初等数论教案2
初等数论教案
厦门大学教案学年度第学期院（系）数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节：第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材：《初等数论》，北京大学出版社授课对象：数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤；2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解；3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤；2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1：（“物不知其数”问题）大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。
1.2 问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是：702213152233⨯+⨯+⨯=，233105223-⨯=。
解题步骤及理由如下：（1）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。
因为[5,7]35=，35311÷=(余2)，(352)323⨯÷=(余1)，而(702)346⨯÷=(余2)，所以140符合条件。
（2）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。
初等数论课程设计
初等数论课程设计一、教学目标本课程旨在通过数论的学习，使学生掌握数论的基本概念、性质和定理，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学素养。
具体的教学目标如下：1.知识目标：（1）了解数论的基本概念，如整数、素数、最大公约数等。
（2）掌握数论的基本性质和定理，如素数的分布、费马小定理等。
（3）学会运用数论知识解决实际问题，如密码学、计算机科学中的问题。
2.技能目标：（1）能够运用数论知识进行计算和证明。
（2）培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
（3）提高学生的数学写作和表达能力。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生的数学素养。
（2）培养学生团队合作和自主学习的能力。
（3）培养学生的创新精神和批判性思维。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括数论的基本概念、性质和定理。
具体安排如下：1.第一章：数论基础（1）整数和分数（2）素数和合数（3）最大公约数和最小公倍数2.第二章：素数的分布（1）素数定理（2）素数的计算（3）素数的存在性3.第三章：同余理论（1）同余的基本概念（2）费马小定理（3）欧拉定理4.第四章：数论应用（1）密码学中的应用（2）计算机科学中的应用（3）实际问题中的应用三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
具体方法如下：1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握数论的基本概念和定理。
2.讨论法：引导学生进行分组讨论，培养学生的团队合作和分析问题的能力。
3.案例分析法：通过分析实际问题，使学生学会将数论知识应用于解决实际问题。
4.实验法：引导学生进行数学实验，培养学生的动手能力和创新精神。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将采用以下教学资源：1.教材：选用国内权威的数论教材，为学生提供系统的数论知识。
2.参考书：提供相关的数论参考书，丰富学生的学习资料。
3.多媒体资料：制作多媒体课件，提高课堂教学效果。
初等数论教案第二节剩余类与完全剩余系
第二节剩余类与完全剩余系第三节缩系教学目的：1、掌握剩余类与完全剩余系的定义与基本性质；2、掌握缩系的定义与基本性质；3、证明及应用Wilson定理；4、证明及应用Fermat小定理、Euler定理的证明及应用；5、掌握Euler函数计算方法及其基本性质.教学重点：1、剩余类与完全剩余系的基本性质；2、证明及应用Wilson定理；3、证明及应用Fermat小定理；4、掌握Eule『函数计算方法及其基本性质.教学课时：8课时教学过程一、剩余类与完全剩余系由上一节我们知道，同余关系满足自反性、对称性、传递性，即对于整数集来说，同余是一个等价关系.这样，可以按同余关系将所有的整数分类.1、定义1给定正整数加，对于每个整数「，0<z<m-l,称集合K?("7)= { ??；n = i (mod m), neZ }是模加的一个剩余类.显然，每个整数必定属于且仅属于某一个(0</<^-1),而且，属于同一剩余类的任何两个整数对模皿是同余的，不同剩余类中的任何两个整数对模”?