线性代数--总复习共57页

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《线性代数》复习重点内容-(详细版)

10. 方阵 A 是可逆矩阵 ⇐⇒ A 是非奇异矩阵 ⇐⇒ A 是满秩矩阵 ⇐⇒ |A| ̸= 0. 方阵 A 是不可逆矩阵 ⇐⇒ A 是奇异矩阵 ⇐⇒ A 是降秩矩阵 ⇐⇒ |A| = 0.
11. n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是
;
(ii) 有唯一解的充要条件是
(iii) 有无穷多个解的充要条件是
第3页
...
...
3. ak1 · · · akk
=
c11 · · · c1k b11 · · · b1n
...
...
...
...
cn1 · · · ank bn1 · · · bnn
. 【P. 7 例 5】 . 【P. 7 例 6】 . 【P. 14 例 10】
第2页
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三、16 个重要概念 1. 行列式【P. 6 定义】 2. 余子式、代数余子式【P. 16】 3. 矩阵【P. 29 定义 1】 4. 伴随矩阵【P. 41 例 9】 5. 逆矩阵【P. 43 定义 7】
6. 奇异矩阵、非奇异矩阵【P. 43】 7. 两个矩阵的等价【P. 59】 8. 矩阵的秩【P. 66】 9. 满秩矩阵、降秩矩阵【P. 66】 10. 线性相关、线性无关【P. 87 定义 4】 11. 最大无关组、向量组的秩【P. 90 定义 5、P. 91 推论】 12. 基础解系【P. 95】 13. 正交矩阵【P. 115 定义 4】 14. 特征值、特征向量【P. 117 定义 6】 15. 两个矩阵的相似【P. 121 定义 7】 16. 两个矩阵的合同【P. 129 定义 9】
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线性代数期末复习知识点资料整理总结

行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。

线性代数总复习大纲及复习题

04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题：一、概念1、行列式的定义2、向量组相关与无关的定义3、对称阵与反对称阵4、可逆矩阵5、矩阵的伴随矩阵6、基与向量的坐标7、矩阵的特征值与特征向量 8、正定矩阵 9、矩阵的迹 10、矩阵的秩 11、矩阵的合同 12、二次型与矩阵13、齐次线性方程组的基础解系二、性质与结论1、与向量组相关与无关相关的等价结论2、行列式的性质3、克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、相似矩阵的性质 9、合同变换10、矩阵正定的充要条件11、线性方程组解的性质与结构定理三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。

3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。

（对）4.行列式002002316.02342345= （对） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。

（错）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。

（对）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。

线代总复习精简版共66页文档

3 R A B m i n R A , R B
3、关于秩的重要结论：
1 矩阵的初等变换矩不阵改的变秩； 2 设 P 、 Q 分m 阶别 n 阶、是可 A 是 m 逆 n 矩
则 R A R P A R A Q R P A Q
0
0 0 ab 0
r4 r1b
0 0 0 ab
a3 b(a b )3
8
4）设行列式
Hale Waihona Puke a 1 b 1 c 1a 2
b 2
c 2
D 2 a 2 b 2 c 2 1 , 计 D 3 算 3 a 3 2 a 1 3 b 3 2 b 1 3 c 3 2 c 1
a 3 b 3 c 3
a 1
b 1
c 1
解
D3
r2 2r3
C A C C (A E )
(2) (AT)T A (3) (A B )TA TB T
(4) (kA)T kAT
(5) (A)B TBTAT
13
4、可逆矩阵的定义和等价条件
定义 A nn 中若存在方阵B, 使 A B B A E 则称A是可逆方阵,则B是A的一个逆矩阵,记为
BA1.
n 阶方阵A可逆 A0 A E
3
3、重要结论：上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积
4、特殊关系式设A,B是n阶方 ,k是阵数，则
1 kAknA, A1n A
2 A1 1 ,
A
A* An1,
A0
3 A B B A A B ,
AB
CB
4
5、展开定理
设 Aaijnn, A i是 j aij的代数 ,则余子式
15
6、求方阵A的逆矩阵的方法

