导数在函数中的应用提高班
教学设计1：3.3.3 导数的实际应用
3.3.3 导数的实际应用【教材分析】（一）三维目标（1）知识与技能使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；（2）过程与方法提高将实际问题转化为数学问题的能力（3）情感、态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
（二）教学重点利用导数解决生活中的一些优化问题。
（三）教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题。
（四）教学建议本节课解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需要先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式。
一般来说，对于实际问题还需要注明变量的取值范围。
【教学过程】一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思(精选15篇)
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思〔精选15篇〕篇1：《导数在函数中的应用——单调性》教学反思本节课是一节新授课，教材所提供的信息很简单，假如直接得出结论学生也能承受。
可学生只能进展简单的模拟应用，为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课。
设计思路如下以便学生会考虑解决问题。
1、首先从同学们熟悉的过山车模型入手，将实际问题转化为数学模型，提出如何刻画函数的变化趋势，引出课题。
研究从学生熟悉的一次函数，二次函数入手，寻找导数和单调性的`关系，用几何画板演示特殊的三次函数的图像，研究单调性和导数。
在此根底上提出问题：单调性和导数到底有怎样的关系？学生通过考虑、讨论、交流形成结论。
也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
2、在结论得出后，继续引导学生考虑，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。
3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开场引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾照应。
4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。
虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深化。
5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切时机去施行，在例1的教学中，我让学生先纯熟法那么，再从形上分析^p ，加深印象，这样在后面紧接的高考题中〔没有给解析式〕，学生会迎刃而解。
为了培养学生的自主学习、自主考虑的才能，激发学习兴趣，在教学中采取引导发现法，利用多媒体等手段引导学生动口、动脑、参与数学活动，发挥主观能动性，主动探究新知。
让学生分组讨论，合作交流，共同讨论问题。
但是，真正做到以学生为中心，学生100%参与，表达三维目的，培养学习才能还是比拟困难。
高中数学导数的应用教案
高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。
教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。
教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。
教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。
二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。
三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。
四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。
五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。
同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。
导数在研究函数的综合应用(三)：高考数学一轮复习基础必刷题
导数在研究函数的综合应用（三）------高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则()y f x =的图像可能为（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+单调递增区间是（）A ．（0,+∞）B ．（-∞,0）C ．（0,1）D ．（1,+∞）4．已知函数()286ln 1f x x x x =-++，则()f x 的极大值为（）A ．10B ．6-C ．7-D ．05．函数2()2ln f x x x m x =-+在定义域上是增函数，则实数m 的取值范围为（）A ．12m ≥B ．12m >C ．12m ≤D ．12m <6．若定义在R 上的函数()y f x =的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，则不等式()()20x f x '+>的解集为（）．A ．()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞B ．()()3,11,--⋃+∞C ．()()3,10,1-- D ．()()3,21,1--⋃-7．如果直线l 与两条曲线都相切，则称l 为这两条曲线的公切线，如果曲线1:ln C y x =和曲线()2:0x aC y x x-=>有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,e D ．(),e +∞8．函数||()sin =-x f x e x 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．函数()43ln f x x x x=++的单调递减区间是______．10．若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________．11．若过定点(1,e)P 恰好可作曲线e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题12．