高二精选题库 数学5-1北师大版
高考调研北师大版数学选修2-3-2-5-1高考调研精讲精练
高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
2．离散型随机变量的性质 若 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数) 也是随机变量，且 P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y) ＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
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◎思考题 4 某寻呼台共有客户 3 000 人，若寻呼台准备了 100 份小礼品，邀请客户在指定时间内来领取．假设任一客户去 领奖的概率为 4%.问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请？ 若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼 品？
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
(2)X 的所有可能值为 0，10，20，50，60，
且 P(X＝0)＝CC16022＝13，P(X＝10)＝CC311C0261＝25， P(X＝20)＝CC13022＝115，P(X＝50)＝CC111C0261＝125， P(X＝60)＝CC111C0231＝115.故 X 的分布列如下.
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探究 4 本例中，利用二项分布的均值公式 E(X)＝np 快速 地求出所求的期望值，当 n 的值越大时，这一公式更加显得威力 无比，因此我们要熟练掌握这一公式，并能灵活地运用它，在运 用时，需要注意的是，只有随机变量 X 服从二项分布时，才能运 用该公式来求均值．
3．两点分布与二项分布的均值
X E(X)
X～B(n，p) np
X服从两点分布 p(p为成功概率)
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北师大版普通高中数学必修5测试题含详细答案
高二数学必修5测试题一．选择题（每道4分，共计40分）1.由11a =，3d =确定地等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆地面积为 （ ） A ．21B ．23 C.1 D.33.已知{}n a 等比数列，且0n a >,252645342=++a a a a a a 那么53a a += （） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20b5E2R 。
4.已知0x >，函数4y x x=+地最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．65．数列 ,1614,813,412,211前n 项地和为 （ ）A ．2212n n n ++B ．12212+++-nn n C ．2212n n n ++-D ．22121nn n -+-+6.不等式20(0)ax bx c a ++<≠地解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a <∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+地最大值为 （ ）A ．5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解地情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.32B.-31C.-31D.-410.一个等比数列}{n a 地前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83p1Ean 。
二、填空题（每道4分，共计16分）11.在ABC ∆中，04345,22,3B c b ===，那么A ＝_____________;12.a 克糖水中含有b 克糖(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了.试根据这个事实提炼出一个不等式：____________DXDiT 。
最新高二数学题库 北师大版必修5数学第一章练习题及答案
高二数学必修五第一单元检测卷(数列)学校：卧龙寺中学 命题人：韩 梅 鲁向阳一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1，的一个通项公式是A. n a =B. n a =C. n a =D. n a =2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．31 3.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D.3,-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n- D.1(41)3n -6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a a a+++=A ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 100009.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±6411.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中的横线上．13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有 项.14.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .15.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么35a a +=__________. 16. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17（10分）．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.18（12分）．已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ① 求{}n a 的通项公式，并求2009a ；② 若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式19（12分）.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+， （1）求证：{}1n a +是等比数列； （2）求这个数列的通项公式n a .20（12分）已知数列{n a }的前n 项和是n n s n 2205232+-=， （1） 求数列的通项公式n a ； （2） 求数列{|n a |}的前n 项和。
最新高二数学题库 北师大版高二数学必修5试卷及答案
高二数学必修5命题单位：卧龙寺中学 姓名：张平安一 选择题（本题共12个小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1、在等比数列}{n a 中，公比q ＝2，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于( )A 、102B 、202C 、162D 、1522、若}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=a a a a 且公比q 为整数，则10a 等于（ ）A 、－256B 、256C 、－512D 、512 3、a,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程 02=++c bx ax （ ）A 、一定有两个不相等的实数根B 、一定有两个相等的实数根C 、一定没有实数根D 、以上三种情况均可出现4 ．在A B C ∆中，若（a +b+c ）(b+c-a )=3bc 且sinA=2sinBcosC ，那么ABC ∆是 ( )A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.在ABC ∆中，︒=︒==45,30,2C A a ,则ABC S ∆= ( ) A.2 B .22 C.13+ D.)13(21+ 6、已知在△ABC 中:，sinA: sinB: sinC ＝3: 5 :7，那么这个三角形的最大角是 ( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150° 7、在△ABC 中，若c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则C 等于 ( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60° 8、删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列。
这个新数列的第2005项是（ ）A 、 2048B 、 2049C 、 2050D 、 20519、已知310<<x ，则)31(x x -取最大值时x 的值是（ ） A ．31 B ．61C ．43D ．3210、 已知正数,x y 满足1x y +=，则12x y+的最小值（ ）A．3+B．C ．2D ．411、若实数b a ,满足1=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ）A ．18B ．32C ．6D ．36 12、如果实数x,y 满足x 2＋y 2＝1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( )A ．最大值1和最小值43最小值21和最大值1B ．最小值21和最大值1C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、若x<0,则函数x1x x 1x )x (f 22--+=的最小值是___________. 14、若x 、y ∈R ＋,x ＋4y ＝20,则xy 有最______值为______.15、若在等差数列}{n a 中，3,773==a a ，则通项公式n a =______________ 16、数列}{n a 的通项公式11++=n n a n ，其前n 项和时9=n S ，则n 等于_________三 解答题（本大题共6个小题，共74分）17．（12分）在∆ABC 中，设b bc BA-=2tan tan ，求A 的值。
北师大版高二数学必修五第一章测试试题及答案
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分高二数学必修五第一章试题 第I 卷（选择题，共90分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡及第II 卷密封线内项目填写清楚。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能答在试题纸上。
3．非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不按以上要求作答的答案无效。