线性代数-总复习

一、内容提要
❖过度矩阵设 a1,…, ar 及 b1,…, br 是向量空间 V 的两个基, 则
存在 r 阶矩阵 P, 使 (b1, ,br ) = (a1, ,ar )P
称此关系式为基变换公式. • 称矩阵 P 为从基 a1,…, ar 到基 b1,…, br 的过渡矩阵. • 过渡矩阵是可逆矩阵.
向量组 a1, ,am线性无关的充分必要条件是 R(a1, ,am ) = m
一、内容提要
❖向量组的秩设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个
数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
❖向量组的最大无关组设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, …, ar 为 A 中一个线
一、内容提要
❖行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和. 性质4 对换两行, 行列式值反号. 性质5 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零. 性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去, 行列式的值不变. • 设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有 | AB | = | A | | B | .
0 1 0
5
7 0
则 a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 的秩为3, 一个最大无关组为 a1,a2 ,a4 ,
且有 a3 = 2a1 4a2 , a5 = 3a1 5a2 7a4
一、内容提要
❖向量组的线性表示若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向
量线性表示, 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示. • 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是

线性代数总复习

2) 每个矩阵都可以通过初等行变换化成等价的阶梯形和简化阶梯形，加上初等列变换可以化成由其秩决定的唯一的标准型。
3) 向量组是矩阵的内部结构，将矩阵按行或列划分，就得到行或列向量组；合之则得到矩阵。它是矩阵的质的刻画。向量组的线性相关性由它所组成的矩阵的秩来刻画。
4) 线性方程组是矩阵的一次方程AX=b，解线性方程组的本质是将增广矩阵通过初等行变换化成简化阶梯形。
5) 矩阵的相似变换是一种特殊的初等变换，其核心问题是判断矩阵何时相似于对角形，怎样将可以对角化的矩阵化成对角阵。 6) 二次型等价于对称阵，其核心问题是将对称阵通过合同变换这种特殊的初等变换化成对角形。
矩阵作为核心内容，其发挥作用的关键在于矩阵的等价分类。
具体地说，就是将要考虑的所有矩阵通过某种方式按类进行划分，使得同一类中的矩阵具有等价关系（自反性，对称性，传递性），并且具有某些相同的性质（如秩，特征值，正惯性指数等）。然后挑出每个等价类中形式最简单的矩阵，根据最简单的矩阵的性质解决特定的矩阵问题。
2) 利用初等变换求矩阵的逆；利用初等变换求矩阵的秩；掌握初等矩阵与一般矩阵相乘的意义。
3) 判断向量组的线性相关性；能把向量表示成一组向量的线性组合。
4) 求向量组的一个极大无关组和秩。
5) 求一个向量在一组基下的坐标；求一组基到另一组基的过渡矩阵和坐标变换公式。
6) 求已知齐次线性方程组的基础解系。求已知非齐次线性方程组的通解；判断带参数的线性方程组的解的个数以及在有解时的通解。
本课程中对矩阵进行分类的方式是借助矩阵的初等变换，即给定某种形式的初等变换，矩阵 A与矩阵B在一个等价类中当且仅当A能通过给定的初等变换化成B。
本课程中给定的初等变换有三类，即两个矩阵的等价关系有三种。

《线性代数》总复习

成行最简形矩阵
1 0 1 0 4
~ A
初等行变换
0 0
0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
3 3 0
即得
a5
a3 a1 a2 , 4a1 3a2 3a4
线性方程组
是
线性方程组 b=0? Ax=b
否
线性方程组
齐次方程组
R(A)n
基础解系
初等行变换
有无非零解
行阶梯形矩阵
非齐次方程组
推论: 行列式有两行(列)相同，则此行列式
行
性质
为零。
列
性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以
式
展开式
数k，等于用数k乘以该行列式。推论: 行列式的某一行(列)所有元素的公因
计算
子可以提到行列式符号外。
应用
性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。
行列式
性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若
是
有无穷多组解
是
否有唯一解否
有效方程数少于未知数
个数？
线性方程组
•向量组的线性相关性与齐次方程组解的关系
向量组1, 2, …, n线
性相关？
是 R(A)n 有非零解否 R(A)=n 只有零解
Ax=(1, 2, …, n)x=0
R(A)＝n?
是只有零解否
否
有无穷多组非零解
是
有效方程数少于未知数
个数？
注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。
线性方程组
例5.
求 2xx11
x2 5x2
x3 x4 0 3x3 2x4 0

