数学九年级下沪科版第25.8正多边形和圆讲义教案
初中数学 正多边形和圆 教案
1.知识结构2.重点、难点分析重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法．难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置．3.教法建议本节内容需要一个课时．（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究；（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法．一、教学目标：（一）知识目标（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．（二）能力目标（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．（三）情感目标（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．二、教学重点和难点:重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．三、教学过程设计（一）基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD 的外接圆．（二）创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）教师组织、引导学生研究．1、边的性质：（1）矩形：对边相等，对边平行．（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．第12页教学设计示例1教学目标：（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；（2）通过画图培养学生的画图能力；（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情．教学重点：(1)量角器等分圆心角来等分圆；(2)尺规作圆内接正方形和正六边形．教学难点：准确作图．教学活动设计：（一）提出问题：由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一．问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．教师组织学生进行，方法不限．目的：充分发展学生的发散思维．（二）解决问题：以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．(2)尺规法：（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可．(3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=R=2（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．（三）研究、归纳1、用量角器等分圆：依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．问题2：把半径为2cm⊙O九等份．（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差．2、用尺规等分圆：（1）问题3：作正四边形、正八边形．教师组织学生，分析、作图．归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……（2）问题4：作正六、三、十二边形．教师组织学生，分析、作图．归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．（四）总结（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．（五）作业教材P173中13．教学设计示例2教学目标：1、能应用画正多边形解决实际问题；会画正五边形的近似图；了解等分圆的美丽图形；2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力；3、对学生进行审美教育和文化传统教育和爱国教育；4、渗透数学建模思想．教学重点：应用正多边形的计算与画图解决实际问题．教学难点：数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题．教学活动设计：（一）知识回顾：分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形．要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学生给于指导．（二）画图应用：例1、有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长a8(精确到0.01m)和面积S8(精确到0.1m2)教师引导学生分析：①比例尺=；②正八边形的半径R=2cm；③如何解正八边形和近似计算．（1）画法：1．以任意一点O为圆心，以4m的，即2cm为半径画⊙O(如图)．2．作⊙O的直径AC、BD，使AC⊥BD．3．作平分、的直径EG、FH．4．顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．八边形AEBFCGDH就是亭子地基的正八边形．（2）解（学生分析解题方法）：（m）（m）（m2）答：（略）我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，则AM=5.9，过点M作BE⊥AF，在BE 上取BM=ME=8．连结AB、BC、DE、EA即可．例2、用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形．分析：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例．由已知知道要画正五边形的边CD=20mm．请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形ABCDE．（画法：略．参看教材P170）说明：虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的．有能力的学生课下可以探究和计算．通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观点．（三）优美图案欣赏和画法：请学生欣赏下列图案，分析图案结构，画出图案．组织学生进行，可以让学生独立完成，也可以让学生协作完成，对画的较好的同学给予表彰．（四）总结1、运用正多边形的知识解决实际问题；2、学习了民间画正五边形的近似画法；3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案．（五）作业教材P171中练习1；P173中12；P173中14．探究活动图案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。
本节课主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
教材通过实例引导学生探究正多边形的对称性，进而引入圆的概念，并通过实践活动让学生理解圆的生成和特点。
本节课的内容是学生对平面几何知识的进一步拓展，为后续学习圆的方程和圆与圆的位置关系等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多边形的性质，对图形的对称性有一定的了解。
但他们对圆的概念和性质还不够熟悉，对正多边形与圆的关系认识不足。
因此，在教学过程中，教师需要通过直观的图形和实践活动，帮助学生建立正多边形与圆的联系，提高他们的空间想象能力。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质，掌握正多边形的对称性。
2.认识圆的概念，理解圆的生成和特点。
3.掌握正多边形与圆的关系，能运用相关知识解决实际问题。
4.培养学生的空间想象能力、合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质和与圆的关系。
2.难点：圆的概念的理解和圆的生成过程。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物模型和动画展示，让学生直观地理解正多边形和圆的特点。
2.运用问题驱动法，引导学生主动探究正多边形与圆的关系，培养学生的思维能力。
3.采用合作学习法，鼓励学生分组讨论和实践，提高学生的合作交流能力。
4.利用练习法，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备正多边形的实物模型和动画展示。
2.准备圆的实物模型和动画展示。
3.准备相关的练习题和实践活动材料。
4.准备黑板和投影仪。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型和动画展示，引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）a.讲解正多边形的定义和性质，通过实例展示正多边形的对称性。
b.引入圆的概念，讲解圆的生成过程和特点。
3.操练（10分钟）a.学生分组讨论，探究正多边形与圆的关系。
正多边形与圆教案
1. 让学生了解正多边形的定义及其性质。
2. 让学生掌握正多边形与圆的关系。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 正多边形的定义及性质。
2. 正多边形与圆的关系。
3. 正多边形的计算与应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正多边形的定义、性质及正多边形与圆的关系。
2. 教学难点：正多边形的计算与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究正多边形的性质。
