广西大学概率与数理统计习题集

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概率论与数理统计练习题(含答案)

第一章随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B ）（4）若()0,P A = 则A =∅。

（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

（B ）（6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ）（7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。

（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。

（B ）（9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。

（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。

（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

《概率与数理统计》练习册及答案

第一章概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次,则此随机试验的样本空间为 A ．{正,正,反,反,一正一反} B.{反,正,正,反,正,正,反,反} C ．{一次正面,两次正面,没有正面} D.{先得正面,先得反面}2.设A,B 为任意两个事件,则事件AUB Ω-AB 表示 A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生 3．设A,B 为随机事件,则下列各式中正确的是 . A.PAB=PAPB B.PA-B=PA －PB C.)()(B A P B A P -=D.PA+B=PA+PB4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是 . A.PA －B=PA －PAB B.PAB=PBPA|B,其中PB>0C.PA+B=PA+PBD.PA+P A =15.若φ≠AB ,则下列各式中错误的是 .A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.PA+B=PA+PB D.PA-B ≤PA 6.若φ≠AB ,则 .A. A,B 为对立事件B.B A =C.φ=B AD.PA-B ≤PA7.若,B A ⊂则下面答案错误的是 . A. ()B P A P ≤)( B. ()0A -B P ≥C.B 未发生A 可能发生D.B 发生A 可能不发生 8.下列关于概率的不等式,不正确的是 . A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++ D.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{9.(1,2,,)i A i n =为一列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是 .A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()n ni i i i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是 . A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b + 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是 .A.!!N n B. n Nn !C. nn N N n C !⋅D.Nn 13.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为 .A.rr P 3651365-B. rr r C 365!365⋅C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第一次抽的是不合格品},=2A {第二次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是 . A.05.0)(1=A PB.)(2A P 的值不依赖于抽取方式有放回及不放回C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取方式15.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对事件中,不独立的是 . A.C AUB 与B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有一个中奖的概率为 . A.4021 B.407 C. 3.0D. 3.07.02310⋅⋅C 17.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则 . A.1)()()(-+≤B P A P C P B.1)()()(-+≥B P A P C P C.PC=PABD.()()P C P A B =18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则 . A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容 C. A 与B 不独立D. A 与B 独立19.设事件A,B 是互不相容的,且()0,()0P A P B >>,则下列结论正确的是 . A.PA|B=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.PB|A >020.已知PA=P,PB=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有一个发生的概率为 . A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在一次试验中事件A 发生的概率为P,现重复进行n 次独立试验则事件A 至多发生一次的概率为 . A.n p -1B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸到一个白球的概率为8180,则袋中白球数是 . A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为 . A.0.5B.0.25 0.37524.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为 . A.1B.21 C.52 D.32 25.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为 . A.81 B.83 C.85 D.8726.甲,乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被击中的概率为 . A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为 . A.43 B.65C.32D.116 28.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是 . A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2,现随机取一个箱子,再从中随机取出一个球,则取到白球的概率为 . A.135 B.4519 C.157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为 . A.21 B.31 C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出一枚后,将它连续抛掷10次,结果全是“国徽”面朝上,则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为 .A.1001 B. 10099C.1010212+D.10102992+32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机察看1只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为 . 0.14 C.160/197D.420418419C C C + 二、填空题1.E ：将一枚均匀的硬币抛三次,观察结果：其样本空间=Ω. 2．某商场出售电器设备,以事件A 表示“出售74 Cm 长虹电视机”,以事件B 表示“出售74 Cm 康佳电视机”,则只出售一种品牌的电视机可以表示为；至少出售一种品牌的电视机可以表示为；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A,B,C 表示三个随机事件,试通过A,B,C 表示随机事件A 发生而B,C 都不发生为；随机事件A,B,C 不多于一个发生 .4.设PA=0.4,PA+B=0.7,若事件A 与B 互斥,则PB= ；若事件A 与B 独立,则PB= .5.已知随机事件A 的概率PA=0.5,随机事件B 的概率PB=0.6及条件概率PB|A=0.8,则PAUB=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4,0.3和0.6,则P AB = .7.设A 、B 为随机事件,PA=0.7,PA-B=0.3,则P AB = . 8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ,则C B A ,,全不发生的概率为 .9.已知A 、B 两事件满足条件PAB=P AB ,且PA=p,则PB= . 10.设A 、B 是任意两个随机事件,则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= . 11．设两两相互独立的三事件A 、B 和C 满足条件：φ=ABC ,21)()()(<==C p B p A p ,且已知 169)(=C B A p ,则______)(=A p . 12.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 .13.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行,恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属于A 生产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是 .17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是 .18．假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中随意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率是 .19．一种零件的加工由三道工序组成,第一道工序的废品率为1p ,第二道工序的废品率为2p ,第三道工序的废品率为3p ,则该零件的成品率为. 20．做一系列独立试验,每次试验成功的概率为p,则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第二章随机变量及其分布一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则 .A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.PA=0或PB=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为 . A.2-eB.251e -C.241e -D.221e -. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则 . A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则 . A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数,则 .A ．由于X 是连续型随机变量,则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量,但既不是连续型的,也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若 . A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为 . A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +-8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件 . A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则 . A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则 . A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将 . A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有 . A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)( C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他,则1{}4P X >为 . A.78B.14⎰C.141-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为 . 7B.0.3753415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P .A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是 .A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是 . A.)1,0(~2N X σμ-B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ18.设随机变量X 服从1,6上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是 . A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ . A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ,则随σ的增大,概率{||}P X μσ-< .Ａ．单调增大Ｂ．单调减少Ｃ．保持不变Ｄ．增减不定二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件的概率.2．已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21,则=c3．当a 的值为时, ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件,第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ,以X 表示3个零件中合格品的个数,则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.06.011,则X 的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ,若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：且21)2(==X p ,则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ,当5121<<<x x 时,)(21x X x p <<= . 10．设随机变量),(~2σμN X,则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ,则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ,则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ,且30.0)42(=≤<X p ,则_________)0(=≤X p .13．设)2,3(~2N X ,若)()(c X p c X p ≥=<,则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ,若160=μ,欲使80.0)200120(=≤<X p ,允许最大的σ= .15.若随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5.05.011,则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为２,ｐ的二项分布,随机变量Ｙ服从参数为３,ｐ的二项分布,若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９,则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ . 17.设随机变量Ｘ服从０,２上的均匀分布,则随机变量Ｙ＝2X 在０,４内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程240y y X ++=无实根的概率为１／２,则μ= .第三章多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是 . A.X,YB.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则 . A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为 . A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -⎛⎫ ⎪===⎪⎝⎭且P 则12{}P X X == .A.0B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是 . A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量X,Y 的联合分布为: 则b a ,应满足 . A ．1=+b aB. 13a b += C.32=+b a D.23,21-==b a7．接上题,若X,Y 相互独立,则 . A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则 . A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ==== B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X PD.21}{=≤Y X P9.设X,Y 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下面错误的是 .A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独立D.随机点X,Y 落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是 . A.{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=⎰⎰C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=⎰⎰D.⎰⎰≥=≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设X,Y 的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y D f x y ≠∈⎧=⎨⎩其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是 .A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.⎰⎰-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.⎰⎰=≥DG dxdy y x h X Y P ),(}2{12.设X,Y 服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是 . A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=∉G Y X PC.GDG S S D Y X P -=∉1}),{(D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：１串联；２并联；３备用当系统1π损坏时,系统2π开始工作,令21,X X 分别表示21ππ和的寿命,令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是 . A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y +=D.},m in{211X X Y =14.设二维随机变量X,Y 在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=Y X YX V Y X Y X U 则==}{V U P .A.0B.41C.21D.4315.设X,Y 服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是 . A.),(~211σμN X B ),(~221σμN X C.若0=ρ,则X,Y 独立 D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布 16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则 . A.))(,(~22121σσμμ+++N Y XB.),(~222121σσμμ---N Y XC.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X 17．设X,Y 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1) N ,令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是 .A ．N 0,2分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N 0,1分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =,记1234X X D X X =,则==}0{D P .7312 C019.已知~(3,1)X N -,~(2,1)Y N ,且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+~Z 则 .A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为 .A.21B.22C.12-D.12+ 21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P = A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量X,Y 的联合密度,则A 必为 .A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量 .A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为 .A.21B.31 C.41 D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立,则Y X + .A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量D.取值为0的概率为0 26.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则 .A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布B.0}{==Y X PC.Z 服从]2,0[上的均匀分布D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P .A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.2128.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则X,Y 在以0,0,0,2,2,1为顶点的三角形内取值的概率为 .A. 0.4B.0.5C.0.6D.0.8 29.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P .A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为 .A.3π B.π3 C.π2 D.2π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为 . A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X 相独立且都服从),(2σμN ,则 . A.12n X X X === B.2121()~(,)n X X X N nnσμ+++C.)34,32(~3221+++σμN XD.),0(~222121σσ--N X X33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈= .A.G DS S B.GG D S S C.⎰⎰D dxdy y x f ),( D.⎰⎰Ddxdy y x g ),( 二、填空题1．),(Y X 是二维连续型随机变量,用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：1;____________________),(=<≤≤c Y b X a p 2;____________________),(=<<b Y a X p 3;____________________)0(=≤<a Y p 4.____________________),(=<≥b Y a X p2．随机变量),(Y X 的分布率如下表,则βα,应满足的条件是 .3．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成,二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布,则),(Y X 的联合分布密度函数为 .4．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ,则Y X ,相互独立当且仅当=ρ .5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为 PX=0=1/2,PX=1=1/2,则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010,则∑==31i iX X 服从分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量,且P{X ≥0,Y ≥0}=3/7,P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{maxX,Y ≥0}= .8.设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p0<p<1,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,则在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率为；二为随机变量X,Y 的概率分布为 .9.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为1/5的指数分布,设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障时工作2小时便关机,则该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数 . 10.设两个随机变量X 与Y 独立同分布,且PX=-1=PY=-1=1/2,PX=1=PY=1=1/2,则PX=Y= ；PX+Y=0= ； PXY=1= .第四章随机变量的数字特征一、选择题1．X 为随机变量,()1,()3E X D X =-=,则2[3()20]E X += . A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量X,Y 的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它,则()E XY = .A. 0B.1/2C.2D. 1 3. X,Y 是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是 .A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独立 4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D .A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+5. 若X,Y 独立,则 . A. DY DX Y X D 9)3(-=- B. DY DX XY D ⋅=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是 . A. X,Y 独立B. ()D XY DX DY =⋅C. DY DX Y X D +=+)(D. DY DX Y X D -=-)(7.X,Y 为两个随机变量,且,0)])([(=--EY Y EX X E 则X,Y .A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关 8.设,)(DY DX Y X D +=+则以下结论正确的是 .A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C. 1xy ρ=D. 1xy ρ=- 9.下式中恒成立的是 .A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=-)(C. (,)Cov X aX b aDX +=D. 1)1(+=+DX X D10.下式中错误的是 .A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=- 11.下式中错误的是 .A. 22)(EX DX EX +=B. DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为 . A. 4.0,6==p n B. 1.0,6==p n C. 3.0,8==p n D. 1.0,24==p n13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有 . A. 222)(C EX c X E -=- B. 22)()(μ-=-X E c X E C. DX c X E <-2)( D. 22)(σ≥-c X E 14.()~(,),()D X X B n pE X =则. A. n B. p -1 C. p D.p-1115.随机变量X 的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n===()D X 则= . A.)1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n 16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x,则)12(+X E = . A.1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立,均服从同一正态分布,数学期望为0,方差为1,则X,Y 的概率密度为 .A. 22()21(,)2x y f x y e π+-= B. 22()2(,)x y f x y +-=C. 2()2(,)x y f x y +-=D. 2241(,)2x y f x y e π+-=18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX= . A.21 B. 31 C.61D. 121 19.,),1,0(~3X Y N X =则EY= . A.2 B.n 43 C. 0 D. n 3220. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则 .A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N 21. 设2(,),(,)X b n p YN μσ,则 .A.2()(1)D X Y np p σ+=-+B.()E X Y np μ+=+C.22222()E X Y n p μ+=+D.2()(1)D XY np p σ=-22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为 . A. ])11(1[nMM -- B.M n B. ])1(1[n M M - D. n Mn ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为 . A. 1 B.-2 C.21D.41 24. 设1X ,2X ,3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY= . A. 14 B.46 C.20 D. 9 25. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+= .A. 1B.0C.13 D. 4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足 . A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥ 27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足 . A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D. 相关系数为0 28. 设随机变量1210,,X X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===,则下列不等式正确的是 .A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π= .A. 1B.0C.2D. -1 30.设X,Y 服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E - 的值为 .A. 0B.a 21C. a 31D. a 41 31. 下列叙述中正确的是 . A. 1)(=-DX EXX DB.~(0,1)N C. 22)(EX EX = D. 22)(EX DX EX +=32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为 . A. 1 B.2n C.2)1(+n n D. nn 1-33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则.A.32 B. 31 C. 98D. 1 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为 . A.e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为 . A.e 376 B. e316C. 9D. 6 36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数,则DY= .A ． 169 B. 916 C. 43 D. 3437. 设X,Y 为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是 . A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰ B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),( C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22 D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且2)(=X D ,则{}==1X p .2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1,0,1,且2()0.1,()0.9E X E X ==,则X 的概率密度是 .3．设随机变量2~(,)X N μσ,则X 的概率密度()f x =EX = ；DX = .若σμ-=X Y ,则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ,且5)(2=X E ,则X 的概率密度函数(24)0.3,p X <<=为 .5.若随机变量X 服从均值为3,方差为2σ的正态分布,且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .6．已知随机变量X 的分布律为：则()E X = ,()D X = ,(21)E X -+= . 7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.8．抛掷n 颗骰子,骰子的每一面出现是等可能的,则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立,并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ,求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 .10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次击中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望E 2X = .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则随机变量Z=3X-2的数学期望EZ= .第五章大数定理及中心极限定理一、选择题1. 已知的i X 密度为()(1,2,,100)i f x i =,且它们相互独立,则对任何实数x , 概率∑=≤1001}{i i x X P 的值为 . A. 无法计算B.100110011001[()]i i i i x xf x dx dx ==≤∑⎰⎰C. 可以用中心极限定理计算出近似值D. 不可以用中心极限定理计算出近似值2. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足 .A.91≤B. 31≤C. 91≥D. 31≥ 3. 设随机变量1X ,210,,X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===,则A.21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B.21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC.2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D.2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P4. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中 60发～100发的概率可近似为 .A. (2.5)ΦB. 2(1.5)1Φ-C. 2(2.5)1Φ-D. 1(2.5)-Φ5. 设 1X ,2,,n X X 独立同分布,2,,1,2,,,i i EX DX i n μσ===当30≥n 时,下列结论中错误的是 .A.∑=ni iX 1近似服从2(,)N n n μσ分布B.niXn μ-∑(0,1)N 分布C. 21X X +服从)2,2(2σμN 分布D.∑=ni iX1不近似服从(0,1)N 分布6. 设12,,X X 为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且()1,2,iX i =服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确A.()lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑B. ()2lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑C. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑D. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,p q p A P -==1,)(,则对任意区间],[b a 有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npq npa P n n μlim ＝ . 2、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对于任意的0>ε,均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∞→εμ||lim p n P n n = . 3、一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X ,估计)1810(<<X p = .4、已知生男孩的概率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率= .第六章样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中,不正确的是 . A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3. 设总体均值为μ,方差为2σ,n 为样本容量,下式中错误的是 . A.0)(=-μX E B. 2()D X nσμ-=C. 1)(22=σS ED. ~(0,1)X N4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是 . A.22211()()nnii i i XX X n X ==-=-∑∑ B. 2S X 与相互独立C. 22])ˆ([)ˆ()ˆ(θθθθθ-+=-E D ED. 221[()]nii E X n μσ=-=∑ 5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中,错误的是 . A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x XN X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑6．设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ,且两总体相互独立,则下列不正确的是 .A.2221122212~(1,1)S F n n S σσ--B. 12(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--7. 设总体服从参数为θ1的指数分布,若X 为样本均值,n 为样本容量,则下式中错误的是 .A.θ=X EB. 2DX nθ=C. ()22(1)n E Xnθ+= D. ()221θ=XE8. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是 .A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 9. 12,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则 .A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S- 10. 在总体)4,12(~N X 中抽取一容量为5的简单随机样本,,,,,54321X X X X X 则}15),,,,{m ax (54321>X X X X X P 为 .A.)5.1(1Φ- B. 5)]5.1(1[Φ- C. 5)]5.1([1Φ- D. 5)]5.1([Φ11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为 .A. 1)5.0(2-ΦB. 1)25(2-Φ C. 1)45(2-Φ D. 1)5.2(2-Φ 12. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 .A. 7.5B.60C.320D. 265 13. 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ,则}{λ-<X P 为 .A.a 21 B. a2 C.a +21 D. a 211-14．设12,,n X X X ，是来自总体)1,0(N 的简单随机样本,则∑=-ni i X X 12)(服从分布为 .A ．)(2n x B. )1(2-n x C. ),0(2n N D. )1,0(nN15. 设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本,若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布,则c b a ,,的值分别为 .A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,21 16. 在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从2(,0.2)N a 分布,以n X 表示n 次称量结果的算术平均,则为了使n a X P n ,95.0}1.0{≥<-值最小应取作 .A. 20B. 17C. 15D. 16 17. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑服从分布是 .A.)9(t B. )8(t C. )81,0(N D. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中, 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本,它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布,2,σμ==DX EX ,令∑==ni i X n X 11,则EX =；.DX =4．设n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本,样本均值_______________=X ,则样本标准差___________=S ；样本方差_________________2=S ；样本的k 阶原点矩为；样本的k 阶中心矩为 .5.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本,则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P . 6．设n X X X ,,,21 是来自0—1分布)}1{,1}0{(p X P p X P ==-==的简单随机样本,X 是样本均值,则=)(X E .=)(X D .7．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本,),,,()()2()1(n X X X 是顺序统计量,则经验分布函数为 8．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本,称为统计量；9．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ,X 为样本均值,已知5.0}{=≥λX P ,则=λ .10．设总体),(~2σμN X ,X 是样本均值,2n S 是样本方差,n 为样本容量,则常用的随机变量22)1(σnS n -服从分布.11．设n X X X ,,,21 为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本,则样本均值∑==ni i X n X 11服从 ,又若i a 为常数),2,1,0(n i a i =≠,则∑=ni i i X a 1服从 .12.设10=n 时,样本的一组观测值为)7,4,8,5,4,5,3,4,6,4(,则样本均值为 ,样本方差为 .第七章参数估计一、选择题1. 设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布,则参数μ的矩估计量为 .A X1 B ∑=-n i i X n 111 C ∑=-ni i X n 1211 D X 2. 设总体),(~2σμN X ,n X X ,,1 为抽取样本,则∑=-n i i X X n 12)(1是 .)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计3. 设X 在0,a 上服从均匀分布,0>a是未知参数,对于容量为n 的样本n X X ,,1 ,a 的最大似然估计为A },,,m ax {21n X X XB ∑=ni i X n 11C },,,m in{},,,m ax {2121n n X X X X X X -D ∑=+ni i X n 111；4. 设总体X 在a,b 上服从均匀分布,n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本,则a 的最大似然估计为 A },,,m ax {21n X X X B X C },,,m in{21n X X X D 1X X n -5. 设总体分布为),(2σμN ,2,σμ为未知参数,则2σ的最大似然估计量为 .A ∑=-n i i X X n 12)(1 B ∑=--n i i X X n 12)(11 C ∑=-n i i X n 12)(1μ D ∑=--n i i X n 12)(11μ 6. 设总体分布为),(2σμN ,μ已知,则2σ的最大似然估计量为 . A 2S B21S nn - C ∑=-n i i X n 12)(1μ D ∑=--n i i X n 12)(11μ 7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧<<=-其他,010,),(1x ax a x f a 120),,,,n a x x x >是取自总体的一组样本值,则a 的最大似然估计为 . A. ∑=-ni ixn1lnB. 11ln n i i x n =∑C. 11ln()ni i x n =-∑ D. ∑=-n i ix n 1ln8. 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,00),(6)(3θθθx x xx f ,n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本,则θ的矩估计量为 . A.X B. X 2 C. ),,,m ax (21n X X X D.∑=ni iX19. 设总体X 的数学期望为μ,方差为2σ,),(21X X 是X 的一个样本, 则在下述的４个估计量中, 是最优的.A2115451ˆX X +=μB 2124181ˆX X +=μC 2132121ˆX X +=μD 2143121ˆX X +=μ 10. 321,,X X X 设为来自总体X 的样本,下列关于)(X E 的无偏估计中,最有效的为 .A)(2121X X + B )(31321X X X ++ C )(41321X X X ++ D )313232321X X X -+11. 设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN μ已知的一个样本,X 为样本均值,则在总体方差2σ的下列估计量中,为无偏估计量的是 .A 22111ˆ()n i i X X n σ==-∑； B 22211ˆ()1n i i X X n σ==--∑； C 22311ˆ()n i i X n σμ==-∑； D 22411ˆ()1n i i X n σμ==--∑. 12. 设n X X ,,1 是来自总体X 的样本,且μ=EX ,则下列是μ的无偏估计的是 . 13. 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本,若统计量∑-=+-1121)(n i i i X XK 为2σ的无偏估计,则K 的值应该为 An 21 B 121-n C 221-n D 11-n 14. 下列叙述中正确的是 .A ．若θˆ是θ的无偏估计,则()2ˆθ也是2θ的无偏估计.B ． 21ˆ,ˆθθ都是θ的估计,且)ˆ()ˆ(21θθD D ≤,则1ˆθ比2ˆθ更有效. C ．若21ˆ,ˆθθ都是θ的估计,且2221)ˆ()ˆ(θθθθ-≤-E E ,则1ˆθ优于2ˆθ D ．由于0)(=-μX E ,故.μ=X15. 设n 个随机变量n X X X ,,,21 独立同分布,2σ=X D ,∑==n i i X n X 11,∑=--=n i i X X n S 122)(11,则A. S 是σ的无偏估计量B. 2S 不是2σ的最大似然估计量C. nS X D 2= D. 2S 与X 独立16. 设θ是总体X 中的参数,称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间,即 . A. ),(θθ以概率a -1包含θ B. θ 以概率a -1落入),(θθC.θ以概率a 落在),(θθ之外 D. 以),(θθ估计θ的范围,不正确的概率是a -117. 设θ为总体X 的未知参数,21,θθ是统计量,()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间,则下式中不能恒成的是 .A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD.2}{}{12a P P =<+>θθθθ 18. 设),(~2σμN X 且2σ未知,若样本容量为n ,且分位数均指定为“上侧分位数”时,则μ的95%的置信区间为A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X19. 设22,),,(~σμσμN X 均未知,当样本容量为n 时,2σ的95%的置信区间为A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 20. n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别是总体),(211σμN 与),(222σμN 的样本,且相互独立,其中21σ,22σ已知,则21μμ-的a -1置信区间为A. ])2()[(22212121n S n S n n t Y X z a +-+±-B. ])[(2221212n n Z Y X a σσ+±- C. ])2()[(222121212n S n S n n t X Y a +-+±- D. ])[(2221212n n Z X Y a σσ+±- 21. 双正态总体方差比2221σσ的a -1的置信区间为A. ])1,1(,)1,1(1[22211222221212S S n n F S S n n F a a ⋅--⋅-- B. ])1,1(,)1,1([22211222221212S S n n F S S n n F a a ⋅--⋅--C. ])1,1(,)1,1(1[21221222221212S S n n F S S n n F a a ⋅--⋅--。