考生必须保持答题卡的整洁，一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．数列252211，，，，的一个通项公式是A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+ 2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．313.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21nn S =-,则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n- D.1(41)3n -6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a a a+++=A ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 100009.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±64 11.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中的横线上．13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有 项. 14.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭④ {}lg n a15.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .16.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么35a a +=__________. 17. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________18. 已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，则n a =__________.答题卡：班级：______姓名：_________学号：_______得分：_______二、填空题：13、____________ 14、____________ 15、____________16、____________ 17、____________ 18、____________第II 卷（非选择题，共60分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
北师大版高二数学必修五第一章试题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分命题人：宝鸡石油中学高二年级数学学科王蒙高二数学必修五第一章试题第I卷（选择题，共90分）注意事项：1 •答第I卷前，考生务必将答题卡及第II卷密封线内项目填写清楚。
2 •第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能答在试题纸上。
3 •非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不按以上要求作答的答案无效。
考生必须保持答题卡的整洁，一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1 •数列、2, 5,22,.冇川，的一个通项公式是A. a n = \ 3n - 3B. a n - 3n -1 c. a n - 3n 1 D. a^ = , 3n 32. 已知数列的首项印=1，且a n= 2a n」+1 （n兰2），则a5为A. 7B. 15C.30D. 313. 下列各组数能组成等比数列的是A. -,-,-B. Ig3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,-3、, 3,93 6 94. 等差数列①［的前m项的和是30,前2m项的和是100,则它的前3m项的和是A. 130B. 170C. 210D. 2605. 若a』是等比数列，前n项和S n =2n -1,则a；• a； ' a f J|l ' a2 =1 1A. （2n -1）2B. —（2n-1）2C. 4n-1D. 一（4n-1）3 36. 各项为正数的等比数列g n*，a4a7=8，则log 2® log2a2丨|1 log2^0=A. 5 B . 10 C . 15 D . 207. 已知等差数列｛a n｝的公差0,若比、比、盹成等比数列，那么公比为3 2 3 4（A）（B）一（C） .一（D）-4 3 2 3&在等差数列和Ib n?中，印=25，b, =75，a100，=100，则数列G，b」的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 100009.已知等比数列；£n 1的通项公式为an =2 3n‘，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n =二、填空题：共6小题，每小题13. 等差数列的前4项和为40，最后 一共有项•14. 若:a n /是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 __________________ .①a 2』②a/③丄④'ig a n ?® J15. 若｛ a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= _________ .16. 已知｛a n ｝是等比数列，a n >0，又知 a 2 a 4+2a 3 a 5 +a 4 a 6=25，那么 a 3+a 5= _____________17.在等差数列iaj 中，印+印+aw +% +厲9 =100，则 亦—a®十比的值是 _____________________18.已知数列 ◎ ｝的前n 项和S n =3+2n ，则a n = ______________ 答题卡：班级： ________ 姓名： ___________ 号： __________ 得分： _________第II 卷（非选择题，共60 分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
北师大版高中数学必修五第一学期高二第一次段考.doc
修水一中2010-2011第一学期高二第一次段考数 学 试 卷（理）审核人：陈亮 校对：潘虹一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
每小题有且只有一个答案符合题意）1．在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则C ∠=( )A ．030 B ．045 C ．0150 D ．0135 2．在等差数列｛n a ｝中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于（ ） A.40 B.42 C.43 D.45 3．直角三角形的三条边长成等差数列，则其最小内角的正弦值为（ ）A.35 B.454．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A ．16(n --41) B ．16(n --21) C ．332(n --41) D ．332(n --21)5．已知等差数列共有10项、其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A.5B.4C. 3D.26．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L （ ）A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 7．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、β （α＞β）则A 点离地面的高AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ．)cos(cos cos βαβα-a8、已知{a n }的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n s n n Λ，则152231s s s +-的值是（ ）A ．13B ．76-C ．46D ．76 9. 已知{}n a 是递增数列,且对任意()*∈Nn 都有n n anλ+=2恒成立,则实数λ的取值范围是 ( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，＋27B ．()∞，＋0C ． ()∞，＋－2D ．()∞-，＋310．在△ABC 中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是 （ ） A ．222<<a B ．42<<aC ．22<<aD ．222<<a11. 某人从2006年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2010年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元) ( )A. 5(1)a r +B.5[(1)(1)]a r r r +-+ C. 6(1)a r + D. 6[(1)(1)]ar r r+-+ 12．给出下列三个结论，（1）若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形；（2）若sin sin A B =，则ABC 是等腰三角形；（3）若sin sin a bc A B==，则ABC 是直角三角形。
北师大版数学高二必修5第1章章末综合测评1
章末综合测评(一) 数列(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14【解析】 由a 1＝2，S 3＝3a 1＋3×22d ＝6＋3d ＝12可得d ＝2，∴a 6＝a 1＋5d ＝12.【答案】 C2．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1【解析】 ∵T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 23·a 23·a 3＝1，∴a 3＝1. 【答案】 B3．若一个等差数列前三项的和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )【导学号：47172125】A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＝146，∴3(a 1＋a n )＝180， ∴a 1＋a n ＝60.即n 2(a 1＋a n )＝390，n ＝13.【答案】 A4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( )A ．12B ．13C ．12或13D ．14【解析】 ∵a 13＝0，∴n ＝12或13，S n 最大．【答案】 C5．已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( )A ．15B ．24C ．27D ．54【解析】 由已知a 3＋a 4＋a 8＝3a 1＋12d ＝9，故a 1＋4d ＝3，即a 5＝3，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27. 【答案】 C6．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( ) 【导学号：47172126】A ．2B ．200C ．－2D ．0 【解析】 设等比数列的公比为q .由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0得a n (1＋2q ＋q 2)＝0.因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，解得q ＝－1，所以S 101＝a 1＝2.【答案】 A7．已知等差数列前n 项的和为S n ，若S 13＜0，S 12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ S 13＜0，S 12＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 13＜0，a 1＋a 12＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＋a 7＜0，a 6＋a 7＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 7＜0，a 6＞0，∴绝对值最小的项为第7项．