数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教A版必修5)

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天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.2 正弦定理与余弦定理习题课课件新人教A版必修5

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(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
习题课
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1．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一定是 A．等腰直角三角形 ( C ) B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
1 ah (1)S＝ 2 a
(ha 表示 a 边上的高)； 1 1 1 acsin B bcsin A (2)S＝ absin C＝ 2 ＝ 2 ； 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)． 2
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
题型一
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利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证：＝ . tan B b2＋c2－a2
小结这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键
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是化去向量的· 题型解法、解题更高效
习题课
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跟踪训练 3 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、 3 2 b、c，已知 b ＝ac 且 cos B＝ . 4 1 1 (1)求＋的值； tan A tan C → → 3 (2)设BA· BC＝，求 a＋c 的值． 2 3 解 (1)由 cos B＝， 4

人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正弦定理边化角结合两角和差公式化简求解；（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理，需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理解三角形（知三求一）； 2、会利用正弦定理和余弦定理进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得＝，∴sin B＝， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，

人教版高中数学余弦定理(说课)(共20张PPT)教育课件

人教版A版高中数学必修5
1.1.2余弦定理
第一章《解三角形》第二节课
玉林高中饶蔼
人教版A版高中数学必修5
一.教材分析二.学情分析三.教学方法四.教学过程
量化
激发
产生
掌握
提高
思维能力
知识与技能：
通过探究学会掌握两种表示运用
过程与方法：
培养特殊到一般提升解决几何问题
情感态度价值观：
有些人经常做一些计划，有的计划几乎不去做或者做了坚持不了多久。其实成功的关键是做很坚持。上帝没有在我们出生的时候给我们什么额外的装备，也许你对未来充满迷惑，也许你觉得是在雾里看花，但是只要我们不停的去做，去实践，总是可以走到一个鲜花盛开的地方，也许在那个时候，你就能感受到什么叫柳暗花明。走向成功的过程就好像你的起点是南极，而成功路径的重点在北极。那么无论你往哪个方向走，只要中途的方向不变，最终都会到达北极，那就在于坚持。
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知三边
练习1：在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
练习2：在△ABC中，已知a=7 cm，b=10 cm， c=6 cm ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
学习重要还是人脉重要?现在是一个双赢的社会，你的价值可能更多的决定了你的人脉，我们所要做的可能更多的是专心打造自己，把自己打造成一个优秀的人、有用的人、有价值的人，当你真正成为一个优秀有价值的人的时候，你会惊喜地发现搞笑人脉会破门而入。从如下方面改进：1、专心做可以提升自己的事情； 2、学习并拥有更多的技能；3、成为一个值得交往的人；4学会独善其身，尽量少给周围的人制造麻烦，用你的独立赢得尊重。理财的时候需要做的一方面提高收入，令一方面是节省开支。这就是所谓的开源节流。时间管理也是如此，一方面要提高效率，另一方面是要节省时间。主要做法有：1、同时做两件事情（备注：请认真选择哪些事情可以同时做），比如跑步的时候边听有声书；2、压缩休息时间提升睡眠效率，比如晚睡半小时早起半小时（6~7个小时即可）；3、充分利用零碎时间学习，比如做公交车、等车、上厕所等。

#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)

∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，

人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件

解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径）（边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题：（1）知两角及一边，求其它的边和角；（2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教版A必修5)

1.1.2余弦定理
鹿邑三高史琳
2021/4/6
1
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a :b :c sA i:s n B i:s n C in
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
解：在AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61, B
C
∴ |a – b|＝√61.
b 120° O aA
2021/4/6
19
例 4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b 120°
coB s a2c2b2 2ac
coC sa2 b2 c2 2ab
应用：已知三条边求角度．
2021/4/6
9
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一解边三角;形 (2)已知两边和其中一角边,解对三角形 .
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5

∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的最大边长．答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的三边分别为 2,3,4 ，则此三角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23，所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b，则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解利用边的关系判断，由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb，又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c，综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5

第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学题型探究当堂训练
问题导学
知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5

梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C，则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C，又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R

余弦定理(55张PPT)

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第一章 1.1 1.1.2
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须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定 a2>b2＋c2 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ a2＝b2＋c2 a2<b2＋c2 ____________，角A为锐角⇔____________.
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 __________________．
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类型一 [例1]
利用余弦定理解三角形在△ABC中，已知b＝3，c＝2 3，A＝30° ，求
边a、角C和角B.
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正弦定理和余弦定理
第一章
解三角形
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新知初探
1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
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第一章 1.1 1.1.2
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若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边长，则 a2＝__________________ b2＋c2－2bccosA ，
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
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第一章 1.1 1.1.2
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3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？
cosA=
b2＋c2－a2 2bc
提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0° <A<90° ；反之，若0° <A<90° ，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90° ；反之，若A ＝90° ，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90° <A<180° ；反之，若90° <A<180° ，则a2>b2＋c2.

天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.2 余弦定理课件(一)新人教A版必修5

＝a· a＋b· b－2a· b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以 c2＝a2＋b2－2abcos C.
同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B.
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.2（一）
问题探究二问题
利用坐标法证明余弦定理
如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐
2
本课栏目开关
设中线长为 x，由余弦定理知： x 2 ＝4 ＋9 －2×4×9×3＝49，所以 x＝7.
2 2
AC AC 2 2 ＝ 2 ＋AB －2·2 · ABcos
A
所以 AC 边上的中线长为 7.
1.1.2（一）
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．判断三角形的形状，当所给的条件是边角混合关系时，基本解题思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．
∴a2－b2＝± c2，即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．
本课栏目开关
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.1.2（一）
本课栏目开关
1．在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60° ，则 c 等于( A ) A. 3 B． 3 C. 5 D．5
解由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－ 3ab＝52－3×2＝19.∴c＝ 19.

