三维图形变换

7
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转
(x’, y’, z’) y (x, y, z) 绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐 标相应变化。

y x θ o α x
z
x' = ρcos(α+θ) = x*cosθ - y*sinθ y' = ρsin (α+θ) = x*sinθ+ y*cosθ z' = z
x
z

y
y
z
x
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6.3.1 坐 标 系

世界坐标系 WC(World Coordinate System)：包括常用的直 角坐标系、几何坐标系等各种坐标系，用来直接描述对象。 或称为用户坐标系UC (User Coordinate System)，取值范围 为整个实数域。
设备坐标系 DC(Device Coordinate System)：图形的显示是 在设备上进行的，在设备上描述图形的坐标系称为设备坐标 系 DC(Device Coordinate System)，取值范围受设备的输入 输出的精度以及画面有效范围的限制。 屏幕上显示的图形 均以其一个像素点单位为量化单位。
P´2(a, b, c)
b x
P´´2
z P´´2
z
x
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绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角

绕直线P1P2旋转θ角的过程可分解为下列步骤：
1. 把点P1 (x1, y1, z1)移至原点；
2. 绕x轴旋转，使直线与xoz平面重合； 3. 绕y轴旋转，使直线与z轴重合； 4. 绕z轴旋转θ角； 5. 执行步骤(3)的逆变换；


y
坐标系x’o’y’的原点o’在坐标系xoy的 坐标为(2, 4), 则从x’o’y’到xoy的变换 矩阵为T2(-2, -4)，xoy坐标系中一点 P(4, 5) 在x’o’y’坐标系中的坐标矢量 为： T2(-2, -4) ▪ [4, 5, 1] =[2, 1, 1]
25
6.3.1 坐 标 系

对图形的描述、图形的输入输出 都是在坐标系中进行的。 现实的物体具有高度、宽度、和 深度。它们可以用三维坐标系的 x轴、y轴和z轴来表示。 三维坐标系是一个直角坐标系； 坐标系内任何一点可以由一个有 序的三元组(x, y, z)来表示。每 y 个坐标表示该点与坐标原点之间 沿相应坐标轴的距离。

如果该直线位于x，y平面，则z1=0，无法把它变换成z轴。
4. 变形变换(错切变换)
x z x
z
y 沿y含x错切 z x
z y 沿z含x错切 z x
y 沿x含y错切 z x x y 沿x含z错切
y 沿y含z错切
y 沿z含y错切
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5. 对称变换

关于坐标平面xoy的对称变换：
1 0 SYxy 0 0
y
z
x

这样定义旋转方向的原因是为了保 证所用的旋转矩阵是相同的。
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3. 旋转变换 －绕任意轴旋转

求绕任意直线旋转的矩阵的原则：

任意变换的问题
饶任意直线旋转的问题
基本几何变换的组合
绕坐标轴旋转的组合

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绕任意轴旋转 －点绕直线P1P2旋转θ
角
y P1 P2 y a z P'1 y α x θ P'2 x z c y
6. 执行步骤(2)的逆变换；
7. 执行步骤(1)的逆变换；
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绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角

步骤(1)：把点P1(x1,y1,z1)移 至原点，变换矩阵为：
z
y P1
P2
P'1
P'2
x
1 0 T3 ( x1 , y1 , z1 ) 0 0
0 1 0 0
0 x1 0 y1 1 z1 0 1
0 b / d1 c / d1 0
0 0 0 1
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绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
y

P2 '' u z d1 cos P2 '' uz a 2 d12
步骤(3)：绕y轴旋转，使直线与z轴重合， 此刻P’2的坐标已变为P’’2(a,0,d1)，可知：

y
θ z
x
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绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角

步骤(5)，执行步骤(3)的逆变换，变换矩阵为Ry(-α)；
步骤(6)，执行步骤(2)的逆变换，变换矩阵为Rx(-φ)；
步骤(7)，执行步骤(1)的逆变换，变换矩阵为T3(x1,y1,z1)。

