北京市丰台区2017届高三上学期期末练习数学(理)试题-Word版含答案

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北京市2017届高三数学(理)综合练习66 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷 (选择题共40分)一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数11iz i+=-等于 A ．iB ．2iC ．1+iD ．1－i2．参数方程cos ,sin 3x y θθ==-⎧⎨⎩（θ为参数）化为普通方程是A ．()2231x y +-=B ．()2231y x ++= C ．30x y ++=D ．2213y x +=3．如图，程序框图所进行的求和运算是 A ．1+2+22+23+24+25 B ．2+22+23+24+25 C ．1+2+22+23+24 D ．2+22+23+244．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是 A ．AB AC BC +=u u u r u u u r u u u rB ．12AB BC DA =+u u u ru u ur u u u rC ．AD DC AC -=u u u r u u u r u u u rD ．2CD BA CA +=u u u r u u ru u r5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是 A ．16 B ．20 C ．1242+D ．1642+开始是输出S 否 n =1，S = 0 n <5 S = S +2 n n = n +1结束ODCBA6．有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有 A ．48种B ．24种C ．12种D ．6种7．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润（单位：万元）是1913.5y x =-，在B 地的销售利润（单位：万元）是216.24y x =+，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元8．定义集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”是b －a . 已知m ，n ∈R ，集合23M x m x m =+⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，34N x n x n =-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，且集合M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 A ．23B ．12C ．512D ．13第II 卷 (共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知等差数列{a n }中，a 2=－2，公差d =－2，那么数列{a n }的前5项和S 5= . 10．某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_________.11．已知x ，y 满足不等式组50,10,1,x y x y x +---⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 那么z =x +2y 的最大值是_____________.12．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，AB =BC =3，210CD = 则cos D = .13．已知函数()12log 2f x x kx k =-+，且方程f (x )=0有且只有一个实数根，那么实数k 的取值范围是__________________.14．在直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知11,04OA =-⎛⎫ ⎪⎝⎭u u u r，()121,0i i A A i +=-u u u u ur()1,2,,,i n =L L ， ()11,2,,,i i i A B A i n +∆=L L 是等边三角形，且点12,,,,n B B B L L 在同一条曲线C 上，那么曲线C 的方程是____________；设点()1,2,,,n B i n =L L 的横坐标是n (n ∈N *)的函数f (n )，那么f (n )= ____________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题13分）已知函数f (x )=2sin x cos x +2cos 2x +1. （I ）求f (x )的最小正周期；（II ）求f (x )在区间,02π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．（本题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠DAB =90°，PA⊥平面ABCD ，PA =AB =BC =2，AD =1. （I ）求证：BC ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；（III ）在侧棱PA 上是否存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.17．（本题13分）有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为25，12，丙通过面试的概率为p ，且三人能否通过面试相互独立. 记X 为通过面试的人数，其分布列为X 012 3 P940abc（I ）求p 的值；（II ）求至少有两人通过面试的概率；（III ）求数学期望EX .18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －a 2x 2+ax . （I ）若a =1，求函数f (x )的最大值；（II ）若函数f (x )在区间(1，+∞)上是减函数，求实数a 的取值范围.19．（本题13分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，离心率为2，且短轴的一个端点到下焦点F.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设直线y =－2与y 轴交于点P ，过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.20．（本题14分）对于数列{a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a n }的“差等比数列”，记为数列{b n }. 设数列{b n }的首项b 1=2，公比为q (q 为常数).（I ）若q =2，写出一个数列{a n }的前4项；（II ）（ⅰ）判断数列{a n }是否为等差数列，并说明你的理由；（ⅱ）a 1与q 满足什么条件，数列{a n }是等比数列，并证明你的结论；（III ）若a 1=1，1＜q ＜2，数列{a n +c n }是公差为q 的等差数列(n ∈N *)，且c 1=q ，求使得c n ＜0成立的n 的取值范围.(考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效)参考答案（理科）一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 二、填空题：9．20- 10．35 11．912 13．[)0,+∞ 14． 23y x =；212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：15．解：（Ⅰ）()sin 2cos 22f x x x =++ …………………………3分)24x π=++．所以)(x f 的最小正周期为π． …………………………6分（Ⅱ）因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，所以32[,]444x πππ+∈-，所以当244x ππ+=，即0x =时，sin(2)42x π+=，所以()f x 取得最大值3；当242x ππ+=-，即38x π=-时，sin()16x π+=-，所以()f x取得最小值2 …………………………13分 16．解；（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 是梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒， ∴.BC AB ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥ BC ， ∵PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB . ………………………… 3分（Ⅱ）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ∴()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P .∴()2,2,2PC =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r.∴cos ,3PC AB PC AB PC AB ===⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u r u u u r ∴异面直线PC 与AB…………………………8分（Ⅲ）假设在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，设()()0,0,0.E m m > ∴()1,2,0DC =u u u r ，()1,0,DE m =-u u u r. ∴设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =r，∴0n DC =u u r u u u r g ，0n DE =u u r u u u rg ，∴20,0.x y x mz +=⎧⎨-+=⎩令2x =，所以1y =-，2z m =. ∴22,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r .又∵平面ACD 的法向量为()0,0,2AP =u u u r，∴2cos ,3n AP =u u r u u u r，即42.3n AP n AP==⋅r u u u rg r u u u r 解得 1.m =∴点E 的坐标是()0,0,1.∴在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23. ………………………… 14分17．解：设 “甲通过面试”为事件1A ， “乙通过面试”为事件2A ，设 “丙通过面试”为事件3A ， ………………………… 1分所以()125P A =，()212P A = ，()3P A p = . （Ⅰ）由已知得()9040P X ==，即()219111.5240p ⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以14p =. ………………………… 4分（Ⅱ）设“至少有两人通过面试”为事件B ，由题意知()()()()1231231232b P X P A A A P A A A P A A A ===++21123131111.54254254240=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()()1233c P X P A A A ===2111.52420=⨯⨯=所以 ()()()1323.40P B P X P X ==+==………………………… 10分（Ⅲ）由题意得 ()()()()911023.20a P X P X P X P X ===-=-=-==所以99111230123.4020402020EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………… 13分18．解：（I ）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，………………………… 1分所以()212121x x f x x x x -++'=-+=，令()0f x '=，解得12x =-，或1x =.因为0x >，所以 1.x = ………………………… 3分所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， ………………………… 4分所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，即()f x 的最大值是()10.f = ………………………… 5分（II ）因为()22ln f x x a x ax =-+，定义域为()0,+∞，所以()()()221112.ax ax f x a x a x x-+-'=-+= ………………………… 7分 ①当0a =时，()10f x x'=>，所以()f x 在区间()0,+∞上为增函数，不符合题意. ………………………… 8分 ②当0a >时，由 ()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以1.x a >所以()f x 的单调减区间为（1a，+∞），所以11,0,a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩ 解得 1.a ≥ ………………………… 10分③当0a <时，()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以12x a >-，所以()f x 的单调减区间为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以11,20,a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩解得1.2a ≤- ………………………… 12分综上所述，实数a 的取值范围是[)1,1,.2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U………………………… 13分 19．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以设椭圆C 的方程是()222210y x a b a b+=>>. ………………………… 1分因为短轴的一个端点到下焦点F，离心率为2所以a = 1.c = 所以2 1.b =所以椭圆C 的标准方程是22 1.2y x += ………………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0,1F -，()0,2P -，且直线l 的斜率存在，设其方程为： 1.y kx =-，由 221,1,2y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222210.k x kx +--= ………………………… 6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以12222kx x k +=+，12212x x k -=+. ………………………… 7分所以PAB ∆面积1212PAB S PF x x ∆=⋅-（1x ，2x 异号）.所以PAB S ∆===………………………… 9分=≤2= ………………………… 12分当且仅当22111k k+=+，即0k=时，PAB S ∆有最大值是2 所以当0k=时，PAB ∆ ………………………… 13分20．解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，所以 24b =，38b =，所以11a =，23a =，37a =，1515a =. （写出满足条件的一组即可） ………………………… 2分（Ⅱ）（ⅰ）因为12b =，所以212a a -=，322a a q -=， 2432a a q -=，…，212n n n a a q ---=()2n ≥.所以()22121n n a a q q q --=++++L . ①若1q =，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列. ………………………… 3分 ②若1q ≠，所以()1121.1n n q a a q --=+-所以1n n a a +-=()()1212111n n q q qq------1221n n q q q--=-12n q -=.因为1q ≠，所以12n q-不是常数.所以数列{}n a 不是等差数列. ………………………… 5分（ⅱ）因为数列{}n b 是等比数列，首项12b =，公比为q ，所以22b q =，232b q =. 所以212a a =+，3122a a q =++.因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =⋅，即()()2211222.a a a q +=⋅++ 所以112a q a +=. 所以当112a q a +=时，数列{}n a 是等比数列. ………………………… 7分（Ⅲ）因为{}n n a c +是公差为q 的等差数列，所以()()11.n n n n a c a c q --+-+= 又212n n n a a q ---=，所以212.n n n c c q q ---=-所以3122n n n c c q q ----=-，…，322c c q q -=-，21 2.c c q -=-所以()2321n n n c nq q q q --=-++++L ()121.1n q nq q--=-- ………………………… 9分所以10c q =>，()2210c q =->，320c q =-<，4c =()2213212022q q q ⎛⎫--+=---< ⎪⎝⎭，…猜想：当3n ≥时，0n c <. 用数学归纳法证明：①当3n =时，30c <显然成立， ②假设当()3n k k =≥时，0k c <，那么当1n k =+时，()11212212.k k k n n c c q q q q q q ---+=+-<-=- 因为12q <<，3k ≥，所以2120.k q--<所以10.n c +<所以当1n k =+时，10n c +<成立.由①、②所述，当3n ≥时，恒有0n c <. ………………………… 14分。

