结】考查等腰三角形的性质应用，综合性较强，注意添加相应的辅助线，将问题进行转化．【习题1】如图，在△ABC 中，∠ACB =900，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（）A ．600B ．450C ．300D ．不确定【答案】B【解析】90,90ACB A B ∠=︒∴∠+∠=︒29045AC AE ACE AEC BC BF BCF BFC AEC B ECB BFC A FCAFCA ECF ECB B ECF ECB FCA A ECF A B ECF =∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，故选B ．【总结】考查等腰三角形的性质的运用，注意角度间的关系．随堂检测AF GBH DEC M【习题2】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点AD =BD ，AB =AC =CD ，求∠BAC 的度数．【答案】108BAC ∠=︒．【解析】AD BD B BAD =∴∠=∠，，AB AC DC B C CDA CAD ==∴∠=∠∠=∠，，22180518036108CDA B BAD CDA B CAD B B C BAC B B BAC ∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，【总结】考查等腰三角形的性质．【习题3】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，试说明AF =EF ．【答案】详见解析【解析】证明：延长AD 至G ，使DG AD =，联结BGAD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=()..ADC GDB S A S G CAD AC BG BE AC BG BE G BED BED AEF AEF G CAD AF EF∴≅∴∠=∠==∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠∴=，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质，注意倍长中线辅助线的添加．【习题4】如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE =12BD ，试说明BD 是∠ABC 的角平分线．【答案】详见解析【解析】证明：延长AE BC 、交于点F9090ACB DBC BDC ∠=︒∴∠+∠=︒，，同理：90FAD EDA ∠+∠=︒ ()..1122EDA BDC FAD DBC AC BC AFC BDC A S A AF BD AE BD AE AF∠=∠∴∠=∠=∴≅∴==∴=，，，，，， ()..AE FE BAE BFE S A S ABE FBE ∴=∴≅∴∠=∠，，BD ∴是ABC ∠的角平分线．【总结】考查全等三角形及等腰三角形性质的应用，注意对模型的总结．【习题5】如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =100o ，D 、E 在AC 上，且AB =AD ，CB =CE ．求∠EBD 的度数．【答案】40EBD ∠=︒ABCDACDEEABDCF GAE BC DF16 / 22【解析】10080ABC A C ∠=︒∴∠+∠=︒，28040AB AD ABD ADB BC EC CBE CEB ADB C DBC CEB A ABEABE EBD DBC C EBD DBC ABE A EBD A B EBD =∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．．【习题6】已知：如图在∆ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，EF ⊥AD ，垂足是G ，且交BC 的延长线于点F ．试说明∠CAF =∠B ．【答案】详见解析【解析】证明：//DE AC CAD EDA ∴∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，BAD CAD ∴∠=∠， ()..EAD EDA EA EDEF AD AFG DFG S A S AF DF ADF DAF B BAD CAF CAD BAD CAD CAF B∴∠=∠∴=⊥∴≅∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及外角性质的综合运用．【习题7】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，试说明AB +BD =CD ．【答案】详见解析【解析】证明：在CD 上取一点E 使DE BD =，联结AE()..22AD BC ABD AED S A S AB AE B AEB B C AEB C AEB C EAC C EAC AE EC CD DE EC AB BD⊥∴≅∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴=+=+，，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定．ACDFB HGEBACDE【习题8】如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）等腰三角形．【解析】（1）在等腰Rt ABC 中，9045ACB CBA CAB ∠=︒∴∠=∠=︒， ()9045//9045..9090DE AB DEB BDE BF AC CBF BFD BDEBF DB CD DB BF CD CBF ACD S A S BCF CAD BCF GCA CAD GCA AD CF⊥∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒=∠∴==∴=∴≅∴∠=∠∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴⊥，，，，，，，，，（2）联结AF ，CF AD =，DBF 是等腰直角三角形，∵BE 是DBF ∠的平分线，BE ∴垂直平分DFAF AD CF AD CF AF ∴==∴=，，，∴ACF 为等腰三角形．【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用．【习题9】在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA延长线于E ，交AC 于F ，试说明BE =CF =12(AB +AC )．【答案】详见解析【解析】证明：过点B 作//BN AC 交EM 延长线于点N()////12BN AC BM CM CFM BNM CF BNAD ME AD BAC CFM DAC E E N BEN BE BN CFEFA CFM E EFA AE AF AB AC AB AF FC AB AE FC BE FC BE CF AB AC =∴≅∴=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠∴∴==∠=∠∴∠=∠∴=∴+=++=++=+∴==+，，，，平分，，是等腰三角形，，，【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用．GFED C BAABDMCF E N18 / 22BDCA【习题10】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =800，O 为△ABC 内一点，且∠OBC =100，∠OCA =200，求∠BAO 的度数．【答案】70BAO ∠=︒．【解析】作BAC ∠的角平分线与CO 的延长线交于点D ，联结BD()..805020202040BAD DAC AB AC AD ADABD ACD S A S BD CD ABD ACD DBC DCB BAC ABC ACB OCA ABD ACD OBD ABC ABD OBC ABD DOB OBC OCB BAD OBD ABD DOB DAB BD BD ABD ∠=∠==∴≅∴=∠=∠∴∠=∠∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=∠-∠-∠=︒=∠∠=∠+∠=︒=∠∠=∠∠=∠=∴≅，，，，，，，，，，，()()()()..1111801801804070222OBD A A S AB OB BAO AOB BAO ABO ABC OBC ∴=∴∠=∠∴∠=︒-∠=︒-∠-∠=︒-︒=︒⎡⎤⎣⎦，，【总结】考查等腰三角形的性质与全等相结合的综合应用，综合性较强，注意辅助线的添加．