概率论与数理统计习题册

第六章样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x X N X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑4．设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--B.(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--5. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 612,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S-7. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C.320D. 265 8设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211- 9设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（）.A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,2110设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中，称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .5．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．6设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σn S n -服从分布.第七章参数估计一、选择题1. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-ni i X X n 12)(1是（）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计2 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（）（A ）},,,max{21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,min{},,,max{2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；3 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i iX n 12)(11μ 4 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（）. （A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 5 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++ （C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+6 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 7. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12aP P =<+>θθθθ 8 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X9 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 二、填空题1. 点估计常用的两种方法是：和 .2. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数是，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 .3. 设总体X 的概率分布列为：X 0 1 2 3P p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中p (2/10<<p ) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X 的一个样本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望)(X E 和方差)(X D 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x ，设n X X ,,1 是X 的样本，则λ的矩估计量为，最大似然估计量为 .6. 假设总体),(~2σμN X ，且∑==ni i X n X 11，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则X 是的无偏估计.7 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则常数k= , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40=S .设电子管寿命分布未知，以置信度为95.0，则整批电子管平均寿命μ的置信区间为（给定96.1,645.1025.005.0==Z Z ） . 9设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定05.0=α则滚珠的平均直径的区间估计为 .)96.1,645.1(025.005.0==Z Z 11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，则σ的置信区间为（1.0=α，68.19)11(22=αχ，57.4)11(221=-αχ）.第八章假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域W,置信水平α,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. α的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B ．事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件C ．设W 是样本空间的某个子集，指的是事件120{(,,,)|}n X X X H 为真D ．确定恰当的W 是任何检验的本质问题2. 设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,要采用检验估计量( ).A.nX /0σμ- B.nS X /0μ- C.nS X /μ- D.nX /σμ-3. 样本n X X X ,,,21 来自总体)12,(2μN ,检验100:0≤μH ,采用统计量( ). A.nX /12μ- B.nX /12100- C.1/100--n S X D.nS X /μ-4设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为 .A.}C >B. }/100{C nS X <- C. }10/100{C S X >- D. }{C X >5．设n X X X ,,,21 为来自总体)3,(2μN 的样本，对于100:0=μH 检验的拒绝域可以形如（）.A ．}{C X >-μ B. {100}X C ->C. }C >D. {100}X C -<6、样本来自正态总体),(2σμN ,μ未知,要检验100:20=σH ,则采用统计量为( ).A.22)1(σS n - B. 100)1(2S n - C. n X 100μ- D. 1002nS7、设总体分布为),(2σμN ,若μ已知,则要检验100:20≥σH ,应采用统计量( ).A.nS X /μ- B.22)1(σSn - C.100)(21∑=-ni iXμ D.100)(21∑=-ni iX X二、填空题1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H 为 .2．设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知.对于检验00:μμ=H ，01:μμ=H ，取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .第六章样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2.（C ）注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D ）对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=，且相互独立，根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.(C) 注：1~(1)X t n -才是正确的.5.(D)6C) 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的{}{}12121211P X P X -≤=-≤-(({}2121121P X =-≤-=Φ- 7.(A) ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑8.(A) 9.(B) 解：由题意可知122~(0,20)X X N +，345~(0,12)X X X N ++，6789~(0,16)X X X X N +++，且相互独立，因此()()()()22212345678922~3201216X X X X X X X X X χ++++++++，即111,,201216a b c === 10(A) 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑，()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性 3.μ，2nσ4. 0.15.26.2(1)n χ-第七章参数估计一、选择题1.答案： D.[解] 因为)()(222X E X E -=σ，∑===n i i X n A X E 12221)(ˆ，∑===n i i X n A X E 111)(ˆ，所以，∑=-=-=ni i X X n X E X E 12222)(1)(ˆ)(ˆˆσ. 2.答案： A.[解]因为似然函数n i in X a a L )max (11)(≤=，当i i X a max =时，)(a L 最大，所以，a 的最大似然估计为},,,max{21n X X X . 3 答案 A .[解]似然函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∏=2212)(21exp 21),(μσσπσμi ni x L ，由0ln ,0ln 2=∂∂=∂∂L L σμ，得22A =∧σ. 4. 答案 C.[解]在上面第5题中用μ取代X 即可.5答案 B.6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.∏iix p );(θ，∏iix f );(θ；. 341, 0.2828； [解] （1） p 的矩估计值28/1681===∑=i iXX ，令X p X E =-=43)(，得p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. （2）似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去所以p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p4、 1.71，0.00138；[解] 由矩估计有：nXX E X X Eii∑==22)(ˆ,)(ˆ，又因为22)]([)()(X E X E X D -=，所以71.1575.165.17.175.17.1)(ˆ=++++==X X E且00138.0)(1)(ˆ12=-=∑=n i i X X n X D .5、XX --=112ˆλ, ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ；[解] （1）λ的矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰λλλλλλλx dx x x X E 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX X --=⇒=++112ˆ21λλλ （2）λ的最大似然估计为：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得：∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ.6、μ；[解]μμ===∑=nn X E n X E n i i 1)(1)(.7、)1(2-n n π；[解]注意到n X X X ,,,21 的相互独立性，()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121 21)(,0)(σnn X X D X X E i i -=-=-所以，)1,0(~2σnn N X X i --， dz enn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=σπnn 122-=因为：⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σσπ=-=nn kn122 所以，)1(2-=n n k π.8、. [992.16，1007.84]；[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：05.0,40,1000=α==S X ，96.1025.0=Zμ的95%的置信区间是：]84.1007,16.992[],[025.0025.0=+-Z nSX Z n S X . 9、22((1),(1))X n X n αα--+-； [解]这是2σ为未知的情形，所以)1(~/--n t nS X μ.10、 [14.869，15.131]；[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x ，代入计算可得：]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-，化间得：]131.15,869.14[. 11、 [14.754，15.146]；[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X 696.105.0025.0===αn Z 代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯- 所以为：]146.15,754.14[ 12、. [0.15，0.31]； [解] 由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得： 2222)1(αχσS n -≥，22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：[)11()1(222αχS n -，)11()1(2212αχ--S n ] ，将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0].第八章假设检验一、选择题1.C 、2.B 、3.B 、4.C 、5.B 、6.B 、7.C 、8.B 二、填空题 1.100=μ 2. 1.176概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果：（1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的；（3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16.【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作AA 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ （4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】（1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1）当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反）因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki n i ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rrm m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计练习题集及答案

概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ．解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <．解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ；分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。

概率论与数理统计练习册题目

第一章概率论的基本概念习题一随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （）2.C B A C B A =⋃ （）3.()φ=B A AB （）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （）5.若B A ⊂，则AB A = （）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件；（）（2）事件“不含白球”为不可能事件；（）（3）事件“含有白球”为随机事件；（）8.互斥事件必为互逆事件（）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为。

2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。

3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（）。

A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。

大学概率论与数理统计习题及参考答案

P A P AB1 AB2 P AB1 P AB2 P B1 P A B1 P B2 P A B2
2 1 0.97 0.98 有9个是新的。第一次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。解: 设 Bi 表示事件“第一次取出了 i 个新球”i, =0,1,2,3.
从而P( A B) 1 P( AB) 1 0.012 0.988.
10
三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有
效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求（1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2） B失灵的条件下, A有效的概率.
解
设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知
P ( A) 0.92, P ( B) 0.93, P ( B A) 0.85,
则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.08 0.85 0.068 , 故 P( AB) P( B) P( AB) 0.93 0.068 0.862,
AB 6 ; A B 1 ,5 .
1
四、写出下面随机试验的样本空间：（1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中任意取一球，观察其颜色；（2）从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色；（3）从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数；（4）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；解（１）设
i
表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i＝1,2,3,4,5,6. 则样本空间