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丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{(2)(1)0}A x x x Z ，{2,B1}，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，（B ）{210}，，（C ）{21}，（D ）{1}2．已知0ab，则下列不等式一定成立的是（A ）a b（B ）11ab（C ）11()()22ab（D ）ln ln a b3．如果平面向量(20)，a，(11)，b ，那么下列结论中正确的是（A ）a b（B ）22ab （C ）()a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面，如果n，那么“m n ”是“m”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31a ，123+=a a a 9，则456+a a a 等于（A ）9 （B ）72（C ）9或72（D ）9或726．如果函数()s i n 3c o s f x xx 的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)f f ff L 的值为（A ）1（B ）1（C ）3（D ）37.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(gu ǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．节气冬至小寒大寒立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种夏至已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S|表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|2017，且()()()n A n B n A B U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.i 是虚数单位，复数2i 1i=．10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF ，那么椭圆C 的离心率为．11．在261()x x的展开式中，常数项是（用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x yx y y+则=2z xy 的最大值为．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为；在滚动过程中，OB OP uu u r uu u r的最大值为．(大雪)(小雪) (立冬) (霜降) (寒露) (秋分) (白露) (处暑) (立秋) (大暑) (小暑)晷影长（寸）1355125.64115.163105.26295.36285.4675.5566.56455.66345.76235.86125.9616.0P O yxB 1C 1A 1C (B)ADCBA14．已知()f x 为偶函数，且0x 时，][)(x x x f （][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k R ，若1k ，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC ，2CD，7AD，7sin 7B.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ；（Ⅱ）已知二面角P BF C --的余弦值为66，求四棱锥P ABCD -的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：CBPGF D EQA为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e xf x x 与函数21()2g x xax 的图象在点(00)，处有相同的切线.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x bR ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p 的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2p x 分别交于S ，T 两点，试判断FS FT uu r uu u r是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.中学甲乙丙丁人数3040201020.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112nn c c .（Ⅰ）若117c ，写出数列{}n c 的前4项；（Ⅱ）对于任意11c ，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c 时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案B DCBDACB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i 10．5311．1512．413．83；2314．2；1111,,3432U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC ADCDACC2cos 222 (2)2123272322 (4)因为0C ，所以3C. (6)（Ⅱ）因为3C，所以23sin C. ………………．8分在△ABC 中，由正弦定理，得CAB BAC sin sin ，………………．10分即2213AB，所以边AB 的长为2213. (13)16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =.因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =.又因为EC ‖AD 且12EC AD =，所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, (3)所以EG ‖HC .又因为EG ?平面PDCQ ，HC ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． (5)（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ，平面PDCQ I 平面ABCD CD =，P D D C ^，PD ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． (6)如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则()()()00002201P ,,a F ,,B ,,，，． (7)分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m . (8)设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z n，()10PF ,,a uu u r =-()120FB ,,uu r=,则0,=0.PF FB uu u ruurn n 即+2=0xazx y 令x=1，得11,2zya ，所以11(1,,)2an． (10)由已知，二面角P BF C --的余弦值为66，所以得216cos <,>||||6514a am n m n m n ， (11)解得 a =2,所以2PD =． (13)因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433PABCDV ．yzxCBP GF DEQAH (14)17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010，所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3.………………３分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C种，………………5分来自同一所中学的取法共有222291263120CCCC．………………7分所以1208()43529P A ．答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829．………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2，………………9分262151(0)7C P X C，119621518(1)35C C P X C，2921512(2)35C P X C．……………12分所以X 的分布列为： (14)18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x xf x x ，所以(0)1f .………………．2分因为()g x x a ，所以(0)g a . (4)因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ，所以1a . ……．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x xx ,X012P1718351235令21()()()e2xh x f x bg x x bxbx ，[1,2]x ，则()e e (1)(1)(e )x xxh x x b x xb ． (6)(1)当0b 时，[1,2]x ，()0h x ，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b ；………………．7分(2)当0b时，由()=0h x 得，ln xb ， (8)①若ln 1b，即0e b，则[1,2]x，()0h x ，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e2h b . (9)②若1ln 2b ，即2ee b，则(1,ln )x b ，()0h x ，(ln 2)x b ，，()0h x ，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数，故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b ； (11)③若ln 2b，即2e b，则[1,2]x，()0h x ，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e4h b . (12)综上所述，当e b时，()h x 的最小值为3(1)=e2h b ，当2ee b 时，()h x 的最小值为21ln 2b b ，当2e b时，()h x 的最小值为22e4b . (13)19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22ypx ，得42p ，解得2p ，所以抛物线C 的方程为24yx . (4)（Ⅱ）因为2p ，所以直线2p x为1x，焦点F 的坐标为(1,0)设直线PQ 的方程为1xty ，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，则直线OP 的方程为14yx y ,直线OQ 的方程为24yx y . (5)由14,1,y x y x 得14(1,)S y ，同理得24(1,)T y ． (7)所以14(2,)FSy uu r ，24(2,)FT y uu u r ，则12164FS FTy y uu r uu u r ． (9)由21,4,x ty yx 得2440yty ，所以124y y ， (11)则164(4)FS FTuu r uu u r440．所以，FS FT uu r uu u r的值是定值，且定值为0. ………………．13分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777 (4)（Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为 1.解法一：猜想10nc ，下面用数学归纳法进行证明.（1）当1n时,11c ，结论成立.（2）假设当)(*N k k n 时结论成立，即10k c ，当1k n 时,22k c ,所以1121k c , 即0121k c ,所以01121k c , 故01121kc . 又因为+1=112k k c c , 所以+101k c , 所以1k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10n c 成立所以1M ,当112c 时,可得当2n 时, 1n c ,此时, M 的最小值为 1 故M 的最小值为 1.解法二：当2n 时，若存在2,3,4...,k满足11k c ,且1k c . 显然1,21,01k c ，则1211k c 时，1221k k c c 与1k c 矛盾；2101k c 时，121k k c c 与1k c 矛盾；所以01(2)n c n 所以1M ,当112c 时,可得当2n 时, 1n c ,此时, M 的最小值为1故M 的最小值为1.……………………10分（Ⅲ）2………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市2017届高三数学(理)综合练习32 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2|4A x x =∈<N ，{}2|230B x x x =∈--<R ，则A B =I （）、 A ．{}101-，，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<<2. 已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b r r ，满足1a b a b ==+=r r r r，则向量a b r r ，夹角的余弦值为（） A ．12 B ．12- C 3 D ．35.已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（）A 5B 5C 53D ．5或57.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）命题():1p f x +是偶函数；命题():1q f x +在()01，上是增函数；命题():r f x 恒过定点()11，；命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭． A ．命题p 、q B ．命题q 、r C ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上． 9. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为．12.如图所示程序图运行的结果是．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin cos 23sin 3444x x xf x =-+．⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π103f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分）已知集合{}12320112012S =L ，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值； ⑶ 设123m A A A A L ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =L ，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =⋅-∑≤数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（II ）24tan 27α=-．16、（I ）略；（II ）二面角A PD C --的余弦值为（III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、（I ）A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件，D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为18、（I ）()f x 的极大值点为13x =-；（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞U ．19、（I ）椭圆的方程为22143x y +=；（II ）AB CD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集”；Q 是S 的“好子集”；（II ）A 的最大值为671；（III ）略．提示：（II ）考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7,,2011A =L 即可．（III ）12,,,m A A A L 是S 的“好子集”的条件多余，可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．。

2017届北京市丰台区高三上学期期末练习数学(理)答案

丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CD AC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分（Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =.因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =，所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ，平面PDCQ I 平面ABCD CD =，PD DC ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r =, 则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n ……………….11分解得a =2,所以2PD =． ……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=，所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==．答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分 ①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数，故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -，当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -，当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分 19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分（Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市2017届高三数学(理)综合练习1 含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为（）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 2．函数()x x f 2sin =的最小正周期为 ( ）A ．π B.π2 C 。

π3 D 。

π43．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（）A ．x 2－y 2=1B ．x 2－y 2=2C ．x 2－y 2=2D ．x 2－y 2=214．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面βαβα平面内任意一条直线，则平面平面////m ;③若平面βαβα平面则直线直线内的直线平面的交线为与平面⊥⊥n m n m ,,；④若平面α内的三点A 、B 、C 到平面β的距离相等，则βα//。

其中正确命题的个数为（ )个。

A ．0 B ．1C ．2D ．35.圆()3122=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周所得的几何体的体积为（）A 。

