初二数学教案：命题与证明
数学教案命题教学设计方案
数学教案－命题教学设计方案(二)
教学目标1．使学生了解命题、真命题和假命题等概念．2．使学生了解几何命题是由“题设”和“结论”两部分组成．能够初步区分命题的题设和结论，或把命题改写成“如果……，那么……”的形式重点和难点分清命题的题设和结论，既是教学的重点又是教学的难点．教学过程一、引入请大家随意说出一些语句，教师把它们写在黑板上．如：(1)对顶角相等吗？
(2)作一条线段AB=2cm；(3)我爱初二(1)班；(4)两直线平行，同位角相等；(5)相等的两个角，一定是对顶角．二、新课问：上述语句中，哪些是判断一件事情的句子？答：(3)、(4)、(5)是判断一件事情的句子．教师指出：判断是对事物进行肯定或否定的一种思维形式，判断一件事情的句子，叫做命题．数学课堂里，只研究数学命题，如(4)、(5)．例1 请大家说出若干个(数学)命题，再分析一下，每一个命题由几部分组成？
(1)等角的补角相等；(2)有理数一定是自然数；(3)内错角相等两直线平行；(4)如果a是有理数，那么a2＞a；(5)每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和(即著名的哥德巴赫猜想)．教师启发学生得出：一个命题，由题设和结论两部分组成，都可以写成“如果……，那么……”的形式，也可以简称为“若A则B”．练习：
把上述(1)至(5)，都按“如果……，那么……”的形式，表述一遍．例2 在例1的(1)至(5)个命题中，所作的判断是否都正确？怎么检验各个命题的真伪？(l)“如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．”是正确的命题，已经由补角的定义得到证明．(2)“如果是有理数，那么它一定是自然数”。是不正确的命题（判断），反例如是有理数但不是自然数。(3)“如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．”是正确的命题，已证．(4)“如果a是有理数，那么a2＞a．”是不正确的命题，反例如a=1，a2=a．(5)“如果是一个大于4的偶数，那么它可以表示成两个质数之和．”这个命题，至今没人举出一个反例，说明它不正确；也没有人完全证明它正确．我国著名数学家陈景润，已证明了“每一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两个质数之积的和”，即已经证明了“ 1+2”，离“ 1+1”这颗数学王冠上的珍珠，只差“一步之遥”．这是目前世界上对这个命题的真伪的判定，所能达到的最好结果．教师帮助学生归纳：命题既然是一个判断，就有判断是否正确的区别．真命题---如果题设成立那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．假命题---如果题设成立，不能保证结论总是成立，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题．注意：不是命题与假命题的区别！怎样判断一个命题的真假？检验
初中数学命题的试讲教案
初中数学命题的试讲教案
教学目标：
1. 理解命题的概念和构成要素；
2. 学会如何表述一个完整的命题；
3. 掌握命题的逆否关系和真假判断；
4. 能够运用命题的知识解决实际问题。
教学重点：命题的概念和构成要素，命题的逆否关系和真假判断。
教学难点：命题的逆否关系和真假判断。
教学准备：黑板、粉笔、教学PPT。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引导学生回顾小学学过的数学知识，如加减乘除、几何图形等；
2. 提问：这些知识都是通过什么方式来表达的？（答案：公式、定理、法则等）；
3. 引出本节课的主题：命题。
二、新课讲解（15分钟）
1. 讲解命题的概念：命题是用来描述数学对象之间关系的语句；
2. 讲解命题的构成要素：题设和结论。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；
3. 举例说明如何表述一个完整的命题；
4. 讲解命题的逆否关系：逆否命题是将原命题的题设和结论都取反得到的命题；
5. 讲解命题的真假判断：真命题是指命题的题设和结论都为真；假命题是指命题的题设和结论有假；
6. 举例说明如何判断一个命题的真假。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成教材上的练习题；
2. 引导学生互相讨论，共同解决问题；
3. 教师选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、总结与拓展（5分钟）
1. 总结本节课所学的内容，让学生明确命题的概念、构成要素、逆否关系和真假判断；
2. 提问：命题的知识如何应用到实际问题中？引导学生思考和探讨；
3. 拓展学习：让学生课后查阅相关资料，了解命题在其他学科中的应用。
教学反思：
