第4课时函数的反函数

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人教版《数学》第一册教案——4.8.1反函数的定义及求法

1分
注: 对应关系是一一对应的函数才有反函数, 即反对应关系也是单值对应的函数才有反函数.
2. 求反函数的步骤
①从中反解出 ;
②改为习惯写法: 反函数为 ;
③写出反函数的定义域.
例1 求下列函数的反函数:
;
15分
;
(4) .
练习
P79课后题1
21分
作业
练习定义及求法, 要求同学熟练掌握.
复习
对数函数的性质
2分
新授内容
1. 反函数的定义
生活中, 我们常遇到一些相反的问题, 如某商品单价为元, 问题: ①买斤应付多少元; ② 元钱能买多少斤?
我们熟悉的某些函数有了反函数.
定义: 设函数定义域为A、值域为B, 如果对于任意的 , 由关系式可以解出唯一的与之对应, 则称为的反函数, 记为 .习惯上, 的反函数记为 .
课时教案
课题
4.8.1反函数的定义及求法
课时
1
课型
新授课
教学目的
学习反函数的定义及求法，使80%以上学生能够熟练掌握
重点
反函数的定义及求法
难点
反函数的定义及求法
关键
通过教师实例讲解与学生练习相结合来突破难点
教具资料
直尺、模型
学生准备用品
笔、本
教学环节
教学内容
教育教学调控
组织教学
师生问好,查出缺席
1分

高一数学反函数的概念

4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C)和华氏度（F）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号)(1x fy ；了解)(1x f表示反函数的符号，1f表示对应法则.2、探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.例1（1）2x y （R x ）的反函数是（2）2x y （0 x ）的反函数是（3）2x y （0 x ）的反函数是学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题）例2．求下列函数的反函数：（1）24 x y （2）13x y （3）)0(12x x y（4）)21,(2413x R x x x y[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1）变形:解方程，)(x f y 得)(1y fx ；（2）互换:互换y x ,的位置，得)(1x fy ；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y 对称.③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法：（1）课本练习4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数：①)21(12x x y ；②)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ④)0()2( x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④2、若指数函数)(x f y 的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )（A ） xy )21( （B ）x y 2 （C ）xy 3 （Ｄ）x y 103、设)1(22)( x x x f ，则)(1x f（ D ）（A ）在（), 上是增函数（B ）在（), 上是减函数（C ）在),0[ 上是减函数（Ｄ）在（]0, 上是增函数4、若函数)(x f 是函数 10222 x x y 的反函数，则)(x f 的图像为（ B ）A B C D5、)21( 22x x x y 反函数是（ B ）（A ）)11( 112 x x y （B ）)10( 112 x x y （C ）)11( 112 x x y（D ）)10( 112 x x y6、若)0( a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y 本身，求b a ,应满足的条件.解：由b ax y ，得b y ax .由0 a ，知ab y a x1. 所以函数b ax y 的反函数为a by a x1. 由于函数b ax y 的反函数aby a x 1就是函数b ax y 本身，即有xxxyyyya a 1，且b ab. 于是，解得1 a ，0 b 或1 a ，b 为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(11),0(x x y k x k y 等) 4、课堂小结①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置练习册4.5 A 组六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y 的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y 对称，从而巩固对反函数概念的理解.小学二（2）班班规一、安全方面1、每天课间不能追逐打闹。

人教版高中数学必修一教案：1.3反函数

反函数——课堂教学设计一、[教材依据]全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。

二、[教材分析][设计思路]1、体验教学的原则：重视学生的亲身体验与感悟，使学生具有对于知识生成、发展、形成及应用过程的体验和感悟。

本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。

整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。

使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，培养学生勇于探索的精神。

2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概念-----“反函数”。

反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。

它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。

由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。

当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。

为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出的3个对应，并且是3个从A到B的函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。