(完整word版)概率论与数理统计习题集及答案(word文档良心出品)

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

概率与统计习题集(蓝皮2960)

《概率论与数理统计》复习题()xϕ221(),xx e xϕ-=-∞<<+∞1习题一一、填空题：1．设事件,A B 互斥且()0.1,()0.3P A P A B =+=，则()_______P B = 2．设()0.2,()0.3,()0.4,P A P B P A B ==⋃=则()_______P A B ⋃= 3．将10个球随机地放入10个盒子中去，则至少有一个盒子空着的概率为___________ 4．若在区间（0，1）内任取两个数，记A =“两数之积小于41”，=B “两数之和大于21”，则=⋃)(B A P 5．随机地向半圆：00)y a <<>内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为__________ 6．将三个球随机地放入4个杯子中去，则杯中球的最多个数为1的概率为_______7．设对于随机事件A 、B 、C ，有41)()()(===C P B P A P ,81)(=AC P ,0)()(==BC P AB P ，则C B A 、、三个事件至少有一个发生的概率为________8．设A 、B 为随机事件，3.0)(,7.0)(=-=B A P A P ，则______)(=AB P9．若2.0)(,5.0)(,6.0)(===AB P B P A P ，则_____)(_____,)(_____,)(____,)(=⋃===B A P B A P B A P B A P 10．在n 阶行列式det(ij a )的展开式中任取一项，若此项不含元素11a 的概率为20001999，则此行列式的阶数n ＝。

11．箱中盛有a 个白球和b 个黑球，从中任意地接连取1+k )1(b a k +≤+个球，如果每次取出后不放回，则1+k 次取出的是白球的概率为_________ 二、选择题：1．设,,A B C 是任意三个事件，则下列命题正确的是（）（A ）()A B B A B ⋃-=- （B ）()A B B A -⋃= （C ）()()A B C A B C ⋃-=⋃- （D ）A B AB AB ⋃=⋃2．设随机事件,,A B C 两两互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，()0.4P C =，则[()]P A B C ⋃-=（）（A ）0.3 （B ）0.5 （C ）0.1 （D ）0.443．对于任意两个随机事件Ａ和Ｂ，有()P A B -=（）（Ａ）()()P A P B - （Ｂ）()()()P A P B P AB -+2（Ｃ）()()P A P AB - （Ｄ）()()()P A P B P AB +-4．设B 、C 分别是将一枚筛子连掷两次后出现的点数，则方程20x Bx C ++=有实根的概率为（）（A ）136（B ）536（C ）1736（D ）19365．设c B A P b B P a A P =+==)(,)(,)(,则=)(B A P [ ] （A ）b a - （B ）b c - （C ）)1(b a - （D ）a b -6．若1(),2P A =1()2P B =，则下列等式成立的是（）（A ）()1P A B ⋃= (B) 1()4P AB =(C) 1()2P AB = (D)()()P AB P AB =7．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

概率论与数理统计习题含解答,答案)

概率论与数理统计复习题（1）一．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。

8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈愈好，而置信区间的长度愈愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

概率论与数理统计的习题集及答案

概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率论与数理统计总习题及答案

试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。

从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。

求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、计算1、从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。

概率论与数理统计练习册（内附答案）

概率论与数理统计练习册复习题和自测题解答第一章复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是次品；（2）至少有一个零件是次品；（3）仅仅只有一个零件是次品；（4）至少有两个零件是次品。

解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。

解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。

解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n n n n----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时：1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。

解： 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。

解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起（1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。

《概率论与数理统计》练习题(含答案)

《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（）（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（）（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（）（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，）应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答：若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ）解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（）（A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（）（A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。