本节课通过讲解和练习，使学生掌握了命题的概念、构成要素、逆否关系和真假判断。在
初中数学八年级《命题与证明第二课时证明》公开课教学设计
命题与证明
令
令
的知识储备，同时，学生已经具有了基本的图形认识能力和初步的
~ 1 ~
空间想象能力，但学生可能对寻觅证明思路，书写证明过程必须步步有据等接受有艰难。
令
1.理解定义、基本事实、定理、证明的意义，能区分基本事实、定理和命题。
2.通过具体例子了解综合法证明的步骤和书写格式，体验证明的必要性和数学推理的严密性。
3.了解推理过程步步有据的重要性，能够证明一些简单的几何问题，增强学生的推理论证意识，培养学生的演绎推理习惯和能力。
4.通过对欧几里得的《几何原本》的简单介绍渗透数学文化教育。
令
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情境教学法、引导发现法、自主探索法
~ 2 ~
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本节课教学流程共分为五个环节，挨次是：
环节一创设情境，引入新课
环节二知识回顾，认识概念
环节三合作探索，学习新知
环节四学以致用，深化理解
环节五课堂小结，分层作业
令
微课视频简单介绍欧几里得的《几何原本》 .教师介绍古希腊数学家欧几里得，引入本节课题“证明”.
通过微课介绍，激发学生的兴趣，渗透数学文化教育.
(一)思量
请判断下列命题是真命题还是假命题.
1.如果|a| = |b|，那末a = b .
2.在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
3.同位角相等，两直线平行.
4.内错角相等，两直线平行.
(二)从基本事实或者其他真命题出发，用推理方法判断为正确
~ 3 ~
的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
师生行为： (1)教师引导学生复习命题相关知识，并进一步探索真命题的分类. (2)学生回顾已学的基本事实和定理. (3)教师引导学生归纳定理的概念.
初中数学命题与证明
初中数学命题与证明
第一篇：初中数学命题与证明
命题与证明
一、选择题
1、（2012年上海黄浦二模）下列命题中，假命题是（）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形；
B．一组邻边相等的矩形是正方形；
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；
D．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.答案：C2、(2012温州市泰顺九校模拟)下列命题，正确的是()
A.如果｜a｜=｜b｜，那么a=b
B.等腰梯形的对角线互相垂直
C.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D.相等的圆周角所对的弧相等
答案：C
3（2012年中考数学新编及改编题试卷）下列语句中，属于命题的是（）．．
(A)作线段的垂直平分线(B)等角的补角相等吗
(C)平行四边形是轴对称图形(D)用三条线段去拼成一个三角形
答案：C4、（2012年上海市黄浦二模）下列命题中，假命题是(▲)
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形；
B．一组邻边相等的矩形是正方形；
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；
D．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.答案：C5、（2012年上海金山区中考模拟）在下列命题中，真命题是……………………………………………………………………………………………（）（A）两条对角线相等的四边形是矩形
（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形
（C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
答案：C
二、填空题
1、三、解答题
1．（2012年江苏海安县质量与反馈）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
【初二上册数学】八年级秋季班-第14讲：命题与举例证明-马秋燕
八年级上册数学秋季班
（学生版）
最
新
教
案
命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．
1、演绎证明的概念
演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．
几何证明
知识结构
模块一：演绎证明
知识精讲
内容分析
【例1】 填空：