【答案】 C8．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ．8B ．－8C ．±8D ．以上都不对【解析】 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2＞0，a 6＞0，∴a 4＝a 2q 2＞0，∴a 4＝8.【答案】 A9.通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27 ℃时，该元件的电子数目接近( ) 【导学号：47172127】A ．860个B ．1 730个C ．3 072个D ．3 900个【解析】 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016，可得，a 11＝3·210＝3 072.【答案】 C10．数列{a n }中，a n ＝3n －7(n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )【导学号：47172128】A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在【解析】 依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2， ∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2 ＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13，∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3.【答案】 B11．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，…则2 016位于第( )A ．30组B ．31组C ．32组D ．33组【解析】 ∵前n 组偶数总的个数为：2＋4＋6＋…＋2n ＝(2＋2n )n 2＝n 2＋n . ∴第n 组的最后一个偶数为2＋[(n 2＋n )－1]×2＝2n (n ＋1)．令n ＝30，则2n (n ＋1)＝1 860；令n ＝31，则2n (n ＋1)＝1 984；令n ＝32，则2n (n ＋1)＝2 112.∴2 016位于第32组．【答案】 C12．a 1，a 2，a 3，a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则a 1d 的值为( )A ．－4或1B ．1C ．4D ．4或－1【解析】 若删去a 1，则a 2a 4＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得d ＝0，不合题意；若删去a 2，则a 1a 4＝a 23，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得a 1d ＝－4；若删去a 3，则a 1a 4＝a 22，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2，化简，得a 1d ＝1；若删去a 4，则a 1a 3＝a 22，即a 1(a 1＋2d )＝(a 1＋d )2，化简，得d ＝0，不合题意，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________.【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3.又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，2n －3，n ＞1.【答案】 ⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ＞1 14．设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.【解析】 方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，又q ＞1，则a 2 014＝12，a 2 015＝32.则q ＝a 2 015a 2 014＝3， 所以a 2 016＋a 2 017＝q 2(a 2 014＋a 2 015)＝18.【答案】 1815．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 5(n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________. 【解析】 x 5n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5n 5＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .【答案】 52n 2－32n16．设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________.【解析】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，则b ＝1，所以f (x )＝kx ＋1(k ≠0)．又f 2(4)＝f (1)f (13)，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，解得k ＝2.所以f (x )＝2x ＋1，则f (2n )＝4n ＋1.所以{f (2n )}是公差为4的等差数列，所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝n (5＋4n ＋1)2＝2n 2＋3n . 【答案】 2n 2＋3n三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；(2)设c n ＝5－a n 2，b n ＝2c n ，证明数列{b n }是等比数列．【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n .(2)证明：∵a n ＝－2n ＋5，∴c n ＝5－a n 2＝5－(－2n ＋5)2＝n ； ∴b n ＝2c n ＝2n .∵b n ＋1b n＝2n ＋12n ＝2(常数)， ∴数列{b n }是等比数列．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n (a n ＋2)，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，得(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝－1或d ＝2.当d ＝－1时，a 3＝0，这与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾，舍去．所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，(n ∈N *)．(2)b n ＝2n (a n ＋2)＝2n (2n ＋2)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 【导学号：47172129】【解】 (1)由S n ＝2n 2＋n ，可得当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝3符合上式，所以a n ＝4n －1(n ∈N *)．由a n ＝4log 2b n ＋3，可得4n －1＝4log 2b n ＋3，解得b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)a n b n ＝(4n －1)·2n －1，∴T n ＝3＋7×21＋11×22＋15×23＋…＋(4n －1)×2n －1，①2T n ＝3×21＋7×22＋11×23＋15×24＋…＋(4n －1)×2n ，②①－②可得－T n ＝3＋4(21＋22＋23＋24＋…＋2n －1)－(4n －1)×2n＝3＋4×2(1－2n －1)1－2－(4n －1)×2n ＝－5＋(5－4n )×2n ，∴T n ＝5＋(4n －5)×2n .20．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.【解】 (1)∵S 2·S 3＝36，a 1＝1，∴(2a 1＋d )·(3a 1＋3d )＝36，即d 2＋3d －10＝0，∴d ＝2或d ＝－5.∵d ＞0，∴d ＝2，∴a n 为1为首项，2为公差的等差数列，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2.(2)∵a m ＋a m ＋1＋…＋a m ＋k ＝65，∴S m ＋k －S m －1＝65.由(1)得(m ＋k )2－(m －1)2＝65，即2mk ＋k 2＋2m －1＝65，2m (k ＋1)＋k 2－1＝65，即(k ＋1)(2m ＋k －1)＝65＝5×13，∵k 、m ∈N ＋，∴2m ＋k －1＞k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝5，2m ＋k －1＝13，解之得m ＝5，k ＝4. ∴当m ＝5，k ＝4时，a m ＋a m ＋1＋…＋a m ＋k ＝65.21．(本小题满分12分)某林场2014年底森林木材储存量为330万立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从2015年起，每年冬天要砍伐的木材量为x 万立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x 的最大值是多少？(lg 2≈0.3)【解】 设从2014年起的每年年底木材储存量组成的数列为{a n }，则 ⎩⎨⎧ a 1＝330，a n ＋1＝a n (1＋25%)－x ＝54a n －x ，则a n ＋1－4x ＝54(a n －4x )，即a n ＋1－4x a n －4x ＝54. ∴{a n －4x }是以330－4x 为首项，公比为54的等比数列，即a n ＝(330－4x )⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1＋4x ，∴a 21＝(330－4x )⎝ ⎛⎭⎪⎫5420＋4x . 令a 21≥4a 1，即(330－4x )⎝ ⎛⎭⎪⎫5420＋4x ≥4×330. 由lg 2≈0.3，可求得⎝ ⎛⎭⎪⎫5420＝100，代入上式整理得396x ≤31 680， 解得x ≤80(万立方米)．即：每年砍伐量最大为80万立方米．22．已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，高中数学打印版精心校对版本 知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63， 得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2.。
最新高二数学题库 北师大版必修5高二数学第一章测试题