已知函数f （x ）＝ax 2ex ﹣1（a ≠0）.（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知a ＞0且x ∈[1，+∞），若函数f （x ）没有零点，求a 的取值范围.13．确定下列函数的单调区间：(1)2y x x =-；(2)3y x x =-．14．已知1x =-，2x =是函数32()13x f x ax bx =-+++的两个极值点.（1）求()f x 的解析式；（2）记()()g x f x m =-，[24]x ∈-，，若函数()g x 有三个零点，求m 的取值范围.15．已知函数2()(1)x f x ax bx e -=++，其中e 为自然对数的底数.（1）若a =0，求函数()f x 的单调区间；（2）若1,3a b ==，证明x ＞0时，()f x ＜52ln x x x-+参考答案：1．D 【解析】【分析】根据导数图象，可知函数的单调性，并且结合()00f '=，即可排除选项.【详解】由导数图象可知，()0f x '≥，所以函数单调递增，故排除C ；并且()00f '=，故排除AB ；满足条件的只有D.故选：D 2．A 【解析】【分析】结合导函数图象确定正确选项.【详解】函数的极小值点0x 需满足左减右增，即()'00f x =且左侧()'0f x <，右侧()'0f x >，由图可知，一共有1个点符合.故选：A 3．C 【解析】【分析】求导，令导数大于0，解不等式可得.【详解】()ln 1f x x x =-+的定义域为(0,)+∞令11()10x f x x x-'=-=>，解得01x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1).故选：C 4．B 【解析】【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()213628x x f x x x x--'=-+=,令()0f x '=，解得1x =或3x =，故x ()0,11()1,33()3,+∞()f x '0>0=0<0=0>()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极大值为()16f =-，故选：B.5．A 【解析】【分析】根据导数与单调性的关系即可求出．【详解】依题可知，()220mf x x x'=-+≥在()0,∞+上恒成立，即221122222m x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，所以12m ≥．故选：A ．6．A 【解析】利用()y f x =的图象如图判断()f x 单调性，进而判断()f x '在对应区间的正负，解不等式即可【详解】由图像可知：()f x '在（-3，-1），（1，+∞）为正，在（-∞，-3），（-1,1）为负.()()20x f x '+>可化为:20()0x f x +>>'⎧⎨⎩或20()0x f x +<<'⎧⎨⎩解得:-2<x <-1或x >1或x <-3故不等式的解集为：()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞.故选：A 【点睛】导函数()f x '与原函数()f x 的单调性的关系：（1）()0f x '>⇒原函数在对应区间单增；()0f x '<⇒原函数在对应区间单减；（2）原函数在对应区间单增⇒()0f x '≥；原函数在对应区间单减⇒()0f x '≤.7．B 【解析】【分析】把曲线1C 和曲线2C)1ln 2x -=-有且仅有两解.记())()ln 2,0f x x x =->，利用导数研究单调性和极值，建立不等式20-<-<，即可解得.【详解】曲线1:ln C y x =上一点()11,ln A x x ，11y x '=，切线方程为：1111ln y x x x =-+.曲线()2:0x a C y x x -=>上一点22,1a B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22a y x '=，切线方程为：22221a a y x x x =+-.若直线l 与两条曲线都相切，则有2121212ln 11a x x a x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去2x)1ln 2x -=-因为曲线1:ln C y x =和曲线()2:0x aC y x x-=>有且仅有两条公切线，)1ln 2x -=-有且仅有两解.记())()ln 2,0f x x x =->，则())1ln 2f x x x '=-+=令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在()1,+∞上单增；()0f x '<，得01x <<，所以()f x 在()0,1上单增.所以()()min 12f x f ==-.又有()0f x =，解得：0x =（舍）或2x e =.当0x +→，则()0f x →；当x →∞，则()f x →+∞；而0-≤)1ln 2x -=-有且仅有两解，只需20-<-<，解得：01a <<.故选：B 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.8．B 【解析】【分析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.【详解】当0x >时，()e cos 1cos 0=->-≥'x f x x x ，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，()cos 1cos 0-=--<--≤'x f x e x x ，∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，排除A 、D ；又由指数函数增长趋势，排除C.故选：B ．9．()0,1【解析】求出导函数()'f x ，在(0,)+∞上解不等式()0f x '<可得()f x 的单调减区间．【详解】()()()'2+41431x x f x x x x-=-+=，其中0x >，令()'0f x <，则(0,1)x ∈，故函数()43ln f x x x x =++的单调减区间为(0,1)，故答案为：(0,1)．【点睛】一般地，若()f x 在区间(,)a b 上可导，我们用'()0f x <求，则()f x 在(,)a b 上的减区间，反之，若()f x 在区间(,)a b 上可导且为减函数，则()0f x '≤，注意求单调区间前先确定函数的定义域．10．12-【解析】求出()'f x ，由1-和3是()0f x '=的根可得．【详解】由题意2()32f x x bx c '=++，所以2320x bx c ++=的两根为1-和3，所以2133133bc ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，所以3,9b c =-=-，12b c +=-．