2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷文科数学(含答案)

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2020东北三省三模文科数学有答案解析

2020年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2020年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若i z i -=+123，则=z A.1522i -- B. 1522i - C.i 2521+ D.1522i -+ 2. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈= A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{1,0,1,2,3}-3. 直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17-4. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1012810a a a a +=+ A.1 B.3 C.6 D.95. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r 相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4r A. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<6. 函数21()3cos log 22f x x x π=--的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.57. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B.i >4C.i <5D.i >5 8. 函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3πC.向左平移23πD.向右平移23π 9. 若满足条件AB=3，C=3π的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是 A.()1,2 B.()2,3 C.()3,2 D.()2,210. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 A.13 B.23 C.12 D.3411. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O 是坐标原点，满足OM ON ⊥，则双曲线的离心率为 A.172+ B.152+ C.132+ D.122+12.四棱锥S ABCD-的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于443+，则球O的体积等于A.423π B.823π C.1623π D.3223π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 平面区域⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x 的周长为_______________.14. 某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15. 等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.16. 如果直线2140ax by -+=(0,0)a b >>和函数1()1x f x m +=+(0,1)m m >≠的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆6正视图侧视图俯视图5上，那么b a 的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B =u r ，向量(1sin ,1sin 2)n B B =--+r ，且满足m n m n +=-u r r u r r . ⑴求角B 的大小；⑵求sin sin A C +的取值范围.18. （本小题满分12分）2020年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：⑴求本周该银行所发放贷款的贷款．．年限．．的标准差；⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率；⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）. 19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面, 90ADC ∠=o ，AB CD ||，122AD CD DD AB ====. ⑴求证：11AD B C ⊥；⑵求四面体11A BDC 的体积.20. （本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点， ,M N 分别为其左右顶 A 1CD 1D A B B 1C 1点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点. 当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 的面积等于2，且满足222MF AB F N =+u u u u r u u u r u u u u r .⑴求此椭圆的方程； ⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求MA MB NA NB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. ⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶求证:当3a >时，对于任意正实数x ，不等式()()x f a x f a e +<⋅恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于,B C两点，且100BMP∠=o，40BPC∠=o.⑴求证：MBP∆与MPC∆相似；⑵求MPB∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为sin cossin2xyθθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：2sin()42tπρθ+=（其中t为常数）.⑴若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；⑵当2t=-时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1||22|.f x x x=-++⑴解不等式()5f x>；⑵若关于x的方程1()4af x=-的解集为空集，求实数a的取值范围.2020年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2020年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.C3. B4.D5.A6.B7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. C 由已知i i i z 2521123+=-+=. 故选C. 2. C 将2,1,0,1,2--=x 逐一带入1+=x y ,得y=0,1,2,3，故选C. 3. B 圆的方程化为22(1)(1)2x y +++=，由直线与圆相切，可有2132=+-m m ,解得71m =-或. 故选B.4. D 由已知31232a a a =+于是232q q =+,由数列各项都是正数，解得3q =, 210128109a a q a a +==+. 故选D. 5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<. 故选A6. B 在同一坐标系内画出函数3cos 2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C.8. A 由条件知函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，由此可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得x A x A x A x f 2cos )22sin(]6)6(2sin[)6(=+=++=+ππππ.故选A.9. C 若满足条件的三角形有两个，则应1sin sin 23<<=A C ，又因为2sin sin ==CAB A BC ，故A BC sin 2=，32BC <<. 故选C. 10. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为21. 故选C.11. B 由题意可有：a b c 2=，由此求得251+=e . 故选B. 12. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径R ，且四棱锥的高h R =，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2R 的正三角形，底面为边长为2R 的正方形，所以该四棱锥的表面积为2124(22sin 60)2R R R +⋅⋅⋅=o 2(223)443R +=+，于是2,22==R R ，进而球O 的体积3448222333V R πππ==⨯=. 故选B. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 42 14. 465+ 15.0d ≥且0d a +> 16. 34[,]43简答与提示：13. 画出图形，可得该区域图形为边长为2的正方形，故其周长为42.14. 由体对角线长10，正视图的对角线长6，侧视图的对角线长5，可得长方体的长宽高分别为5，2，1，因此其全面积为2(515212)465⨯+⨯+⨯=+.15. 由n n S S >+1，可得(1)(1)(1)22n n n n n a d na d +-++>+，整理得0>+a dn ，而*∈N n ，所以0d ≥且0>+a d . 因此数列{}n S 单调递增的充要条件是: 0d ≥且0d a +>.16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-.将点(1,2)-代入2140ax by -+=，可得7a b +=.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤.由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(3,4)A 和(4,3)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34[,]43.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识. 【试题解析】解：⑴由m n m n +=-u r r u r r ，可知0m n m n ⊥⇔⋅=u r r u r r .然而(2cos ,1),m B =u r (1sin ,1sin 2)n B B =--+r ，所以有2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=u r r ，得1cos ,602B B ==o .(6分) ⑵)30sin(3cos 23sin 23)120sin(sin sin sin οο+=+=-+=+A A A A A C A .(9分) 又0120A <<o o ，则3030150A <+<o o o ，1sin(30)12A <+≤o ，所以 3sin sin 23≤+<C A ,即sin sin A C +的取值范围是3(,3]2.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值20x =. 222222(1020)(1520)(2020)(2520)(3020)505s -+-+-+-+-==，所以标准差52s =. (4分) ⑵所求概率123101025980808016P P P P =++=++=. (8分) ⑶平均年限101010152025252015302280n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈(年). (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ，ο90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =I ，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =I ，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (6分)⑵设所给四棱柱的体积为V ，则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .而3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V . (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 面积: ,222212=⋅⋅ab a 得12=b . 又2222,,b MF a c AB F N a c a =+==-u u u u r u u u r u u u u r ，于是c a a b c a -+=+222，得 2=ac ，又221a c =+，解得2a =.因此该椭圆方程为1222=+y x . (4分) (2)设直线1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 消去x 并整理得：012)2(22=-++my y m . 设),(),,(2211y x B y x A ，则有21,22221221+-=+-=+m y y m m y y . (6分) 由),2(11y x MA +=，),2(22y x MB +=，),2(11y x NA -=，),2(22y x NB -=，可得4)(22121++=⋅+⋅y y x x NB NA MB MA . (8分)1)()1()1)(1(2121221212121++++=+++=+y y m y y m y y my my y y x x 21222++-=m m ,所以2104)(222121+=++=⋅+⋅m y y x x NB NA MB MA . (10分) 由于m R ∈,可知MA MB NA NB ⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r的取值范围是(0,5]. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴令()l n 10fx x '=+=,得1x e=.当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增. (3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fxxxk x k x x=>-⇔<+. 构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =.当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分)⑶()()()ln()ln x x f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x a a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分) 对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x xx e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==. 令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.当1x >时，()(1)0h x h ''<=，从而函数()h x 在(1,)+∞上也是减函数. 从而当3x >时，()()ln 1ln 20h x h e e e e e <=+-=-<，即()0g x '<，即函数ln ()x x xg x e=在区间(3,)+∞上是减函数.当3a >时，对于任意的非零正数x ，3a x a +>>，进而有()()g a x g a +<恒成立，结论得证. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】解：⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅ 又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似. （5分） ⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=o ，得180202BPC BMPMPB -∠-∠∠==o o . （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M 是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以2121t -+<≤+满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t 的取值范围是：2121t -+<≤+或54t =-. （6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x ，02x ≤，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ，当012x =-时取等号，满足02x ≤，所以所求的最小距离为823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去；当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x -(()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞U .根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。

2020年东北三省四市教研联合体高考模拟数学(文科)试卷(二)(含解析)

2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷共4页。

考试结束后。

将答题卡交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的娃名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出。

确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

东北三省四市2020届高三第二次模拟考试文科数学试题(含答案)

2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷共4页。

考试结束后。

将答题卡交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的娃名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出。

确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}42≤∈=x Z x A ，{}24<<-=x x B ．则A∩B=A ．{}22<≤-=x xB B ．{}24≤<-=x x B C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}1,0,1,2--2．已知复数z 满足i z i -=+1)1(2，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足a =（2，1）．b =（1，y ）．且a ⊥b ．则|a +2b | = A ．5 B ．25 C ．5 D ．44．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计．如右图．甲乙两人的平均得分分别是乙甲、x x ．则下列说法正确的是A ．乙甲x x >，乙比甲稳定．应选乙参加校篮球队B ．乙甲x x >．甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队C ．乙甲x x <．甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队D ．乙甲x x <．乙比甲稳定，应选乙参加校篮球队5．等比数列{}n a 中．5a 与7a 是函数34)(2+-=x x x f 的两个零点．则93a a ⋅等于A ．3-B ．4-C ．3D ．46．大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”．某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道:（1）教语文的没有分配到一中，（2）教语文的不是小孟，（3）教英语的没有分配到三中，（4）小刘分配到一中．（5）小盂没有分配到二中，据此判断．数学学科支教的是谁?分到哪所学校？A ．小刘三中B ．小李一中C ．小盂三中D ．小刘二中 7．设b a ,是两条直线βα，是两个平面．则b a ⊥的一个充分条件是A ．α⊥a ，β∥b ，βα⊥； C ．α⊥a ，β⊥b ，βα∥B ．α⊂a ，β⊥b ，βα∥ D ．α⊂a ，β∥b ，βα⊥8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数．在（0．+∞）上是增函数．且0)4(=-f ．则使得0)(>x xf 成立的x 的取值范围是A ．（4-，4）B ．（4-，0）Y （0，4）C ．（0，4）Y （4，∞+）D ．（∞-，4-）Y （4，∞+） 9．已知直线2-=y 与函数)3sin(2)(πω-=x x f ，（其中w>0）的相邻两交点间的距离为π．则函数)(x f 的单调递增区间为 A ．Z k k k ∈+-],65,6[ππππ B ．Z k k k ∈+-],65,12[ππππ C ．Z k k k ∈+-],611,65[ππππ D ．Z k k k ∈+-],1211,65[ππππ 10．若函数⎩⎨⎧≤-->=0,20,log )(2x a x x x f x有且只有一个零点．则a 的取值范围是A ．（∞-，1-）Y （0，∞+）B ．（∞-，1-）Y [0，∞+）C ．[1-，0）D ． [0，∞+）11．已知与椭圆121822=+y x 焦点相同的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，．离心率为34=e ．若双曲线的左支上有一点M 到右焦点2F 的距离为12．N 为2MF 的中点，O 为坐标原点．则|NO|等于A ．4B ． 3C ．2D ．32 12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是21②当23-=a 时，直线a ax y 2+=与白色部分有公共点； ③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x ，y ）．则x+y 的最大值为2； ④设点P （b ,2-），点Q 在此太极图上，使得∠OPQ=45°．b 的范围是[-2．2]．其中所有正确结论的序号是A ．①①B ．①③C ．②④D ．①②第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题考生根据要求作答。

东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试试卷(二)数学(文科)试题 Word版含解析

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.
【详解】由（1+i）2z＝1﹣i，得z ，
∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限.
故选：C.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，当x≤0时，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣a≤﹣2x﹣a＜﹣a，
所以﹣a≤0或﹣1﹣a＞0，即a≥0或a＜﹣1.
故选：B
【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.
11.已知与椭圆 1焦点相同的双曲线 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e ，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为12，N为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）
根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；
对于②，当时，直线 ,过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点.圆的圆心为，半径为，圆心到直线，即直线的距离为，所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述，直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，②错误；
10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（）
A （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B. （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）
C. [﹣1，0）D. [0，+∞）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在没有零点列不等式，解不等式求得的取值范围.