广西大学概率论与数理统计选做习题全解

1.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p.)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--= 2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只.(1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A ，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P(2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A 取到1只至2只二级品,其他的为一级品.于是.5441027234103713)|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P(3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P3.一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图15.3),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.题15.3图解 “系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P)}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为 }{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜 +++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=5.将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故.36/7)(=AB P 今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P === 按定义B A ,相互独立.6.B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解 A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. 12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- .)1(122--=n p np注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p.)2(1])1(1[1)1(2222p p p p p --=---(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,110<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.)若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件 “B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. )1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为 ∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np.)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---= 因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp--= 7.有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性.解以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和：321321321321A A A A A A A A A A A A G = 因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=AB124题 15.8 图35.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-=8. 在如图15.8图所示的桥式结构电路中，第i 个继电器触点闭合的概率为i p ，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.求：（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A 到B 之间为通路的概率.（2）已知A 到B 为通路的条件下，继电器触点3是闭合的概率.解以F 表示事件“A 到B 为通路”，以i C 表示事件“继电器触点i 闭合”，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立. （1）得.()|(()|()(1111））C P C F P C P C F P F P +=而 )()|(545321C C C C C P C F P =)()()()()(54253254532C C C P C C C P C C P C C P C P --++=)()(5432543C C C C P C C C P ＋-543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝)()|(432541C C C C C P C F P ＝543243254p p p p p p p p p －＋＝故 ),1)(|()|()(1111p C F P p C F P F P -+=其中)|(1C F P 543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝，)|(1C F P 543243254p p p p p p p p p －＋＝. （2）令,1i i p q -=则)()()]([1)()()|()|(35241333F P C P C C C C P F P C P C F P F C P -=＝.)()1(354215241F P p q q q q q q q q +--＝)(F P 的表达式由（1）确定.9.进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课考第一次未通过都允许考第二次．考生仅在课程甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书．设某考生通过课程甲的各次考试的概率为1p ，通过课程乙的各次考试的概率为2p ，设各次考试的结果相互独立．又设考生参加考试直至获得资格证书或者不准予再考为止．以X 表示考生总共需考试的次数．求X 的分布律以及数学期望)(X E ．解按题意知考试总共至少需考２次而最多只考４次．以i A 表示事件“课程甲在考第i 次时通过”，以i B 表示事件“课程乙在考第i 次时通过”，2,1=i ．事件}2{=X 表示考试总共考２次，这一事件只在下列两种互不相容的情况下发生，一种是课程甲、乙都在第一次考试时通过．亦即11B A 发生（此时他得到证书）；另一种是课程甲在第一次、第二次考试均未通过，亦即21A A 发生（此时他不准再考）．故2111}2{A A B A X ==，同样211121211}3{B B A B A A B B A X ==， 21212121}4{B B A A B B A A X ==.得X 的分布律为)(}2{2111A A B A P X P ==)()(2111A A P B A P +=)()()()(2111A P A P B P A P +=2121)1(p p p -+=；)(}3{211121211B B A B A A B B A P X P ==)(12111B A A B A P =21121)1()1(p p p p p -+-=；)(}4{21212121B B A A B B A A P X P ==)(121B A A P =)1()1(211p p p --=．)1()1(4])1()1([3])1([2)(211211212121p p p p p p p p p p p X E --+-+-+-+=)]2(1)[2(211p p p -+-=．例如，若431=p ，212=p ，则有66.2)(=X E （次）．10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取一只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第)5,4,3,2(=X X 次找到,求X 的分布规律(注:在实际上第5次检测可无需进行).(2)5只电池,其中2只是次品,每次取一只,直到找出2只次品或3只正品为止.写出需要测试的次数的分布律.解 (1)X 可能取的值为2,3,4,5.P X P ==}2{{第1次、第2次都取到一只次品}.1014152=⨯=P X P ==}3{{(前两次取到一只次品) (第3次取到一只次品)}=P {第3次取到一只次品|前两次取到一只次品}P ⨯{前两次取到一只次品} .102)42534352(31=⨯+⨯⨯=P X P ==}4{{(前3次取到一只次品) (第4次取到一只次品)}=P {第4次取到一只次品|前3次取到一只次品}P ⨯{前3次取到一只次品} .103)324253324253324352(21=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=}4{}3{}2{1}5{=-=-=-==X P X P X P X P .10/4=得分布律为X 2 3 4 5k p 101 102 103 104(2)以Y 表示所需测试的次数,则Y 的可能取值为2,3,4. .10/1}2{}2{====X P Y P}3{=Y 表示“前3次取到都是正品”或“第二只次品在第3次取到”，故 }3{}3{}3{=+==X P P Y P 次取到的都是正品前.103102314253=+⨯⨯ .1061031011}3{}2{1}4{=--==-=-==X P X P X P Y 的分布律为Y 2 3 4k p 101103 10611．向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为R (单位:10m ),R 服从瑞利分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,252)(25/2r r er r f r R若弹着点离目标不超过5m 时,目标被摧毁.(1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问最少需要独立发射多少枚炮弹. 解 (1)所求概率为⎰⎰-∞-==≤525/52252)(}5{dr e r dr r f R P r R .632.01|1525/2=-==--e e r(2)设发射n 枚炮弹,则这n 枚炮弹都不能摧毁目标的概率为n )632.01(-,故至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率为n )632.01(1--.按题意需求最小的n ,使得.94.0)632.01(1≥--n即.81.2)368.0/(ln )06.0(ln ,06.0368.0=≥≤n n故最少需要独立发射3枚炮弹.12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求击不沉的概率.）解 “击沉”的逆事件为事件“击不沉”，击不沉潜水艇仅出现于下述两种不相容的情况：（1）4枚深水炸弹全击不中潜水艇（这一事件记为A ），（2）一枚击伤潜水艇而另三枚击不中潜水艇（这一事件记为B ）.各枚炸弹袭击效果被认为是相互独立的.故有,61)(4⎪⎭⎫⎝⎛=A P ,612114)(3⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P （因击伤潜水艇的炸弹可以是4枚中的任一枚），又A ，B 是互不相容的，于是，击不沉潜艇的概率为.613)()()(4=+=B P A P B A P 因此，击沉潜艇的概率为.97989.06131)(14=-=-=B A P p 13．一盒中装有4只白球，8只黑球，从中取3只球，每次一只，作不放回抽样. （1）求第1次和第3次都取到白球的概率.（提示：考虑第2次的抽取.）（2）求在第1次取到白球的条件下，前3次都取到白球的概率. 解以,1A ,2A 3A 分别表示1，2，3次取到白球.（1）)()()]([)(321321223131A A A P A A A P A A A A P A A P +==)()|()|()()|()|(112213112213A P A A P A A A P A P A A P A A A P +=.111124118103124113102=⨯⨯+⨯⨯=（2）124102113124)()()|(13211321⨯⨯==A P A A A P A A A A P .5531106== 14．设元件的寿命T (以小时计)服从指数分布,分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(03.0t t e t F t(1)已知元件至少工作了30小时,求它能再至少工作20小时的概率.(2)由3个独立工作的此种元件组成一个2/3][G 系统(参见第7题),求这一系统的寿命20>X 的概率.解 (1)由指数分布的无记忆性(参见教材)1(第56页)知所求概率为}20{}30|50{>=>>=T P T T P p .5488.0)20(16.0==-=-e F(2)由第7题知2/3][G 系统的寿命20>X 的概率为 .5730.0)23()1(3}20{232=-=+-=>p p p p p X P 15.(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数. (2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.解 (1)由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<≤<<∞-=-.0,21,0,21)(x e x e x f x xX当0<x 时,分布函数,212121)()(|xx x xx xX X e e dx e dx x f x F ====∞-∞-∞-⎰⎰当0≥x 时,分布函数.2112121212121)()(0x x xx x x X X e e dx e dx e dx x f x F ---∞-∞--=-+=+==⎰⎰⎰故所求分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0,211,021)(x e x e x F x xX(2),21)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P分布律为Yk p 21 21 分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=.1,1,11,21,10)(y y y y F Y 16.(1)X 服从泊松分布,其分布律为,,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλ问当k 取何值时}{k X P =为最大. (2)X 服从二项分布,其分布律为.,2,1,0,)1(}{n k p p k n k X P k n k =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 问当k 取何值时}{k X P =为最大. 解 (1)由λλλλ----⨯=-==ek k e k X P k X P k k 1)!1(!}1{}{⎪⎩⎪⎨⎧><===<>=,,1,,2,1,,1,,1λλλλk k k k k 当当当知道,当λ<k 时,}{k X P =随k 增大而递增; 当λ>k 时,}{k X P =随k 增大而递减.从而,若λ为正整数,则当λ=k 时,}1{}{-===λλX P X P 为概率的最大值,即当1-==λλk k 或时概率都取到最大值.若λ不是正整数,令的整数部分），是即λλ00]([k k =则,100+<<k k λ此时有},1{}{},{}1{0000+=>==<-=k X P k X P k X P k X P因此不难推得]}[{}{0λ===X P k X P 为概率的最大值. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧+><=+==+<>--++=---=-==,)1(,1,,2,1,)1(,1,)1(,1)1()1(1)1()1(}1{}{p n k n k p n k p n k p k k p n p k p k n k X P k X P 当当当知道,当p n k )1(+<时, }{0k X P =随k 增大而递增; ,当p n k )1(+>时,}{0k X P =随k 增大而递减.从而,若p n )1(+为正整数,则当p n k )1(+=时,}1)1({})1({-+==+=p n X P p n X P 为概率的最大值,即当1)1()1(-+=+=p n k p n k 或时概率都取到最大值.若p n )1(+不是正整数,令])1[(0p n k +=,则1)1(00+<+<k p n k ,此时有},{}1{00k X P k X P =<-= },1{}{00+=>=k X P k X P不难推得]})1[({}{0p n X P k X P +===为概率的最大值.17.. 若离散型随机变量X 具有分布律X 1 2 … nk pn 1 n 1 … n1 称X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.对于任意非负实数x ，记][x 为不超过x 的最大整数.记),1,0(~U U 证明1][+=nU X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.证对于,,,2,1n i =}1]{[}1]{[)(-===+==i nU P i nU P i X P .1}1{}1{nn i U n i P i nU i P =<≤-=<≤-= 证毕. 18.设),2,1(~-U X 求X Y =的概率密度. 解 X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.,0,21,3/1)(其他x x f X记X 的分布函数为).(x F X 先来求Y 的分布函数).(y F Y 当0≤y 时,,0}{)(=≤=y Y P y F Y当0>y 时,}{}{)(y X y P y X P y F Y ≤≤-=≤= ).