圆的辅助线的做法

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初中数学作辅助线的方法

初中数学作辅助线的方法在数学中，辅助线是指在解题过程中，为了更加清晰地理解和解答问题，而额外添加的辅助线条。

辅助线能够帮助我们识别几何形状的性质、简化题目、发现问题的特点，进而解决问题。

下面将介绍一些初中数学中常用的辅助线的方法。

1.直线的辅助线：1.1利用等角性质：当一道题目中出现两条或多条直线之间存在相等角度的关系时，可以通过画一条平行于其中一条直线的辅助线，从而使问题更加清晰。

例如，当一道题目中有两条平行线上辅助线之间的交角等于已知夹角时，我们可以通过画一条与两条线垂直的辅助线，从而找到问题的解决方法。

1.2利用中点性质：当一道题目中出现一个直线段上存在中点的情况时，可以通过连接这个中点和其它的点，并利用中点将辅助线分成两等分的方式，简化问题。

例如，当一道题目中需要证明一个线段平分另一个线段时，可以通过在两个线段的中点之间画一条辅助线，从而将问题转化为证明两个等腰三角形。

2.圆的辅助线：2.1利用相切性质：当一道题目中出现一个圆和另一个圆间存在相切的情况时，可以通过在两个圆的相切点处引出切线，并连接相切点和圆心的辅助线来简化问题。

例如，当一道题目中有两个圆相切于一个点，需要求证两个圆的半径之比时，可以通过连接两个圆心之间的辅助线，并利用切线及其垂直性质来求解。

2.2利用内接性质：当一道题目中出现一个圆内接于一个图形的情况时，可以通过在圆和图形的交点处引出辅助线，并利用内接四边形的特点来简化问题。

例如，当一道题目中有一个圆内切于一个正方形，需要证明半径与正方形边长之比时，可以通过连接正方形的对角线并利用内接四边形的性质来证明。

3.三角形的辅助线：3.1利用中位线性质：当一道题目中有一个三角形的中位线时，可以通过连接三角形的中位线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。

例如，当一道题目中需要证明两个三角形形状相似时，可以通过连接两个三角形的中位线，然后利用垂直性质来证明。

3.2利用高线性质：当一道题目中有一个三角形的高线时，可以通过连接三角形的高线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。

怎样作圆的辅助线

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．
ＭＥ — ＮＧ，ＯＭ－０Ｎ．且
直径所对的圆周角是９。利用角度相等或互０，
在ＲｔＡＭＯ和．ｔＡＮ０中，ＡＲＡ
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余，得到隐含的条件，而得到所求结论．可从三、切点，作过切点的半径，据“ 有可根圆的切线垂直于过切点的半径 ”。而得到直角从
又 ‘ ＤＡＦ．。一ＢＡＤ，
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心距与弧、之间的关系或根据垂径定理、弦弦心距平分弦解题．【１如图１ｏ０与ＢＣ的两边分例】，Ａ
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△ ＤＡＦ∽ △ ＢＡＤ，
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安徽肥西县防虎中学（３２１张德柱２１５）
圆是初中几何中的重要内容，好圆的学为Ｆ，ＡＣ于Ｅ，证：Ｄ交求一ＡＥ・ＡＣ．
证明：结ＢＣ、，连ＢＤ
Ｄ
点拔：过切点的半径是常见的一种辅作

初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。

求证：PO平分/ APD。

=> OE=OF ]/ OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF0OP=OP=> / OPE= / OPF => PO 平分/ APD分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD,进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。

证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F(=>(=AB CDAC=BD A C B D=> AB=CDOE丄AB, OF/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPDODP B图1-1证法2:连结OA, OD。

/ CAP= / BDP/ APC= / DPB => △ACP^A DBPAC=BD=>AP=DP、OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

圆中常用的辅助线

圆中常用的辅助线在解决圆中的有关问题时，常需添加辅助线。

使分散的条件相对集中，让图形的性质充分显露出来，从而找出解决问题的途径。

添加的方法主要有以下几种：一、遇到弦时，常作弦心距、或者垂直于弦的半径（或直径），再连接圆心和弦的端点。

作用：1、利用垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质。

2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。

例1：在半径为10cm 的圆柱形油管内装入一些油后，截面如图所示。

若油面宽AB=16cm ，则油的最大深度为 cm例1 例2 例3二、遇到直径时，常作直径所对的圆周角作用：利用直径所对的圆周角是直角例2：如图、AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°、∠D=50°求∠CEB 的度数？注意：在圆中构造同弧或等弧所对的圆周角可得到相等的角，也是常用的辅助线。

