2020九年级数学上册 第22章 22.2 的解法 22.2.1 直接开平方法和因式分解法导学案
人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。
这一节内容是在学生学习了实数、有理数、无理数等基础知识后进行的，是学习更高级数学知识的基础。
教材通过简单的实例引入直接开平方法，让学生了解并掌握开平方运算的法则，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在学习过程中可能对于抽象的开平方运算存在一定的困难，需要通过具体的实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.让学生了解直接开平方法的概念和意义。
2.让学生掌握直接开平方法的运算规则。
3.培养学生运用直接开平方法解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法的概念和运算规则。
2.难点：对于复杂数的开平方运算的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题引导学生思考和探索。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来形象地展示开平方运算的过程。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中共同解决问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关教学PPT。
3.练习题和学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出直接开平方法的概念，例如：“一块土地的面积是4平方米，它的长和宽各是多少？”让学生思考并尝试解答。
2.呈现（15分钟）讲解直接开平方法的概念和运算规则，通过PPT展示相关的动画和图形，让学生直观地理解开平方运算的过程。
3.操练（15分钟）让学生进行一些简单的练习题，巩固直接开平方法的应用。
教师可以设置一些问题，引导学生运用直接开平方法解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生进行一些复杂的练习题，加深对直接开平方法的理解。
教师可以给予学生一定的提示和指导，帮助他们解决问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索直接开平方法在实际问题中的应用，例如：“一个立方体的体积是64立方米，求它的棱长。
22.2.1_一元二次方程的解法---直接开平方法--
随堂练习1
（1）. (2x+3)²=5 ;
(2)42x 32 7
（2）. 2x²=128 ;
（3）. (x + 1)2 – 4 = 0
1.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
2.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
解的方法叫直接开平方法。
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
解：（1） χ2=25
开平方，得χ=±5
∴ χ1=5，χ2=－5
(2). χ2－900=0
（2）移项，得 χ2=900 开平方，得 χ=±30
∴χ1=30 ，χ2=－30
解下列方程：
1、x2=9
3、x2-16=0；
2、x2－5=0； 4、x2 =0;
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
用直接开平方法求解的方程
课本第31页练习题的六个小题。
22.2 一元二次方程 的解法
方法一：
人教新课标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直接开平方法
(1).χ2=4 (2).χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想: ∵ χ2=4
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,利用 平方根的定义直接开平方求一元二次方程的
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析： 我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 因式分解
因式分解法解一元二次方程1．方程x(x－2)＝2(2－x)的根为( )．A.x＝－2B.x＝2C.x1＝2，x2＝－2D.x1＝x2＝22．方程(x－1)2＝1－x的根为 ( )．A.0B.－1和0C.1D.1和03．若实数x、y满足(x－y)(x－y＋3)＝0，则x－y的值是( )．A.－1或－2B.－1或2C.0或3D.0或－34.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8mC．9m D．10m5.已知三角形的两边长是方程x2－5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）A．1<L<5 B．2<L<6C．5<L<9 D．6<L<106.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，知方程(x －2)*1＝0的解为_____________.7.如果x2－x－1＝（x+1）0，那么x的值为_____________.三、用因式分解法解下列方程8．3x(x－2)＝2(x－2)．9．x2－4x＋4＝(2－3x)2．10.解方程：(2y－1)2＝3(1－2y).11.