（1） 已知，如图∠ABC =∠ADC ，∠AED =∠EDC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 和∠
ADC ，求证：DE ∥EF
证明：因为BF 平分∠ABC ，（________________________），
所以∠ABF =1
2∠ABC （______________________________）．
同理∠EDF =
1
2
∠ADC ． 因为∠ABC =∠ADC （________），所以∠ABF =∠EDF （________）， 又因为∠AED =∠EDC ，所以∠AED =∠ABF （________________）， 所以DE ∥EF （______________________________）．
（2） 已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，EB 交CD 于点F ，且
初中数学证明题解题技巧与步骤
初中数学证明题解题技巧与步骤
第一篇：初中数学证明题解题技巧与步骤
初中数学证明题解题技巧与步骤
（证明：等腰三角形两底角的平分线相等）为例
1.弄清题意
此为“文字型”数学证明题，既没有图形，也无直观的已知与求证。如何弄清题意呢？根据命题的定义可知，命题由条件与结论两部分组成，因此区分命题的条件与结论至关重要，是解题成败的关键。命题可以改写成“如果………..，那么……….”的形式，其中“如果………..”就是命题的条件，“那么…….”就是命题的结论，据此对题目进行改写：如果在等腰三角形中分别作两底角的平分线，那么这两条平分线长度相等。于是题目的意思就很清晰了，就是在等腰三角形中作两底角平分线，然后根据已知的条件去求证这两条平分线相等。这样题目要求我们做什么就一目了然了！
2、根据题意，画出图形。
图形对解决证明题，能起到直观形象的提示，所以画图因尽量与题意相符合。并且把题中已知的条件，能标在图形上的尽量标在图形上。
3.根据题意与图形，用数学的语言与符号写出已知和求证。
众所周知，命题的条件---已知，命题的结论---求证，但要特别注意的是，已知、求证必须用数学的语言和符号来表示。
已知：如图（1），在△ABC中，AB=AC, BD、CE分别是△ABC的角平分线。求证：BD=CE
4.分析已知、求证与图形，探索证明的思路。
对于证明题，有三种思考方式：
（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方
初二上学期数学教案
初二上学期数学教案
初二上学期数学教案篇1
学习目标(学习重点)：
1、经历探索菱形的识别方法的过程，在活动中培育探究意识与合作沟通的习惯;
2、运用菱形的识别方法进行有关推理.
补充例题：
例1、如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线。DE△AC交AB 于E，DF△AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗?说明你的理由.
例2、如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
四边形AFCE是菱形吗?说明理由.
例3、如图，ABCD是矩形纸片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在AC上，设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点
(1)试说明四边形AECG是平行四边形;
(2)若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长;
(3)当矩形两边AB、BC具备怎样的关系时，四边形AECG是菱形.
课后续助：
一、填空题
1、如果四边形ABCD是平行四边形，加上条件___________________，就可以是矩形;加上条件_______________________，就可以是菱形
2、如图，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，
且DE△BA，DF△ CA
(1)要使四边形AFDE是菱形，则要增加条件______________________
(2)要使四边形AFDE是矩形，则要增加条件______________________
二、解答题
1、如图，在□ABCD中，若2，判断□ABCD是矩形还是菱形?并说明理由。
2、如图,平行四边形A BCD的两条对角线AC,BD相交于点O,OA=4,OB=3,AB=5.
三角形中的边角关系、命题与证明
高效学案
4、三角形中的重要线段
（1）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段.
（2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.
（3）三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高.
