大学微积分期中试卷

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经济数学微积分课程期中模拟考试卷及答案

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《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号一二三四五六总分得分一、单选题(每小题2分，共计10分)1.1=x 是函数xx f -=11arctan)(的（ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.2.若1)0(='f ，则=--→hh f f h 3)()0(lim0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 31-.3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2;1,1|1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）A . 不连续.B . 连续，但不可导.C . 可导，但导函数不连续.D . 可导，且导函数连续.4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dxdy（ C ） A . xy ln -. B . 2y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）A . 是极大值.B .是极小值.C . 是拐点的纵坐标.D .可能是极值也可能不是极值.得分二、填空题(每小题2分，共计10分)1. =+∞→)sin 1sin(lim xx x x x 1 .2. 设xx f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim0 2ln 2 . 3. 设xx f 211)(-=，则=)1()10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2x y =上的点的横坐标=x 361- . 5. 函数x y cos =在23,2[ππ上符合罗尔定理结论中的=ξ π .三、计算题(每小题9分，共计54分)1. ])12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .解: )12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n211211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .得分得分2. 已知213)tan )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.解:由于3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 13)tan )(1ln(lim220000x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+=,所以3ln 2)(lim2=→x x f x 。

微积分(秋冬)期中自测题参考答案

微积分（秋冬）期中自测题参考答案一、填空：1． 2ε ； 2. 3=n ； 3. )2,(-∞； 4. 2=a ，2)12(2-=b ； 5. 1个； 6． 2+=x y ； 7. 3-； 8. 4-=a ，2=b ； 9. 2)!1(+n n 。

二、计算与证明：1．解：。

1)(lim )()121()1(lim)())(!4!2))((1(2lim )1ln()cos 1(2lim 3330322220224420220-=-+=-+--+=--+-++=---→→→→x x o x x x o x xx x x x x x o x x x o x x x x x e x x x x x2．解：x xx x xxx e x e ecot arc 1ln cot arc lim 1lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，而， 1111lim ln )1ln(lim 1arctan 1ln lim cot arc 1ln lim =--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→+∞→+∞→x e e x x e x x e x x e xx x x x x x x x故e xx x x e =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→cot arc 1lim 。

3．解：()()()()()()[]()()(),cot ln 3)csc (cot 1cot cot ln cot ln cot cot ln cot 23232313233133cot ln cot ln 1333dx x x x x x xx x dx x x xd x xx d d xd xxxx xx xee -⋅-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡[],1)(arcsin 1)()(arcsin )(arcsin )(arcsin )(arcsin 22dx eee f e e d e f e d e f e f d xx x xx xx x x -'=-'='=以及 0)(=e d π。

微积分(II)期中考试试题(A卷)

1．设()=+z f ax by ，其中f 可微，则( )．（A ）∂∂=∂∂z z x y （B ）∂∂=-∂∂z z x y （C ）∂∂=∂∂z z a b x y （D ）∂∂=∂∂z z b a x y2．定积分⎰--1 12d 1x x 的值是（）．（A ）4π （B ）2π（C ）1 （D ）π 3．函数()33ln y x z +=在）（1,1处的全微分=z d （）．（A ）y x d d + （B ）()y x d d 2+（C ）()y x d d 23+ （D ）()y x d d 3+ 4．下列方程是微分方程的是（）．（A ）x y x y y d )(d ln -=（B ）02tan 3sin =+x x y（C ）0232=+-y y （D ）533-+=x x y5．下列广义积分发散的是（）．（A ）⎰∞+ 1d xx x （B ）⎰∞+ 12d x x（C ）⎰∞+ 1 2d xx x （D ） 1d x x +∞⎰ 6．设222)ln(yx xx y z --+-=的定义域D 的图形是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）7．（答题区域：1-10行内）求32e x y x z y+=，求 x z∂∂，yz ∂∂， y x z ∂∂∂2．8．（答题区域：11-20行内）设()y x f z xy cos ,e =，其中f 有一阶连续偏导数，求x z ∂∂，yz∂∂．9．（答题区域：21-30行内）设v u z =，y x u 2+=，y x v -=，求xz∂∂，y z ∂∂．三、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）10．求极限21cos 0d e lim2x t xt x ⎰→． 11．求定积分 e2 1ln d x x x ⎰．12.（答题区域：51-60行内）求定积分 8⎰．添加1． 220|1|d -⎰x x 添加2 设2 0()12 0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩,,，求2(1)d f x x -⎰．四、解答下列各题（本大题共3个小题，第13小题6分，14、15小题各8分，共22分）13．（答题区域：61-75行内）求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解．14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解．15. （答题区域：91-105行内）若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x=++⎰，求 1()d f x x ⎰及)(x f ．五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．（答题区域：106-120行内）设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．（答题区域：121-135行内）设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f bab ad )(d )(⎰⎰-+=．参考答案一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6． D二、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）7． 23e 2x xy xz y +=∂∂，)e e (2y y y x y z +=∂∂ y y y y x y x y x z e )1(20)e e (22+=++=∂∂∂ ． 8．)(cos e 21y f y f xzxy ⋅'+'=∂∂=21cos e f y f y xy '+'，)sin (e 21y x f x f yzxy -'+'=∂∂21sin e f y x f x xy '-'= ． ……7分 9．u u vu x zv v ln 1+=∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-)2ln(2)2()(y x y x y x y x y x ， ……3分)1(ln 21-⋅+⋅=∂∂-u u vu y zv v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=-)2ln(2)(2)2()(y x y x y x y x y x ． ……7分 10．xx x t x x xt x 2)sin (e lim d e lim22cos 021 cos 0-⋅-=→→⎰ 2e lim2cos0xx →= 2e=． 11． e 2 1ln d x x x ⎰=)31(d ln 3e 1 x x ⎰⎰-=e 1 23d 311e ln 31x x x x ……4分1e 911e ln 3133x x x -= 913e 23+=． 12.令3t x =，t t x d 3d 2=，2080t x ，8⎰=t tt d 132 0 2⎰+ ……4分 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-202)1ln(23t t t ……6分 =3ln 3． ……7分四、解答下列各题13．微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解. 解：分离变量，得x xy y d 11d 11-=+， ……2分两边积分，得C x y ln )1ln()1ln(+--=+，方程的通解为 C y x =+-)1)(1(． ……6分 14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解. 解：12)(+-=x x p ，3)1()(+=x x q . ……2分方程通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+⎰=⎰+-+--C x x y x x x x d e )1(ed 123d 12 ……3分 []⎰+++=C x x x d )1()1(2 ……5分])1(21[)1(22C x x +++=. ……6分将1|0==x y 代入通解中，得21=C ， ……7分所求特解为：]1)1[()1(2122+++=x x y ． ……8分15. 若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x =++⎰，求 1 0()d f x x ⎰及)(x f ．解：设A= 10()d f x x ⎰，则方程化为 2211)(Ax xx f ++=, ……2分对上式在[0，1]上积分，有01)3(arctan 3Ax x A += ,得 8π3=A ，所以， 228π311)(x xx f ++=． ……8分五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．解：（1）面积⎰--=112d )1(x x A ……2分11)31(3--=x x ……4分=34. ……6分（2）体积x x V d )1(π114⎰--= ……3分11)51(π5--=x x ……5分=5π8. ……7分六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f baad )(d )(b ⎰⎰-+=.证明：设x b a t -+=, ……1分右⎰-=ab t t f )d )(( ……4分⎰=bat t f d )(=左． ……5分。

