北京第十八中学高三数学第一轮复习 65 数列的通项公式(2)教学案(教师版)

教案65 数列的通项公式（2）
一、课前检测
1．（1）数列9，99，999，…的通项公式为 ； 110-=⇒n n a ；
（2）数列5，55，555，…的通项公式为 。

()
11095-=⇒n n a 。

2．已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1
111n n n S a a +=-．（Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n n
S a a S S S S +-=-=---， 化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，
又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠，
∴数列{}n S 是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=．
当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，
又111a S ==，
∴21,
(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩
二、知识梳理
（一）数列的通项公式
一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
解读：
（二）通项公式的求法（6种方法）
5.构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
1）构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
6.归纳猜想证明法
解法：数学归纳法
7．已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1
－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 如：数列}{n a 中，对所有的*∈N n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.
三、典型例题分析
题型5 构造法：1）构造等差数列或等比数列
例 5 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：n n n S a a 422
=+成立，求{}n a 的通项n a . 解：n n n S a a 422=+⇒112
142---=+n n n S a a ，
∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+---- 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵01≠+-n n a a ，∴21=--n n a a . 即{}n a 是以2为公差的等差数列，且2421112
1=⇒=+a a a a .
∴n n a n 2)1(22=-+=
变式训练5 数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2，求数列的通项公式n a .
解：∵121111=⇒-==a a S a
当n ≥2时， []12
12)1(221111+=
⇒++-=----=-=----n n n n n n n n n a a a a a n a n S S a )2(2
121-=-⇒-n n a a 令2-=n n a b ，则12
1-=n n b b ，且1211-=-=b {}n b 是以21为公比的等比数列，11)2
1()21(1---=⨯-=n n n b ∴1)21(2--=n n a . 小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
题型6 构造法：2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式。

例6 设{}n a 是首项为1的正项数列，且01212=-----n n n n na na a a ，（n ∈N*），求数列的通
项公式an.
解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n .
∵0>n a ，01>-n a ，∴01>+-n n a a .
∴n a a n n =--1
2
)1(321)()()(123121+=++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n
题型7 构造法：3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例7 数列{}n a 中，2
11=
a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a . 解：1221221)1()1()1(----=-⇒--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a 1
11+-=⇒-n n a a n n ， ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅=--- )
1(12131211+=⨯-⋅+-=n n n n n n ∴)2)(1(11++=+n n a n
题型8 构造法：4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例8 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a
n b ， 则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 1
21=+=b .
11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n ，12log 12
-=-n a n ， ∴12
12--=n n a
变式训练5 已知数列{}n a 中，21=a ，n ≥2时1
33711+-=
--n n n a a a ，求通项公式. 解：∵1344111+-=---n n n a a a ，两边取倒数得4311111+-=--n n a a . 可化为等差数列关系式.
413)1(4311111+=-+-=-n n a a n ∴1
353++=n n a n
题型9 归纳猜想证明
例9 设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…
（Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式
解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1 于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12
当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，
于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝6
(Ⅱ)由题设(S n －1)2
－a n (S n －1)－a n ＝0，
即S n 2
－2S n ＋1－a n S n ＝0
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得
S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝3 由①可得S 3＝4 由此猜想S n ＝n
n ＋1，n ＝1，2，3，…
下面用数学归纳法证明这个结论 (i)n ＝1时已知结论成立
(ii)假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝k
k ＋1，
当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1
k ＋2，
故n ＝k ＋1时结论也成立
综上，由(i)、(ii)可知S n ＝n n ＋1对所有正整数n 都成立 于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n
n ＋1－n －1
n ＝1
n(n ＋1)，
又n ＝1时，a 1＝12＝1
1×2，所以
｛a n ｝的通项公式a n ＝n
n ＋1，n ＝1，2，3，……
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.。