线性代数复习要点

线性代数复习要点第一篇：线性代数复习要点“线性代数”主要题型（以第三版的编号为准）(注意：本复习要点所涉及的题目与考试无关)一、具体内容第一章、行列式：1.1、四阶或者五阶行列式的计算。

比如第1.3节例3、例4，第四节的例3等。

1.2、n阶含字母或数字的行列式的计算。

比如第1.3节例8，第四节的例4。

1.3、一些特殊的齐次线性方程组有非零解的判断。

比如第1.5节例3。

第二章、矩阵。

2.1、矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算、行列式运算、逆运算以及它们的运算性质。

2.2、矩阵方程的求解。

比如第2.3节的例6，第2.5节的例7等等。

2.3、矩阵秩的计算。

比如第2.6节例6等等2.4、矩阵运算的简单证明题目。

比如第2.2节的例12、例13，第2.3节例8等等。

第三章、线性方程组3.1、向量的线性运算。

比如第3.2节的例1等等。

3.2、抽象的或n维向量线性相关性的证明。

比如第3.3节的例2、例3、例4等等。

3.3、极大线性无关组的求解或证明。

比如第3.4节的例2、例3等等。

3.4、向量空间的基的计算或证明。

比如第3.5节的例9等等。

3.5、线性方程的解的数量与结构的讨论。

比如第3.1节的例4，第3.6节的例1等等。

第四章、矩阵的特征值4.1、矩阵特征值、特征向量的计算。

4.2、矩阵特征值的性质及简单应用。

比如第4.2节例6等等。

4.3、矩阵相似对角化的判断。

比如第4.3节的例4等等。

4.4、实对称矩阵的相似对角化。

比如第4.4节的例1、例2等等。

第五章、二次型5.1、用正交相似变换化二次型为标准型。

比如第5.2节的例5等等。

5.2、正定矩阵的判别。

比如第5.3的例4等等。

二、专业要求1、非经管类专业的同学，最好掌握上述所有的内容。

2、经管类专业的同学的要求，相对要低一些：若是计算题目，计算量减少；若是证明题，证明难度降低；一般只有一道题目里面的参数需要讨论。

比如“1.1”里面最多要求计算四阶行列式，“3.2”里面只要求n维向量线性相关性的证明，“5.2”不要等等。

《线性代数(理)》综合复习资料.doc

《线性代数（理）》综合复习资料填空题a x 1入 C]2冏 b 、 c x +勺1、已知行列式 a 2 b 2 c 2=4,则 2a 2 b 2 c 2 + b 2a 3b 3c 32a 3 伙 c 3 + h 3（1 1、2、2阶方阵力=的逆矩阵为A"二 ______________匕3丿4、行列式D =<0>々）、0 ,&2 = 20 ,则Q =1 9<o >1用线性表示的表达式 5=2,/表示B 的转置，贝卜Q 2 6、已知4= 0 3 J °0、2 ,齐次方程组Ar = 0有非零解，贝畀=a tb 、c }4舛 2$ - q C]7、若 a 2 b 2 c 2—1 ,则 4a 22b 2 一 c 2 c 2a3 ”3 C34曲 2b 3 — c 3 C3兀-10 x 行列式0 0a b0 -1 Xc的第4行第3列元素C 的代数余子式-1439、若徐冬是线性方程组Ax = b的两个解，则A（5+$2）= ______________alb\q2a {2b { 2q 10、设 a 2 b 2C2=a ,则 2a 22b 2 2c 2a3 /?32禺 2优 2C 3二.选择题<1 1 1 )/ 、 (1 >1、要使非齐次方程组 0 11 兀2 — 1 有无穷多个解，必须<0 0<7-2, /丿3一3丿A. a = 2, b = 3B. a = 2, b 主3C. a H 2, b = 3D. d H 2，b 壬 32、假设人B 皆为〃阶可逆方阵，则卜•列式子不成立的是 ______ A. （AB ）'1=8 ^~]B. （仙尸=川矿】 c. \AB \ = \A \\B D. \AB\^O3、设4阶方阵A 的秩为3,则下列说法正确的是 _________ A. A 的所有3阶子式都为零 B. A 的所有3阶子式都不为零 c. |A |HO% 11、设 a 2a. b 、 b 22a1 1 1<1 0 -n / 、12、齐次方程组0 1i 兀2<o 0 o 丿0 的通解（即所有解）可表示*b2$a3为 _________________D・|A|= O,但至少有一个3阶子式不为零4、设A为“阶可逆方阵，则A的秩厂必定满足_________ ；A.r = nB.r = n-lC.r <nD.r <n-\5、设为农阶方阵，则下列等式成立的是______________ ；A.AB — BAB.\A + B\=\A\+\B\C.若AB = 0则A = 0或B = 0D.若\AB\ = 0则|A| = 0或0| = 06、设3维向量ma j9a2,a3线性相关，则下列说法不正确的是______________A.