三、遇到90°的圆周角时，常作圆周角所对的弦作用：90°的圆周角所对的弦是直径四、遇到切线时，常作经过切点的半径作用：圆的切线垂直于过切点的半径五、遇到证明某一直线是圆的切线时1、已知直线与圆有公共点时，常连接公共点和圆心。

然后证明这个半径垂直于直线，简称为“有点连半径，证垂直”。

2、若直线与圆的公共点没有明确指出时，常过圆心作直线的垂线段。

然后证明垂线段的长等于半径，简称为“无点作垂直，证d=r ”。

例4、如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由；（2）若2OB BG ==，求CD 的长．例5.在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC 于D,以D 为圆心,DB 长为半径作⊙D.试说明:AC 是⊙D 的切线.六、遇到两圆相切时，常作公切线和连心线作用：1、利用相切的性质。

2、相切两圆的连心线，必经过切点例6：如图所示，图中各圆两两相切，⊙O 的半径为6，⊙A 和⊙B 的半径相等，求⊙C 的半径七、遇到两圆相交时，常作公共弦和连心线作用：1、利用圆内接四边形的性质。

例谈圆中常见作辅助线的方法

例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。

只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。

通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。

解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。

例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。

圆中常用的作辅助线的八种方法

CD与⊙O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. ∴∠E＋∠ACE＝90°. ∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB. ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB. ∴∠B＝∠ACD. 又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E. ∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC. 又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切
习题课
阶段方法技巧训练（一）
202X
专训2 圆中常用的作辅助线的八种方法
在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要
添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至
关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧
用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所
对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周
角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及
解：
又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，
02
∠CED＝∠OEB，
03
∴△CDE≌△OBE.
∴S△CDE＝S△OBE.
∴S阴影＝S扇形OCB＝ π·62＝6π(cm2)．
证明：
求DE的长．如图，连接BE. ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形， ∴AE＝EC，即E为AC的中点． ∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线． ∴DE＝ AB＝ ×2＝1. 解：
7 遇切线巧作过切点的半径方法 8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
解：
5
遇弦加弦心距或半径
方法
5．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP 的长为( ) A．3 B．4 C．3 D．4

圆中常见辅助线作法例析

勾股定理和垂线性质．圆中，解决与弦有关的问题时，在当
弦心距是惯用的辅助线．
二、当题目中出现直径时。作出直径上的圆周角。常构造出直角，者说明两直线垂直．时图中无直径，可根或有还
．
Ｃ为切点，
ＯＣ＿ＡＢ，＝曰ｃ＝ＬＡＣ旭
・．．
分析：问题需要结合题意画出示意图进行分析，以本可画出两种图形如图９图ｌ同时需要添加适当的辅助线．、０，
在ＲＺＡＣ中，Ｃ＝６ｍ，Ａ＝１ｃｔｋＯＯｃＯ０ｍ．
分析：据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半根 “ 径 ” 作出半径，据垂径定理、，根勾股定理相结合解决．
五、圆相交时。接公共弦（圆相切时。过切点的两连两作公切线）利用公共弦（切线），公沟通两圆的角或线段．
・
麓题思路・
新课哥覃导学２３口．己１１１
在ＲＡＡＭ中，Ｍ＝～『：（ｍ）ｔＯＯ二３ｃ故点ｍ圆中常见辅助线作法例析Ｐ到圆心Ｏ的最短距离是３ｃ．
说明：本题考查了图形运动的特点，涉及到垂径定理、
・．．
Ａ＝、Ｃ伍
ＡＢ＝２ＡＣ＝１ｍ．６ｃ
：、ｉ＝（ｍ）（８ｃ，