川大数三微积分半期试卷

an 0 n (1 a )(1 a 2 ) (1 a n )
（10 分）
x 2t t 2 y 3t t
3
，求
d2 y dx 2
五．已知（14 分）
1 2 x sin ax b f ( x) x 1
且 f ' (0) 1 ，求 a , b 。
六．求过原点且与 y ln x 相切的直线方程。（12 分）七．长为 5 m 的线段 AB 的两端分别在 x 轴和 y 轴滑动，A 端的速度为 2m / s ，当 A 端离原点的距离为 OA 3m 时，求 B 端的运动速度。（12 分）八．证明： a 0 时， lim
ln(1 x 2 ) e
3
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
3 2 1 1 （4）x 3 sin （5） 1 x 3
x
1 x
x2 1 的间断点并指明间断类型。（12 x2 3 x 2
分）
三．求 y x 四．已知
1 x 1 x
的导数
dy dx
并指出不可导点。（14 分）
x0 x0
（14 分）
四川大学期中考试试卷
（2015—2016 年第一学期）科目：微积分（III）-1 课程号：201076030 考试时间：90 分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记 0 分。
一．
x 0 时，请将下列无穷小量按低阶到高阶的顺序排列（用
序号排列）（12 分）（1）x x 3（2）sin 3 x2 x2（3）二．求 y

微积分I(第一层次)期中试题参考答案

……………………
1 n 1 n 1
1 1 1 把上述不等式相加，得 1 2 3 n ln n 1 2 1 而 an 1 1 2 3 1 n 1
ln n 1 n 0 ，所以 {an } 下方有界. 故 lim an 存在.
n
1 1 e
x x 1
，试确定 f ( x ) 的间断点及其类型.
解： x 0, x 1 为间断点. 因为 f (1 ) 0, f (1 ) 1 ，所以 1 为跳跃间断点.

又因为 f (0 ) , f (0 ) ，所以 0 为无穷型间断点.
1 1 八、（8 分）（1）对任意正整数 n ，证明： n1 1 ln(1 n ) n ; 1 1 （2）令 an 1 1 2 3 n ln n ，证明： lim an 存在. n
当 0 | x 2 | ，有
n 4
2. 求极限： lim n 4 .
n
解： 4
n
lim 4 =4. 所以由夹逼定理，得原式= 4 . n 4 4 n 4 n 2 ( n 5). 而 lim 4 n 2 =4 ，
n n 2/ x x 0
3. 求极限： lim(1 2 x) 解：原式= exp(lim
f (0) lim
a (sin x x cos x) sin x a lim ( cos x ) 2a. x 0 x 0 x x
由题意，当 a 2 时， f (0) f (0), 所以 f (0) 4. 七、（8 分）设 f ( x )

1
x

1
I lim

厦门大学《微积分 I-1》课程期中试卷参考答案

一、计算下列极限：（每小题6分，共24分）1. 3113lim ()11x x x →--++；解：23311132lim ()lim 111x x x x x x x →-→----=+++212lim1x x x x →--=-+ 21211(1)(1)--==---+- 或者23311132lim ()lim 111x x x x x x x →-→----=+++ 2121lim 3x x x →--=22(1)113(1)⋅--==-⋅-2. sin()12lim()x x x xππ→-；解：12lnlimsin()sin 12lim()x x x x xx x exππππ→-→-=112(1)2(1)ln[1]limlimsin (1)(1)x x x x xx x x eeππππ→→--+⋅--== 2e =或者(1)sin()2(1)sin (1)1122(1)lim()lim[1]x x x x x x x x x x x x ππππ-⋅⋅--→→--=+ 2e = 3. tan 241sin 1x xx x x x→+-+；解：tan tan 24240(1)(1sin 1)1sin 1x xx x x x x e e x x x x x x-→→-+++=+-+ 243000tan lim lim(1sin 1limxx x x x xe x x x x →→→-=⋅+++⋅220sec 12lim 3x x x →-=⋅ 220tan 22lim33x x x →=⋅=厦门大学《微积分I-1》课程期中试卷参考答案＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业试卷类型：（理工类A 卷）考试时间：2019.11.164.求数列的极限n →∞。