是不同余的.例如，模5的五个剩余类是K()(5)={…，—10,—5, 0,5, 10,…} &(5)={ ..,-9,-4 J,6 JI,-.- }心5)={ -,-8,-3,2,7,12,--- }心5)={ -,-7,-2,3,8,13,--. }辰(5)={…，_6,—1,4,9,14,…}2、定义2设〃是正整数，从模加的每一个剩余类中任取一个数尢(0 < z < m - 1 称集合｛xo, 口…丸加-1｝是模加的一个完全剩余系(或简称为完全系)・由于占的选取是任意的，所以模加的完全剩余系有无穷多个，通常称(i)｛0,1, 2,…，加一1｝是模m的最小非负完全剩余系;—~ + 1, •••, — 1, 0, 1, •••, — }(当2 I AH)或(ii)乎…—…耳}(当2")是模血的绝对最小完全剩余系.例如,集合｛0,6,7, 13,24｝是模5的一个完全剩余系,集合｛0, 1,2,3,4｝是模5的最小非负完全剩余系.3.定理1整数集合A是模〃的完全剩余系的充要条件是(i) A中含有血个整数;(ii)A中任何两个整数对模血不同余.4、定理2设m> 1, a, Z?是整数，(a, m) = 1, ｛为，恋，…，“加｝是模m的一个完全剩余系，贝!J｛ori + b, 0X2 + b,…,ax m + b｝也是模m的一个完全剩余系.证明：由定理1,只需证明：若XiHXj,贝Ijaxi + b^axj + b (mod m). (1) 事实上，若axi + b = axj + b (mod in),则axi = axj (mod tn),由此得到x： = Xj (mod m),因此Xi = Xj.所以式(1)必定成立.证毕5、定理3 设加1,叱N, AeZ, (A,阳)=1,又设X =｛小/2,…，｝, 丫 = ｛儿」2,…，％2｝，分别是模ni\与模m2的完全剩余系，则/? = ｛ Ax + nuy； xeX, ye Y｝是模ni\ni2的一个完全剩余系.证明：由定理1只需证明：若"，卍UX, y\y H eY,并且Ax' + m\y' =Ax f, + 加］y" (mod 加”血)，(2)事实上，由第一节定理5及式(2),有Ax' =Ax,r (mod m\) =^>=x n (mod m\)=x",再由式(2),又推出m\y' = m\y u (mod mi) =^> y r =y〃(mod /n2) =^>〉，=)'"•推论若加I,"?2W N,(mi, mi) = 1,贝!J当xi与兀2分别通过模加1与模”?2的完全剩余系时，加2兀1 + W1X2通过模加1加2的完全剩余系.6、定理4 设zn/eN (1 </</?),则当药通过模m, (1 <i <n)的完全剩余系时，X = X[ + 72? 1X2 + fUlin2^3+ …+ "7"兀2- 1兀”通过模m\m2 - m n的完全剩余系.证明：对n施行归纳法.当77 = 2时，由定理3知定理结论成立.假设定理结论当n=k时成立，即当七(2KR+1)分别通过模加的完全剩余系时，y = X2 + 加2兀3 + 加2加 1 + …+ my-mkXk +1通过模仍2加3…"《+1的完全剩余系.由定理3,当XI通过模加1的完全剩余系，总(2<i<k+ 1)通过模"•的完全剩余系时，X1 + 777 iy = X1 + 7771(X2 + 加2兀3 + …+ 加 2 …〃以不+ 1)=Xi + H1[X2 + 17772X3 + …+ 叭叱・・皿曲+ 1通过模mim2 - mk+i的完全剩余系.即定理结论对于n = k+\也成立.7、定理5设“wN, A：eZ (1 </<7t),并且满足下面的条件：(i )伽，呦=],1 <ij <n, i 工j；(ii)(A/, ") = 1, 1 <i<n；(iii)m： | Aj , 1 < z,j < n, i rj ・则当七(1 <Z</7)通过模"的完全剩余系&时,y = A[X{ + A 2X2 + …+通过模加"2…的完全剩余系.证明：由定理1只需证明：若1 </</?,则由A\x\ + A2X2' + …+ A n Xn =Aixi n + A2X2,r+ …+ A n Xn r (mod m\ ■ in n) (3) 可以得到xf = x!', \ <i <n.事实上，由条件(iii)及式(3)易得，对于任意的/, 1</</7,有A t Xi =AiXi,r (mod mi).由此并利用条件(ii)和第一节定理5推得x/ = x!' (mod mi),因此xi f=xr.例1设A = {X],X2,…,心}是模加的一个完全剩余系，以{x}表示x 的小数部分，证明：若(a, m) = 1,贝!J£{3}=知1)・i=\ m 2解：当X通过模加的完全剩余系时，俶+ b也通过模加的完全剩余系，因此对于任意的/ (!</•</«), axi + b-定与且只与某个整数j (1 <j</n)同余，即存在整数使得axi 4- Z? = km +j, (1 <j< m)从而評料郭叫用快酣77T m m例2设p>5是素数，…川-2},则在数列a9 2cb 3a, (/? - \ )a, pa中有且仅有一个数b,满足b = 1 (mod p).