2. 利用几何画板软件，直观展示正多边形与圆的关系。
3. 结合实际例子，让学生运用正多边形的知识解决实际问题。
五、教学过程1. 引入：讲解正多边形的定义，引导学生思考正多边形的性质。
2. 探究：让学生通过观察、操作，发现正多边形与圆的关系。
3. 讲解：讲解正多边形的计算方法，并举例说明。
4. 应用：布置练习题，让学生运用正多边形的知识解决实际问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调正多边形与圆的关系。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
1. 通过课堂提问，了解学生对正多边形定义和性质的掌握情况。
2. 通过练习题，评估学生对正多边形与圆的关系的理解程度。
3. 观察学生在实际问题中的应用能力，评估其对正多边形计算方法的掌握。
七、教学资源1. 几何画板软件：用于直观展示正多边形与圆的关系。
2. PPT课件：用于讲解正多边形的性质和计算方法。
3. 练习题：用于巩固学生对正多边形的理解和应用能力。
八、教学进度安排1. 第1周：介绍正多边形的定义及性质。
2. 第2周：讲解正多边形与圆的关系。
3. 第3周：讲解正多边形的计算方法。
4. 第4周：实际问题中的应用练习。
九、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生反馈调整教学策略。
2. 考虑如何更好地引导学生发现正多边形与圆的内在联系。
3. 评估作业难度，确保作业能够有效巩固所学知识。
十、拓展与延伸1. 引导学生探究正多边形在现实生活中的应用。
2. 介绍正多边形的相关历史背景和文化意义。
数学教案-正多边形和圆_九年级数学教案_模板
数学教案－正多边形和圆_九年级数学教案_模板教学设计示例1教学目标：（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．教学重点：正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．教学难点：对定理的理解以及定理的证明方法．教学活动设计：（一）观察、分析、归纳：观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．教师组织学生进行，并可以提问学生问题．（二）正多边形的概念：（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．（2）概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．（三）分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？（四）多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．我们以n=5的情况进行证明．已知：⊙O中，= = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．证明：（略）引导学生分析、归纳证明思路：弧相等说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．（五）初步应用P157练习1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?2．求证：正五边形的对角线相等．3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．（六）小结：知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力（七）作业教材P172习题A组2、3．教学设计示例2教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．教学活动设计：（一）提出问题：问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？（二）实践与探究：组织学生自己完成以下活动．实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．) （2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？（三）拓展、推理、归纳：（1）拓展、推理：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．同理，点E在⊙O上．所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．（2）归纳：正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．正五边形的各顶点共圆．正五边形有外接圆．圆心到各边的距离相等．正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．（3）巩固练习：1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．（四）正多边形的性质：1、各边都相等．2、各角都相等．观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．（五）总结知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．能力：探索、推理、归纳等能力．方法：证明点共圆的方法．（六）作业P159中练习1、2、3．教学设计示例3教学目标：（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．教学重点：综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．教学难点：综合运用知识证题．教学活动设计：（一）知识回顾1．什么叫做正多边形？2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正n边形的每个中心角都等于．5．正多边形的有关的定理．（二）例题研究：例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．求证：五边形ABCDE是正五边形．分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．教师引导学生分析，学生动手证明．证法1：连结OA、OB、OC，∵五边形ABCDE外切于⊙O．∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．∴∠BAO=∠OCB．又∵OB=OB∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．∴五边形ABCDE是正五边形．证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．∠B=∠C ∠1=∠2 = ．同理= = = ，即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。
正多边形与圆 第1课时正多边形的概念正多边形与圆的关系 教案 沪科数学九年级下
24.6 正多边形与圆第1课时正多边形的概念正多边形与圆的关系一、教学目标1.理解正多边形的概念,初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理.2.能根据定理通过等分圆的方法画正多边形和用量角器和尺规作图的方法等分圆.二、教学重点及难点重点：了解圆与正多边形的关系；掌握用量角器等分圆心角来等分圆,从而得到正多边形和用尺规作圆内接正方形和正六边形的方法.难点：对正n边形中“n”的接受和理解.三、教学用具多媒体课件．四、相关资源图片《引入》、图片《切线长》、图片《习题2》、图片《习题3》、图片《答案》五、教学过程【课堂导入】教师：将一个圆分成五等份,依次连接各分点得到一个五边形,这个五边形一定是正五边形吗？如果是,证明你的结论.如果是六、七……等份呢？生：小组合作探索分析、总结结论.将一个圆分成n等份,依次连接各分点得到一个正n 边形.插入图片《引入》设计意图：创设情境，引入课堂内容【新知讲解】1.正多边形的概念：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧,就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.3.画正多边形.观察理解证明过程,得出结论.将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.师：根据上述定理,我们可以通过等分圆周的方法画正多边形,请同学们思考：如何用量角器等分圆？利用等分圆周作正多边形．设计意图：通过练习，使学生掌握正多边形的概念正多边形与圆的关系【知识点解析】正多边形和圆，本微课资源针对正多边形和圆进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力。
