人教版高中数学必修四：任意角(共20张PPT)
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高中数学必修四1.1.1任意角_课件
B2 α O β A
探究二：象限角
思考4：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意角，角的终边 可能落在哪些位置？ y 如何定义这些角？ o
x
1)角的顶点于坐标原点重合
2)始边与X的非负半轴重合 终边落在第几象限就称角是第几象限
解：⑴∵－120º =－360º +240º ， ⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴240º 的角与－120º 的角终边相同， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第三象限角． 它是第二象限角． ⑵ ∵640º =360º +280º ， ∴280º 的角与640º 的角终边相同， 它是第四象限角．
记法：角 或 ，可简记为
思考3：度量一个角的大小，既要考虑旋转方 向，又要考虑旋转量，对于α ＝210°， ＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这 些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
边
顶点 范围：0o≤α≤360o 边
307C： 反身翻腾 3周半（抱膝）
程菲跳： 踺子后手翻转体180度接前 直空翻540度
探究一：角的概念的推广
思考1：怎样升级角的定义，让它更科学 更合理？ B 始边 终边
o A
角的定义：由平面内一条射线绕其 顶点 端点从一个位置旋转到另一个位置 所组成的图形.
必修四 第一章三角函数
1.1.1任意角
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
课件_人教版数学必修四《任意角的三角函数》PPT课件_优秀版
例1、任意角的三角函数第一定义
（其中
P sin y 知识
） 探究
(x, y)
OP 点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
1 练习 已知角 的终边过点
，
求 的三个三角函数值.
以原点O为圆心，以单位
例6.作出 2 的正弦线、余弦线、正切线：
3
求 的三个三角函数值.
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
α y 点在初中与我原们点是的如距何离定义的锐角终三边角函数的？
解：在直角坐标系中，作
P 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
α 以原点O为圆心，以单位
而 48是第一象限角，所以 ta n6(7)20。
练习 确定 cos 16 的三角函数值的符号：
5
解： cos 16 cos( 6 2 ) cos 6
5
5
5
例5 求 cos 9 的三角函数值：
4
解： cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
练习 求 tan 19 的三角函数值
﹒
交点，然cos后再 利3用, 定义求
B
三角函数值6。 2
tan 3
63
2、任意角的三角函数第二定义：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P与原点的距离 r x2 y2 0
那么① y 叫做的正弦，即 sin y
y
r
r
②
x r
叫做的余弦，即 cos x
r
O
y ③x
叫做的正切，即 tan y x 0
高中数学人教版必修4课件：.1任意角
00+7200<x<900+7200
…,
…,
{x|k·3600<x<900+3600·k, k ∈ Z}
终边在第三象限的角的集合：
{x| 1800+k·3600<x<2700+k·3600, k ∈Z}
退出
§1.1 任意角
温故
知新1
知新2
知新3 知识应用 小结
作业
例4 写出终边落在y轴正半轴上的角的集合。
温故
知新1
知新2 同知终新边3角 知识应用 小结
作业
y
o
x
y
o
x
退出
§1.1 任意角
温故
知新1
知新2
知新3 知识应用 小结
作业
例1、在0 到360 范围内，找出与下列角终边 相同的角，并判定它们是第几象限角.
120 640 950 12
解 : ∵-950°12′= 129048′-3×3600,
∴在0°～360°范围内, 与-950°12′角终 边相同的角是129°48′, 它是第二象限角.
若k为奇数,则2 是第四象限角.
综上,
2
是第二或第四象限角.
2
退出
利温故用上述知新方1 法判知断新2,可§1得.1知任新如3意下角结知识论应用:y 小结
作业
若 是第（数字）象限角,
3 2
则 是（区域）象限的角?
2
4
1
o 1
4
x
23
当在第一象限时, 在第一或第三象限.
当第二象限时,
2 在第一或第三象限.
(2) 把集合 |k120 k 120 30 , k Z 表示的角的
121任意角的三角函数课件-人教版高中数学必修四(共21张PPT)
3 1 2 0 1 0 1 222
tan 0 3 3
31
0
0
三、诱导公式一
sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α， 其中k∈Z.
类型一 三角函数定义的应用 命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x，求 sin θ，tan θ.
小结
1.任意角的三角函数的定义:
2.三角函数的定义域: 3.诱导公式
的终边上的位置是否有关呢？
角终边
y
p2 p1
(1)单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点
O为圆心，以 单位长度 为半径的圆为单位圆.
M2 M1 O
x
(2)定义：在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与 单位圆 交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的 正弦 ，记作 sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的 余弦 ，记作 cos α ，即cos α＝x；
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 例 2 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋co3s α的值.
类型二 三角函数值符号的判断 例3 判断下列各式的符号： (1)sin 145°cos(－210°)；
(2)sin 3·cos 4·tan 5.
类型三 诱导公式一的应用
在直角三角形中锐角A的三角函数定义:
sin A BC a AB c
cos A AC b AB c
A
B
c
a
b
C
tan A BC a AC b
上述定义只限于直角三角形中的锐角， 而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
高中数学人教版必修4精品PPT课件-.1任意角-【完整版】
终边
y 终边
x 0
始边
是第一象限角 是第二象限角 是第三象限角
终边
终边 是第四象限角
1 . 指出下列各角是第几象限角
（1） 30° （2）120 °
第一象限角 第二象限角
（3）-60 ° （4） 225°
第四象限角 第三象限角
合作探究
在坐标系中画出角30o,390o,-330o并找
y
出它们终边的关系? -3300
[0º, 360º]
现实生活中还有其他的角
1.在体操运动中， “转体720º”、 “转体1080º”等动 作名称的含义
现实生活中还有其他的角
2.钟表的指针旋转
现实生活中还有其他的角
3.自行车车轮的转动 一根辐条
现实生活中还有其他的角
4.主从动轮的转动等.