故答案为：12-．11．(1,)+∞【解析】【分析】求出函数的导数，设切点为(,)m n ，由导数的几何意义和两点的斜率公式可得e(2)e m m a-=-，设()(2)e x f x x =-，利用导数求出其单调区间和极值，再画出函数的图象，结合图象可得a 的取值范围【详解】由e (0)x y a a =>，得e x y a '=，切点为(,)m n ，则切线的斜率为e m a ，所以切线方程为e ()m y n a x m -=-，因为e m n a =，所以e e ()m m y a a x m -=-，因为点(1,e)P 在切线上，所以e e e (1)m m a a m -=-，得e(2)e m m a-=-，令()(2)e x f x x =-，则()(1)e x f x x '=-，当1x >时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极小值e -，当x →-∞时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，由题意可得直线ey a=-与函数()f x 的图象有两个交点，所以ee 0a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞12．（1）当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【解析】（1）先求导f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），再分a ＞0和a ＜0进行讨论即可得解；（2）根据（1）可知，当a ＞0时，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，则保证f （1）＞0即可得解.【详解】（1）f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），令f '（x ）＝0，则x ＝0或x ＝﹣2，①若a ＞0，当x ＜﹣2时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；②若a ＜0，当x ＜﹣2时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；综上所述，当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.（2）当a ＞0时，由（1）可知，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，若函数没有零点，则f （1）＝ae ﹣1＞0，解得1a e＞，故a 的取值范围为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.13．(1)单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)单调递增区间为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求得导函数，利用导数的正负即可求得单调区间.（2）求得导函数，利用导数的正负即可求得单调区间.(1)2y x x =-，12y x '∴=-，当0y '=时，12x =.当0y '>时，12x <，当0y '<时，12x >，∴2y x x =-的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)3y x x =-，213y x '∴=-，当0y '=时，3x =.当0y '>时，33x -<<，当0y '<时，3x >，或3x <-∴3y x x =-的单调递增区间为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.14．（1）3211()2132f x x x x =-+++；（2）15,63⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据极值点的定义，可知方程()0f x '=的两个解即为1x =-，2x =，代入即得结果；（2）根据题意，将方程()0g x =转化为()f x m =，则函数()y f x =与直线y m =在区间[2-，4]上有三个交点，进而求解m 的取值范围．【详解】解：（1）因为32()13x f x ax bx =-+++，所以2()2f x x ax b '=-++根据极值点定义，方程()0f x '=的两个根即为1x =-，2x =，2()2f x x ax b '=-++ ，代入1x =-，2x =，可得120440a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解之可得，122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故有3211()2132f x x x x =-+++；（2）根据题意，3211()2132g x x x x m =-+++-，[2x ∈-，4]，根据题意，可得方程32112132m x x x =-+++在区间[2-，4]内有三个实数根，即函数3211()2132f x x x x =-+++与直线y m =在区间[2-，4]内有三个交点，又因为2()2f x x x '=-++，则令()0f x '>，解得12x -<<；令()0f x '<，解得2x >或1x <-，所以函数()f x 在[)2,1--，(]2,4上单调递减，在(1,2)-上单调递增；又因为1(1)6f -=-，()1323f =，5(2)3f -=，()1343f =-，函数图象如下所示：若使函数3211()2132f x x x x =-+++与直线y m =有三个交点，则需使1563m -< ，即15,63m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦．15．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得()f x 的导数，讨论0b =，0b >，0b <，解不等式可得所求单调区间；（2）分别求得()f x 的最大值，()52ln P x x x x =-+的最小值，比较即可得证.【详解】（1）若0a =，则'2(1)(1)()()x x x x be e bx bx b f x e e -+-+-==，（i ）当0b =时，'1()0x f x e-=<，函数()f x 在R 上单调递减；（ii ）当0b ≠时，'1[(1()xb x b f x e ---=，①若0b >，当1(,1)x b∈-∞-时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当1(1,)x b∈-+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.