反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。

三、[教学目标]1、知识与技能目标：（1）、理解反函数的概念（2）、会求一些简单函数的反函数。

2、过程与方法目标：通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。

2019-2020年高一数学 2.4反函数(备课资料) 大纲人教版必修

2019-2020年高一数学 2.4反函数（备课资料）大纲人教版必修一、反函数的学习因反函数是函数知识中重要的一部分内容，我们若能从函数的角度去理解反函数的概念，则一定能从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.1.明确“函数与反函数”的关系(1)一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的映射是从定义域到值域上的一一映射.(2)对于任一函数f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数f(x)与它的反函数是互为反函数.(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域.(4)一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.(5)原函数与其反函数在对应区间上的单调性是一致的.2.深入学习对“反函数”的求法[例]求下列函数的反函数(1)y＝(2)y＝（1）分析：由于a、B不定，故须分类讨论：当a＝0，b≠0时，y＝－1，此时不存在反函数当a≠0，b＝0时，y＝1（x≠0），此时不存在反函数.当a≠0，b≠0时，函数y＝的值域是y∈{y∈R｜y≠1}由y＝解得：x＝ (a≠0，y≠1)∴当a≠0，b≠0时，函数y＝的反函数是：y＝（x≠1）评述：熟练掌握求反函数的基本步骤是准确求出函数的反函数的必要条件.（2）分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合并.解：当x≥0时，y＝x2＋2x＝（x＋1）2－1∴x＝－1＋∵x≥0 ∴y＝x2＋2x≥0∴当x≥0时，此段函数的反函数是y＝－1＋（x≥0）当x＜0时，y＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1∴x＝1－∵x＜0，∴y＝－x2＋2x＜0∴当x＜0时，此段函数的反函数是y＝1－（x＜0）综上所述：所给函数的反函数为y＝评述：(1)在求分段函数的每一段相应的反函数时,仍严格按照求反函数的基本步骤进行.（2）分段函数的反函数被求的过程，能让我们体会到“先分后合”的思想在数学中的渗透作用.3.灵活应用“反函数”于解题中［例1］求函数y ＝的值域分析：此题除用前面介绍的“分离系数”法求得其值域外，也可通过求其反函数的定义域得到原函数的值域这一途径.解：由y ＝得x ≠－∴有：y （2x ＋5）＝1－x∴x ＝∴反函数为y ＝（x ∈R 且x ≠－）；因而此函数y ＝的值域为y ∈{y ∈R ｜y ≠－}评述：求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域，这种方法往往可以使问题有“出奇制胜”的效果，它的优越性将随着我们对知识的继续深入学习体现得越发明显.［例2］已知函数f （x ）＝求f －1[[f （x ）]，f [f －1（x ）].解：由y ＝（x ≠1）可得y （x －1）＝2x ＋1，∴x ＝∴反函数f －1（x ）＝（x ≠2）∴f －1[f （x ）]＝f －1（）＝21121112--++-+x x x x ＝x f [f －1（x ）]＝f （）＝1211)21(2--++-+x x x x ＝x 评述：由上题我们发现，互为反函数的两个函数f （x ）与f －1（x ）之间符号互逆性，即f －1[f （x ）]＝x ，f [f －1（x ）]＝x请读者利用以上结论试探索：若函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝ｇ（x ），且f （m ）＝n （mn ≠0）则ｇ（n ）等于多少?［例3］已知函数y ＝f （x ）在定义域（－∞，0]内存在反函数，且f （x －1）＝x 2－2x ，求f －1（－）.分析：此题一般思路是：先求出f （x ），进而求出f －1（x ），将－代入f －1（x ）中求得f －1（－）.解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）∵当x ≤0时，f （x ）＝x 2－1≥－1∴函数f （x ）的值域为[－1，＋∞)∵f （x ）＝x 2－1（x ≤0)得：x ＝－（y ＝f （x ））∴得函数f （x ）的反函数是：y ＝－（x ≥－1）∴f －1（－）＝－评述：以上解题思路简单但运算麻烦，若不仔细认真，将会导致结果错误.如下解法将会体现一种技能技巧，使解题过程大大简化：解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）当x 2－1＝－（x ≤0)时有：x ＝－∴f －1（－）＝－评述：比较以上两种解法，请读者自行归纳总结它们解题过程繁简差别的原因，并试用简捷明快的思路解决以下问题：问题：已知函数f （x ）＝的反函数是f －1（x ）＝，求常数a ，b ，c 值是多少?提示：选取由f －1（x ）去求f （x ）这一优秀途径解决此问题.二、参考练习题1.求下列函数的反函数(1)y ＝1－（x ≥1）答案：y ＝x 2－2x ＋2（x ∈（－∞，1]）(2)y ＝｜x －1｜（x ≤1）答案：y ＝1－x （x ∈[0，＋∞)(3)y ＝x 2－2x ＋3 （x ∈（1，＋∞））答案：y ＝1－（x ∈（2，＋∞））(4)y ＝x ｜x ｜＋2x答案：y ＝(5)f （x ）＝答案：f －1（x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--)2(121)1(1x x x x2.解答题(1)已知f （x ）＝f －1（x ）＝（x ≠－m ），求实数m ？答案：m ＝－2提示：利用相同函数的定义域、值域完全相同这一性质，巧妙地结合互为反函数的性质去解.(2)已知f －1[f －1（x ）]＝25x ＋30，则一次函数的解析式是什么?答案：f （x ）＝－1或f （x ）＝－x －(3)已知f （x ）＝10x －2－2，求f －1（8）的值答案：f －1（8）＝3(4)已知函数f （x ）的图象过点(0，1)，则f （4－x ）的反函数的图象一定过哪个点? 答案：(1，4)(5)已知函数f （x ）＝，它的反函数是f －1（x ）＝，求m 的值?答案：m ＝2(6)已知函数f （x ）＝x 2＋2x ＋1（x ≥－1）的图象为C 1，它的反函数图象为C 2，请画出C 1，C 2并观察它们之间的位置关系有何特点?若又有一个函数的图象C 3与C 2关于y 轴对称，求这个函数的解析式?参考答案：(图略)，C 1，C 2关于直线y ＝x 对称，所求函数的解析式为y ＝（x ≤0)说明：本题旨在让学生提前思考练习，为下节课“互为反函数的函数图象间的关系”做准备.●备课资料“互为反函数的函数图象间的关系”的应用互为反函数的两个函数的图象间的关系是在反函数定义上进行的，而“将图象的对称转化为图象上任意一点的对称”的这种方法在我们解决有关函数的问题中大大显示了它的简捷性与技巧性.［例1］已知函数f （x ）＝（x ≥－)的图象过点(1，2)，它的反函数图象也过此点，求函数f （x ）的解析式.解法一：由y ＝得x ＝∴当x ≥－时，y ≥0∴函数f （x ）＝（x ≥－）的反函数是f －1（x ）＝（x ≥0）又∵点(1，2)既在函数f （x ）上，也在函数f －1（x ）上 ∴有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=a b b a 122 解得：a ＝－3，b ＝7∴函数f （x ）＝（x ≥－）解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线y ＝x 的对点为(2，1)，可以得到函数f （x ）的图象还过点(2，1)∴得到解得：a ＝－3 b ＝7∴函数f （x ）＝（x ≥－）评述：比较上述两种不同解法的区别：我们发现解法一思路自然，但过程较繁，解法二思路敏捷避免了求反函数这一步，从而减少了运算量，但它的掌握需要我们特别熟悉互为反函数的两个函数间的关系.［例2］已知函数f （x ）＝，函数y ＝ｇ（x ）的图象与函数y ＝f －1（x ＋1）的图象关于直线y ＝x 对称，求ｇ（5）的值.分析：此题需要找到ｇ（x ）才能求出ｇ（5）的值.解：∵y ＝f （x ）＝∴x ＝1＋又∵y ≠2∴f －1（x ）＝1＋（x ≠0）∴f －1（x ＋1）＝1＋又∵y ＝f －1（x ＋1）＝1＋∴x ＝1＋ ∴y ≠1∴f －1（x ＋1）的反函数ｇ（x ）＝1＋（x ≠1）∴ｇ（5）＝1＋＝评述：（1）以上解法是一种通用方法，思路简单自然，不失为一种能体现我们扎实的基本功和脚踏实地的学习精神的好方法，故应引起足够重视.（2）对于以上例2，也可以有如下巧解：∵ｇ（x ）是f －1（x ＋1）的反函数∴ｇ（5）其实等于f －1（x ＋1）＝5时的x 值，∵f [f －1（x ＋1）]＝f （5）∴x ＝f （5）－1＝－1＝显然，这种解法给我们以一种恰到好处的感觉.2019-2020年高一数学 2.4反函数（第一课时）大纲人教版必修课时安排2课时从容说课反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础。