2020年东北三省四市教研联合体暨沈阳市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)

2020年东北三省四市教研联合体暨沈阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. 0，1，D. 0，2.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，满足，，且，则A. B. C. 5 D. 44.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是A. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛5.等比数列中，、是函数的两个零点，则等于A. B. 3 C. D. 46.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道：教语文的没有分配到一中，教语文的不是小孟，教英语的没有分配到三中，小刘分配到一中．小盂没有分配到二中，据此判断．数学学科支教的是谁？分到哪所学校？A. 小刘三中B. 小李一中C. 小盂三中D. 小刘二中7.设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.已知函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.9.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是A. B. ，C. D.11.已知与椭圆焦点相同的双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为12，N为的中点，O为坐标原点，则等于A. B. 2 C. 3 D. 412.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分包括黑白交界处中一点，则的最大值为2；设点，点Q在此太极图上，使得，b的范围是．其中所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：231232210023122021321220031231103133132001320123130233由此可以估计事件A发生的概率为______．15.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著九章算术商功其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼．取一长方，如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱．称该三梭柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四梭锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑．已知长方体中，，，，按以上操作得到阳马．则该阳马的最长棱长为______．16.已知数列的各项均为正数，其前n项和满足，设，为数列的前n项和，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求tan B；Ⅱ若，的面积为6，求BC．18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修50成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950Ⅰ根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；Ⅱ现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成绩优秀和成绩不够优秀的学生中随机抽取5名学生作为代表，从5名学生代表中再任选2名学生继续调查，求这2名学生成绩至少有1人优秀的概率．参考附表：k参考公式，其中．19.四棱锥中，，，，，底面ABCD，E在PB上．Ⅰ证明：；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知点，B为抛物线上任意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E．Ⅰ求曲线E的方程；Ⅱ是否存在斜率为1的直线l交曲线E于M、N两点，使得为以MN为底边的等腰三角形？若存在，请求出l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数，，若曲线与曲线都过点且在点P处有相同的切线l．Ⅰ求切线l的方程；Ⅱ若关于x的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点点M和点N为直线1上的点，且，求面积的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合0，1，，0，，故选：D．先求出集合A，再利用集合交集的运算即可算出结果．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：根据题意，，，且，则有，解可得，即，则，故；故选：C．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据茎叶图中数据知，甲得分为：18，26，28，28，31，33，且集中在内；乙得分为：12，18，19，25，26，32，且分布在内；所以甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定；应选甲参加比赛．故选：B．根据茎叶图中数据的分布情况知，甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定．本题考查了利用茎叶图分析平均数与稳定性的问题，是基础题．5.答案：B解析：解：、是函数的两个零点，、是方程的两个根，，由等比数列的性质可得：．故选：B．利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.答案：C解析：解：由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，且教数学，故选：C．由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．7.答案：C解析：解：A、B、D的反例如图．故选：C．根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．8.答案：D解析：解：函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，函数是在上是增函数，又，，由，得或，或．的取值范围是．故选：D．由奇函数的图象关于原点对称及在为增函数，可得函数是在上是增函数，结合，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．9.答案：B解析：解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．10.答案：B解析：解：当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，当时，，，，所以或，即或，故选：B．当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11.答案：C解析：解：如图，可得，双曲线的离心率为，．椭圆与双曲线焦点相同，，，，故选：C．可得，由椭圆与双曲线焦点相同，离心率为，可得a即可．本题考查了双曲线、椭圆的方程与性质，属于中档题．12.答案：A解析：解：对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，直线，圆的方程为，联立可得，，，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大，由解得舍去，错误；对于，要使得，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即，于是，解得．故选：A．根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得，由得：，显然直线过A时，z最大，z的最大值是，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14.答案：解析：解：袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数，其中事件A发生的随机数有：210，021，031，103，001，130，共6个，估计事件A发生的概率为．故答案为：．经随机模拟产生了以下18组随机数，利用列举法求出其中事件A发生的随机数有6个，由此能估计事件A发生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：在阳马中，底面ABCD为长方形，侧棱底面ABCD，且，，，则，，．该阳马的最长棱长为．故答案为：．由已知线段长度利用勾股定理求得阳马的所有棱长得答案．本题考查棱柱与棱锥的结构特征，考查空间中线段长度的计算，是基础题．16.答案：解析：解：数列的各项均为正数，其前n项和满足，．可得时，，解得，时，，又，相减可得，化为，由，可得，则，，可得．故答案为：．由数列的递推式：时，；时，，结合等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：解：，利用正弦定理可得：，又，化为：，．，，可得，．．，可得：．又，可得．，解得．解析：由，利用正弦定理可得：，又，化简即可得出．由，，可得，，由正弦定理：，可得：又，可得即可得出a．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ由已知表格中的数据，可得的观测值．有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”；Ⅱ由题意得，在成绩优秀的学生中抽取人，分别记为A，B，C，在成绩不够优秀的学生中抽取人，分别记为a，b．则从5名学生中任选2名学生的全部基本事件为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，其中所选2人至少有1人成绩优秀的事件为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb共9种．这2名学生中至少有1人优秀的概率为．解析：Ⅰ由列联表中的数据结合公式求得得的观测值k，结合临界值表得结论；Ⅱ利用枚举法写出从5名学生中任选2名学生的全部基本事件，再求出所选2人至少有1人成绩优秀的事件数，由古典概型概率公式求解．本题考查独立性检验，考查古典概型概率的求法，是基础题．19.答案：解：Ⅰ证明：过A作于F，，，，，，，又底面ABCD，平面ABCD，，又PA，平面PAD，，平面PAD，又平面PAD，．Ⅱ解：，，，，三棱锥的体积．解析：Ⅰ过A作于F，推导出，，从而平面PAD，由此能求出．Ⅱ由，能求出三棱锥的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，是AC的中点，则，在抛物线上，，，化简得：，曲线E的方程为：；Ⅱ设直线l的方程为：，，，联立方程，消去y得：，，，，的中点，，，，不符合，直线l不存在．解析：Ⅰ设，，利用中点坐标公式得到，代入抛物线方程，即可求出点C的轨迹方程，即曲线E的方程；Ⅱ设直线l的方程为：，与曲线E的方程联立，得到，利用韦达定理求出MN 的中点P的坐标，再利用求出t的值，经检验不满足，从而直线l不存在．本题主要考查了动点轨迹，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由已知可得，即，解得，，，切线的斜率，切线l的方程为，即，Ⅱ由Ⅰ可得，，设，即，对任意恒成立，从而，，当时，，在上单调递减，又，显然不恒成立，当时，，解得，，当时，即时，，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，，单调递增，，即恒成立，当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，解得，，综上所述得．解析：Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程；Ⅱ构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.答案：解：Ⅰ由，得，，即，曲线C的参数方程为为参数．由为参数，消去参数t，可得．直线l的普通方程为；Ⅱ设到直线l的距离为d，，而．．面积的取值范围为解析：Ⅰ由，得，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的普通方程，结合平方关系可得曲线C的参数方程；直接把直线l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程；Ⅱ设到直线l的距离为d，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d，利用三角函数求最值可得面积的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程、利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8}，集合A ={1,3，5，6}，B ={2,5，7}，∁U A ∩B =( )A. {2}B. {7}C. {2,7}D. {2,5，7}2. 若z (1−i )=2i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=−2，a 8=6，则S 9=( )A. 9B. 18C. 27D. 364. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43)D. [−12,43]5. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为( )A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6. 2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( )A. 13B. 23C. 14D. 347. 已知函数f(x)=x 3+2x 2f′(1)+2所表示的曲线在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α+cosα⋅sinα的值为( )A. 2017B. 917C. 316D. 21198. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞)C. (−∞,−254)∪(−6,6) D. (−254,+∞)9.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5=a4+2a3，若存在两项a m，a n使得√a m a n=4a1，则1m +4n的最小值是()A. 32B. 83C. 52D. 910.已知四面体P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若四面体P−ABC的体积为32，求球的表面积()A. 8πB. 12πC. 8√3πD. 12√3π11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，ΔABO的面积为2√3，则抛物线的焦点为()A. (12,0) B. (√22,0) C. (1,0) D. (√2,0)12.已知函数f(x)=ax−2a+1x(a>0)，若f(m2+1)+f(−m2+m−3)>0，则实数m的取值范围是()A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗=(3,m)，b⃗ =(−1,2)，若a⃗//b⃗ ，则实数m=______．14.编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，(i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；(ii)求这2人得分之和大于50的概率．15.已知函数f(x)=sin2xsinφ−cos2(x+π2)cosφ(0<φ<π)的图象过点(π3,12)，将其图象上各点向左平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则函数g(x)在[−π4,2π3]上的单调递增区间__________．16.F1,F2分别为椭圆x24+y2=1的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则ΔF1PF2的内切圆半径等于___________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中m的值；(2)在所抽取的1000名学生中，用分层抽样的方法在成绩为[80,100]的学生中抽取了一个容量为5的样本，再从该样本中任意抽取2人，求2人的成绩均在区间[90,100]内的概率；(3)若该市有10000名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间[90,100]内的人数．18. 如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cosB =√108，cos∠ADC =−14． (1)求sin∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．19. 已知抛物线C ：y 2=2x.过点(2,0)且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同两点A ，B ，且点B关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． (Ⅰ)求点M 的坐标；(Ⅱ)求△OAM 与△OAB 面积之和的最小值．20.如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=√2．(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求棱锥C−ABD的体积．21.已知函数f(x)=x2−2alnx，其中a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)在[1,e]上的最值；e(2)讨论函数f(x)的单调性．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程．)，求△ABC面积的最小值．