北京第十八中学高三数学第一轮复习 65 数列的通项公式(2)教学案(教师版)
第一轮复习数列通项公式求法
第一轮复习数列通项公式求法
数列通项公式是指可以用一个公式来表示数列中任意一项的公式。数列通项公式的求法主要有以下几种方法：
1.通过找规律：观察数列中项之间的关系，找出数列中的规律，然后推断出通项公式。常见的数列规律包括等差数列的公差、等比数列的比率等。
2. 直接计算：对于一些简单的数列，可以通过直接计算数列中的一些项来推断出通项公式。例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以通过计算数列的前几项得到通项公式。
3.数学归纳法：数学归纳法是一种证明数列性质的方法，也可以用来求解数列通项公式。首先证明数列的第一项满足通项公式，然后假设数列的前n项满足通项公式，再证明数列的第n+1项也满足通项公式。
4.利用递推关系：对于一些递推数列，可以通过递推关系来求解数列通项公式。例如，斐波那契数列的通项公式可以表示为
Fn=(1/√5)*[(1+√5)/2]^n-(1/√5)*[(1-√5)/2]^n。
需要注意的是，求解数列通项公式时，并不是所有的数列都能找到通项公式。有些数列可能只能通过递归或者递推的方式来计算。此外，还需要注意计算过程中的精度问题，避免舍入误差对计算结果的影响。
总的来说，求解数列通项公式需要观察数列规律、进行数学推理和采用适当的数学方法。不同的数列可能需要不同的方法来求解其通项公式。通过掌握以上方法，我们可以更好地理解和分析数列，从而应用数列的性质解决数学问题。
求数列的通项公式列教案
求数列的通项公式教案
教学目标：掌握求数列通项公式的几种特殊方法：已知,sn 求an ；累加法；累乘法；构造法； 教学重点：求数列通项公式的特殊方法
教学难点：针对不同条件，选择恰当方法求数列的通项公式。
自主知识梳理：
1、 等差数列
通项公式： （思考推导方法）
前n 项和公式：
2、等比数列
通项公式： （思考推导方法）
前n 项和公式：
自主小题训练（课前）
1 已知数列{}n a 满足11a =，若12n n a a +=+，则n a =__21n -_________
2 已知数列{}n a 满足11a =，若12n n a a +=，则n a =_____12
n -______
3 已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a
4已知数列{}n a 满足11a =，n a a n n =--1(2)n ≥，则(1)2
n n n a +=
________ ； 5已知数列{}n a 满足11a =，若1)1(++=n n a n na ，则n a n 1=； 小结：求数列的通项公式的方法有 定义法， 累加法， 累积 法
构造 法， 待定系数法 等。
三 课堂探究
例1 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即
321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令
3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23
《数列的通项公式》PPT课件
课前探究学习
课堂讲练互动
2．数列的通项公式
(1)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的
数列都有通项公式．如的近似值，精确到1,0.1,0.01，…所构
成的数列1,1.4,1.41，…就没有通项公式．
(2)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一
的．如数列－1,1，－1,1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可 以写成an＝(－1)n＋2等． (3)熟记一些基本数列的通项公式，如：
们与序号n之间的内在联系．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的 绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝 对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)类似(1)统一分母为 2，则有12，42，29，126，225，…，
因而有 an＝n22.
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．数列的概念 (1)数列：按照_一__定__顺__序__排列的一列数称为数列；数列的一般形 式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． (2)项：数列中的_每__一__个__数__叫做这个数列的项．排在第一位的数 称为这个数列的第1项(通常也叫做_首__项__)，排在第n位的数称为 这个数列的_第__n_项___．
【变式3】 已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项， 并归纳出数列的一个通项公式．
数列通项公式的求法课件-高三数学一轮复习
探究 5 此类题可由 an＝SS1n（－nS＝n－11（）n，≥2）求出通项 an，但要注意 n＝1 与 n ≥2 两种情况能否统一．
思考题 5 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，n∈
N*，求 an. 【解析】
由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，
思考题 2 在数列{an} 中，已知 a1＝4，an＋1＝5nan，求 an.