解：注意到33≤≤1n =，由夹逼准则，可得3n →∞=。

二、求下列函数的导数：（本题16分,第一小题9分，第二小题7分） 1.求函数1ln(arctan 1xy x x-=++++的一阶导数；解：22212(11(1)1()1y x x x-'=+⋅++⋅-+++211x =-+-+211x =-+ 2.求函数y =2x =处的微分2d |x y =。

厦门大学《微积分 I-1》课程期中试卷

1， 2
1
g(1)
f (g(1)) (g(1))2

f (0) (g(1))2
3 4
3。
f (g(1))
f (0)
28
九、（本题共 10 分，第一小题 4 分，第二小题 6 分）
设函数 f (x) 在[0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导，且有 f (0)=0 ， f (1) f (2)=2 ， f (3)=4 。证明:
知 f (0)=1， f (0)=2 ， f (0)=3，求 g(x) 在 x 1处的一阶导数和二阶导数。
解：注意到 f (g(x)) x ,两边对 x 求导，得
f (g(x)) g(x) 1 ○1
上式两边再对 x 求导，可得
4
f (g(x)) (g(x))2 f (g(x)) g(x) 0
x t sin t
五、（本题
10
分）计算由摆线的参数方程

y
1
cos t
(0 t 2 ) 所确定的函数 y y(x) 的
一阶导数和二阶导数。
解：
dy dy dt = sin t dx dx 1 cos t
dt
d2 y d ( sin t ) dt cos t (1 cos t) sin t sin t 1 1
x0
x0
lim[b(1 sin x) a 2] lim (eax 1) 0 ，得 a b 2 0 。
x0
x0
因为 f (x) 在 x 0 上可导,所以 lim f (x) f (0) lim f (x) f (0) ，即有
x 0

微积分A(2)期中样卷答案

并考察 f ( x, y ) 在 (0,0) 的连续性和可微性.
解:
f x (0,0) = lim
Δx →0
(Δx) 3 f (0 + Δx,0) − f (0,0) = lim = 1 , ………………………2 分 Δx → 0 ( Δx ) 3 Δx
f (0, 0 + Δy ) − f (0, 0) ( Δy ) 3 = lim − = −1 . ……………………2 分 Δy → 0 ( Δy ) 3 Δy
y cos( xy )esin( xy ) dy + 2esin(2 x ) − esin x
∫
x
二．计算题（每题 10 分，共 40 分）
⎧ x3 − y3 , ⎪ 2 2 1. 求函数 f ( x , y ) = ⎨ x + y ⎪0, ⎩
x2 + y2 ≠ 0 x +y =0
2 2
在原点的偏导数 f x (0,0) 与 f y (0,0) ,
∫
1
0
x p −1 (1 − x r ) q −1 dx 可以表示为
。
2
答案：
∫x
0
1
p −1
(1 − x r ) q −1 dx =
1 p B( , q), p > 0, q > 0, r > 0; r r
。
2 2
15. 设 F ( x) = 答案： F ′( x ) =
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x x 2x
esin( xy ) dy ，则 F ′( x) =
6
微积分（2）期中考题答案
一．填空题（每空 3 分，共 15 空）（请将答案直接填写在横线上！）

微积分期中考试试题答案

一,求下列极限: （20分） 1, dtte dt e x t x t x ⎰⎰→0220022)(lim 2, 求极限：dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim ，其中)(x f 连续二，求定积分（30分）1．21⎰ 2．0x xdx e e +∞-+⎰ 3．⎰+20cos sin cos πdx xx x 4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x 三，求由方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0所确定的函数y=y(x)的微分dy 。

（10分）四，求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

（10分）五，（30分）1）设()f x 在[0,2]a 上连续，证明200()[()(2)]a af x dx f x f a x dx =+-⎰⎰ 2）若f(x)在[0,1]上连续，证明⎰π0)(sin dx x xf =πdx x f ⎰20)(cos π3）计算20sin 1cos x x dx xπ+⎰1． ()dxte dt e x t x t x ⎰⎰→0220202lim 2220202lim x x x t x xe e dt e ⋅=⎰→20202lim x x t x xe dt e ⎰→= 2222022lim x x xx ex e e +=→2212lim 20=+=→x x 2．dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim)(1)()(lim a af dt t f x xf x a a x =+=⎰→二．1。

210⎰tdt t t t x cos 2cos 2sin 4sin 602⎰=π ⎰=602sin 4πtdt ⎰-=60)2cos 1(2πdt t 602sin 3ππt -=233-=π 2．0x x dx e e +∞-+⎰=dx e e x x 120+=⎰∞+1)(20+=⎰∞+x x e de 0)arctan(∞+=x e 42ππ-=4π= 3．⎰+20cos sin cos πdx x x x ⎰+++-=2cos sin )cos (sin )sin (cos 21πdx x x x x x x ⎰++=20cos sin )cos (sin 21πx x x x d dx ⎰+20121π 4cos sin ln 2120ππ++=x x 4π=4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x ⎰-+222cos 1ππdx x x +⎰-+222cos 1cos ππdx x x ⎰+=202cos 1sin 2πxx d ⎰-=202sin 2sin 2πx x d x d xx sin )sin 21sin 21(2120-++=⎰π 20sin 2sin 2ln 21πxx -+= 1212ln 21-+=)12ln(2+= 三，解：对原方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0两边求微分，得0)(1)2()2(22=+++xy d dx x x d x 有01822=++++xdy ydx dx x dx x 所以所求微分dx xy x x dy +++-=2218四．求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

