高中数学 2.1正余弦定理的应用导学案 北师大版必修5
北师大版高中数学必修5《二章解三角形1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理》赛课导学案_14
《正弦定理》教学设计一、教学内容解析：正弦定理是解决三角形的重要定理之一，也是必修五的重要章节，在历届高考中都是重要考点，无论选填还是大题都会考到，因此在必修五中的位置是不言而喻的。
教材先讲解该定理在直角三角形中的形式，在此基础上，将此结论推广至其他三角形，通过学习这部分知识，一方面可以加深学生对向量知识的理解，另一方面可以让学生体会到三角形和三角函数之间的内在关系。
二、教学目标设置：1.知识与能力：通过教学，使学生熟悉定理的内容，通过对任意三角形边长和对角正弦关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.过程和方法：通过教学，使学生体会正弦定理在解决三角形中的重要作用让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的关系，引导学生通过观察，推导，比较，归纳出正弦定理，并进行定理的基本应用。
3.态度、情感、价值观：通过教学，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识之间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：利用向量法证明正弦定理课型：新授课教学方法：讲授法启发讨论三、学生学情分析：经过高一的学习，学生虽然有了一定的数学基础但并不是很扎实；虽然对高中数学的学习有了自己的学习方法但还需要不断的调整；学生虽然聪明但欠缺踏实；虽然对新知识充满好奇但欠缺探索精神。
四、教学策略分析：针对学生的学情，为了使学生理解所学的知识，最大限度的了解知识的来龙去脉，最大限度的提升学生探求知识的能力，本节课我打算以“七个问题”作为主线，层层递进，引导学生进行讨论，同时进行分组指导，让学生在轻松的氛围中学习知识，理解知识，同时在总结中让学生对知识的理解得到升华。
五、教学过程⑴提出问题：1.在直角三角形中，三边和其对角的正弦的比值有什么关系？2.在等边三角形中(1)中的结论是否也成立？3.在其他的三角形中上述结论是否也成立？这种必然现象如何解释？4.上述结论如何用面积法，向量法进行证明？5.正弦定理如何叙述？6.正弦定理的变形公式有那些？7.正弦定理的基本应用是什么？⑵典例解析例1在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，bc.析：指导学生讨论完成变式训练：已知△ABC 中，a ＝20，A ＝30°，C ＝45°，求B ，b ，c. 方法总结：本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．例2已知△ABC 中，6c，C=3, a ＝2,求A,B,b 析：指导学生讨论完成变式训练在△ABC中，b=3,B=60°c=1求C,A,a方法总结：已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．⑶课堂小结：本节课我们主要学习了正弦定理的内容及其证明，在此基础上学会了如何运用该定理解决三角形中已知两角和一边及已知两边和其中一边的对角两类问题，希望大家在理解定理的同时，加强对定理的应用。
数学必修5导学案：2-1 第2课时 余弦定理
第2课时余弦定理知能目标解读1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.2.了解余弦定理的几种变形公式及形式.3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理.学习方法指导一、余弦定理1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bc cos A,b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具.注意：（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.cos A=bc ac b22 22-+，cos B=ac bc a22 22-+，cos C=ab cb a22 22-+.由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.二、余弦定理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明.证明：方法1：（解析法）如图所示，以A为原点，△ABC的边AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.则A（0,0）,C(b cos A,b sin A),B(c,0),由两点间的距离公式得BC2=（b cos A-c）2+(b sin A-0) 2,即a2=b2+c2-2bc cos A.同理可证b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.方法2：（几何法）如图.当△ABC为锐角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则CD=b sin A,AD=b cos A,BD=AB-AD=c-b cos A.在Rt△BCD中，B C2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-b cos A) 2.所以a2=b2+c2-2bc cos A.同理可证b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.如图，当△ABC为钝角三角形时，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D，则AD=bc os A,CD=b sin A.BD=AD-AB=b cos A-c.在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（b cos A-c）2.所以a2=b2+c2-2bc cos A.同理可证：b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.三、余弦定理的应用余弦定理主要适用以下两种题型:（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.注意：在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.知能自主梳理1.余弦定理（1）语言叙述：三角形任何一边的平方等于减去的积的.（2）公式表达:a 2= ; b 2= ; c 2= . (3)变形:cos A = ; cos B = ; cos C = . 2.余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其 解三角形，另一类是已知 解三角形.［答案］ 1.(1)其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 (2) b 2+c 2-2bc cos A a 2+c 2-2ac cos B a 2+b 2-2ab cos C (3)bcac b 2222-+acbc a 2222-+abcb a 2222-+2.夹角 三边思路方法技巧命题方向 已知三边解三角形［例1］ 在△ABC 中，已知a =7,b =3,c =5，求最大角和sin C . ［分析］ 在三角形中，大边对大角，所以a 边所对角最大. ［解析］ ∵a ＞c ＞b,∴A 为最大角,由余弦定理得， cos A =bcac b 2222-+=532753222⨯⨯-+＝21，又∵0°＜A ＜180°, ∴A =120°， ∴sin A =sin120°=23.由正弦定理Aa sin ＝Cc sin 得，sin C =aA c sin =7235⨯=1435.∴最大角A 为120°，sin C =1435.［说明］ （1）求sin C 也可用下面方法求解： cos C =abcb a 2222-+=372537222⨯⨯-+=1411，∴C 为锐角.sin C =C 2cos 1-=214111）（-＝1435.(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.在△ABC 中，已知(b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6，求△ABC 的最大内角. ［解析］ 设b+c =4k,c+a =5k,a+b =6k (k ＞0). 则a+b+c =7.5k ,解得a =3.5k,b =2.5k,c =1.5k . ∴a 是最大边，即角A 是△ABC 的最大角. 由余弦定理，得cos A =bcac b 2222-+=-21,∵0°＜A ＜180°,∴A =120°，即最大角为120°. 命题方向 已知两边及一角解三角形［例2］ △ABC 中，已知b =3,c =33,∠B =30°,解三角形. ［分析］ 由题目可知以下信息： ①已知两边和其中一边的对角. ②求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a 的方程，求出边a,再由正弦定理求角A ，角C.［解析］ 解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得32=a 2+(33)2-2a ×33×cos30°,∴a 2-9a +18=0,得a =3或6. 