()(y F y F X X --= 将)(y F Y 关于y 求导可得Y 的概率密度)(y f Y 如下:⎩⎨⎧>-+=.,0,0),()()(其他y y f y f y f X X Y当10<<y 时, 01<-<-y .因而,3/1)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/13/1)(+=y f Y当21<<y 时, 12-<-<-y .因而,0)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/1)(=y f Y当2>y 时,,0)(,0)(=-=y f y f X X 因而.0)(=y f Y 故⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<=.,0,21,3/1,10,3/2)(其他y y y f Y19.设X 的概率密度⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤<=.1,21,10,21,0,0)(2x xx x x f X求XY 1=的概率密度. 解因函数x x g y 1)(==严格单调减少,它的反函数.1)(yy h =当∞<<x 0时, ∞<<y 0. 由第二章)2(公式(2.1)得Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤∞<<'⋅=.0,0,0,)()]([y y y h y h f f X Y⎪⎩⎪⎨⎧≤∞<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.0,0,0,112y y y y f X因而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<<≤=.11,121,110,1)/1(121,0,0)(222y y y y y y y f Y 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<∞<≤≤=.10,21,1,21,0,0)(2y y y y y f Y本题X 和X1的概率密度相同. 20. 设随机变量X 服从以均值为λ1的指数分布.验证随机变量][X Y =服从以参数为λ--e1的几何分布.这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.解 X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X λλ，X 的值域为）（∞,0，故][X Y =的值域为},2,1,0{ ，Y 是离散型随机变量.对于任意非负整数y ，有}1{}]{[}{+<≤====y X y P y X P y Y P)1(1d +--+--==⎰y y y yx e e x e λλλλ2,1,0,))(1(==--y e e y λλ－ .2,1,0,))1(1)(1( =--=--y e e y λλ－这就是说Y 服从以λ--e1为参数的几何分布.这表示一个连续型随机变量经过变换变成了离散型随机变量.21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量 =X 投掷总次数. ⎩⎨⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面，Y (1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. (2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P解 (1)Y 的可能值是0,1,X 的可能值是.,3,2,1 }1{}1|1{}1,1{======X P X Y P Y X P .2/12/11=⨯= (因1=X 必定首次得正面,故).1}1|1{===X Y P 若1>k ,}{}|1{}1,{k X P k X Y P Y k X P ======.0)2/1(0=⨯=k(因,1>=k X 首次得正面是不可能的,故).,3,2,0}|1{ ====k k X Y P }1{}1|0{}0,1{======X P X Y P Y X P 0)2/1(0=⨯=(因1=X 必须首次得正面,故).0}1|0{===X Y P 当1>k}{}|0{}0,{k X P k X Y P Y k X P ====== ,3,2),2/1(1=⨯=k k (因,1>=k X 必定首次得反面,故).1}|0{===k X Y P 综上,得),(Y X 的分布律及边缘分布律如下:XY 1 2 3 4 … }{j Y P =0 0 221 321 421 (21)1 21 0 0 0 (21)}{i X P = 21 221 321 421 (1)(2).12/12/1}1{}1,1{}1|1{========Y P Y X P Y X P.0}1{}2,1{}1|2{=======X P Y X P X Y P22.设随机变量),(~λπX 随机变量).2,max(X Y =试求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. 解 X 的分布律为 .,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλX 的可能值是 ,2,1,0;Y 的可能值为.,4,3,2}0{}0|2{}2,0{======X P X Y P Y X P .}0{1λ-==⋅=e X P}1{}1|2{}2,1{======X P X Y P Y X P .}1{1λλ-==⋅=e X P2≥i 时}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,4,3,2,,0,,!},{0},{1=⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎩⎨⎧≠=⋅==⋅=-j i j i j i e i j i X P i j i X P i λλ即得Y X ,的联合分布律及边缘分布律为 XY 0 1 2 3 4 5 … }{j Y P =2 λ-e λλ-e!22λλ-e 0 0 0 …∑=-2!i i i e λλ3 0 0 0!33λλ-e 0 0 …!33λλ-e4 0 0 0 0!44λλ-e 0 …!44λλ-e}{i X P = λ-eλλ-e!22λλ-e!33λλ-e!44λλ-e ... (1)23. 设X ，Y 是相互独立的泊松随机变量，参数分别为,,21λλ求给定n Y X =+的条件下X 的条件分布.解 }|{n Y X k X P =+=}{},{n Y X P n Y X k X P =+=+==}{},{n Y X P k n Y k X P =+-===独立性 }{}{}{n Y X P k n Y P k X P =+-==1)(2121!)()!(!2121-+----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=n e k n e k en kn kλλλλλλλλn k n k k k n n )(!)!(!2121λλλλ+-=- .)(2122112121kn kn kn k k n k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλλλλλ这就是说给定n Y X =+的条件下X 的条件分布为以)/(,211λλλ+n 为参数的二项分布.24. 一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以X ，Y 分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设),(~λπX ),(~μπY X ，Y 相互独立.（1）求X ，Y 的联合分布律；（2）求两篇论文总共至多1个错误的概率. 解（1）X ，Y 的联合分布律为,!!!!},{)(y x e y e x e y Y x X P y x y x μλμλμλμλ+---=⋅===.,2,1,0, =y x(2) 两篇论文总共至多1个错误的概率为})1{}0({}1{=+=+=≤+Y X Y X P Y X P}1,0{}0,1{}0,0{==+==+===Y X P Y X P Y X P).1()()()()(μλμλμλμλμλμλ++=++=+-+-+-+-e e e e25. 一等边三角形ROT (如图15.25)的边长为1,在三角形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三角形ROT 内均匀分布).(1) 写出随机变量),(Y X 的概率密度. (2) 求点Q 的底边OT 的距离的分布密度.解 (1)因三角形ROT 的面积为4/3,故),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≤≤=.,0),1(3030,3/4),(其他或x y x y y x f（2）点),(Y X Q 到底边OT 的距离就是Y ,因而求Q 到OT 的距离的分布函数,就是求),(Y X 关于Y 的边缘分布函数,现在 ,230,32134),()(3.13/<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰-y y dx y x f y f y y Y 从而⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.,0,230,32134)(其他y y y f Y Y 的分布函数为xyo题15.25图⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.23,1,230,3434,0,0)(2y y y y y y F Y 26. 设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x(1) 求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2) 求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X 解 (1)当0>x 时, ,)()(0)1(x y y xy x y x X e e e dy xe x f -∞==--∞+-===⎰当0>y 时,dx xe y y xe dx xey f y x x x y x y x Y ⎰⎰∞+-∞==+-∞+-+++-==)1(0)1(0)1(111)( .)1(1)1(22)1(+=+-=∞==+-y y xe x x y x 故边缘概率密度分别是⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧>+=.,0,0,)1(1)(2其他y y y f Y(2)条件概率密度: 当0>x 时,⎪⎩⎪⎨⎧>=-+-.,0,0,)|()1(|取其他值y y e xe x y f x y x X Y⎩⎨⎧>=-.,0,0,取其他值y y xe xy当0>y 时,⎪⎩⎪⎨⎧>+=+-.,0,0,)1/(1)|(2)1(|取其他值x x y xe y x f y x Y X ⎩⎨⎧>+=+-.,0,0,)1()1(2取其他值x x e y x y x27. 设有随机变量U 和V ，它们都仅取1，1-两个值．已知 ,2/1}1{==U P}.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P (1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的方程02=++V Ux x 至少有一个实根的概率.(3)求x 的方程0)(2=+++++V U x V U x 至少有一个实根的概率. 解 (1).6/1)2/1)(3/1(}1{}1|1{}1,1{========U P U V P V U P }1{}1|1{}1,1{-=-=-==-=-=U P U V P V U P.6/1)2/1)(3/1(}]1{1[)3/1(===-⨯=U P}1{}1|1{}1,1{==-==-==U P U V P V U P.3/1)2/1)(3/2(}1{}]1|1{1[=====-=U P U V P }1{}1|1{}1,1{-=⋅-====-=U P U V P V U P.3/1)2/1()3/2(}1{}]1|1{1[=⨯=-=-=-=-=U P U V PV U ,的联合分布密度为UV -1 1 -1 1/6 2/6 1 2/6 1/6(2) 方程02=++V Ux x 当且仅当在042≥-=∆V U 时至少有一实根,因而所求的概率为 .2/1}1{}04{}0{2=-==≥-=≥∆V P V U P P(3) 方程0)(2=+++++V U x V U x 当且仅当在0)(4)(2≥+-+=∆V U V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.6/5}1,1{}1,1{}1,1{}0{=-==+=-=+-=-==≥∆V U P V U P V U P Pxy题 15.30图28. 某图书馆一天的读者人数)(~λπX ,任一读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为Y ,求X 与Y 的联合分布律.解读者借书人数的可能值为}{}|{},{,,,2,1,0k X P k X i Y P i Y k X P X Y Y ======≤==.,,2,1,2,1,!)1(k i k k e p p i k k i k i ==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλ 29. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从U (0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率. 解按题意知,(X,Y )在区域:}10,10|),{(<<<<=y x y x G 服从均匀分布,其概率密度为其他10,10,0,1),(<<<<⎩⎨⎧=y x y x f所求概率为}2{}2{Y X P X Y P p >+>==⎰⎰⎰⎰+12),(),(G G dxdy y x f dxdy y x f=G 1的面积+G 2的面积=1/2, G 1 ,G 2见图15.29.30. 一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独立的，且都在20万至22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率. 解设以X ，Y 分别表示两家保险公司提出的保费. 由假设X 和Y 的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,2220 ,21)(其他μμf因X ，Y 相互独立，故),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==.,0,2220 ,2220 ,41)()(),(其他y x y f x f y x f Y X 按题意需求概率为}.2.0{≤-Y X P 画出区域：},2.0|),{(≤-Y X y x 以及矩形},2220 ,2220|),{(<<<<y x y x 如图15.30，它们公共部分的面积G 为G ＝正方形面积－2×三角形面积＝4-1.8×1.8＝0.76.所求概率＝.19.02276.0=⨯oy题15.29图31. 设),0(~),,0(~2221σσN Y N X 且Y X ,相互独立,求概率}20{2112σσσσ<-<Y X P . 解因Y X ,独立,其线性组合Y X 12σσ-仍为正态变量,而 0)()()(1212=-=-Y E X E Y X E σσσσ22212122122)()()(σσσσσσ=+=-Y D X D Y X D 故).2,0(~222112σσσσN Y X -因而 }20{2112σσσσ<-<Y X P =}202200{222121222112σσσσσσσσ-≤--<Y X P=5.0)2()0()22(222121-=-ΦΦσσσσΦ=4207.05.09207.0=-32. NBA 篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，方差为6，并且假设四节的比分差是相互独立的.问（1）主队胜的概率有多大？（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？（3）在第1节主队赢5分得情况下，主队得胜的概率有多大？解以)4,3,2,1(=i X i 记主队在第i 节的得分与客队在第i 节的得分之差，则有),6,5.1(~N X i ).64,5.14(~41⨯⨯∑=N X i i 记Z 为标准正态随机变量.（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯->⨯⨯=>∑∑==646645.14}0{4141－i i i i X P X P .7889.0}7224.1{=->=Z P（2）由独立性}5{}5|0{432141>+=-=>∑∑==X X P X X P i i i i}33{123562343>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->⨯-+=Z P X X P.8281.0}5577.0{=>=Z P（3）}05{}5|0{432141>+++==>∑=X X X P X XP i i}5{432->++=X X X P⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->⨯-++=185.45635.4432X X X P.4987.0}239.2{}185.9{=->=->=Z P Z P 33. 产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他．,0,0,)(221x xe x f x X测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独立,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证du e Z P u⎰-=>εεε202/221}{解 (1)Y 的概率密度为其他．