【解析】 据题意有aan＋n 1＝5n⇒aan－n 1＝5n－1(n≥2 且 n∈N*)， ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝4×51×52×…×5n－1
n（n－1）
＝4×51＋2＋3＋…＋(n－1)＝4×5
2
(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成
n（n－1） 立，故 an＝4×5 2 (n∈N*)．
题型三 构造法
例 3 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋3(n∈N＋)，求数列{an}的通项公 式．
【解析】 ∵an＋1＝2an＋3(n∈N＋)， ∴an＋1＋3＝2(an＋3)． ∴{an＋3}是以 a1＋3＝4 为首项，2 为公比的等比数列． ∴an＋3＝2n＋1，即 an＝2n＋1－3(n∈N＋)．
【讲评】 已知 an＋1＝an＋f(n)，通常利用累加法，求出通项 an. 探究 1 累加法就是利用以下变形来求通项 an 的方法：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3 －a2)＋…＋(an－an－1)． 例如，在等差数列{an}中，由于 a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d，所以对
北京第十八中学高三数学第一轮复习 65 数列的通项公式(2)学案
学案65 数列的通项公式（2）
【课前预习,听课有针对性】（5m ）
1.由=1，13a a a n n 1n +=+,给出的数列的第34项为（ ） A.10334 B.100 C.1001 D.104
1
2.已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，
4），（2，3），（3，2），（4，1），……，则第60个数对是（ ）
A.（10，1）
B.（2，10）
C.（5，7）
D.（7，5）
3.已知函数()cos f x x =-，()2g x x π=-，数列{}n x 满足：15(,)66x ππαα⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， *12()()()n n g x f x n N n
+=∈，当2πα=时，求23,x x 的值并写出数列{}n x 的通项公式（不要求证明）。
【及时巩固,牢固掌握知识】（20——30m ）
A 组 夯实基础，运用知识
4.数列}{n a 满足n n n a n a a a ⋅+=
=+1,111，则36a = 。
5.已知数列{}n a 是以首项为114a =
，公比14q =的等比数列，设*)(log 324
1N n a b n n ∈=+，求证：}{n b 是等差数列。
解：
6．（2010年安庆市四校元旦联考）各项均为正数的数列{}n a 中，n S a ,11=是数列{}n a 的前n 项和，对任意*∈N n ，有 )(222
R p p pa pa S n n n ∈-+=。 ⑴求常数p 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）
构造法求数列的通项公式课件-2025届高三数学一轮复习
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，则数列{an}的通项公式an ＝( )
A．(n＋1)·2n－1
B．n·2n＋1
C．n·2n
D．n·2n－1
答案：D 列解，析故：2ann−a1n＝＋11＝＋2(ann－＋12)n＝⇒an2n，+n1故＝a2nan＝n−1＋n·21n，－1所.故以选{D2an.n−1}是首项为1，公差为1的等差数
是等比数列，其首项为b1－1＝a51－1＝－35，公比为25，所以bn－1＝－35×(25)n－1，
即bn＝1－35×(25)n－1，所以5ann＝1－35×(25)n－1＝1－3×52nn−1，所以an＝5n－3×2n－1.
题后师说
形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) 求an的一般步骤
答案：ABD
题后师说
形如an＋1＝qpana+n r求an的一般步骤
巩固训练3 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3−anan
(n∈N*)，则an＝_3_n−_21_+_1(_n_∈__N_*)_．
解析：由an＋1＝3−anan得an1+1＝3−anan＝a3n－1，
即1
an+1
−
12＝3(a1n
＋an＋1＝4×4n－1＝4n.所以a9＋a10＝49.故选C.
题型三 形如an＋1＝qpanan+r
求数列通项公式(教案)
数列地通项公式
教学目标:使学生掌握求数列通项公式地常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列地通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用
1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列地通项公式地方法. 教学时数:2课时.
教 法:讨论、讲练结合.
第一课时
一．常用方法与技巧：
（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊地函数.
（2）运用好公式： 1
1(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
快速练习:
1.写出下面数列通项公式（记住）：
1,2,3,4,5,…=
n a ______________.
1,1,1,1,1,…=
n a ______________.
1,-1,1,-1,1,…=
n a ______________.
-1,1,-1,1,-1,…=
n a ______________.
1,3,5,7,9,…=
n a ______________.
2,4,6,8,10,…=
n a ______________.
9,99,999,9999,…=
n a ______________.
1,11,111,1111,…=
n a ______________.
1,0,1,0,1,0,…=
n a ______________. 2.求数列地通项公式地常用方法:
(1).观察归纳法. 利用好上面地常用公式.