阅读下面材料：把方程x2－4x+3＝0写成x2－4x+4－4+3＝0，(x－2)2－1＝0.因式分解，得(x－2+1)(x－2－1)＝0，(x－1)(x－3)＝0.发现：(－1)+(－3)＝－4，(－1)×(－3)＝3.结论：方程x2－(p+q)x+pq＝0可变形为(x－p)·(x－q)＝0.应用上面的解题方法，解下列方程：（1）x2+5x+6＝0；（2）x2－7x+10＝0；（3）x2－5x－6＝0；（4）x2+3x－4＝0.12.已知：关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解.参考答案1．C ． 2．D ． 3．D ．4.A 解析 设原正方形空地的边长为xm.依题意有(x －3)(x －2)＝20，解得x 1＝7，x 2＝－2（不合题意，舍去），∴原正方形空地的边长为7m5.D 解析 设此三角形的第三边长为A ．∵x 2－5x+6＝0，∴(x －2)(x －3)＝0，∴x ＝2或x ＝3，即三角形的两边长分别是2和3，∴此三角形第三边长a 的取值范围是1<a<5，∴该三角形的周长L 的取值范围是6<L<10.6.x 1＝2，x 2＝3 解析 根据题意，得(－2)2－12＝0.因式分解，得(x －2+1)(x －2－1)＝0，即(x －1)(x －3)＝0，所以x －1＝0或x －3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3.7.2 解析 x 2－x －1＝(x+1)0＝1，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1（舍去）. 8．x 1＝2，⋅=322x 9．x 1＝0，x 2＝1． 10.解：原方程可化为(2y －1)2－3(1－2y)＝0，因式分解，得(2y －1)(2y+2)＝0.∴112y =，y 2＝－1. 11.解：（1）方程变形为(x+2)(x+3)＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－3.（2）方程变形为(x －2)(x －5)＝0，∴x 1＝2，x 2＝5.（3）方程变形为(x －6)(x+1)＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.（4）方程变形为(x+4)(x －1)＝0，∴x 1＝－4，x 2＝1.12.解：（1）由题意可得∆＝22－4k>0，解得k<1.（2）由（1）中的k<1得k 取的最大整数值为0，即k ＝0，当k ＝0时，原方程可化为x 2+2x ＝0，∴x(x+2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2.。
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22.2.1 直接开平方法和因式分解法
【学习目标】
1、了解直接开平方法的几种形式。
2、能熟练运用直接开平方法解一元二次方程。
3、了解因式分解法解一元二次方程的步骤。
4、能运用因式分解法解一元二次方程。
5、了解因式分解法与直接开平方法的联系。
【学习重难点】
直接开平方法及因式分解法的运用
【学习过程】
一、课前准备
因式分解
3(2)5(2)x x x +-+ ()222x y x y -++
二、学习新知
自主学习：
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x 2＝4； （2）x 2－1＝0;
解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得
x =____ ______________＝0，
必有 x －1＝0，或______＝0,
得x 1＝___，x 2＝_____.
概括：
叫直接开平方法.
叫因式分解法.
想一想：
（1）方程x 2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
（2）方程x 2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？
例1、解下列方程：
（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.
解：
例2、解下列方程：
（1）3x 2＋2x =0； （2）x 2＝3x .
解：
例3、解下列方程：
（1）（x ＋1）2－4＝0； （2）12（2－x ）2－9＝0.
分析：两个方程都可以转化为（ ）2＝a 的形式，从而用直接开平方法求解.
解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，
（2）原方程可以变形为________________________，
有 ________________________.
所以原方程的解是 x 1＝________，x 2＝_________.
【随堂练习】
1、解下列方程：
（1）x 2＝169； （2）45－x 2＝0； （3）12y 2－25＝0；
（4）x 2－2x ＝0； （5）（t －2）（t +1）=0；（6）x （x ＋1）－5x ＝0.
【中考连线】
若2是关于x 的方程012)3(2=++-x k x 的一个根，则以2和k 为两边的等腰三角形的周长是多少？
随堂练习
1.(1)1x =13,2x =-13 (2)1x =35,2x =-35
(3)1y =63
5 ,2y =-63
5 (4) 1x =0,2x =2
(5) 1t =2,2t =-1 (6) 1x =0,2x =4 中考连线
解：∵2是方程012)3(2=++-x k x 的根 ∴012)3(24=++-k
解得5=k
∵构成三角形必须满足两边之和大于第三边 ∴等腰三角形的腰只能是5，
∴等腰三角形的周长为5+5+2=12。