，εεε<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y f Y ,0,21)(故Z =X+Y 的概率密度为⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(仅当⎩⎨⎧<-<->εεx z x 0即⎩⎨⎧+<<->εεz x z x 0时，上述积分的被积函数不等于零,参考图15.33, 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=⎰⎰+--+-其他，，，,0,21,21)(21210εεεεεεεεz dx xe z dx xez f z z x z x Z =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<--+---+-其他，，，,0],[21],1[21221221221)()()(εεεεεεεεz e e z e z z z (2)⎰∞=>εεdz z f Z P Z )(}{题15.33图题 15.34 图=][21221221)()(⎰⎰∞+-∞---εεεεεdz e dz e z zε21记成[Ⅰ+Ⅱ] 其中Ⅰ=⎰⎰∞-∞--=-0)(,2121du euz eu dz z εεε令Ⅱ=⎰⎰∞-∞+--=+-εεεε2)(2121du euz dzeu z 令于是εε21}{=>Z P [Ⅰ+Ⅱ]=⎰-εε202121du eu34. 在一化学过程中，产品中有份额X 为杂质，而在杂质中有份额Y 是有害的，而其余部分不影响产品的质量.设)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X ，且X 和Y 相互独立，求产品中有害杂质份额Z 的概率密度. 解因,XY Z =)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X 且X 和Y 相互独立，于是Z 的概率密度为,d )()(1)(21-x xzf x f x z f Z ⎰+∞∞= )1(* 其中，⎩⎨⎧<<=. 0,0.1,0 ,10)(1其他x x f ，⎩⎨⎧<<=. 0,0.5,0 ,2)(2其他x x f 易知仅当⎩⎨⎧<<<<0.5,00.1,0z/x x 即⎩⎨⎧<<<<,200.1,0x z x 时，)1(*中的被积函数不等于零，参考题15.34图，即得⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅⋅=⎰.0, 0.05,0 ,d 1210)(1.02其他z x xz f z ⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0, 0.05,0 ,ln 201.02其他z x z ⎩⎨⎧<<-=.0, 0.05,0 ),20ln(20其他z z 35. 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.0,,0,),(其他y x e y x f y(1) 求),(Y X 的边缘概率密度.y题 15.35 图1y 题 15.35 图2(2) 问Y X ,是否相互独立. (3) 求Y X ＋的概率密度).(z f Y X + (4) 求条件概率密度).|(|y x f Y X (5) 求条件概率}.5|3{<>Y X P (6) 求条件概率}.5|3{=>Y X P解（1）⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰∞.0, 0,,d )(其他x e y e x f -x x -y X⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰.0, 0,,d )(0其他y ye x e y f -y y-y Y （2）Y X ,不是相互独立的. （3）⎰+∞∞-+-=.d ),()(y y y z f z f Y X仅当,0y y z <-<即⎪⎩⎪⎨⎧<>>z y y zy 02时被积函数不为零.如图15.35图1，得⎪⎩⎪⎨⎧>-==⎰+.0, 0,,d )(2/2/其他z e e y e z f -z -z zz -y Y X （4）对于,0>y⎪⎩⎪⎨⎧<<==--. 0, ,0 ,1)|(|其他y x y ye e y x f y yY X即对于固定的)0(>y y X 的条件分布是区间),0(y 上的均匀分布. （5）如图15.35图2，条件概率为}5{}5,3{}5|3{<<>=<>Y P Y X P Y X P,)d (d d 50⎰⎰⎰-=yy f xy e Y D y分子＝⎰⎰⎰=5355x53d )(-e d d ex x y x-y -y,e e 3)d e (-e 35535--+-=+⎰x -x -＝分母＝⎰⎰=5Y5d e (y)d y y y f -yx,1e 6d e e555+-=+-=⎰--y -y y y故.82030.0}5|3{=<>Y X P（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0, ,50 ,51)5|(|其他x x f Y X.52d 51}5|3{53===>⎰x Y X P36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p ,借阅乙种图书的概率为α,设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立，读者之间的行动也相互独立.(1)某天恰有n 个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.解 (1)以X 表示某天读者中借阅甲种图书的人数，因各人借阅甲种图书的概率均为p ,且由题设各人是否借阅相互独立,故np X E p n b X =)(),,(~因此.(2)以A 表示事件“读者借阅甲种图书”,以B 表示事件“读者借阅乙种图书”,则就读者而言,有 ).()()()(AB P B P A P B A P -+=借阅两种图书的行动相互独立,故ααp p B P A P B P A P B A P -+=-+=⋃)()()()()(. 以Y 表示至少借阅一种图书的人数,由题设各人是否借阅相互独立,知),(~ααp p n b Y -+,故).()(ααp p n Y E -+=也可这样做.引入随机变量:⎩⎨⎧=.,0,,1种图书的任一种位读者不借阅甲、乙两若第两种图书的一种位读者至少借阅甲、乙若第i i Z in i ,,2,1 =)()(][)(,111ααp p n Z E Z E Y E Z Y ni i n i i n i i -+====∑∑∑===.这里不需假设读者之间的行动相互独立.37.某种鸟在某时间区间],0(0t 下蛋数为1~5只,下r 只蛋的概率与r 成正比.一个收集鸟蛋的人在0t 时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立).(1) 写出一个鸟窝中鸟蛋只数X 的分布率.(2) 对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率. (3) 求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y 的分布律及数学期望.(4) 求}4{},4{><Y P Y P(5) 当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝中多于3只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数Z 的数学期望.解 (1)设该中鸟在],0(0t 内下蛋数为X 按题意,5,4,3,2,1,}{===r Cr r X P 其中C 为待定常数.因∑===51,1}{r r X P 即有,11551==∑=C Cr r 所以15/1=C ,因此X 的分布律为.5,4,3,2,1,151}{===r r r X P (2)因当且仅当窝中蛋数多于3时,某人从中取走一只蛋,故拾蛋人在该窝中拾取一只蛋的概率为53155154}5{}4{}3{=+==+==>X P X P X P (3)记拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数为Y ,则)53,6(~b Y ,故518)53(6)(=⨯=Y E(4)}6{}5{}4{1}4{=-=-=-=<Y P Y P Y P Y P=6524535253565253461⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0.456,(6) 第2个拾蛋人仅当鸟窝中最初有5只蛋时,他才能从该窝中拾到一只蛋,故他在一个鸟窝中拾到一只蛋的为,31}5{===X P p 以Z 记第2个拾蛋人拾到蛋的总数,则),31,6(~b Z 故有2)31(6)(=⨯=Z E ．38. 设袋中有r 只白球,r N -只黑球.在袋中取球)(r n n ≤次,每次任取一只做不放回抽样,以Y 表示取到白球的个数,求)(Y E .解引入随机变量i X :⎩⎨⎧=,,0,,1次取球得到不是白球若第次取到白球若第i i X i ,,,2,1n i = 则n 次取球得到的白球数.21n X X X Y +++=而的分布律为次取球得到白球第i i X Nri P X P ,}{}1{=== i X 0 1 k p Nr-1 N r.,,2,1n i = 即知i X 的数学期望为NrX E i =)(.于是得Y 得数学期望为NnrN r n X E X E Y E ni i n i i =⨯===∑∑==11)()()(. 本题也可按以下方式写出Y 的表达式,从而求得)(Y E ,将球编号,引入随机变量:i X⎩⎨⎧=号白球未被取到若第号白球被取到若第i i X i ,0,,1 r i ,,2,1 = 则 r X X X Y +++= 21.事件}1{=i X 发生,表示在袋中取球n 次,若每次任取一只不放回抽样时,第i 号白球被取到.因为事件}1{=i X 可以在第一次、第二次、…、第n 次取球,这n 种两两互不相容的情况发生,且每次取到第i 号白球的概率都是N1.因此r i NnN N N X P i ,,2,1,111}1{ ==+++==, 这样N n X E i =)(,从而N nrX E Y E ri i ==∑=1)()(.39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数Y 的数学期望. 解引入随机变量.6,5,4,3,2,1,=i X i 如下:,11=X,,2待次数等待第二不同点所需等是第一点得到后X3X 是第一、第二两点得到后,等待第三个不同点所需等待次数, 654,,X X X 的意义类似.则所需投掷的总次数为621X X X Y +++= .因第一点得到后,掷一次得第二个不同的点的概率为65,因此2X 的分布律为,,2,1,)61(65}{12 ===-k k X P k 即2X 服从参数65=p 的几何分布,又因得到两个不同的点后,掷一次得第三个不相同点的概率为64,故3X 服从参数64=p 的几何分布,其分布律为,2,1,)62(64}{13===-k k X P k同样,654,,X X X 的分布律分别为.,2,1,)63(63}{14 ===-k k X P k .,2,1,)64(62}{15 ===-k k X P k .,2,1,)65(61}{16 ===-k k X P k 因几何分布 ,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k 的数学期望为(参见第四章)2(习题选解19题)pX E 1)(=. 所以∑∑==+==62161)()()()(i ii i X E X E X E Y E =7.14]1626364656[1=+++++． 40.设随机变量Y X ,相互独立.且Y X ,分别服从以βα1,1为均值得指数分布.求).(2X Ye X E -+解 )()()()(22X X e E Y E X E Ye X E --+=+ dt ee Y E X E X D ttαα-∞-⎰⋅⋅++=02)()]([)(⎰∞+-++=0)1(22111dt e t ααβαα.)1(22++=αβαα41.一酒吧间柜台前有6张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.(1) 若真有2个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预言为真的概率是多少? (2) 设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.解 (1)将凳子按自左至右编号,设服务员预言为真.)(A 若第一顾客就坐于1号,则另一顾客可坐4或5或6号共三种坐法,)(B 若第一顾客就坐于2号,则另一顾客可坐在5或6号共两种坐法,)(C 若第一顾客就坐于6号,只有一种坐法.综合)(),(),(C B A 三种情况共计6种坐法.同样,若第一顾客分别就坐于6号,5号,4号,则另一顾客也有6种坐法,因此两人共有1226=⨯种坐法,若两人随机就坐共有3026=A 种坐法,故服务员预言为真的概率是523012==p ．(2)若两顾客是随机坐的,以Y 记两顾客间的凳子数,则Y 可能取的值为0,1,2,3,4.可知Y 的分布律为Y 0 1 2 3 4k p155 154 153 152 151于是3415141523153215411550)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ． 42.设随机变量10021,,,X X X 相互独立，且都服从),1,0(U 又设,10021X X X Y ⋅⋅⋅= 求概率}10{40-<Y P 的近似值.解所求概率为}.1.92ln {}10ln 40{ln }10ln 40{ln }10{1001100140-<=-<=-<=<=∑∏==-i i i i X P X P Y P Y P p因n X X X ,,,21 相互独立且都服从),1,0(U 知n X X X ln ,,ln ,ln 21 也相互独立,且服从同一分布,又),1,0(~U X i 其概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,010,1)(x x f 故有.112)(,2d ln )(ln,1d ln )(ln 1221=-===-==⎰⎰i i i X D x x X E x x X E由中心极限定理得}1.92ln {1001-<=∑=i i X P p⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-<-⨯-=∑=11001001.921100)1(100ln 1001i i X P.7852.0)97.0()1001001.92(=Φ=+-Φ≈43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间X (以分计)是一个随机变量,它的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=--.0,0,0,e21e 211)(]3[3x x x F x x (其中]3[x是不大于3x的最大整数). (1) 画出)(x F 的图形.(2) 说明X 是什么类型的随机变量.(3) 求}6{},4{},3{},4{>>==X P X P X P X P (提示)0()(}{--==a F a F a X P ).解 (1)(2))(x F 的所有不连续点为),,2,1(3 =k k X 取这些值的概率的总和为∑∑∞=∞=--==11)]03()3([}3{k k k F k F k X P∑∞=-----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1)133(33]33[33e 21e 211e 21e 211i k k k k∑∑∞=∞=---=-=-=111.21e )1e (21)e e (21i k kk k注意到,在)(x F 的任一连续点a 处有;0}{==a X P 又由于∑∞===121}3{k k X P ,因此,不可能取到可列多个值,,,21 x x 使得∑∞===1,1}{k kx X P 故X 不是离散型随机变量.又由于)(x F 不是连续函数,故X也不是连续型随机变量. (3) .0}4{==X P)03()3(}3{--==F F X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----)11(111e 21e 211e 21e 211 .316.0)e 1(211=-=- .684.00e 21e 211}4{)4(}4{134=---==-=<--X P F X P .135.0e 21e 2111)6(1}4{222==⎪⎭⎫⎝⎛---=-=>---e F X P 44.一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X 占10%.写出X 的分布,并求12.0250⨯>X (即30>X )的概率.设各客户是否提出索赔相互独立..0.0.0.00.1题15.43图解按题意知)10.0,250(~b X .现在需要求 ∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=>2503125090.010.0250}30{x xx x X P 即需求 ∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>30025090.010.02501}30{x xx x X P 由拉普拉斯定理得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-≈>90.010.025010.0250301}30{X P.1469.08531.01)054.1(1=-=Φ-=45.在区间)1,0(随机地取一点X .定义}.75.0,min{X Y = (1) 求随机变量Y 的值域.(2) 求Y 的分布函数,并画出它的图形.(3) 说明Y 不是连续型随机变量, Y 也不是离散型随机变量.解 (1)因},75.0,min{X Y =故X Y ≤且.75.0≤Y 又由于X 的值域是)1,0(,知Y 的值域为]75.0,0(.(2) 由(1)知当0<y 时,0}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.0≥y 时, .1}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.00<≤y 时,事件}{y Y ≤表示X 是在],0(y 随机取的一点.故有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=75.0,175.00,0,0)(y y y y y F Y)(y F Y 的图形如题15.45图所示.(3) 从题15.45图看出, )(y F Y 在点75.0=y 处不连续, 故它不是连续型随机变量. )(y F Y 只有一个不连续点75.0=y .注意到在)(y F Y 的任一连续点a 处,有,0}{==a Y P 而在不连续点75.0=y 处,.25.0)075.0()75.0(}75.0{=--==Y Y F F Y P 故不可能取到可列多个值,,,21 y y 使得,1}{1==∑∞=k ky Y P 故Y 不是离散型随机变量..01题15.45图。