当a =3时，∠A =30°,∠C =120°.当a =6时，由正弦定理sin A =bB a sin =3216⨯=1.∴∠A =90°,∴∠C =60°.解法二：由b<c ,∠B =30°,b >c sin30°=33×21=233知本题有两解.由正弦定理sin C =bB c sin =32133⨯=23,∴∠C =60°或120°， 当∠C =60°时，∠A =90°,由勾股定理a =22c b +=22)33(3+=6. 当∠C =120°时，∠A =30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a =3.［说明］ 知两边和一角解三角形时有两种方法：（1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长. (2)直接用正弦定理，先求角再求边.用方法（2）时要注意解的情况，用方法（1）就避免了取舍解的麻烦.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且cos A =41,若a =4,b+c =6,且b<c ,求b 、c 的值.［解析］ 余弦定理得 cosA=bc ac b 2222-+=41，∴bcabc c ）（b 2222--+=41,又b+c =6,a =4, ∴bc =8, b =2 c =4b =4c =2又b <c,∴b =2,c =4. 命题方向 判断三角形的形状［例3］ △ABC 中，已知(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ，确定△ABC 的形状. ［分析］ 由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，因此在判断三角形的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边.［解析］ 解法一：利用角的关系来判断. ∵A+B+C =180°,∴sin C =sin(A+B ). 又∵2cos A sin B =sin C ,∴2cos A sin B =sin A cos B +cos A sin B , ∴sin(A-B )=0.∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A=B . 又∵(a+b+c )(a+b-c )=3ab , ∴(a+b ) 2-c 2=3ab,a 2+b 2-c 2+2ab =3ab ,根据余弦定理，上式可化为2ab cos C +2ab =3ab , 解得cos C =21,∴C =60°.故△ABC 为等边三角形. 解法二：利用边的关系来确定. 由正弦定理，得BC sin sin =bc .由2cos A ·sin B =sin C ,得 cos A =BC sin 2sin =bc 2.又∵cos A =bcac b 2222-+,∴bc 2=bcac b 2222-+,即c 2=b 2+c 2-a 2,∴a=b . 又∵(a+b+c )(a+b-c )=3ab , ∴(a+b ) 2-c 2=3ab ,∴4b 2-c 2=3b 2, ∴b=c,∴a=b=c .因此△ABC 为等边三角形.［说明］ 判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形的形状；其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状.在实际应用中应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法. 变式应用3△ABC 中，AB ＝5,BC =6,AC =8,则△ABC 的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形 ［答案］ C［解析］ 利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0还是小于0，即可对其形状作出判断. 因为cos B =652865222⨯⨯++=-201<0,所以B 为钝角，即△ABC 是钝角三角形.探索延拓创新命题方向 利用余弦定理确定范围问题［例4］ 设2a +1,a ,2a -1为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围.［分析］ 一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件.若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强.若△ABC 为锐角三角形，则有a 2＜b 2+c 2,b 2＜a 2+c 2,c 2＜a 2+b 2;若△ABC 为钝角三角形，最大边为a ,则一定有a 2＞b 2+c 2,这些都是可以从余弦定理中直接推导的.［解析］ 2a +1,a ,2a -1是三角形的三边,2a +1＞0∴ a ＞02a -1＞0， 解得a ＞21,此时2a +1最大.∴要使2a +1,a ,2a -1表示三角形的三边，还需a +(2a -1)＞2a +1,解得a ＞2. 设最长边2a +1所对的角为θ,则cos θ=()()()1221212222-+--+a a a a a =()()1228--a a a a ＜0,解得21＜a ＜8,∴a 的取值范围是2＜a ＜8.［说明］ 本题易忽视构成三角形的条件a ＞2,而直接应用余弦定理求解，从而使a 的范围扩大. 变式应用4.已知锐角三角形三边长分别为2，3，x ，求x 的取值范围. ［解析］ 由三角形三边的关系有3-2＜x ＜3+2，即1＜x ＜5.又∵三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和.x 2＜22+32 即32＜x 2+22x 2＜13x 2＞55＜x 2＜13即 x ＞0解得5＜x ＜13， ∴x 的取值范围为（5，13）.名师辨误做答［例5］ 在△ABC 中，∠C =2∠A,a+c =10,cos A =43,求b .［误解］ 由正弦定理，得ac =AC sin sin又∵∠C =2∠A , ∴ac =AA sin 2sin =2cos A =2×43＝23，又a+c =10, ∴a =4,c =6.由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A , ∴b 2-9b +20=0, ∴b =4或b =5.［辨析］ 运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断. ［正解］ 由正弦定理，得ac =AC sin sin ,又∵∠C =2∠A , ∴ac =AA sin 2sin =2cos A =2×43＝23，又a+c =10,∴a =4,c =6.由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A , ∴b 2-9b +20=0, ∴b =4或b =5.当b =4时，∵a =4,∴∠A =∠B , 又∠C =2∠A ,且∠A +∠B +∠C =π, ∴∠A =4π,这与已知cos A =43矛盾，不合题意，舍去.当b =5时，满足题意，∴b =5.课堂巩固训练一、选择题1.在△ABC 中，若a<b<c ,且c 2<a 2+b 2,则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 ［答案］ B［解析］ ∵a<b<c ,且c 2<a 2+b 2,∴∠C 为锐角.又∵∠C 为最大角.故选B.2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2=ac ，且c =2a ,则cos B =（ ） A.41 B.43C.42D.32［答案］ B［解析］ 由b 2=ac ，又c =2a ，由余弦定理，得cos B =acbc a 2222-+=aa aa a a 2·22422⨯-+ =43.3.（2011·四川理，6）在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ,则A 的取值范围是 ( ) A.(0,6π］ B.［6π,π)C.(0,3π］ D.［3π,π)［答案］ C［解析］ 本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C , ∴由正弦定理得：a 2≤b 2+c 2-bc ，即b 2+c 2-a 2≥bc ，由余弦定理得：cos A =bcac b 2222-+≥bcbc 2=21，∴0<A≤3π，故选C.二、填空题4.已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2+3x -2=0的根，则第三边的长是 . ［答案］21［解析］ 解2x 2+3x -2=0，得x 1=21或x 2=-2（舍去）.∴夹角的余弦值为21，根据余弦定理得第三边长为21·5·4·25422-+=21. 5.在△ABC 中，a=b +2,b=c +2,又最大角的正弦等于23，则三边长为 .［答案］ 3，5，7［解析］ ∵a-b =2,b-c =2，∴a>b>c , ∴最大角为A .sin A =23，若A 为锐角，则A =60°， 又C<B<A ,∴A+B+C <180°，这显然不可能，∴A为钝角. ∴cos A =-21,设c=x ,则b=x +2,a=x +4. ∴()()()2242222++-++x x x x x =-21，∴x =3，故三边长为3，5，7. 三、解答题6.在△ABC 中，已知b 2-bc -2c 2=0,且a =6,cos A =87,求△ABC 的面积.