初三圆中常见的辅助线的相关定理有哪些？

初三圆中常见的辅助线的相关定理有哪些？
圆是初中数学中常见的几何图形之一。

在圆的研究中，我们会
遇到一些辅助线。

辅助线可以帮助我们理解圆的性质和解决相关问题。

下面是初三圆中常见的辅助线的相关定理：
1. 中垂线定理
如果两条线段的中点连线垂直于这两条线段，则这两条线段的
中点连线是它们的中垂线，并且中垂线会经过圆心。

2. 弦的垂直定理
如果一条弦上的两个弧所对应的圆心角相等（或为180度），
则此弦为这两个弧的弦的垂直平分线。

3. 弦长定理
如果两条弦在圆上的弦长相等，则它们所对应的圆心角相等。

4. 切线垂直弦定理
切线和半径的垂直性定理：切线与过切点的半径垂直。

5. 切割弦定理
切线和弦的切割定理：当一条切线和一条弦相交时，它们所夹的弧所对应的圆心角相等。

这些定理在解决圆相关问题时具有重要的作用。

通过应用这些辅助线的相关定理，我们可以更好地理解圆的性质，推导出其他定理，并解决一些与圆相关的几何问题。

以上是初三圆中常见的辅助线的相关定理。

希望对你有帮助！。

关于圆中常用辅助线的添加

关于圆中常用辅助线的添加作者：俞光清来源：《亚太教育》2015年第30期中图分类号：G633 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）10-0037-01圆的知识是初中数学中的重点内容之一，是中考常考内容之一，在中考中关于圆的问题，很多需要添加辅助线帮助解题，下面是关于圆中辅助线的添加的一些小结。

一、遇到弦时，作圆心到弦的距离遇到关于弦的问题时，常作圆心到弦的距离，再利用圆心角、弦心距、弦、垂经定理等相关的知识进行解决问题例1 如图1，MN是⊙O的直径，AO⊥MN交⊙O于A点，弦AC与MN相交于点D。

求证：AD·AC=2AO2。

分析：要证明AD·AC=2AO2，即证明AD·AB =AO2，过O点作OB⊥AC于B，由垂经定理可知 AB=BC，只需证明AD·AB =AO2，要证明AD·AB =AO2只需证明Rt△AOB∽Rt△ADO。

然后根据对应边的比率关系就可以得出结果。

二、遇到有直径时，作直径所对的圆周角在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。

例2 如图2所示，在△MAN中，∠AMN=90°，以AM上一点O为圆心，以OA为半径的圆分别与NA、MA相交于点C、B两点.（1）求证：CA·NA=BA·MA；（2）若CM与⊙O相切，B是MO的中点，当NM为3时，求NA的长度。

分析：（1）要证AN·AC=AM·AB，只需要证明△AMN∽△ACB，而∠M=90°，所以需要△ACB中有个直角，而AB是圆O的直径，所以连结BC可得∠BCA=90°。

然后根据对应边的比率关系就可以得出结果。

（2）根据直角三角形的性质：斜边中点到直角顶点的距离等于斜边的一半，可以知道△CBO为等边三角形，然后根据共弧圆周角与圆心角的关系可得出∠A=30°，从而得出结果。

圆中常见的辅助线

圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

例：如图,在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。

求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：如图,AB 为⊙O 的弦,P 是AB 上的一点，AB = 10cm,PA = 4cm 。

求⊙O 的半径。

2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证: AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB ∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD =(二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD =3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明:连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o－∠OMN ∠CNM = 90o －∠ONM∴∠AMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。

辅助线的常见做法

一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。

浅谈圆的辅助线作法

浅谈圆的辅助线作法摘要：数学教学的重要目的在于培育学生的数学思维能力，而制造性是数学思维的最全然.最核心的智力品质。

在初中平面几何的教学中，要不断地利用教材特点，挖掘生活素材，适时地培育学生的制造性思维能力。

下面以如何作圆的辅助线的探讨与归纳予以说明。

关键词：圆半径直径弦弦心距在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目，添上适合的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培育学生的制造性思维。

添加辅助线的方式有很多，本文只通过度析探讨归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定明白得决问题。

例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，且AC=BD 。

求证：PO 平分∠APD 。

分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中等弦上的弦心距相等且别离垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。

证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPFAB (BD ，(CD (D 图 1 AC (AC (BD (AB (CD(0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。

圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)(解析版)

圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。

模型1、遇弦连半径(构造等腰三角形)【模型解读】已知AB 是⊙O 的一条弦，连接OA ，OB ，则∠A =∠B ．在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。

当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题1(2022·山东聊城·统考中考真题)如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知∠P =30°，∠AOC =80°，则BD 的度数是()A.30°B.25°C.20°D.10°【答案】C【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解∠OAC +∠OCA =100°，再求解∠PAO +∠PCO =50°，从而可得∠BOA +∠COD =260°，再利用周角的含义可得∠BOD =360°-80°-260°=20°，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC ，∵∠AOC =80°，∴∠OAC +∠OCA =100°，∵∠P =30°，∴∠PAO +∠PCO =50°，∵OA =OB ，OC =OD ，∴∠OBA =∠OAB ，∠OCD =∠ODC ，∴∠OBA +∠ODC =50°，∴∠BOA +∠COD =260°，∴∠BOD =360°-80°-260°=20°．∴BD的度数20°．故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．2(2023•南召县中考模拟)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE =OB ，∠AOC =84°，则∠E 等于()A.42°B.28°C.21°D.20°【分析】利用OB =DE ，OB =OD 得到DO =DE ，则∠E =∠DOE ，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E ，所以∠1=2∠E ，同理得到∠AOC =∠C +∠E =3∠E ，然后利用∠E =13∠AOC 进行计算即可．【解答】解：连结OD ，如图，∵OB =DE ，OB =OD ，∴DO =DE ，∴∠E =∠DOE ，∵∠1=∠DOE +∠E ，∴∠1=2∠E ，而OC =OD ，∴∠C =∠1，∴∠C =2∠E ，∴∠AOC =∠C +∠E =3∠E ，∴∠E =13∠AOC =13×84°=28°．故选：B ．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)．也考查了等腰三角形的性质．3(2023·江苏沭阳初三月考)如图，已知点C 是⊙O 的直径AB 上的一点，过点C 作弦DE ，使CD =CO ．若AD 的度数为35°，则BE 的度数是．【答案】105°．【分析】连接OD 、OE ，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD =35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：连接OD 、OE ，∵AD的度数为35°，∴∠AOD =35°，∵CD =CO ，∴∠ODC =∠AOD =35°，∵OD =OE ，∴∠ODC =∠E =35°，∴∠DOE =180°-∠ODC -∠E =180°-35°-35°=110°，∴∠AOE =∠DOE -∠AOD =110°-35°=75°，∴∠BOE =180°-∠AOE =180°-75°=105°，∴BE 的度数是105°．故答案为105°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．4(2023年山东省淄博市中考数学真题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BAC=120°，D 是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD=2，DE=3，则⊙O的半径为()A.10B.3210 C.210 D.310【答案】A【分析】连接OA,OC,CE, 根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°, 根据等边三角形的性质得到AC=OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【详解】连接OA,OC,CE,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠ACB=30°∴∠AOC=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA,∵∠AEC=∠ACB=30°，∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC,∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD·AE,∵AD=2,DE=3,∴AC=AD×AE=2×2+3=10，∴OA=AC=10，即⊙O的半径为10，故选:A.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.模型2、遇弦作弦心距(解决有关弦长的问题)【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE=BE，OE2+AE2=OA2。

峰回路转一线添——圆中常用辅助线

ａ圜作割线ＰＢ切割线定Ａ，由
理得ＰＰＰＰｐ２Ｐ，Ｃ・Ｄ＝Ａ・Ｂ，Ｅ＝Ａ・所以咫２Ｃ・＝ × ３６：７所ｖＰ－：Ｐ加３（＋）２，ＸＥ－
３／．、了
已知ｏＤ与ＱＯ相切于
点Ｐ，过点Ｐ直线交ｏＯ于点Ａ，的．交
黥
证明直线是圆的切线，常
作公共弦
用的方法有两种： ①若已知直线经过圆上一点，常常作出经过此点的半
Ａ是ｏ０Ｅ的直径这一已知条件。易容
想到作出直径所对的圆周角．
獭图，０（于如３。３交（－ｏ３￣
Ｐ喇点，，经过点Ｐ的直线分别交两圆
Ｐ＝，Ｄ６求ＰＣ３Ｃ＝，Ｅ
盆作过切点的半径，出或作
构造圆心角的半径可以将圆中的元
圈懿已知一圆中割的长度，碱
求另一圆的切线．显然需要桥梁过渡，因此，自然地想到两个圆的公很
共割线．
圈由图形可以想到只要证岛
明厶４＋ＬＢＩ０即可．证明不在同＝８。要
一
思维灵活，知识点前后联系密切，为
同学们圆满完成初中数学学习设置
到更多命题．作垂线
圆中的两个角之间的关系．间必中
连结雎，则Ａ＝ＬＤＥ，Ｐ
峰回路转一线
圆中常用辅助线
。江苏平潮高级中学季亮
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《是初中数学的重点章节，圆》其