②若0b <，当1(,1)x b∈-∞-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当1(1,)x b∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.综上可知，当0b >时，函数()f x 的单调递增区间为1(,1)b -∞-，单调递减区间为1(1,)b-+∞；当0b =时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当0b <时，函数()f x 的单调递增区间为1(1,)b -+∞，单调递减区间为1(,1)b -∞-；（2）若1,3,a b ==则2()(31)x f x x x e -=++，0x >，要证不等式()52ln f x x x x <-+，即证23152ln x x x x x x e++<-+，记()52ln P x x x x =-+，则'1()2ln 1ln P x x x x x=-++⋅=-+，故当(0,)x e ∈时，'()0P x <，函数()P x 单调递减，当(+)x e ∈∞，时，'()0P x >，函数()P x 单调递增，所以()()52ln 5P x p e e e e e ≥=-+=-；又22'2(23)(31)2(2)(1)()()x x x x x x e x x e x x x x f x e e e +-++--++-===-，故(0,1)x ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，所以0x >时，5()(1)f x f e ≤=因为 2.7e ≈，所以55(5)5()0e e e e --=-+>，所以55e e->，所以0x >时，()52ln f x x x x <-+.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性及最值，考查了学生转化的问题的能力及计算能力，是中档题.。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用积分和导数是微积分中的两个重要概念，它们在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，有时会遇到需要求变上限定积分导数的情况，这种情况涉及到对导数和积分的组合运用，需要进行适当的推导和计算。
本文将围绕着变上限定积分导数的应用展开讨论，希望能够让读者更加深入地理解这一概念及其应用。
一、变上限定积分导数的定义在介绍变上限定积分导数的应用之前，我们需要首先了解一下变上限定积分的概念。
变上限定积分是指积分的上限不是一个常数，而是一个关于变量的函数。
其一般的形式可以表示为：\[F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt\]a(x)和b(x)是定义在区间[a,b]上的两个函数，它们的值随着x的变化而变化，f(t)是积分函数。
那么，当我们要求解这种形式的积分导数时，就需要运用变上限定积分导数的概念了。
对于上述形式的变上限定积分，我们可以定义其导数为：这就是所谓的变上限定积分导数。
要计算这个导数，就需要运用导数的定义和积分的性质，通过适当的推导和计算，得到最终的结果。
下面我们将通过一些具体的例子来展示变上限定积分导数的应用。
假设我们要求解如下形式的变上限定积分的导数：我们需要将积分的上限和下限分别视为常数，然后对积分进行求导。
具体步骤如下：\[F'(x) = 2x^2 - x^2 = x^2\]该变上限定积分的导数为x^2。
通过上述两个示例，我们可以看到，对于变上限定积分导数的求解，需要运用对积分的求导和常见函数的导数计算。
虽然看上去比较复杂，但只要按部就班地进行计算，是可以得到最终结果的。
变上限定积分导数在实际问题中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
以下是一些具体的应用领域：1. 物理学中的运动学问题：在描述物体的运动过程中，经常会遇到对象速度、加速度、位移等随时间变化的情况，这时就会涉及到变上限定积分导数的计算。
通过求取相应的变上限定积分导数，可以得到物体在不同时间点的速度、加速度等信息，从而更好地描述其运动规律。
导数在求值(极值、最值)中的应用
补充习题1.1.11、判定下列函数奇偶性？A ．)12sin()(++=x x x fB ．)1ln()(2++=x x x f C ．xe x xf x-=)( D ．xxx x f sin 1)(2⋅-=2、判断下列说法是否正确(1)复合函数y=f[g(x)]的定义域即为u= g(x) 的定义域.(2)若y=y(u)为偶函数，u=u(x)为奇函数，则y=y[u(x)] 为偶函数. (3) 设⎩⎨⎧<+≥=010)(x x x xx f ，由于y=x 和y=x+1都是初等函数，所以f(x) 是初等函数.(4)设y=arcsinu,u=2x +2,这两个函数可以复合成一个函数y=arcsin(2x +2). 3、下列函数的定义域：(1)211xx y --=； (2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin x x xy 4、设)(x f y =的定义域为[]2,1,求)ln 1(x f -的定义域.5、指出下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成？(1)xey 12sin=; (2)))1ln(arccos(2-=x y . (3)y=)35(si n 2+x6、将下列函数复合成一个函数(1)y=sinu,u=v ,v=2x-1 (2)y=lgu,u=1+v,v=2x补充习题1.1.21、.用铁皮做一个容积为的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域.2、某厂生产产品1000吨，定价为130元/吨.当售出量不超过700吨时，按原定价出售；超过700吨的部分按原价的九折出售.试将销售收入表示成销售量的函数.3、某手表厂生产一只手表的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元。