［解析］ ∵b 2-bc -2c 2=0,∴(cb )2-cb -2=0,解得cb =2,即b =2c .由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即b 2+c 2-47bc =6,与b =2c联立解得b =4,c =2.∵cos A =87,∴sin A =A 2cos1-=815,∴S △ABC =21bc sin A =215.课后强化作业一、选择题1.在△ABC 中，b =5,c =53,A =30°,则a 等于（ ）A.5B.4C.3D.10 ［答案］ A［解析］ 由余弦定理，得2bc cos A =b 2+c 2-a 2,∴2×5×53×cos30°＝52＋（53）2-a 2,∴a 2=25,∴a =5.2.在△ABC 中，已知a 2=b 2+c 2+bc ,则角A 为（ ） A.3πB.6πC.32π D.3π或32π［答案］ C［解析］ ∵a 2=b 2+c 2+bc , ∴cos A =bcac b 2222-+==bcbccb c b 22222---+,又∵0<A <π,∴A=32π.3.在△ABC 中，若a=3+1,b =3-1,c =10,则△ABC 的最大角的度数为（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° ［答案］ C［解析］ 显然10＞3+1＞3-1,∴cos C =()()()()()13·132101313222-+--++=-42-＝－21,∴C =120°.4.△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a ，b ，c ,设向量p =(a+c,b ), q =(b-a,c-a ).若p ∥q ,则∠C 的大小为 ( ) A.6πB.3πC.2πD.32π［答案］ B［解析］ ∵p =(a+c,b ), q =(b-a,c-a )且p ∥q ， ∴(a+c )(c-a )-b (b-a )=0， 即a 2+b 2-c 2=ab , ∴cos C =abcb a 2222-+=abab 2=21.∴C=3π.5.在△ABC 中，已知2a 2=c 2+(2b+c ) 2,则∠A 的值为（ ）A.30°B.45°C.120°D.135° ［答案］ D［解析］ 由已知得2a 2=c 2+2b 2+c 2+22bc ,∴a 2=b 2+c 2+2bc ,∴b 2+c 2-a 2＝-2bc , 又b 2+c 2-a 2=2bc cos A , ∴2bc cos A =-2bc , ∴cos A =-22,∴A =135°.6.（2011·重庆理，6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a+b ) 2-c 2=4，且C =60°，则ab 的值为 ( ) A.34 B. 8-43 C.1 D.32［答案］ A［解析］ 本题主要考查余弦定理的应用. 在△ABC 中，C =60°,∴a 2+b 2-c 2=2ab cos C =ab , ∴(a+b ) 2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab =3ab =4,∴ab =34,选A.7.在△ABC 中，三边长AB =7,BC =5,AC =6,则AB ·BC 等于 ( ) A.19 B.-14 C.-18 D.-19 ［答案］ D［解析］ 在△ABC 中AB =7,BC =5,AC =6, 则cos B =752362549⨯⨯-+=3519.又AB ·BC =｜AB ｜·｜BC ｜cos(π-B ) =-｜AB ｜·｜BC ｜cos B ＝－7×5×3519=-19.8.在△ABC 中，若△ABC 的面积S =41 (a 2+b 2-c 2)，则∠C 为（ ） A.4πB.6πC. 3πD.2π［答案］ A ［解析］ 由S =41 (a 2+b 2-c 2),得21ab sin C =41×2ab cos C ,∴tan C =1,∴C =4π.二、填空题 9.在△ABC 中，b =34,c =22,A =45°,那么a 的长为 .［答案］ 3102［解析］ 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc os A =916+8-2×34×22×22=916+8-316=9487216++=940,所以a =3102.10.在△ABC 中，AB =3,BC =13,AC =4,则边AC 上的高为 . ［答案］233［解析］ 如图，cos A =()4321343222⨯⨯-+＝21，∴sin A =23.∴.BD =AB ·sin A =233.11.在△ABC 中，已知BC =8,AC =5,三角形面积为12，则cos2C = . ［答案］257［解析］ 由题意得S △ABC =21AC ·BC sin C =12,即21×5×8×sin C =12,则sin C =53.∴cos2C =1-2sin 2C =1-2×（53）2=257.12.在△ABC 中，B =60°,b 2=ac ,则三角形的形状为 . ［答案］ 等边三角形［解析］ 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-ac , ∵b 2=ac ,∴a 2+c 2-2ac =0,∴(a-c ) 2=0, ∴a=c .又∵B =60°,∴A=C =60°. 故△ABC 为等边三角形. 三、解答题13.在△ABC 中，A+C =2B ,a+c =8,ac =15,求b .［解析］ 解法一：在△ABC 中，由A+C =2B ，A+B+C =180°，知B =60°.由a+c =8,ac =15,则a 、c 是方程x 2-8x +15=0的两根. 解得a =5,c =3或a =3,c =5.由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+25-2×3×5×21＝19.∴b =19.解法二：在△ABC 中，∵A+C =2B ,A+B+C =180°， ∴B =60°.由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c ) 2-2ac -2ac cos B =82-2×15-2×15×21＝19.∴b ＝19.14.(2011·大纲文，18)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A+c sin C -2a sin C =b sin B .(1)求B ；（2）若A =75°,b =2,求a,c .［分析］ 利用三角形正弦定理，将已知条件a sin A +c sin C -2a sin C =b sin B 中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B 角，然后再利用正弦定理求得a ，c 的值. ［解析］ （1）∵a sin A +c sin C -2a sin C =b sin B ∴a 2+c 2-2ac =b 2∴a 2+c 2-b 2=2ac ∴cos B =acbc a 2222-+=acac 22=22∴B =45° (2)由(1)得B =45°∴C =180°-A-B =180°-75°-45°=60° 由正弦定理Aa sin =Bb sin =Cc sin ∴a =BA b sin sin =︒︒⨯45sin sin752=224262+⨯=13+c =62223245sin 60sin 2sin sin =⨯=︒︒⨯=BC b .［点评］ 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.15.在△ABC 中，A =120°,b =3,c =5. (1)求sin B sin C ; (2)求sin B +sin C .［分析］ 已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a ,再由正弦定理求出sin B ,sin C . ［解析］ （1）∵b =3,c =5,A =120°, ∴由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =9+25-2×3×5×（-21）=49.∴取正值a =7.由正弦定理，得sin B =aA b sin =14337233=⨯,sin C =.435sin =aA c∴sin B ·sin C =19645.(2)由（1）可得sin B +sin C =734.16.已知三角形的一个角为60°,面积为103cm 2，周长为20 cm ，求此三角形各边长. ［解析］ 设三角形的三条边长分别为a,b,c,B =60°,则依题意，得 a+b+c=20 cos60°=acbc a 2222-+21ac sin60°=103,a+b+c=20,① ∴ b 2=a 2+c 2-ac ，②ac=40.③由①式，得b 2=［20-(a+c )］2=400+a 2+c 2+2ac -40(a+c ).④ 将②代入④，得400+3ac -40(a+c )=0, 再将③代入④，得a+c =13.a+c=13 a=5 a=8,得 ,或ac=40 c=8 c=5. ∴b =7.∴该三角形的三边长为5 cm,7 cm,8 cm.。
北师大版必修5高中数学2.1正弦定理(1)导学案
根据下列情况判断三角形解的个数
（1）a=7 b=14 A=30。.;(2) a=30 b=25 B=150。
（3 a=72 b=50 A=135。（4）a= 30 b=40 A=26。
（三）当堂检测
[A]1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）
高中数学2.1正弦定理(1)导学案