大一上学期微积分期中试卷

大一上学期微积分期中试卷微积分期中试卷班级姓名1,cossinxx1设在区间(fxgx,,0，)内( )。

.()2,()()22,是增函数，是减函数fxgx()()fxgx是减函数，是增函数B()()C二者都是增函数二者都是减函数D2x20cossin、x,,时，与相比是( )exx,高阶无穷小,低阶无穷小,等价无穷小,同阶但不等价无价小1x,、,=,是函数,=(,-sinx)的( ),连续点,可去间断点,跳跃间断点,无穷型间断点,、下列数列有极限并且极限为,的选项为( ),1nnA X(1) B Xsin,,,,nnn211 Xcos,C X(1) ,,aDnnnna11d( =dx、)x1，122,0、求过点()的一条直线，使它与曲线y=相切。

这条直线方程为:x2432lnyx、求隐函数y，,的二阶导数:2xaxb，，lim2,,ab4、若则的值分别为:,21x,23xx，,nnn,,ab，lim5、,,,,,x,,2,,5、若在处取得最大值，则必有()f"() xx0A f'(x)0B f'(x)0,小于00C f'(x)0"(x)0D f"(xf'x,且小于f)不存在或()=00000一、填空题二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小( )sinx2、在区间(，)是连续函数(),,，,limx,0x3、 f"(x)=0一定为f(x)的拐点()04、若f(X)在处取得极值，则必有f(x)在处连续不可导( ) xx000,15、设函数,(x)在上二阶可导且,,fxffCff'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( ),,,,,令()，则必有三、计算题122x1用洛必达法则求极限limxe ,x02xtt,,，ln(1),dy2 已知求,,232dxytt,，,42x求极限lim(cos)x3 ,x05x,13求的导数yx,,(31)4 x,23tanxdx5 ,求xxdxarctan6 ,237 将多项式P(x)=1+3x+5x-2x表示成(的正整数指数幂的多项式。