π36B 。

π12C ．π34 D. π46．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ,作向量a =(m,n ）．则向量a 与向量b=（1,—1）的夹角成为直角三角形内角的概率是( ）A ．712B ．512C ．12347。

定义运算：12122112a a ab a b b b =-，将函数()3sin 1cos x f x x=的图象向左平移t (0t >）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为（）A ． 3π B ．6π C ．56πD ．23π 8.下列结论 ①命题“0,2>-∈∀x xR x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”； ②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方； ③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0. ④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥。

北京市2017届高三数学(理)综合练习40 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，则=⋂B A C U )(A ．{0}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是 A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．24 7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -, 不同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种11主视图左视图俯视图8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是（用数字作答）． 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是． 11．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PB PA 3=则=BCPB． 12．当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的值；P（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；（Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈．（Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．解：（Ⅰ）∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<， ∴3A π=； -------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）∵Aax b sin sin =， ∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ， ∴62x ππ+=即3x π=时，max y =分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；（Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．（Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，)0, 0A，()0, 0B ，()0, 0C ， ()0, 0D .所以() 0, 0AC =-u u u r ，()0, 0BD =-u u u r.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒.所以(, 0, )22E a ，(, )22BE a a =-u u u r . 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n .易知()0, 0BD =-u u u r是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02a BD a ⋅=⋅-=-u u u r n ，所以BD ⊥u u u rn ，所以平面BDE ⊥平面SAC .-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =u u u r是平面SAC 的一个法向量.由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 452OS 〈〉=︒=u u u r n ，2=，解得1a =.[ 所以点E 是SC 的中点.-----------------------------------------------------------------14分 17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率．解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件------------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,222824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,21224011(2)130C P C ξ===, ξ的分布列为-------------------------------------------------------9分（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B ξ，故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ-----------------------13分18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈．（Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）Θx x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f -----------------------------------------------------------4分（Ⅱ）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='，当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+------------------------------------------------8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ② 当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.---------------------13分 19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+y x ---------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ，设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ----------------------------6分得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分）直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ----------------------------------------9分（Ⅲ）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*）记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ．解得67=k ，此时（*）方程0>∆， ∴存在67=k ，满足题设条件．------------------------------------------------------14分 20．（本小题满分13分）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．解：（Ⅰ）由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20.综上，数列{}n a 是T 数列.------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）因为11331350(1)50502222n n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当1350022n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是 1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭----------------------------------------9分（Ⅲ）①当12p <≤时，当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤，即当615p <≤时符合122++≤+n n nc c c 条件. 若2n ≥，则1≤n p ,此时1n pc n=- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n p c n =-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； ②当23p <≤时，取1n =则：1231,1,1,23p pc p c c =-=-=- 由0322231>-=-+pc c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列 ③当3p >时，取1n =则1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由1325206pc c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列 -----------------------------------------------------------------------------13分。

北京市2017届高三数学(理)综合练习34 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x x A x ,42211的元素个数有（） A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．无数个2. 若()014455513a x a x a x a x ++⋅⋅⋅++=+，则2a 的值为（） A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x3. 若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则921a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（） A ． 1023B ．1025C ．1062D ． 20474. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ 5.已知命题(1)∃ α∈R ，使sin cos 1αα=成立；(2) ∃ α∈R ，使()β+α=β+αtan tan tan 成立；(3) ∀α，β∈R ，有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立； (4)若B A ,是ABC ∆的内角，则“B A >” 的充要条件是“B A sin sin >”．其中正确命题的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．46.已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（）7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}654321，，，，，=S .令事件{}5,3,2=A ,事件{}65421，，，，=B ，则()B A P 的值为（） A ． 53B ．21 C ．52 D ．518. 如图抛物线1C ： px y 22=和圆2C : 42222p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则CD AB ⋅的值为（）A ． 42pB ． 32pC ． 22pD ．2p第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的值域是 . 10. 若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= . 11.如图，D C B A ,,,为空间四点,ABC △是等腰三角形，且o 90=∠ACB ,∆ADB 是等边三角形.则AB 与CD 所成角的大小为 .12. 如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ，则圆O 的半径等于．13.数列721,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有5个a ，2个b ()b a ≠，则不相同的数列共有个.A ． ()x x x f ln 2+=B ． ()x x x f ln 2-=C ．()x x x f ln +=D ．()x x x f ln -=DBAAEOBPCD14. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题： ①1cos =θρ与曲线y y x =+22无公共点； ②极坐标为 (23，π43)的点P 所对应的复数是-3+3i ； ③圆θ=ρsin 2的圆心到直线01sin cos 2=+θρ-θρ④()04>ρπ=θ与曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0相交于点P ,则点P 坐标是1212(,)55. 其中假命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο，相距10海里C 处的乙船.（Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与成θ角，求()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ=()R x ∈的值域.16. （本小题共13分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（Ⅰ）求这个组合体的表面积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形.（i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；北2010 A B ••C（ii ）设点P 为棱11D A 上一点，求直线AP 与平面D C AB 11所成角的正弦值的取值范围.17. （本小题共13分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；(Ⅱ)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.18. （本小题共13分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有12+=n n a S ．(I) 求1a ，2a 的值；(II) 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，kk k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n b 的前12+n 项和12+n T ．19. （本小题共14分）已知函数()xxx f ln =. （I ）判断函数()x f 的单调性；（Ⅱ）若=y ()x xf +x1的图像总在直线a y =的上方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()x f 与()3261+-=x m x x g 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值.20.（本小题共14分）已知0>p ，动点M 到定点F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2p .（I ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设B A ,是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0OA OB ⋅=uu r uu u r,求AOB ∆面积的最小值；（Ⅲ）在轨迹C 上是否存在两点Q P ,关于直线()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得2BC =202+102－2×20×10COS120°=700.∴BC =107. ……………………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ……………………………………13分 16. （本题满分13分）(Ⅰ)=表面积S 104421210810828822⨯⨯π+⨯π⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=π+56368. ………4分(Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………9分（ii ）建立直角坐标系xyz D -，则()0,0,10A ,()8,0,m P∴()8,0,10-=m ∵D C AB B A 111平面⊥∴()8,8,01-=B A 为平面D C AB 11的法向量()()64102428641064sin 22+-=⋅+-==θm m∵[]10,0∈m∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈θ22,41822sin . …………………………13分 17. （本题满分13分）解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：64141412121=⨯⨯⨯.………5分(Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：()649434321214=⨯⨯⨯==ξP ()64242434121212434321215=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==ξP()64226==ξP ()6487==ξP ()==ξ8P 64141412121=⨯⨯⨯分布列为：……………………………13分18. （本题满分13分）解： (I) 当1=n 时，1211+=a a ，∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，11222+=+a a ，∴212=+a ，32=a ;……………3分 (II) ∵12+=n n a S ，∴()214+=n n a S()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列，∴21=--n n a a ，∴12-=n a n ； …………………8分（Ⅲ）()[]()()[]()242312111123131++-++++-++=+a a a a b T n +⋅⋅⋅+()nn a 32+=1+()()()()[]nn n S 1113332122-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++=1+()()()()()()111113131322-----+--+nn n =()2182321nn n -++-+. …………………13分 19.（本题满分14分）解：（Ⅰ）可得'21ln ()xf x x -=. 当0x e <<时,'()0f x >,()f x 为增函数;当e x <时,'()0f x <,()f x 为减函数. ……4分（Ⅱ）依题意，转化为不等式xx a 1ln +<对于0>x 恒成立令1()ln g x x x=+，则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是(1)+∞，上的增函数，当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()g x 是()1,0上的减函数，所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，从而a 的取值范围是()1,∞-. …………………8分（Ⅲ）转化为m x x x -+=3261ln 2，x y ln =与m x x y -+=32612在公共点00(,)x y 处的切线相同由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=323113261ln 000200x x m x x x∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代人第一式，即有65=m . (4)20.（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵动点M 到定点F 与到定直线2px -=的距离相等 ∴点M 的轨迹为抛物线，轨迹C 的方程为：px y 22=. ……………4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A∵0OA OB ⋅=uu r uu u r∴02121=+y y x x ∵2221212,2px y px y == ∴2214p x x = ∴()()222222211221144AOBSOA OB x y x y ∆==++uu r uu u r =()()2221212241px x px x ++ =()()[]21221212214241x x p x x x px x x +++ ≥()[]212212122142241x x p x x x px x x +⋅+=416p ∴当且仅当p x x 221==时取等号，AOB ∆面积最小值为24p . ……………9分（Ⅲ）设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在轨迹C 上 ∴4243232,2px y px y ==两式相减得：()()()4343432x x p y y y y -=+-∴pk y y x x p y y 22434343-=--=+∴pk y -=0∵()00,y x D 在()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 上 ∴020<-=px ，点()00,y x D 在抛物线外 ∴在轨迹C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. ……………14分。

北京市2017届高三数学(理)综合练习42 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）第I 卷选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题纸上。