思考：这些旋转形成图形是？
自主学习(一)
终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 （1）-120°（2）640°（3） -230o12'
解（1）与-120°角终边相同的角是β=-120º+k·360º,k∈Z k=1, β=-120°+360°=240°,是第三象限角。
（2）280°角，它是第四象限角。
（3）129o48 ’ 角，它是第二象限角。
解：β=k·360º+60º，k∈Z. 所以 =k·120º+20º， k∈Z.
3
当k=0时，得角为20º，
当k=1时，得角为140º， 当k=2时，得角为260º.
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2、写出终边在坐标系四个象限角分线上 的角的集合。
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象限角
议
为了方便研究我们往往在平面直角坐标系中讨论角
第二象限
90° Y
角的顶点与 原点重合， 角的始边与 X轴非负半 轴重合
第一象限
轴 线 角
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90°< α < 180° 180° 180°< α < 270°
第三象限
O 270°
0°< α < 90° 始边
1.1.1任意 角
学习目标
• 1、任意角的概念，正确分辨正角、负角、零角； • 2、掌握象限角的概念，会分辨第几象限角 • 3、学会终边相等的角的公式，并学会转化终边相同的角;
导
现实生活中形成角的事物
0°到360°的角是我们生活中的一部分，那 还有其他角吗？
任意角
概念:角可以看成
B
平面内一条射线 终边
不做旋转
正角
负角
零角
钟表经过1小时，时针、分钟、 秒钟各走过多少度？
时针走过-30°，分钟走一圈-360°，秒钟走过60圈 -360×60=-21600°
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对应关系
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旋转
绕着端点从一个
位置旋转到另一
个位置所成的图 形.
O 顶点
始边
A
记法：记作角α或 ∠α，可简记为α
思考？
• 我们知道数有正数负数之分，那角呢？ • 按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角 • 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 • 没有发生旋转量的角叫做零角
逆时针
顺时针
度量一个 角的大小， 既要考虑 旋转方向， 又要考虑 旋转量
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第一象限角的集合 第二象限角的集合
自主探究
{α|0°+360°·K< α < 90°+360°·K，K∈Z}
{α|90°+360°·K< α < 180°+360°·K,K∈Z}
第三象限角的集合 第四象限角的集合
我爱数学 数学使我快乐
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检 写出终边在直线y=x上角的集合
解：在0°~360°范围内，终边在y=x上的 角有两个，即45°，225°角。 因此，终边在y=x上的角构成的集合 S1={β|β=45°+K·360°，K∈Z}∪ S2={β|β=270°+K·360°，K∈Z} ={β|β=45°+K·180°，K∈Z}
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回顾
•1、任意角的定义 •2、正角、负角、零角的区分 •3、象限角的定义及划分 •4、终边相同的角的表示
作业：课后练习4、5
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终边落在Y轴正半轴 终边落在Y轴负半轴
{β|β=90°+360°·K,K∈Z} {β|β=360°+360°·K,K∈Z}
终边落在Y轴 {β|β=90°+180°·K,K∈Z}
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评
•对于终边落在某一条射线、直线或者几条 直线的角的集合，步骤是： •首先确定 •其次考虑旋转周期 •最后确定区域，关键是确定边界
0°或360° X
270°< α < 360° 第四象限
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话剧小现场：
Y
我是谁？
O
X
B
属于角328°，-392°，-32°？
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思：
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展
与-32°角终边相同的角好集合 S=｛β|β=-32°+K·360°，K∈Z｝
• 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构 成一个集合 • S=｛β|β=α+K·360°，K∈Z｝ • 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和
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检•
在0°~360°范围内，找出与下列角终边相同的
角，并判定它是第几象限角。
•（1）420° （2）-950°12` （3）-1190°30`
解：（1）β=420°-1×360°=70°， 所以在0°~360°范围内，与420°的角终边相同的角是 70°，它是第一象限角。 （2）β=-950°12`+3×360°=129°12`， 所以在0°~360°范围内，与420°的角终边相同的角是 70°，它是第一象限角。 （3）β=-1190°30`+4×360°=249°30`， 所以在0°~360°范围内，与-1190°30`的角终边相同的 角是249°30`，它是第三象限角。
{α|180°+360°·K< α < 270°+360°·K,K∈Z} {α|270°+360°·K< α < 360°+360°·K,K∈Z}
终边落在X轴正半轴 终边落在X轴负半轴
{β|β=0°+360°·K,K∈Z} {β|β=180°+360°·K,K∈Z}
终边落在X轴 {β|β=0°+180°·K,K∈Z}
例1 在0°~360°范围内，找出与395°8`的角终边相同 的角，并判定它是第几象限角。
解：β=395°8`-1×360°=35°8`， 所以在0°~360°范围内，与395°8`的角终边相 同的角是35°8`，它是第一象限角。
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-32° =-32° -392°=-32°-1×360° 328°=-32°+1×360°
相差整数个周角
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议
1、与-32°终边相同的角如何表示？ 2、已知角α和角β终边相同，怎么用α表 示β？
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