高一数学反函数的概念

反函数及其图像性质

x
原函数和反函数的关系
原函数和其反函数的图象关于直线y=x对称，
若两个函数的图象关于直线 y=x对称，则它们互为反函数.
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以画出它的反函数的图像。
总结：
y=3x-2 y
yx
· ·· (0,
2 3
)
A1
B-2(2-,10)-1
1A ( 2 , 0 ) 3
·-2 B(0,2)
数且f (x 1)和g-1(x 2)的图像关于直
线y x对称,若g(15) 2000,则f (16)的
值为
(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002
为研究“原函数图象与其反函数图Байду номын сангаас 的交点是否在直线y=x上”这个课题, 我们可以分为三步进行研究.
(1)首先选取如下函数:y=2x+1,y=
由 y1 1x2解得 x. 2yy2
(∵ 1≤ x < 0 )
∴ y1 1x2(1≤ x < 0)的反函数
是：y 2xx2 ( 0 < x ≤1 )
例3.求函数yxx22 1 ( (01xx10)) 的反函数.
f1(x) x1(1x0) x(0x1)
5、是否任何一个函数都有反函数？
(3) 由 yx 1 解x 得 (y 1 ： )2 ,
互x换 ,y得反函 y数 (x1)为 2(x： 1).
(4) 由 y2 x 3 解得 xy ： 3,
x 1
y 2
互x换 ,y得反函y 数 x3 为 (x ： R ,且 x2). x2
2.求反函数的步骤概念表明
也就是说,反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程

反函数与函数的图像变换

反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。

比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。

函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。

设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。

1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。

1f -表示的对应是f 的逆对应，11()()f x f x -≠。

()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。

只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。

特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=，一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。