其中的任意两个向量都线性相关B.对于任意一个3维向量0,向量组0,少,42，^3必线性相关C.6^,03小必有一个向量可以用其余两个线性表示D.存在不全为零的你込,心，使得k{a{ + k2a2 + k3a3 = 07、设A,B为同阶方阵，则必有_______ :A.\A + B\=\A\+\BB.AB = BAC.\AB\=\A\\BD.(A + B)-1 = A_1+5_,8、若A为”阶方阵，且同乂0,贝ij非齐次方程组Ax = b的解的情况为—A.无解B.不能断定冇解C.有唯一解D.有无穷多个解r l 1 1 r9、矩阵 2 2 2 2 的秩为<3 3 3 3/A. 1B. 2C. 3D. 41()、设A为加x n阶矩阵，则线性方程组Ax = b有解的充分必要条件为 _______ ；A.7?(A) = mB./?(A) = nC.R(A,b) = mD.R(A,b) = R(A)这里R(A), R(A,b)分别表示矩阵A,增广矩阵(A,b)的秩11、___________________________________________________________ 设4是斤阶可逆矩阵，4*是伴随矩阵，则下列等式成立的是_____________________ ；A.\A\ = A*B.|矿c. |A|H=A*D. WW12、设A是斤阶方阵，则它的〃个列向量匕，也,・・・,色线性无关的充分必要条件为_______ :A.列向量组中任何一个向量都不能由其余的兀一1个向量线性表示B.a v a2,...,a n均不为零向量C.列向量组中任何两个向量的对应分量不成比例D.|A| = 0三、计算题2 4 11 4 3-11 1、计算行列式D =0 02 40 013<1 1 P3、已知A = 1 2 1<1 1 3丿<-4 -1() ()、了-2、 2>已知A =1 30 '*51 --1'§2 - 1<36 1；k _3><0>（1）求码,街2<r©了3、已知向最组© =-i ,也=30 ,&4 =-i/丿<0>（1）求向量组的秩;（2）给出分别与爲,§2对应的特征值人,人;求矩阵X ,使得4（E + X ） = E ；4、3 3 3 02 2 0 2 5、计算行列式D = 10 110 111‘1 -1 7、已知4= 2 -1<-3 4‘1〕〔1)8、已知向量组Q]= 1 ,也=-1 心=3 ,夠=-1 ,（1）求向量组的秩;（2）求向量组的一个授大无关组; -1 -1 -1 -11 -1 -1 1-1)-3 ,求-1 -1< 1 -1 —1 16、已知A = 求屮;2 10 00 2 10 9、计算行列式0=“0 0 2 1 10 0/1<1 2、'a b'10、己知矩阵A =与3 =可交换，即AB = BA,求a, b ；L 1 -1; 3 2；\1 -n11、已知A = 0 1 1,且满足 A~ + AX — E = 0 ,<0 （）—i丿(1)求A -1；(2) 求矩阵X ；<1 -1 1 -1、12、已知矩阵人= 1 2 3 1<3 3 7 1 )7（1）求A 的秩;(2) 求A 的列向最组的一个最人无关组;1 0 0— 0 2 013、已知£)=0 0 3 1 2 3求其第4行元素的代数余了式Z 和，即求A 41 + A 42 + A43 + A44 ；<01 0、14、已知人= -11 ,求从屮+2A ：<0 -1 0><0 1 2、15、已知A = 1 1 4 , 求4二<2 -1°丿‘1 -13 1 -32 16、已知矩阵人=-1 0 -1 4-2、 -61()21 5 -1《线性代数(理)》综合复习资料参考答案填空题1、8(3 —1)2、1-2 14、-245、486、——37、88、X29、2b10> Sa11、-2a212、Jt(l,-l,l)r选择题题目 1 ? 3 4 5 6 答案 A B D A D A 题目7 8 9 1() 11 12 答案 C C A D B A 三、计算题2 44 3 1、计算行列式D =0 00 01-12111431 12 4 4 13 -解:D =0 0 20 0 1 1 2 41 0 -54 ~ 0 03 0 01-3211-5-3 -12 4 =-201 3一0、解：（1）対=23丿'-2、<-4 -10 ()、<5> 了-2、2、己知人= 1 3 0 -1 '§2 - 1<3 6 1丿<_3> <0>（1）求码,街2（2）给出分别与§2对应的特征值人,人；(1 1 3、已知A= 1 2J 1 1)1 ,求矩阵X ,使得A(E + X) = E；3;/解：X =A~[-E⑵码=—2鼻% 1(A£) =(11所以 X =A^]-E5 2 -1 ~2 '3 2 :-1-1-1 7~2 0 1 2)_n ~2_丄~2>< 1、（0）r 