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及解答第一章随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B511)()()()()|(2102621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.13.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ⋃B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ⋃B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生女生北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324．袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i -=, 31239)|(c c B A P i i -=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=146.0484007056)201843533656398411()220(12==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=⨯⨯==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球红球甲袋 n m 乙袋 N M假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z Pα723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时 0)(=x X ϕ 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,18)3(,9)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为3122 0 122 则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______.iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y 解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是 (A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D)y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e ==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点解. 分布函数:))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.1310)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P 1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P 1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii.13)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ⎰⎰∞--=-==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x x ϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ 其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 =54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时 1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时D 1z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219921811811)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅(i = 1, 2, …, n) 又设∑==ni i X X 1, 则27)()()(11nX E X E X E ni i ni i ===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 000<=>X X X , 则方差D(Y) = _______.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤-xY因为 33)0()1(20==>==⎰dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P3131)0()1(01==<=-=⎰-dx X P Y P于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=-=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010, 则∑==31i i X X 服从_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______.解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0.8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ 其它10≤≤x , ⎩⎨⎧=--0)()5(y e y ϕ 其它5>y , 则E(XY) = ________. 解. 322)()(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞-dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-==4639441262=⨯+⨯+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(22=-=Y E X E UV E .所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=--=--++=++=p p p p p p p x p x p x X E 7.0221=+p p9.5)1(94)(21213232221212=--++=++=p p p p p x p x p x X E 1.35821=+p p解得 p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y≥ μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2 (C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2 解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ-=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) =)()()])([(22Y E X E Y X Y X E -=-+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E - 所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑∑∞=∞=-∞=+ 2222)11()1()1(a aa a a a a f =+-+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+-+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E∑∑∑∞=∞=+∞=+-+++=+-++=11111)1()1(11)1()1()1(k kkk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=-∞= 23)1(2)11(12)1(a a a a a aa a f +=+-+=+,所以2222)1(211)(a a a a a aX E +=-+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=-+=-=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2xx πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===⎰⎰-∞+∞-πππϕxdx xdx x x X E⎰-=-=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 122222-=+=⎰πππdx x x 3.求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 25.015.0)1(40.0145.002)(sin =⨯-+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎪⎭⎫⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =2P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+-04),()(22y xxye y x ϕ其它0,0>>y x求)(22Y X E +. 解. ⎰⎰⎰⎰>>+-∞+∞-∞+∞-+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=⎰⎰∞+-rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ 其它l x ≤≤0, Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0(X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ 其它l y x ≤≤,0.又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤ x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l }⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=∞+∞-∞+∞-21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ⎰⎰⎰⎰-+-=l y lxdy dx x y l dx dy y x l2002])([1])([13212122022ldy y l dx x ll l=+=⎰⎰ 6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =-=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =-=-=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<-∞=--x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+∞--dt te t ||21+μμμ==⎰⎰∞+-∞+∞--0||21dt e dt e tt⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+-02dt e t t+20022μμμ+==⎰⎰∞+-∞+-dt e dt e t t所以 22)]([)()(2222=-+=-=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x 其它122≤+y x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).解. 01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=-=X E X E X D , 41)]([)()(22=-=Y E Y E Y D0)()()()()(=-=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8)33.0)8.0()0(5===X P , 41.0)8.0(2.05)1(4=⨯⨯==X P20.0)8.0(2.0)2(3225=⨯⨯==c X P , 06.020.041.033.01)3(=---=≥X P又设YE(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度)(t f 、数学期望和方差.解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=-05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度: ⎩⎨⎧≥≥=+-,00,0,25),()(5y x e y x f y x关于T 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)(当 0<t 时⎰⎰⎰⎰≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)(当 0≥t 时⎰⎰⎰⎰≥≥≤++-≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x x t y t x te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525----------=-==⎰⎰⎰所以 ⎩⎨⎧<≥--=--0,00,51)(55t t te e t F t t T所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==-0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ⎰⎰∞+∞-∞+-===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以⎰⎰∞+∞-∞+-=-=-=-=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT第四章大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1－011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X －Y| ≥ 6) ≤ _______. 解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XY ρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理:。