2002-2003学年第一学期微积分Ⅰ期中考试试卷答案

冯国臣大学数学资料——微积分2003-2004 学年第一学期微积分期中考试试卷答案一.计算题(本题满分 30 分,共有 5 道小题,每道小题 6 分) .x 2 1 . 设 f (x ) = xx<0 x≥0, g (x ) = 2 x 2 + xx≤0 . ⑴ 求 g ( f ( x )) 的表达式 . ⑵ 判断 x>0F (x ) = g ( f ( x )) 在点 x = 0 处是否可导.解: ⑴ g ( f ( x )) = 2 f ( x ) 2 + f ( x )f (x ) ≤ 0 f (x ) > 02 ( x ) x ≥ 0 = 2 x<0 2 + x 2 + x = 2 2 + x x≥0 . x<0 2 + x 2 2 + x x≥0 ,则 x<0⑵ 令 F (x ) = x →0limF (x ) F (0 ) 2 + x2 2 x2 = lim = lim = lim x = 0 , x →0 x →0 x x →0 x xF ( x ) F (0 ) x 2+ x2 = lim = lim = lim 1 = 1 , + + x →0 x →0 x →0 x x →0 + x x F ( x ) F (0 ) F ( x ) F (0 ) F ( x ) F (0 ) 由于 lim ,所以极限 lim 不存在,即 F ′(0 ) 不存在. ≠ lim + x →0 x →0 x →0 x x x lim +2.求极限 limx →0x2 . 1 + x sin x cos x解:limx →0x2 x 2 1 + x sin x + cos x = lim 1 + x sin x cos x x→0 1 + x sin x cos x 1 + x sin x + cos x(()())= limx →0x 2 1 + x sin x + cos x x2 = 2 lim x →0 1 + x sin x cos x 1 + x sin x cos x()2x x = 4 lim x →0 2 sin x + x cos x sin x + x cos x + sin x 1 4 = 4 lim = . x →0 2 cos x + cos x x sin x 3 = 2 limx →0第 1 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分3.设函数 y = y ( x ) 由方程 e + xy = e 所确定,求 y ′′(0 ) .y解: 方程 e + xy = e 两端对 x 求导,得 e y ′ + y + xy ′ = 0 .y y再对方程 e y ′ + y + xy ′ = 0 两端对 x 求导,得 eyy( y′)2 + e y y′′ + 2 y′ + xy′′ = 0在方程 e + xy = e 中令 x = 0 ,得 y (0 ) = 1 ;y在方程 e y ′ + y + xy ′ = 0 中令 x = 0 ,得 eyy (0 )y ′(0) + y (0) + xy ′(0) = 0 ,得 y ′(0) = e 1 , y ′′(0) = e 2 .所以,在方程 ey( y′)2 + e y y′′ + 2 y′ + xy′′ = 0 中令 x = 0 ,得14.设 y = (1+ x ) x ,求 dy . 解: 由 y = (1+ x ) x ,两端取对数,得 ln y =1ln (1 + x ) ,两端对 x 求导,得 xx ln (1 + x ) y′ 1 + x x (1 + x )ln (1 + x ) , = = 2 (1 + x )x 2 y x所以, y ′ = y 1 x ( + x ) ln ( + x ) 1 1 x (1 + x )ln (1 + x ) , = (1 + x ) x 2 2 (1 + x )x (1 + x )x所以, dy = (1 + x ) x1x (1 + x )ln (1 + x ) dx . (1 + x )x 2x →15.已知函数 f ( x ) 在点 x = 1 处连续,且 lim 方程. 解: 由函数 f ( x ) 在点 x = 1 处连续,且 limx →1f (x ) = 2 .求曲线 y = f ( x ) 在点 (1, x 1 f (x ) = 2 ,可知 x 1f (1)) 处的切线 f (x ) f (1) = lim f ( x ) = lim ( x 1) = 0 . x →1 x →1 x 1 又f ′(1) = limx →1f ( x ) f (1) f (x ) = lim = 2. x →1 x 1 x 1f (1)) 处的切线方程为所以,曲线 y = f ( x ) 在点 (1,y f (1) = f ′(1)( x 1) ,即 y = 2 ( x 1) .二.计算题(本题满分 40 分,共有 5 道小题,每道小题 8 分) .x n+ 2 x n 的连续性,对于间断点,要指出其类型. 6.讨论函数 f ( x ) = lim n n →∞ x + x n第 2 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分解: 当 x ≠ 0 时,有 1 0 < x < 1 x n+ 2 x n . f ( x ) = lim n = 0 x =1 n →∞ x + x n 2 x x >1 而函数 f ( x ) 在区间 ( ∞, 上是连续的.又x →10 1) , ( 1, 0 ) , (0, 1) , (1, + ∞ ) 上为初等函数,因而 f ( x ) 在这些区间lim f ( x ) = lim x 2 = 1 , lim f ( x ) = lim ( 1) = 1x →10x → 1+ 0 x → 1+ 0所以 x = 1 是函数 f ( x ) 的第一类跳跃型间断点.x →0 0lim f ( x ) = lim ( 1) = 1 , lim f (x ) = lim ( 1) = 1x →0 0 x →0 + 0 x →0 + 0所以 x = 0 是函数 f ( x ) 的第一类可去型间断点.x →1 0lim f ( x ) = lim ( 1) = 1 , lim f ( x ) = lim x 2 = 1x →1 0x →1+ 0x →1+ 0所以 x = 1 是函数 f ( x ) 的第一类跳跃型间断点. 7.曲线 C 由极坐标方程给出: r = a (1+ cos θ )(a > 0) ,求该曲线在点 π , 2 a 处的曲率. 解: 由曲率的计算公式 k =y ′′(1 + ( y′) )3 2 2.将极坐标方程改写成参数方程,有 x = a(1 + cosθ )cosθ ,因此有 y = a(1 + cosθ )sin θdy 3θ cos 2θ + cosθ dy dθ , = cot = = dy 2 sin 2θ + sin θ dx dx3θ 1 3 d 2 y d dy d dy 1 d = = = = cot 2 3θ 3θ dx dθ θ θ 2 2a sin cos dx dx dx dθ dx 4a sin 3 cos 2 2 2 2 dθ3将θ =π2代入,计算得k θ =π2 3 4a 2 =3 2. = 3 4a (1 + 1)2的极值. 第 3 页共 7 页48.研究函数 f ( x ) = x e x 1冯国臣大学数学资料——微积分 xe x1 x≤0 x1 解: f ( x ) = xe 0 < x ≤ 1 , f ( x ) 在 ( ∞, + ∞ ) 上处处连续. 1 x xe x >1 ( x + 1)e x1 x<0 x 1 所以, f ′( x ) = ( x + 1)e 0 < x <1 (1 x )e1 x x >1 在点 x = 0 及 x = 1 处, f ( x ) 不可导. 再令 f ′( x ) = 0 ,得 f ( x ) 的驻点 x = 1 .xf ′( x ) f (x )( ∞, 1)+1( 1, 0 )0不存在极小值(0, 1)+1不存在极大值(1, + ∞ )0极大值2因此, f ( x ) 有极大值 f ( 1) = e , f (1) = 1 ;极小值 f (0 ) = 0 .f (x ) x2 9.设函数 f ( x ) 在 0 < x < δ 有定义,其中 δ > 0 为常数,如果 lim cos x + = e ,求 x →0 x f (x ) lim 3 . x →0 x解: 由 lim cos x +x →01 f (x ) x = e ,得 lim e x →0 x 21f (x) ln cos x + x 2 x=e,f (x ) ln cos x + x = 1. 