【作业1】如图，△ABC 中，∠ABC =460，D 是BC 边上一点，DC =AC ，∠DAB =210，试确定∠CAD 的度数．【答案】67CAD ∠=︒．【解析】DC AC CAD CDA =∴∠=∠，CDA B DAB ∠=∠+∠，又4621ABC DAB ∠=︒∠=︒， 67CDA ∴∠=︒，67CAD ∴∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质的综合运用，比较基础．课后作业OABCD【作业2】如图所示，12AB AD BC DE ==∠=∠，，，试说明：(1)(2)2AC AE CAE =∠=∠；．【答案】详见解析．【解析】（1）2112ADC ADE B ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠，又ADE B AB AD BC DE ∴∠=∠==，， ()..ABC ADE S A S AC AE ∴≅∴=，；（2）ABC ADE BAC DAE ≅∴∠=∠，，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠1122CAE CAE ∴∠=∠∠=∠∴∠=∠，，【总结】考查三角形全等的判定及性质的应用，比较基础．【作业3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，AD ＝AE ．求∠CDE 的度数．若∠BAD ＝40呢?【答案】15CDE ∠=︒，20CDE ∠=︒．【解析】AD AE AC AB ADE AED B C ==∴∠=∠=∠，，，23023015ADE CDE B BAD AED C CDE C CDE CDE B BAD CDE BAD BAD CDE CDE ∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，同理：当40BAD ∠=︒时，20CDE ∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转换．【作业4】如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD =ED =EA ，求∠A 的度数．【答案】1807A ︒∠=．【解析】AE ED ADE A =∴∠=∠，，2DEB ADE A A ∴∠=∠+∠=∠．233318018071807BD ED ABD DEB A BDC ABD A ABD BC C BDC A AB AC ABC C A ABC C A A A =∴∠=∠=∠∴∠=∠+∠=∠=∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∠︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=，，，，，，，【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转化．ABCDE21ABCDEABCDE20 / 22【作业5】已知∆ABC 中，BD =CE ，DF =EF ．试说明AB =AC ．【答案】详见解析【解析】证明：过点D 作//DG AC 交BC 于G()//..DG AC DGB ACB DGF ECF DF EF DFG EFC DFG EFC A A S CE DG BD CE BD DG B DGB B ACB AB AC∴∠=∠∠=∠=∠=∠∴≅∴==∴=∴∠=∠∴∠=∠∴=，，，，，，，，，【总结】考查等腰三角形结合全等三角形的性质及判定的应用．【作业6】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（）A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2ABC ．AC ≤2ABD ．AC ＜2AB【答案】D【解析】解：延长CB 到D ，使DB AB =，联结AD222AB BD BAD D ABC D BAD ABC DABC C C D AD AC AB BD AD AB BD AC AB AC=∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=+>∴+>∴>，，，，，，，故选D ．【总结】考查三角形外角性质，等腰三角形性质以及三角形三边之间的关系．【作业7】如图，已知：AC ∥BD ，EA 、EB 平分∠BAC 、∠DBA ，交CD 于点E ，试说明：AB =AC +BD ．【答案】详见解析【解析】证明：在AB 上取一点F ，使AF AC =，联结EF ．EA EB 、平分BAC DBA ∠∠、，CAE FAE EBF EBD ∴∠=∠∠=∠，()..ACE AFE S A S ∴≅，C AFE ∴∠=∠，//180AC BD C D ∴∠+∠=︒，，180AFE EFB ∠+∠=︒，EFB D ∴∠=∠，()..BEF BED A A S BF BD ∴≅∴=，． AB AF BF AB AC BD =+∴=+，．【总结】考查全等三角形的判定与性质的综合运用，注意认真分析题目中的条件．BDCEAFGABCDA BCDEF【作业8】如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =440，M 为△ABC 内一点，使∠MCA =300，∠MAC =160，求∠BMC 的度数．【答案】150BMC ∠=︒．【解析】过B 作BD AC ⊥于D ，交CM 延长线于O ，联结OA4492BAC BCA AB BC ABC ∠=∠=︒∴=∠=︒，，BD AC ⊥， ABO CBO ∴∠=∠，ABO CBO ∴≅30OA OC OAC MCA ∴=∴∠=∠=︒，443014301614906012012030BAO BAC OAC OAM OAC MAC BAO MAO AOD OAD COD AOM AOB AO AO ABO AMO OB OM BOM OMB OBM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒∴∠=∠∠=︒-∠=︒=∠∴∠=︒=∠=∴≅∴=∠=︒∴∠=∠=︒，，，，，， 180150BMC OMB ∴∠=︒-∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质、及全等三角形判定、三角形外角、内角和性质等．【作业9】如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，试说明：BQ +AQ =AB +BP ．【答案】详见解析．【解析】延长AB 到D ，使BD BP =，联结PD ，则D BPD ∠=∠．AP BQ 、分别是BAC ABC ∠∠、的角平分线，且6040BAC ACB ∠=︒∠=︒，()3080408040..BAP CAP ABC ABQ QBC C QB QC ABC D BPD D BPD APD APC A A S AD ACAB BD AQ QC AB BP BQ AQ∴∠=∠=︒∠=︒∴∠=∠=︒=∠∴=∠=∠+∠=︒∴∠=∠=︒∴≅∴=∴+=+∴+=+，，，，，，，【总结】考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质相结合的综合运用，综合性较强，注意分析题目中的条件，添加合适的辅助线．B CMADOABPQCD22 / 22【作业10】如图，已知：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ABC =2∠C ，M 为BC的中点，ME ⊥AF ，交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于F ，试说明：BD =2BE ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BE 到G ，使EG BE =，联结CG GD 、，延长AF 交GC 于H ．//BE EG BM MCEM CG ME AF AH CG==∴⊥∴⊥，，，AH 平分BAC ∠，AG AC ∴=，GAD CAD ∠=∠()..AGD ACD S A S DGA ACD ∴≅∴∠=∠，22CBA ACB CBA DGA BDG BDG DGB BD BG BE EG BD BE∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴==∴=，，，【总结】本题综合性较强，难度较大，考查三角形的相关性质及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质的综合运用，也可以用其它方法进行求解，建议教师选择性讲解．ABCDEF MGH。