1. n S 是数列{}n a 的前项和，且2,111++=+n n a a a ，则5S =（） (A)40 (B)35 (C)30 (D) 252．参数方程2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（）(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆3．正方形ABCD 的边长为1，||AB BC AC ++u u u r u u u r u u u r=（）（A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）22 4．在ABC ∆中，6A π=，1,2a b ==B = ( )(A)4π (B) 43π (C) 4π或43π (D)6π 或65π5．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）66. 如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有（）（A ）a 1>a 2 （B ）a 1<a 2 （C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关7．圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为( )(A) 250x y --= (B) 210x y --= (C)20x y --= (D) 40x y +-=8．已知定点(1,2)M ，点P 和Q 分别是在直线l ：1y x =-和y 轴上动点，则当△MPQ 的周长最小值时，△MPQ 的面积是( )0795455184464793m甲乙开始(A)45 (B) 56(C) 1 (D) 23第II 卷非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

北京市2017届高三数学(理)综合练习67 Word版含答案

N MD 1C 1A 1DCBA北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数()22z i =-在复平面内对应的点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知双曲线()222104x y b b-=>5b 等于A ．1B ．2C 5D ．53．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别是11A B ，1BB 的中点，过点M ，N ，1C 的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是A B C D 4．已知1a =-，32log b m =，那么“a b =”是“33m =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x =2,>0,2,<0,x x x x -⎧⎪⎨⎪⎩-那么该函数是A ．奇函数，且在定义域内单调递减B ．奇函数，且在定义域内单调递增C ．非奇非偶函数，且在(),0+∞上单调递增D ．偶函数，且在(),0+∞上单调递增 6．将函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是A ．3x π=B ．6x π=-C ．3x π=-D ．23x π=-7．李涛同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金. 李涛同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95﹪，不同的选择方式的种数是 A ．3B ．4C ．5D ．68．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t ，使得()()0f x t tf x ++=对任意x 都成立，则称()f x 是“回旋函数”．给下列四个命题：①函数()1f x x =+不是“回旋函数”；②函数()2f x x =是“回旋函数”；③若函数()x f x a =()1a >是“回旋函数”，则0t <； ④若函数()f x 是2t =时的“回旋函数”，则()f x 在[]0,4030上至少有2015个零点．其中为真命题的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,B m =，且B A ⊆，那么实数m =_______. 10．已知数列{}n a 中，22a =，120n n a a +-=，那么数列{}n a 的前6项和是_______.11_________.12题12．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PC 过圆心O ，且与圆O 交于B ，C 两点，过C 点作CD PA ⊥，垂足为D ，4PA =，6BC =，那么_______.CD = 13．11位数的手机号码，前七位是1581870，如果后四位只能从数字1，3，7中选取，且每个数字至少出现一次，那么存在1与3相邻的手机号码的个数是__________.14．如图，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，120ADC ∠=︒，2AD DC ==，4AB =，动点M 在BCD ∆内（含边界）运动，设AM AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围是______．OB 1A 1C 1CBA三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知5c =，23B π=，ABC ∆的面积是4（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos2A 的值．16．（本题满分13分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在[)25,30，[)55,60的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.（Ⅰ）求年龄在[)25,30的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（Ⅱ）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（Ⅲ）若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 17．（本题满分14分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，且3A AC π∠=1，点O 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面1A OB ；（Ⅱ）求二面角1B AC B --的余弦值；（Ⅲ）若点B 关于AC 的对称点是D ，在直线1A A 上是否存在点P ，使//DP 平面1AB C .若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由. 18．（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点是()1,0F -，上顶点是B ，且2BF =，直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于M ，N 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若在x 轴上存在点P ，使得PM PN ⋅uuu r uuu r与k 的取值无关，求点P 的坐标.19．（本题满分13分）已知函数()1xf x aex -=-+，.a R ∈（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在()(),00f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意(),x ∈+∞0，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当(),x ∈+∞0时，求证：2122.2xe x x --<- 20．（本题满分14分）设函数()()2xf x m x =+，方程()f x x =有唯一解，数列{}n a 满足()()1n n f a a n N *+=∈，且()123f a =，数列{}n b 满足()43.n n n a b n N a *-=∈ （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）数列{}n c 满足()11n n n c n N b b *+=∈⋅，其前n 项和为n S ，若存在n N *∈，使 ()142n kS n k =+∈R 成立，求k 的最小值；（Ⅲ）若对任意*n N ∈，使不等式12111111n t b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 求实数t 的最大值．高三数学（理科）考试参考答案二．填空题：9.2或4 10. 6311. 012. 24513. 2614.31,42⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 三．解答题： 15．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为ABC ∆的面积是4，5c =，23B π=，所以1sin 2ac B =4 即1522a ⋅⋅=4 所以 3.a = …………………… 4分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22259253cos49.3b π=+-⨯⨯⨯= 所以7.b =…………………… 7分（Ⅱ）由正弦定理.sin sin a bA B= 所以3sin 7A == …………………… 10分所以2271cos 212sin 12.1498A A ⎛⎫=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭…………………… 13分16．（本题13分）解： (Ⅰ) 设“年龄在[),2530的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A ，所以()23253.10C P A C == …………………… 3分(Ⅱ) 设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B ，所以()21111222321322322222225353531.2C C C C C C C C P B C C C C C C =++= …………………… 7分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3.所以223222531(0)10C C P X C C ===，11221132232122532(1)5C C C C C C P X C C +===， 221111223221225313(2)30C C C C C C P X C C +===，21122122531(3).15C C C P X C C === …………………… 11分所以X 的分布列是…………………… 12分所以0EX =⨯1101+⨯252+⨯13301315+⨯22.15= …………………… 13分 17．（本小题14分）解：（Ⅰ）连结1A C ，因为1AC AA =， 13A AC π∠=，AB BC =，点O 为AC 的中点，所以1A O AC ⊥，.BO AC ⊥因为1AO BO O =I ，所以AC ⊥平面.1A OB …………………… 4分（Ⅱ）因为侧面11A ACC ⊥ 底面ABC ，所以1A O ⊥ 平面.ABC 所以.1A O BO ⊥ …………………… 5分所以以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以(),,010A -，),00B，(),,010C，(,100A，11B ，所以(1AA =u u u r，1AB =u u u r ，(),,.020AC =u u u r设平面1AB C 的法向量为(),,n x y z =r ，所以,,1n AB n AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩r u u u u rr u u u r即,.2020y y ++==⎪⎩所以()1,0,1n =-r. …………………… 7分因为平面ABC的法向量为(1AO =u u u r ，所以<1cos ,AA n ==u u u r所以二面角1B AC B --的余弦值是2…………………… 9分（Ⅲ）存在.因为点B 关于AC 的对称点是D，所以点(),.00D …………………… 10分假设在直线1A A 上存在点P 符合题意，则点P 的坐标设为(),,x y z ，1.AP AA λ=u u u r u u u r所以(),1,.AP x y z =+u u u r所以(),.01P λ-所以).DP λ=-u u u r…………………… 12分因为//DP 平面1AB C ，平面1AB C 的法向量为()1,0,1n =-r，所以由0.DP n ⋅=u u u r r，得.0=所以.1λ= …………………… 13分所以在直线1A A 上存在点P ，使//DP 平面1AB C ，且点P 恰为1A 点. ………… 14分 18．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的左焦点是()11,0F -，且112B F =，所以1c = ， 2.a = …………………… 1分所以由222a b c =+，得23.b = …………………… 2分所以椭圆C 的标准方程是221.43x y += …………………… 3分（Ⅱ）因为直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于M , N 两点，联立方程组()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()22223484120.k x k x k +++-=…………………… 5分所以21441440.k ∆=+> …………………… 6分所以设点()11,M x y ，()22,N x y ，()0,0P x ，所以2122834k x x k -+=+，2122412.34k x x k -=+g …………………… 7分所以()()101202,,PM PN x x y x x y ⋅=-⋅-u u u u r u u u r()()102012x x x x y y =-⋅-+()()()221201201211x x x x x x k x x =⋅-+++++ ()()()22221201201k x x k x x x k x =+⋅+-+++()()2222220022412813434k k k k x k x k k--=+⋅+-⋅++++ 24242242002412412883434k k k k x k k k x k -+--+++=++ ()2022851234x k x k --=++ …………………… 9分因为PM PN ⋅u u u u r u u u r与k 的取值无关，所以0854.123x -=- …………………… 12分所以011.8x =-所以点P 的坐标是11,0.8⎛⎫- ⎪⎝⎭…………………… 13分 19．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为()1xf x ae x -=-+，1a = ，所以().1xf x ex -=-+ 所以().1x f x e -'=--所以()02f =，().02f '=-所以切线方程是22y x -=-，即220.x y +-= …………………… 3分（Ⅱ）由()0f x <可得.10xaex --+<所以().1xa x e <- …………………… 4分令()().1xg x x e =- 所以().0xg x xe '=>所以()g x 在(),0+∞上单调递增. …………………… 6分所以().10g x -<< 所以 1.a ≤- …………………… 8分（Ⅲ）令().21222xh x ex x -=--+所以().221x h x e x -'=--+ …………………… 9分由（Ⅱ）可知，当2a =-时， ().210x f x e x -=--+< …………………… 11分所以().0h x '<所以()h x 在(),0+∞上单调递减. …………………… 12分所以()().00h x h <= 所以.21222xex x --<- …………………… 13分 20．（本题14分）解：（Ⅰ）因为()()2xf x m x =+，方程()f x x =有唯一解，所以().2xx m x =+ 即()()22100mx m x m +-=≠有唯一解.所以24410.m m ∆=-+= 所以1.2m = …………………… 2分所以().22xf x x =+ 所以().122nn n n a f a a a +==+ 所以.11220n n n n a a a a +++-= 所以.12210n n a a ++-= 所以.11112n n a a +-= …………………… 3分因为()123f a =，所以.112223a a =+ 所以.11a = 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为12的等差数列. …………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111.22n n a =+ 所以2.1n a n =+ 因为43nn na b a -=，所以2 1.n b n =-所以()()111111.212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭所以111111123352121n S n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L 111.22121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ …………………… 7分因为142n kS n =+，所以21744172.2n n k n n n ++==++ 所以1725422k ≥+=，当且仅当4n n=，即2n =时等号成立. 所以k 的最小值是25.2…………………… 9分（Ⅲ）因为12111111n tb b b ≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以111111b b b t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪≤L令()111111b b b g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪=L …………………… 10分因为1121102121n n b n n +=+=>--，所以()0.g n > …………………… 11分所以()()111b g n g n ⎛+ +=1.==> …………………… 13分所以()g n 是递增数列. 所以()()13g n g ≥=所以3t ≤. ……………………14分所以t的最大值是3。