概率论与数理统计试题

广西大学课程考试试( —— 学年度第学期)课程名称：概率论与数理统计试卷库序号:6 .单项选择题(从下面各题的备选答案A 、B 、C 、D 中选择一个你认2分，共20分)．一部4卷的文集随便放在书架上，恰好各卷自左向右卷号为1、2、、4的概率是( ).A 0.5B 0.0417C 0.125D 0.25 设A 、B 为两个事件，则()()B A B A ++表示 ( )必然事件 B.不可能事件 C. A 与B 恰有一个发生 D. A 与B 不同时发生一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次（)3,2,1=i 中目标，用i A （)3,2,1=i 表示三次中至多有一次击中目标是）。

A 321A A A ++B 321A A AC 323121A A A A A A ++ D.321A A A设随机变量ξ的密度函数()⎩⎨⎧≤≤><=1041 0 03x x x x x ϕ()()a p a p ≤=≥ξξ成立的常数a =( )A.421 B 42 C 21D 1-4215.假设随机变量ξ服从正态分布N(10,2)2，则有（）成立.A ．()8)8(≥=-≤ξξP PB ()81)8(≤-=-≤ξξP PC ()9)9(≥=≤ξξP PD ()10)10(≥=≤ξξP P6. 样本()n X X X ,.....,,21取自总体2,,σξμξξ==D E ，则（）可以作为2σ的无偏估计。

A 当μ已知时，统计量()n X ni i /12∑=-μB 当μ已知时，统计量())1/(12--∑=n X n i i μC 当μ未知时，统计量()n X ni i /12∑=-μD 当μ未知时，统计量())1/(12--∑=n X ni i μ7.若随机变量ξ服从( )，则[]2ξξE D =。

A 正态分布B 指数分布C 二项分布D 普哇松(poisson)分布8．已知(ξ,η)的联合概率密度函数为()y x ,ϕ：则(ξ,η)关于ξ的边缘密度函数为（）.A ()dy y x ⎰+∞∞-,ϕ B ()dx y x ⎰+∞∞-,ϕC ()dxdy y x ⎰⎰+∞∞-+∞∞-,ϕ D ()dxdy y x xy⎰⎰∞-∞-,ϕ9.甲、乙两人各自投篮的命中率分别是0.8和0.7，假设两人互不影响，则.甲、乙两人都投中篮的概率是（）。

概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《蘆机事件及概率》练习題一、肌项选择题(B) P(AIB) = P(A),<c)P(AIB) = 1：<o)P(AIB) = 1设事件A 与s 满足p(A)>0・ P(8)>0・下而条件( )成立时•爭件A 与B一定独立设事件人和fi 有关系Bu4・则下列等式中正确的是()<o)P(B-A) = P{B)-P(A)设A 与fi 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是()(C)PG4B) = P(A)P(B)：(0) P{A-B) = P(A)。

设A 、s 为两个对立爭件，且PS)Ho, p(e)兴0.(A) PG4UB) = P(A) + P(B)：则下面关系成立的是()(B) P(AUB)工P(A) + P(B)：(C) P(4B) = P(A)P(B)：(D) P(AB) = P(A)P(B)<B)P(A)-P(B) + P(AB)t <o)P(A)^P(B)~P(AB).一、填空题1、若 A z>B . AnC. p(A)=・ P(BUC) = 0・8・则 P(A-BC) =2、设 P(A)=. P(fi)=. P(A\B)=.则 P{BIA}=3、已知 P(A) = 0・7・ P(A-B) = 0・3・则 P(AB) =设爭件A 与fi 互不相容，且P(A)>0・ p(e)>o,则一定有(2、设爭件A 与fi 相互独立，且P(A)>0・ p(e)>o,则 < > —定成立(A) P(AIB} = 1 -PG4)：(B) P(AIB) = O ：(A)A 与B 互不相容: (B)4与B 相容^7、对于任总两个爭件A 与8. P{A- B)等于( 3. (A> P (AB) = P(A}P(B).(B) P(A[JB) = P(A)P(B),4.(A) P(AB) = P(A)：(B)PG4UB) = P(A)：5、6x4、已知事件A、B 满足P{AB) = P(Ar>B}.且P (A) = p•则P(B) =5.一批产品，«中10件正骷• 2件次骷.任危抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回・则第2次抽出的是次品的槪率为6、设在4次独立的试验中.事件人每次出现的概率相等.若已知事件A至少出现1次的槪率是65/81.则A在1次试验中出现的概率为7、设爭件A. S的概率分别为P（A） = l/3,P（J?） = l/6, ①若A与e相互独立，则P(A[)B) = :②若A与e互不相容.则P（AB） =8.有W个球.其中有3个红球和7个绿球•随机地分给10个小朋友.每人1个.则炭后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为9、两射于•彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为•乙击中的概率为・则目标被击巾的概率为三、il•算题K某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品：从这批产品中任取一半來检求取到的次品不多于1个的概率。

广西自考365 04183概率论与数理统计综合测试练习题答案

1、A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4您的答案：A正确答案：D 得分：0.0 分【答疑编号10998283，点击提问】解析：本题考察一维离散型随机变量分布律的性质：。

计算如下0.2 + 0.3 + k + 0.1＝1，k＝0.4故选择D。

2、设随机变量（X，Y）只取如下数组中的值（0，0），（－1，1），（－1，1/3），（2，0），且相应的概率依次为，则c的值为（）。

A、2B、3C、4D、5您未做该题正确答案：B 得分：0.0 分【答疑编号10998299，点击提问】解析：，解得c=3，故选择B．3、某彩票的中奖率为0.95，今有10人买了这种彩票，至少有8人中奖的概率是（）.A、0.0115B、0.9885C、0.997D、0.003您未做该题正确答案：B 得分：0.0 分【答疑编号10998317，点击提问】解析：4、下列函数中可作为随机变量分布函数的是（）。

A、B、C、D、您未做该题正确答案：C 得分：0.0 分【答疑编号10998349，点击提问】解析：本题考察一维随机变量分布函数的判定方法，即验证分布函数的性质。

本题的四个选项涉及到分布函数的两条性质：（1）；（2），，即，。

具体判定如下：A：; B: ;C: 正确；D：。

故选择C5、A、1/2B、1C、2D、π您未做该题正确答案：A 得分：0.0 分【答疑编号10998358，点击提问】解析：无6、设连续型随机变量X的分布函数为，则X落在区间（0.2，0.8）的概率为A、0.6B、0.7C、0.5D、0.8您未做该题正确答案：A 得分：0.0 分【答疑编号10998361，点击提问】解析：P（0.2＜X＜0.8）＝F（0.8）-F（0.2）=0.82-0.22=0.6，因此选A。

7、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论中不一定成立的是A、B、C、D、是连续函数您未做该题正确答案：D 得分：0.0 分【答疑编号10998362，点击提问】解析：本题考查随机变量的分布函数的性质，分布函数是右连续的，所以D选项不正确，选择D. （2015年4月真题）8、下列各函数是随机变量X的分布函数的是A、B、C、D、您未做该题正确答案：D 得分：0.0 分【答疑编号10998363，点击提问】解析：根据分布函数的性质判定：A选项中，当x＞1是函数为减函数，故不正确，B选项中函数为减函数，C选项中1/2＜F(x)＜1，因此也不正确，故选择D.9、设随机变量X的分布律为，F(x)为X的分布函数，则F(0.5)=（）。

大学概率论与数理统计试题库及答案

<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试用 A 、B 、C 分别表示事件1）A 、B 、C 至少有一个发生2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

则P(B)A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。