初中数学三角形模块5-2 等腰三角形讲义(含答案解析)

第二部分等腰三角形题型练题型一等腰三角形的性质例1.如图，在ABC 中，,AB AC D =为BC 的中点，25BAD ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A .25︒B .35︒C .45︒D .50︒【分析】在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．【详解】解：∵AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝25°，∴∠BAC ＝50°，故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式11.如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②AEF AFE ∠=∠；③EBC C ∠=∠；④AG EF ⊥．正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【详解】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF=∠AFE，故②正确；∵∠ABE=∠CBE，∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；∵∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．题型二等腰三角形的判定例2.如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的角平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若2BM =，3CN =，则MN 的长为（）A .10B .5.5C .6D .5【分析】由平行线的性质，得出∠MEB ＝∠CBE ，∠NEC ＝∠BCE ，再由角平分线定义得出∠MBE ＝∠EBC ，∠NCE ＝∠BCE ，证出ME ＝MB ，NE ＝NC ，即可求得MN 的长．【详解】解：∵MN ∥BC ，∴∠MEB ＝∠CBE ，∠NEC ＝∠BCE ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，∴∠MBE ＝∠EBC ，∠NCE ＝∠BCE ，∴∠MEB ＝∠MBE ，∠NEC ＝∠NCE ，∴ME ＝MB ，NE ＝NC ，∴MN ＝ME ＋NE ＝BM ＋CN ＝2＋3＝5，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．变式22.如图，在ABC 中，25,100B A ∠=︒∠=︒，点P 在ABC 的三边上运动，当PAC △成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________．【答案】100°或55°或70°【解析】【分析】作出图形，然后分点P 在AB 上与BC 上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P 在AB 上时，AP=AC ，顶角为∠A=100°，②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，如图2，点P 在BC 上时，若AC=PC ，顶角为∠ACB=55°，如图3，若AC=AP ，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，综上所述，顶角为105°或55°或70°．故答案为：100°或55°或70°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．题型三等边三角形的性质∠+∠的度例3.如图所示，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中12数为（）A.180︒B.220︒C.240︒D.300︒C【分析】由等边三角形的性质及四边形的内角和为360°可求得∠1＋∠2＝240°．【详解】解：如图，由等边三角形可知：∴∠1＋∠2＝360°－（∠A＋∠B）＝360°－120°＝240°．故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质，关键是利用了：1、四边形内角和为360°；2、等边三角形的内角均为60°．变式33.如图，点D 在等边三角形ABC 内部，AD =AE ，若△DAB ≌△EAC ，则需添加一个条件：_______．【答案】DAB EAC ∠=∠或60EAD ︒∠=或CAB EAD =∠∠或BD CE =等【解析】【分析】根据等边三角形三边相等，三个内角都为60°，及全等三角形的判定定理解题即可．【详解】解：在等边三角形ABC 中，AB =ACAD =AE需添加∠DAB =∠EAC ，可得到△DAB ≌△EAC ；或添加∠EAD =60°，可得∠DAB =∠EAC ，可得到△DAB ≌△EAC ；或添加∠CAB =∠EAD ，可得∠DAB =∠EAC ，可得到△DAB ≌△EAC ；或DB =CE ，可得到△DAB ≌△EAC ；故答案为：DAB EAC ∠=∠或60EAD ︒∠=或CAB EAD =∠∠或BD CE =等．【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．题型四等边三角形的判定例4.下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A .有两个内角是60︒的三角形B .有两边相等且是轴对称图形的三角形C .三边都相等的三角形D .有一个角是60︒且是轴对称图形的三角形B【分析】根据等边三角形的判定解题．【详解】解：A 、两个内角为60︒，根据三角形的内角和为180︒，可知另一个内角也为60︒，所以该三角形为等边三角形．故不符合题意；B 、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形．故符合题意；C 、三边都相等的三角形当然是等边三角形．故不符合题意；D 、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是60︒，有两边相等且一角为60︒的三角形是等边三角形．故不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查等边三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式44.如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在CA 延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F ，若10CE =，3AF =，则BF 的长度为______．【答案】4【解析】【分析】根据等边对等角得出∠B =∠C ，再根据EP ⊥BC ，得出∠C +∠E =90°，∠B +∠BFP =90°，从而得出∠E =∠BFP ，再根据对顶角相等得出∠E =∠AFE ，最后根据等角对等边即可得出答案．【详解】证明：在△ABC 中，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵EP ⊥BC ，∴∠C +∠E =90°，∠B +∠BFP =90°，∴∠E =∠BFP ，又∵∠BFP =∠AFE ，∴∠E =∠AFE ，∴AF =AE =3，∴△AEF 是等腰三角形．又∵CE =10，∴CA =AB =7，∴BF =AB -AF =7-3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E =∠AFE ，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．题型五含30°角的直角三角形1.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2.在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°例5.如图，在ABC ∆中，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，过点B 作BD BC ⊥，若1AD =，CD 的长度为（）A .1B .2.5C .2D .3C【分析】由BD ⊥BC ，推出∠CBD ＝90°，所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝120°－90°＝30°，由AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，推出∠A ＝∠C ＝30°，所以∠A ＝∠ABD ，DB ＝AD ＝1，在Rt △CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，进而得出CD＝2BD＝2.【详解】解：∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝120°－90°＝30°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，∵∠C＝30°，∴CD＝2BD＝2故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，以及含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．变式55.为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（）元．A.75aB.50aC.2252a D.150a【答案】A【解析】【分析】作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，则∠DBC＝30°，由BC＝15米，即可求出CD＝7.5米，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【详解】解：如图，作BA 边的高CD ，设与AB 的延长线交于点D ，∵∠ABC ＝150°，∴∠DBC ＝30°，∵CD ⊥BD ，BC ＝15米，∴CD ＝7.5米，∵AB ＝10米，∴S △ABC ＝12AB ×CD ＝12×10×7.5＝37.5（平方米），∵每平方米售价2a 元，∴购买这种草皮至少为37.5×2a ＝75a （元），故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，解题关键在于做出AB 边上的高，并利用含30度角的直角三角形的性质求出高CD 的长度．题型六角平分线的性质定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．例6.如图，在ABC 中，90,ACB BD ∠=︒平分ABC ∠，且9,6,2AB BC CD ===，则ABC 的面积是（）A .9B .12C .15D .18C【分析】作DE ⊥AB ，根据角平分线的性质得到DE ＝CD ＝2，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】如图，作DE ⊥AB ，∵90,ACB BD ∠=︒平分ABC ∠，∴DE ＝CD ＝2∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AB ×DE ＋12BC ×CD ＝12×9×2＋12×6×2＝15故选C ．