数学人教版九年级下册正弦、余弦、正切函数的简单计算.1.2余弦定理课件新人教版必修5

定理证明
定理应用
三角形中的边角关系
a2 b2 c2 2bc cos A b a c 2ac cos B
2 2 2
余弦定理
(1)已知三边，求三个角
c2 a2 b2 2ab cos C
(3)判断三角形形状
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。
定理内容
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明余弦定理的方法？（1）坐标法
证明方法
（2）直角三角形的边角关系
（3）正弦定理（三角变换）
坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出坐标法证明．
证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A ，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是
A 56 2 0 2 2 2 2 2 2 a c b 134 . 6 161 . 7 87 . 8 cos B 0.8398 , 2 ac 2 134 . 6 161 . 7
B 32 5 3
C 180 A B 180 56 2 0 32 5 3 90 4 7
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识，加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式，通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要性。教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通过例2 巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角形的形状等知识。

人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)

[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质，要求出最大内角的正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求出余弦值，再求正弦值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边角之间的关系： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解析：因为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值．

(人教版)高中数学必修5课件：第1章解三角形1.1.2

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[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
数学必修5
1．利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角余―弦――定→理另一边余―正弦―弦定――定理―理推→论另两角
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第一章解三角形
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2．利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”． (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断，尽可能减少出错的机会．
6－ 2
2，
故A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或A＝120°时，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
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已知两边及一边对角解三角形的方法及注意事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理．
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余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．

高中数学人教A版必修五教学课件：第一章《解三角形》 1.1.2 余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的二倍在△ABC 中，
符号语言
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B，
2 2 c2＝ a ＋b －2abcos C ．
在△ABC 中，推论 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cos A＝，cos B＝， 2bc 2ac
)
a2＋c2－b2 1 解析：由题意知，cos B＝＝cos 120° ＝－，∴a2＋c2－b2 2ac 2 ＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
1 3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝ . 4 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．
[解]
设 BD＝x.在△ABD 中，根据余弦定理， AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos
∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10×xcos 60° ，………………………………3 分即 x2－10x－96＝0，解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ………………………6 分 ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . ……………………9 分在△BCD 中，由正弦定理， BC BD ＝， sin∠CDB sin ∠BCD
答案：120°
探究三
利用正余弦定理判断三角形的形状
[典例 3] 在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解析] ∵B＝60° ， ∴b2＝a2＋c2－2accos 60° ， 1 ∴ (a＋c)2＝a2＋c2－ac， 4 ∴(a－c)2＝0， ∴a＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 为等边三角形．

【优化方案】2012高中数学第1章1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5

互动探究2
本题条件变为bcos A＝acos B，试判
断△ABC的形状．
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 解：∵cos A＝，cos B＝，则 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 b ＋c －a a ＋c －b 代入已知条件得：b· ＝a· . 2bc 2ac b2＋c2－a2－a2－c2＋b2 ∴ ＝0.则 2b2＝2a2，∴b＝ 2c a. ∴该三角形为等腰三角形．
同理可证：b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 2．余弦定理和勾股定理有何关系？提示：勾股定理是余弦定理的特例，对于a2＝b2 ＋c2－2bc· cosA，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.
课堂互动讲练
考点突破已知两边及一角解三角形已知三角形的两边与一角求第三边，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边 (也可以两次应用正弦定理求出第三边)．
2
2
2
1 法二：由 b＜c，B＝30° ，b＞csin 30° ＝3 3× ＝ 2 3 3 知本题有两解， 2 1 3 3× 2 csin B 3 由正弦定理得 sin C＝ b ＝＝， 3 2 ∴C＝60° 或 120° ，当 C＝60° 时，A＝90° ，由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，当 C＝120° 时，A＝30° ，△ABC 为等腰三角形， ∴a＝3.
2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理
可以看作是余弦定理的特例．
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平

高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt

问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法：数形结合的思想，化归与转化的思想，分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？问7：可将公式如何变形？问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？

人教版高中数学必修五同课异构课件：1.1.2 余弦定理探究导学课型

若不成立说明理由. 提示：若C=90°，探究1的结论仍成立，即c2=a2+b2.
探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两定理之间有何联系？提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况.
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图，作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
【探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明 (1)余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边与一个内角的余弦之间严格确定的量化关系. (2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA还可改写为sin2A=sin2B+sin2C2sinB·sinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便.
二、余弦定理在解三角形中的应用探究1：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形问题？提示：余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题： (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边. (2)已知三角形的三条边就可以求出其角.
2.将余弦定理的变形式代入，转化成边的关系，化简变形后判断三角形的形状.
【自主解答】1.选B.因为a=2bcosC=2b· a2 b2 c2
所以a2=a2+b2-c2，即b2=c2，
2ab
所以b=c，所以△ABC为等腰三角形.
2.由余弦定理，得
所以a2(b2+c2-a2)+b2a(cb22+a2c2b-2cb2a)2=c2b(ac22+b2a2c2-ac2b)2， c