(5) 此外,若 b = ka,贝I JR HG,ke[2, 3, 2}.解：因为@,p)=l,所以由定理2,式(4)中的数构成模p的一个完全剩余系，因此必有数b满足式(5).设Z? = ka,那么(i ) k 工ci,否则,b = a2 = \ (mod p),即p | (o + 1)(“ - 1),因此# I d - 1 或 # I “ + 1,这与2<a <p -2矛盾；(ii)k 工 \ ,否则，Z? = ltz = 1 (mod /?),这与矛盾；(iii)R H-1,否贝lj, b- -a =\ (mod p),这与矛盾.若又有 L, 2<k r<p-2f使得b = k f a (modp),则k 'a三ka (mod p).因(c/,p)=l,所以k = k1 (mod p),从而p\k- k',这是不可能的.这证明了唯一性.8、定理6 (Wilson定理)设卩是素数，贝I」(p一1)! =-1 (mod p).ffi ：不妨设p>5.由例2容易推出对于2,3,.・显-2,中的每个整 数“，都存在唯一的整数R, 2<k<p-2,使得ka 三 1 (mod /?). (6)因此，整数2,3,…，p_2可以两两配对使得式(6)成立.所以2-3 ..... (p - 2) = 1 (mod p),从而123 ....... (p - 2)(/? - \)=p - 1 = -1 (mod p).例3设m > 0是偶数，｛如,。
初等数论二-夏子厚
N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an1xn1
dn1t
(2)
第二节 多元一次不定方程
• 注：定理2说明了求解n元一次不定方程 的方法：先解方程组(2)中的第二个方程， 再解方程组(2)中的第一个方程，于是， 解n元一次不定方程就化为解n 1元一 次不定方程。重复这个过程，最终归结 为求解二元一次不定方程。
第二节 多元一次不定方程
• 定理2 设a，b，c是整数，若方程ax by
= c有解(x0, y0)，则它的一切解具有
•
x
y
x0 y0
b1t a1t
， tZ
(2)
•
的形式，其中
a1
a (a, b)
，b1
b (a, b)
。
第一节 二元一次不定方程
• 证明 容易验证，由式(2)确定的x与y满足方 程(1)。下面证明，方程(1)的解都可写成式(2) 中的形式。
，tZ，于是由x ，但区间的长度是
0，y 0 N ，故此区
a
b
ab
间内的整数个数为[ N ]或[ N ] 1。 ab ab
第一节 二元一次不定方程
例4：证明：二元一次不定方程 ax by =N
(a, b) = 1，a＞1，b＞1,当N＞ab a b
时有非负整数解，但是N= ab a b时则 不然。（不再给予证明）
t 1 3u x t 2v
• z 2 u
y
v
u，vZ
第二节 多元一次不定方程
• 从上式中消去t，得到
x 1 3u 2v
•
y
v u, vZ。 (6)
z 2 u
• 要使x 1，y 1，z 1，则应有
• 3u 2v 0，
初等数论教学大纲 2-推荐下载
《初等数论》教学大纲一、课程基本信息课程编号：2102210课程中文名称：初等数论课程英文名称：elementary number theory课程类型：任意选修课总学时：36 理论学时：36 实验学时：课外学时：学分： 2适用专业：数学与应用数学（师范）先修课程：开课院系：数学与信息学院二、课程性质和任务初等数论是研究整数性质的一门学科，它是高等师范院校数学与应用数学专业的一门基础课。
本课程的任务是使学生系统地掌握初等数论的基本理论和方法，具有将初等数论中的思想方法和技巧用于解决中学数教学中遇到的问题的能力。
三、课程教学目标在学完本课程之后，学生能够：（1（熟练地掌握整数的整除理论、同余理论以及不定方程的基本理论（2（对数有更深刻的认识（3（能够解决中学数学尤其是中学数学竞赛中关于数论的常见问题（4（了解公开密钥-RSA体制的工作原理和初步的密码知识。
四、理论教学环节和基本要求（一）整数的整除性理论 1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。
2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。
3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。
4、掌握解决中学数学中关于整除问题的常用方法（二）不定方程1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。
2、了解多元一次不定方程有解的条件，掌握解简单的多元一次不定方程的方法。
3、了解不定方程的整数解的形式，掌握求形如的整数解的方法。
4、掌握解决中学数学中关于不定方程问题的常用方法（三）一元同余理论1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法，理解欧拉函数的定义及性质。
初等数论整除的教案大学