【点睛】此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知角平分线的性质．变式66.如图，已知在ABC 中，BD 是AC 边上的高线，CE 平分ACB ∠，交BD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE 的面积等于（）A.10B.7C.5D.3【答案】C【解析】【分析】作EF BC ⊥于F ，根据角平分线的性质定理得到2EF DE ==，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作EF BC ⊥于F ，CE 平分ACB ∠，EF BC ⊥，ED AC ⊥，2EF DE ∴==，BCE ∴∆的面积152BC EF =⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．题型七角平分线的判定判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合例7.在ABC 中，AB BC =，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放．它们一组较短的直角边分别在AB ，BC 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P ，BP 交边AC 于点D ，则下列结论错误的是（）A .BP 平分ABC ∠B ．AD DC =C .BD 垂直平分ACD .2AB AD=D【分析】先根据角平分线的判定定理得到BP平分∠ABC，再根据等腰三角形三线合一的性质得到AD ＝DC，BD垂直平分AC，进而即可求解．【详解】解：如图．由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE＝PF，∴BP平分∠ABC，∵AB＝BC，∴AD＝DC，BD垂直平分AC，故选项A、B、C正确，不符合题意；只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB＝2AD，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．变式77.如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中错误的是（）A.△ABE≌△ACFB.△BDF≌△CDEC.点D是BE的中点D.点D在∠BAC的平分线上【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【详解】解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF （AAS），正确；B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；C、无法判定，错误；D、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE 故点D在∠BAC的平分线上，正确；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．题型八垂直平分线的性质例8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC 的值是（）＝2，则S△ABEA.4B.5C.6D.8A【分析】由垂直平分线的性质，得AE ＝BE ，然后求出∠AEC ＝30°，则求出AE ＝4，由三角形的面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∴∠EAD ＝∠B ＝15°，∴∠AEC ＝15°＋15°＝30°，∵在△ACE 中，∠ACE ＝90°，∴AE ＝2AC ＝2×2＝4，∴BE ＝4，∴S △ABE ＝1142422BE AC ⋅=⨯⨯=；故选：A ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，30度直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练所学的知识，正确的进行解题．变式88.如图，在 ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于E ，D 两点，EC=3， ABC 的周长为21，则 ABD 的周长为（）A.14B.15C.16D.17【答案】B【解析】【分析】根据垂直平分线的性质计算即可；【详解】∵DE 是线段AC 的垂直平分线，∴AD CD =，AE EC =，∴6AC =，∵△ABC 的周长为21，∴21AB AC BC ++=，∴15AB BC +=，∴ ABD 的周长15AB BD AD AB BC =++=+=，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．题型九垂直平分线的判定例9.如图，ABC 中，边AB BC ，的垂直平分线交于点P ．（1）求证：PA PB PC ==．（2）点P 是否也在边AC 的垂直平分线上？请说明理由．（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA ＝PB ，PB ＝PC ，则PA ＝PB ＝PC ．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P 在边AC 的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：∵边AB 、BC 的垂直平分线交于点P ，∴PA ＝PB ，PB ＝PC ．∴PA ＝PB ＝PC ．（2）∵PA ＝PC ，∴点P 在边AC 的垂直平分线上．此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．变式99.已知：如图，点P 在线段AB 外，且PA PB =，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．①作APB ∠的平分线PC 交AB 于点C②过点P 作PC AB ⊥于点C 且AC BC=③取AB 中点C ，连接PC④过点P 作PC AB ⊥，垂足为C【答案】①③④【解析】【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．【详解】解：①、利用SAS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；②、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；③、利用SSS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；④、利用HL 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．10.已知等腰ABC的一个角是40 ，则这个三角形的其余两个角为________．【答案】70°，70°或40°，100°【解析】【分析】分40°角是顶角与底角两种情况讨论求解即可．【详解】解：①40°角是顶角时，底角=12（180°-40°）=12×140°=70°，另两个角为70°，70°；②40°角是底角时，顶角为180°-40°×2=100°，另两个角为40°，100°，所以，另两个角度数为70°，70°或40°，100°．故答案为：70°，70°或40°，100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．11.如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝6，则△ABC的面积为（）A.2B.3C.4D.9【答案】D【解析】【分析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作CD⊥AB于D，AC＝AB＝4，在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴CD＝12AC＝3，∴△ABC 的面积＝12AB CD ⋅⋅=12×3×6＝9，故选D ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．12.如图，A ，D ，C ，B 在同一条直线上，DF 交EC 于点M ，AC BD =，A B ∠=∠，AF BE =．（1）求证：ADF BCE ≌．（2）若32B =︒∠，28F ∠=︒，试判断CDM V 的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CDM V 是等边三角形，见解析【解析】【详解】解：（1）证明：∵AC BD =，∴AD BC =．在ADF 和BCE 中，,,,AF BE A B AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF BCE ≌．（2）CDM V 是等边三角形，理由如下：∵ADF BCE ≌，32B =︒∠，28F ∠=︒，∴28E F ∠=∠=︒，32A B ∠=∠=︒，∴322860MCD B E ∠=∠+∠=︒+︒=︒，322860MDC A F ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MCD MDC ∴∠=∠,MD MC∴=∴CDM V 是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确找出判定全等三角形的条件是解题的关键．13.如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，且BE CF =，o =30BDE ∠，求证：ABC 是等边三角形．【答案】证明见解析【解析】【分析】用HL 证△BED ≌△CFD ，得出∠B =∠C ,再证∠B =60°即可．【详解】证明：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠BED =∠CFD =90°,在Rt △BED 和Rt △CFD 中，DB CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B =∠C ，∴AB =AC ，∵o =30BDE ∠，∴∠B =60°，ABC 是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用直角三角形的全等判定定理证明等腰，再依据等边三角形的判定进行证明．14.如图，在△ABC 中∠ACB =90°，AC=BC =4，△ACD 是等边三角形，连接BD ，则△BCD 的面积是___【答案】4【解析】【分析】求得△BCD的边BC上的高，用面积公式求解．【详解】如下图所示：过D作AC的垂线，垂足为E，∵∠ACB=90°∴△BCD的边BC上的高等于CE；∵△ACD是等边三角形∴AD=CD又DE⊥AC，AC=4∴114222EC AC==⨯=；又BC=4∴1142422BCDS BC EC=⋅=⨯⨯=△．答案为：4．【点睛】此题考查了正三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识，本题中发现△BCD 的边BC 上的高等于AC 的一半是关键．15.