(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：C解析：解：∁U A={2,4，7，8}，则∁U A∩B={2,7}，故选：C．求出集合的补集，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.答案：B解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)1−i1+i=i(1+i)=i−1．故选B．3.答案：B解析：解：由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=−2+6=4，∴S9=9(a1+a9)2=18，故选：B．等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8，再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].5.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3，进而可得ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果．解：设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3， ∴ℎ=√62−32=3√3，∴V 圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π．故选A ．6.答案：D解析：本题考查古典概型，属于基础题，利用古典概型概率计算公式直接求解即可．解：厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶，该上海居民向四种垃圾桶内随意的丢垃圾，有4种可能，投放错误有3种结果，故会被罚款和行政处罚的概率为34．故选D ．7.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．求出函数的导数，利用导函数，求出f′(1)的值，可得f′(x)=3x 2−4x ，求出tanα=4，然后利用同角三角函数的基本关系求解即可．解：函数f(x)=x 3+2x 2f′(1)+2，可得f′(x)=3x 2+4xf′(1)，f′(1)=3+4f′(1)，可得f′(1)=−1，则f′(x)=3x 2−4x ，则f′(2)=4.则tanα=4， sin 2α+cosα⋅sinα=sin 2α+cosα⋅sinαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=2017．故选：A ．8.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m =3x −|x 2−4|，作出函数y =g(x)=3x −|x 2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m =3x −|x 2−4|，设g(x)=3x −|x 2−4|，当x ≥2或x ≤−2时，g(x)=3x −|x 2−4|， g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|， g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x2−4|−3x+m恰有两个不同的零点，则m<−254或−6<m<6，即m∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C9.答案：A解析：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a5=a4+2a3，可得a3q2=a3q+2a3，∴q2−q−2=0，∴q=2．∵√a m a n=4a1，∴a m⋅a n=16a12∴a m⋅a n=a12⋅2m+n−2=16a12，∴2m+n−2=16，∴m+n=6，即16(m+n)=1，(m∈N∗,n∈N∗)，∴1m +4n=(1m+4n)×16(m+n)=16(1+4+nm+4mn)≥16(5+2√nm×4mn)=16×9=32(当且仅当nm=4mn，即n=2m时取等号，即m=2，n=4时取等号)故选：A由a5=a4+2a3求得q=2，代入√a m a n=4a1得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，根据等比数列的通项公式求出公比是解决本题的关键．属于中档题．10.答案：B解析：本题考查了球与几何体的组合体，球的表面积，解题关键是利用转化思想求出半径，属于中档题．由△ABC所在的圆是大圆，OA=OB=OC=OP=R，得四面体P−ABC的体积，求得R，即可求球的表面积．解：如下图所示，∵四面体P−ABC的外接球的球心O在AB上，PO⊥平面ABC，∴△ABC所在的圆是大圆，OA=OB=OC=OP=R(R为球半径)．∵四面体P−ABC的体积为V=13S△ABC×PO=32，又∵2AC=√3AB，∴AC=√3R，BC=R，∴R=√3，∴球的表面积s=4πR2=12π，故选B．11.答案：D解析：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．求出双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为√3，列出方程，由此方程求出p的值．解：∵双曲线双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y=±bax又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=−p2，故A，B两点的纵坐标分别是y=±bp2a，又由双曲线的离心率为2，所以ca =2，则ba=√3，A，B两点的纵坐标分别是y=±√3p2，又△AOB的面积为2√3，x轴是角AOB的角平分线，∴12×√3p×p2=2√3，得p=2√2．抛物线的焦点坐标为：(√2,0)故选D．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题．根据题意求导分析出函数f(x)在定义域上单调递增，又函数为奇函数，进而将不等式转化为f(m2+ 1)>f(m2−m+3)，再由单调性得m2+1>m2−m+3，可得答案．解：∵f(−x)=−ax−2a+1−x=−f(x)，(x≠0)∴函数为奇函数，∴f(m2+1)+f(−m2+m−3)>0转化为f(m2+1)>f(m2−m+3)，∵a>0，∴f′(x)=a+2a+1x2>0在上恒成立，∴函数f(x)在定义域上单调递增．∵m2+1>0，且m2−m+3>0，∴m2+1>m2−m+3，解得m>2．故选A.13.答案：−6解析：解：∵平面向量a⃗=(3,m)，b⃗ =(−1,2)，a⃗//b⃗ ，∴−13=2m，解得实数m=−6．故答案为：−6．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解：(I)由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10,20)上的共4人，在区间[20,30)上的共6人，在区间[30,40]上的共6人，故答案为4，6，6；(II)(i)得分在区间[20,30)上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为(X,Y)，则所有可能的抽取结果有：(A3,A4)，(A3,A5)，(A3,A10)，(A3,A11)，(A3,A13)，(A4,A5)，(A4,A10)，(A4,A11)，(A4,A13)，(A5,A10)，(A5,A11)，(A5,A13)，(A10,A11)，(A10,A13)，(A11,A13)共15种．(ii)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：(A4,A5)，(A4,A10)，(A4,A11)，(A5,A10)，(A10,A11)共5种故这2人得分之和大于50分的概率P=515=13．解析：(I)根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．(II)(i)根据(I)的结论，我们易列出在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；(ii)列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．15.答案：[−π4,0]和[π2,2π3]解析：因为f(x)=sin2xsinφ−cos2(x+π2)cosφ=sin2xsinφ+cos2xcosφ=cos(2x−φ)，又函数图象过点(π3,12)，所以cos(2π3−φ)=12,又0<φ<π，所以φ=π3.将函数y=f(x)图象上各点向左平移π6个单位长度后，得到函数y=g(x)的图象，可知g(x)=cos2x.因为x∈[−π4,2π3]，所以2x∈[−π2,4π3]，由−π2≤2x≤0和π≤2x≤4π3，知函数g(x)在[−π4,2π3]上的单调递增区间为[−π4,0]和[π2,2π3]．16.答案：2√3−33解析：解：由题意，F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3；则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2−2|F1P||PF2|cos60°；故12=(|F1P|+|PF2|)2−2|F1P||PF2|cos60°−2|F1P||PF2|；故12=16−3|F1P||PF2|；故|F1P||PF2|=43；故△PF1F2的面积S=12|F1P||PF2|⋅sin60°=√33；△F1PF2的内切圆半径设为r，可得S=12r(|F1P|+|PF2|+|F1F2|)=12(4+2√3)r=√33，解得r=2√3−33，故答案为：2√3−33．运用椭圆的定义和三角形的余弦定理和面积公式，结合等积法，计算可得所求值．本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)依题意可知组距为10，由(0.025+0.05+m+0.01)×10=1，解得m=0.015.…………………………(3分)(2)抽取了一个容量为5的样本，成绩在区间[80,90)的人数为：5×0.150.15+0.1=3人，记3人为a，b，c．成绩在区间[90,100]的人数为：5×0.10.15+0.1=2人，记2人为d、e.……(5分)任取2人的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共计10个．其中2人的成绩均在区间[90,100]内的基本事件为：de，共计1个…………………………(7分)所以2人的成绩均在区间[90,100]内的概率为：p=110.……………………………(9分)(3)由频率分布直方图得成绩在[90,100]的频率为0.01×10=0.1，即估计成绩在区间[90,100]的人数为10000×0.1=1000人．…………………………(12分)解析：(1)利用频率分布直方图的性质能求出m的值．(2)抽取一个容量为5的样本，成绩在区间[80,90)的人数为3人，记3人为a，b，c.成绩在区间[90,100]的人数为2人，记2人为d、e，任取2人，利用列举法能求出2人的成绩均在区间[90,100]内的概率．(3)由频率分布直方图得成绩在[90,100]的频率为0.1，由此能估计成绩在区间[90,100]的人数．本题考查实数值的求法，考查概率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质，列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)因为cosB=√108，且B∈(0,π)，所以sinB=√1−cos2B=3√68，又cos∠ADC=−14，且∠ADC∈(0,π)，所以sin∠ADC=√154，所以sin∠BAD=sin(∠ADC−∠B)=sin∠ADCcosB−cos∠ADCsinB=√154×√108−(−14)×3√68=√64．(2)在△ABD中，由ADsinB =BDsin∠BAD得3√68=√64，解得BD=2．故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2−2AD·DC·cos∠ADC=32+22−2×3×2×(−14)=16，得AC=4．解析：本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．(1)由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；(2)由正弦定理和余弦定理即可求出．19.答案：解：(Ⅰ)设过点(2,0)的直线l：x=my+2，代入抛物线方程，整理得y2−2my−4=0，设l与C的交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x2,−y2)，且令y1>0，则y1+y2=2m，y1y2=−4，△=4m2+16>0，∴直线AD的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，即y−y1=y1+y2m(y1−y2)(x−x1)，∴y−y1=2y1−y2(x−12y12)，令y=0，得(y1−y2)⋅(−y1)=2x−y12，∴2x=(y1−y2)⋅(−y1)+y12=y1y2=−4，则x=−2，∴M(−2,0)，(Ⅱ)S△OAM=12×2×y1，S△OAB=12×2×y1+12×2×|y2|，则S△OAM+S△OAB=y1+y1+|y2|=2y1+|y2|=2y1+|−4y1|=2y1+4y1≥2√2y1⋅4y1=4√2，当且仅当2y1=4y1，即y1=√2时等号成立，故△OAM与△OAB面积之和的最小值4√2．解析：本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(Ⅰ)设设l与C的交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x2,−y2)，且令y1>0，过点(2,0)的直线l：x=my+2，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理可得y1+y2=2m，y1y2=−4，即可求出直线AD的方程，令y=0，求出x的值，即可得到M的坐标；(Ⅱ)把S△OAM+S△OAB化简整理为2y1+4y1，利用基本不等式求最值．20.答案：解：(1)在直角梯形BCDE中，∵DE=BE=1，CD=2，∴BC=√(2−1)2+12=√2，又AB=2，AC=√2，∴AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC⊂平面ABC，∴AC ⊥平面BCDE ，又DE ⊂平面BCDE ， ∴AC ⊥DE ，又DE ⊥DC ，AC ∩CD =C ， ∴DE ⊥平面ACD ．(2)V C−ABD =V A−BCD =13S △BCD ⋅AC =13×12×2×1×√2=√23．解析：(1)利用梯形的性质求出BC ，利用勾股定理得出AC ⊥BC ，于是AC ⊥平面BCDE ，得出AC ⊥DE ，又DE ⊥CD 得出DE ⊥平面BCDE ； (2)V C−ABD =V A−BCD =13S △BCD ⋅AC ．本题考查了线面垂直的判定定理，棱锥的体积计算，属于中档题．21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=x 2−2lnx ，x ∈[1e ,e]，f′(x)=2x −2x=2x 2−2x=2(x 2−1)x，当x ∈[1e ,1]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈[1,e]时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)的最小值f(1)=1． f(e)=e 2−2>f(1e )=1e 2+2，∴f(x)的最大值为f(e)=e 2−2． (2)f′(x)=2x −2a x=2(x 2−a)x(x >0)，当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)在(0,+∞)单调递增，当a >0时，令f′(x)=0得x =√a ，故x ∈(0,√a)时f′(x)<0， f(x)在(0,√a)单调递减， x ∈(√a,+∞)时，f′(x)>0， f(x)在(√a,+∞)单调递增．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)当a =1时，求出f(x)的单调性，进而得到最值；(2)求导，对a 分类讨论，根据导数的正负，确定函数的单调性．22.答案：解：(1)∵曲线C 1的参数方程为为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 2−2x =0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cosθ，设点B 的极坐标为(ρ,θ)，点A 的极坐标为(ρ0,θ0)，则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，ρ0=2cosθ0，θ=θ0， ∵|OA|⋅|OB|=8，∴ρ⋅ρ0=8， ∴8ρ=2cosθ，ρcosθ=4，∴C 2的极坐标方程为ρcosθ=4． (2)由题设知|OC|=2，S △ABC =S △OBC −S △OAC =12|OC|⋅|ρB cosθ−ρA cosθ|=|4−2cos 2θ|，当θ=0时，S △ABC 取得最小值为2．解析：(1)由曲线C 1的参数方程能求出曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；设点B 的极坐标为(ρ,θ)，点A 的极坐标为(ρ0,θ0)，则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，ρ0=2cosθ0，θ=θ0，从而ρ⋅ρ0=8，由此能求出C 2的极坐标方程．(2)由|OC|=2，S △ABC =S △OBC −S △OAC =12|OC|⋅|ρB cosθ−ρA cosθ|=|4−2cos 2θ|，由此能求出S △ABC 的最小值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2，解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1，当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号，可得函数f(x)的最小值为1，则a+b+c=1，且a，b，c∈R+，由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)，取得等号，可得3(ab+bc+ca)≤1，当且仅当a=b=c=13．即ab+bc+ac≤13解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。