初中圆与运动轨迹问题辅助线做法

初中圆与运动轨迹问题辅助线做法
本文件有关初中圆与运动轨迹问题的解法，希望能对同学们解题有所帮助。

一、圆的学习
1.定义：圆是由某特定的一点（圆点）和一个半径（距离圆点的距离）所确定的一种几何形状。

2.特征：
（1）圆的内外角均为常数，都等于 360°；
（2）圆的周长等于 2πR；
（3）圆的面积等于πR2；
（4）圆的弦长等于 2Rsinθ，其中θ为弦与圆心的连线的夹角；
（5）圆的面积等于长度半径之积的一半。

二、运动轨迹问题
1.定义：运动轨迹是一切物体运动过程中，物体落点的抽象表示，是空间上的一种曲线，可以由多个点构成。

2.运动轨迹分类：
（1）直线运动轨迹：物体的运动方向保持不变，称为直线运动，其轨迹也是一条直线。

（2）抛物线轨迹：物体从竖直方向发射或抛射，运动的轨迹是一条抛物线。

（3）圆形轨迹：物体以一定的半径和角速度不断旋转运动时，其运动轨迹是一个圆形轨迹。

三、解决初中圆与运动轨迹问题辅助线做法
1.建立坐标系：根据圆的特征将题目中的圆用坐标表示出来，以便更清楚求解运动轨迹的问题。

2.画辅助线：根据正方形或矩形的顶点和圆心画出辅助线，这些辅助线可以帮助求解圆的弦长以及计算物体在圆上的运动轨迹。

3.计算：根据圆的特征和相关的辅助线，计算物体在圆上运动时的轨迹，如果物体的运动速度变化等等，也可以计算出不同的运动轨迹。

四、结论
本文主要介绍了圆的定义以及运动轨迹的分类，并提出了用辅助线做法解决初中圆与运动轨迹问题的建议。

最后，希望同学们能够熟练使用辅助线做法来解决运动轨迹的问题，让学习更上一层楼。

圆的辅助线的常见添法

圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线是画圆过程中常用的技巧，可以帮助我们更准确地画出所需的图形。

下面介绍几种常见的圆的辅助线添法。

一、正方形法
正方形法是最基本、最简单的圆的辅助线添法之一。

具体步骤如下：
1. 画一个正方形，边长等于所需圆的直径。

2. 将正方形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。

3. 在垂线上取一个点作为圆心，以垂线长度为半径画出所需圆。

二、三角形法
三角形法也是常用的一种圆的辅助线添法。

具体步骤如下：
1. 画一个等腰直角三角形，底边等于所需圆的直径。

2. 将底边中点与顶点相连，并做垂线。

3. 在垂足处作为圆心，以底边长度为半径画出所需圆。

三、六边形法
六边形法同样是一种常用的添法。

具体步骤如下：
1. 画一个正六边形，外接于所需圆上。

2. 连接相邻两个顶点，形成一个正三角形。

3. 在正三角形的垂心处作为圆心，以正六边形边长为半径画出所需圆。

四、四边形法
四边形法也是一种常用的添法。

具体步骤如下：
1. 画一个矩形，长宽分别等于所需圆的直径。

2. 将矩形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。

3. 在垂线上取一个点作为圆心，以矩形长或宽的一半为半径画出所需圆。

以上就是几种常见的圆的辅助线添法。

通过这些方法可以更加准确地
画出所需图形，并且在实际应用中也有很大的帮助。