一、教学目标1. 知识目标：使学生理解整除的概念，掌握整除的性质，能够判断两个数是否互质，以及求最大公约数和最小公倍数。
2. 能力目标：培养学生运用整除理论解决实际问题的能力，提高逻辑思维和推理能力。
3. 情感目标：激发学生对数论的兴趣，培养严谨的数学态度。
二、教学重点与难点1. 教学重点：整除的概念、整除的性质、互质数的判断、最大公约数和最小公倍数的求解。
2. 教学难点：整除性质的证明，互质数的判断方法，最大公约数和最小公倍数的求解方法。
三、教学过程（一）导入1. 提问：什么是整除？请举例说明。
2. 引入整除的概念，并解释整除的意义。
（二）整除的概念与性质1. 介绍整除的定义：设a，b为两个整数，若存在整数q，使bqa，则称b整除a，记作b丨a。
2. 讲解整除的性质，包括：（1）a丨a；（2）若a丨b，b丨c，则a丨c；（3）若a丨b，b丨c，则a丨bxcy（其中xy是任意整数）。
（三）互质数的判断1. 介绍互质数的定义：若两个数的最大公约数为1，则称这两个数为互质数。
2. 讲解互质数的判断方法，包括：（1）通过试除法判断两个数是否互质；（2）通过质因数分解判断两个数是否互质。
（四）最大公约数与最小公倍数1. 介绍最大公约数和最小公倍数的定义：（1）最大公约数：设a，b为两个整数，它们的公约数中最大的一个数，称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。
（2）最小公倍数：设a，b为两个整数，它们的最小公倍数，记作lcm(a, b)。
2. 讲解最大公约数和最小公倍数的求解方法，包括：（1）辗转相除法求最大公约数；（2）利用公式lcm(a, b) = ab / gcd(a, b)求最小公倍数。
（五）课堂练习1. 学生练习判断两个数是否互质；2. 学生练习求两个数的最大公约数和最小公倍数。
（六）总结与作业1. 总结本节课所学内容，强调整除理论的重要性；2. 布置作业，巩固所学知识。
四、教学反思1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略；2. 引导学生运用整除理论解决实际问题，提高学生的数学素养；3. 激发学生对数论的兴趣，培养学生的逻辑思维和推理能力。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
《初等数论》教学大纲2
《初等数论》教学大纲课程编码：1511102902课程名称：初等数论学时/学分：32/2先修课程：《数学分析》、《高等代数》适用专业：数学与应用数学专业开设教研室：代数与几何教研室一、课程性质与任务1．课程性质：初等数论是数学与应用数学专业的一门专业选修课。
本课程是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科，也是一个古老的数学分支。
初等数论与中学数学教育有着密切的联系，并给现代数学提供理论基础。
初等数论在计算技术、通信技术等技术学科中也得到了广泛的应用。
数论中的一些问题，貌似简单，实则不易，解决起来灵活而富有技巧，是培养数学思维能力的重要内容，是中学数学竞赛题的丰富源泉之一，是数学教育工作者必备的基础知识。
2．课程任务：本课程开设的目的在于通过这门课的学习，使学生熟悉和掌握关于整数的整除性、不定方程、同余式及简单连分数等数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为从事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。
二、课程教学基本要求初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。
通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
1. 有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
2. 本课程开设在第5学期，总学时32，其中课堂讲授32学时，课堂实践0学时。
教学环节以课堂讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CAI课件，在教学方法和手段上采用现代教育技术。
3. 成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。
初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、xx大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
《初等数论》课程教学大纲
《初等数论》课程教学大纲一、教师信息二、课程基本信息课程名称（中文）：初等数论课程名称（英文）：Elementary Number Theory课程性质：□公共必修课√□专业必修课□限选课□任选课□实践性环节课程性质: √□学术知识类□方法技能类□研究探索类□实践体验类课程代码：4230070周学时： 2 总学时：32 学分: 2先修课程：高中数学授课对象：小学教育（理科）三、课程简介本课程是《小学数学课程与教学》的前修课程，是小学教育专业的本科生（理科）必不可少的基础知识之一，为以后指导小学数学教育提供有用的理论依据，并能直接指导小学数学课外活动。