(2).叠加法:
例1.数列1n 1{}13,n n a a a a -==+中，，求数列 .n a 通项公式
高三数学第一轮复习——数列（知识点很全）五篇范文
高三数学第一轮复习——数列（知识点很全）五篇范文
第一篇：高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
数列
一、知识梳理
数列概念
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列
通项公式，即anan的第n,那么这个公式叫做这个数列的，且任何一项an与它的前一项an-1（或前几{an}的第一项（或前几项）=f(n).3.递推公式：如果已知数列
=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数
列{an}的递推公式.如数列{an}中，a1=1,an=2an+1，其中an=2an+1是数列{an}的递推项）间的关系可以用一个式子来表示，即an公式.4.数列的前n项和与通项的公式
⎧S1(n=1)①Sn=a1+a2+Λ+an；②an=⎨.S-S(n≥2)n-1⎩n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何n∈N+,均有an+
1②递减数列:对于任何n∈N+,均有an+1
③摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,Λ.④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使>an.<an.an≤M,n∈N+.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an>M.等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式
求数列的通项公式教学设计
自主学习
PPT展示以下例题并详细讲解
例2.数列{an}满足a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则{an}的通项公式an＝________.
学生主动参与，师生共同讨论，解决相关问题。
类比累加法，把例1所学技能进一步深化，灵活应用。
解题反思：
（1）题型结构：当出现＝f(n)时，用累乘法求解
ppt展示以下题目并了解学生掌握情况满足a1ppt展示以下例题并详细讲解累加法是教材在推导等差数学生主动参与师生共同讨出的但比较浅论解决相关问显希望通过本题总结方法归纳总结完成左侧题自主学习目的解答学生主动参类比累加法与师生共同讨所学技能论解决相关问进一步深化灵活应用
课题
求数列的通项公式（理科）
科目
（2）解题思路：an＝a1···…·。
总结方法
归纳总结
PPT展示以下例题并详细讲解
例3.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an
学生主动参与，师生共同讨论，解决相关问题。
观察、猜想、论证，转换为学生熟悉的等比数列，渗透化归的思想。
解题wk.baidu.com思：
（1）题型结构：当出现an＋1＝pan＋q型式时，用构造法解决。
3.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
回答教师的问题
复习基础知识，引入课题
高中数学《数列概念与通项公式》导学案
第1课时数列概念与通项公式
一、数列的概念及分类
1．数列及其有关概念
(1)□01按照一定顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：□02数列中的每一个数叫做这个数列的项，第1项通常也叫做□03首项，若是有穷数列，最后一项也叫做□04末项．
(3)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为□05{a n}，这里n是□06正整数．
2．数列的分类
(1)按项的个数分类
类别含义
有穷数列□07项数有限的数列
无穷数列□08项数无限的数列
(2)
二、数列的通项公式
1．数列的通项公式
□01如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列与函数的关系
对任意数列{a n}，其每一项与序号都有对应关系，见下表：
序号1234…n…
项a1a2a3a4…a n…
因此，数列也可以看成是定义域为□02正整数集N*(或它的□03有限子集{1,2,3，…，n})的函数□04a n＝f(n)，当自变量n从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是该数列．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么就可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同一数列的任意两项均不可能相同．()
(2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．()
(3)数列中的每一项都与它的序号有关．()
答案(1)×(2)×(3)√
2．做一做
(1)(教材改编P29例1)若数列的前4项分别是1
2020版高考数学(北京)一轮总复习 6.2 等差数列
6.2等差数列
挖命题
【考情探究】
分析解读从北京高考的情况来看,本节一直是热点,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中的分值为5分左右,属于中低档题.常以选择题、填空题的形式出现.
破考点
【考点集训】
考点一等差数列的有关概念及运算
1.已知等差数列{a n}满足a1=1,a n+2-a n=6,则a11等于()
A.31
B.32
C.61
D.62
答案 A
2.(2013课标Ⅰ,7,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 C
3.已知等差数列{a n}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为()