北京市丰台区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】

北京市丰台区2016-2017学年度高三第二次统练理科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}14A x x =≤≤，{}2B x x =>，那么A B =（）A ．()24，B ．(]24，C ．[)1+∞，D ．()2+∞，2．下列函数中，既是偶函数又是()0+∞，上的增函数的是（） A ．3y x =-B ．2xy =C ．12y x =D ．()3log y x =-3．在极坐标系中，点4π⎫⎪⎭到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（）A ．2BC ．2D ．24．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（）A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y - 5．已知向量3122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，()31b =-，，则a ，b 的夹角为（）A ．4πB ．3πC ．2π D ．23π 6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（）A ．1BCD ．27．()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆，，，，，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是（） A ．10 B ．11 C ．12D ．138．血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（） ① 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用② 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③ 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数34ii+对应的点的坐标为__________． 10．执行如图所示的程序框图，若输入6x =的值为6，则输出的x 值为__________．11．点A 从()10，出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，，记AOB α∠=，则sin 2α=__________．12．若x y ，满足11y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩且22z x y =+的最大值为10，则m =__________．13．已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()()ln f x x x =-+；当e x e -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，()()2f x f x +=，则()8f =__________． 14．已知O 为ABC ∆的外心，且BO BA BC λμ=+． ①若90C ∠=，则λμ+=__________；②若60ABC ∠=，则λμ+的最大值为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，2sin a B b =．（Ⅰ）求A ∠的大小；cos 6B C π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的取值范围．某社区超市购进了A B C D ，，，四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i ，，，，，）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，2260AB AD DAB ==∠=，，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF 平面ABCD ．（Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：//EG 平面BDF ；（Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC的值；若不存在，说明理由．已知函数()ln x f x e a x a =--．（Ⅰ）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于()()0a e f x ∀∈，，在区间1ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有极小值，且极小值大于0．已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设()40P -，，直线1y kx =+与椭圆E 交于A B ，两点，若直线PA PB ，均与圆()2220x y r r +=>相切，求k 的值．若无穷数列{}n a 满足：k N *∃∈，对于()00n n n N *∀≥∈，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“()0P k n d ，，”．（Ⅰ）若{}n a 具有性质“()320P ，， ”，且246783518a a a a a ==++=，，，求3a ；（Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，133128b c b c ====，，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“()210P ，， ”，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“P （i ，2，d 1）()12P i d ，，”，又具有性质“()22P j d ，，”，其中i j N *∈，，i j i j <，，互质，求证：{}n a 具有性质“12j i P j i i d i -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，， ”．2017年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B=（）A．（2，4）B．（2，4] C．[1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B={x|x≥1}=[1，+∞），故选：C2．（5分）下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y=﹣x3B．y=2|x|C．y=D．y=log3（﹣x）【解答】解：解：对于A，是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，不正确；对于B，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数，正确，对于C，非奇非偶函数，不正确；对于D，非奇非偶函数，不正确，故选B．3．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．4．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；故选C．5．（5分）已知向量=（，），=（，﹣1），则，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（，），=（，﹣1），∴=﹣=||•||•cosθ=1•2cosθ，求得cosθ=，∴θ=，故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2，四棱锥的4个侧面面积分别为：=；=；=；=．最大侧面面积为：．故选：C．7．（5分）S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S（A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：由题意得符合条件的非空集合A有：{3}，{1，2}，{1，5}，{2，4}，{4，5}，{1，2，3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共有11个．故选：B．8．（5分）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（4，﹣3）．【解答】解：复数==﹣3i+4对应的点的坐标为（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为0．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=6执行循环体，y=4，x=4不满足条件x≤1，执行循环体，y=2，x=2不满足条件x≤1，执行循环体，y=0，x=0满足条件x≤1，退出循环，输出x的值为0．故答案为：0．11．（5分）点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B的坐标是，，记∠AOB=α，则sin2α=﹣．【解答】解：由题意可得：sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故答案为：﹣．12．（5分）若x，y满足且z=x2+y2的最大值为10，则m=4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；则k＞1，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方由图象知，O到A的距离最大，∵z=x2+y2的最大值为10，由，解得A（m﹣1，1），则OA==即m2﹣2m+2=10，即m2﹣2m﹣8=0，解得m=4或m=﹣2（舍），故m=4，故答案为：4．13．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x；当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞1时，f（x+2）=f（x），则f（8）=2﹣ln2．【解答】解：∵当x＞1时，f（x+2）=f（x），∴当x＞1时，f（x）的周期为2．∴f（8）=f（2），∵当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2）=﹣f（﹣2），∵当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x，∴f（﹣2）=ln2﹣2，∴f（8）=f（2）=2﹣ln2，故答案为：2﹣ln2．14．（5分）已知O为△ABC的外心，且．①若∠C=90°，则λ+μ=；②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为．【解答】解：①若∠C=90°，则O是斜边AB的中点，如图①所示；∴=，∴λ=，μ=0，∴λ+μ=；②设△ABC的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，∵∠ABC=60°，∴AOC=120°，设A（1，0），C（﹣，），B（x，y），则=（1﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），∵，∴，解得，∵B在圆x2+y2=1上，∴（）2+（）2=（λ+μ﹣1）2，∴λμ=≤（）2，∴（λ+μ）2﹣（λ+μ）+≥0，解得λ+μ≤或λ+μ≥2，∵B只能在优弧上，∴λ+μ≤，即λ+μ得最大值为．故答案为：（1），（2）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在锐角△ABC中，2asinB=b．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求sinB﹣cos（C+）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）利用正弦定理化简b=2asinB，得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．（Ⅱ）∵=sin（﹣C）﹣cos（C+）=sin（C+）﹣cos（C+）=2sinC，又∵A=，△ABC为锐角三角形，可得：＜C＜，∴＜sinC＜1，∴=2sinC∈（，2）．16．（13分）某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i，i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）【解答】解：（I）由题意可得：5××30=3000（件）．因此产品A的月销售量约为3000（件）．（II）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率==．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为ξ，则ξ～B（3，）．P（ξ=k）=．随机变量X=2ξ的分布列为：EX==．（III）某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐B种新产品．17．（14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴CD=AB﹣2ADcos60°=1，即CD=AB．∵CD EF，CD AB，又BG=AB，∴EF BG，∴四边形EFBG是平行四边形，∴EG∥BF，又EG⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴EG∥平面BDF（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD==，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD．以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则A（1，0，0），E（0，0，1），B（0，，0），D（0，0，0），F（﹣，，1）∴=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（﹣，，1），设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1得=（2，0，1），∴cos＜，＞===﹣，设直线AE与平面BDF所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．（3）解：设H（﹣，，h），（0≤h≤1）当h=0时，显然平面BDF与平面HAD不垂直，则=（﹣，，h），=（1，0，0），设平面HAD的法向量为=（x，y，z），则，，∴，令y=得=（0，，﹣）．假设存在点H，使得平面BDF⊥平面HAD，则，∴=﹣=0，方程无解．∴线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD．18．（13分）已知函数f（x）=e x﹣alnx﹣a．（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间，上有极小值，且极小值大于0．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=e x﹣alnx﹣a，x＞0，由a=e，则f（x）=e x﹣e（lnx﹣1），求导f′（x）=e x﹣，由f（1）=0，f′（1）=0，∴y=f（x）在（1，f（1））处切线方程为y=0，（Ⅱ）由a∈（0，e），则导f′（x）=e x﹣，在（，1）上是单调递增函数，由f′（）=﹣e＜0，f′（1）=e﹣a＞0，则∃x0∈（，1）使得﹣=0，∴∀x∈（，x0），f′（x0）＜0，∀x∈（x0，1），f′（x0）＞0，故f（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴f（x）有极小值f（x0），由﹣=0，则f（x0）=﹣a（lnx0+1）=a（﹣lnx0﹣1），设g（x）=a（﹣lnx﹣1），x∈（，1），g′（x）=a（﹣﹣）=﹣，∴g（x）在（，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）=0，即f（x0）＞0，∴函数f（x）的极小值大于0．19．（14分）已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M，在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线P A，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），即c=1，点M，在椭圆E上，由椭圆的定义可得2a=+=+=4，即a=2，b=，则椭圆方程为+=1；（2）由P在x轴上，直线P A，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，可得k P A+k PB=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=0，即有x1y2+4y2+x2y1+4y1=0，由y1=kx1+1，y2=kx2+1，可得2kx1x2+（x1+x2）（4k+1）+8=0，①由直线y=kx+1代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，判别式△=64k2+32（3+4k2）＞0显然成立，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，代入①，可得2k•（﹣）+（﹣）（4k+1）+8=0，解得k=1．20．（13分）若无穷数列{a n}满足：∃k∈N*，对于∀ ，都有a n+k﹣a n=d（其中d为常数），则称{a n}具有性质“P（k，n0，d）”．（Ⅰ）若{a n}具有性质“P（3，2，0）”，且a2=3，a4=5，a6+a7+a8=18，求a3；（Ⅱ）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c3=2，b3=c1=8，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质“P（2，1，0）”，并说明理由；（Ⅲ）设{a n}既具有性质“P（i，2，d1）”，又具有性质“P（j，2，d2）”，其中i，j∈N*，i＜j，i，j互质，求证：{a n}具有性质“，，”．【解答】（Ⅰ）解：∵{a n}具有性质“P（3，2，0）”，∴a n+3﹣a n=0，n≥2．由a2=3，得a2=a5=a8=3．由a4=5，得a7=5．∵a6+a7+a8=18，∴a6=10．即a3=10；（Ⅱ）解：{a n}不具有性质“P（2，1，0）”．设等差数列{b n}的公差为d，由b1=2，b3=8，得2d=8﹣2=6，则d=3．∴b n=3n﹣1．设等比数列{c n}的公比为q，由c3=2，c1=8，得，又q＞0，∴q=，故．∴a n=b n+c n=3n﹣1+24﹣n．若{a n}具有性质“P（2，1，0）”，则a n+2﹣a n=0，n≥1．∵a2=9，a4=12，∴a2≠a4，故{a n}不具有性质“P（2，1，0）”．（Ⅲ）证明：∵{a n}具有性质“P（i，2，d1）”，∴a n+i﹣a n=d1，n≥2．①∵{a n}具有性质“P（j，2，d2）”，∴a n+j﹣a n=d2，n≥2．②∵i，j∈N*，i＜j，i，j互质，∴由①得a m+ji=a m+jd1，由②得a m+ij=a m+id2．∴a m+jd1=a m+id2，即．②﹣①得：，n≥2，∴，即{a n}具有性质“，，”．第21页（共21页）。