首先，采用不太多的数学知识，由浅入深地介绍初等数论的基本原理和解题方法与技巧，如整数的整除理论及其在小学数学教学中的指导作用，素数的部分性质，及其同余的基本原理与同余式（组）的解法等。
其次，联系小学数学的教学内容和小学数学竞赛的辅导内容，突出讲解整除性理论在小学数学中的地位，和介绍数的K进位制的意义和计算，对整数和分数的四则运算的指导作用，以及四则运算中的运算技巧等。
再次，整除性理论中讲解奇偶性分析在解题中的作用，介绍不定方程中的著名问题“百鸡问题”、“费马问题”，同余式内容中，介绍我国古代数学书中提出的问题“韩信点兵”的“中国剩余定理”（孙子定理）等，以体现初等数论的应用性，提高学生对数学和小学数学教学的兴趣。
四、课程目标1.了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系；2.掌握整数的整除性、不定方程和同余式等基本知识；通过较系统的学习，掌握这门学科的基本数学思想和方法。
3.了解数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如孙子定理等。
五、课程内容与进度安排（一）课程内容第一章整数的可除性1.课时数（10）2．讲授内容主要知识点：（1）整除的概念、带余除法；（2）整除性定理；（3）奇数和偶数；（4）最大公约数和最小公倍数；（5）质数和合数（算术基本定理）重点：整除的概念、带余除法、最大公约数和辗转相除法、最小公倍数的性质、约数和算术基本定理。
初等数论_第二章__同_余教案
(ⅰ){0, 1, 2,,m1}是模m的最小非负完全剩余系；
(ⅱ) 或
是模m的绝对最小完全剩余系。
例如，集合{0, 6, 7, 13, 24}是模5的一个完全剩余系，集合{0, 1, 2, 3, 4}是模5的最小非负完全剩余系。
定理1整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是
证明过程。
定理1下面的三个叙述是等价的：
(ⅰ)ab(modm)；
(ⅱ)存在整数q，使得a=bqm；
(ⅲ)mab。
证明留作习题。
对给定的整数b和模m，所有对模m同余b的整数的集合是
{b+km}）（k为整数）。
根据带余除法，a=q1mr，0r<m。全体整数按整数m为标准分为m类。
定理2同余具有下面的性质：
解由
42n+13n+2=442n93n=416n93n
43n93n= 133n0 (mod 13)
得证。
。
例6设p是素数，a是整数，则由a21(modp)可以推出
a1或a1(modp)。
解由
a21(modp)pa21 = (a1)(a1)，
所以必是
pa1或pa1，
即a1(modp)或a1(modp)。
[7(1)164]26=(74)26
=326= 3(35)53(7)5=37(72)2
2129(mod 50)，
即所求的余数是29。
例3设n的十进制表示是 ，若792n，求x，y，z。
解因为792 =8911，故
792n8n，9n及11n。
我们有
8n8 z= 6，
以及
9n913xy45z= 19xy9xy1，(5)
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学的一门重要分支，主要研究整数的性质和结构。
通过对初等数论的学习，学生可以更深入地理解整数及其关系，培养数学逻辑思维和问题解决能力。
本教学大纲旨在提供一份全面的教学计划，帮助学生掌握初等数论的基本概念和方法。
二、教学目标1、理解整数的概念、性质和运算；2、掌握因数分解和质数判断的方法；3、理解最大公约数和最小公倍数的概念及其计算方法；4、掌握分数及其性质，了解分数分解的方法；5、理解代数方程及其解法，掌握二次方程的解法；6、培养学生对数学的兴趣和解决问题的能力。
三、教学内容1、整数的概念和性质a.整数的定义和分类b.整数的运算规则c.数的表示方法2、因数分解和质数判断a.因数分解的方法b.质数判断的方法3、最大公约数和最小公倍数a.最大公约数的定义和计算方法b.最小公倍数的定义和计算方法4、分数及其性质a.分数的定义和分类b.分数的运算规则c.分数的约分和通分5、二次方程及其解法a.二次方程的定义和分类b.二次方程的解法6、其他代数方程的解法介绍a.一元一次方程的解法b.一元二次方程的解法c.高次方程的解法简介7、数论在密码学中的应用介绍a. RSA算法简介b.其他密码学应用简介8、数论在其他领域的应用介绍a.数论在计算机科学中的应用b.数论在物理学中的应用等9、数论的历史和发展简介a.数论的起源和发展历程b.数论在现代数学中的应用及发展前景10、初等数论与中学数学的与区别分析。
在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。
在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容：整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。