A. B. C.1 D.
答案 D
考点二等差数列的性质及其应用
4.在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为()
A.6
B.12
C.24
D.48
答案 D
5.在等差数列{a n}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以S n表示{a n}的前n项和,则使S n取得最大值时n的值为()
A.21
B.20
C.19
D.18
答案 B
炼技法
【方法集训】
方法1等差数列的基本运算技巧
1.数列{a n}为递增的等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则数列{a n}的通项公式为()
A.a n=n-2
B.a n=2n-4
C.a n=3n-6
D.a n=4n-8
答案 B
2.在等差数列{a n}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则S13+2a7=()
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
人教版高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
教案说明：
设计思想:建构主义认为,学习不是知识由教师向学生的传递,而是学生建构自己的知识的过程。学生不是被动的信息吸收者，而是意义的主动建构者,这种建构不可能由其他人代替,而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。教师应该时刻注意让学习任务始终处于学生的“最近发展区”,并提供一定的“支架”和辅导。学生应该在教师的帮助下，发展自己控制学习过程的能力。因此，本节课教师做为学习的引导者，通过同学之间的合作交流激发学生亲身经历数学建构的过程。
教学内容分析:数列是一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型,本章对数列的定位是做为一种函数结合数列自身的特点来学习的，在通过实际问题引入数列概念后,使学生体会数列的函数背景，感受数列是研究现实问题情景的数学模型。等比数列做为特殊的数列也是函数，实际上就是指数函数,是反映自然规律的重要的数学模型之一，与等差数列一样在现实生活中也有广泛的应用。因此，数列是高中数学的重要内容,同时也是高考重点考察的内容。等比数列是在等差数列学习的基础上进行的，对应指数函数的模型,因此对思维能力有更进一步的要求。一方面考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项及等比数列的性质的灵活运用,这一部分主要考查学生的运算能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力,其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体,应用是归宿;另一方面常和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起综合,加以导数和向量等新增内容,使数列题更有了施展的舞台;因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求的信息,解题过程所用的方法都相当丰富,并且对于考查逻辑推理, 演绎证明，运算求解,归纳抽象等
高考一轮复习 数列(四)求数列的通项公式教案 理 教案
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习 数列（四）求数列的通项公式教案 理
知识梳理：
求数列通项公式常用的方法:
（1）、观察法: 观察数列的前几项，写出数列的一个通项公式
（2）、利用公式法求通项公式
①n a ＝⎩⎨⎧≥-=-)2(,)1(,11n S S n S n n
②等差（比）通项公式
（3）、根据递推关系式求通项：（迭加，迭乘，迭代等化归为等差、等比数列）：
①若数列满足),(1n f a a n n =-+其中)(n f 是一个前n 项和n s 可求的数列，那么可用逐项作差后累加的方法求
n a 。
②若数列满足
++∈=N n n f a a n
n ),(1
，其中数列{)(n f }前n 项积可求，可逐项作积后累乘求n a 。 ③,1q pa a n n +=+p 、q 是常数。 方法：构造等比数列)(1λλ+=++n n a p a
④)(1n f pa a n n +=+。方法：两边同除以1
+n p ，令n
n
n p a b =
，再用累加法求得。
⑤q pa a a n n n +=+1。两边取倒数，令n
n a b 1
=，再“构造等比数列)(1λλ+=++n n a p a ”
⑥m
n
n pa a =+1。a n >0。方法：两边取对数。 一、
题型探究
探究一：利用公式法求通项
例1、已知12+=n n a S ，求n a 。
例2、已知数列n a 的前n 项和为n S ，并满足S n =3n −2，求n a 。
例3、已知数列{n a }满足下列关系1)1(log 2+=+n S n ，求n a 。
2023届高三数学一轮复习专题 数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法 讲义 (解析版)
数列求解通项的方法总结
方法一、公式法
当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。
1、等差数列通项公式： d
n a a n )1(1-+=
2、等比数列通项公式：
例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．
变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7．
（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N *
，求数列{c n }的前n 项和．
1
1-=n n q a a
方法二、利用前n 项和与通项的关系
已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝
{
)1()
2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1
的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。 例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n
+3．求{a n }的通项公式；
（2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和．
数列的通项公式教案
数列的通项公式教案
教案标题：数列的通项公式教案
教案目标：
1. 通过本课的学习，学生将了解数列的概念和特点，并能够分辨等差数列和等比数列。
2. 学生将学会推导数列的通项公式，能够根据已知的数列项数和公差/公比计算数列的任意项。
3. 学生将通过练习和实例，掌握应用数列的通项公式解决实际问题的能力。
教学准备：
1. 教师准备：投影仪、白板、黑板笔、教学PPT、练习题、实例题。
2. 学生准备：课本、练习本、笔、纸。
教学流程：
Step 1：导入新知（5分钟）
- 引入数列的概念，通过实例向学生展示数列的特点和模式。
- 引导学生思考如何找到数列中的规律。
Step 2：数列分类（10分钟）
- 介绍等差数列和等比数列的定义和特点。
- 通过示例让学生能够区分等差数列和等比数列。
Step 3：推导等差数列的通项公式（15分钟）
- 通过具体的等差数列示例，引导学生思考如何推导等差数列的通项公式。
- 教师给出推导过程，并与学生一起进行讨论和解释。
Step 4：推导等比数列的通项公式（15分钟）
- 通过具体的等比数列示例，引导学生思考如何推导等比数列的通项公式。
- 教师给出推导过程，并与学生一起进行讨论和解释。
Step 5：应用练习（15分钟）
- 分发练习题，让学生独立完成。
- 教师在学生完成后，进行答案讲解和解析。
Step 6：实例应用（10分钟）
- 提供实际问题的数列应用例子，引导学生运用所学的通项公式解决问题。
- 学生尝试解答问题，并与教师和同学一起讨论解决方法。
Step 7：课堂总结（5分钟）
- 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数列的通项公式的重要性和应用。- 鼓励学生继续练习和应用所学知识。