、已知向量组© =-1= 3 s =,&4 =-i/丿<0>0 ~2a0 31、<1 0 3 1 ) 解：3 0 -1 T0 3 3 0<42 14 0丿<0 2 2 一4丿‘1 0 3 1、 t 01 1 0 ()00 —2,\7所以，（1）向量纟R 的秩为3（2） a ly a 2,a 4 （或）为其一个最大无关组 3 3 3 02 2 0 2 5、计算行列式D = 10 11 0 111解：对行列式进行初等变换，然后展开化为3阶行列式所以，A 10=(A 2)5=210E(1 -1 -1]7 > 已知A= 2 —1 -3曰44丿3 3 2 2 D = 1 00 11 0110 2 -2 00 3 0 -30 1 113 0 1 12 =-3 1 -2 0 0 -3 =-181 16、 -1 -1-1 -1 -1-1 1 -1 -1 1< 1 -1—1 1已知A =求屮;<1-1 解：A 2=-1 1 _1-1<-1-1-1 _1)-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1-1-1 1丿 —-1-1 -1 1 -1—1、-1 -10、 0 =4E求川;< 1 -1 -1 1 0 0><1 -1 -1 1 0 ()) 解:(A,E) =2 -1 -3 0 1 00 1 -1 -2 1 0<-344 0 0 1丿<0 113 00 1i_ 丄2 2 j_ 1 ~2 Lp 0所以丄11 2(5 _1丁<1><08、已知向量组e = 1 ,&2 =-1 S =3 ,也= -1 ,丄<1；.-1 \ 7(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示;仃 1 1 1、< 1 0 2 0>继续初等行变换得1-13-1—>0 1-1()J 1 1 T 丿J) 00 1丿由此，= 2a x - a 22 01 2 0 1 0 09、计算行列式D =•0 0 A 1<1 1 1 1、q1 1 1 ) 解： 1 -13 -10 -2 2 -2J 11 -1<0 0 0 -2/所以，向量组的秩为3a^a 2.a 4为其一个最大无关组2、 11 0 0 2解：利用性质进行行变换后再展开，化为3阶行列式(a + 6 b + 4、解：AB =— 3 b _ 2丿(a + b 2a-b\ BA =54比较，得a-3 = 5./?-2 = 4,所以Q=&b = 611、已知A -1]1 , FL满足+ AX — E = O , (1)求A 1；-I求矩解：(1) (A,E) =<1 0 <0 -1-1—2、所以，A-1r l<0‘0T丿-2-roo>2 10 A D =0 01 0 0 0 01 0 _ 0A 1 - 00 A 110 -才2 1 00 2 10 0 210 -才2 1 0 =A4-1 0 2 1(\ 1()、已知矩阵4 =11 b\可交换，即AB = BA f求Q, b 2丿p -1 1 -1] 12、已知矩阵A = 12 3 1、3 3 7 1 丿<1 一1 1 -1、<1 -1 1 -1]解：A：二 1 2 3 1 T 0 3 2 23 7 1 <0 64 4丿7 \7<1 —--1 1 -1、T 0 3 2 2<o 0 0 0丿(1)求A的秩; (2)求A的列向量组的一个授大无关组;所以，A的秩为2A的任意两列都是列向量组的一个最大无关组10 0-10 2 0 013、已知/)=0 0 3 -112 3 4求其第4行元素的代数余子式之和, 即求A4I + A42 + A43 + A44；1 0 02 解：A41 + A42 + A43 + = 0 -1 0 0 3 -1 1 11 11 0 按第2行展开= 20 31 1 -1 -1 1<0 1 014、已知A = -1 0 1<0 -1 0 求A?, A’ +24 ；=14了0 1 0、厂0 1 0、<-l 0 解：A2 =-1 0 1 -1 0 1 =0 -2 0 <o -1 0> -1 0丿<1 0 -b15、已知A -1 (3 (1)求A 的秩；(2)求A 的列向量组的一个最大无关组; <1 -1 3 -2、 <1 -1 3 -2、1 -32 -6 0 -2 -1 -4解：A = 1 5 -I 10 0 6 -4 12<3 1 4 2丿<0 4 -5 8丿 ’ 0 1 ()、(-1 0 1 、 ‘0-2 0、川= -1 0 10-2 0 = 2 0-2<0 -1 」 o i 丿<0 2 0 , -2A 所以 A 3+2A = O O'所以,A"1 12><1—2、已知矩阵4=10 解:(A,E)=-1-1-1-1-212>‘1-1 3 0-2 -1 T 00 1 、0 0 0 所以，（1） A 的秩为3 （2）第1,2,3列（或第1,3,4列）为列向量组的一个最大无关组 -2、 -4 0。