例1 求下列函数的反函数：（1）21xy -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。

二、互为反函数的两个函数的性质：指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。

根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。

《高数》课件讲解第一章第四节《反函数》

( x 2)
P.14 练习1.4 1（1），（2）
(5) f 1[ f (x)] x , x D( f ) f [ f 1(x)] x , x R( f )
求反函数的过程
y f (x)
x f 1( y)
y f 1( x)
从 y=f (x) 中求出 y 的范围，即为 y=f -1(x) 的定义域.
例1 函数 y kx b (k 0) 的反函数为 y x b;
§1.4 反函数
定义1.8 设函数 y f (x) 的定义域是 D( f ) , 值域是 R( f ) ,
若对 y R( f ) , 都有唯一确定的 x D( f ) 与之对应且满足 y f (x) , 则 x 是定义在 R( f ) 上以 y 为自变量的函数, 记作函数为
x f 1( y) , y R( f ) 并称其为函数 y f (x) 的反函数.
k 函数 y a x (a 0,a 1) 的反函数是 y loga x;
函数 y x2, x (0,) 的反函数是 y x. 而函数 y x2, x (,0) 的反函数是 y x.
注意函数 y x2 在整个定义域 (,)内不存在反函数.
例2 求下列函数的反函数：
(1) y ex ex ; 2
(2) y ln( x
(3) y 2x 1. x1
x2 1);
解 (1) 由 y ex ex 得 e2x 2 yex 1 0 2
解之得 ex y y2 1 因ex 0, 故 ex y y2 1 应舍去.
从而有 ex y y2 1, 求得 x ln( y y2 1). 因此 y ex ex 的反函数为
反函数 x f 1( y) 常记为 y f 1( x), x R( f )

第04节反函数与复合函数

e
e
1
1 1
图1--33
1
o
x
1 ( x 0, x 1), 例6 设 f ( x) 1 x
求 f [ f ( x)] , f f [ f ( x)].
解
1 1 1 x 1 f f ( x) . x 1 f ( x) 1 1 x 1 x 1 x 1 1 f f f ( x) x. 1 f f ( x) 1 x 1 x
2
2
解：由 y ln( x 1 x ) ，解得
x 1 x e
2
y
(1)
1 x x ，得
2
将左边乘
1 x x 再除
2
1 1 x x
2
e
y
y
即
1 x x e
2
(2)
（1）－（2）整理后得
e e x 2
y
y
将上式中的 y 换成 x ， x 换成 y ，因此得出 y ln( x 1 x ) 的反函数是
2
e e y 2
x
x
.
例3 求 y
3
x 1 x
2
3
x 1 x2
的反函数．
解：将 y
3
x 1 x
2
3
x 1 x
2
两边立方, 得
y x 1 x 3( x 1 x ) ( x 1 x 2 )
3 2 3 2 2 3
3( 3 x 1 x 2 )( 3 x 1 x 2 ) 2 x 1 x 2
1 x 1 x ) 2 1( x 0) , 例7 设 f ( x x 2x 2x 1 求 f ( x).

反函数

一、函数与极限
4、反函数
⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y 在函数的值域内任取一值
y 0时，变量x 在函数的定义域内必有一值x 0与之对应，即，那末变量
x 是变量y 的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。

⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x 2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y 取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y 的值就不能唯一确定x 的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。