高二年级数学第一章单元质量测试题参赛试卷学校：宝石中学命题人：张国维一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．某数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列为（）A常数列B公差为零的等差数列C公比为1的等比数列D这样的数列不存在2．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是 ( ) A．19 B．20 C．21 D．223．等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（）A、89B、 -101C、101D、-894．已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第（）项A．23 B．24 C．19 D．255．在等差数列｛a n｝中，d＝1，S98＝137，则a2＋a4＋a6＋…＋a98等于( )A．91 B．92 C．93 D．946．设a n＝－n2＋10n＋11，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项7．已知等差数列{a n}的公差为正数，且a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，则S20为（）A．180 B．－180 C．90 D．－908．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A．9 B．10 C．19 D．299．数列{a n}前n项和是S n，如果S n＝3＋2a n（n∈N*），则这个数列是（）A．等比数列B．等差数列C ．除去第一项是等比D ．除去最后一项为等差10.a 、b 、c 成等比数列，则f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定11.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A ．511个B ．512个C ．1023个D ．1024个 12． 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n ，而a 1，a 3，a 5，a 7，……组成一新数列{C n }，其通项公式为 （ ）A 、 C n =4n-3B 、C n =8n-1 C 、C n =4n-5D 、C n =8n-9 二．填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．写出下列各数列的通项公式：(1)3，5，3，5，3，… a n =_______．14.一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______．15．在－9和3之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－21的等差数列，则n ＝_______． 16.已知f （n ＋1）＝f （n ）－41（n ∈N *）且f （2）＝2，则f （101）＝______．17．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22 n na a （n ∈N *），则72是这个数列的第________项．三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.(1)写出数列的前5项；(2)求数列的通项公式．19.在等差数列{a n}中，a1＝－60，a17＝－12．（1）求通项a n，（2）求此数列前30项的绝对值的和．20.若每月初存入200元，月利率为0.3%，求到12个月末整取时的本利和是多少？21、有四个数，前三个数成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数。
北师大版数学高二必修5第一章数列单元测试
, [学生用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1，2，－3，4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n解析：选C.A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．2．有穷数列1，23，26，29，…，23n ＋6的项数是( )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…， 按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. 所以a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.4．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190解析：选B.设公差为d ，所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为d ≠0，所以d ＝2，从而S 10＝100.5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0B ．－ 3 C. 3 D.32解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，所以a 20＝a 2＝－ 3.6．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析：选A.设y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为f (0)＝1，所以b ＝1.又因为f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)·(13k ＋1)，所以k ＝2，所以y ＝2x ＋1.所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝2n 2＋2n ＋n ＝n (2n ＋3)．故选A.7．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项解析：选C.162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n }为等差数列的实数λ等于( )A ．2B ．5C ．－12 D.12解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ， 则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27， 因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12. 9．近年来，我国最大的淡水湖鄱阳湖湖区面积逐年减少，江西省政府决定将原3万亩围垦区退垦还湖，计划2013年退垦还湖面积为3 000亩，以后每年退垦还湖面积比上一年增加20%，那么从2013年起到哪一年可以基本完成退垦还湖工作(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 1.2≈0.079 2)( )A ．2015年B ．2016年C ．2017年D ．2018年解析：选D.由题意可知每年退垦还湖面积依次构成一个等比数列，记为{a n }，则首项a 1＝3 000，公比q ＝1＋20%＝1.2，前n 项和S n ＝30 000，由3 000（1－1.2n ）1－1.2＝30 000，得1.2n ＝3，所以n ＝log 1.23＝lg 3lg 1.2≈6，即到2018年可以基本完成退垦还湖工作，故选D. 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058 解析：选A.由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1， 因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝1·（1－28）1－2＝255. 答案：16 25512．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________．解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，所以a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n （n ＋1）2＋1. 答案：n （n ＋1）2＋1 13．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________． 解析：因为a n ＋1＝11－a n， 所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， 所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12. 答案：1214．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则通项为a n ＝82an 2＋bn的数列{a n }的前n 项和为________．解析：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋a ＋b ，故b ＝2a .因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a 2b ，又b ≠0，故b ＝a 2，所以a 2＝2a ，又a ≠0，所以a ＝2，b ＝4，所以a n ＝82an 2＋bn ＝84n 2＋4n ＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)， 所以{a n }的前n 项和S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1. 答案：2n n ＋115．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6<S 7，S 7>S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)解析：因为S 7>S 6，即S 6<S 6＋a 7，所以a 7>0.同理可知a 8<0.所以d ＝a 8－a 7<0.又因为S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，所以S 9<S 6.因为数列{a n }为递减数列，且a 7>0，a 8<0，所以可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②④三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)一个等比数列的前三项依次是a ，2a ＋2，3a ＋3，则－1312是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：因为a ，2a ＋2，3a ＋3是等比数列的前三项，所以a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2，解得a ＝－1或a ＝－4.当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1，0，0，与等比数列定义矛盾，故a ＝－1舍去．当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，则公比为q ＝32，所以a n ＝－4(32)n －1，令－4(32)n －1＝－1312，即(32)n －1＝278＝(32)3. 所以n －1＝3，即n ＝4，所以－1312是这个数列中的第4项． 17．(本小题满分10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，{b n }是各项都是正数的等比数列，(1)若a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＝1，且b 2，12b 3，2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)由题意可设{a n }公差为d ，则d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由题意可设{b n }公比为q ，则q >0，由b 1＝1，且b 2，12b 3，2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1， 所以q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N ＋)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N ＋)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.19．