通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。
同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。
通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。
初等数论教学大纲师范类
初等数论教学大纲师范类初等数论是师范类教学中的一门重要课程，它是培养学生数学思维和解决问题能力的基础。
本文将从初等数论的教学目标、教学内容和教学方法三个方面来探讨初等数论教学的重要性和特点。
一、初等数论教学的目标初等数论教学的目标是培养学生对数学的兴趣和热爱，提高他们的数学思维和解决问题的能力。
通过学习初等数论，学生能够了解数论的基本概念和性质，掌握数论中的常用方法和技巧，培养他们的逻辑思维和数学推理能力，为将来学习高等数学和应用数学打下坚实的基础。
二、初等数论教学的内容初等数论的教学内容包括素数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与模运算、整数的性质等。
通过学习这些内容，学生可以了解到数论在实际生活中的应用，如密码学、编码理论等。
同时，初等数论的教学内容也涉及到一些数学思想和方法的培养，如数学归纳法、反证法等。
这些内容不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
三、初等数论教学的方法初等数论的教学方法应注重培养学生的自主学习能力和合作学习能力。
教师可以通过讲解、示范和引导等方式来帮助学生理解数论的概念和性质，同时也要鼓励学生自主思考和解决问题。
在教学过程中，教师还可以组织学生进行小组讨论和合作学习，让学生们互相交流和分享自己的思考和解题方法，从而提高他们的合作学习能力和解决问题的能力。
此外，初等数论的教学方法还应注重培养学生的数学建模能力。
教师可以通过实际问题的引入，让学生运用数论的知识和方法来解决实际问题，培养他们的数学建模能力和解决实际问题的能力。
这不仅可以增加学生对数论的兴趣和热爱，还可以提高他们的数学思维和解决问题的能力。
综上所述，初等数论教学在师范类教学中具有重要的地位和作用。
通过初等数论的学习，学生可以培养数学思维和解决问题的能力，为将来学习高等数学和应用数学打下坚实的基础。
因此，教师应注重培养学生的自主学习能力和合作学习能力，注重培养学生的数学建模能力，通过实际问题的引入来激发学生对数论的兴趣和热爱。
2.最小公倍数-湘教版选修4-6初等数论初步教案
2.最小公倍数-湘教版选修4-6初等数论初步教案一、学习目标•能够理解最小公倍数的概念。
•能够使用最小公倍数解决实际问题。
二、预备知识1.质数和合数2.除法及其性质3.小学数学算法（如：约分、通分、分数加减乘除）三、教学内容1.最小公倍数的概念两个正整数a和b的公倍数是a和b的倍数中既能被a整除也能被b整除的数，其中最小的公倍数又称为最小公倍数，通常记为lcm(a，b)。
例如：15的倍数有15，30，45，60，75……；20的倍数有20，40，60，80，100……。
它们的公倍数有60，120，180，240……而最小公倍数就是60。
2.最小公倍数的计算方法•素数幂次幂型：若 a=p_1(a_1)p_2(a_2)p_3(a_3)……p_n(a_n)，b=p_1(b_1)p_2(b_2)p_3(b_3)……p_n(b_n) , p_1,p_2,p_3……p_n为n个不同的素数，则最小公倍数lcm(a,b)=p_1^(max(a_1,b_1))*p_2(max(a_2,b_2))p_3^(max(a_3,b_3))……p_n(max(a_n,b_n)) 例如：求最小公倍数lcm(12,30)12=2231，30=2131*5^1。
p_1=2,p_2=3,p_3=5max(2,1)=2，max(1,1)=1，max(0,1)=1则 lcm(12,30)=223^151=60•直接分解：将 a 和 b 分别分解质因数，然后将相同质因数最大次幂相乘。
即：lcm(a,b)=p1(a_1)p_2^(a_2)p_3(a_3)…p_n^(a_n)，其中p_1,p_2,p_3,…,p_n是a,b的公因子，a_1,a_2,a_3,…,a_n分别是a,b在p_1,p_2,p_3,…,p_n上的幂次。
例如：求最小公倍数lcm(12,18)12=2231，18=2132。
则 lcm(12,18)=2^2*3^2=363.应用题题目一小明把一些苹果放在三个篮子里，第一个篮子里有18个苹果，第二个篮子里有24个苹果，第三个篮子里有36个苹果，让小明算一下怎样分，可以使三个篮子里的苹果数量一样多。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