东北三省四市教研联合体2020届高三数学模拟考试试题文(含解析)

东北三省四市教研联合体2020届高三数学模拟考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（{}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,3,5,7A ={}1,2,4,6B =()U A B =ð）A.B.C.D.{}2,5,7{}3,5,7{}3{}5,7【答案】B 【解析】【分析】先由已知得到，再与A 求交集即可.{3,5,7}U C B =【详解】由已知，，故.{3,5,7}U C B =(){3,5,7}U A C B = 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.已知，则复数( )2(1)=1i i z +-z =A. B. C. D. 1i +1i-1i--1i-+【答案】D 【解析】【分析】根据复数的四则运算，即可求得复数.z 【详解】因为，2(1)=1i i z +-故可得.()()()()2121211111i i i i z i i i i i ++====-+---+故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.3.为等差数列的前项和，若，则( )n S {}n a n 150S =8a =A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据，即可容易求得.15815S a =【详解】因为数列是等差数列，{}n a 故可得，又，15815S a =150S =故可得.80a =故选：B.【点睛】本题考查等差数列前项和的性质，属基础题.n 4.设是实数，“”是“”的( )x 0x <11x <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C .充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解分式不等式，根据充分性和必要性即可容易求得.【详解】因为，即可求得，11x <()(),01,x ∈-∞⋃+∞故是的充分不必要条件.0x <11x <故选：A.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及分式不等式的求解.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它L h 2136V L h ≈实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体23112V L h ≈积公式中的圆周率近似取为（）A. B. C. D. 22715750289337115【答案】C 【解析】【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.213V r h π==23(2)112r hππ【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则，又，213V r h π=2233(2)112112V L h r hπ≈=故，所以，.23(2)112r h π213r h π≈11228369π≈=故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为，，；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”a b c 和“其他垃圾箱”，分别记为，，.为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小A B C 区三类垃圾箱中共计生活垃圾，数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为( 500g k )ABCa2001040b1512020c155030A. B. C. D. 235014950310【答案】D 【解析】【分析】先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可.【详解】根据题意，投放正确的概率为，20012030 750010++=故投放错误的概率为.7311010-=故选：D.【点睛】本题考查简单随机事件的概率求解，属基础题.7.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则3211()532f x x x =+-(1,(1))f α( )2cos 2sin 2cos ααα=+A. B.C. 2D. 1235-85【答案】B 【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.tan α【详解】因为，故可得，3211()532f x x x =+-()2f x x x '=+则切线的斜率；()12tan f α'==又因为.2cos 2sin 2cos ααα=+2222cos sin 1tan 1432cos 21415sin cos tan ααααααα---===-+++故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及已知正切值求齐次式的值，属综合基础题.8.已知函数，若函数的零点恰有4个，则实数的取232,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩|()|y f x m =-m 值范围是( )A. B.C. D. 33,102⎛⎤⎥⎝⎦(]0,220,3⎛⎤ ⎥⎝⎦31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】画出函数的图像，数形结合即可容易求得.()y f x =【详解】因为，故可得的图像如下：232,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩()y f x =若函数的零点恰有4个，|()|y f x m =-即与有4个交点，()y f x =y m =故.(]0,2m ∈故选：B.【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数函数的图像，属综合中档题.9.设等比数列满足，则的最大值为( ){}n a ()211047220a a a a +=+56a aB. 4C. 10D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质，即可容易求得，再根据均值不等式即可容易求得.2211020a a +=【详解】因为数列是等比数列，又，{}n a ()211047220a a a a +=+故可得，22110110472220a a a a a a ++=+即，2211020a a +=又，56a a 110a a =又，22110110102a a a a +≤=当且仅当时，取得最大值..110a a ==故选：C.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.10.如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于.剪去，将剩ABCD AC BD O AOB ∆余部分沿，折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的OC OD OA OB ()A B C D O 外接球的体积为( )A. B.D. 24π48π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，还原出几何体，结合几何体的特点，即可容易求得.【详解】根据题意，为方便说明问题，将几何体从正方体中截取出来如下所示：容易知三棱锥和棱长为的正方体有相同的外接球.A ODC-则外接球的半径r ==故其外接球体积.343V r π==故选：A.【点睛】本题考查几何体的还原以及外接球的求解，本题中从正方体中截取几何体是解决问题的关键.11.已知双曲线：（，，抛物线：1C 22221x y a b -=0a >0b >2C （）的准线经过的左焦点.若抛物线的焦点到的渐近线的距离为22y px =0p >1C 2C 1C 2，则的标准方程为( )2C A.B. C. D.2y =24y x=220y x=2y =【答案】D 【解析】【分析】根据题意，双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，结合离心率和焦点到渐近线的距离即可容易求得.【详解】根据题意可知双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，又因为抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，2C 1C故可得（根据点到直线的距离公式，即可容易求得）2b =(),0c b y xa =又因为，ca =解得，则.c =2p=则抛物线的方程为.2y =故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求解，涉及抛物线的渐近线，属综合基础题.12.已知函数，则使成立的的取值范围是( )211()1||x f x e x +=-+(2)(1)f x f x >+x A. B. 1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(1,)-+∞C.D. 1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据是偶函数，且当时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式.()f x 0x >【详解】因为，且其定义域为，故是偶函数；()()2111x f x f x e x+-==-+R ()f x 又当时，是单调增函数，则时，是单调减函数.0x >()211x x f x e x +=-+x 0<()f x 故等价于，(2)(1)f x f x >+21x x >+整理得，解得.()()3110x x +->()1,1,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.设向量，若与共线，则________.((),,1a b m ==-a bm =【答案】【解析】【分析】根据向量共线的坐标公式，即可容易求得参数.【详解】因为且与共线((),,1a b m ==-a b 故可得，解得.2=m =故答案为：.【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属基础题.14.一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为________.15【答案】1135【解析】【分析】根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得.【详解】因为样本容量为，根据题意可得：70第一组和第三组的频率为.84126,70357035==根据频率之和为，即可求得：1第四组的频率为.4621113535535---=故答案为：.1135【点睛】本题考查频率的计算公式，属基础题.15.若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则()sin 22f x x x =-8π()g x 在区间上的最小值为________.()g x 3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】【解析】【分析】注意平移是针对自变量x ，所以，再利用整体换元法求值()()8g x f x π=+=2sin(212x π-域（最值）即可.【详解】由已知，，()sin 22sin(23f x x x x π=-=-()(8g x f x π=+=，又，故，2sin[2(]2sin(2)8312x x πππ+-=-3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22[,]1233x πππ-∈-，所以的最小值为.2sin(2[12x π-∈()g x 故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴C 22162x y +=1F 2F AB 1F 的弦，则的内切圆方程是________.2ABF ∆【答案】224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用212ABF S lr∆=r l 2ABF ∆r 2ABF ∆圆心到直线AB 的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，，，，设内切圆的圆心为，(A-(2,B -2(2,0)F (,0)(2)t t >-半径为，则r，21222111()4222ABF S AB F F AB AF BF r a r∆=⨯⨯=⨯++⨯=⨯⨯4=解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为23r =2|(2)|3t --=43t =-83t =-2ABF ∆.224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭故答案为：.224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.