【典型例题】例1如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切．插入图片《习题1》(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．解：(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得到以⊙O的半径为高的正三角形，所以r∶b＝3∶2；(2)正六边形T1与T2相似，且T1∶T2的边长比是3∶2，所以S1∶S2＝3∶4.设计意图：通过练习，灵活运用正多边形的概念正多边形与圆的关系【随堂练习】1．证明.已知：如图,点A、B、C、D、E在⊙O上,且AB＝BC＝CD＝DE＝EA,TP、PQ、QR、RS、ST分别是以点A、B、C、D、E为切点的⊙O的切线.求证：五边形PQRST是⊙O的外接正五边形.证明连接OA、OB、OC,则∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB.∵TP、PQ、QR分别是以点A、B、C为切点的⊙O的切线,∴∠OAP＝∠OBP＝∠OBQ＝∠OCQ,∴∠P AB＝∠PBA＝∠QBC＝∠QCB.又∵AB＝BC,∴AB＝BC,∴△P AB≌△QBC.∴∠P＝∠Q,PQ＝2P A.同理可得∠Q＝∠R＝∠S＝∠T,QR ＝RS ＝ST ＝TP ＝2P A .∵五边形PQRST 的各边都与⊙O 相切,∴五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形插入图片《习题2》2.如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．插入图片《习题3》 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°；(2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．插入图片《答案》 设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对正多边形的概念正多边形与圆的关系知识的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结【知识点解析】正多边形，此知识卡片概括出正多边形及正多边形与圆的相关性质。
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。
本节主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过学习正多边形和圆，可以帮助学生更深入地理解圆的性质，为后续学习圆的方程和应用打下基础。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究正多边形和圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和观察能力有一定的基础。
但是，对于正多边形和圆的关系，以及如何运用圆的性质解决实际问题，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过生动的实例和实际操作，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
三. 教学目标1.理解正多边形的定义和性质。
2.掌握圆的性质，并能运用到实际问题中。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
4.引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.圆的性质及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
2.利用图形和实例，进行直观教学，帮助学生理解和记忆。
3.通过小组讨论和动手操作，培养学生的合作意识和实践能力。
4.运用数学软件和实物模型，展示正多边形和圆的动态变化，增强学生的直观感受。
六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于讲解和展示。
2.准备数学软件和实物模型，用于演示和操作。
3.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些常见的正多边形和圆的图形，引导学生关注正多边形和圆的性质。
提问：你们对这些图形有什么观察和认识？2.呈现（10分钟）讲解正多边形的定义和性质，引导学生通过观察和思考，发现正多边形和圆之间的关系。
展示圆的性质，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据正多边形和圆的性质，尝试解决一些实际问题。
华东师大版九年级数学下册《正多边形和圆》教案-新版
（1）图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。）
（2）任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形？跟边数有何关系？
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
（3）正n边形的每个内角等于多少度？每个外角呢？
2、探索正多边形与圆的关系
（1）你能借助量角器，利用圆来画正三角形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？…….学会利用量角器等分圆周的方法画正多边形。
（2）引入圆的内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的中心的概念。
4、探索用直尺和圆规作出正方形，正六多边形的方法。
（1）作正四边形：在圆中作两条互相垂直的直径，依次连结四个端点所得图形（然如何作正八边形？作正十六边形？……）
（2）作正六边形：在圆中任作一条直径，再以两端点为圆心，相同的半径为半径作弧与圆相交，依次连结圆上的六个点所得图形（任何作正三角形？正十二边形？……）
《正多边形和圆》教案
教学目标
1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形。
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形。
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。
教学重点
正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
教学难点
利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
（2）已知：如图，正五边形，求作：正五边形的外接圆和内切圆。(要求：保留痕迹，不写作法)
五、课堂小结
1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；
九年级数学下册《正多边形与圆》教案、教学设计
2.强调正多边形在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
-总结：“通过今天的学习，我们知道了正多边形与圆之间有很多有趣的关系。这些知识不仅可以解决数学问题，还可以应用于我们的日常生活。”
3.鼓励学生继续探索正多边形与圆的奥秘，为下一节课的学习打下基础。
4.培养学生的空间想象能力，通过观察正多边形与圆的关系，提高学生的图形感知能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，采用以下方法与过程：
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现并提出问题，激发学生的学习兴趣。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在自主探究、合作学习中发现正多边形的性质，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将通过以下步骤帮助学生掌握正多边形与圆的关系：
1.通过动态演示，引导学生观察正多边形与圆的相互关系，发现正多边形的半径、边长、中心角之间的关系。
-解释：“正多边形的每个内角都相等，外角也相等。当我们把正多边形的外接圆画出来时，可以发现圆的半径与正多边形的边长有一定的关系。”
-设计与生活相关的题目，如城市规划中的正多边形地砖铺设，让学生在解决问题的过程中应用所学知识。
4.设计分层练习，针对不同水平的学生提供不同难度的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-基础题：主要针对正多边形的基本性质和简单计算。
-提高题：涉及正多边形与圆的综合应用，以及解决实际问题的能力。
5.开展课堂讨论和分享，鼓励学生表达自己的思考过程和解题策略，促进知识的内化和深化。
3.培养学生的审美情趣，让学生感受正多边形与圆的和谐美，激发学生对美的追求。
25.8正多边形和圆 课件
P B
A
T E O S
Q
C R D
⌒⌒
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
弧相等—弦切角相等—全等三角形
—
边相等 角相等
—多边形是正多边形
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛 的应用性，所以会画正多边形
半径 3. OB叫正△ABC的________ ，它是正 △ABC的________圆的半径. 外接 边心距 4. OD叫作正△ABC的________ ，它是 A 正△ABC的________ 圆的半径。 内切
o
B D C
6. 正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O 的半径为R，则该正六边形的周长和面积各是 解 : 如图, 设AB切 ⊙ O于M， 连结OA、 OB 多少？则OM AB于M , AM BM . OM ,
F
E O ·
A
D
B
C
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳 （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形．
正多边形的性质
• 提出问题： • 我们学习了正多边形的定义，并且 知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的 圆的内接正n边形和圆的外切正n边 形．反过来，是否每一个正多边形都有 一个外接圆和内切圆呢？
• 定理： • 任何正多边形都有一个 外接圆和一个内切圆， 这两个圆是同心圆．
正多边形及外接圆中的有关概念 中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径: 外接圆的半径. 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.
