第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和

第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和

知识提要

1. 数列的极限 ：n 无限增大，n a 无限趋近一个常数.A

（1） 数列极限的运算法则（加法、乘法法则可推广到有限多个数列）.

如果n n a ∞

→lim =A ，n n b ∞

→lim =B 存在，那么 ①B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞

→∞

→∞

→lim lim )(lim ；

②B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim ； ③lim lim (0)lim n n n n n n

n a a A B b b B →∞

→∞→∞

==≠. （2）数列极限的几种类型：

①有理分式型：同除以某个非零因式； ②求和型：无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和.

③指数型0(1)

1(1)lim ;(1)(1)

n n q q q q q →∞

<⎧⎪

=⎪

=⎨=-⎪⎪>⎩不存在不存在 ④{}n n S S .lim n n S →∞⎧⎪⎨⎪⎩表示数列的极限，可先求，再求极限；无穷运动的归宿，直接考虑极限位置；无穷数列各项的和

2．无穷等比数列各项的和：若1q <且0q ≠，则1

lim 1n n a S S q

→∞

==

-存在. （1）1

1,0;1q q a S q <≠⎧⎪⎨=⎪-⎩

注意区别： (a)11lim ≤<-⇔∞→q q n n 存在; (b)1||0lim <⇔=∞

→q q n

n ; (c)无穷等比数列各项和存在1,0q q ⇔<≠

（2）无穷等比数列建模：①求出首项1a ；②找到1n n a a +与的关系式；③利用q

a S -=

11

求出答案. 典型例题

【例1】求极限：（1）(51)(1)

lim 3(21)n n n n n →∞--=+ ； （2）()()21

1223lim 23n n n n n ++→∞--=-+ ； （3）()2111lim 2n n n n a a a ++

+-→∞-∈=+R ；

（4）若234lim()62

n n an b n →∞+-+=+，则a b += .

【例2】已知无穷等比数列{}n a ，且()12lim n n a a a a →∞

++

+=，求首项1a 的取值范围.

【例3】在半径为R 的圆内作内接正三角形，在这三角形内作内切圆，在第二个圆内又作内接正三角形，如此无限作下去，则所有这些圆的面积之和是 ( )

(A) 234R π (B) 23

5

R π (C) 22R π (D) 都不是

【例4】已知数列{}n a ()0n a >是一个首项为a ，公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，求lim

.n n n

a a

S →∞+

巩固练习

1、数列 ,11

)1(,,41,31,211+--+n n 的极限为 . 2、=-+++∞→)1

21(lim 222n

n n n n .

3、计算：()11

1

1111112482lim 111

1393

n n n n --→∞--+-++-=++++ .

4、=+-++⨯+⨯+⨯∞

→))

13)(23(1

1071741411(

lim n n n . 5、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项为n S 、n T ，若

2453++=n n T S n n ，则

=∞→n

n

n b a lim . 6、若b an n n n =-+∞→)4

5(

lim 2

，则常数b a ,构成点),(b a 的坐标为 . 7、求和.

.

.

0.90.090.009+++

= .

8、已知数列{}n a 与{}n b 都是等差数列，且lim 2,n n n a b →∞=则∞→n lim 12212n

n

a a a

b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为 .

9、若()

21

lim 21n n x +→∞

+存在,则实数x 的取值范围是 .

10、下列命题中假命题的个数为（ ）

①若)0(lim 2

2

>=∞

→A A a n n ，则A a n n =∞→lim 或A a n n -=∞

→lim

②若n n b a >且q b p a n n n n ==∞

→∞

→lim ,lim ，则q p >

③若0)(lim =-∞

→n n n b a ，则n n n n b a ∞

→∞

→=lim lim

④若数列{}{}n n b a ,均无极限，则数列{}n n b a ⋅和{}n n b a +也一定无极限 ⑤首项为1，公比为2的无穷等比数列各项和1

112

S =

=-- （A ） 1 （B ） 5 （C ） 2 （D ） 4

11、若0log log <<ππb a ，则lim n n

n n

n a b a b →∞-+的值为 .

12、已知数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，则0lim =∞

→n n a 是1

lim 1n n a S q

→∞

=

-成立的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 13、一个无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则（ ）

（A ） 10<

4(),2,0(),2,0(n

C n B n A +

-，其中n 为正整数，设n S 表示ABC ∆外接圆的面积，则=∞

→n n S lim .

15、已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩

⎪

⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009

n n a n n ，

，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列说法正确的有 . ①lim 1n n a →∞

=②lim 0n n a →∞

= ③⎩

⎨

⎧≥-≤≤=+∞

→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，

（*N n ∈）④2008lim =+∞→n n S ⑤1lim -=+∞→n n S

16、若()2

3lim 51,,73n n n

n n a pb c

a b c p R a b c →∞++=-<<∈-+，则p = . 17、已知数列23

11111

sin0,

sin ,sin ,,

sin ,332332

n n πππ-，则该数列所有项之和为 .

18、已知13n n b kb +=+，若lim 5n n b →∞

=，则k = . 19、设正数等比数列{}24,4,16,n a a a == ∞

→n lim (

2

221lg ...lg lg n a a a n

n n +++++)