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少(可取1.110≈2.6)?(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a －x )－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x )－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；…10年后住房总面积为1．110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x＝1.110a －1.110－11.1－1x ≈2.6a －16x . 由题意，得2.6a －16x ＝2a .解得x ＝380a (m 2)． (2)所求百分比为a 2－380a ×102a ＝116≈6.3%. 即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.20．(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝3（2a n －11）（2b n －1），数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立的最大正整数k 的值．解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112， 所以S n ＝12n 2＋112n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式．所以a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)知{b n }是等差数列，由{b n }的前9项和为153，可得9（b 1＋b 9）2＝9b 5＝153， 得b 5＝17，又b 3＝11，所以{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ， 所以b 1＝5，所以b n ＝3n ＋2.(2)c n ＝3（2n －1）（6n ＋3）＝12(12n －1－12n ＋1)， 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)． 因为n 增大，T n 增大，所以{T n }是递增数列．所以T n ≥T 1＝13.T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立，只要T 1＝13>k 57，所以k <19，则k max ＝18.。
最新高二数学题库 北师大版高二数学必修5测试题及答案
高二数学（必修5）命题人:宝鸡铁一中数学组 周粉粉 (全卷满分120分，考试时间100分钟)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（ ） （A ）110 （B ）16 （C ）15 （D ）122.在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于( )A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3.不等式0322≥-+x x 的解集为（ ）A 、{|13}x x x ≤-≥或B 、}31|{≤≤-x xC 、{|31}x x x ≤-≥或D 、}13|{≤≤-x x 4.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解5.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）A.511个B.512个C.1023个D.1024个 6.数列{n a }的通项公式是n a ＝122+n n (n ∈*N )，那么n a 与1+n a 的大小关系是（ ） （A ）n a ＞1+n a （B ）n a ＜1+n a （C ）n a ＝ 1+n a （D ）不能确定 7.关于x 的不等式)1,(0-∞>+的解集为b ax ，则关于x 的不等式02>+-x abx 的解集为( ) A ．（－2，1） B ．),1()2,(+∞-⋃--∞C ．（－2，－1）D ．),1()2,(+∞⋃--∞8. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 A.49B. 837C. 1479D. 241499.已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]10. 等差数列}{n a 中,,0,0,020042003200420031<⋅>+>a a a a a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 为A. 4005B. 4006C. 4007D. 4008 二.填空题. （本大题共6小题，每小题5分，共30分）) 11、数列 121, 241, 381, 4161, 5321, …, 的前n 项之和等于 ． 12、已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为=n a ________13、在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为 . 14、已知232a b +=，则48ab+的最小值是 ．15．某人向银行贷款A 万元用于购房。
2021年北师大版高二数学必修五第一章试题及答案
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分命题人: 宝鸡石油中学高二年级 数学学科 王蒙高二数学必修五第一章试题 第I 卷(选择题，共90分)注意事项:1．答第I 卷前，考生务必将答题卡及第II 卷密封线内项目填写清楚。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能答在试题纸上。
3．非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不按以上要求作答的答案无效。
考生必须保持答题卡的整洁，一、选择题:本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．数列252211，，，，的一个通项公式是A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+ 2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．313.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21nn S =-,则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n- D.1(41)3n -6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a a a+++=A ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 100009.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±64 11.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题:共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中的横线上．13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有 项. 14.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭④ {}lg n a15.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .16.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么35a a +=__________. 17. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________18. 已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，则n a =__________.答题卡:班级:______姓名:_________学号:_______得分:_______二、填空题:13、____________ 14、____________ 15、____________16、____________ 17、____________ 18、____________第II 卷(非选择题，共60分)注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
北师大版高中数学必修五高二月考数学试题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作秦宝中学高二第一次月考数学试题第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知数列{}n a 的通项公式是3122n n n a n n +⎧=⎨-⎩（奇数）（为偶数），则23a a 等于A ． 70 B. 28 C. 20 D. 82. 设21011n a n n =-++，则数列{}n a 的最大项为 A ． 5 B. 11 C. 10或11 D. 363. 数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +=+，则101a 的值是 A ．52 B. 51 C.50 D. 494. 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为A ． 14 B. 15 C. 16 D. 175. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=，则m = A ． 9 B. 10 C. 20 D. 386. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ． 8 B. 7 C. 6 D. 57. 在等比数列{}n a 中，若2836a a ⋅=，3715a a +=，则公比为A ． 22,2 B. 2± C. 22± D.2±，22± 8. 已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +等于A ． 16 B. 8 C. 4 D. 29. 正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是 A ． 65 B. 65- C. 25 D. 25-10. 已知等比数列{}n a 中，公比为12q =，且1359960a a a a +++⋅⋅⋅+=，则123100a a a a +++⋅⋅⋅+=A ． 100 B. 90 C. 120 D. 30题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11. 在数列{}n a 中，310,a a 是方程2350x x --=的两根，若{}n a 是等差数列，则58a a += .12. 等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和，若11a =，40k a a +=，则k =13. 已知各项都为正项的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q =14. 已知两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T . 且71()427n n S n n N T n ++=∈+，则1111a b = . 