组别分组频数频率频率组距1[)60,702[)70,803[)80,904[]90,100（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（Ⅱ）根据这20人的分数补全频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）频率分布表和频率分布直方图见解析，82.23【解析】【分析】（Ⅰ）列举出从四个人中抽取两人的所有情况，找出满足题意的情况，用古典概型的概率计算公式即可求得；（Ⅱ）根据茎叶图中数据，先补全频率分布表和频率分布直方图，再估算平均值即可.【详解】（Ⅰ）设分数分别为95、96、96、98的四人为、、、a b c d 从成绩为优秀的员工中任取2人，包含6个基本事件(,)a b (,)a c (,)a d (,)b c (,)b d (,)c d 设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人恰有一人的分数为96为事件.A 包含4个基本事件A (,)a b (,)a c (,)b d (,)c d ∴42()63P A ==（Ⅱ）组别分组频数频率频率组距1[)60,7021100.012[)70,8063100.033[)80,908250.044[]90,1004150.02，1342657585958210101010⨯+⨯+⨯+⨯=估计所有员工的平均分为82.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及频率分布表和频率分布直方图的绘制，涉及平均数的求解，属综合基础题.18.在中，为边上一点，，.ABC ∆M BC 45BAM ∠=︒cos AMC ∠=（1）求；sin B （2）若，，求.12MC BM= 4AC =MC【答案】（12）4【解析】【分析】（1），利用两角差的正弦公式计算即可；B AMC BAM =∠-∠（2）设，在中，用正弦定理将用x 表示，在中用一次余弦定理MC x =ABM ∆AM ACM ∆即可解决.【详解】（1）∵，cosAMC ∠=∴，sin AMC ∠=所以，sin sin()B AMC BAM =∠-∠sin cos cos sin AMC BAM AMC BAM=∠⋅∠-∠⋅∠==（2）∵，12MC BM=∴设，，MC x =2BM x =在中，由正弦定理得，，ABM ∆sin 45sin BM AMB=︒=∴，AM x =∵，2222cos AC AM MC AM MC AMC =+-⋅⋅∠∴222445x x x x =+-⋅∴.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19.点（）是抛物线：上一点，为的焦点.(1,)P t 0t >C 24y x =F C （Ⅰ）若直线与抛物线的准线交于点，求的面积；OP l Q QFP ∆（Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，证明：直线的斜率P C M N MN 是定值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，求得点的坐标，即可容易求得面积；,P Q （Ⅱ）设出点的坐标，根据点在曲线上点的坐标满足曲线方程，以及直线的,M N ,PM PN 斜率之和为零，即可容易证明.【详解】（Ⅰ）将代入得(1,)P t 24y x =2t =则：，准线：，OP l 2y x =l 1x =-∴(1,2)Q --∴122QFP P Q S OF y y ∆=-=（Ⅱ）设，()11,M x y ()22,N x y 由题可知，，0MP NP K K +=∴121222011y y x x --+=--∴1222122201144y y y y --+=--∴12022y y +=++∴124y y +=-∴1212MN y y K x x -=-即证.1241y y ==-+【点睛】本题考查抛物线上一点坐标的求解，抛物线中定值问题的简单证明，属中档题.20.如图，在直角中，.通过以直线为轴顺时针旋转AOB ∆2OA OB ==AOC ∆AOB ∆OA 得到（）.点为线段上一点，且.120︒120BOC ∠=︒MBC MB=（Ⅰ）证明：平面；MO ⊥AOB （Ⅱ）若是线段的中点，求四棱锥的体积.D AB O ACMD -【答案】.【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明，即可证明线面垂直；,AO MO MO OB ⊥⊥（Ⅱ）根据即可容易求得.O ACMD A BOC M ODB V V V ---=-【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理得，MOB ∆OM =∴∴222OM OB MB +=OM OB⊥由题意可知：∴，，OA OB ⊥OA OC ⊥OB OC O = ∴平面，OA ⊥COB 平面，∴OM ⊂COB OA OM⊥，OA OB O = ∴平面，OM ⊥AOB（Ⅱ）1122232A BOC V -=⨯⨯⨯=112132M ODB D OMB V V --==⨯⨯=O ACMD A BOC M ODB V V V ---=-=故四棱锥O ACMD -【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及棱锥体积的求解，属中档题.21.已知函数（）.2()()ln 2a x f x x +=+a ∈R （Ⅰ）若函数，讨论的单调性；()()(1)ln h x f x x a x =--+()h x （Ⅱ）若函数的导数的两个零点从小到大依次为，，证明：()f x ()f x '1x 2x .()1222x x f x +<【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，求得，对参数进行分类讨论即可容易求得；()h x 'a （Ⅱ）根据是的两根，求得之间的关系式，构造函数12,x x ()f x '12,x x ，根据其单调性即可证明.21()ln 222x x g x x x =---【详解】（Ⅰ）∵∴（）.2()()ln 2a x h x a x x +=--+(1)()()x x a h x x -+'=0x >当时，，0a ≥()01h x x '>⇒>()001h x x '<⇒<<∴在上单调递增，在上单调递减；()h x (1,)+∞(0,1)当时，或，10a -<<()01h x x '>⇒>0x a <<-()01h x a x '<⇒-<<∴在，上单调递增，在上单调递减；()h x (1,)+∞(0,)a -(,1)a -当时，或，1a <-()0h x x a '>⇒>-01x <<()01h x x a'<⇒<<-∴在，上单调递增，在上单调递减；()h x (,)a -+∞(0,1)(1,)a -当时，在上恒成立，1a =-()0h x '≥(0,)+∞所以在上单调递增；()h x (0,)+∞综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；0a ≥()h x (1,)+∞(0,1)当时，在，上单调递增，在上单调递减；10a -<<()h x (1,)+∞(0,)a -(,1)a -当时，在，上单调递增，在上单调递减；1a <-()h x (,)a -+∞(0,1)(1,)a -当时，在上单调递增.1a =-()h x (0,)+∞（Ⅱ）∵（）.21()x ax f x x ++'=0x >且的两个零点从小到大依次为，()f x '1x 2x ∴，是方程的两个根，1x 2x 210x ax ++=∴12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩又，且所以1>0x 20x >12x x <1201x x <<<欲证，即证()1222x x f x +<()22122ln 22x a x x x +++<只需证1211111ln 22x x x x ++<令（），21()ln 222x x g x x x =---01x <<()221(21)()2x x g x x --'=∴在上单调递增，上单调递减，()g x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，1()02g x g ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭即成立.()1222x x f x +<【点睛】本题考查分类讨论求函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及构造函数法，属综合困难题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.选修4-4坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲xOy C 2221121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩t ()00,p xy 线上，点满足.C (,)Q m n 002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐O x Q 1C 标方程；（2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求A B 1C 2AOB π∠=的值.2211||||OA OB +【答案】（1）（）；（2）22223cos 4sin 12p θρθ+=πθπ-<<712【解析】【分析】（1）由已知，曲线的参数方程消去t 后，要注意x 的范围，再利用普通方程与极坐标方C 程的互化公式运算即可；（2）设，，由（1）可得，()11,A ρθ21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2211213cos 4sin 112θθρ+=，相加即可得到证明.2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=【详解】（1），222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵，∴，∴，(]2211,11t t -∈-+1x ≠-221(1)x y x +=≠-由题可知：，002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩：（）.1C 22223cos 4sin 12ρθρθ+=πθπ-<<（2）因为，222123cos 4sin ρθθ=+设，，()11,A ρθ21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则，2211213cos 4sin 112θθρ+=，2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22113sin 4cos 12θθ+=.22221211117||||12OA OB ρρ+=+=【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.选修4-5不等式选讲23.已知关于的不等式有解.x |1||3||2|x x m m +--≥-+（1）求实数的最大值；m t （2）若，，均为正实数，且满足.证明：.a b c a b c t ++=3333a b b c c a abc ++≥【答案】（1）；（2）见解析3t =【解析】【分析】（1）由题意，只需找到的最大值即可；()|1||3|f x x x =+--（2），构造并利用基本不等式可得22233333b c a a b b c c a abc a b c ++≥⇔++≥，即.222()2()b c a a b c a b c a b c +++++≥++2223b c a a b c a b c ++≥++=【详解】（1），()|1||3|f x x x =+--4,322,134,1x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩∴的最大值为4.()f x 关于的不等式有解等价于，x |1||3||2|x x m m +--≥-+max ()4|2|f x m m =≥-+（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得，2m ≥42m m ≥-+23m ≤≤（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得，2m <42m m ≥-++2m <综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.m 3m ≤m 3t =（2）证明：根据（1）求解知，所以，3t =3a b c t ++==又∵，，，，0a >0b >0c >22233333b c a a b b c c a abc a b c ++≥⇔++≥222222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c+++++=+++++，当且仅当时，等号成立，2()a b c ≥++=++a b c ==即，∴，222b c a a b c a b c ++≥++2223b c a a b c ++≥所以，.3333a b b c c a abc ++≥【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.。

2020届东北三省四市教研联合体高考模拟数学(文)试题(解析版)