北师大版必修5
【学习目标】
1.熟记并写出正弦定理的内容
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
【学习重点】
正弦定理的证明及其基本应用
【学法指导】
通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律
【使用说明】
[B]2.（1）正弦定理的内容是什么？写出来。
（2）正弦定理使用于任意三角形吗？R的几何意义是什么？
（3）你能进行证明吗？试试看！！
（课本4 5页用向量进行了证明，试着用其他方法证明）
（二）学习探究
探 究一
[A]在△ABC中，(1)若A＝45°，B＝30°，a＝2，求b，c与C；
（2若A＝30°，C＝105°，b＝8，求a. c与B
A.2 B.3 C.2 D.3
[A]2.已知△ABC中，a=1,b= ,∠ A=3 0°,则∠B=（ ）
A. B. C. 或 πD. π或
[B]3.在△ABC中，若b=1,c= ,∠C= ,则a=.
[A]4在△ABC中，B＝45°，C＝6 0°，c＝1，则最短边的边长等于_______ _．
个性笔记
1.阅读课本45-47页内容，规范完成导学案内容，用红笔,C三个层 次，其中A,B层次必 须每一位同学都完成，C层次供学有余力的同学完成。
(同步辅导)高中数学《余弦定理》导学案 北师大版必修5
第2课时余弦定理1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.2.掌握余弦定理及其推论.3.能够利用余弦定理及其推论解三角形.如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,其中AB=km,AC=1 km,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC=150°,你能通过计算求出山脚的长度BC吗?问题1:上述问题中,山脚BC长度的求解用的是余弦定理,余弦定理的内容是什么?余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,这个定理是余弦定理,可以用式子表示为a2= 、b2= 、c2= .问题2:余弦定理的推论:cos A=;cos B= ;cos C= .问题3:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具:(1)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用的观点,可以知三求一.(2)利用余弦定理可以完成三种情形的斜三角形,分别是:①已知,解三角形;②已知,解三角形;③已知,解三角形.问题4:△ABC的三边为a,b,c,对角分别为A,B,C,则:(1)若,则角C是直角;(2)若,则角C是钝角;(3)若,则角C是锐角.1.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,则△ABC的最大角为().A.100°B.135°C.120°D.150°2.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若c=,b=2a,C=,则边a等于().A.B.1 C.D.23.(1)以7,24,25为各边长的三角形是三角形;(2)以2,3,4为各边长的三角形是三角形;(3)以4,5,6为各边长的三角形是三角形.4.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,求角A.已知三角形的三边解三角形在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC各角的度数.已知两边及其中一边的对角解三角形在△ABC中,a=3,b=3,B=30°,解这个三角形.利用余弦定理判定三角形形状已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A),且m·n=.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶.则该三角形的最大内角为.在△ABC中,a=,b=1,B=30°,解这个三角形.在钝角△ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是.1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则cos C等于().A.-B.-C.D.2.在△ABC中,已知a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于().A.60°B.45°或135°C.120°D.30°3.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2+ac,则cos B= .4.已知在△ABC中,a=8,b=7,B=60°,求c.(2013年·新课标全国卷)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于().A.10B.9C.8D.5考题变式(我来改编):第2课时余弦定理知识体系梳理问题1:b2+c2-2bc cos A c2+a2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C问题2:问题3:(1)方程(2)三边两边及其夹角两边及其一边的对角问题4:(1)a2+b2=c2(2)a2+b2<c2(3)a2+b2>c2基础学习交流1.C设三边分别为3k,5k,7k,则角C为最大角,根据余弦定理:cos C===-,∴C=120°.2.B cos C===,解得a=1.3.(1)直角(2)钝角(3)锐角(1)72+242=252,∴三角形为直角三角形;(2)22+32-42<0,∴三角形为钝角三角形;(3)42+52-62>0,∴三角形为锐角三角形.4.解:由已知得b2+c2-a2=-bc,∴cos A==-,又∵0<A<π,∴A=.重点难点探究探究一:【解析】∵a∶b∶c=2∶∶(+1),∴令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),由余弦定理有:cos A===,∴A=45°,cos B===,∴B=60°,∴C=180°-45°-60°=75°.【小结】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.探究二:【解析】根据余弦定理得:b2=c2+a2-2ca cos B,即c2-9c+18=0,解得:c=3或c=6.当c=3时,cos A==-,∴A=120°,故C=180°-120°-30°=30°;当c=6时,cos A==,∴A=60°,故C=180°-60°-30°=90°.综上可知:A=60°,C=90°,c=6或A=120°,C=30°,c=3.【小结】已知三角形的两边与一角求第三边,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边).探究三:【解析】(1)∵m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A),∴m·n=4cos2-cos 2A=4·-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3.又∵m·n=,∴-2cos2A+2cos A+3=,解得cos A=.∵0<A<π,∴A=.(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bc cos A,且a=,∴()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc.①又∵b+c=2,与①共同解得bc=3,∴∴b=c=,于是a=b=c=,即△ABC为等边三角形.【小结】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.思维拓展应用应用一:在△ABC中,根据正弦定理及已知得a∶b∶c=2∶3∶.设a=2x(x>0),则b=3x,c=x.显然c>b>a,∴C是最大角.∴cos C===-,∴C=.应用二:(法一)根据余弦定理得:b2=c2+a2-2ca cos B,即c2-3c+2=0,解得:c=1或2.当c=1时,C=B=30°,∴A=120°;当c=2时,△ABC为直角三角形,C=90°,∴A=60°.(法二)可由正弦定理=得sin A==,∴A=60°或120°.当A=60°时,C=90°,∴c=2;当A=120°时,C=30°,∴c=1.应用三:(,3)根据余弦定理得:cos C==,∵C为最大角,∴C为钝角,即cos C=∈(-1,0),解得:<c<3.基础智能检测1.B由正弦定理得a∶b∶c=3∶2∶4,cos C==-.2.B∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),∴a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2=0,即(a2+b2-c2)2=2a2b2,∴=±,即cos C=±,故C=45°或135°.3.cos B===.4.解:∵b2=c2+a2-2ac cos B,∴72=c2+82-2×8c cos 60°,∴c2-8c+15=0,故c=3或c=5.全新视角拓展D根据题目条件23cos2A+cos 2A=0,得23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=.又因为三角形为锐角三角形,所以cos A=,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bc cos A,即72=36+b2-b,化简得5b2-12b-65=0,解得b=5,所以答案为D.。