15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S （n N +∈），关于数列{}n a 有下列三个命题： ①若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则1n n a a +=（n N +∈）； ②若2(,)n S an bn a b R =+∈，则{}n a 是等差数列； ③若1(1)n n S =--，则{}n a 是等比数列.其中正确命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）． 16. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-. （1）求{}n a 的通项公式（2）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大时n 的值.17. （本小题满分12分）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .班级：姓名：18. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =.（1）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（2）设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列{}n b 的通项公式19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S（1）求n a 及n S（2）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n =--， （1）求{}n a 的通项公式（2）求数列{}||n a 的前n 项和n T .21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，数列{}n b 中，11b =，且点1(,)n n b b +在直线1y x =-上， （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n b 的通项公式（3）若3n n c a =+，求数列{}n n b c 的前n 项和n S参考答案及评分标准一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 CD A C B D D B D B 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 3 12. 10 13. 152-+ 14. 4315. ①②③三．解答题 16. 解：（1）由题意得 112599a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得192a d =⎧⎨=⎩. ∴1(1)92(1)112n a a n d n n =+-=--=- -----------------------------------6分（2）由（1）知221(1)10(5)252n n n S na d n n n -=+=-=--+ -------------12分∴当5n =时，n S 取最大值17. 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由12a =，324a a =+得2224q q =+即220q q --=，解得2q =或1q =-（舍），∴2q =∴11n n a a q -=⋅1222n n -=⋅= -------------------------------------6分 （2）数列12(1)21n b n n =+-=- ∴n S =n n a b +=(12)(1)12122nn n n --+⨯+⨯-=12122222n n n n n n ++-+-+=+- ------------12分 18.解：（1）因为1111333n n n a -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ ---------------------------------------------3分111113331213n n n S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以12n na S -= ---------------------------------------6分 （2）31323log log log n nb a a a =++⋅⋅⋅+(123)n -+++⋅⋅⋅+(1)2n n +=- ---------------------------------12分 19. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由题意，得112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩----------------------------------------2分∴1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+. -----------------------------------------4分2111(1)3(1)222n S na n n d n n n n n =+-=+-=+---------------------------------------6分（2）由（1）知21n a n =+ -------------------------------------------------8分∴221111111.1(21)14(1)41n n b a n n n n n ⎛⎫===⋅=- ⎪-+-++⎝⎭ ---------------------10分 ∴1111111111.42231414(1)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭-----------------------------12分 20. 解：（1）当1n =时，1114a S ==-；当2n ≥时，1n n n a S S -=-28n =-故14(1)28(2)n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩---------------------------------------------7分（2）由28n a n =-可知：当4n ≤时，0n a ≤，-------------------------------------8分 当5n ≥时，0n a >∴当4n ≤时，278n n T S n n =-=-++ -----------------------------------------------------9分 当5n ≥时，444()2n n n T S S S S S =-+-=-22782(20)732n n n n =---⨯-=-+ -----------11分∴2278(14)732(5)n n n n T n n n ⎧-++≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩----------------------------------------13分21. 解：∵123n n a a +=+∴132(3)n n a a ++=+ ∴1323n n a a ++=+，134a +=， ∴{}3n a +是首项为4，公比为2的等比数列，∴113422,n n n a -++=⋅=∴ 123n n a +=- ---------------------------4分 （2）∵1(,)n n b b +在直线1y x =-上，∴11n n b b +=-，即11n n b b +-=， 又11b =∴数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，∴n b n = ----------------------------------------------------------8分 （3）3n n c a =+112332n n ++-+= ∴12n n n b c n +=⋅23411222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯345122122232(1)22n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯两式相减，得23412222n n S +-=+++⋅⋅⋅+22n n +-⋅2224(12)224212n n n n n n +++-=-⨯=--⨯- ∴2(1)24n n S n +=-⋅+ --------------------------------------------14分。
第一章 直线与圆 单元测试 2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
第一章 直线与圆 单元测试一、单选题1．若直线l 斜率为k ，向量在直线l 上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，则该直线的斜率k 的值为（ ）A ．2B ．C ．D ．2．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知直线与圆：（）交于A ，两点，且线段关于圆心对称，则（ ）A ．1B ．2C ．4D ．54．已知点，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）A ．BC ．D ．6．若点P 在直线上，点Q 在圆上，则线段PQ 长度的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．直线l 过点，则直线l 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知直线与圆交于，两点，点为线段的中点，且点的坐标为．当）A ．B ．的最小值为C ．存在点，使D．存在，使10．下列说法正确的是（ ）A ．已知直线过点，且在轴上截距等于轴上截距2倍，则直线的方程为B ．直线没有倾斜角C ．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D ．已知直线的斜率满足，则它的倾斜角的取值范围是或11．已知直线l ∶x +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．-2.三、填空题12．已知斜率均为负的直线与直线平行，则两条直线之间的距离为 ．13．已知圆和圆，M 、N 分别是圆C 、D 上的动点，P 为x 轴上的动点，则的最小值是 .14．过点，且与直线垂直的直线方程是．四、解答题15．圆内有一点，AB 为过点P 且倾斜角为的弦．(1)当时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．16．圆过、两点，且圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．17．已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍．m m ()1,0i =()0,1j = 122±12±M ()2211x y ++=N ()()22231x y -+-=l l 210x y --=210x y -+=230x y +-=230x y +-=20x y r -+=C ()()22213x y r ++-=0r >B AB r =()0,1A ()10B ,(),0C t M AC 2MA MB ≤t =()2,0P -()():34330l m x y m m ++-+=∈R P l d 34120x y +-=221x y +=12575175225()Lemoine ABC V ,,A B C BC,CA,AB ,,P Q R ,,P Q R Lemoine xOy ()()()0,1,2,0,0,4A B C -Lemoine 2320x y --=2380x y +-=32220x y +-=23320x y --=(1,1),(2,4)A B -2y x =-2y x =--2y x =-+2y x =+:0(R)l mx y m m --=∈222:()0O x y r r +=>A B Q AB T (3,0)1m =2r =AB A 45ATO ∠=︒m 54QO QT ⋅=-l ()2,1P x y l 240x y +-=10x +=R a ∈R b ∈210ax y +-=()1210a x ay +-+=3a =l k 11k -≤<α045α≤< 135180α≤< :0l bx ay +=:20m ax by a ++=()22:21C x y +-=22:610300D x y x y +--+=PM PN +()1,5-126x y+=228x y +=()1,2P -α3π4α=C ()0,3()4,5C 80-+=x y C l x y C l (,)M x y (3,0)P O(1)求动点的轨迹的方程；(2)求的最小值；(3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD 的面积的最大值．M E x y O E A B C D S参考答案1．D【分析】设出，求出向量在和方向上的投影的模，从而得到，求出直线斜率.【详解】设，则向量在方向上的投影的模为，向量在方向上的投影的模为，则，故该直线的斜率.故选：D 2．C【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.【详解】由题意得，，则的中点的坐标为，直线的斜率.由圆与圆关于对称，得的斜率.因为的中点在上，所以，即.故选：C.3．D【分析】先求得圆心的坐标，进而列出关于的方程，解之即可求得的值.【详解】圆：的圆心，由圆心在直线上，可得，解之得.故选：D 4．D【分析】先设出，得到的方程为：，由得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，求出的最小值即可．【详解】设，由在上，得：，即，由得：，化简得，依题意，线段与圆，至多有一个公共点，故(),m a b = m()1,0i =()0,1j = 2a b=(),m a b =m()1,0i =m ia i⋅=m ()0,1j =m jb j⋅= 2ab =12b k a ==±()0,1M -()2,3N MN ()1,1MN 31220MNk +==-M N l l 112l MN k k -==-MN l ()1112y x -=--230x y +-=C r r C ()()22213x y r ++-=(1,3)C -(1,3)C -20x y r -+=230r --+==5r (,)M x y AM 0x ty t +-=2MA MB ≤t (,)M x y M AC 1xy t+=0x ty t +-=2MA MB ≤()2222(1)41x y x y ⎡⎤+-≤-+⎣⎦22418((339x y -++≥AM 22418()()339x y -++=41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭解得：，是使恒成立的最小正整数，由于，故选：D5．B【分析】先求得直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案.【详解】直线，即，由解得，所以直线过定点，所以的最大值为故选：B 6．B【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ 长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可.【详解】圆的圆心为，半径，因为圆心到直线的距离为，所以线段PQ长度的最小值为.故选：B 7．B【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案.【详解】的外接圆设为，，解得，外接圆方程为，即，易知外接圆在处切线方程为，又，令得，，，在处切线方程为，又，令得，，则三角形的线的方程为，即故选：B.8．D2t ≥2t ≤t 2MA MB ≤324<<4t ∴=l ()():34330l m x y m m ++-+=∈R ()33430m x x y +++-=303430x x y +=⎧⎨+-=⎩33x y =-⎧⎨=⎩l ()3,3Q -d =221x y +=(0,0)O 1r =34120x y +-=1215d ==>127155-=,A C ,P R ABC V 220x y Dx Ey F ++++=104201640E F D F E F ++=⎧⎪∴++=⎨⎪-+=⎩034D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴22340x y y ++-=2232524x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭A 1y =:124x y BC +=-1y =52x =,152P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()0,4C -4y =-:12xAB y +=4y =-10x =()10,4R ∴-Lemoine 410514102y x +-=+-2380x y +-=【分析】根据直线的两点式方程运算求解.【详解】因为，则线l 的方程为，整理得，所以直线l 的方程为.故选：D.9．AD【分析】利用圆的弦长公式判断A 、B ；假设存在点，求出直线方程，判断与圆的位置关系，判断C ，求出点的轨迹方程，可判断D.【详解】当时，直线，圆心到直线的距离，又，解得，A 正确；由上可知圆，圆心到直线的距离，则，B 错误；若，则直线斜率为，从而直线：，此时圆心到直线的距离，则直线与圆相离，即不存在点，使，C 错误；设点，因为直线过定点，则，即，化简为，为点的轨迹方程，若，则，即，得，故存在存在，使，D 正确.故选：AD.10．CD【分析】根据截距的概念可判定A ，根据倾斜角的定义可判定B ，利用两直线垂直的位置关系可判定C ，根据倾斜角与斜率的关系可判定D.【详解】对于A ，当直线在两个坐标轴的截距都是0时，显然直线方程为，故A 错误；B ，直线倾斜角是，故B错误；对于C ，若直线与直线垂直，则有或，所以不满足充分性，反之时，此时两直线垂直，满足必要性，故C 正确；对于D ，由直线的斜率与倾斜角的关系知：12,14-≠≠()()114121x y ---=---2y x =+2y x =+A AT Q 1m =:10l x y --=O d AB ===2r =22:4O x y +=O d ==AB ===>45ATO ∠=︒AT 1-AT 30x y +-=O 2d r >=AT O A 45ATO ∠=︒(),Q x y ():1(R)l y m x m =-∈()1,0C 222OQ QC OC +=()2222211x y x y ++-+=221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Q 54QO QT ⋅=- ()2534x x y -⋅-+=-()2534x x x x -⋅-+-=-[]50,18x =∈m 54QO QT ⋅=- 12y x =10x +=90 210ax y +-=()1210a x ay +-+=()1400a a a a +-=⇒=3a =3a =k满足的直线，则它的倾斜角的取值范围是或，故D 正确.故选：CD 11．ABCD【分析】求出两坐标轴上的截距，进而判断的可能取值．【详解】令y ＝0，得到直线在x 轴上的截距是，令x ＝0，得到直线在y 轴上的截距为2＋a ，∴不论a 为何值，直线l 在x 轴和y 轴上的截距总相等.故选：ABCD.12．33/133【分析】利用斜率为负的两直线平行，找到，表示出直线，利用两平行线间的距离公式计算即可.【详解】因为斜率均为负的直线与直线平行，所以同号，且，解得：，所以直线与直线，所以这两条直线之间的距离为.13【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C 关于x 轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值.【详解】的圆心为，半径为1，，圆心为，半径为2，结合两圆位置可得，，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C 关于x 轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求，此时，即为的最小值，故的最小值为11k -≤<α045α≤< 135180α≤< a 2a +a =:0l bx ay +=:20m ax by a ++=,a b 02b a a b a=≠a =:0l x +=:10m x +=d ==3-3PM PN PC PD +≥+-,,P M C ,,P N D ()0,2C '-PC PD +PM PN +()22:21C x y +-=()0,2C ()()2222:610300354D x y x y x y +--+=⇒-+-=()3,5D 3PM PN PC CM PD DN PC PD +≥-+-=+-,,P M C ,,P N D ()0,2C '-CD'x P C D =='PC PD +PM PN +3314．【分析】根据垂直求出斜率，再由点斜式方程可得答案.【详解】直线的斜截式为，故斜率是，所以所求直线的斜率是，所以所求直线方程是，即.故答案为：.15．(2)【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出；（2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程.【详解】（1）圆的圆心，半径因为，所以直线的斜率，所以，即，所以圆心到的距离所以（2）因为弦被平分，所以，又因为，所以，所以，即.16．(1)，，【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可；（2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解.【详解】（1）解：两点，的中垂线方程为：，联立，解得圆心，则，故圆的方程为：；（2）由直线且被圆截得的弦长为6，故圆心到直线的距离为，3160x y -+=126x y+=36y x =-+3-13()1513y x -=+3160x y -+=3160x y -+=250x y -+=()1,2P -AB AB OP AB ⊥AB k P AB 228x y +=()0,0O r =3π4α=AB 3πtan14AB k ==-()()():211AB y x -=-⨯--:10AB x y +-=O AB d AB ===AB P OP AB ⊥20210OP k -==---12AB k =()()1:212AB y x -=--:250AB x y -+=()22825x y +-=0y ±=2160x y +--=2160x y +-+=()0,3()4,580-+=x y l C C l ()0,3()4,5280x y +-=80-+=x y ()0,8C =5r C ()22825x y +-=l C C l 4d =A ．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，此时直线的方A ．若直线不过原点，设直线为：，此时直线的方程为：，综上：直线，，.17．(1)(2)(3)7【分析】（1），根据两点间的距离公式化简可得方程；（2），法一：换元后与圆的方程联立，利用判别式法求解最小值；法二：几何法，利用直线与圆的位置关系列不等式求出最小值；法三：三角换元，结合辅助角公式利用余弦函数的性质求解最小值；（3），根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值.