如果每只手表的出厂价为20元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？补充习题1.2.11、下列函数f(x)在x 的何种趋势时是无穷小量？在x 的何种趋势时f(x)是无穷大量？ （1）f(x)=12-+x x ; (2) f(x)=lgx (3) f(x)=222xx +2、利用无穷小量的性质，求下列函数的极限 （1）xx x 1sinlim 2→ （2）x xx arctan 1lim∞→（3）11lim1-+→x x x （4）xx x x 1cos)2(lim 2+→补充习题 1.2.2.1求下列函数的极限1．)1311(lim 31xxx ---→ 2. 1392lim323++-∞→x x x x3. 231lim 221+--→x x x x 4. )1(lim 22+-+∞→x x x x5 xxx 3s i n lim 2x +→ 6. xx x 3sin )21ln(lim+→7 . xe xx 3tan 1lim-→ 8. xx arcsin 13-1limx -→补充习题 1.2.2.2求下列函数的极限1.xx x x sin 2cos 1lim-→ 2. xx x 1tanlim ∞→3. 3sinlim22xx x → 4 xx xx )3lim +∞→（5. xx x x )11lim +-∞→（6. ]ln )2[ln(lim n n n n -+∞→补充习题 1.2.2.31、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →及)(lim 3x f x -→。
2024届河北省保定市曲阳县第一高级中学高三(高补班)下学期期末数学试题试卷
2024届河北省保定市曲阳县第一高级中学高三（高补班）下学期期末数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭2．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．2B ．12C ．34D ．43．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 4．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-25．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->> D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>6．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．47．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ） A ．01a <<或a e =B ．1a e <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<10．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．111．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．2 12．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【教案】校级公开课--导数的应用(教案)
《导数的应用》教学设计开课班级：高二（1）开课教师：教学设计背景本节是高中数学人教A版选修2-2第一章“导数在研究函数中的应用”内容基础上，进一步拓展延伸应用的内容。
导数除了在函数的单调性及函数的极值、最值等方面应用外，还可以应用于探究函数的零点或方程的解问题，以及应用于不等式证明问题，既灵活多变，又具有一定的综合能力要求，基于教材和学生知能背景及前期教学状况，相应作此导数的应用教学设计，以帮助学生进一步树立联系的观点利用导数处理问题的意识．学情分析学生前期已经学习导数在研究函数中的应用等内容，体会了导数的思想，初步感受了导数应用价值，初步具备了利用导数处理问题的意识和能力。
教学目标通过变式教学过程，用联系的观点，进一步探究导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用，培养运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想方法解决问题的能力。
培养学生综合思考问题的能力，以及克服困难解决问题的信心与毅力。
教学重点、难点重点应用导数导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用难点利用联系的观点，运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想解决问题教法变式教学、学生探究、引导讲授教学用具：多媒体教学过程一、复习回顾知识点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x, f(x))处的切线的斜率，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x))处的切线方程为y－y=f′(x) (x－x)知识点二：函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间(),a b 内可导如果'()0f x >，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果'()0f x <，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．知识点三：函数的极值对于可导函数f(x)判断其极值的方法为如果在0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'()0f x <，那么，0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，那么，0()f x 是极小值.知识点四：函数的最值闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：○1求函数f(x)在(a ，b)内的极值；○2将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
2024-2025学年高三数学上学期第三周导数的应用(一)教学设计
5. 团队合作能力：在小组讨论和合作中，学生能够有效沟通、合作解决问题，提高团队合作能力和沟通能力。
6. 自主学习能力：学生能够自主学习导数的相关知识，通过课后作业和自主探索，巩固学习效果，提高自主学习能力。
- 题型：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，g(x) = x^3+ 2x - 1，求(f ∘ g)'(x)。
- 解答：使用复合函数的求导法则，(f ∘ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) = (2g(x) - 4)(g(x) + 2)。