如果我们加上条件，
要求x≥0，则对y≥0、x=
就是y=x 2在要求x≥0时的反函数。

即是：函数在此要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x 对称的。

例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x 对称的。

如右图所示：。

初三-数学--反函数

反比例函数考点1：反从例函数的意义及其图象和性质一、考点讲解：1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=kx(k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k 为常数，k ≠0；（2）kx中分母x 的指数为1； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数；（4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数． 3．反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx具有如下的性质（见下表）①当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；②当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x ≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势．二、经典例题剖析：【例题1－1】函数y= kx与y=kx+k 在同一坐标系的图象大致是图 1－5－l 中的（）【例题1－2】若M （－12 ，y 1），N （－14 ，y 2），P （12 ，y 3）三点都在函数y= kx （k <0））中的图象上，则y 1，y 2，y 3，的大小关系为（）A ．y 2 ＞y 3＞y 1B 、y 2＞y 1＞y 3C ．y 3 ＞y 1＞y 2D 、y 3＞y 2＞y 1【例题1－3】点P 既在反比例函数y=－ 3x （x ＞0）的图象上，又在一次函数y =－x —2的图象上，则P 点的坐标是（，）三、针对性训练：1．若反比例函数y=-2/x 的图象经过（a ，－a ），则a 的值为（） A ． 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．±22．已知一次函数y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则y= kbx反比函数的图象在（） A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限3．函数y=－4x的图象与x轴交点的个数是（）A．0个B．l个C．2个D．不能确定4．三角形的面积为1时，底y与高x之间满足的的数系的图象是图1－5－5中的（）5．已知力F，物体在力的方向上通过的距离s，力F所做的功W，三者之间有以下关系式成立：W=Fs，则当W为定值时，F与s的图象大致是图1－5－6中的（）6 若函数y=25(2)kk x--是反比例函数，则k=___．7 点A(a，4)在函数y= 8x的图象上，则a的值为___8 函数y= 3x的自变量x的取值范围是___________；当x＜0时，y随x的增大而___．9如图1－5－7所示为反比例函数y= kx的图象，那么k ____10 已知函数y=（m2－1）21m mx--，当m=_____时，它的图象是双曲线．11 如图l－5－10所示，正比例函数y =kx(k＞0）与反比例函数y= 2/X的图象交于A、C两点，过A点作为x轴的垂线，垂足为B，过C点作x 轴的垂线，垂足为D，求S四边形ABCD．考点2：反比例函数的解析式求法一、考点讲解：1．反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y= kx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y= kx中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式．2．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：y= kx(k≠0)②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；③由代人法解待定系数k的值；④把k值代人函数关系式y= kx中二、经典例题剖析：【例题2－1】写出一个图象位于一、三象限的反比例函数的表达式y=_________【例题2－2】老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y随x的增大而减小．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数【例题2－3】如图1－5－11所示，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y= kx (k ≠0）的图象交于M 、N 两点．⑴求反比例函数和一次函数的解析式；⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．三、针对性训练：1．如图1－5－l2所示，函数图象①②③的关系式应为（）56.,2,256.,2,2A y y x y x B y x y x y x =-=+=-==-+= 56.,2,256.,2,2C y x y x y x D y x y x y x =-=-+==-=-=-2．已知点（x 1，－1），（x 2，－254），（x 3，－25），在函数y=8x -的图象上，则下列关系式正确的是（）A ．x 1<x 2< x 3．B ．x 1＞x 2＞x 3C ．x 1＞x 3＞x 2D ．x 1 < x 3 < x 23．老师在同一直角坐标系中画了一个反比例函数的图象以及正比例函数y =－x 的图象，请同学们观察有什么特点，并说出来．同学甲：与直线y =－x 有两个交点；同学乙：图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为5，请你根据同学甲和同学乙的说法写出反比例函数的解析式4．如图1－5－l3所示，已知一次函数 y= kx ＋b （k ≠（1）的图象与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，且与反比例函数 y=mx（m ≠0）的图象在第一象限交于 C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为 D ．若OA=OB= OD ＝1．（1）求点 A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．5．如图1－5－14所示，△AOC 的面积为6，且CB ：BA=3：1，求过点A 的双曲线的表达式．6．如图1－5－15所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数的图象交于C 、D 两点．如果A 点的坐标为（2，0），点 C 、D 分别在第一、三象限，且 OA=OB=AC=BD ．试求一次函数和反比例函数的解析式．考点3：用反比例函数解决实际问题一、考点讲解：1、反比例函数的应用注意事项：⑴反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识，解决实际问题时，要注意将实际问题转化成数学问题；⑵针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。

高中数学《反函数》 PPT课件图文

3 y x 1 x 0
4
y

2x3 x1
xR, x 1
解析：①先判断一下决定这个函数的映射是不是一一映射？ ②求反函数必须写出其定义域即原函数的值域
③求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值域对反函数的限制。
例2、求函数
x1 0x1 yx2 1x0
2、教学目标的确定
知识目标：（1）对反函数概念的理解（2）学会求函数的反函数
能力目标：（1）通过概念的学习，培养学生分析、解决问题的能力
和抽象概括的能力（2）通过在反函数的求解过程中，把握函数与方程的思想
德育、情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点（2）在民主、和谐的教学氛围中促进师生的情感交流
在学习中，应关注平时抽象思维较弱的学生，在提供素材的环节中，鼓励他们“敢想”、 “敢做”积极参与，逐步提升思维能力；对于平时抽象思维较好的学生，应积极引导他们学会合作、交流，在抽象概括环节中进一步提高其抽象思维能力，并教会学生学会通过观察、分析、归纳、从具体实例中抽象出结论的方法，逐步练就“会学”的本领，从而使人人都能有所收获，整体水平得到提高。
前置诊断
1、请说出“对应”与“映射”、 “映射”与“函数”的联系与区别； 2、函数的三要素是什么？
创设情境，揭示课题
1、请同学们指出下列两个对应是不是映射？是不是
一一映射？是不是函数？
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
-1 平方 1
1
-2
4
2
-3
9
3
A
B
A
B
2、上述两个映射能不能构成从B到A的映射呢？如

专题04 指数函数与对数函数互为反函数(解析版)

专题04指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数()y f x =是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y fx -=.特别地，x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y x =对称，即00(,())x f x 与00((),)f x x 分别在函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象上.若方程()x f x k +=的根为1x ，方程1()x f x k -+=的根为2x ，那么12x x k +=.二、典型例题例题1．（2022·高三课时练习）若关于x 的方程5log 4x x +=与54x x +=的根分别为m 、n ，则m n +的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】解：由题意，可知5log 4x x =-+，54x x =-+，作出函数5log y x =，5x y =，4y x =-+的图像（如图），A 、B 两点的横坐标分别为m 、n ，且A 、B 关于直线y x =对称，AB 的中点为C ，联立,4,y x y x =⎧⎨=-+⎩可得点C 的横坐标为2，因此4m n +=．故选：C.【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程()x f x k +=的根为1x ，方程1()x fx k -+=的根为2x ，那么12x x k +=.在本例中，记5()log xf x =，则1()5x fx -=，这样利用结论，可快速得到：4m n +=。