2020届东北三省四市教研联合体高考模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}2,3,5,7A =，{}1,2,4,6B =，则()U A B =I ð（）A ．{}2,5,7B ．{}3,5,7C ．{}3D ．{}5,7【答案】B【解析】先由已知得到{3,5,7}U C B =，再与A 求交集即可. 【详解】由已知，{3,5,7}U C B =，故(){3,5,7}U A C B =I . 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知2(1)=1i i z+-，则复数z =( )A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】D【解析】根据复数的四则运算，即可求得复数z . 【详解】因为2(1)=1i i z+-，故可得()()()()2121211111i i i iz i i i i i ++====-+---+. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.3．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若150S =，则8a =( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】根据15815S a =，即可容易求得. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，故可得15815S a =，又150S =，故可得80a =. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属基础题. 4．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解分式不等式，根据充分性和必要性即可容易求得. 【详解】因为11x<，即可求得()(),01,x ∈-∞⋃+∞，故0x <是11x<的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及分式不等式的求解.5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（） A ．227B ．15750C ．289D ．337115【答案】C【解析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=，故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C. 【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A ，B ，C .为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500g k 生活垃圾，数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为( )A ．2350B ．14C ．950D ．310【答案】D【解析】先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可. 【详解】根据题意，投放正确的概率为20012030?750010++=，故投放错误的概率为7311010-=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单随机事件的概率求解，属基础题. 7．已知曲线3211()532f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则2cos 2sin 2cos ααα=+( )A．12B．35-C．2 D．85【答案】B【解析】根据导数的几何意义，求得tanα，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.【详解】因为3211()532f x x x=+-，故可得()2f x x x'=+，则切线的斜率()12tan fα'==；又因为2cos2sin2cosααα=+2222cos sin1tan1432cos21415sin cos tanααααααα---===-+++.故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及已知正切值求齐次式的值，属综合基础题.8．已知函数232,0()log,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩，若函数|()|y f x m=-的零点恰有4个，则实数m 的取值范围是( )A．33,102⎛⎤⎥⎝⎦B．(]0,2C．20,3⎛⎤⎥⎝⎦D．31,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】画出函数()y f x=的图像，数形结合即可容易求得.【详解】因为232,0()log,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩，故可得()y f x=的图像如下：若函数|()|y f x m=-的零点恰有4个，即()y f x =与y m =有4个交点，故(]0,2m ∈. 故选：B. 【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数函数的图像，属综合中档题. 9．设等比数列{}n a 满足()211047220a a a a +=+，则56a a 的最大值为( )A ．5B ．4C ．10D ．5【答案】C【解析】根据等比数列的下标和性质，即可容易求得2211020a a +=，再根据均值不等式即可容易求得. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，又()211047220a a a a +=+，故可得22110110472220a a a a a a ++=+，即2211020a a +=，又56a a 110a a =，又22110110102a a a a +≤=，当且仅当11010a a ==时，取得最大值.. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题. 10．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O .剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为( )A ．86πB ．24πC ．6πD ．48π【答案】A【解析】根据题意，还原出几何体，结合几何体的特点，即可容易求得. 【详解】根据题意，为方便说明问题，将几何体从正方体中截取出来如下所示：容易知三棱锥A ODC -和棱长为22. 则外接球的半径3226r ==，故其外接球体积34863V r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何体的还原以及外接球的求解，本题中从正方体中截取几何体是解决问题的关键.11．已知双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）5抛物线2C ：22y px =（0p >）的准线经过1C 的左焦点.若抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，则2C 的标准方程为( ) A ．22y x = B ．24y x =C ．220y x =D ．25y x =【答案】D【解析】根据题意，双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，结合离心率和焦点到渐近线的距离即可容易求得. 【详解】根据题意可知双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，又因为抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，故可得2b =（根据点(),0c 到直线by x a=的距离公式，即可容易求得）又因为ca=解得c =2p=则抛物线的方程为2y =. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求解，涉及抛物线的渐近线，属综合基础题.12．已知函数211()1||xf x ex +=-+，则使(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是( )A ．1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)-+∞C ．1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据()f x 是偶函数，且当0x >时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式. 【详解】因为()()2111xf x f x ex+-==-+，且其定义域为R ，故()f x 是偶函数；又当0x >时，()211x x f x ex+=-+是单调增函数，则x 0<时，()f x 是单调减函数. 故(2)(1)f x f x >+等价于21x x >+，整理得()()3110x x +->，解得()1,1,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.二、填空题13．设向量((),,1a b m ==-r r ，若a r 与b r共线，则m =________.【答案】【解析】根据向量共线的坐标公式，即可容易求得参数. 【详解】因为((),,1a b m ==-r r 且a r 与b r共线故可得2=，解得m =故答案为：. 【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属基础题.14．一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为15，则该样本第四组的频率为________. 【答案】1135【解析】根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得. 【详解】因为样本容量为70，根据题意可得：第一组和第三组的频率为84126,70357035==. 根据频率之和为1，即可求得：第四组的频率为4621113535535---=. 故答案为：1135. 【点睛】本题考查频率的计算公式，属基础题.15．若函数()sin 22f x x x =-的图像向左平移8π个单位得到函数()g x 的图像.则()g x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为________.【答案】【解析】注意平移是针对自变量x ，所以()()8g x f x π=+=2sin(2)12x π-，再利用整体换元法求值域（最值）即可. 【详解】由已知，()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π=-=-，()()8g x f x π=+= 2sin[2()]2sin(2)8312x x πππ+-=-，又3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故22[,]1233x πππ-∈-，2sin(2)[3,2]12x π-∈-，所以()g x 的最小值为3-.故答案为：3-. 【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.16．已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF ∆的内切圆方程是________.【答案】224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】利用公式212ABF S lr ∆=计算出r ，其中l 为2ABF ∆的周长，r 为2ABF ∆内切圆半径，再利用圆心到直线AB 的距离等于半径可得到圆心坐标. 【详解】由已知，6(2,3A -，6(2,3B --，2(2,0)F ，设内切圆的圆心为(,0)(2)t t >-，半径为r ，则21222111()4222ABF S AB F F AB AF BF r a r ∆=⨯⨯=⨯++⨯=⨯⨯，故有6463r ⨯=，解得23r =，由2|(2)|3t --=，43t =-或83t =-（舍），所以2ABF ∆的内切圆方程为224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 故答案为：224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题17．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.组别分组频数频率频率组距1[)60,702 [)70,803[)80,904 []90,100（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（Ⅱ）根据这20人的分数补全频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）频率分布表和频率分布直方图见解析，82. 【解析】（Ⅰ）列举出从四个人中抽取两人的所有情况，找出满足题意的情况，用古典概型的概率计算公式即可求得；（Ⅱ）根据茎叶图中数据，先补全频率分布表和频率分布直方图，再估算平均值即可.【详解】（Ⅰ）设分数分别为95、96、96、98的四人为a 、b 、c 、d从成绩为优秀的员工中任取2人，包含(,)a b (,)a c (,)a d (,)b c (,)b d (,)c d 6个基本事件设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人恰有一人的分数为96为事件A .A 包含(,)a b (,)a c (,)b d (,)c d 4个基本事件∴42()63P A == （Ⅱ）组别分组频数频率频率组距1 [)60,702 110 0.01 2 [)70,80 6 310 0.033 [)80,908 25 0.04 4[]90,100 4 15 0.021342657585958210101010⨯+⨯+⨯+⨯=，估计所有员工的平均分为82.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及频率分布表和频率分布直方图的绘制，涉及平均数的求解，属综合基础题.18．在ABC ∆中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒，cos AMC ∠=. （1）求sin B ；（2）若12MC BM =u u u u r u u u u r ，4AC =，求MC . 【答案】（1（2）4 【解析】（1）B AMC BAM =∠-∠，利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设MC x =，在ABM ∆中，用正弦定理将AM 用x 表示，在ACM ∆中用一次余弦定理即可解决.【详解】（1）∵cos 5AMC ∠=，∴sin 5AMC ∠=，所以，sin sin()B AMC BAM =∠-∠sin cos cos sin AMC BAM AMC BAM =∠⋅∠-∠⋅∠22=⋅=. （2）∵12MC BM =u u u u r u u u u r ， ∴设MC x =，2BM x =，在ABM ∆中，由正弦定理得，sin 45sin BM AM B=︒，=，∴5AM x =，∵2222cos AC AM MC AM MC AMC =+-⋅⋅∠，∴222442555x x x x =+-⋅⋅ ∴4MC x ==.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19．点(1,)P t （0t >）是抛物线C ：24y x =上一点，F 为C 的焦点.（Ⅰ）若直线OP 与抛物线的准线l 交于点Q ，求QFP ∆的面积；（Ⅱ）过点P 作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M ，N 两点，证明：直线MN 的斜率是定值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意，求得点,P Q 的坐标，即可容易求得面积；（Ⅱ）设出点,M N 的坐标，根据点在曲线上点的坐标满足曲线方程，以及直线,PM PN 的斜率之和为零，即可容易证明.【详解】（Ⅰ）将(1,)P t 代入24y x =得2t =则OP l ：2y x =，准线l ：1x =-，∴(1,2)Q -- ∴122QFP P Q S OF y y ∆=-= （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y由题可知，0MP NP K K +=， ∴121222011y y x x --+=-- ∴1222122201144y y y y --+=-- ∴1244022y y +=++∴124y y+=-∴1212MNy yKx x-=-1241y y==-+即证.【点睛】本题考查抛物线上一点坐标的求解，抛物线中定值问题的简单证明，属中档题. 20．如图，在直角AOB∆中，2OA OB==.AOC∆通过AOB∆以直线OA为轴顺时针旋转120︒得到（120BOC∠=︒）.点M为线段BC上一点，且43MB=.（Ⅰ）证明：MO⊥平面AOB；（Ⅱ）若D是线段AB的中点，求四棱锥O ACMD-的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ43.【解析】（Ⅰ）通过证明,AO MO MO OB⊥⊥，即可证明线面垂直；（Ⅱ）根据O ACMD A BOC M ODBV V V---=-即可容易求得.【详解】（Ⅰ）在MOB∆中，由余弦定理得，23OM=，∴222OM OB MB +=∴OM OB ⊥由题意可知：∴OA OB ⊥，OA OC ⊥，OB OC O =I∴OA ⊥平面COB ，OM ⊂平面COB ，∴OA OM ⊥OA OB O =I ，∴OM ⊥平面AOB ，（Ⅱ）1122232A BOC V -=⨯⨯⨯=112132M ODB D OMB V V --==⨯⨯=9O ACMD A BOC M ODB V V V ---=-=故四棱锥O ACMD -的体积为9. 【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及棱锥体积的求解，属中档题.21．已知函数2()()ln 2a x f x x +=+（a ∈R ）. （Ⅰ）若函数()()(1)ln h x f x x a x =--+，讨论()h x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 的导数()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，证明：()1222x x f x +<. 【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意，求得()h x '，对参数a 进行分类讨论即可容易求得；（Ⅱ）根据12,x x 是()f x '的两根，求得12,x x 之间的关系式，构造函数21()ln 222x x g x x x=---，根据其单调性即可证明. 【详解】（Ⅰ）∵2()()ln 2a x h x a x x +=--+∴(1)()()x x a h x x -+'=（0x >）. 当0a ≥时，()01h x x '>⇒>，()001h x x '<⇒<<∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a -<<时，()01h x x '>⇒>或0x a <<-，()01h x a x '<⇒-<< ∴()h x 在(1,)+∞，(0,)a -上单调递增，在(,1)a -上单调递减；当1a <-时，()0h x x a '>⇒>-或01x <<，()01h x x a '<⇒<<-∴()h x 在(,)a -+∞，(0,1)上单调递增，在(1,)a -上单调递减；当1a =-时，()0h x '≥在(0,)+∞上恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增；综上所述：当0a ≥时，()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a -<<时，()h x 在(1,)+∞，(0,)a -上单调递增，在(,1)a -上单调递减；当1a <-时，()h x 在(,)a -+∞，(0,1)上单调递增，在(1,)a -上单调递减；当1a =-时，()h x 在(0,)+∞上单调递增. （Ⅱ）∵21()x ax f x x++'=（0x >）. 且()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两个根， ∴12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩ 又1>0x ，20x >且12x x <所以1201x x <<<欲证()1222x x f x +<，即证()22122ln 22x a x x x +++< 只需证1211111ln 22x x x x ++< 令21()ln 222x x g x x x =---（01x <<），()221(21)()2x x g x x--'= ∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴1()02g x g ⎛⎫≤<⎪⎝⎭，即()1222x x f x +<成立. 【点睛】本题考查分类讨论求函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及构造函数法，属综合困难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.点()00,p x y 在曲线C 上，点(,)Q m n满足002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程；（2）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB π∠=，求2211||||OA OB +的值. 【答案】（1）22223cos 4sin 12p θρθ+=（πθπ-<<）；（2）712【解析】（1）由已知，曲线C 的参数方程消去t 后，要注意x 的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；（2）设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）可得2211213cos 4sin 112θθρ+=，2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，相加即可得到证明. 【详解】（1）222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∵(]2211,11t t-∈-+，∴1x ≠-，∴221(1)x y x +=≠-，由题可知：002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩， 1C ：22223cos 4sin 12ρθρθ+=（πθπ-<<）.（2）因为222123cos 4sin ρθθ=+，设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2211213cos 4sin 112θθρ+=， 2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22113sin 4cos 12θθ+=， 22221211117||||12OA OB ρρ+=+=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.23．已知关于x 的不等式|1||3||2|x x m m +--≥-+有解.（1）求实数m 的最大值t ；（2）若a ，b ，c 均为正实数，且满足a b c t ++=.证明：3333a b b c c a abc ++≥.【答案】（1）3t =；（2）见解析【解析】（1）由题意，只需找到()|1||3|f x x x =+--的最大值即可；（2）22233333b c a a b b c c a abc a b c ++≥⇔++≥，构造并利用基本不等式可得222()2()b c a a b c a b c a b c +++++≥++，即2223b c a a b c a b c++≥++=. 【详解】（1）()|1||3|f x x x =+--4,322,134,1x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，∴()f x 的最大值为4.关于x 的不等式|1||3||2|x x m m +--≥-+有解等价于max ()4|2|f x m m =≥-+，（ⅰ）当2m ≥时，上述不等式转化为42m m ≥-+，解得23m ≤≤，（ⅱ）当2m <时，上述不等式转化为42m m ≥-++，解得2m <，综上所述，实数m 的取值范围为3m ≤，则实数m 的最大值为3，即3t =. （2）证明：根据（1）求解知3t =，所以3a b c t ++==，又∵0a >，0b >，0c >，22233333b c a a b b c c a abc a b c ++≥⇔++≥， 222222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c+++++=+++++2()a b c ≥=++，当且仅当a b c ==时，等号成立，即222b c a a b c a b c ++≥++，∴2223b c a a b c++≥，所以，3333a b b c c a abc ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.。