高中数学 213正弦定理、余弦定理的应用教案 北师大版必修5 教案
正弦定理、余弦定理的应用教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等； 2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 二、讲解X 例：例1在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-=]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边 例2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒22645sin 75sin 2sin sin +=== B C b c 当A=120︒时C=15︒22645sin 15sin 2sin sin -=== B C b c 解二：设c =x 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x解之：226±=x 当226+=c 时 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒，C=75︒当226-=c 时同理可求得：A=120︒，C=15︒ 例3 在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积解：（1）cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21∴C=120︒ （2）由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC 120cos 222ab b a -+= ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=10（3）S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab 例4 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒求BC的长解：在△ABD 中，设BD=x 则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x整理得：096102=--x x 解之：161=x 62-=x （舍去）由余弦定理： BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅= BC 例5 △ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 ;2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *∈N k 且1>k∵C 为钝角 ∴0)1(242cos 222<--=-+=k k ac c b a C 解得41<<k ∵*∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去当3=k 时 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a 2︒设夹C 角的两边为y x ,4=+y x S )4(415415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅-== 当2=x 时S 最大=15例6 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为B C 中点，且AD ＝4，求B C 边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D 为BC 中点，所以BD 、DC 可表示为2x ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x ， 在△ADB 中，cos ADB ＝,2425)2(42222222x x BD AD AB BD AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+在△ADC 中，cos ADC ＝.2423)2(42222222x x DC AD AC DC AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+ 又∠ADB ＋∠ADC ＝180°∴cos ADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cos ADC∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+ 解得，ｘ＝2, 所以，BC 边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sin A ，思路如下：由三角形内角平分线性质可得35==DC BD AC AB ，设BD ＝5ｋ，DC ＝3ｋ，则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cos A ，再由同角平方关系求出sin A三、课堂练习：1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积解：设△ABC 三边为a ，b ，c 则Ｓ△ABC ＝B ac sin 21 ∴bB abc B ac abc S ABC 2sin 2sin ==∆ 又R Bb 2sin =，其中R 为三角形外接圆半径 ∴Rabc S ABC 41=∆, ∴abc ＝4RS △ABC ＝4×1×0．25＝1 所以三角形三边长的乘积为1评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC ＝B ac sin 21发生联系，对abc 进行整体求解 2在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB解：在△ADC 中，cos C ＝,14113725372222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+DC AC AD DC AC 又0＜C ＜180°，∴sin C ＝1435 在△ABC 中，CAB B AC sin sin =∴AB ＝.265721435sin sin =⋅⋅=AC B C 评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用3在△ABC 中，已知cos A ＝53，sin B ＝135，求cos C 的值 解：∵cos A ＝53＜22＝cos45°，0＜A ＜π∴45°＜A ＜90°, ∴sin A ＝54 ∵sin B ＝135＜21＝sin30°，0＜B ＜π∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180° 若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符 ∴0°＜B ＜30°cos B ＝1312 ∴cos （A ＋B ）＝cos A ·cos B －sin A ·sin B ＝651613554131253=⋅-⋅ 又C ＝180°－（A ＋B ）∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－6516 评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的X 围，以便对正负进行取舍，在确定角的X 围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力五、课后作业： 课后记： 1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例:［例1］在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数 解：由定理得sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，∴－2sin A sin C cos B ＝3sin A sin C ∵sin A sin C ≠0 ∴cos Β＝－23∴B ＝150° ［例2］求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值解：原式＝sin 210°＋sin 250°＋sin10°sin50°在sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，令B ＝10°，C ＝50°，则A ＝120°sin 2120°＝sin 210°＋sin 250°－2sin10°sin50°cos120°＝sin 210°＋sin 250°＋sin10°sin50°＝（23）2＝43 ［例3］在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状解：在原等式两边同乘以sin A 得：2cos B sin A sin C ＝sin 2A ，由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2Β＝sin 2A ， ∴sin 2C ＝sin 2B ∴B ＝C 故△ABC 是等腰三角形2一题多证:［例4］在△ABC 中已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形证法一：欲证△ABC 为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a ＝B A b sin sin ∴2b cosC ＝BA b sin sin ，即2cos C ·sinB ＝sin A ＝sin （B ＋C ）＝sin B cos C ＋cos B sin C ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0 即sin （B －C ）＝0，∴B －C ＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B 、C 是三角形的内角，∴B ＝C ，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有a ＝b cos C ＋c c os B ，又∵a ＝2b cos C ∴2b cos C ＝b cos C ＋c cos B ∴b cos C ＝c cos B ，即.cos cos CB c b又∵.sin sin C B c b =∴,cos cos sin sin CB C B =即tan B ＝tan C ∵B 、C 在△ABC 中，∴B ＝C∴△ABC 为等腰三角形 证法三：∵cos C ＝,2cos 2222b a C ba c b a =-+及∴,22222ba abc b a =-+ 化简后得b 2＝c2∴b ＝c ∴△ABC 是等腰三角形。
高中数学 2.1正余弦定理的应用教案(2) 北师大版必修5
正弦定理、余弦定理的应用（二）
教学目标：进一步巩固正弦定理余弦定理的应用，并渗透数学文化教育，培养学生基本数学
素质。
教学重点：正弦定理与余弦定理的综合应用
教学难点：
教学过程：
一．复习回顾：
1．正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22-+= ,cos 22
22B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 2
22-+= C ab b a c cos 22
22-+=，⇔ab c b a C 2cos 2
22-+= 二．数学应用
例1在任一△ABC 中求证：
0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a
例2 在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45 求A C 、及c
例3 在△ABC 2sin b A =，求B ∠
例4在锐角△ABC 中，边长1,2,a b ==求边长c 的取值范围。
例5在△ABC 中，若面积222
S =，求C ∠
例6在△ABC 中，BC=a, AC=b, a, b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且 2cos(A+B)=1
求（1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积
三．小结
通过本节学习，要求大家在了解正弦余弦定理知识有关数学史，提高爱国热情与数学兴趣。
四．教后感。
高中数学北师大版必修5 2.1 教学设计 《余弦定理》(数学北师大版必修5)
《余弦定理》【知识与能力目标】掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
【过程与方法目标】利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【教学难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
[创设情景]如图1．1-4，在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和∠C，求边c(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图，设CB a=，CA b=，AB c=，那么c a b=-，则()()22222c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅从而2222cosc a b ab C=+-同理可证2222cosa b c bc A=+-2222cosb ac ac B=+-余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即2222cosc a b ab C=+-2222cosa b c bc A=+-2222cosb ac ac B=+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由。
北师大版高中数学必修五余弦定理教案,(1)
【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a ,=−→−AC b ，且|a |2=,|b |3=,a •b 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。
高中数学必修五第一章正余弦定理实际应用导学案
白城实验高中 高一数学 必修5 编号： 5 编制人：张晶 审批人： 冯淑君 包科领导： 张晶 2012年 月 日 班级 小组 学生姓名 评价 第一章 正、余弦定理§1.2.2应用举例——高度问题 1 §1.2.2应用举例——高度问题 2§1.2.2解三角形应用举例——高度问题【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题。
【重点难点】重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。
难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。
【想一想】现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题。
【典型例题】例1：在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．变式：你能从例2获得启示，解决下面的问题吗？AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.例3：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α＝45°，在塔底C 处测得A 处的俯角β＝30°。
已知铁塔BC 部分的高为28m ，求出山高CD(精确到1m)白城实验高中 高一数学 必修5 导学案 第一章 正、余弦定理§1.2.2应用举例——高度问题 3 §1.2.2应用举例——高度问题 4及时练兵1. 某人在山顶观察地面上相距2 500 m 的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西55°， 俯角为30°，同时测得B 在南偏东65°，俯角是45°，求山高(设A 、B 与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．2.一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.3.一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile ）?4. 据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是多少？。
高中数学 2.1余弦定理导学案 北师大版必修5
[B]4已知△ABC的三边长分别 为a,b,c,且面积S△ABC= （b2+c2-a2），则A等于（）
A.45°B.30°C.120°D.15°
[B]5．在 △ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）
陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学2.1余弦定理导学案北师大版必修5
【学习目标】
1.熟记并写出余弦定理的内容
2.会运用余弦定理解斜三角形的两类基本问题
【学习重点】
余弦 定理的证明及其基本应用
【学法指导】
利用向量的数量积推出余弦定理，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【使用说明】
(提示：通过三角形面积公式求c，再用余弦定理求a.)
(2)在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶，求△ABC中最大角的度数．(提示：首先判断哪个角最大，再用余弦定理求解，)
（二）当堂检测
[A]1.△ABC中，已知b=3,c=3 ,∠B=30°则a=( )
A.3或6 B.3 C.6 D.4
[A] 2.在△ABC中，若b=1,c= ,∠C= ,则a=.
[B]你能进行证明吗？试试看！！
（参照课本49页进行证明）
3.余弦定理的变形有哪些？写出来
（一）学习探究
探究一
在△ABC中 ，(1)若a＝1，b＝1 ，C＝120°求c；
(2)若a=1,b= ,c= ,求B：
探究二
[B](1)在△ABC中，已知 角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2，S△ABC＝2，求a.