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3BC =，5AB =，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（）A.127 B.2 C.157 D.3【答案】A【解析】【分析】作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，根据勾股定理可求AC ，根据角平分线的性质可得DE =DF ，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，在Rt △ACB 中，4AC ===，∵CD 是角平分线，∴DE =DF ，∴111222AC DE BC DF AC BC ⋅+⋅=⋅，即1114343222DE DE ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，解得DE =127．故点D 到AC 的距离是127．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．16.如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，分点P在三条公路相交的三角形地带和地带之外作出图形即可得解．【详解】解：如图，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P2、P3、P4，内角平分线相交于点P1，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．17.如图，在ABC 中，45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC ∠=∠；③CF AB ⊥；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（）A.①②B.①③④C.①③D.②③④【答案】B【解析】【分析】证明△BDF ≌△ADC ，可判断①；求出∠FCD =45°，∠DAC ＜45°，延长CF 交AB 于H ，证明∠AHC =∠ABC +∠FCD =90°，可判断③；根据①可以得到E 是AC 的中点，然后可以推出EF 是AC 的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．【详解】解：∵△ABC 中，AD ，BE 分别为B C 、AC 边上的高，∠ABC =45°，∴AD =BD ，∠DAC 和∠FBD 都是∠ACD 的余角，而∠ADB =∠ADC =90°，∴△BDF ≌△ADC （ASA ），∴BF =AC ，FD =CD ，故①正确，∵∠FDC =90°，∴∠DFC =∠FCD =45°，∵∠DAC =∠DBF ＜∠ABC=45°，∴∠FCD ≠∠DAC ，故②错误；延长CF 交AB 于H ，∵∠ABC =45°，∠FCD =45°，∴∠AHC =∠ABC +∠FCD =90°，∴CH ⊥AB ，即CF ⊥AB ，故③正确；∵BF =2EC ，BF =AC ，∴AC =2EC ，∴AE =EC =12AC ，∵BE ⊥AC ，∴BE 垂直平分AC ，∴AF =CF ，BA =BC ，∴△FDC 的周长=FD +FC +DC=FD +AF +DC=AD +DC=BD +DC=BC=AB ，即△FDC 的周长等于AB ，故④正确，综上：①③④正确，故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜18.如图，在ABC 中，,ABC ACB ∠∠的平分线相交于点E ，,AB BC 边的垂直平分线相交于点D ．若120∠=︒BEC ，则BDC ∠的度数为（）A.150︒B.130︒C.127︒D.120︒【答案】D【解析】【分析】由120∠=︒BEC ，可求∠EBC +∠ECB =60︒，由BE ，CE 分别,ABC ACB ∠∠，可得2,2ABC EBC ACB ECB∠=∠∠=∠，可求()2120ABC ACB EBC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，可得()18060BAC ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒，由,AB BC 边的垂直平分线相交于点D ．可得AD =BD =CD ，可得,ABD BAD DAC DCA ∠=∠∠=∠，可求1802ADB DAB ∠=︒-∠，1802ADC DAC ∠=︒-∠，可得240ADB ADC ∠+∠=︒，可求()360120BDC ADB ADC ∠=-∠+∠=︒．【详解】解：∵120∠=︒BEC ∴∠EBC +∠ECB =180°-18012060BEC ∠=︒-︒=︒，∵BE ，CE 分别,ABC ACB ∠∠，∴2,2ABC EBC ACB ECB∠=∠∠=∠()2260120ABC ACB EBC ECB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒∴()18060BAC ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒∵,AB BC 边的垂直平分线相交于点D ．∴AD =BD =CD ，∴,ABD BAD DAC DCA ∠=∠∠=∠，∴1801802ADB ABD BAD DAB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，1801802ADC DAC ACD DAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∴()180218023602360120240ADB ADC DAB DAC DAB DAC ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+=︒-︒=︒，∴()360360240120BDC ADB ADC ∠=-∠+∠=︒-︒=︒，故选择：D ．【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角，掌握三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角是解题关键．19.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）尺规作图：作边AB 的垂直平分线EF ，分别与线段AB 、AC ，AD 交于点E 、F ，G ，（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接BG 、CG ，若AG ＝1，∠BAC ＝45°，求 BGC 的面积．【答案】（1）作图见详解；（2）S △BGC =12．【解析】【分析】（1）以A 、B 两点为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过两弧的交点作直线EF ，交AB 于E ，交AC 于F ，交AD 于G ，则直线EF 为AB 的垂直平分线；（2）由AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，可得AD 为BC 的垂直平分线，由EF 为AB 的垂直平分线，可得点G 为△ABC 的外接圆的圆心，作以点G 为圆心，AG 为半径作辅助圆，可得AG=BG=CG=1，由∠BAC ＝45°，圆周角定理得∠BGC =2∠BAC ＝2×45°=90°，可求S △BGC =11111222BG CG ⨯=⨯⨯=．【详解】解：（1）以A 、B 两点为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过两弧的交点作直线EF ，交AB 于E ，交AC 于F ，交AD 于G ，则直线EF 为AB 的垂直平分线；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴AD为BC的垂直平分线，又∵EF为AB的垂直平分线，∴点G为△ABC的外接圆的圆心，以点G为圆心，AG为半径作辅助圆，∴AG=BG=CG=1，∵∠BAC＝45°，∴∠BGC=2∠BAC＝2×45°=90°，∴△BGC为等腰直角三角形，S△BGC =11111222BG CG⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与面积，掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与面积是解题关键．培优练20.如图1，已知△ABC 为正三角形，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AC =AD ．（1）若∠CAD =30°，则∠BDC 的度数为；（2）若∠CAD 的大小在0°~90°范围内之间任意改变，∠BDC 的度数是否随之改变？请说明理由；（3）E 是DC 延长线上一点，且EB =ED ，连接AE ，如图2，试探究EA ，EB ，EC 之间的关系．【答案】（1）30°；（2）不会改变，理由见解析；（3）AE =BE +CE【解析】【分析】（1）由△ABC 为正三角形，可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC ，由∠CAD =30°，可求∠BAD =90°，由AC =AD ，可求∠ACD=∠ADC=75︒，∠ABD=∠ADB=45︒，由∠BDC =∠ADC-∠ADB=30°即可；（2）不会改变．理由如下：设∠CAD =2α°．由AC =AD ，可得∠ADC =∠ACD =90°-α°．由△ABC 为正三角形，可得∠CAB =60°，AC =AB =BC ，AB =AD ，可求∠ADB =∠ABD =90°-（30°+α°），∠BDC =∠ADC -∠ADB =30°；（3）在AE 上取点F ，使EF =EB ，可证△BEF 为正三角形，可求∠ABF =∠CBE ，可证△ABF ≌△CBE （SAS ），可得AF =CE 即可．【详解】解：（1）∵△ABC 为正三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC ，∵∠CAD =30°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD =90°，∵AC =AD ，∴∠ACD=∠ADC=()()11180180307522CAD ︒-∠=︒-︒=︒，∴∠ABD=∠ADB=()()11180180904522BAD ︒-∠=︒-︒=︒，∴∠BDC =∠ADC-∠ADB=75°-45°=30°，故答案为：30°；（2）不会改变．理由如下：设∠CAD =2α°．∵AC =AD ，∴∠ADC =∠ACD =90°-α°，∵△ABC 为正三角形，∴∠CAD =60°，AC =AB =BC ，∴AB =AD ，∴∠ADB =∠ABD =90°-（30°+α°），∴∠BDC =∠ADC -∠ADB =30°；（3）在AE 上取点F ，使EF =EB ，∵EB =ED ，∴∠EBD =∠EDB =30°，∴∠BED =120°．∵AB =AD ，EB =ED ，∴AE 垂直平分BD ，∴∠BED =60°，∴△BEF 为正三角形，∴BE =BF ，∴∠EBF =∠CBA =60°，∴∠ABC-∠CBF=∠FBE-∠CBF ，∴∠ABF =∠CBE ，在△ABF 和△CBE 中，AB CB ABF CBE BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴AF =CE ，∴AE =AF +EF =BE +CE ．【点睛】本题考查等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，掌握等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，关键是引辅助线构造三角形全等．。