北京市2017届高三数学(理)综合练习35 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）第I 卷选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z=（） A ． i 2- B ．i 2 C ．i +1 D ．i -12. 已知函数()1f x x=-的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=（）Ａ．{|1}x x >- Ｂ．{|1}x x < Ｃ．{|11}x x -<< Ｄ．∅3 ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，6AB =，则C ∠=（）6πB ．4πC ．34πD ．4π或34π4. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为（） A.12π B ． 2π C ．24π D ．4π5.设向量→a 与→b 的夹角为θ，→a =（2，1），3→b +→a =（5，4），则θcos =（）A.54B ．31 C ．1010 D ．10103 6. 若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（）A ．90B ．80C ．70D ．400.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距7．如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若3,2==AF BF BC 且，则此抛物线的方程为（） A ．x y 32=B ．x y 32= C ．x y 62=D ． x y 92=8．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且12)(,1)1(2+-≤-=-at t x f f 若函数对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（）A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-t C ．022=-≤≥t t t 或或 D ．02121=-≤≥t t t 或或第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.6(x x的展开式中的常数项是（用数字作答） 10. 如图，平行四边形ABCD 中，2:1:=EB AE ，若AEF ∆的面积等于1cm 2,则CDF ∆的面积等于 cm 2． 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）/月收入段应抽出人.12．右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .AFE D CB13. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离为______.14．给出以下几个命题： ①由曲线y=x 2与直线y=2x 围成的封闭区域的面积为34.②已知点A 是定圆C 上的一个定点，线段AB 为圆的动弦，若)(21+=， O 为坐标原点，则动点P 的轨迹为圆；③把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为A 54·A 41=480种. ④若直线l //平面α，直线l ⊥直线m ，直线l ⊂平面β，则β⊥α，其中，正确的命题有 . （将所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 15. （本题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域.16（本题满分13分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求证：BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（III ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.DPAC17. （本小题满分13分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ξ分布列和数学期望； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ). 18．（本小题满分14分）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.19. (本题满分14分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.其中F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+u u u u r u u u u r u u u u r ，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA u u u r ·OB uuu r=0，求直线l 的方程.20. (本题满分14分)已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2(n an n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．数学（理科）模拟答案及评分标准一.选择题(共40分)9．15 10. 9 11. 25 12. 1320 13.（0，2）； 14. ①② 三.解答题15．解：（I ）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+Q1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+ 221cos 22sin cos 2x x x x =+- 1cos 22cos 222x x x =+- sin(2)6x π=- ………………………………………… 4分2T 2ππ==周期∴.……………………………………………6分由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈.…………… 8分（II ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈-Q ………………………………… 9分因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值 1.又 1()()1222f f ππ-=<=Q ，当12x π=-时，()f x 取得最小值所以函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2-.16.（Ⅰ）在R t △BAD 中，AD =2，BD =22，∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD, ∴BD ⊥PA .∵,,AC PAC PA PAC AC PA A ⊂⊂⋂=平面平面, ∴BD PAC ⊥平面.………………………… 4分得332=d . ……………………………………………………………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系,则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P(2,2,0)BD =-uu u r ，(0,2,2)PD =-uu u r ，(2,0,0)CD =uu u r易求平面D P C 的法向量为()1,1,0m =,平面PBD 的法向量为()1,1,1= …………………………………………… 7分cos ,m n <>==r r 二面角B PD C --的余弦值3. …………………………………………… 9分（III ）因为Q 在DP 上，所以可设()10<<=λλDP DQ ，又()2,2,0-=Θ,()()()λλλλλ2,22,02,2,00,2,0-=-+=+=+=∴()λλ2,22,0-∴Q ,()()λλλλ,,122,2,2--=--=∴.……………………… 10分由（Ⅱ）可知平面PBD 的法向量为()1,1,1=，所以设CQ 与平面PBD 所成的角为θ，则有：22131cos sin λθ+===…………………………………… 11分所以有69221312=+λ，1612=λ，10<<λΘ， 41=∴λ ………12分所以存在且DP DQ 41=. ……………………………………………………………13分 17．（I ）由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3,且03312322333321(0)(1),327222(1)(1),339224(2)()(1),33928(3)(),327P C P C P C P C ξξξξ==⨯-===⨯⨯-===⨯-===⨯=所以ξ的分布列为………………………………………………… 5分ξ的数学期望为12480123 2.279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………7分（II ）用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，,AB C D =⋃,C D 互斥.22342221112111110()()(1),333323323323P C C ⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦…………9分54(),3P D =………………………………………………………………………… 11分 4551043434()()().333243P AB P C P D =+=+== ………………………… 13分18.解：（Ⅰ）因为()'2101af x x x =+-+………………………………………… 2分所以()'361004af =+-=因此16a =. ………………………………………………………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞()()2'2431x x f x x-+=+.………………………………………………………… 6分当()()1,13,x ∈-+∞U 时，()'0f x >;当()1,3x ∈时，()'0fx <.所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞;()f x 的单调减区间是.()1,3……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0fx =.……………………………………………… 10分所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-.……………12分所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<.因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--.……………………………………… 14分19．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，．……………………………………………1分设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以1513x +=，得123x =，1y =．………………………………………………………………… 3分M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，………………………5分消去2b 并整理得 4293740a a -+=，解得2a =（13a =不合题意，舍去）．故椭圆1C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………… 7分（Ⅱ）由12MF MF MN +=u u u u r u u u u r u u u u r知四边形12MFNF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，故l的斜率323k ==．设l的方程为)y x m =-．……………………………………………………… 8分由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，………………………………………………………………… 9分消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．…………………………………… 10分设11()A x y ，，22()B x y ，，12169mx x +=，212849m x x -=.……………………11分因为OA OB ⊥u u u r u u u r，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=⋅-⋅+21(1428)09m =-=．……………… 12分所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，故所求直线l 的方程为y =-，或y =+ …………………… 14分20.解：（I ）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， ………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分（II ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．……………………………………………………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………………………………………………………………9分（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………………………………………………………………12分即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………14分。

2017-2018年北京市丰台区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)