5. 隐函数求导
- 题型：已知函数y = f(x) = x^2 - 4x + 3，求dy/dx。
- 题型：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f'(x)。
- 解答：使用导数的基本公式，f'(x) = 2x - 4。
2. 导数的几何意义
- 题型：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f'(x)表示的切线斜率。
- 解答：f'(x) = 2x - 4，斜率为2x - 4。
3. 导数的四则运算法则
教学过程设计
1. 导入新课（5分钟）
目标： 引起学生对导数应用的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道导数在实际问题中的应用吗？它如何帮助我们理解和解决生活中的问题？”
展示一些关于导数应用的图片或视频片段，如运动物体的瞬时速度和加速度，让学生初步感受导数在现实生活中的重要性。
简短介绍导数的基本概念和其在实际问题中的应用，为接下来的学习打下基础。
高中数学导数教学目标及要求
高中数学导数教学目标及要求高中数学导数教学是高中阶段数学教学的重点和难点，具有重要的学科地位。
学好高中数学导数的基础知识，是学好高中数学的关键。
因此，高中数学导数教学的目标是培养学生的数学思维能力、分析问题的能力和综合运用知识解决实际问题的能力。
一、知识目标：1.掌握导数的概念、基本性质、运算法则和计算方法。
2.熟练应用导数的基本概念和运算法则解决相关问题。
3.了解导数在几何、物理等领域的应用。
二、能力目标：1.掌握用导数的定义计算函数在给定点处的导数的方法。
2.掌握导数的四则运算法则及其在函数的运算中的应用。
3.熟练运用导数求函数的极值、最值及求函数图形的描绘方法。
4.能够利用导数求解实际问题，如最值问题、速度问题等。
5.理解导数的物理意义，如速度、加速度等。
三、情感目标：1.激发学生学习数学的兴趣，增强数学学习的积极性。
2.培养学生的探索精神和数学思考能力。
3.增强学生的数学自信心，提高解决问题的自信能力。
四、教学要求：1.以学生为主体，教师起引导和指导作用，激发学生的学习积极性和主动性。
2.注重培养学生的动手操作和思考能力，通过多种表现形式激发学生的学习兴趣。
3.注重理论与实践相结合，让学生在实际问题中感受到导数的应用。
4.贯彻“因材施教”的原则，注重培养学生的创新能力和问题解决能力。
5.注重独立思考和团队合作，通过小组讨论和合作解决问题的方式培养学生的合作精神和团队意识。
6.注重对学生学习过程的评价，通过合理的评价方式提高学生的学习动力和学习效果。
五、教学方法：1.启发式教学法：通过引导学生提出问题、发现规律，培养学生的自主学习能力。
2.实践教学法：通过实例分析、计算练习、问题拓展等方式，让学生通过实际操作来理解和运用导数概念和方法。
3.讨论教学法：通过小组讨论、班级讨论、展示等方式，激发学生的思维，培养学生的合作精神和团队意识。
4.探究教学法：通过设计问题、设置探究任务等方式，引导学生主动探索和发现数学知识。
高中数学_导数及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
导数及其应用复习课教学设计教学目标1、知识与技能(1)导数的几何意义及其应用；(2)利用导数求函数的单调区间；(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值。
2、过程与方法1)能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。
2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。
3、情感态度与价值观这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。
重点和难点：重点：应用导数求单调性，极值，最值难点：利用导数求含参数的函数的单调性问题教学过程：(_)、导入.基础自测：给出五道题(1)函数y = x3在(1,1)处的切线方程为(2)已知函数/(x) = sinx+lnx,贝炉⑴.=(3)函数"sin(2x2一*的导数是(4)函数f3) = X5-X3-2X的单调递增区间为(5)函数y =尸一3x的极大值为n,极小值为:,贝I］秫+7?=设计意图：数学的教学要遵循循序渐近的原则，五道题是导数应用中基础的题型。
其中(1) 是求切线方程，(2) (3)是对导数的公式的考察，(4)是求简单函数的单调区间，注意区间的写法，(5)是利用导数求函数的极大值或者极小值，通过一些比较简单题目的求解，加深学生对题目的本质的理解，掌握基础知识。
(二)、典例精析例1(2014广西高考灯)曲线y = 在点(1,1)处切线的斜率等田).(2)已知曲线C： y = X3-%+2,求曲线在点P(l,2)的切线方程教师：分别提问学生来回答这两个小题，回答过程中注意先说自己的思路，再说答案，同时需要注意，学生分析完了以后教师给予评价。
学生：分别找两名学生起来回答归纳总结：这一部分还是找学生回答考察的知识点。
即时训练1(1)若曲线v = kx+\nx在点(1, A)处的切线平行于X轴，贝以=(2)已知曲线y = 2x2-7,求曲线过点尸(3,9)的切线方程.设计意图：通过对例题的讲解，加深学生学习的印象与思路，加深学生对本部分知识点的理解与掌握。
高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2第3课时导数在函数有关问题
第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点）1。
借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题,培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解,提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常,按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1）求出函数f （x）的定义域;（2)求导数f ′（x)及函数f ′(x）的零点；(3)用f ′（x）的零点将f （x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′（x）在各区间上的正负,并得出f （x）的单调性与极值；(4)确定f （x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f （x）的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示]（1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．（2)求实际问题的最大(小）值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的应舍去,如：长度、宽度应大于0,销售价为正数等．1．判断正误（正确的打“√"，错误的打“×”）(1)用导数研究实际问题要先求定义域．（）(2）方程x e x＝2有两个不相等的实数根．(）（3）做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m．()［提示］（2）令y＝x e x，，则y′＝e x（x＋1）．由于x＞－1时，y′＞0,x＜－1时，y′＜0。