A.等腰直角三角形B.等腰三角形
高中数学(北师大版)必修五教案：2.1 知识归纳：正余弦定理在解决三角形问题中的应用
- 1 - / 2正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识点归纳：1．正弦定理： 形式一：R 2Csin c B sin b A sin a ===； 形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R 2c C sin ＝；（角到边的转换） 形式三：A sin R 2a ⋅=，B sin R 2b ⋅=，C sin R 2c ⋅=；（边到角的转换） 形式四：B sin ac 21A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积） 解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
若给出A ,b a ，那么解的个数为：无解（A sin b a <）；一解（A sin b a A sin b a ≥=或者）；两解（b a A sin b <<）；2．余弦定理：形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3、角平分线定理：DCAD BC AB = ；其中BD 为角B 的角平分线。
规律方法总结：1、要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解。
2、两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。
3、记住一些结论：1,,,sin 2A B C A B C S ab C π++==均为正角；等。
4、余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ⋅=。
北师大版必修5高中数学2.1正余弦定理的应用导学案(二)
(本节课有哪些收获？请写 下来，并与组内同学分享)
A．一定是锐角三角形
B．一 定是直角三角形
C．一定是钝角三角 形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
[ B ]4．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么a2－ac＋c2－b2的值()
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
个性笔记
哪能通过探究一总结出已知三角形三边判断三角形形状的方法吗？
（提示：b2+c2=(b+c)2-2bc.本题是对正，余弦定理及三角形面积公式的总和应用）
（二）当堂检测
[ A ]1．△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()
A. B．2
C.D.
[ B ]2．若△ABC的三 个内角满足sinA∶ sinB∶sinC＝5∶11∶13， 则△
北师大版必修5
【学习目标】
1.能利用正,余弦定理解三角形
2.能利用正,余弦定理解判断三角形的形状
【学习重点】
正弦定理与余弦定理的综合应用
【使用说明】
[A]2三角形 面积定理是什么？写出来。
[A]3余弦定理的内容是什么？它的变形有哪些？写出 来。
（一）学习探究
探究一
[B]在△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,则△ABC是什么三角形
(提示：利用三角形最大内角的余弦值与零的大小关 系判断)
探 究二
[B]在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2a 错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。b
(1)求角A的大小
(2)若a=6,b+c=8.求△ABC的面积，
高中数学北师大版必修5导学案设计：2.1-正弦定理和余弦定理(无答案)
正弦定理思维目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形.知识构建1．在直角三角形中，sinA=ca⇒c= ，sinB=cb⇒c= .则CccBbAasinsinsin===成立.2．探究：对于锐角三角形，上述关系式是否仍然成立呢？在Rt△ABD中，sinB=cAD，则AD= ，在Rt△ACD中，sinC=bAD，则AD= ，所以，CbBc sinsin=，即，CcBbsinsin=.同理，可得，BbAasinsin=.因此，对于锐角三角形，上述关系式仍然成立.3．探究：当△ABC为钝角三角形时，上述关系式是否仍然成立呢？请你说明理由.结论：正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即)(2sinsinsin为三角形外接圆的半径RRCcBbAa===经典例题例1.已知△ABC中，=10=45C=30c A︒︒，，，求a b、和B.例2.已知△ABC中，=3=60c=1b B︒，，，求a A、和C.例3. 在△ABC 中，=6=45=2c A a ︒，，， 求b B 、和C .例4. 2,60,.ABC b a B A A ∆==+︒在中，求形成练习 1.分别根据下列条件，判断△ABC 解的个数的情况： （1）=30=25=150a b A ︒，，； ( ) （2）=14=7=30a b B ︒，，； ( ) （3）=10=9=60a b B ︒，，； ( )（4）=52=10=60a b A ︒，，. ( )2.在△ABC 中，（1）已知=2=6=60a c C ︒，，，求A B b 、及；(2) 已知=2=23=30b c B ︒，，，求C a A 、及；（3）已知=6=9=45b c B ︒，，，求C a A 、及.学习小结课后作业 1.在△ABC 中，已知=10=60=45a B C ︒︒，，，求A b c 、、. 2.,.cos cos cos a b c ABC ABC A B C ∆==∆在中，已知试判断的形状 3..AB BD ABC AD BAC AC DC ∆∠=在中，是的平分线，用正弦定理证明： 254.2,,cos ,S.425B ABC a C ABC π∆===∆在中，求的面积形成练习1.在ABC中，（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；（2）033,2,150a c B===，则b=_________；(3) 2,2,31a b c===+，则A=________；（4）01,7,60a b B===，则cos C=_________.2.在△ABC中，222a b c>+，那么角Ａ是什么角？3、在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于多少弧度？学习小结课后作业1.在△ABC中，已知2,1b c==，045B=，求C和a的值.2.在ABC∆中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，若cos cosa Bb A=，判断此三角形的形状.3.7,8,60.ABC a b A c∆===︒在中，已知，求4.4,2120.ABC a b a c b∆-=+=︒在中，已知，且最大角为，求三边的长。
高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
(同步辅导)高中数学《正弦定理、余弦定理的综合应用》导学案 北师大版必修5
第3课时正弦定理、余弦定理的综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理的内容.2.能根据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.3.掌握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余弦定理的作用.2013年,叙利亚内战期间,为了准确分析战场形式,美军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军测得的数据包含CD的长度,∠ADB,∠BDC,∠DCA,∠ACB大小,你能用学过的数学知识计算叙利亚精锐部队之间的距离吗?问题1:若要用解三角形的知识求AB的长度,则在求解中要用定理和定理.问题2:正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定理;余弦定理.余弦定理的推论用公式表示为:cos A= ;cos B= ;cos C= .问题3:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知,求其他边或角;(2)已知,求其他边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.问题4:应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题:(1)已知,求其他三个角.(2)已知,求第三边和其他两个角.(3)已知,求第三边.1.在△ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A=sin A sin C,则角B的大小为().A.150°B.30°C.120°D.60°2.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B等于().A.B.C.D.3.在△ABC中,A=120°,c=5,a=7,则b= .4.在锐角三角形中,b=4,c=,且BC边上的高h=2.(1)求角C;(2)求边长a.利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= .利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度在△ABC中,已知a=2,b=2,C=15°,求A的大小.正、余弦定理的综合应用在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-,且a2+b2<c2. (1)求sin C的值;(2)当a=2,2sin A=sin C时,求b及c的长.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a sin A+c sin C-a sin C=b sin B.