2017-2018学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1，0，1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤1}2．（5分）“x＞1”是“2x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在极坐标系Ox中，方程ρ=sinθ表示的曲线是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4．（5分）若x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x的值在区间[﹣2，﹣1.5）内，那么输出的y属于（）A．[0，0.5）B．（0，0.5]C．（0.5，1]D．[0.5，1）6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A．2 B．C．2 D．37．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|=|OF|，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．8．（5分）全集U={（x，y）|x∈Z，y∈Z}，非空集合S⊆U，且S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线y=x均对称．下列命题：①若（1，3）∈S，则（﹣1，﹣3）∈S②若（0，4）∈S，则S中至少有8个元素；③若（0，0）∉S，则S中元素的个数一定为偶数；④若{（x，y）|x+y=4，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）||x|+|y|=4，x∈Z，y∈Z}⊆S其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）已知单位向量，的夹角为120°，则（）•=．10．（5分）若复数z=（1+i）（1+ai）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a=．11．（5分）在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是（用数字作答）．12．（5分）等差数列{a n}的公差为2，且a2，a4，a8成等比数列，那么a1=，数列{a n}的前9项和S9=．13．（5分）能够说明“方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是．14．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣kx（k∈R）①当k=1时，函数g（x）有个零点；②若函数g（x）有三个零点，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）在△ABC 中，sin2B=2sin2B（Ⅰ）求角B=6，求b的值．（Ⅱ）若a=4，S△ABC16．（12分）某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动．为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加．根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E （X）17．（14分）P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，PA=AD=2，CD=（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM⊥平面EFD\？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣a2lnx（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（Ⅰ）求C得方程；（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=|FB|．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（14分）在数列{a n}中，若a1，a2是整数，且a n=，（n∈N*，且n≥3）（Ⅰ）若a1=1，a2=2，写出a3，a4，a5的值；（Ⅱ）若在数列{a n}的前2018项中，奇数的个数为t，求t得最大值；（Ⅲ）若数列{a n}中，a1是奇数，a2=3a1，证明：对任意n∈N*，a n不是4的倍数．2017-2018学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1，0，1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤1}【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B={x|﹣1≤x≤1}．故选：C．2．（5分）“x＞1”是“2x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x＞1得x＞0，则“x＞1”是“2x＞1”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）在极坐标系Ox中，方程ρ=sinθ表示的曲线是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：方程ρ=sinθ转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣y=0，整理得：，所以：该曲线是以（0，）为圆心，为半径的圆．故选：B．4．（5分）若x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（0，﹣1）时，z最大，且最大值为z max=0﹣2×（﹣1）=2．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x的值在区间[﹣2，﹣1.5）内，那么输出的y属于（）A．[0，0.5）B．（0，0.5]C．（0.5，1]D．[0.5，1）【解答】解：模拟程序的运行，x∈[﹣2，﹣1.5）不满足条件x≥0，可得：x=x+1∈[﹣1，﹣0.5）不满足条件x≥0，可得：x=x+1∈[0，0.5），此时，满足条件x≥0，可得：y=x∈[0，0.5）．故选：A．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A．2 B．C．2 D．3【解答】解：由三棱锥的三视图可得几何体的直观图如下图所示：C是顶点P在底面上的射影，△ABC是等腰△，BC=2，中线AD=2，PC=2，∴AC=AB=，PB=2，PA=，故最长的棱为3，故选：D．7．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|=|OF|，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|=|OF|，可得∠AOF=60°，k OA=，即：，所以，可得e2=4，解得e=2故选：C．8．（5分）全集U={（x，y）|x∈Z，y∈Z}，非空集合S⊆U，且S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线y=x均对称．下列命题：①若（1，3）∈S，则（﹣1，﹣3）∈S②若（0，4）∈S，则S中至少有8个元素；③若（0，0）∉S，则S中元素的个数一定为偶数；④若{（x，y）|x+y=4，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）||x|+|y|=4，x∈Z，y∈Z}其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若（1，3）∈S，则关于y轴对称的点（﹣1，3）∈S，关于x轴对称的点（﹣1，﹣3）∈S，故正确；②若（0，4）∈S，则S中至少有4个元素，故错误；③若（0，0）∉S，则S中元素的个数一定为成对出现，故为偶数，故正确；④||x|+|y|=4，显然图象关于x轴，y轴，和y=x对称，∴若{（x，y）|x+y=4，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）||x|+|y|=4，x∈Z，y∈Z}⊆S，故正确．故选：C．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）已知单位向量，的夹角为120°，则（）•=．【解答】解：单位向量，的夹角为120°，则（）•=+=1+1×=．故答案为：．10．（5分）若复数z=（1+i）（1+ai）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a= 1．【解答】解：z=（1+i）（1+ai）=1﹣a+（1+a）i，对应点的坐标为（1﹣a，1+a），∵在复平面内所对应的点在虚轴上，∴1﹣a=0，得a=1，故答案为：111．（5分）在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是﹣40（用数字作答）．【解答】解：在（2﹣x）5的展开式中，通项公式为T r+1=•25﹣r•（﹣x）r，令r=3，得展开式中x3项的系数是（﹣1）3••25﹣3=﹣40．故答案为：﹣40．12．（5分）等差数列{a n}的公差为2，且a2，a4，a8成等比数列，那么a1=2，数列{a n}的前9项和S9=90．【解答】解：等差数列{a n}的公差d为2，且a2，a4，a8成等比数列，可得a42=a2a8，即为（a1+6）2=（a1+2）（a1+14），解得a1=2，S9=9a1+×2=18+72=90．故答案为：2，90．13．（5分）能够说明“方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是（﹣∞，1]∪{2}∪[3，+∞）．【解答】解：由（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）所表示的曲线是椭圆，可知（m﹣1）（3﹣m）≠0，得+=1．∴，解得1＜m＜3且m≠2．∴曲线表示圆时m的取值范围是（1，2）∪（2，3）；∴“方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是m∈（﹣∞，1]∪{2}∪[3，+∞）中任取一值即为正确答案．故答案为：（﹣∞，1]∪{2}∪[3，+∞）．14．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣kx（k∈R）①当k=1时，函数g（x）有1个零点；②若函数g（x）有三个零点，则k的取值范围是（0，] ．【解答】解：①当k=1时，g（x）=0，即f（x）=x，由0＜x＜π，xsinx=x，即为sinx=1，解得x=；x≥π，=x，解得x=0或1舍去，则g（x）的零点个数为1；②若函数g（x）有三个零点，当x≥π，=kx，（k＞0），最多一解，即有x=≥π，解得0＜k≤；又0＜x＜π时，xsinx=kx，即为sinx=k有两解，则k＞0且k≠1．综上可得0＜k≤．故答案为：1，（0，]．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）在△ABC中，sin2B=2sin2B（Ⅰ）求角B（Ⅱ）若a=4，S=6，求b的值．△ABC【解答】解：（Ⅰ）因为sin2B=2sin2B，所以2sinBcosB=2sin2B．因为0＜B＜π，所以sinB≠0，所以tanB=，所以B=．（Ⅱ）由a=4，B=，S△ABC=6=acsinB，可得：=6，解得c=6．由余弦定理可得b2=42+62﹣2×=28，解得b=2．16．（12分）某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动．为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加．根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）【解答】解：（Ⅰ）依题意，所以b=3．因为a=100﹣（12+20+15+30+10+3）=10，所以a=10，b=3．（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件A，则P（A）==．所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为．（Ⅲ）X可取0，10，20，30，40．P（X=0）=，P（X=10）==0.2，P（X=20）==0.5，P（X=30）==0.12，P（X=40）=．所以随机变量X的分布列为：所以E（X）=0×0.03+10×0.2+20×0.5+30×0.12+40×0.15=21.6．17．（14分）P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，PA=AD=2，CD=（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM⊥平面EFD\？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点G，连接AG，FG．因为F，G分别是PC，PD的中点，所以FG∥CD，且FG=CG．因为ABCD是矩形，E是AB中点，所以AE∥FG，AE=FG．所以AEFG为平行四边形．所以EF∥AG．又因为AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD．因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD．如图建立直角坐标系A﹣xyz，所以E（，0，0），F（，1，1），D（0，2，0），所以=（0，1，1），=（，﹣2，0）．设平面EFD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（2，1，﹣1）．又因为=（），设PC与平面EFD所成角为θ，所以sinθ=|cos＜＞|==．所以PC与平面EFD所成角的正弦值为．（Ⅲ）因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以只要在BC上找到一点M，使得DE⊥AM，即可证明平面PAM⊥平面EFD．设BC上存在一点M，则M（），（t∈[0，2]），所以=（）．因为=（﹣，2，0），所以令=﹣1+2t=0，解得t=．所以在BC存在一点M，使得平面PAM⊥平面EFD，且=．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣a2lnx（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）==．由f′（x）=0，可得x=a或x=﹣，当a=0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间是（0，+∞），没有单调递减区间；当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a，函数f（x）单调递增，由f′（x＜0，解得0＜x＜a，函数f（x）单调递减，∴f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＞﹣，函数f（x）单调递增，由f′（x＜0，解得0＜x＜﹣，函数f（x）单调递减，∴f（x）的单调递减区间是（0，﹣），单调递增区间是（，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=0时，f（x）=x2＞0，符合题意．当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．∴f（x）≥0恒成立等价于f（x）min≥0，即f（a）≥0，∴a2﹣a2﹣a2lna＞0，∴0＜a≤1．当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣），单调递增区间是（﹣，+∞）．∴f（x）≥0恒成立等价于f（x）min≥0，即f（﹣）≥0，∴a2+a2﹣a2ln（﹣）＞0，∴﹣2e≤a＜0，综上所述，实数a的取值范围是[﹣2e，1]．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（Ⅰ）求C得方程；（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=|FB|．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，∴动点P的轨迹是以点F（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线．设C的方程为y2=2px，则，即p=2．∴C的轨迹方程为y2=4x；（Ⅱ）设A（），则B（，0），∴直线AB的斜率为k=．设与AB平行，且与抛物线C相切的直线为y=﹣，由，得my2+8y﹣8b=0，由△=64﹣32mb=0，得b=﹣，∴y=﹣，则点D（）．当，即m≠±2时，直线AD的方程为：，整理得，∴直线AD过点（1，0）．当，即m=±2时，直线AD的方程为x=1，过点（1，0），综上所述，直线AD过定点（1，0）．20．（14分）在数列{a n}中，若a1，a2是整数，且a n=，（n∈N*，且n≥3）（Ⅰ）若a1=1，a2=2，写出a3，a4，a5的值；（Ⅱ）若在数列{a n}的前2018项中，奇数的个数为t，求t得最大值；（Ⅲ）若数列{a n}中，a1是奇数，a2=3a1，证明：对任意n∈N*，a n不是4的倍数．【解答】解：（Ⅰ）a3=5a2﹣3a1=10﹣3=7，a4=5a3﹣3a2=5×7﹣3×2=29，a5=a4﹣a3=29﹣7=22．所以a3=7，a4=29，a5=22．（Ⅱ）（i）当a1，a2都是偶数时，a1•a2是偶数，代入5a n﹣1﹣3a n﹣2得到a3是偶数；因为a2•a3是偶数，代入5a n﹣1﹣3a n﹣2得到a4是偶数；如此下去，可得到数列{a n}中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…所以前2018项中共有0个奇数．（ii）当a1，a2都是奇数时，a1•a2是奇数，代入a n﹣1﹣a n﹣2得到a3是偶数；因为a2•a3是偶数，代入5a n﹣1﹣3a n﹣2得到a4是奇数；因为a3•a4是偶数，代入5a n﹣1﹣3a n﹣2得到a5是奇数；如此下去，可得到数列{a n}中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…所以前2018项中共有1346个奇数．（iii）当a1是奇数，a2是偶数时，理由同（ii），可得数列{a n}中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数．（iv）当a1是偶数，a2是奇数时，理由同（ii），可得数列{a n}中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数．综上所述，前2018项中奇数的个数t的最大值是1346．（Ⅲ）证明：因为a1是奇数，所以由（Ⅱ）知，a n不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况．因为a1是奇数，且a2=3a1，所以a2也是奇数．所以a3=a2﹣a1=2a1为偶数，且不是4的倍数．因为a4=5a3﹣3a2=a1，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数t（t＞3），使得a t是4的倍数，则a t﹣1，a t﹣2均为奇数，所以a t﹣3一定是偶数，由于a t﹣1=5a t﹣2﹣3a t﹣3，且a t=a t﹣1﹣a t﹣2，将这两个式子作和，可得3a t﹣3=4a t﹣2﹣a t．因为a t是4的倍数，所以a t﹣3也是4的倍数，与t是最小正整数使得a t是4的倍数矛盾．所以假设不成立，即对任意n∈N*，a n不是4的倍数．。