例题2．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）已知1x 是方程34x x ⋅=的根，2x 是方程3log 4x x ⋅=的根，则12x x =（）A．16B．8C．6D．4【答案】D，因为3x y =与3log y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线在函数4y x=图象上任取一点(),a b ，该点关于直线由4=b a 可得4a b =，则点(),b a 也在函数故函数4y x=的图象关于直线y x =对称，所以，点114,x x ⎛⎫⎪⎝⎭与点224,x x ⎫⎛⎪ ⎝⎭关于直线故选：D.函数2log y x =与2x y =的图象关于直线所以，直线y x =与直线2y =由图象可知，点A 、B 关于点故选：D.3．（2020秋·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）若满足故选：D8．（2022秋·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末）已知三个函数()38=+g x x=-，()2logh x x xA．6B．5【答案】C的横坐标，联立2y x y x=⎧⎨=-⎩，解得1x y ==，则直线y x =与直线2y x =-交于点()1,1M ，易知直线y x =与直线2y x =-垂直，因为函数2log y x =与函数2x y =的图象关于直线y x =对称，则A 、B 两点关于直线y x =对称，线段AB 的中点为M ，所以，12a b +-=，解得3a b +=.故答案为：3.13．（2022·上海·高一专题练习）设方程2log 2x x +=的解为1x ，22x x +=的解为2x ，则12x x +=_____________.【答案】2.【详解】由2log 2x x +=的解为1x ，得211log 2x x =-+，同理22x x +=的解为2x ，得2222xx =-+，又函数2log y x =与函数2x y =互为反函数，图象关于直线y x =对称，且2y x =-+与y x =互相垂直，且交点为(1,1)，则函数2log y x =与函数2y x =-+的交点11(,)A x y ，函数2x y =与函数2y x =-+的交点22(,)B x y ，关于直线y x =对称，即11(,)A x y 与22(,)B x y 关于点(1,1)对称，即122x x +=，故答案为：2.14．（2019·浙江宁波·高一校联考期中）若1x 是方程1240x x -+-=的根，2x 是方程2log 3x x +=的根，则12x x +=__________．【答案】4【详解】解：1x 是方程1240x x -+-=的根，2x 是方程2log 3x x +=的根，把方程分别变形为()1231x x -=--，2log 3x x =-，由于2x y =与2log y x =互为反函数，则12(1)3x x -+=，124x x ∴+=．故答案为4．。

反函数说课稿

反函数说课稿反函数说课稿1一、说教材1、地位与重要性“反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。

这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。

2、教学目标（1）使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力；（4）使学生树立对立统一的辩证思维观点。

3、教学重难点重点是反函数的概念及反函数的求法。

理解反函数概念并求出函数的反函数是高一代数教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。

难点是反函数概念的接受与理解。

学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。

教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。

二、说教法根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。

引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。

教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。

课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”。

电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。

另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。

《高中数学《反函数》课件

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数，可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题，简化解题过程。
详细描述
在解决方程问题时，我们可以利用反函数的概念，将原方程转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到原方程的解。这种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用和复杂函数的反函数求
法
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$，求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$，求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$，求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题，从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时，我们可以利用反函数的概念，将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。

第4课时函数的反函数

1
1 1 要求f 的值，就是求f ( x) 时的 x 的值，令 3 3 2x 1 1 x 1 1 , 得2 , 故x 1, 即 f 1 x 1 2 3 2 3
7.已知函数f(x)=2x/(1+2x)(x∈R)，求f-1(1/3)的值
ห้องสมุดไป่ตู้
3.函数存在反函数的条件 (1)从值域到定义域按照原函数所确定的对应法则是一个映
射,这是函数存在反函数的一个充要条件;
(2)严格单调函数是函数存在反函数的一个充分不必要条件.
4.一些注意点 (1)奇函数不一定存在反函数,如f(x)=0(x∈R); (2)偶函数可能存在反函数,如f(x)=1(x∈{0}); (3)f[f-1(a)]=f-1[f(a)]
3.函数f(x)=-x2(x∈(-∞,-2]的反函数是______________ x 5 4.已知函数f(x) 的图象关于直线y=x对称,则实数 2x m m的值是________ -1 5.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1，则f(1)等于( C ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)4
解题分析：y=f-1(x)的图象过点B(2,0)y=f(x)的图象过点 B’(0,2)
解：由 f (2) 0, 得 f (0) 2，
1
函数f ( x) a x k的图象过两点(1,3)和(0,2)
a1 k 3 a 2 ,得 0 k 1 a k 2
解：当 0 x 1 时，得 1 x 2 1 0 1 y 0 2 由y x 1 (0 x 1) 得 x y 1 当 1 x 0 时，得0 x 1
第二章
第4课时