E
中心角 半径R .边 . 心 距 r
九年级数学：《正多边形和圆》教学案
课题：正多边形和圆【学习目标】1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．【学习重点】探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算． 【学习难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系．情景导入 生成问题旧知回顾：1．前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？2．谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？3．正多边形和圆有什么关系呢？自学互研 生成能力知识模块一 正多边形的有关概念【自主探究】阅读课本P 105，完成下题：如图所示，点A 、B 、C 、D 、E 、F 把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边形ABCDEF ，它是正六边形吗？写出证明过程．解：如图，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA ，BCF ︵＝CDA ︵＝DEB ︵＝EFC ︵＝FAD ︵＝ABE ︵.∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F.∴六边形ABCDEF 是正六边形．又∵六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，∴正六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，即⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆．归纳：1.一个正多边形的各个顶点都在一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的内接多边形，圆叫做这个多边形的外接圆．2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．3．外接圆的半径叫做正多边形的半径．4．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．5．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【合作探究】典例：已知：如图，在⊙O 中，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 的五等分点．依次连接ABCDE 形成五边形． 问：五边形ABCDE 是正五边形吗？如果是，请证明你的结论．答案：五边形ABCDE 是正五边形．证明：在⊙O 中，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，BCE ︵＝CDA ︵＝3AB ︵，∴∠A ＝∠B ；同理∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ，∴五边形ABCDE 是正五边形．知识模块二 正多边形的有关计算【合作探究】阅读P 106，完成下面例题：典例：已知正六边形的半径为R ，求正六边形的边长、边心距和面积．解：如图，∵正六边形的中心角为60°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ＝OB ，∴△OBA 是等边三角形．∴AB ＝OA ＝R.过点O 作OM ⊥AB 于M ，则AM ＝12R. 在Rt △OAM 中，OM ＝R 2＋⎝⎛⎭⎫12R 2＝32R. ∴S 正六边形＝6S △OBA ＝6×12AB ·OM ＝3R·32R ＝332R 2. 知识模块三 正多边形的作法【合作探究】阅读教材P 107，完成下面的题：典例：利用手中的工具求作一个边长为3cm 的正六边形．解：方法一：如图1，以3cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于360°÷6＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形．方法二：如图2，以3cm 为半径作一个⊙O ，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3cm 的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正多边形的有关概念知识模块二 正多边形的有关计算知识模块三 正多边形的作法当堂检测 达成目标【当堂检测】1．若一个正多边形的每个外角为36°，则这个正多边形的中心角为( B )A ．18°B ．36°C ．54°D ．72°2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径为32，内切圆半径为3．3．已知一个圆的半径为5cm ，则它的内接正三角形的半径为5cm ，边心距为2.5cm ．4．如图，已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为123，求⊙O 的半径．解：连接OB 、OD ，作OG ⊥BD 于点G ，设OB ＝OD ＝R ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴∠BOD ＝2∠BFD ＝120°.∵OG ⊥BD ，∴∠GOD ＝60°，∠ODG ＝30°.∴OG ＝12OD ＝12R ，GD ＝OD 2－OG 2＝32R ，BD ＝3R. 又∵S △FBD ＝3S △OBD ，S △FAB ＝S △OBD ，S △FBD ＝3S △FAB ，S △FAB ＝S △OBD ，∴4×12×3R ×12R ＝12 3. 解得R ＝23，即⊙O 的半径为2 3.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺 1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
25.8正多边形与圆
25.8正多边形与圆（1）教学目标知识与技能1、了解正多边形和圆的关系2、知道任意一个多边形都有外接圆和内切圆3、会用等分圆的方法作简单的正多边形过程与方法通过观察、推理、动手操作等过程，体会数学规律发现的过程情感、态度与价值观经历观察、推理、操作等过程，体会用数学解决问题的策略，激发学习兴趣教学重难点重点：正多边形和圆的关系难点：用等分圆的方式作正多边形教学过程一、复习引入师：同学们，前面我们已经学习了圆，以及圆和圆的位置关系，今天，就来学习正多边形和圆的关系，请同学们口答下面两个问题：1、什么叫正多边形?2、从你身边举出几个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗?其对称轴有几条，对称中心是哪一点?生：思考回答，教师补充。
二、探究新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图1，正六边形ABCDEF，连结BE、AD交于一点O，以O为圆心，OA 为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上。
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
我们以圆内接正五边形为例证明。
（画图在小黑板）证明：AB=BC=CD=DE=EA∴AB=BC=CD=DE=EA则BCE=CDA=3AB∴∠A=∠BC F同理可证∠B=∠C=∠D=∠E又五边形ABCDE的顶点都在圆上∴ ABCDE是圆的内接正五边形即圆是五边形ABCDE的外接圆师：我们可以用类似的方法去证明过这五个点的切线围成的五边形也是正五边形。
总结定理：把圆分成n等份（n≥3）（1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
三、合作交流师：应用上述定理，我们可以用尺规作图画出圆中一些常见的正多边形，大家试试怎么尺规作出圆的内接正方形、正六边形。
25.8 正多边形与圆 课件1(沪科版九年级下册)
(n 2) 180 （n为正多边形的边数） 公式：内角 n
23，正多边形的外角
• • 考察内容：熟练掌握公式，外角与边的关系 • 易错点：区分所求条件是外角还是内角
(n 2) 180 360 外角 180 （n为正多边形的边数） 公式： n n
24，正多边形的中心角
11，圆与圆内含