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第四节 素数、整数的唯一分解定理第五节 Eratosthenes 筛法教学目的：1、掌握素数的一系列性质；2、理解并掌握唯一分解定理.教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用教学难点：唯一分解定理的证明及应用教学课时：4课时教学过程一、素数1、定义1 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.2、引理1 设a 是任意大于1的整数，则a 除1以外的最小正因子p 是素数，并且当a 是合数时，则a p ≤ .3、引理2 设p 是素数，a 是任意整数，则a p |或1),(=a p .4、引理3 设p 是素数，p|ab , 则p|a 或p|b.5、定理1 素数有无穷多个.6、定理2 形如4n-1型的素数有无穷多个.例1 写出不超过100的所有的素数。
解 将不超过100的正整数排列如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100按以下步骤进行：(ⅰ) 删去1，剩下的后面的第一个数是2，2是素数；(ⅱ) 删去2后面的被2整除的数，剩下的2后面的第一个数是3，3是素数；(ⅲ) 再删去3后面的被3整除的数，剩下的3后面的第一个数是5，5是素数；(ⅳ) 再删去5后面的被5整除的数，剩下的5后面的第一个数是7，7是素数；照以上步骤可以依次得到素数2, 3, 5, 7, 11, .由引理1可知，不超过100的合数必有一个不超过10的素约数，因此在删去7后面被7整除的数以后，就得到了不超过100的全部素数. 例1中所使用的寻找素数的方法，称为Eratosthenes筛法. 它可以用来求出不超过任何固定整数的所有素数. 在理论上这是可行的；但在实际应用中，这种方法需要大量的计算时间，是不可取的.曾经有人希望找到一个表示素数的方便的公式，例如，是否存在一个不是常数的整系数多项式f(x)，当x ≥0x 时，f(x)都表示素数？7、定理3 对于任意给定的整数0x ，不存在整系数多项式∑==ni i i x a x f 0)(，其中 0,0>≠n a n ,使得当x ≥0x 时，f(x)都表示素数.二、整数唯一分解定理（算术基本定理）1、引理1 任何大于1的正整数n 可以写成素数之积，即n = p 1p 2 p m ， (1)其中p i （1 ≤ i ≤ m ）是素数.证明：当n = 2时，结论显然成立.假设对于2 ≤ n ≤ k ，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n = k + 1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n 成立.如果k + 1是素数，式(1)显然成立.如果k + 1是合数，则存在素数p 与整数d ，使得k + 1 = pd . 由于2 ≤ d ≤ k ，由归纳假定知存在素数q 1, q 2, , q l ，使得d = q 1q 2 q l ，从而k + 1 = pq 1q 2 q l . 证毕2、定理1(算术基本定理) 任何大于1的整数n 可以唯一地表示成n =k k p p p ααα 2121， (2)其中p 1, p 2, , p k 是素数，p 1 < p 2 < < p k ，α1, α2, , αk 是正整数.证明 由引理1，任何大于1的整数n 可以表示成式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯一性.假设p i （1 ≤ i ≤ k ）与q j （1 ≤ j ≤ l ）都是素数，p 1 ≤ p 2 ≤ ≤ p k ，q 1 ≤ q 2 ≤ ≤ q l ， (3)并且n = p 1p 2 p k = q 1q 2 q l ， (4)则必有某个q j （1 ≤ j ≤ l ），使得p 1∣q j ，所以p 1 = q j ；又有某个p i （1 ≤ i ≤ k ），使得q 1∣p i ，所以q 1 = p i . 于是，由式(3)可知p 1 = q 1，从而由式(4)得到p 2 p k = q 2 q l .重复上述这一过程，得到k = l ，p i = q i ，1 ≤ i ≤ k . 证毕3、定义1 使用定理1中的记号，称n =k k p p p ααα 2121是n 的标准分解式，其中p i （1 ≤ i ≤ k ）是素数，p 1 < p 2 < < p k ，α i （1 ≤ i ≤ k ）是正整数.推论1 使用式(2)中的记号，有(ⅰ) n 的正因数d 必有形式d =k k p p p γγγ 2121，γi ∈Z ，0 ≤ γi ≤ α i ，1 ≤ i ≤ k ；(ⅱ) n 的正倍数m 必有形式m =k k p p p βββ 2121M ，M ∈N ，βi ∈N ，βi ≥ α i ，1 ≤ i ≤ k .证明：留作习题.