高一数学 2.4反函数(备课资料) 大纲人教版必修

高一数学 2.4反函数（备课资料）大纲人教版必修一、反函数的学习因反函数是函数知识中重要的一部分内容，我们若能从函数的角度去理解反函数的概念，则一定能从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.1.明确“函数与反函数”的关系(1)一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的映射是从定义域到值域上的一一映射.(2)对于任一函数f (x )不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数f (x )与它的反函数是互为反函数.(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域.(4)一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.(5)原函数与其反函数在对应区间上的单调性是一致的.2.深入学习对“反函数”的求法[例]求下列函数的反函数(1)y ＝bax b ax +- (2)y ＝⎩⎨⎧<+-≥+)0(2)0(222x x x x x x （1）分析：由于a 、B 不定，故须分类讨论：当a ＝0，b ≠0时，y ＝－1，此时不存在反函数当a ≠0，b ＝0时，y ＝1（x ≠0），此时不存在反函数.当a ≠0，b ≠0时，函数y ＝bax b ax +-的值域是y ∈{y ∈R ｜y ≠1} 由y ＝bax b ax +-解得：x ＝ay a by b -+ (a ≠0，y ≠1) ∴当a ≠0，b ≠0时，函数y ＝bax b ax +-的反函数是： y ＝aya byb -+（x ≠1）评述：熟练掌握求反函数的基本步骤是准确求出函数的反函数的必要条件.（2）分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合并.解：当x ≥0时，y ＝x 2＋2x ＝（x ＋1）2－1∴x ＝－1＋y +1∵x ≥0 ∴y ＝x 2＋2x ≥0∴当x ≥0时，此段函数的反函数是 y ＝－1＋1+x （x ≥0）当x ＜0时，y ＝－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1∴x ＝1－y -1∵x ＜0，∴y ＝－x 2＋2x ＜0∴当x ＜0时，此段函数的反函数是 y ＝1－x -1（x ＜0）综上所述：所给函数的反函数为y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<--≥++-0110 11x x x x 评述：(1)在求分段函数的每一段相应的反函数时,仍严格按照求反函数的基本步骤进行.（2）分段函数的反函数被求的过程，能让我们体会到“先分后合”的思想在数学中的渗透作用.3.灵活应用“反函数”于解题中［例1］求函数y ＝521+-x x 的值域分析：此题除用前面介绍的“分离系数”法求得其值域外，也可通过求其反函数的定义域得到原函数的值域这一途径.解：由y ＝521+-x x 得x ≠－25 ∴有：y （2x ＋5）＝1－x∴x ＝1251+-y y ∴反函数为y ＝1251+-x x （x ∈R 且x ≠－21）；因而此函数y ＝521+-x x 的值域为y ∈{y ∈R ｜y ≠－21} 评述：求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域，这种方法往往可以使问题有“出奇制胜”的效果，它的优越性将随着我们对知识的继续深入学习体现得越发明显.［例2］已知函数f （x ）＝112-+x x 求f －1[[f （x ）]，f [f －1（x ）]. 解：由y ＝112-+x x （x ≠1）可得 y （x －1）＝2x ＋1，∴x ＝21-+y y ∴反函数f －1（x ）＝21-+x x （x ≠2） ∴f －1[f （x ）]＝f －1（112-+x x ）＝21121112--++-+x x x x ＝xf [f －1（x ）]＝f （21-+x x ）＝1211)21(2--++-+x x x x ＝x 评述：由上题我们发现，互为反函数的两个函数f （x ）与f －1（x ）之间符号互逆性，即f －1[f （x ）]＝x ，f [f －1（x ）]＝x请读者利用以上结论试探索：若函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝ｇ（x ），且f （m ）＝n （mn ≠0）则ｇ（n ）等于多少?［例3］已知函数y ＝f （x ）在定义域（－∞，0]内存在反函数，且f （x －1）＝x 2－2x ，求f －1（－31）. 分析：此题一般思路是：先求出f （x ），进而求出f －1（x ），将－31代入f －1（x ）中求得f －1（－31）. 解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）∵当x ≤0时，f （x ）＝x 2－1≥－1∴函数f （x ）的值域为[－1，＋∞)∵f （x ）＝x 2－1（x ≤0)得：x ＝－1+y （y ＝f （x ）） ∴得函数f （x ）的反函数是：y ＝－1+x （x ≥－1）∴f －1（－31）＝－36131-=+- 评述：以上解题思路简单但运算麻烦，若不仔细认真，将会导致结果错误.