• 条件： 0 AB R r ( AB为圆心距) • 考察内容：圆与圆内含的条件 • 易错点：同心是内含的特殊情况，所以等号 一定要取
12，圆与圆同心
• 条件： AB 0( AB为圆心距) • 考察内容：圆与圆同心的条件 • 易错点：同心是内含的特殊情况，同心一定 内含，但内含不一定同心
5，扇形面积
• 公式：S扇形 • 考察内容：半（直）径，扇形面积，圆周角 三个元素之间的关系 • 易错点：公式后半部分是圆的面积公式不是 面积公式，区分半（直）径
1 r 2 (1为圆心角 ) 360
6，弓形面积
S弓形 • 公式： • 考察内容：三角形和扇形面积公式，等腰△ 三线合一 • 易错点：弓形面积的实质是扇形与△的面积 差
15，直线与圆相交
• 条件：直线AB与圆O有2个交点 • 考察内容：直线与圆相交的判断条件 • 易错点：在直角坐标系的题目中，通常利用 圆心到直线的距离来判断，若0≤距离<r则为 相交
16，正多边形的定义
• 定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做 正多边形(多边形：边数大于等于3)。 • 考察内容：根据条件判断是否为正多边形 • 易错点：边和角要同时满足相等才是正多边 形，每个边数相等的正多边形都是相似的
360 （n为正多边形的边数） • 公式：中心角 n
2019-2020学年九年级数学《正多边形和圆》教案.doc
2019-2020学年九年级数学《正多边形和圆》教案主备人课时一课时分管领导验收结果教学目标知识与技能1、了解正多边形和圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。
重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算。
难点：探索正多边形与圆的关系。
教学过程教师活动学生活动一.创设情境，导入新课：观察下列美丽图案（课本图24.3—1）回答问题：（1）这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常看到的得用正多边形得到的物体，你能从这些图案中找出正多边形来吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？二.自主探究问题1：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论。
问题2：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？学生观察图案，思考并指出找到的正多边形学生讨论、交流、发表各自见解。
学生完成证明过程。
学生思考，同学间交流，回答问题。
问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接正多边形呢？如果是，说明为什么，如果不是，举出反例。
归纳总结一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．三.尝试应用1．课本例题，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m）2．完成下表中有关正多边形的计算：正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 234 16 3四.补偿提高3．课本练习1、2、31．同步学习P70开放性作业：1、2、3、4、6、7、8题学生讨论，思考回答学生看图（课本图24.3—3）理解概念学生画出正六边形图形，完成例题1的解答，总结这一类问题的求解方法。
2022年数学沪科版九年级下《正多边形的概念及正多边形与圆的关系》教案
24.6 正多边形与圆第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系1．理解并掌握正多边形和圆的有关概念，并能进行相关计算(重点，难点)；2．学会通过等分圆周的方法作正多边形．一、情境导入生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示的蛋糕平均分成6份，你能帮他做到吗？二、合作探究探究点：正多边形与圆【类型一】圆的内接多边形与外切多边形的有关计算如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切．(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．解：(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得到以⊙O的半径为高的正三角形，所以r∶b＝3∶2；(2)正六边形T1与T2相似，且T1∶T2的边长比是3∶2，所以S1∶S2＝3∶4.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】圆的内接正多边形的探究题如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．解：(1)取B 与M 重合，N 与C 重合，利用O 是正三角形的中心，可知∠MON 的度数是120°；(2)取B 与M 重合，N 与C 重合，此时三角形MON 是直角三角形，∠MON ＝360°4 ＝90°；取B 与M 重合，N 与C 重合，此时∠MON 的对应角度是整个圆周的15，∠MON ＝360°5＝72°；(3)360°n. 方法总结：解决此类问题时可取极限(特殊)位置进行分析，本题中可对三个图都取B 与M 重合，N 与C 重合，可得出∠MON 为定值且与正多边形边数相关．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】 作正多边形如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120°的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°；(2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法和尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型四】 与正多边形相关的证明如图，直线AC 切⊙O 于点A ，点B 在⊙O 上，且AB ＝AC ＝AO ，OC 、BC 分别交⊙O 于点E 、F .求证：EF 是圆内接正二十四边形的一边．证明：∵AC 切⊙O 于点A ，∴∠CAO ＝90°.∵AC ＝OA ，∴∠AOC ＝45°.∵AB ＝OA ，OB ＝OA ，∴∠BAO ＝60°，∠BAC ＝60°＋90°＝150°.∵AC ＝AB ，∴∠ABC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠AOF 是弧AF 所对圆心角，∠ABF 是弧AF 所对圆周角，∴∠AOF ＝30°，∴∠EOF ＝15°，∵360°15°＝24，∴EF 是圆内接正二十四边形的一边． 方法总结：此题主要考查了正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出∠EOF 的度数是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．2．利用等分圆周作正多边形．教学过程中，以学生自主探索和合作交流为主，以练习强化学生对所学知识的理解，灵活运用，提高其独立思考和解决问题的能力.第1课时 平行投影与中心投影1．了解平行投影与中心投影的含义，体会其在生活中的应用；2．根据平行投影和中心投影的特点，能够进行相关的作图和计算(重点，难点)．一、情境导入太阳光下的影子是我们司空见惯的，物体在太阳光照射下形成的影子与在灯光照射下形成的影子有什么不同呢？二、合作探究探究点一：平行投影与中心投影【类型一】平行投影的作图如图，在某一时刻垂直于地面的物体AB在阳光下的投影是BC，请你画出此时同样垂直于地面的物体DE在阳光下的投影，并指出这一时刻是在上午、中午还是下午？解：如图，连接AC，过点D作DF∥AC，过点E作EF∥BC交DF于点F，则EF就是DE的投影．由BC是北偏西方向，判断这一时刻是上午．方法总结：(1)画物体的平行投影的方法：先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的末端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定其影子．(2)物体在阳光下的不同时刻，不仅影子的大小在变，而且影子的方向也在改变，就我们生活的北半球而言，上午的影子的方向是由西向北变化，影子越来越短，下午的影子方向由北向东变化，影子越来越长．