北京市2017届高三数学(理)综合练习48 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 A.0 B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的取值范围是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C.D. 4第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）（第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△ABC 内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是，点M 的运动轨迹的周长是 .正视图侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，==1EB EF ，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）CA FEBMD已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a L ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=L ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++L L ．设1()i i A T A +=，0,1,2i =L ．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ；（Ⅱ）证明存在唯一的数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个L 14243；（Ⅲ）若数列0A ，经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个L 14243．设1m m m n S a a a +=+++L ，1,2,,m n =L ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数．数学试卷（理工类）一、选择题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=，所以sin )210αα+=，所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin2sin cos cos αααα++=4925，所以 24sin 225α=. ……………6分（II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+sin )sin )x x x x +- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ，又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=((3,-2,0)2EM ,AD=u u u r u u u r，设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩ 令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅u u u r ，所以EM n ⊥u u u r，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD =u u u r是平面EBAF 的一个法向量.所以1cos <=2BD BD,BD n n n ⋅>=⋅u u u ru u u r u u u r，又二面角D-AF -B 为锐角，故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P （0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t u u u r u u u r.所以cos <PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r ， NCA F EBMD=化简得35-=，解得0t =<. 所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分（18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+. （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分（1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分（2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得1x a <,或1x a +>；由()0f x '<得11x a a<<.所以函数()f x 单调递增区间是1(,a --∞和1(,)a ++∞,单调递减区间. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x << 由()0f x '<得1x a +<,或1x a>.所以当10a -<<时,函数()f x单调递减区间是1(,a +-∞和1(,)a -+∞,单调递增区间11(,a a +. ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分）解:（Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a = 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设(1,)3A，(1,3B -，因为132233222k k -++=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a L 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---L L ．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分对于数列,0,0,,0n L 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n L 1T -−−→1,1,0,,0n -L 1T -−−→2,0,2,0,,0n -L 1T-−−→3,1,2,0,,0n -L1T -−−→L 1T -−−→01,,,n a a a L ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a L 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n L ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形．假设存在两个数列01,,,n a a a L 及01,,,n b b b L 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n L ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=L L 若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n L ；若n a n =，则120n a a a ====L ，经过一次T 变换，有0,0,,0,n L T−−→1,1,,1,0L 由于3n ≥，可知1,1,,1,0L （至少3个1）不可能变为,0,,0n L ．所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a L T−−→121,,,,n a a a '''L ，01,,,n b b b L T−−→121,,,,n b b b '''L ，则0nn a b ''==，所以1211n a a a n -'''+++=-L ，1211n b b b n -'''+++=-L ．因为110,,,n a a -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ， 110,,,n b b -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-L ．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a L T−−→111,,,,0n a a -''L ，01,,,n b b b L T−−→111,,,,0nb b -''L ，所以i i a b =，1,2,,i n =L ，从而唯一性得证． ………9分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =L ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n L 时，有0m S =，1,2,,m n =L ，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。

2020年1月2020届北京市丰台区2017级高三上学期期末考试数学试卷及答案

2020年1月2020届北京市丰台区2017级高三上学期期末考试数学试卷2020.01★祝考试顺利★第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =I（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<2．命题“000(0+)ln 1x x x ∃∈∞=-,，”的否定是（A ）000(0+)ln 1x x x ∃∈∞≠-,，（B ）000(0+)ln 1x x x ∃∉∞=-,，（C ）(0+)ln 1x x x ∀∈∞≠-,，（D ）(0+)ln 1x x x ∀∉∞=-,，3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）y x =- （B ）21y x =- （C ）cos y x =（D ）12y x =4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(000),,，(001),,，(110),,，(101),,，则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为（A ）14（B ）12（C ）34（D ）15．已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则=BD CD u u u r u u u rg（A ）12（B ）12-（C （D ）6．双曲线2241x y -=的离心率为（A （B ）2（C （D ）27．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124a a a ,,成等比数列，则3a = （A ）2 （B ）6 （C ）56或（D ）128. 在261()x x -的展开式中，常数项是（A ）20- （B ） 15- （C ）15 （D ）309. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为（A ）1800（B ） 2700（C ）7290（D ）810010. 在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足DE ‖BC且AD ACλ=((01))λ∈,，将△ADE 沿直线DE 折到△A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（A ）在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF ‖平面A CD '（B ）存在1(0)2λ∈,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE（C ）若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，4A B '=（D ）在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为9第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．。

北京市2017届高三数学(理)综合练习31 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）第一部分（选择题共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A B =U(A) {0x x <或1}x ≥ (B) {12}x x << (C) {0x x <或1}x >(D) {0}x x >2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 “复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”成立的充分不必要条件是(A) a =0，b ≠0 (B) a =0 (C) b =0 (D) a =0，b =2 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A) 223 (B)283 (C) 323(D) 343原题：如图所示，直线1y x =+与曲线321y x x x =--+与x 轴所围成的封闭图形的面积是． 4．函数1,0,()2cos 1,20x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π- (C) 1-π(D) 12π-5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6(B)29 (C) 3(D) 23 6．平面向量a r 与b r 的夹角是3π，且1a =r ，2b =r ，如果AB a b =+u u u r r r ，3AC a b =-u u u r r r ，D 是BC 的中点，那么AD =u u u r俯视图正视图32213(A)(B) (C) 3 (D) 67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需则每周最高产值是 (A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），且C 种产品至少生产5吨，则每周最高产值是(A) 40 (B) 42.5 (C) 45 (D) 50 说明：这两个题没有本质区别，主要差一句话（且C 种产品至少生产5吨），这句话意味着什么？考题希望交给学生遇到问题应如何思考。