三、经典例题
【例1】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A ．1cm ，2cm ，4cm
B ．8cm ，6cm ，4cm
C ．12cm ，5cm ，6cm
D ．2cm ，3cm ，6cm
【变式1】两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长x cm 的范围是__________．
【变式2】若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简c b a a c b c b a +--+--+--．
【变式3】如图，已知P 是△ABC 内一点，连结AP ，PB ，PC ．求证：PA+PB+PC >
2
1(AB+AC+BC)．
【例2】等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ）
A ．15cm
B ．20cm
C ．25 cm
D ．20 cm 或25 cm
【例3】已知△ABC 中：
（1）∠A=20°，∠B ﹣∠C=40°，则∠B=______；
（2）∠A=120°，2∠B+∠C=80°，则∠B=_______；
（3）∠B=∠A+40°，∠C=∠B ﹣50°，则∠B=_______；
（4）∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B=_______．
人教版初二数学下册勾股定理的逆定理教学设计
17．2 勾股定理的逆定理（一）
一、教学目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
三、教学过程
1、复习引入
（1）直角三角形有哪些性质？
（2）一个三角形满足什么条件是直角三角形？
（3）那么我们是否可以不用角，而是用三角形的三边关系，来判定是否为直角三角形呢？
2、学生动手操作，求作三角形ABC，使得AB=5，BC=3，AC=4，并让学生说说作图的思路及作法；通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。
3、思考对于任意一个三角形，它的三边满足什么条件时，它是一个直角三角形？
4、提出命题：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这
个三角形是直角三角形。
5、与勾股定理有什么关系？提出的命题与勾股定理命题的题设与结论相反，称之为勾股定理的逆命题。
6、勾股定理逆命题的证明：
如果三角形的三边长a ，b ，c 满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角
形。 分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。 ⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
浙教版初二数学(下)教学总结
第一章 二次根式
1、二次根式
概念：像22+a ，3-b ，s 2这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。为了方便起见，我们把一个数的算术平方根（如3，2
1）也叫做二次根式 意义：由算术平方根的性质可知，当0≥a 时，a 有意义；当0<a 是，因负数没有平方根，所以a 没有
意义。
判断：判断一个式子是不是二次根式的两个条件
（1） 带二次根号“”； （2）被开方数不小于0。
确定被开方数的取值范围：依据当0≥a 时，a 有意义，是二次根式，当0<a 时，a 没有意义，不是二次根式，确定根号内字母的取值范围。
求值：二次根式的求值就是求代数式的值。
2、二次根式的性质
二次根式的简单性质：
（1）二次根式)0(≥a a 是一个非负数； （2）)0()(2≥=a a a 。
因为二次根式)0(≥a a 实质是非负数a 的算术平方根，所以对于第一个性质即二次根式的非负数性不难理解。
二次根式2a 的性质
)0(≥a a
2a =a =
)0(<-a a
积的算术平方根的性质：
当根号下是两个正数的积的形式时，它可以转化成两个正数的算术平方根之积；
即)0,0(≥≥∙=b a b a ab
商的算术平方根的性质：
当根号下是两个正数的商的形式时，它可以转化成两个正数的算术平方根之商；
即)0,0(≥≥=b a b
a b a 3、二次根式的运算
二次根式的乘法：)0,0(≥≥∙=b a b a ab
a a
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。
初二数学平行线的证明讲义
学科教师辅导讲义
体系搭建
一、知识梳理
知识点一:命题、公理、证明
1、定义：证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
2、命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
3、条件和结论：一般地，每个命题都是由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
(1)正确的命题称为真命题；(2)不正确的命题称为假命题；(3)要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
5、公理、证明、定理
(1)公认的真命题称为公理；(2)演绎推理的过程称为证明；(3)经过证明的真命题称为定理.
6、几个常用的定理
（1）同角（等角）的补角相等；（2）同角（等角）的余角相等；（3）三角形的任意两边之和大于第三边；（4）对顶角相等.
知识点二：平行线的判定与性质
1、平行线的判定
定理1：同位角相等，两直线平行
定理2：内错角相等，两直线平行.
定理3：同旁内角互补，两直线平行.
定理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
知识点三：三角形内角和与外角和定理
1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2、外角：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.
初二数学《三角形的有关证明复习》课时教案
初二数学《三角形的有关证明复习》课时教案
【课题】《三角形的有关证明复习》
【课型】复习
【教学目标】
1.了解三角形全等的识别方法和三角形全等的性质，能够证明与等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线相关的性质定理和判定定理.
2.理解互逆命题、互逆定理，体会反证法的含义.
3.能够利用尺规作图作等腰三角形、直角三角形、已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线.