所以, lim x →0 x2 f (x ) ln cos x + x = 1 + g ( x ) ,其中 lim g ( x ) = 0 . 由极限与无穷小量之间的关系,得 x →0 x2所以,f ( x ) (1+ g ( x ))x 2 =e cos x , x2 2f (x ) e (1+ g ( x ))x cos x e (1+ g ( x ))x 1 + 1 cos x = lim 因此, lim 3 = lim x →0 x x →0 x →0 x2 x2 e (1+ g ( x ))x 1 1 cos x e (1+ g ( x ))x 1 1 cos x = lim + lim (1 + g ( x )) + lim = lim 2 2 2 x →0 ( + g ( x ))x x →0 x →0 x →0 x2 x x 122第 4 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分 e (1+ g ( x )) x 1 e (1+ g ( x ))x 1 e x 1 由 lim = 1 知 lim lim(1 + g ( x )) = 1 (1 + g ( x )) = lim 2 x →0 x →0 ( + g ( x ))x 2 x 1 x→0 (1 + g ( x ))x x→0 2 2lim1 cos x 1 = , x →0 2 x22 e (1+ g ( x ))x 1 1 cos x 1 3 f (x ) 所以, lim 3 = lim = 1+ = . (1 + g ( x )) + lim 2 2 x →0 x x →0 ( + g ( x ))x 2 2 x →0 x 110.设 xn =1 n6 + n1 n +n6 2+22 n 6 + 2n1 n + kn6+32 n 6 + 3n1 n +n6+L+n2 n6 + n2,求极限 lim xn .n →∞解:由于所以,≤≤(k = 1,2, L, n )1 n (n + 1)(2n + 1) n +n 6 n n n k2 k2 k2 1 1 =∑ ≤∑ ≤∑ = n (n + 1)(2n + 1) k =1 n 6 + n 2 k =1 n 6 + kn k =1 n 6 + n n6 + n 6 16 2而limn →∞n (n + 1)(2n + 1) 1 1 1 n (n + 1)(2n + 1) = lim = , 3 6 n →∞ n6 + n2 6 n6 + n2 1 n (n + 1)(2n + 1) 1 1 1 n (n + 1)(2n + 1) = lim = n →∞ 3 6 n +n 6 n6 + n 16limn→∞因此由夹逼定理,得 lim xn = limn →∞ n2 1 22 32 + + +L+ 6 n →∞ n 6 + 2n n 6 + 3n n6 + n2 n +n 1 = . 3 三.应用题与证明题(本题满分 30 分,共有 3 道小题,每道小题 10 分) . 11.某城市规定工资,薪金收入的计税依据为每月收入额减 880 元费用后的余额(即全月应纳税所得额) ,税率为超额累进 5%~45%(如下表所示) . 级别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 全月应纳税所得额不超过 500 元超过 500~2000 元的部分超过 2000~5000 元的部分超过 5000~20000 元的部分超过 20000~40000 元的部分超过 40000~60000 元的部分超过 60000~80000 元的部分超过 80000~100000 元的部分超过 100000 元的部分税率% 5 10 15 20 25 30 35 40 45试建立个人所得税 T 与应纳税收入 x 之间的函数模型 (列到 20000 元)又若某人的月收入为 2348 元时, . 应缴纳的个人所得税是多少元? 第 5 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分解: 由题设,我们有 x × 5% 500 × 5% + (x 500)× 10% T (x ) = 500 × 5% + 1500 × 10% + ( x 2000 )× 15% 500 × 5% + 1500 × 10% + 3000 × 15% + ( x 5000)× 20% 即0 ≤ x ≤ 500 500 < x ≤ 2000 . 2000 < x ≤ 5000 5000 < x ≤ 200000 ≤ x ≤ 500 x × 5% 25 + ( x 500 )×10% 500 < x ≤ 2000 T (x ) = . 175 + ( x 2000)× 15% 2000 < x ≤ 5000 625 + ( x 5000)× 20% 5000 < x ≤ 20000 如果某人的收入为 2348 元,则其应纳税收入为 2348 880 = 1468 元.所以该人应纳税为. 25 + (1468 500 )× 10% = 121.8 (元)12 . 在椭圆x2 y2 + =1 a2 b2(a > b > 0 ) 上求一点 P (x,y ) , 使得它与另外两点 A(2a, 0 ) ,B (0, 2b ) 所构成的三角形的面积为最小.解: 由于线段 AB 的长度是固定的,因此 ABP 的面积由点 P 到线段 AB 的距离所决定.因此本题可以改成:求一点 P ,使其到线段 AB 的距离为最短.显然,本题只要考虑点 P 在第一象限即可. 线段 AB 的方程为x y + =1, 2a 2b即bx + ay 2ab = 0 .点 P ( x,y ) 到该直线的距离为d=2 2bx + ay 2ab a2 + b2.由于 a + b 是一常数,而且椭圆在直线的下方,因此 bx + ay 2ab < 0 . 所以,令 f = 2ab bx ay 为目标函数,且y=所以,b a2 x2 aa ]) ,f ( x ) = 2ab bx b a 2 x 2 ,则(x ∈ [0,f ′( x ) = b +bx a x2 2.由 f ′( x ) = b +bx a x2 2= 0 ,得函数 f ( x ) = 2ab bx b a 2 x 2第 6 页共 7 页冯国臣大学数学资料——微积分在区间 (0,a ) 内的驻点 x0 =a . 2比较 f (0 ) = ab , f (a ) = ab , f ( x0 ) = 2 2 ab ,可知 f ( x0 ) = 2 2 ab 为最小. 因此 ()() a , 2b 为所求. 2+ ∞ ) 上有二阶连续的导函数.证明: f ′′( x ) ≥ 0 的充分必要条件是:(对任意的 x , h ∈ ( ∞, . + ∞) )13.设函数 f ( x ) 在区间 ( ∞,f (x + h ) + f (x h ) ≥ 2 f (x )证明: ""因为 f ′′( x ) ≥ 0 ,所以 f ( x ) 上凹(即下凸) .因此对任意的 x , h ∈ ( ∞,+ ∞ ) ,有f (x + h ) + f (x h ) x+h+ xh ≥ f , 2 2 即f (x + h ) + f (x h ) ≥ f (x ) 2(对任意的 x , h ∈ ( ∞, . + ∞) )因此有 f ( x + h ) + f ( x h ) ≥ 2 f ( x ) " " 假设存在 x0 ∈ ( ∞, 一个邻域 ( x0 h,+ ∞ ) ,使得 f ′′( x0 ) < 0 .由于二阶导数 f ′′(x ) 连续,所以存在 x0 的x0 + h ) ,使得当 x ∈ (x0 h, x0 + h ) 时,有 f ′′( x ) < 0 .由函数 f ( x ) 的展开式,得f ( x0 h ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( h ) + f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )h +(其中 ξ1 , ξ 2 ∈ ( x0 h, 将上面两个式子相加,得f ′′(ξ 2 ) 2 h 2′′ f ′′(ξ1 ) ( h )2 = f (x0 ) f ′(x0 )h + f (ξ1 ) h 2 2 2x0 + h ) )f ′′(ξ 2 ) + f ′′(ξ 2 ) 2 h < 2 f ( x0 ) . 2(对任意的 x , h ∈ ( ∞, . + ∞) )f ( x 0 + h ) + f ( x0 h ) = 2 f ( x0 ) +这与题设中的公式f (x + h ) + f (x h ) ≥ 2 f (x )相矛盾,因此对任意的 x ∈ ( ∞,+ ∞ ) ,有 f ′′( x ) ≥ 0 .第 7 页共 7 页。