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】中心投影的作图如图所示，由两根直立的木杆在一路灯下的影子判断路灯灯泡的位置．解：如图所示，两条光线的交点O即为灯泡所在的位置．方法总结：相交光线的交点即为点光源所在的位置．点光源下两个物体的影子可能在同一个方向，也可能不在同一个方向．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】中心投影的变化规律如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )A ．逐渐变短B ．先变短后变长C ．先变长后变短D ．逐渐变长解析：在路灯下，路灯照人所形成的投影是中心投影．人的影子可以通过路灯和人的头顶作直线，该直线和地面的交点到人的距离即为他的影子的长度．因此人离路灯越远，他的影子就越长．由A 到B 这一过程中，人在地上的影子先逐渐变短，当他走到路灯正下方时，影子为一点，然后又逐渐变长．故选B.方法总结：在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时影子短，离点光源远时影子长．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：投影与计算 【类型一】 平行投影的有关计算一位同学想利用树影测树高AB ，m 的竹竿的影长为3m ，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上(如图①)．经测量，留在墙上的影高CD m ，地面部分影长BD m ，求树高AB .解：方法一：过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，如图①.∵四边形AEDC 为平行四边形，∴AE ＝CD m.∵EB BD ＝1.53，∴EB m ，∴AB ＝AE ＋EB m. 方法二：延长AC 交BD 的延长线于点E ，如图②.∵CD m ，CD DE ＝错误!，∴DE m.∴BE ＝BD ＋DE m.∵AB BE＝错误!，∴AB ＝3.9m.∴树高AB m. 方法总结：解决这类问题较为常见的方法有两种，一是画出树影在墙脚对应的树高；二是透过墙，补全树在平地上的影长．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】 中心投影的有关计算如图，，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长有2米，问此路灯有多高？解：根据题意，易证，△CDE ∽△ABE ，则CD AB ＝DE BE，即错误!＝错误!，所以AB ＝4.8米．答：此路灯高4.8米．方法总结：与中心投影有关的计算，一般的解题思路是运用三角形的相似寻求对应的等量关系求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题三、板书设计1．平行投影由平行光线所形成的投影．2．中心投影由一点(点光源)发出的光线所形成的投影．影子是生活中常见的现象，在探索物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念．通过在阳光、灯光下摆弄小棒、纸片，体会、观察影子大小和形状的变化情况，总结规律，培养学生观察问题、分析问题的能力.。
九年级数学下册 26.8《正多边形与圆》教案 沪科版
26.8. 正多边形与圆教案学习目标1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形学习重、难点重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形学习过程：一、情境创设观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？二、探索活动活动一观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（注：各边相等与各角相等必须同时成立，否则不一定是正多边形，例如菱形、矩形等）活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n 边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。
活动三探索正多边形的对称性正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
活动四利用直尺与圆规作特殊的正多边形1、作正四边形：在圆中作两条互相垂直的直径，依次连结四个端点所得图形（作正八边形）2、作正六边形：在圆中任作一条直径，再以两端点为圆心，相同的半径为半径作弧与圆相交，依次连结圆上的六个点所得图形（作正三角形与正十二边形）三、课堂练习练习五、课堂小结引导学生总结：1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。
沪科版九年级数学下册正多边形和圆教学课件
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
探究2 五边形PQRST是正五边形吗？简单说说理由.
证明：五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.
P AT
连接OA，OB，OC.则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
B
·O E S
Q
∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的☉O的切C线，R D
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
归纳总结 把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所
得的多边形就是这个圆的一个内接正n边形.
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
A
所以AB=BC= CD=DA.
因为AC，BD都是直径，
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
获取新知
知识点二：利用圆画正多边形
问题 如图，把☉O进行5等分,依次连接各等分点得到五边形
ABCDE .分别过点A，B，C，D，E作☉O的切线，切线交于点 P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形PQRST.五边
形ABCDE及五边形PQRST是正多边形吗？
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
n
的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”．这 种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
沪科版数学九年级下册《正多边形和圆》教案
1.用量角器等分圆
用量角器画 的圆心角，再在圆上依次截取这条弧的等弧，得到圆的n等份点，作出正n边形.
原理：同圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧，所对的弦、所对的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等
同圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等
2.用尺规等分圆
引导学生思考特殊的正n边形作法.
回顾复习多边形内角外角知识，推出正多边形每个内角，每个外角度数.
思考辨析，举出反例.
观察，思考正多边形与圆的关系
复习多边形内角度数，外角度数.引入新课．
加深对正多边形概念理解，为定理证明做准备.
为定理引出做铺垫.
定理证明
定理：把圆分成n（n≥3）等份：
（1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
逐次平分各边所对的弧可以得到更多正n边形.
3.用等分圆周方法设计图
1.找到作图方法
2.思考作图原理
3.练习画正多边形
练习特殊正n边形作法.
思考由已知正多边形画出一系列正多边形的方法.
利用所学
1.由定理得到正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接正多边形.可以通过等分圆周的方法画正多边形.