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(文科)

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5，6，7}，集合{2A =，3，5，7}，{1B =，2，4，6}，则()(U A B =⋂ð )A ．{2，5，7}B ．{3，5，7}C ．{3}D ．{5，7}2．（5分）已知2(1)1i i z +=-，则复数(z = )A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．（5分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若150S =，则8(a = ) A ．1-B ．0C ．1D ．24．（5分）设x 是实数，“0x < “是11x< “的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件5．（5分）《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积2136V L h ≈的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式23112V L h ≈相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为( ) A ．227B ．15750C ．289D ．3371156．（5分）哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A ，B ，C ．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg 生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为( )c155030A．2350B．14C．950D．3107．（5分）已知曲线3211()532f x x x=+-在点(1，f（1）)处的切线的倾斜角为α，则2cos2(sin2cosααα=+)A．13B．35-C．2D．858．（5分）已知函数232,0(),0x xf xlog x x+⎧=⎨>⎩…若函数|()|y f x m=-的零点恰有4个，则实数m的取值范围是()A．3(10，3]2B．(0，2]C．(0，2]3D．3(1,)29．（5分）设等比数列{}na满足211047()220a a a a+=+，则56a a的最大值为()A．5B．4C．10D．510．（5分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去AOB∆，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B）C，D，O为顶点的四面体的外接球的体积为()A．6πB．24πC6πD．48π11．（5分）已知双曲线22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>5，抛物线22:2(0)C y px p=>的准线经过1C的左焦点．若抛物线2C的焦点到1C的渐近线的距离为2，则2C的标准方程为()A．222y x=B．24y x=C．220y x=D．25y x=12．（5分）已知函数211()1||xf x ex+=-+，则使(2)(1)f x f x>+成立的x的取值范围是( )A．(-∞，1)(13-⋃，)+∞B．(1,)-+∞C ．(-∞，11)(3-⋃，)+∞D ．1(3，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）设向量(2,2)a =r ，(,1)b m =-r ，若a r与b r 共线，则m = ．14．（5分）一个样本的容量为70，分成五组．已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为15，则该样本第四组的频率为．15．（5分）若函数()sin 23cos 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位得到函数()g x 的图象．则()g x 在区间3[,]88ππ-上的最小值为．16．（5分）已知椭圆22:162x y C +=的左右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF ∆的内切圆方程是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数．如图茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）: 若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（Ⅱ）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．组别分组频数频率频率组距 1 [60，70) 2 [70，80) 3 [80，90) 4[90，100)18．（12分）在ABC ∆中，M 是BC 边上一点，545,cos BAM AMC ∠=︒∠=．（1）求sin B ；（2）若1,42MC BM AC ==u u u u r u u u u r，求MC ．19．（12分）点(1P ，)(0)t t >是抛物线2:4C y x =上一点，F 为C 的焦点．（Ⅰ）若直线OP 与抛物线的准线l 交于点Q ，求QFP ∆的面积；（Ⅱ）过点P 作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M ，N 两点．证明：直线MN 的斜率是定值．20．（12分）如图，在直角AOB ∆中，2OA OB ==．AOC ∆通过AOB ∆以直线OA 为轴顺时针旋转120︒得到(120)BOC ∠=︒．点M 为线段BC 上一点，且43MB =．（Ⅰ）证明：MO ⊥平面AOB ；（Ⅱ）若D 是线段AB 的中点，求四棱锥O ACMD -的体积．。