微积分期中C__

f ( x) − f (2) ＝ x− 2
。。。 2aϕ (a )
x2 + b x ≤ 1 则 a −b = f ( x) = , 在x 1处可导， = 4、已知 x >1 ax x) ( x 2 − a 2 )ϕ ( x) ，则 f '(a ) = 5、已知 ϕ ( x) 在处连续， f (=
5、设函数 y = e
− sin 2
1 x
，求
dy 。 dx
6、已知 f (1 − x) = xe − x ，且 f ( x) 可导，求 f '( x) 。
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x = sin t π 7、求曲线在点 t = 处的切线方程和法线方程。 6 y = cos 2t
二、选择题（每小题 3 分共 15 分） x2 − 4 1、函数 f ( x) = 在( )变化过程中为无穷小量。 x( x + 2) B． x → 2 ； C． x → −2 ； D． x → ∞ 。 A． x → 0 ； 2 ax − bx + 3 2、 lim )。 = 4, 则 ( x →∞ x −3 A．= B． = C． a = 0, b = −4 D． a = 1, b = −4 。 a 1, = b 4 a 0, = b 4 1 3、设函数 f ( x) = 在 R 上连续，且 lim f ( x) = 0 ，则常数 a, b 满足( D )。 x →−∞ a + ebx A． a < 0, b < 0 ； B． a > 0, b > 0 ； C． a ≤ 0, b > 0 ； D． a ≥ 0, b < 0 。 y x 2 + 1 上某点的切线，则 b = ( 4、设直线 = )。 y 3 x + b 是曲线 = 3 5 5 9 A. ； B. − ； C. − ； D. − 。 2 4 2 4 5、若 f ( x) 可微，当 ∆x → 0 时，在点 x 处的 ∆y − dy 是关于 ∆x 的( )。 A.高阶无穷小； B.等价无穷小； C.同阶无穷小； D.低阶无穷小。三、计算题(每小题 6 分共 60) 1、 lim

微积分(下)期中考试卷 (含答案)

微积分期中考试卷
一、填空题（每题 3 分，共 24 分）
1．已知 A(1, 1, 2) 和 B (2, 2,1) ，则向量 AB 的模=_____________ 11
2．过点 (1, 2,3) 且与平面 x 2 y z 4 0 垂直的直线方程为______
x 1 y 2 z 3 1 2 1
x
2
10 分
解：
x
G
2
y 2 dxdy dx
1 0
1 x
0
y 2 dy
…..5 分 …..10 分

1 ． 6
6．计算二重积分
D
x2 dxdy ，其中 D 由 y 2 ， y x ， xy 1 围成． y2
解：由方程组
2 2 y x xy 1 x2 知 y 1 ．于是得 2 dxdy dy 1 2 dx 1 y y y yx D
y ______________ x 2y
6．已知向量 a 4, 3, 4 ，则与它同方向的单位向量为_________ 0 4 3 4 a , , 41 41 41
7 ．设函数 f ( x, y ) 2 x 2 ax xy 2 2 y 在点 (1, 1) 取得极值，则常数 a
2 1 0
xy2 x ．

解： xy dxdy = dx
2 D 0
1
2 x x
xy dy
2 7 5 x 2 dx 3 3
2．已知 z ln(2 x y ) ，求
解： z 2 x 2 x y 2 z 2 2 xy 2x y
3. 设z
…..5 分 …..10 分

12-13(下)微A期中试卷

浙工大之江学院12/13学年第二学期微积分A 期中试卷（共4页）专业班级学号（末两位）姓名一、选择题(每题3分，共15分)1、方程z = ）.（A ）锥面（B ）球面（C ）柱面（D ）旋转抛物面2、下列级数中收敛的是 ( )(A) 11n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ (B) 11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ (C) 11ln 3n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ (D) 21ln n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 3、设()[](),,0,0,x x f x x x πππ⎧-∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，将其作2π周期延拓，则所得的傅里叶级数在4x π=点收敛于值（）（A ）0 （B ）2π （C ）π （D ）32π 4、下列以x 为自变量的微分方程中，（）不是线性微分方程 (A ) 2''3'y y x += (B ) ''sin xy y x += (C ) 'x y y y=+ (D )22'arctan 1y x y x ''=+ 5、若1y 和2y 是常系数非齐次线性常微分方程()y py qy f x '''++=的两个特解，则下面叙述的结论必然正确的是( )（A ）12y y +是该方程解（B ）12y y +是对应齐次方程的解（C ）12y y -也是该方程的解（D ）12y y -是对应齐次方程的解二、填空题(每题3分，共15分)1、平面230x y z ---=和平面320x y z ++-=是否垂直（填“是”或“不是”）2、微分方程''6'90y y y ++=通解是3、麦克劳林级数展开x e = （注明收敛域）4、23xy y y xe -'''-+=特解形式为y = (不必求出具体系数)5、已知级数()11n nn a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则该级数在3x =处（填收敛、发散或者无法确定）三、计算综合题（第2、5、7、8小题8分，第9小题10分，其余每小题7分，共70分）1、判断正项级数12!n n n n n ∞=∑的敛散性。