∴x＝－1时y＝x e x取到最小值－错误!。
练案[15理][15文] 第二章 第十二讲 第一课时 导数与函数的单调性
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[练案15理][练案15文]第十二讲 导数在研究函数中的应用 第一课时 导数与函数的单调性A 组基础巩固一、选择题1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( B )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [解析] 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选B. 2．函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是( A ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1,1) [解析] ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．3．(此题为更换后新题)函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的递增区间为( D ) A ．⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．⎝⎛⎭⎫π2，π C ．⎝⎛⎭⎫0，3π4 D ．⎝⎛⎭⎫3π4，π[解析] f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，e －x >0，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4>0，则f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π时，e －x >0，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4<0，则f ′(x )>0；∴f ′(x )在(0，π)上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫3π4，π.故选D.(此题为发现的重题，更换新题见上题)函数f (x )＝(x －3)e x 的递增区间是( D ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)[解析] f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.4．若函数f (x )＝sin 2x －4x －m sin x 在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为( B ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－1,1)D ．[－1,1][解析] 因为f (x )＝sin 2x －4x －m sin x ，所以f ′(x )＝2(2cos 2x －1)－4－m cos x ＝4cos 2x －m cos x －6.由题意知，当x ∈[0,2π]时，f ′(x )≤0恒成立．设t ＝cos x ∈[－1,1]，g (t )＝4t 2－mt －6，则g (t )≤0在[－1,1]上恒成立，结合函数g (t )的图象(图略)得⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －6≤0，4－m －6≤0，解得－2≤m ≤2.故选B.5．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( A )A ．(1,2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0,3][解析] f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即函数f (x )的单调递减区间是(0,3]，所以0<a －1<a ＋1≤3，解得1<a ≤2.故选A.6．已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( A )A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析] 由y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，所以f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，所以2<x <3或－3<x <－2.故选A.7．(理)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系是( A )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a(文)(2021·河南许昌、平顶山期中)已知f (x )是偶函数，在(－∞，0)上满足xf ′(x )>0恒成立，则下列不等式成立的是( A )A ．f (－3)<f (4)<f (－5)B ．f (4)<f (－3)>f (－5)C ．f (－5)<f (－3)<f (4)D ．f (4)<f (－5)<f (－3)[解析] (理)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝cos x －sin x －2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－2<0， ∴f (x )在R 上单调递减，又2e >1,0<ln 2<1，∴－π<ln 2<2e ， 故f (－π)>f (ln 2)>f (2e )， 即a >c >b .