2020年东北三省四市教研联合体高考(文科)数学第一次模拟检测试卷含解析

2020年高考（文科）数学一模试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}2．已知＝1﹣i，则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．S n为等差数列{a n}的前n项和，若S15＝0，则a8＝（）A．﹣1B．0C．1D．24．设x是实数，“x＜0“是＜1“的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件5．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．6．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A，B，C．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为（）A B Ca2001040b1512020c155030A．B．C．D．7．已知曲线f（x）＝x3+x2﹣5在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则＝（）A．B．﹣C．2D．8．已知函数f（x）＝若函数y＝|f（x）|﹣m的零点恰有4个，则实数m 的取值范围是（）A．（，]B．（0，2]C．（0，]D．（1，）9．设等比数列{a n}满足（a1+a10）2＝2a4a7+20，则a5a6的最大值为（）A．B．4C．10D．510．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B）C，D，O为顶点的四面体的外接球的体积为（）A．8πB．24πC．D．48π11．已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（p ＞0）的准线经过C1的左焦点．若抛物线C2的焦点到C1的渐近线的距离为2，则C2的标准方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝20x D．y2＝4x12．已知函数f（x）＝e﹣，则使f（2x）＞f（x+1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（，1）二、填空题13．设向量＝（2，），＝（﹣m，1），若与共线，则m＝．14．一个样本的容量为70，分成五组．已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为．15．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．三、解答题17．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数．如图茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（Ⅱ）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．组别分组频数频率1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100）18．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．19．点P（1，t）（t＞0）是抛物线C：y2＝4x上一点，F为C的焦点．（Ⅰ）若直线OP与抛物线的准线l交于点Q，求△QFP的面积；（Ⅱ）过点P作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点．证明：直线MN的斜率是定值．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2．△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°）．点M为线段BC上一点，且MB＝．（Ⅰ）证明：MO⊥平面AOB；（Ⅱ）若D是线段AB的中点，求四棱锥O﹣ACMD的体积．21．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R）．（Ⅰ）若函数h（x）＝f（x）﹣x﹣（a+1）lnx，讨论h（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的导数f′（x）的两个零点从小到大依次为x1，x2，证明：f（x2）＜．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，∴∁U B＝{3，5，7}，∴A∩（∁U B）＝{3，5，7}．故选：B．2．已知＝1﹣i，则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：∵，∴z＝＝＝i﹣1，∴z＝﹣1+i．故选：C．3．S n为等差数列{a n}的前n项和，若S15＝0，则a8＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出．解：S n为等差数列{a n}的前n项和，S15＝＝15a8＝0，则a8＝0，故选：B．4．设x是实数，“x＜0“是＜1“的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件【分析】将＜1化简为：x＜0或x＞1，再根据充分条件和必要条件的定义即可得正确答案解：∵＜1，∴﹣1＜0，即＜0，即x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴“x＜0”是“＜1”的充分比必要条件，故选：B．5．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值．解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L＝2πr，＝，∴π＝，即π＝．即π的近似值为．故选：C．6．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A，B，C．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为（）A B Ca2001040b1512020c155030 A．B．C．D．【分析】利用古典概型能估计生活垃圾投放错误的概率．解：由题意，估计生活垃圾投放错误的概率为：P＝＝．故选：D．7．已知曲线f（x）＝x3+x2﹣5在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则＝（）A．B．﹣C．2D．【分析】先对f（x）求导，然后求出曲线在点（1，f（1））处的切线斜率tanα，再将用tanα表示，进一步求出其值．解：由f（x）＝x3+x2﹣5，得f'（x）＝x2+x，则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率tanα＝f'（1）＝2．∴＝＝．故选：B．8．已知函数f（x）＝若函数y＝|f（x）|﹣m的零点恰有4个，则实数m 的取值范围是（）A．（，]B．（0，2]C．（0，]D．（1，）【分析】由|f（x）|﹣m＝0，得|f（x）|＝m，画出y＝|f（x）|和y＝m的图象，由两函数图象有4个交点可得m的取值范围．解：由函数y＝|f（x）|﹣m的零点恰有4个，得方程|f（x）|＝m有4个根，画出y＝|f（x）|和y＝m的图象如图所示，结合图象可知，它们的图象有4个交点，则0＜m≤2，故选：B．9．设等比数列{a n}满足（a1+a10）2＝2a4a7+20，则a5a6的最大值为（）A．B．4C．10D．5【分析】根据等比数列的性质和基本不等式即可求出．解：等比数列{a n}满足（a1+a10）2＝2a4a7+20＝2a5a6+20，∴4a1a10≤2a5a6+20，∴4a5a6≤2a5a6+20，∴a5a6≤10，故最大值为10，故选：C．10．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B）C，D，O为顶点的四面体的外接球的体积为（）A．8πB．24πC．D．48π【分析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，由此能求出以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积．解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，如图，取CD中点E，连结AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，则F是△ACD的重心，由题意知AE＝＝2，AF＝＝，OF＝＝＝，设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，且OG＝AG＝R，∴由AG2＝AF2+GF2，得：R2＝（）2+（R﹣）2，解得R＝，∴以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为V＝πR3＝8π．故选：A．11．已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（p ＞0）的准线经过C1的左焦点．若抛物线C2的焦点到C1的渐近线的距离为2，则C2的标准方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝20x D．y2＝4x【分析】求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点F，运用点到直线的距离公式和离心率公式，即可得到p的方程，解得p，即可得到抛物线方程．解：双曲线的渐近线方程为y＝，抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点F为（，0），则F到渐近线的距离为d＝＝2，双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，即e＝＝，b＝＝2a，则有，解得p＝2，则有抛物线的方程为y2＝4x．故选：D．12．已知函数f（x）＝e﹣，则使f（2x）＞f（x+1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（，1）【分析】由f（﹣x）＝f（x）知函数f（x）为偶函数，且当x＞0时，f（x）＝e﹣为增函数，于是f（2x）＞f（x+1）可等价转化|2x|＞|x+1|，解之即可．解：∵f（﹣x）＝﹣＝e﹣＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，又当x＞0时，y＝e与y＝﹣均为增函数，∴当x＞0时，f（x）＝e﹣为增函数，∴f（2x）＞f（x+1）等价于|2x|＞|x+1|，解得：x＜﹣或x＞1，即x的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．设向量＝（2，），＝（﹣m，1），若与共线，则m＝﹣．【分析】利用向量与向量平行的性质直接求解．解：∵向量＝（2，），＝（﹣m，1），与共线，∴，解得m＝﹣．故答案为：﹣．14．一个样本的容量为70，分成五组．已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为．【分析】利用该样本五组的频率之和为1，能求出第四组的频率．解：一个样本的容量为70，分成五组．第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为：1﹣﹣＝．故答案为：．15．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．【分析】先由辅助角公式化简函数f（x）得，再由图象变换法则可得，最后由给定区间结合三角函数的图象及性质求得最小值．解：，函数f（x）向左平移个单位得到函数，∵，∴，∴，即g（x）在区间上的最小值为．故答案为：．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．【分析】设△ABF2内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝2，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF2的周长与面积，由内切圆的性质计算可得内切圆半径，进一步求得圆心坐标，则答案可求．解：设△ABF2内切圆的半径为r，椭圆的方程为，其中a＝，b＝，c＝，则|F1F2|＝2c＝4，AB与x轴垂直，则有|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝，解得：|AF1|＝，|AF2|＝，△ABF2的周长l＝|AF2|+|BF2|+|AB|＝，其面积S＝×|AB|×|F1F2|＝，由内切圆的性质可知，有r×＝，解得r＝．∴圆心横坐标为﹣2+，即圆心坐标为（，0），则△ABF2的内切圆方程是，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数．如图茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（Ⅱ）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．组别分组频数频率1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100）【分析】（Ⅰ）设分数分别为95，96，98的四人为a，b，c，d，从成绩为优秀的员工中任取2人，利用列举法能求出恰有一人的分数为96的概率．（Ⅱ）完成频率分布直方图，作出频率分布直方图，根据频率分布直方图能估计所有员工的平均分数．解：（Ⅰ）设分数分别为95，96，98的四人为a，b，c，d，从成绩为优秀的员工中任取2人，包含（a，b），（a，c），（b，d），（c，d）共6个基本事件，设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人，恰有一人的分数为96是事件A，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，d），（c，d），共4个，∴P（A）＝＝．（Ⅱ）完成频率分布直方图如下：组别分组频数频率1[60，70）20.012[70，80）60.033[80，90）80.044[90，100]40.02作出频率分布直方图得：根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数为：＝+75×+85×+95×＝82．18．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．【分析】（1）由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，设α，β分别为已知角，所以B角用已知角表示，再由题意可得α，β的正弦值，余弦值，由两角差的正弦公式展开可得B的正弦值．（2）由向量的关系，可得线段MC，MB的关系，由（1）及由正弦定理可得AM的值，再由余弦定理可得MC的值．解：（1）由题意可得设∠BAM＝α，∠AMC＝β，由题意可得sinα＝sin45°＝，cosα＝，B＝β﹣α，cosβ＝，所以sinβ＝，所以sin B＝sin（β﹣α）＝sinβcosα﹣cosβsinα＝﹣＝；（2）因为＝，设MC＝x，BM＝2x，在△ABM中，由正弦定理可得＝，所以＝，所以AM＝x，因为AC2＝AM2+MC2﹣2AM•MC•cosβ，所以42＝x2+x2﹣2x，解得MC＝x＝4，所以MC的值为4．19．点P（1，t）（t＞0）是抛物线C：y2＝4x上一点，F为C的焦点．（Ⅰ）若直线OP与抛物线的准线l交于点Q，求△QFP的面积；（Ⅱ）过点P作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点．证明：直线MN的斜率是定值．【分析】（Ⅰ）先求出点P的坐标，再求出直线OP的方程，结合抛物线准线方程求出点Q的坐标，即可求出△QFP的面积；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知k PM+k PN＝0，所以，整理得y1+y2＝﹣4，所以直线MN的斜率＝﹣1．解：（Ⅰ）将P（1，t）代入y2＝4x得t＝2，∴点P（1，2），∴直线OP的方程为：y＝2x，又∵准线方程为：x＝﹣1，∴点Q（﹣1，﹣2），∴S△QFP＝＝；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），∵直线PM与直线PN的倾斜角互补，∴k PM+k PN＝0，∴，又∵，，∴，整理得：，∴y1+2＝﹣（y2+2），∴y1+y2＝﹣4，∴直线MN的斜率＝＝，故直线MN的斜率为定值﹣1．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2．△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°）．点M为线段BC上一点，且MB＝．（Ⅰ）证明：MO⊥平面AOB；（Ⅱ）若D是线段AB的中点，求四棱锥O﹣ACMD的体积．【分析】（Ⅰ）由余弦定理得OM＝，再由勾股定理求出OM⊥OB，由题意得OA ⊥OB，OA⊥OC，从而OA⊥平面COB，进而OA⊥OM，由此能证明MO⊥平面AOB．（Ⅱ）由V M﹣CDB＝V D﹣CMB，V O﹣ACMD＝V A﹣BDC﹣V M﹣CBD，能求出四棱锥O﹣ACMD的体积．解：（Ⅰ）证明：在△MOB中，由余弦定理得OM＝，∴OM2+OB2＝MB2，∴OM⊥OB，由题意得OA⊥OB，OA⊥OC，∵OB∩OC＝O，∴OA⊥平面COB，∵OM⊂平面COB，∴OA⊥OM，∵OA∩OB＝O，∴MO⊥平面AOB．（Ⅱ）解：∵D是线段AB的中点，∴V A﹣BDC＝，V M﹣CDB＝V D﹣CMB＝＝，∴四棱锥O﹣ACMD的体积为：V O﹣ACMD＝V A﹣BDC﹣V M﹣CBD＝．21．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R）．（Ⅰ）若函数h（x）＝f（x）﹣x﹣（a+1）lnx，讨论h（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的导数f′（x）的两个零点从小到大依次为x1，x2，证明：f（x2）＜．【分析】（I）先对h（x）求导，然后结合导数与单调性的关系讨论a的范围，确定导数的正负，进而可求函数的单调性；（II）由已知x1，x2，结合方程的根与系数关系可得，进而可得0＜x1＜1＜x2，要证明：f（x2）＜，即证，只需证，构造函数，然后结合导数研究函数的性质可证．解：（I）h（x）＝﹣x﹣alnx，x＞0，∴，当a≥0时，由h′（x）＞0可得x＞1，由h′（x）＜0可得0＜x＜1，故h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，当﹣1＜a＜0时，由h′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜1，由h′（x）＜0可得﹣a＜x＜1，故h（x）在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞），（0，﹣a）上单调递增，当a＜﹣1时，由h′（x）＞0可得x＞﹣a或0＜x＜1，由h′（x）＜0可得1＜x＜﹣a，故h（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞），（0，1）上单调递增，当a＝﹣1时，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，综上当a≥0时，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，当﹣1＜a＜0时，h（x）在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞），（0，﹣a）上单调递增，当a＜﹣1时，h（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞），（0，1）上单调递增，当a＝﹣1时，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，（II）证明：∵，x＞0，且导数f′（x）的两个零点从小到大依次为x1，x2，∴x1，x2，是x2+ax+1＝0的两根，所以，∵x2＞x1＞0，所以0＜x1＜1＜x2，要证明：f（x2）＜，只要证，只需证，令g（x）＝，0＜x＜1，则，易得当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x时g′（x）＜0，所以g（x）在（0，）上单调递增，在（）上单调递减，故g（x）≤g（）＜0．即f（x2）＜．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．【分析】（Ⅰ）推导出x2+y2＝1（x≠﹣1），，从而＝1，（m≠﹣2），由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，由此能求出．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，∴x2+y2＝（）2+（）2＝1，∵∈（﹣1，1]，∴x≠﹣1，∴x2+y2＝1（x≠﹣1），∵点Q（m，n）满足．∴，∴＝1，（m≠﹣2），∴动点Q的轨迹C的极坐标方程为：3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝12．（﹣π＜θ＜π）．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，∴＝+＝+＝．[选修4-5不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，可得函数的最大值，再分类讨论即可求出m 的取值范围，可得t的值；（2）要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，根据基本不等式即可证明．解：（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|＝，∴当m≥3时，f（x）的最大值为4，关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解等价于f（x）max＝4≥|m﹣2|+m，当m≥2时，上述不等式转化为4≥m﹣2+m，解得2≤m≤3，当m＜2时，上述不等式转化为4≥﹣m+2+m，解得m＜2，综上所述m的取值范围为m≤3，故实数m的最大值t＝3；证明：（2）根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝3，要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，∵+++（a+b+c）＝（+a）+（+b）+（+c）≥2+2+2＝2（a+b+c），∴++≥3，那么a3b+b3c+c3a≥3abc．。

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