24.6（1）正多边形与圆
一．学习目标
1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形
教学重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系
教学难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形
二．教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
引入新课
情景引入
正多边形和圆教案
正多边形和圆教案第一章：正多边形的定义和性质1.1 教学目标了解正多边形的定义和性质能够计算正多边形的边数和内角大小能够绘制和识别正多边形1.2 教学内容正多边形的定义：正多边形是指所有边相等，所有角相等的多边形。
正多边形的性质：正多边形的边数与内角大小有关，公式为（n-2）×180°/n，其中n为正多边形的边数。
1.3 教学活动引入正多边形的概念，让学生尝试绘制正三角形、正方形等。
引导学生通过观察和测量来发现正多边形的性质。
练习计算不同边数的正多边形的内角大小。
1.4 教学评价通过学生绘制和识别正多边形的能力来评价学生的理解程度。
通过学生计算正多边形内角大小的准确性来评价学生的掌握情况。
第二章：圆的定义和性质2.1 教学目标了解圆的定义和性质能够计算圆的周长和面积能够绘制和识别圆2.2 教学内容圆的定义：圆是由所有与给定点距离相等的点组成的图形。
圆的性质：圆的周长与半径成正比，公式为C=2πr，其中C为圆的周长，r为圆的半径。
圆的面积与半径的平方成正比，公式为A=πr²，其中A为圆的面积。
2.3 教学活动引入圆的概念，让学生尝试绘制不同半径的圆。
引导学生通过测量和计算来发现圆的性质。
练习计算不同半径的圆的周长和面积。
2.4 教学评价通过学生绘制和识别圆的能力来评价学生的理解程度。
通过学生计算圆的周长和面积的准确性来评价学生的掌握情况。
第三章：正多边形和圆的关系3.1 教学目标了解正多边形和圆之间的关系能够计算正多边形的对角线长度能够计算正多边形的面积3.2 教学内容正多边形和圆的关系：正多边形的每个顶点到中心的距离等于圆的半径。
正多边形的对角线长度：正多边形的对角线长度等于2倍的圆的半径。
正多边形的面积：正多边形的面积等于圆的面积除以n，其中n为正多边形的边数。
3.3 教学活动引导学生通过观察和测量来发现正多边形和圆之间的关系。
练习计算正多边形的对角线长度。
练习计算正多边形的面积。
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24.6节的内容，主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
本节内容是学生对几何图形认识的一个拓展，同时也是对圆的深入学习。
教材通过正多边形引入圆的概念，使得学生能够更好地理解圆的性质和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何图形知识，对正方形、正三角形等正多边形有一定的了解。
但是，他们对正多边形和圆的关系以及圆的性质的认识还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探索正多边形和圆的性质，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质，能够识别和判断正多边形。
2.掌握圆的定义和性质，能够运用圆的性质解决实际问题。
3.理解正多边形和圆的关系，能够运用正多边形和圆的知识解决几何问题。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高他们的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义和性质，圆的性质和应用。
2.难点：正多边形和圆的关系，以及运用这些知识解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生发现正多边形和圆的性质，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.实例解析法：教师通过展示实际问题，引导学生运用正多边形和圆的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.小组合作学习：教师学生进行小组合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，包括正多边形和圆的图片、定义、性质等。
2.教学素材：准备一些正多边形的模型或者图片，用于展示和讲解。
3.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些正多边形的图片，引导学生回顾正多边形的定义和性质。
然后，提出问题：“你们认为，正多边形和圆有什么关系呢？”让学生思考并发表自己的观点。
沪科版九年级数学下册【教案二】24.8正多边形和圆
系.
作正 n 边形的半径，把正多边形划分为 n 个全等的等腰三角 学生先自主探究，
形，再作边心距，把正多边形划分为 2n 个全等的直角三角形. 再合作交流，完成
正n边 形 等腰三 角形 直角三 角形
中心角 半 径
顶角 腰
一锐角 2 斜
倍
边
边长
边心距
底边
一直角边 2倍
底边上 的高 另一直 角边
内角
底角 2 倍
使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生 的实践能力和创新精神.
正多边形的半径、边长、边心距、中心角之间的数量关系． 探索正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、导语：
1.什么样的图形叫做正多边形？你能举出一些生活中这样的
图形，又是中心对称图形，正多边形也是轴对称图形，正 n
边形有 n 条对称轴，当 n 为偶数时，它也是中心对称图形，
且绕中心旋转 360 ，都能和原来的图形重合．结合图形，给
n
出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念． 正多边形的中心、半径、中心角、边心距与圆的哪些概念相对应？
（二）应用 1.完成课本例题 分析：正六边形的中心角是 600 ，△OBC 是等边三角形，从而 正六边形的边长等于它的半径.
形 DEFG 的边长，从而求面积. 三、课堂训练
•1.已知⊙O•的周长等于 6 cm，
•求以它的半径为边长的正六边 形 ABCDEF 的面积． 2.如图，正五边形 ABCDE 的对角 线 AC、BE 相交于 M． 求证：四边形 CDEM 是菱形；
归纳提升，加强 学习反思，帮助 学生养成系统整 理知识的习惯 学生独立练习，教 师巡回辅导，问题 进行强化，点拨方 法，对于共性问题， 做好补教，对于好
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正多边形和圆(一）一．内容综述正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。
实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图△OAD）中解决的。
掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。
在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n 和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn= ；②a n=2R n·sin ；③r n=R n·cos ；④+ ；⑤P n=na n；⑥S n= P n r n；⑦S n= n sin .（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2、准确记忆相关公式。
在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所所对的圆心角的度数，L 表示弧长，则有：①圆周长：C=2πR。
②弧长：L=③圆面积：S=πR2④扇形面积：S扇形= = LR⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理：（1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△（2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△（3）当弓形所含弧为半圆时，S弓= S圆⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积二．例题分析：例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A、B、C、D、解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1，又∵∠FAG=60°，故选B。
说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm, 的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。