线性代数总复习讲义PPT课件

在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使用数值计算方法来计算其特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中，特别是在求解二次规划问题时。通过将问题转化为二次型的形式，可以方便地应用各种优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。此外，二次型在统计分析、机器学习等领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密切相关。

线性代数总复习

6/12/4.2
齐次线性方程组： Am´n Xn´1 = 0m´1 的解集N(A)构成解向量空间; N(A)的基称为齐次线性方程组的基础解系.
r( A) + dim N ( A) = n,
"h Î N ( A), h = k1x1 + k2x2 + L + ksxs .
非齐次线性方程组： A X m´n n´1 = bm´1 的解集不构成向量空间; AX=b的通解 = 齐次通解 + 非齐次特解, 即
=
b3 . (b3,b3)
4/10/4.3
几何理论第三大块：线性方程组的解空间
方程组AX=0的解集N(A)构成解向量空间; N(A)的基称为基础解系；
dim N ( A) = n - r( A). 若r(A)=n, 则dimN(A)=0, 原方程组有唯一零解；若r(A)<n, 则dimN(A)>0, 原方程组解空间至少是一维的，此时有无穷多解.
M j1 j2Ljn
an1 an2 L ann
行列式的性质：（辅导P2） 1.行列式等于0；（4点） 2.行列式的值不变；（4点） 3.行列式的值改变；（2点） 4.特殊行列式的值。（5种）
Cramer法则：（辅导P3）
D
=
ì ï
a11
,
íai1 Ai1
n=1 + ai 2 Ai 2
+L +
ain
Ain ,
7/10/4.3
对于非齐次线性方程组AX=b：通解 = 齐次通解 + 非齐次特解.
如果AX=b有特解h ，导出方程组AX=0的通解为x, 则AX=b的通解 X = x + h .

线性代数概念复习

线性代数复习一. 行列式1. 全排列1)由n 个自然数1,2,,n 组成的有序数组12,,,n i i i 成为一个n 级全排列，简称排列。

2）一个对排列中某两数互换位置，其余的数保持位置不变，得到一个新的排列的变换成为一个对换。

3）逆序数：在一个排列中，12,,,n i i i 对某一个指定的()1s i s n ≤≤，若t s i i >，且t i 在s i 的前面（不一定相邻），即这两个元素的前后位置与大小顺序正好相反，则称s i 与t i 构成一个逆序。

一个排列12,,,n i i i 中逆序的总数成为这个排列的逆序数，记为()12,,,n i i i τ 。

4) 逆序数为偶的排列称为偶排列，逆序数为奇的排列称为奇排列。

5）任何一个排列进行一次对换，排列的奇偶性改变。

6）n 个自然数1,2,,n 共组成!n 个n 级排列，其中奇偶排列各为!2n 个。

2 行列式1）行列式定义2n 个数ij a ()()121212111,,12,,11n n nnj j j j j nj j j j n nna a A a a a a a τ ==-∑其中12,,,n j j j 是一个n 级排列，12,nj j j ∑表示对所有的n 级排列求和。