沪教版七年级数学等腰三角形的性质

等腰三角形的性质课前测试【题目】课前测试等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这条高与底边夹角的度数为．【答案】20°或70°【解析】从锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用三角形内角和定理先求出它的底角的度数，再求出腰上的高与底边的夹角的度数．解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D，∠ABD=40°．①若是锐角三角形，∠A=90°﹣50°=40°，∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=20°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC=50°+90°=140°，此时∠ABC=∠C=（180°﹣140°）÷2=20°，∠DBC=∠ABC+∠ABD=70°．所以腰上的高与底边的夹角的度数是70°或20°．故答案为20°或70°．总结：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．【难度】3【题目】课前测试若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形【答案】A【解析】通过解关系式得出a，b，c的关系，然后再判断三角形的形状即可．解：∵（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，∴（a﹣b）=0或（b﹣c）=0或（c﹣a）=0，即a=b或b=c或c=a，因而三角形一定是等腰三角形．故选：A．总结：本题考查了等腰三角形的概念．了解各类三角形的定义是解题关键．【难度】3知识定位适用范围：沪教版，七年级知识点概述：本章重点部分是等腰三角形的性质，即等边对等角，三线合一。

人教版七年级下数学第七章_三角形_知识点+考点+典型例题(含答案)

第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

七年级数学下册专题第13讲等腰三角形重点、考点知识总结及练习

专题第13讲等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB =，∴∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB =，则∠BAD=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠ACB=15°，所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．（2017秋•洛阳期末）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°，分情况讨论：当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°）=180°，解得x=50°，顶角∠B=80°；当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°，解得x=40°，顶角∠A=40°．故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．故答案为：80°或40°．2．（2017秋•襄州区期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为______．【解答】解：根据题意，①当15是腰长与腰长一半时，AC+AC=15，解得AC=10，所以底边长=12﹣×10=7；②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC=12，解得AC=8，所以底边长=15﹣×8=11．所以底边长等于7或11．故答案为：7或11．3．（2017秋•枣阳市期末）一个等腰三角形的周长为20，一条边的长为6，则其两腰之和为______．【解答】解：①底边长为6，则腰长为：（20﹣6）÷2=7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形，7+7=14；②腰长为6，则底边长为：20﹣6×2=8，能构成三角形，6+6=12．故答案为：12或144．（2017秋•诸暨市期末）已知等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，则该等腰三角形的腰长为_____．【解答】解：①2是腰长时，底边为：8﹣2×2=4，三角形的三边长分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边长时，腰长为：×（8﹣2）=3，三角形的三边长分别3、3、2，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰长是3．故答案为：3．5．（2018春•李沧区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_______°．【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°=138°；②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣48°=42°．故答案为：42或138．6．（2018春•邗江区期中）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的第三边是_____．【解答】解：当4为底时，其它两边都为9，4、9、9可以构成三角形；当4为腰时，其它两边为4和9，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形．故答案为：9．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，∵BC=BE，+，∴∠CED=∠ECB=y z∵AC=AD，+，∴∠ADC=∠ACD=x y+-，在△CDB中，∠B=x y z+-，在△ACE中，∠A=y z x在△ABC中，∠ACB=90°，+-++-=90°，∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x∴2y=90°，解得y=45°．于是∠DCE=45°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，∴AB=40﹣24=16．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】1．（2017春•成华区期末）如图△ABC中，AB=AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE=CD，CF=BD．若∠EDF=50°，则∠A的度数为_____．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中，∴△BDE≌△CFE．∴∠BDE=∠CFD，∵∠EDF=50°，∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°，∴∠C=50°∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，故答案为：80°．2．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【解答】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．知识点3等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．（2017秋•莘县期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE=CD，连接DE，求证：BD=DE．【解答】证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB，∴∠E=∠DBE，∴BD=DE．2．（2017秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．知识点4等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【答案】9【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；②以AB作为等腰三角形的一个腰，当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，综合①②可知，符合条件的点C共有9个.故答案是：9.【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．【答案】10或103【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：当P点在O的左侧时，∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10﹣2t=t；解得t=103时，△POQ是等腰三角形；即当t=103如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，∵∠BOC=60°，∴△POQ是等边三角形，∴PO=QO=PQ∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；∴2t﹣10=t；解得t=10；故答案为：10或10．3【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【方法总结】本题主要考查的是“平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）上述条件任意两个成立则第三个也成立.即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.【随堂练习】1．（2018•安徽模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6，故选：B．2．（2018•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_____．【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．3．（2017春•平南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上的点，BD=CD=5，则AD=______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵BD=DC，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=90°，∴∠A=∠DCA，∴AD=DC=5，故答案为5．综合运用1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.【答案】2【解析】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故答案为：2．2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE其中正确的结论有_________．【答案】①④【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；21④∵D 是BC 的中点，∴BD=DC ，∵AB=CE ，∴AB+BD=CE+DC=DE ，故④正确．故其中正确的结论有①④．故答案为：①④．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE=AF ，求证：DE=DF ．【解析】证明：连接AD ，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD=∠FAD ，在△AED 和△AFD 中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ．4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，23∵△ABC 是等腰三角形，∴DB 是∠ABC 的平分线．5.已知等腰三角形△ABC ，AB=AC ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．【解析】解：如图，在△ABC 中，AB=AC ，且AD=BD ．设AB=AC=x ，BC=y ，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，根据题意得，152x x +=，122x y +=，解得x=10，y=7．（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，根据题意得，122x x +=，152x y +=，解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．6.如图，O 是△ABC 的∠ABC ，∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=16，求△ODE 的周长.【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴OD=BD，同理OE=CE，∵BC=16，则△ODE的周长为：OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．。

1.1.4等腰三角形等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质教案

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形和等边三角形的判定及性质，以及含30°角的直角三角形的特殊性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些三角形知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.1.4等腰三角形等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质教案
一、教学内容
本节课选自七年级数学下册第五章《三角形》的1.1.4节，主要内容包括：
1.等腰三角形的判定：通过观察和推理，使学生掌握等腰三角形的定义，并能运用等腰三角形的性质进行相关问题的解答。
a.有两边相等的三角形是等腰三角形。
b.等腰三角形的底角相等，底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合。
3.培养学生的数据分析能力：通过对含30°角的直角三角形性质的学习，使学生能够运用数据进行计算和验证，提高其解决实际问题的能力。
4.增强学生的应用意识：将所学知识应用于解决生活中的实际问题，让学生体会数学在生活中的重要性，提高其学以致用的意识。
5.培养学生的团队协作能力：在小组讨论和探究过程中，培养学生的合作精神，提高其团队协作能力。

初中数学：等腰三角形练习(含答案)

初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。

北师版七年级下册数学第4章三角形三角形的三边关系(2)

感悟新知
3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( A ) A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a(a＞0)
知3－练
感悟新知
4. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长
的是( ) C
A．2，3，4B．5，7，7
C．5，6，12D．6，8，10
知3－练
感悟新知
知3－练
课堂小结
三角形的三边关系
判断三条线段组成三角形的方法： “三角形的任意两边之和大于第三边”是判断三条线段能否组成三角形的依据，利用该性质时，通常我们只比较较短的两边的和与最长边的大小关系，若前者大于后者，说明可以组成三角形，否则不能组成三角形．
课堂小结
三角形的三边关系
一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为 ()
感悟新知
知3－练
例4 一个三角形两边的长分别为5和3，第三边的长是
整数，且周长是偶数，则第三边的长是( )
A．2或4 B．4或6C．4D．2或6
B
感悟新知
知3－练
导引：要求第三边的长，需先求出这条边长的取值范围，再在其范围内找出满足条件的数．设三角形的第三边的长为x，则第三边的长的取值范围为5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.又在2到8之间的整数有3，4，5，6，7，而三角形的周长x＋3＋5＝x＋8应为偶数，所以x也是偶数，所以x的值只能是4或6，所以三角形的第三边的长是4或6.
感悟新知
知3－练
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论? 再画一些三角形试一试.
感悟新知归纳
三角形任意两边之差小于第三边.
知3－讲
感悟新知
例2下列各组数可能是一个三角形C．4，6，8