综上，绕直线P1P2旋转θ角的变换矩阵为：

28
6.3 坐标变换
6.3.1 坐标系 6.3.2 坐标变换 6.3.3 几何变换和坐标变换的关系
29
6.3.2 坐标变换

同一物体在不同的坐标系中描述时，会有不同的坐标值。在 甲坐标系中定义一个物体，那么只要把乙坐标系的坐标轴及 坐标原点变换成甲坐标系的坐标轴及坐标原点，就可以在乙 坐标系中定义物体了。 例1：坐标系平移
a
0 -a / d 2 1 0 0 d1 / d 2 0 0
0 0 0 1
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绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角

步骤(4)：绕z轴旋转θ角，变换矩阵为:
cos -sin sin cos RZ ( ) 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
14
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角

步骤(2)：绕x轴旋转，使直线 与xoz平面重合。可知：
y
cos
c b2 c 2
z φ c
a
P´2(a, b, c) b x
sin

b b c
2 2
P´´2
0 1 设d1=(b2+c2)1/2，则 0 c / d 1 变换矩阵为: RX ( ) 0 b / d1 0 0
x
z


y
z x
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6.3.1 坐 标 系

在现实世界中，人们通常使用右手 坐标系表示物体的位置，因此它又 经常被称为世界坐标系(World Coordinate System)。 在计算机图形显示时，一般采用另 一种三维坐标系：计 算机的屏幕 是一个平面。指定它的左下角为原 点，x轴正向向右延伸，y轴正向向 上延伸。另外，定义z轴从原点开 始，指向屏幕内部，表示深度。这 个坐标系称作左手坐标系。
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3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转
绕x轴旋转：
0 1 0 cos T x ' y' z' 1 0 sin 0 0
T
RX ( )
绕y轴旋转：
x ' y' z' 1
绕z轴旋转：
cos 0 -sin 0
0 1 0 0
0 0 x -sin 0 y cos 0 z 0 1 1 Ry ( ) sin 0 x 0 0 y cos 0 z 0 1 1 R ( ) z
y T3 (Tx , Ty , Tz ) 0 0 1 Tz 0 0 0 1

x '
y'
z ' 1 T3 (Tx , Ty , Tz ) x
T
y
z
1
T
4
2. 缩放变换

设一个点沿x，y，z轴缩放的比例分别为Sx，Sy，Sz，则缩放 变换矩阵可表示为：
Sx 0 S3 ( S x , S y , S z ) 0 0
第6章 三维图形变换
1
6.2 几何变换
6.2.1 二维几何变换 6.2.2 三维几何变换
2
6.2.2 三维几何变换
1. 2. 3. 4. 5. 平移变换 缩放变换 旋转变换 变形变换 对称变换
3
1. 平移变换

每个三维点(x,y,z)对应于一个齐次坐标[x,y,z,1]。所有的三 维变换都可通过乘以一个4×4的变换矩阵来进行。 平移变换 点(x,y,z)沿x轴方向平移Tx距离， 沿y轴方向平移Ty距离，沿 z轴方向平移Tz距离， 变成点(x´,y´,z´)，这一变换过程的变 换矩阵为: 1 0 0 Tx Ty 0 1 0 T Tx Tz
0 0 1 0 0 0 0 1 x y z 1
x'
y' z' 1
T
cos -sin sin cos 0 0 0 0
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3. 旋转变换 －旋转的方向

旋转角度为θ时，点的旋转方向： 旋转轴 x轴 y轴 z轴 相应的旋转方向 从y轴到z轴 从z轴到x轴 从x轴到y轴
α x
z
P 2 ´´ (a,0,d1) P2 '' uz u y P2 '' uz sin u y (a)
sin
d1 / d 2 a 2 b2 c 2 0 R y (α) = 令d2 =(a2+b2+c2)1/2， a / d2 则变换矩阵为: 0
这里只考虑比较简单的情况。把一条不在xoy平面上的过原 点的直线变换成z轴，对应的z轴坐标都保持不变。

y

这样的“z-变形”变换可以考虑在yoz平面和xoz平面上进 行组合变形。
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4. 变形变换(错切变换)

z
对于yoz平面上的变形情况，考虑直线 y=-bz，则变形后的直线方程为：