2）余子式和代数余子式（见书） 3）行列式按行（列）展开（见书） 4）行列式的性质（见书） 5) 行列式计算（常用的结论） i) 上（下）三角形行列式1112111222212211221200000n n nn nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a==ii)()()1111111212121221211110001000n n n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a-----==-iii)A ，B 同阶方阵，AB A B =iv) ()12111112111n n ijj i nn n n nx x x V x x xxx≤<≤---==-∏（Vandenmonde 行列式）v ）设n n A R ⨯∈，m m B R ⨯∈0A C A B B =，0m n R ⨯∈，n m C R ⨯∈0A A B C B =，0n m R ⨯∈，m n C R ⨯∈()10m nC A A B B ⨯=-，0m n R ⨯∈，n m C R ⨯∈()1m nAA B B C⨯=-，0n m R ⨯∈，m n C R ⨯∈6）克拉默（Cramer ）法则（见书）二、矩阵 1. 矩阵()1111n m nij m nm mn a a A a a a ⨯⨯⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭m n ⨯个元素排列成的数表。

线性代数总复习

性质1
例5---相似矩阵设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3, 求 (1)A的特征值; (2) 解 (1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值
分别为 (2) 因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的特征值分别为所以6B-E的特征值为
3---特征向量的性质 1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。
1、定义由m×n个数
排成的m行n列数表
(i=1,2, …,m ; j=1,2, …,n)
称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵，
矩阵的秩（续） 3、关于秩的重要结论：
例题2 ---(矩阵3)
解
例题3---(逆阵2)
解
2）
例题3---(逆阵3) 3、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，
6---例8（1）---几个证明1 1、设A～B,证明: A2～B2; tA－E～tB-E, t是实数
2. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的特征向量, 证明：1， 2必线性无关；
3. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的特征向量, 证明：1 2 必不是 A的特征向量
3）正交向量组必是线性无关组。
4---n阶方阵A可对角化的条件、方法 1、一个充分必要条件： n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2、两个充分条件： 1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化 2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。
3、对角化方法：
4、正交对角化
5---例6---对角化分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q，将矩阵A对角化。解 1）
向量4---例题4

线性代数复习总结(重点精心整理)

线性代数复习总结大全第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

《线性代数总复习》课件

数据处理
线性代数为数据的表示、变换和分析提供了数学基础。
图像处理
矩阵运算和线性变换可以用来处理图像，比如旋转、缩放和滤波。
机器学习
线性代数为机器学习算法提供了数学基础，例如基于向量空间的特征表示和降维技术。
线性代数基础知识回顾
线性代数基础知识包括向量、矩阵、行列式和线性方程组等概念。 • 向量：表示大小和方向的量，可以进行加减和数乘运算。 • 矩阵：由数字排列成的矩形阵列，可以进行加法和数乘运算。 • 行列式：对方阵进行特定运算得到的一个标量值。 • 线性方程组：一组线性方程的集合，其中未知数的最高次数为一。
矩阵和向量的基本运算
矩阵和向量的基本运算包括加法、数乘、矩阵乘法和向量点积。
矩阵加法
将两个矩阵的对应元素相加。
数乘
将矩阵的每个元素乘以一个常数。
矩阵乘法
根据特定规则，将两个矩阵相乘得到新的矩阵。
向量点积
将两个向量对应元素相乘再相加得到一个标量。
线性方程组的解法
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆和克拉默法则。
2 特征向量
特征向量是满足方程Av=λv的非零向量v。
线性变换和线性空间
线性变换和线性空间是线性代数中的核心概念。线性变换线性空间
线性变换保持向量加法和数乘运算，它可以用矩阵表示。
线性空间是一组满足一定条件的向量的集合，包括零向量和加法逆元。
最小二乘法和线性回归
最小二乘法和线性回归是线性代数在数据拟合和回归分析中的重要应用。
线性代数总复习
线性代数是数学中非常重要且广泛应用的一个分支，它涉及矩阵、向量、线性方程组等概念，本课程将全面回顾和总结线性代数的核心知识。
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