七年级(下)数学第13讲等腰三角形一

等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）．（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．【例1】等腰三角形底边长为7cm，它的周长不大于25cm，则它的腰长x的取值范围是____________．【例2】【例3】（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______；（2）等腰三角形一腰上的高于底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________．等腰三角形一内容分析知识结构模块一：等腰三角形性质知识精讲例题解析2 / 15【例4】已知：AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ，那么∠A 的度数为________．【例5】已知：在三角线ABC 中，D 是AC 上一点，且AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ，连接DE ，则∠C 的度数为_________．【例6】如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（）A ．30°或120°B ．120°或20°C ．30°或20°D ．以上都不正确【例7】如图，在△ABC 中，已知∠C =90°，AD =BD ，如果∠DBC =15°，那么∠A （）A ．75°B ．37.5°C ．60°D ．以上都不对ABCDEABCDE ABCD【例8】等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2 厘米，则它的腰长为（）A．4厘米B．8厘米C．4厘米或8厘米D．不确定【例9】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，那么△ABC的最大外角为（）A．160°B．140°C．135°D．145°【例10】在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（）A．6个B．7个C．8个D．9个【例11】如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，求∠DAE的度数．AEBCD4 / 15【例12】如图，在△ABC 中，AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，点E 为BC 边上的一点，EF ⊥AB ，垂足为F ，试说明∠ACD =∠BFE 的理由．【例13】如图，AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明∠EAC =∠ACB 的理由．【例14】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 上一点，EC ⊥BC ，EC =BD ， DF =EF ，说明AF ⊥DE 的理由．【例15】等腰三角形的周长为30cm（1）若腰长为xcm ，则x 的取值范围是____________cm ；（2）若底边长为acm ，则a 的取值范围是____________．ABCD E FA B CD E 1 34 2A B CD EFA B CAB CABCEDF E DF DF图1图2图3【例16】如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________．【例17】如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________．【例18】已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =900，D 为AB 边中点，∠EDF =900，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC ，BC (或它们的延长线)于E 、F ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1)，易证：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．6 / 15如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）．【例19】下列说法中，不正确的是（）A ．如果三角形ABC 是等腰三角形，那么∠B =∠C B ．如果△ABC 中，∠B =∠A ，那么△ABC 是等腰三角形 C ．如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形D ．有两个角相等的三角形是等腰三角形【例20】（1）在△ABC 中，如果AB =AC ，∠B =52°，那么∠A =__________；（2）在Rt △ABC 中，如果∠B =45°，那么△ABC 是___________三角形；（3）在△ABC 中，如果∠BCA =30°，∠ABC =50°，那么△ABC 是________三角形（按角分类）．【例21】已知AC =BC ，∠ACD =∠BCE ，试说明△CDE 是等腰三角形的理由．模块二：等腰三角形的判定知识精讲例题解析ABCDEED CABF 【例22】如图：BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF =BE -CF 的理由．【例23】如图，△ABC 中BA =BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，•试说明△DBE 是等腰三角形．【例24】 △ABC 中，在（1）∠1=∠2；（2）AD ⊥BC ；（3）BD =CD ；这三个条件中有两个条件成立，能否得出AB =AC ?证明所有的可能．【例25】如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点，且BD =CE ，∠DEF =∠B ，说明△DEF 是等腰三角形的理由．A BCDEFABCD1 2A BCDEF8 / 15【例26】已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN ，将这个三角形分割成两个等腰三角形．【例27】（1）如图，在△ABC 中，已知∠A =36°，∠ABC =72°，CD 平分∠ACB ，交边AB 于点D ．图中那几个是的等腰三角形?为什么?（2）在第（1）小题中，如果再作DE ∥BC ，交边AC 于E ，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?为什么?【例28】如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，G 为EF 的中点，说明AG ⊥EF 的理由．ABCD EFGAB CD120° 40°20° 120° 40°20°【例29】如图，已知：D 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，DF ∥AC ，交BC 于点F ，如果BC =12cm ，求△DEF 的周长．【例30】把一张长为8厘米，宽4厘米的长方形的纸条，像如图所示的那样折叠，重合部分是△BDE ，求△ABE 的周长，并简单说明理由．【例31】如图，在△ABC 中，∠ACB =45°，∠ABC =60°，AD 、CF 分别是BC 、AB 边上的高，且相交于点P ，∠ABC 的平分线BE 分别交AD 、CF 于点M 、N ，试找出图中所有的等腰三角形，并简述理由．ABCDEFP NM AB CDEC ,ABCDE F10 / 15【习题1】在△ABC 中，已知AB =3，∠B =52°，如果AC =3，那么∠A =________．【习题2】等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为__________．【习题3】如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，且BD =BE ，∠A =84°，则∠DEC =___________．【习题4】如图，△ABC 中AB =AC ，CD 平分∠BCA ，CE ⊥AB 于点E ，∠DCE =51°，则∠ACB =________．随堂检测A BCD EABCDE【习题5】如图，在下列三角形中，若AB =AC ，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）【习题6】（1）如果等腰三角形中有一个角为120°，另外两个角的度数为________；（2）如果等腰三角形中有一个角为30°，另外两个角的度数为____________．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题7】（1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为________；（2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为___________．【习题8】如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥BD ，∠DAB =∠DBA ，又知AC =18，△CBD 的周长为28，求BC 的长．AB CDEABC D36°ABC10890°45°A BBBCCCA A12 / 15【习题9】如图，已知：△ABC 中∠C 的平分线CD 交AB 于点D ，DE ∥BC 于点E ，若DE =3，AE =4，求AC 的长．【习题10】如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠BAD =∠CAE ，CE =BD ．说明：（1）△ADE 也是等腰直角三角形；（2）BD ⊥CE 的理由．【作业1】等腰三角形周长为13㎝，其中一边长为3㎝，则该等腰三角形的底边长为（）A ． 7cmB ．3 cmC ．7 cm 或3 cmD ．5 cm课后作业A BCDEFG ABC D E【作业2】已知等腰三角形的周长为24㎝，其中一边长为7㎝，则与它相邻的另一边长（）A．7 cm或10 cm B．8.5 cm或7 cmC．7 cm或10 cm或8.5 cm D．10 cm或8.5 cm.【作业3】在△ABC中，AB=AC．若∠A=50°，则∠B= ，∠C=_____ ；若∠B=45°，则∠A= ，∠C= ；若∠C=60°，则∠A= ，∠B= ；若∠A=∠B，则∠A= ，∠C= ．【作业4】等腰三角形中，AB的长是BC长2倍，三角形的周长是40，求AB的长．【作业5】已知下列语句：①有一个角为300，腰长相等的两个等腰三角形全等．②有一个角为1100的腰长相等的两个等腰三角形全等．③腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等．④底角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑤一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑥顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑦底和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等．其中不能判断两个等腰三角形全等的方法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个14 / 15【作业6】如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BC =BD =BE ，则图中等腰三角形共有_________个．【作业7】如图，在△ABC 中，AB =AC=CE ，D 是BC 上一点，∠ABC =40°，E 是AC 上一点，AE =DE ．求∠EDC 的度数．【作业8】如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，且MN ∥BC ，若AB =12，AC =18，求△AMN 的周长．【作业9】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠ABC 的平分线交CD 于点E ，交AC 于点F ，问△CEF 是等腰三角形吗?请说明理由．ABCDE FABCOM NABCDEAB C D E【作业10】如图，在△ABC 中， AB =AC ，E 在BA 延长线上，AE =AF ，求证：EF ⊥BC ．【作业11】如图，已知：在△ABC 中，AB >AC ，BD 是∠ABC 的平分线且与∠ACB 的角平分线交于点D ，作ED ∥BC ，问线段EF 、BE 、CF 之间有怎样的数量关系?并说明理由．A BCDEF GA B CEF。

七年级数学等腰三角形2

B E
1 2 5
A
O
6 4 3
F C
∵OF=FC(已证) ∴ C△AEF=AE+AF+EB+FC ∵ AB=AE+BE ∵ AC=AF+FC ∴ C△AEF=AB+AC ∵AB=9,AC=8(已知) ∴C△AEF=9+8=17 答：△AEF的周长为17
2.直角△ABC中，∠C=90°
求：（1）请以AC所在的直线为对称轴，画一个与△ABC成轴对称的图形；
等腰三角形的两个底角相等（简称等边对等角）
∵AB=AC ∴∠B=∠C
A
等腰三角形性质二：
等腰三角形的互相重合,简称
B
1 2
C
(1)∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC,BD=DC (2)∵AB=AC，BD=DC ∴AD⊥BC, ∠1=∠2
D
(3)∵AB=AC，AD⊥BC ∴ ∠1=∠2, BD=DC
（2）所得图形与原图形所成的图形是等腰三角形吗？请说明理由
A
证：（2）∵AB与AB’重合
∴B点与B’点重合 ∴BC与CB’也重合
B C B'
∴∠B=∠B’,∠ACB=∠ACB’=90° ∴∠BCB’=180°
∴B、C、B’在一直线上
∴△ABB’为等腰三角形（等角对等边）
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB， DF⊥AC。那么请猜想DE=DF相等么？试说明理由。
A
证： ∵AB=AC（已知）又∵ AD⊥BC（已知） ∴AD为∠BAC的角平分线(三线合一）
E F
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
B D C
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

2022人教版数学《精品等腰三角形的性质2》配套教案(精选)