(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.在△ABC中,BC=7,AC=3,cos C=,则A的大小为().A.B.C.D.在△ABC中,已知角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2=(2a-b)a+(2b-a)b.(1)求角C的大小;(2)求2cos A+2cos B的最大值.1.在△ABC中,已知a=,b=2,B=45°,则角A等于().A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°2.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则().A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B等于.4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且满足(sin A+sin B)2-sin2C=3sin A·sin B,求证:A+B=120°.(2013年·安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .考题变式(我来改编):第3课时正弦定理、余弦定理的综合应用知识体系梳理问题1:正弦余弦问题2:==b2=c2+a2-2ac cos B、c2=a2+b2-2ab cos C、a2=b2+c2-2bc cos A问题3:(1)两角及任一边(2)两边及一边的对角问题4:(1)三角形的三边(2)两边和夹角(3)两边及其中一边的对角基础学习交流1.A由正弦定理可得b2-c2-a2=ac,由余弦定理可得cos B==-,故角B为150°.2.D∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c.不妨令a=1,则b=,c=2,由余弦定理可知cos B==.3.3根据余弦定理,a2=b2+c2-2bc cos A,∴72=b2+52-2·b·5cos 120°,∴b2+5b-24=0,∴b=3或b=-8(舍去).4.解:(1)如图,作AD⊥BC交BC于点D,则sin C==,则C=60°.(2)由余弦定理可知c2=a2+b2-2ab cos C,则21=a2+16-2×a×4×,即a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1(舍去),所以a=5.重点难点探究探究一:【解析】由已知条件可得sin A=,sin B=,而sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=,根据正弦定理=得c=.【答案】【小结】正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.探究二:【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab cos C=22+(2)2-2×2×2cos 15°=4+8-8×=8-4,∴c=-.而在求A时,可以应用正弦定理或余弦定理.(法一)由正弦定理,得sin A====.∵b>a,∴B>A.又∵0°<A<180°,∴A必为锐角,∴A=30°.(法二)由余弦定理,得cos A===.∴A=30°.【小结】已知三角形的两边及其夹角解三角形时,应先利用余弦定理求出第三边,再求其余角.其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求解;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题,因为在(0°,180°)上,余弦值所对应的角是唯一的,所以用余弦定理求解较好.探究三:【解析】(1)因为cos 2C=1-2sin2C=-,且0<C<π,所以sin C=.(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理=,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-及0<C<π,得cos C=±.由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,得b2±b-12=0,解得b=或2,所以或[问题]根据题目中的条件,cos C的值有两个吗?[结论]上述求解中没有使用条件a2+b2<c2,故导致cos C的值出现增解,从而在计算b的值时出错.(1)因为cos 2C=1-2sin2C=-,且0<C<π,所以sin C=.(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理=,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-及0<C<π得cos C=±,又a2+b2<c2,所以cos C<0,故cos C=-.由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,得b2+b-12=0,解得b=,所以【小结】应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.思维拓展应用应用一:(1)由正弦定理得a2+c2-ac=b2.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,故cos B=,因此B=45°.(2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=.故a=b×==1+,c=b×=2×=.应用二:A由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos C=9+49-2×3×7×=25,∴AB=5,∴cos A===-,又A∈(0,π),因此A=.应用三:(1)原式2c2=(2a-b)a+(2b-a)b可以化简为c2=a2+b2-ab,由余弦定理得cos C==,∴C=60°.(2)由(1)知C=60°,又A+B+C=180°,∴A+B=120°,∴2cos A+2cos B=2[cos A+cos(120°-A)]=2(sin A+cos A)=2sin(A+30°),∴当A+30°=90°,即A=60°时,2cos A+2cos B取得最大值2.基础智能检测1.D由正弦定理=得,sin A=sin B=sin 45°=,又因为b>a,故A=30°.2.A cos C<0⇒a2+b2<c2,即a2+b2<2a2,所以b<a.3.或由(a2+c2-b2)tan B=ac得·tan B=,再由余弦定理cos B=得2cos B·tan B=,即sin B=,∴角B的值为或.4.解:∵(sin A+sin B)2-sin2C=3sin A·sin B,∴由正弦定理得(a+b)2-c2=3ab⇒a2+b2-c2=ab⇒=1⇒cos C==,∵0°<C<180°,∴C=60°,∴A+B=180°-C=180°-60°=120°.全新视角拓展根据正弦定理可将3sin A=5sin B化为3a=5b,所以a=b,代入b+c=2a可得c=b,然后结合余弦定理可得cos C==-,所以角C=.思维导图构建2R sin B 2R sin C。
高一数学北师大版必修五2.1正余弦定理(说课稿)
正、余弦定理（说课稿）一、教材分析正弦定理是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。
提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。
在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形：（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标1.知识与技能：(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题2.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点： 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
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【学习目标】
1.能利用正,余弦定理解三角形
2.能利用正,余弦定理解判断三角形的形状
【学习重点】
正弦定理与余弦定理的综合应用
【使用说明】
[A]2三角形 面积定理是什么？写出来。
[A]3余弦定理的内容是什么？它的变形有哪些？写出 来。
（提示：b2+c2=(b+c)2-2bc.本题是对正，余弦定理及三角形面积公式的总和应用）
（二）当堂检测
[ A ]1．△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()
A. B．2
C.D.
[ B ]2．若△ABC的三 个内角满足sinA∶ sinB∶sinC＝5∶11∶13， 则△ABC()
A．一定是锐角三角形
B．一 定是直角三角形
C．一定是钝角三角 形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
[ B ]4．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么a2－ac＋c2－b2的值()
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
个性笔记
（一）学习探究
探究一
[B]在△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,则△ABC是什么三角形
(提示：利用三角形最大内角的余弦值与零的大小关 系判断)
探 究二
[B]在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2a 错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。b
(1)求角A的大小
(2)若a=6,b+c=8.求△ABC的面积，
总结反思
(本节课有哪些收获？请写 下来，并与组内同学分享)