推论2 设正整数a 与b 的标准分解式是s k l k s k l k r r p p b q q p p a δδββγγαα 11111111==，，其中p i （1 ≤ i ≤ k ），q i （1 ≤ i ≤ l ）与r i （1 ≤ i ≤ s ）是两两不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ），γi （1 ≤ i ≤ l ）与δi （1 ≤ i ≤ s ）都是非负整数，则(a , b ) =k k p p λλ11， λi = min{αi , δi }，1 ≤ i ≤ k ， [a , b ] =s l k s l k r r q q p p γγββμμ 111111，μi = max{αi , δi }，1 ≤ i ≤ k . 证明：留作习题.为了方便，推论2常叙述为下面的形式：推论2 ' 设正整数a 与b 的标准分解式是k k k k p p p b p p p a βββααα 11212121==，，其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数，则k i p p p b a k i p p p b a i i i k i i i k k k ≤≤==≤≤==1},max{],[1},min{),(11112121，，，，，βαμβαλμμμλλλ .推论3 设a ，b ，c ，n 是正整数，ab = c n ，(a , b ) = 1， (5)则存在正整数u ，v ，使得a = u n ，b = v n ，c = uv ，(u , v ) = 1.证明: 设c =k k p p p γγγ 1121，其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，γi （1 ≤ i ≤ k ）是正整数.又设k k k k p p p b p p p a βββααα 11212121==，，其中αI ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数. 由式(5)及推论2 '可知min{αi , βi } = 0，αi + βi = n γi ，1 ≤ i ≤ k ，因此，对于每个i （1 ≤ i ≤ k ），等式αi = n γi ，βi = 0与αi = 0，βi = n γi有且只有一个成立.这就证明了推论. 证毕例1 写出51480的标准分解式.解: 我们有51480 = 2⋅25740 = 22⋅12870 = 23⋅6435= 23⋅5⋅1287 = 23⋅5⋅3⋅429= 23⋅5⋅32⋅143 = 23⋅32⋅5⋅11⋅13.例2 设a ，b ，c 是整数，证明：(ⅰ) (a , b )[a , b ] = ab ；(ⅱ) (a , [b , c ]) = [(a , b ), (a , c )].解：为了叙述方便，不妨假定a ，b ，c 是正整数.(ⅰ) 设k k k k p p p b p p p a βββααα 11212121==，，其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数.由定理1推论2 '，有。
，，，，，k i p p p b a k i p p p b a i i i k i i i k k k ≤≤==≤≤==1},max{],[1},min{),(11112121βαμβαλμμμλλλ由此知(a , b )[a , b ] =∏∏∏=+=+=+==k i i k i i k i i i i i i i i ii p p p 11},m ax{},m in{1βαβαβαμλ=ab ；(ⅱ) 设∏∏∏======k i i k i i k i i ii i p c p b p a 111γβα，，，其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi ，γi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数.由定理1推论2 '，有∏∏====k i i k i i ii p c a b a p c b a 11)],(),,[(]),[,(μλ，，其中，对于1 ≤ i ≤ k ，有λi = min{αi , max{βi , γi }}，μi = max{min{αi , βi }, min{αi , γi }}，不妨设βi ≤ γi ，则min{αi , βi } ≤ min{αi , γi }，所以μi = min{αi , γi } = λi ，即(a , [b , c ]) = [(a , b ), (a , c )].注：利用定理1可以容易地处理许多像例2这样的问题. 例3 证明：12151311-++++=n N （n ≥ 2）不是整数. 解：设3k ≤ 2n - 1 < 3k + 1. 对于任意的1 ≤ i ≤ n ，2i - 1 ≠ 3k ，记2i - 1 =i β3Q i ，Q i ∈Z ，从而知i β≤ k - 1. 因为3k - 1Q 1Q 2 Q 2n - 1是整数，所以，如果N 是整数，则存在整数Q ，使得3k - 1Q 1Q 2 Q 2n - 1N = Q + 3k - 1Q 1Q 2 Q 2n -1k 31.由于3|/Q 1Q 2 Q 2n -1，所以上式右端不是整数，这个矛盾说明N 不能是整数.三、小结四、作业 25页ex17、ex18、ex22、ex2326页ex32。