解：设∠O=α，由弧长公式得6π= , 10π= ,∴OA= , OB= .又∵AB=OB-OA,∴12= - ,∴α=60°,∴OA= =18, OB= =30.∴阴影部分的面积为：- = =96π说明：本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。
例3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.分析:外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证.证明:设外切多边形周长为P,内切圆⊙O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,如图∵OM⊥AB,ON⊥BC,……,∴S△OAB= OM·AB＝R·AB,= ON·BC＝R·BC……,S△OBC∴正多边形ABCD……面积为S= R(AB+BC+……)= R·P.说明：圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。
例4.已知如图⊙O1为含120°弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆的周长等于弧长的。
分析：欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系，需求出：内切圆⊙O1的周长2πr，及弓形的弧AB的长，找到r与⊙O的半径R的关系，结论易证。
证明：设⊙O1切弓形于C、D，OA=R，O1C=r，∵∠AOB=120°，∴的长= ×= πR，又∵∠OAB= (180°-120°)=30°，∴OC= OA= R,r= (OD-OC)= (R- R)= R,∴又⊙O1的周长=2πr=2π·R= πR,∴⊙O1的周长等于弧长的.例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,∠AOB=120°,求阴影部分面积S阴影ABC.分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-S△ACO,故可求得.解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-S△ACO,而S扇形OAB= =12π(cm2),∴S△ACO= ×6×3·sin60°= (cm2),∴S阴影ABC=(12π- )cm2.说明：求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与S DAOC的差，也可以折分为S DABC与S弓形AB 的和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。
例6.如图,若正六边形的面积为6 ,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.分析：如下图，线段OC是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC可以将两图形联系起来。
解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,CD为正六边形内切⊙O的内接正三角形的一条边长,过O点作OE⊥CD于E,分别连结OA、OB、OC、OD.∴OC=R,AB=a6,BC= a6,∠BOC=30°,CD=a3,CE= a3,OE=r3,∠COE=60°,∵S6=6·S△OAB,∴S6=6×a6·OC=6 ,∵OC=BC·cot30°,∴OC= a6,∴6×a6·a6=6 ,∴a6=2,∴OC= ,∵OE=OC·cos60°,∴OE= ,∵CE=OC·sin60°,∴CE= ,∴CD=2CE=3,∴S3=3×CD·OE,∴S3=3××3×= .说明:(1)此例涉及到正多边形的有关计算,其中涉及的是正六边形与正三角形.(2)因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以它有一个图形之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正多边形之间的关系.例7.如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且∠AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和面积分别为8(1+ )和16 ,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积)解:连结OP ，∵ PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B, ∴ ∠OAP=∠OBP=90°, 又PA=PB,AO=BO∴ Rt △PAO ≌Rt △PBO,∴ Rt △PAO 的面积= ×四边形PAOB 的面积=8 .又Rt △PAO 的面积= ×AO ·PA,∴ OA ·PA=16 . 已知OA+PA=×8(1+)=4(1+ ).∴ OA 、PA 为方程x 2-4(1+ )x+16=0的两根，解得x 1=4，x 2=4 ，但∠AOB 是钝角，∴ PA>OA,∴ PA=4,OA=4.在Rt △PAO 中,tan ∠POA= = .∴ ∠POA=60°,∠AOB=120°, 扇形OAB 的面积=×42π=π.∴ 劣弧AB 与两切线所夹部分的面积为16 - π.说明:求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP 的面积去掉扇形AOB 的面积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形. 例8.如图,∠AOB=90°,AC ∥OB,OA=1, 是以O 为圆心的弧, 是以A 为圆心的弧,求图中阴影部分ABC 的面积.分析：思考怎样转化为规则图形的面积运算？规则图形的面积如何计算？ 解:连结AB,∵ △AOB 为等腰直角三角形, ∴ AB=,∵ ∠C=90°,OA=OB=1, ∴ S 扇形OAB = πR 2= , S 扇形ABC =π()2=,S 弓形AmB =S 扇形OAB -S △AOB = - AO ·BO=-.S 阴影=S 扇形ABC -S 弓形AmB= -( - )=说明：（1）求阴影部分的面积，涉及到扇形、圆形、弓形、梯形、三角形面积及弧长、周长等知识。
（2）进行分析时，一般注意：第一：求阴影部分的面积，因不是一个规则的图形，不易直接求，需要从整体结构进行分析，将图形分解，转化为规则的能操作的基本图形，运用好面积的割补方法。
第二：求阴影部分的面积，可转化为先求空白部分的面积，再进行面积的加减运算。
测试选择题1．已知两圆的直径分别为20cm和8cm，一条外公切线为8cm，则这两圆的位置关系是（）A、相离B、外切C、相交D、内切2．下列说法正确的是（）A、各边相等的圆外切多边形是正多边形；B、任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；C、任何一个正多边形绕中心旋转，都与原来的正多边形重合；D、任何正多边形都相似。
3．如果一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个正多边形的边数为（）A、16B、18C、20D、224．正六边形的边长为1，则它的面积为（）A、3B、2C、3D、5．正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是（）A、1∶B、2∶C、∶1D、∶26．如图，已知点A在两个同心圆的大圆上，ABC是小圆的割线，且AB·AC=8，则圆环的面积为（）A、4πB、8πC、12πD、16π7．扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为（）A、7cmB、cmC、(14+7 )cmD、7 cm8．扇形的圆心角是150，面积是60πcm2, 则扇形的弧长为（）A、6πcmB、8πcmC、10πcmD、12πcm9．正三角形的边心距、半径和高的比是（）A、1∶2∶3B、1∶∶C、1∶∶3D、1∶2∶10．如图3，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径之和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b, 则a与b之间的关系是（）A、a=bB、a=nbC、a= bD、a=πb答案与解析答案：1.C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.C9.A10.A 解析：1.关键是求出O1O2，∵O1O22=(R-r)2+82=36+64=100，∴O1O2=10，R+r=14，R-r=6，则R-r<O1O2<R+R∴两圆相交。
2.选项为C。
反例：A，菱形各边相等，四边可以与同一圆相切，但不是正四边形。
B，正三角形不是中心对称图形。
D，边数不同，不可能相似。
3.设正多边形边数为n，外角和为360°，内角和为(n-2)·180°，则一个外角度数为，一个内角，∴= ·∴n=22。
6.如图：作AE切小圆于E，连AO，OE，则AE2=AB·AC=8，S圆环=OA 2π-OE2π=(OA2-OE2)π=AE2π=8π。