如下解法将会体现一种技能技巧，使解题过程大大简化：解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）当x 2－1＝－31（x ≤0)时有：x ＝－36 ∴f －1（－31）＝－36 评述：比较以上两种解法，请读者自行归纳总结它们解题过程繁简差别的原因，并试用简捷明快的思路解决以下问题：问题：已知函数f （x ）＝c bx a x ++的反函数是f －1（x ）＝325++-x x ，求常数a ，b ，c 值是多少?提示：选取由f －1（x ）去求f （x ）这一优秀途径解决此问题.二、参考练习题1.求下列函数的反函数(1)y ＝1－1-x （x ≥1）答案：y ＝x 2－2x ＋2（x ∈（－∞，1]）(2)y ＝｜x －1｜（x ≤1）答案：y ＝1－x （x ∈[0，＋∞)(3)y ＝x 2－2x ＋3 （x ∈（1，＋∞））答案：y ＝1－2-x （x ∈（2，＋∞））(4)y ＝x ｜x ｜＋2x 答案：y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥-+)0(11)0(11x x x x (5)f （x ）＝⎩⎨⎧>+≤+-)0(22)0(12x x x x答案：f －1（x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--)2(121)1(1x x x x2.解答题(1)已知f （x ）＝f －1（x ）＝xm x ++12（x ≠－m ），求实数m ？答案：m ＝－2提示：利用相同函数的定义域、值域完全相同这一性质，巧妙地结合互为反函数的性质去解.(2)已知f －1[f －1（x ）]＝25x ＋30，则一次函数的解析式是什么?答案：f （x ）＝5x －1或f （x ）＝－51x －23 (3)已知f （x ）＝10x －2－2，求f －1（8）的值答案：f －1（8）＝3(4)已知函数f （x ）的图象过点(0，1)，则f （4－x ）的反函数的图象一定过哪个点? 答案：(1，4)(5)已知函数f （x ）＝341++x mx ，它的反函数是f －1（x ）＝2431--x x ，求m 的值? 答案：m ＝2(6)已知函数f （x ）＝x 2＋2x ＋1（x ≥－1）的图象为C 1，它的反函数图象为C 2，请画出C 1，C 2并观察它们之间的位置关系有何特点?若又有一个函数的图象C 3与C 2关于y 轴对称，求这个函数的解析式?参考答案：(图略)，C 1，C 2关于直线y ＝x 对称，所求函数的解析式为y ＝1--x （x ≤0)说明：本题旨在让学生提前思考练习，为下节课“互为反函数的函数图象间的关系”做准备.●备课资料“互为反函数的函数图象间的关系”的应用互为反函数的两个函数的图象间的关系是在反函数定义上进行的，而“将图象的对称转化为图象上任意一点的对称”的这种方法在我们解决有关函数的问题中大大显示了它的简捷性与技巧性.［例1］已知函数f （x ）＝b ax +（x ≥－ab )的图象过点(1，2)，它的反函数图象也过此点，求函数f （x ）的解析式. 解法一：由y ＝b ax +得x ＝ab y -2 ∴当x ≥－ab 时，y ≥0 ∴函数f （x ）＝b ax +（x ≥－ab ）的反函数是f －1（x ）＝a b x -2（x ≥0）又∵点(1，2)既在函数f （x ）上，也在函数f －1（x ）上 ∴有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=a b b a 122 解得：a ＝－3，b ＝7∴函数f （x ）＝73+-x （x ≥－37）解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线y ＝x 的对点为(2，1)，可以得到函数f （x ）的图象还过点(2，1) ∴得到⎩⎨⎧+=+=ba b a 212解得：a ＝－3 b ＝7∴函数f （x ）＝73+-x （x ≥－37）评述：比较上述两种不同解法的区别：我们发现解法一思路自然，但过程较繁，解法二思路敏捷避免了求反函数这一步，从而减少了运算量，但它的掌握需要我们特别熟悉互为反函数的两个函数间的关系.［例2］已知函数f （x ）＝132-+x x ，函数y ＝ｇ（x ）的图象与函数y ＝f －1（x ＋1）的图象关于直线y ＝x 对称，求ｇ（5）的值.分析：此题需要找到ｇ（x ）才能求出ｇ（5）的值.解：∵y ＝f （x ）＝132-+x x ∴x ＝1＋25-y 又∵y ≠2∴f －1（x ）＝1＋25-x （x ≠0） ∴f －1（x ＋1）＝1＋15-x 又∵y ＝f －1（x ＋1）＝1＋15-x ∴x ＝1＋15-y ∴y ≠1 ∴f －1（x ＋1）的反函数ｇ（x ）＝1＋15-x （x ≠1） ∴ｇ（5）＝1＋45＝49 评述：（1）以上解法是一种通用方法，思路简单自然，不失为一种能体现我们扎实的基本功和脚踏实地的学习精神的好方法，故应引起足够重视.（2）对于以上例2，也可以有如下巧解：∵ｇ（x ）是f －1（x ＋1）的反函数∴ｇ（5）其实等于f －1（x ＋1）＝5时的x 值，∵f [f －1（x ＋1）]＝f （5）∴x ＝f （5）－1＝413－1＝49 显然，这种解法给我们以一种恰到好处的感觉.。

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