厦门大学大上微积分(理工类)期中考试题及详解

1．求下列函数的极限：（每小题4分，共16分）（1） 021sin cos sin2x x x x →+- （2）tan sin (11)[ln(1)]x xx x x x →+-+- （3） 21lim (sincos )x x x x →∞+ （4）2211lim[()ln(1)cos ]x x x x x x x→∞++--解：（1）22002222220001sin cos lim (1sin cos )sin 2sin sin sin sin 2lim 2(lim lim )4x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x →→→→→+=+++==+= （2）tan sin sin tan sin 000(1)tan sin 2lim 2lim[ln(1)][ln(1)](11)[ln(1)]x x x x x x x x e e x xx x x x x x x x x -→→→--==+-+-+-+- 21000tan (1cos )22lim lim lim 2[ln(1)]ln(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x -→→→-====-+-+-+-（3） 001ln(sin 2cos )sin 2cos 1lim lim 2021lim (sin cos )lim (sin 2cos )t t t t t t x t t tx t t t ee e x x→→++-→∞→+=+=== （4）222211111lim[()ln(1)cos ]lim[ln(1)]lim ln(1)lim cos x x x x x x x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞→∞++--=+-++- 1200ln(1)(1)11lim 10lim 122t t t t t t t -→→+-+-=+-=+= 2．求下列数列的极限：（每小题4分，共8分）（1）1lim(123)nn nn →∞++ （2）211lim (arctanarctan )1n n n n →∞-+ 解：（1）13(123)333nn n nn ≤++≤→∞Q ，1lim(123)3nn nn →∞∴++=（2）法一、由拉格朗日定理，知11(,)1n nξ∃∈+，使得22111(arctan arctan )111n n n n n ξ-=⋅+++，211lim (arctanarctan )11n n n n →∞∴-=+ 法二、220arctan arctan111lim (arctanarctan )lim 1n x xx x n n n x +→∞→-+-=+厦门大学《高等数学》课程期中试卷试卷类型：（理工类A 卷）考试日期 2011.11.27高等数学A 类教学组21210(1)(221)lim 12x x x x x+--→+-++== 3．（10分）设数列{}n x 满足12x π=，1sin n n x x +=，1,2,3,...n =，（1）试证明此数列极限存在，并求出lim n n x →∞；（2）试求211lim()n x n n nx x +→∞。

北京交通大学微积分期中考试试卷及答案

lim
x→+∞
⎢⎣⎡ln
1
+
2
x
ln⎜⎛1 + ⎝
3 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
( ) ( ) 解：
lim
x→+∞
⎢⎣⎡ln
1
+
2
x
⎡
ln⎜⎛1 + ⎝
3 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
lim ⎢⎢ln ⎢ x→+∞
1+ x
2x
⋅
ln⎜⎛1 ⎝
+
3 x
⎟⎞ ⎠
⎤ ⎥ ⎥
3⎥
⎢⎣ 3
x ⎥⎦
( ) = lim ln 1+ 2x
x
sin
⎝
1 x
−
ln
x
⋅ cos
1 x
⎟⎞ ⎠
−
x 1+ x2
( ) ⑵.
⎧x ⎨ ⎩y
= =
ln 1+ t 2 t + arctan t
，求
dy dx
，
d2y dx 2
．
解：
dy
=
dy dt
=
1
+
1
1 +t
2
= t2 +2
dx dx
2t
2t
dt 1+ t 2
( )( ) d 2 y
=
d ⎜⎛ dy ⎟⎞ dt ⎝ dx ⎠ =
3. 设 f (x) = x(ln x)2 ，若定义 f (0) = ______，则 f (x) 在 x = 0 处右连续．
4.
已知
f
′(x0
)

微积分期中考试试卷答案

北京交通大学2007 -2008 学年第一学期《微积分》期中考试试卷（考试时间120分钟）班级姓名学号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()()1,1,0,1,,0,1.1,1.x x f x g x x x ⎧<⎧≤⎪⎪==⎨⎨≥>⎪⎪⎩⎩，则()g f x =⎡⎤⎣⎦ 0 。

2．已知()lim20071abb n n n n →∞=--，则常数a =20062007-，b =12007。

3．当0x →时，sin cos x e x x -+-与n x 是同阶无穷小，则n = 2 。

4．函数()21lim1nn xf x x →∞-=+的间断点为x = -1 。

5．设函数()221,0,cos ,0.x e x f x xa x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则a = 2。

6．设()'0f x 存在，则()()000limx x xf x x f x x x →-=-()()'000f x x f x -。

7．设函数()y y x =由方程()sin 0x y e e xy --=确定，则0x dy ==dx 。

8．已知函数()f x 具有任意阶导数，且()()2'f x f x =⎡⎤⎣⎦，则当2n >时，()()n f x =()1!n n f x +⎡⎤⎣⎦。

9．曲线sin ,cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在对应于4t π=的点处的切线方程为20y +-=。

二、计算下列各题 (每题6分，共12分 )1.)()()121cos 211limln 1xx xx-→++解：原式()()2222201221cos 20121cos 0lim 21cos 12lim 21lim 14211.622x xxx x x x x x x x x x x x e e →-→-→-+==+==分分分2．设()11,0,1,0.x x f x x e a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，求常数a 使()f x 在0x =处连续；并讨论此时()f x 在0x =处是否可导。

10级本科《微积分B上》期终试卷(A)及答案

10 级本科《微积分 B 上》期终试卷(A).doc 第 2 页共 3 页
1 x 1 ln | x 2 4 x 5 | ln C 6 x5 x3 1 2 ９． dx ( x 2) x 2 1 C 2 3 x 1
sec 3 t 解：原式 sec t tan t dt tan t dx sec t tan t dt 2 (1 tan t ) d tan t
而 lim
n
n n
n ( n 1) 2 2
lim
n ( n 1) 2 n 2
n 1

1 ，由夹逼定理知，原 2
式
cos x 在其定义域上是（）。Ｃ x
1 2
x a
２． lim
Ａ．有界奇函数Ｂ．有界偶函数Ｃ．无界奇函数Ｄ．无界偶函数２．函数 f ( x ) 在点 x0 处有定义是 f ( x) 在点 x0 处极限存解：原式在的（）。ＤＡ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．无关条件
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim cos x 1 ， f (0) 1 ， b 1
二．填空题（每题２分，共１０分）１．要使函数 f ( x) 充定义 f (0) 。
２．设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且
f (a) f (b) 0 。试证明：存在 (a, b) ，使得 f ( ) f ( ) 0 。
四．分析题（每题８分，共１６分）
x0 ，试求 a 、b 的值， x0 使 f ( x) 在点 x 0 处可导。 a 0 , b 1 解：可导一定连续，应有 lim f ( x) lim f ( x) f (0)