等比数列通项公式教案
等比数列通项公式教案
教案标题：等比数列通项公式教案
一、教学目标：
1. 理解等比数列的概念和性质；
2. 掌握等比数列通项公式的推导和运用；
3. 能够解决相关的实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 理解等比数列通项公式的推导过程；
2. 运用等比数列通项公式解决实际问题。
三、教学准备：
1. 教材：包括等比数列的概念、性质和相关例题；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
四、教学过程：
第一步：导入
通过举例引入等比数列的概念，让学生了解等比数列的特点和规律。第二步：概念讲解
1. 介绍等比数列的定义和性质；
2. 讲解等比数列通项公式的概念和意义；
3. 引导学生理解等比数列通项公式的推导过程。
第三步：示例演练
1. 通过具体的例题，让学生掌握等比数列通项公式的运用方法；
2. 引导学生分析不同类型的等比数列问题，培养其解决问题的能力。
第四步：拓展应用
引导学生通过实际问题，运用等比数列通项公式解决相关的数学问题，培养学生的数学建模能力。
第五步：课堂小结
对本节课的重点内容进行总结和归纳，梳理等比数列通项公式的相关知识点。
五、课堂作业
布置相关的练习题，巩固学生对等比数列通项公式的理解和运用能力。
六、教学反思
对本节课的教学效果进行总结和反思，为下一节课的教学提供参考。
七、拓展延伸
引导学生了解等比数列在实际生活中的应用，拓展学生的数学思维和知识面。
八、教学资源
提供相关的教学资源和参考资料，让学生进行自主学习和拓展。
以上是一份针对等比数列通项公式的教案，希望能够对您有所帮助。如果需要更多的教学资源和指导，欢迎随时与我联系。
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教案65 数列的通项公式（2）
一、课前检测
1．（1）数列9，99，999，…的通项公式为 ； 110-=⇒n n a ；
（2）数列5，55，555，…的通项公式为 。 ()
11095-=⇒n n a 。 2．已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1
111n n n S a a +=-．（Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。 解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n n
S a a S S S S +-=-=---， 化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，
又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠，
∴数列{}n S 是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=．
当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，
又111a S ==，
∴21,
(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩
二、知识梳理
（一）数列的通项公式
一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
解读：
（二）通项公式的求法（6种方法）
5.构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
1）构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
6.归纳猜想证明法
解法：数学归纳法
7．已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1
－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 如：数列}{n a 中，对所有的*∈N n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.
三、典型例题分析
题型5 构造法：1）构造等差数列或等比数列
例 5 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：n n n S a a 422
=+成立，求{}n a 的通项n a . 解：n n n S a a 422=+⇒112
142---=+n n n S a a ，
∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+---- 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵01≠+-n n a a ，∴21=--n n a a . 即{}n a 是以2为公差的等差数列，且2421112
1=⇒=+a a a a .
∴n n a n 2)1(22=-+=
变式训练5 数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2，求数列的通项公式n a .
解：∵121111=⇒-==a a S a
当n ≥2时， []12
12)1(221111+=
⇒++-=----=-=----n n n n n n n n n a a a a a n a n S S a )2(2
121-=-⇒-n n a a 令2-=n n a b ，则12
1-=n n b b ，且1211-=-=b {}n b 是以21为公比的等比数列，11)2
1()21(1---=⨯-=n n n b ∴1)21(2--=n n a . 小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
题型6 构造法：2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式。
例6 设{}n a 是首项为1的正项数列，且01212=-----n n n n na na a a ，（n ∈N*），求数列的通
项公式an.
解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n .
∵0>n a ，01>-n a ，∴01>+-n n a a .
∴n a a n n =--1
2
)1(321)()()(123121+=++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n
题型7 构造法：3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例7 数列{}n a 中，2
11=
a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a . 解：1221221)1()1()1(----=-⇒--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a 1
11+-=⇒-n n a a n n ， ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅=--- )
1(12131211+=⨯-⋅+-=n n n n n n ∴)2)(1(11++=+n n a n
题型8 构造法：4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例8 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a
n b ， 则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 1
21=+=b .
11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n ，12log 12
-=-n a n ， ∴12
12--=n n a
变式训练5 已知数列{}n a 中，21=a ，n ≥2时1
33711+-=
--n n n a a a ，求通项公式. 解：∵1344111+-=---n n n a a a ，两边取倒数得4311111+-=--n n a a . 可化为等差数列关系式.
413)1(4311111+=-+-=-n n a a n ∴1
353++=n n a n