【教学方法】自主探究法
【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体
【学情分析】
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】
一、激趣导入，交代目标：
（一）激趣导入
设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。）
知识回顾（15分钟）
【课堂梳理】
知识点一全等三角形
1.判断三角形全等的方法：①（三个公理）______、______、_____、②（一个定理）_____.
2.全等三角形的性质：①线段相等：对应边相等、对应边上的_______、对应中线、______
相等.
②角相等：相等.
注：利用全等三角形证明线段或角相等
知识点二等腰三角形
3.等腰三角形性质：①定理： .(等边对等角）
②推论： .（三线合一）
4.等腰三角形的判断方法：①定义： .
②定理： .(等角对等边）
知识点三等边三角形
5.等边三角形概念： .
6.等边三角形的性质：①等边三角形的三条边______.（边）
②等边三角形的三个内角都等于______.（角）
7.等边三角形的判定：①______相等的三角形是等边三角形.
湘教版初中数学八年级上册 命题与证明 公开课PPT
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举反例说明下列命题是假命题： （1）两个锐角的和是钝角. （2）如果a2＞b2，那么a ＞ b. （3）两条直线被第三条直线所截,内错角相等.
湘教版初中数学八年级上册 命题与证明 公开课PPT
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5.真命题：_正___确____的命题称为真命题. 6.假命题：__错__误____的命题称为假命题.
7.要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出 发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从 而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
8. 命题有真有假. 要判断一个命题为真命题，需要进 行证明.要判断一个命题为假命题，只需举一个反例.
中考
试题
1、已知下列语句， ①平角都相等；②两点之间，线段最
短；③画两条平行线；④今天你们做完计算题了吗 ？是
命题的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、下列四个命题中是真命题的有（ ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两
锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.
A.4个
B.3个
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初二数学优秀教案5篇
初二数学优秀教案5篇
作为一位不辞辛劳的人民教师，总归要编写教案，借助教案可以让教学工作更科学化。那么写教案需要注意哪些问题呢?以下是小编为大家整理的初二数学优秀教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
初二数学优秀教案1
教学目标：
1、经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步审美能力，增强对图形欣赏的意识。
2、能按要求把所给出的图形补成以某直线为轴的轴对称图形，能依据图形的轴对称关系设计轴对称图形。
教学重点：
本节课重点是掌握已知对称轴L和一个点，要画出点A关于L的轴对称点的画法，在此基础上掌握有关轴对称图形画图的操作技能，并能利用图形之间的轴对称关系来设计轴对称图形，掌握有关画图的技能及设计轴对称图形是本节课的难点。
教学方法：
动手实践、讨论。
教学工具：
课件
教学过程：
一、先复习轴对称图形的定义，以及轴对称的相关的性质：
1.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相________，那么这个图形叫做________________，这条直线叫做_____________。
2.轴对称的三个重要性质_______________________________________________________。
二、提出问题：
二、探索练习：
1. 提出问题：
如图：给出了一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴。
你能画出这个图案的另一半吗?