【详解】（1）由已知得化简得，即，所以动点的轨迹的方程为：；（2）法一：设，得，代入轨迹的方程消去并整理得，∴，即，解得故的最小值为；法二：设，即，由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆，由题意可知，直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得故的最小值为；法三：由（1）可设，，则，因为，所以当时，y kx =4d k ==⇒=l 0y ±=12202x yx y a a a+=⇒+-=48d a ⇒=±l 2160x y +--=2160x y +-+=l 0y ±=2160x y +--=2160x y +-+=22(1)4x y ++=1--=22230x y x ++-=22(1)4x y ++=M E 22(1)4x y ++=x y t -=y x t =-E y ()2222(1)30x t x t +-+-=()22Δ4(1)830t t =---≥2270t t +-≤11t --≤≤-+x y -1--x y t -=0x y t --=E (1,0)-0x y t --=22(1)4x y ++=2≤11t --≤≤-+x y -1--12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(02π)θ≤<π12cos 2sin 14x y θθθ⎛⎫-=-+-=-++ ⎪⎝⎭πcos 14θ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭3π4θ=的最小值为；（3）i ）若两直线都有斜率，可设直线AB 的方程为，则直线CD 的方程为，由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆．到直线AB 的距离同理，所以，ⅱ）若AB 、CD 两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0，此时线段AB 、CD 的长分别为4（或4、，所以．综上所述，当且仅当，即时，四边形ACBD 的面积取得最大值，最大值为7．x y -1--(0)y kx k =≠1=-y x kE 1(1,0)O -1O d =||AB ==CD ==11||||22S AB CD ==⨯==7=≤1||||72S AB CD ==<21112k =+1k =±S。
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第5模块 第1节[知能演练]一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 解法一：∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)3(n ＋1)＋1－2n3n ＋1＝2[3(n ＋1)＋1](3n ＋1)， ∴a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列．解法二：研究函数f (x )＝2x3x ＋1(x >0)的单调性，f (x )＝2x ＋23－233x ＋1＝233x ＋1)－233x ＋1＝23－23(3x ＋1)∴f (x )＝2x3x ＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴f (n ＋1)>f (n )，故a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列． 答案：A2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.3115解法一：由已知得a 1·a 2＝22，∴a 2＝4.a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝94，a 1·a 2·a 3·a 4＝42，∴a 4＝169，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.解法二：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(n n －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116答案：A3．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )为( )A.n ＋1nB.n ＋3n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n ＋3n ＋2解析：f (1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋21＋1，f (2)＝2(1－14)(1－19)＝43＝2＋22＋1，f (3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2(1－14－19)(1－116)＝54＝3＋23＋1，可猜测f (n )＝n ＋2n ＋1.答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵S n ＝n 2－9n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8也适合上式，∴a n ＝2n －10，又5<2k －10<8，152k <9，∴k ＝8.答案：B 二、填空题5．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ， 0≤a n <12，2a n －1， 12≤a n <1，a 1＝35，则数列的第2008项为________．解析：∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15，∴a 3＝2a 2＝25，∴a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15…，∴该数列的周期为T ＝4.∴a 2008＝a 4＝45.答案：456．已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________. 解法一：由a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4， ∴数列的通项公式a n ＝n .验证：当a n ＝n 时，(n ＋1)a n ＝na n ＋1成立．解法二：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ∴当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a2a 1＝2.将以上各式累乘求得an a 1＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1时也适合．∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n三、解答题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，求数列的通项公式． 解：S n 满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，∴1＋S n ＝2n ＋1， ∴S n ＝2n ＋1－1.∴a 1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n (n ≥2)，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)，2n (n ≥2).8．在数列{a n }中，a 1＝12a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2008.(1)证明：a n ＋3＝1－1a n ＋21－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解：由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝12.[高考·模拟·预测]1．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝( )A ．4B ．2C ．1D ．－2解析：取n ＝1得a 1＝2(a 1－1)，所以a 1＝2，再由n ＝2得2＋a 2＝2(a 2－1)，所以a 2＝4.答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n 是( )A.2n ＋13 B.n ＋23 C.12n －1D.13n －2 解析：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0的两边同时除以a n a n －1(a n a n －1≠0)得：3＋1a n －1－1a n ＝0，1a n－1a n －1＝3，故数列{1a n }是首项为1，公差为3的等差数列，1a n ＝1a 1(n －1)×3＝3n －2，故通项a n ＝13n －2.答案：D3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (20－n )，则当a n a n ＋1<0时，n ＝________.解析：由S n ＝n (20－n )得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (20－n )－(n －1)[20－(n －1)]＝－2n ＋21； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1×(20－1)＝19＝－2×1＋21. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋21.由a n ·a n ＋1＝(－2n ＋21)[－2(n ＋1)＋21]＝(－2n ＋21)(－2n ＋19)<0⇔192<n <212，因为n ∈N ，所以n ＝10.答案：104．设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝|a n ＋2a n －1|，n ∈N *，则数列{b n }的通项b n ＝________.解析：∵b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋122a n ＋11＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(a n ＋2)a n ＋1－(a n －1)a n ＋1＝⎪⎪⎪⎪－2(a n ＋2)a n －1＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n .又b 1＝4，∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1. 答案：2n ＋15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3.又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2)＝4a n ＋1－4a n ， 于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，于是a n ＋12n ＋1－an 2n34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.[备选精题]6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝an n，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n 12n，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，……b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1(n ≥2)．又b 1＝1，故所求的通项公式b n ＝2－12n －1.(2)由(1)知，a n ＝n (2－12n －1)＝2n －n2n －1令T n ＝∑k ＝1nk2k －1，则2T n ＝∑k ＝1nk2k －2.于是T n ＝2T n －T n ＝∑k ＝0n －112k －1－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 又∑k ＝1n (2k )＝n (n ＋1)，所以S n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.。