13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．教学重点1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学过程提出问题，创设情境在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？导入新课同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．提问：1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．随堂练习练习1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2．如右图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3．如右图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．D CAB答：∠B=77°，∠°．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．活动与探究如右图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如右图，在△ADP 和△A DC 中12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ．又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ． ∴AE=CE ．板书设计等腰三角形一、设计方案作出一个等腰三角形EDCABP二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一第2章图形的轴对称复习课学习目标：1、理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.2、掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3、理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4、理解等边三角形的性质并能够简单应用.5、能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用. 难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用复习过程：【课前准备】如何画一个图形关于某条直线对称的图形？【课内探究】知识点整理：1、如果一个图形沿着某条直线折叠．．后，直线两旁的部分能够互相重合．．，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴. 轴对称图形是—个具有特殊性质的图形.常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、正n 边形、圆形.2、把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.而两个图形中的各自的相对应点叫做关于这条直线的对称点. (1) 轴对称是指两个图形之间的位置关系；(2) 关于某条直线对称的两个图形是互相重合的；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线.1、什么叫轴对称图形？2、什么叫做两个图形关于某一条直线成轴对称？3、 “轴对称图形”与“两个图形关于某一条直线成轴对称”有什么区别？4、什么叫做线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有什么性质？如何用尺规作出线段的垂直平分线？5、角的平分线具有什么性质？如何做角平分线？6、等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？已知哪些条件，可以用尺规做出等腰三角形？7、如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形具有什么性质？E D BC A 牛刀小试：下面几种图形，一定是轴对称图形的是（）3、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.巩固训练：(1)已知△ABC 中，AB = AC ，其周长为18cm ，AB = 5cm ，则BC = . (2)已知等腰三角形的腰长为4cm ，底边长为6cm ，则它的周长为 . (3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则它的周长是 . (4)已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是 .4、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质： ① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；(三线合一) ③ 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 巩固训练：(1) 已知△ABC 中，AB = AC ，∠C = 50°，则∠B = .(2) △ABC 中，AB = AC ，若AD ⊥BC 于D ，则∠1 ∠2，BD CD. (3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为 . (4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是 . (5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是 . 思考：本章的作图有哪几种类型？（1）作线段的垂直平分线；（2）作角的平分线；（3）作等腰三角形；（4）作对称点. 【巩固提升】1、已知A （-1，1），在y 轴上找一点P,使△AOP 是等腰三角形.这样的P 点可能有几个？2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB(1)若∠CAD=20°，则∠B=____°(2)若AC=4,BC=5,则△ACD 的周长为______. (3) 若∠B=30°，则∠CAD=____°图中共有几组相等的线段？为什么？【课堂小结】通过今天的学习，你对本章又增加了哪些新的认识？【达标检测】1、下列图形中一定是轴对称的图形是（）. A 、梯形 B 、直角三角形 C 、角 D 、平行四边形2、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（）.A、65° 65°B、50°80°C、65°65°或50°80°D、50° 50°3、如果等腰三角形的两边长是6和3，那么它的周长是（）.A、9B、12C、12或 15D、154、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）.A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点C、三条高的交点D、三条边的垂直平分线的交点第1课时等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.、发展形象思维.【过程与方法】、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:△ABC是轴对称图形,则它一定是( )°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°°和20°°或50°2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠°第2组练习答案:3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。

七年级数学等腰三角形有关概念

通过等腰三角形的一个顶点和该顶点所对的底边中点，可以作一个等腰三角形的外接圆。
详细描述
首先，找到等腰三角形的一个顶点以及该顶点所对的底边中点的位置。然后，使用这两个点作为圆心，以它们的距离作为半径，画出一个圆，即为等腰三角形的外接圆。
如何作一个等腰三角形的内切圆
总结词
通过等腰三角形的一个顶点和该顶点所对的底边上的垂足，可以作一个等腰三角形的内切圆。
05 等腰三角形的作图
如何作一个等腰三角形
总结词
通过给定底边和底边上的高，可以作一个等腰三角形。
详细描述
首先，确定底边的两个端点和底边上的高的位置。然后，使用底边的两个端点和高的位置，通过“底不变，高不变”的原则，画出两条相等的腰，从而形成一个等腰三角形。
如何作一个等腰三角形的外接圆
总结词
02 等腰三角形的边与角
等腰三角形的边
等腰三角形的两腰相等
在等腰三角形中，有两边长度相等，这两边称为等腰三角形的腰。
等腰三角形的底边与两腰的关系
等腰三角形的底边与两腰之间存在特定的关系，如底边与两腰之间的夹角相等。
等腰三角形的角
等腰三角形的底角相等
在等腰三角形中，两个底角是相等的。
等腰三角形的顶角与底角的关系
概念
有一个角为$90^circ$的等腰三角形称为等腰直角三角形。
性质
等腰直角三角形的两腰相等，且斜边上的中线等于斜边的一半。此外，等腰直角三角形中的锐角都为$45^circ$ 。
等腰三角形的外角和性质
性质
等腰三角形的外角和等于$360^circ$。
应用
这一性质在解决与等腰三角形相关的几何问题时非常有用，可以帮助确定未知角的大小或证明某些几何关系。

数学初中探究一个三角形可以分割成两个等腰三角形的条件

《探究一个三角形可以分割成两个等腰三角形的条件》的教学设计∙教学设想学生在学习了等腰三角形后，经常会碰到将一个三角形分成几个等腰三角形的问题，这类题具有较强的灵活性和开放性，很多同学都只会盲目地尝试分割，经常在解题时碰到障碍，影响了解题的效率。

于是我设计了这节专题课，通过对这类问题的讨论，找到其中的规律，帮助学生走出“瓶颈”，达到“事半功倍”的效果。

∙ 学习目标及重难点 ∙ 学习目标∙ 经历可以分割成两个等腰三角形的三角形的条件的探索过程，培养探索精神和合情推理能力； ∙ 在活动中，体会知识的运用和数学思想方法；∙ 重点：可以分割成两个等腰三角形的三角形的条件的探索过程。

∙ 难点：将一个规律三角形分割成两个等腰三角形以及设计的拓展题。

∙ 学习内容：∙ 探究一个任意三角形可以分割成两个等腰三角形的条件； ∙ 将给定的三角形分割成两个等腰三角形；∙ 一个等腰三角形可以分割成两个等腰三角形时，求原等腰三角形的内角； ∙ 将一个顶角是72°的等腰三角形分割成三个等腰三角形； ∙ 将一个正三角形分割成四个等腰三角形。

三、教学过程教学环节设计意图∙ 直接给出宁波市中考题（1）如图1， ∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC 分割成两个等腰三角形（不写作法，但必须保留作图痕迹）.（2）已知内角度数的两个三角形如图2，图3所示，请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请分别写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.学生利用定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，就能很容易解决问题（1），对于问题（2）、（3），学生如果盲目地去任意画分割线，显然要耗费一定的时间，也是很困难地完成，所以在设计时，由这两个问题引入到本节课的探究活动，激起学生强烈的求知欲。

∙∙ 如图，△ADC 是等腰三角形，延长AD 到点B ，使△BCD 也是等腰三角形，有几种情况？此环节主要解决怎么画图的问题，以老师引导为主，师生共同探讨，一可以减少时间，二可以降低难度。