吸引学生让学生有一种解决难点的想法。
2.分析问题：
分析图案：这个图案是由重要六个点构成的，要将这个图案的另一半画出来，根据轴对称的性质只要画出这个图案中六个点的对应点即可
初二数学命题与证明练习题
初二数学命题与证明练习题
在初二的数学学习中，我们将深入探讨命题与证明，这对我们理解
数学的逻辑思维和解题能力非常重要。下面是一些初二数学的命题与
证明练习题，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
1. 命题：若两个正整数互质，则它们的最小公倍数等于它们的乘积。
证明：设两个正整数为a和b，不妨假设它们的最大公约数为d，
则a和b分别可以表示为a=d*m，b=d*n(m、n为正整数且互质)。
根据最大公约数的性质可知，m和n互质。最小公倍数等于两个
数之积除以最大公约数，即lcm(a,b)=a*b/d。
将a和b代入，得到lcm(a,b)=d*m*d*n/d=m*n=a*b。因此，命题
成立。
2. 命题：若直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有c²=a²+b²。
证明：设直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c。根据勾股
定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和，即c²=a²+b²。因此，命题成立。
3. 命题：如果一个自然数能同时被2和3整除，则它一定能被6整除。
证明：设自然数为n，根据整除的定义，能被2整除意味着n可
以表示为2的倍数，能被3整除意味着n可以表示为3的倍数。
由于2和3都是素数，它们的最小公倍数为6。即n一定可以表示为6的倍数，即能被6整除。
4. 命题：一个正整数如果同时能被4和6整除，那么它一定能被12整除。
证明：设正整数为n，根据整除的定义，能被4整除意味着n可以表示为4的倍数，能被6整除意味着n可以表示为6的倍数。
由于4和6的最小公倍数为12，即n一定可以表示为12的倍数，即能被12整除。
初二数学上册教案8.角平分线 (学生版)
个性化教学辅导教案
进门测：分数．
1．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE 相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，则BP的长为．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE垂直于过点A的直线，垂足分别为D、E，若AD=CE，问∠BAC=．
3．△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是．
1．给出下列结论，正确的有（）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
②角的平分线与三角形平分线都是射线；
③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．
A ．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，OM是∠AOB的平分线，MA⊥OA，交OA于A，MB⊥OB，交OB于B，如果∠AOB=120°，则∠AMO=度，∠BMO=度，∠AMB=度．
3．如图所示，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，若DE=DF，只需添加一个条件，这个条件是．
4．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
精准突破一：角平分线的性质
知识点证明过程
①∠AOC=∠BOC
②角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
证明1：∵OC平分∠AOB
∴①∠AOC=∠BOC
证明2：∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE
⊥OB∴CD=CE
例题讲解：
1．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于．
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初二数学教案：命题与证明
第二十四章证明与命题(一)复习
一、教学目标：
1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。
2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。
3 、了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。
4、会根据一些基本事实证明简单命题。
5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。
6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。
二、本章知识结构框架图：
三、教学过程：
(一)知识回顾
1、一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题分为真命题与假命题。
2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。
(二)说一说
1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题?
(1)有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形;
(2)有两条边对应相等的两个三角形全等;
(3)作A的平分线;
(4)若a=b 则a2= b2
(5) 同位角相等吗?
2.说出一个已学过定理:
说出一个已学过公理:
3、下列把命题改写成如果，那么的形式。并判断下列命题的真假.
(1)不相等的角不可能是对顶角.
(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)两个无理数的乘积一定是无理数.
(三)练一练
1. 用反例证明下列命题是假命题：
(1) 若x(5-x)=0，则x=0;
(2) 等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高;
(3) 相等的角是内错角;
(4)若x2,则分式有意义.
(四)例题分析
例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.
证明命题的一般步骤:
(1)根据题意,画出图形;
(2)用符号语言写出已知和求证
(3)分析证明思路;
(4) 写出证明过程;
例2已知：如图，△ABC中,C=2B ，BAD=DAC.
求证：AB=AC+CD
还有其他方法吗?
A A
E
B D
C B
D C
(第三题) (第二题)
例3已知：如图D,E分别是BC,AB上的一点,BC、BD的长度之比为3:1, △ECD的面积是△ABC的面积的一半.
求证：BE=3AE[来源:学|科|网]
例4、已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB ∥ EF，CD ∥ EF，[来源:]
求证：AB ∥ CD。
证明：假设AB∥CD,那么AB与CD一定相交于一点P
∵AB ∥ EF，CD ∥ EF(已知)
过点P有两条直线AB，CD都与直线EF平行。
这与经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线
平行矛盾。[来源:]
AB ∥ CD不能成立。
AB ∥ CD
反证法的一般步骤：[来源:]
1.反设(否定结论);
2.归谬(利用已知条件和反设，进行推理，得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾);
3.写出结论(肯定原命题成立)。
练习：
如图,已知:AB=AE，BC=DE，B= E,
AFCD于F.
求证:CF=DF.
(五)小结：
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。
(六)作业布置：练习一份
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。