(文)x ∈(－∞，0)时，xf ′(x )>0即f ′(x )<0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，又f (x )为偶函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (3)<f (4)<f (5)，∴f (－3)<f (4)<f (－5)，故选A.8．(理)(2021·青岛市高中毕业班模拟)已知当m ，n ∈[－1,1]时，sin πm 2－sin πn2<n 3－m 3，则以下判断正确的是( C )A ．m >nB ．m 3>n 3C ．m <nD ．m 与n 的大小关系不确定(文)(2021·成都模拟)已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( D )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a [解析] (理)由题意，设f (x )＝x 3＋sin πx2， 则f ′(x )＝3x 2＋π2cos πx2，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 又由m 3＋sinπm 2<n 3＋sin πn 2， 所以f (m )<f (n )，即m <n ，故选C.(文)∵f (x )＝3x ＋2cos x 的定义域为R ，f ′(x )＝3－2sin x >0，∴f (x )为R 上的单调递增函数．又y ＝log 2x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，∴2＝log 24<log 27<log 28＝3.∵y ＝3x 为R 上的单调递增函数，∴32>31＝3，∴2<log 27<32.∴f (2)<f (log27)<f (32)，即b <c <a .二、填空题9．函数f (x )＝xln x的单调递减区间是 (0,1)和(1，e) .[解析] f ′(x )＝ln x －1ln 2x <0得⎩⎪⎨⎪⎧ln x －1<0ln x ≠0，解得0<x <1或1<x <e.∴f (x )的单调递减区间为(0,1)和(1，e)． 10．已知函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f (x )在(2,3)上不单调，则实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫3，92 ； (2)若f (x )在(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是 (－∞，3]∪⎣⎡⎭⎫92，＋∞ .[解析] (1)由f (x )＝x 3－ax 2，得f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －2a3.若f (x )在(2,3)上不单调，则有⎩⎨⎧2a3≠0，2<2a3<3，可得3<a <92.取补集可得(2)结果．11．若函数f (x )＝x ＋cos x －1，则不等式f (x －1)<0的解集为 (－∞，1) . [解析] f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝1－sin x ≥0，∴f (x )在R 上单调递增且f (0)＝0， ∴f (x －1)<0等价于f (x －1)<f (0)． ∴x －1<0，即x <1.12．(2021·通辽蒙古族中学高三模拟)若y ＝a sin x ＋cos 2x 在⎝⎛⎭⎫π6，π3上单调递增，则实数a[解析] 由题意y ＝a sin x ＋cos 2x 在⎝⎛⎭⎫π6，π3上单调递增，可知：y ′＝a cos x －2sin 2x ≥0在⎝⎛⎭⎫π6，π3上恒成立，即a ≥4sin x 在⎝⎛⎭⎫π6，π3上恒成立，又4sin x ≤23，∴a ≥2 3. 三、解答题13．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数k 的值； (2)求函数f (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝1x－ln x －k e x (x >0)．又由题意知f ′(1)＝1－ke＝0，所以k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x (x >0)．设h (x )＝1x－ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，所以f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，所以f ′(x )<0.综上，f (x )的单调增区间是(0,1)，减区间为(1，＋∞)．14．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．[解析] (1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ， ∴当0<x <ln a 时，f ′(x )<0，当x >ln a 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 组能力提升1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( C ) A ．f (x )＝sin 2x B ．g (x )＝x 3－x C ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x[解析] h (x )＝x e x ，定义域为R ， ∴h ′(x )＝(x ＋1)e x ， 当x >0时，h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增．2．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( A ) A ．⎝⎛⎭⎫0，1a B ．⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a ) [解析] 由f ′(x )＝1x －a >0，x >0，得0<x <1a.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 3．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，－3) B ．(－3,0)∪(0，＋∞) C ．[－3,0)∪(0，＋∞) D ．(－∞，－3][解析]依题意知，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1有两个不相等的零点，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝36＋12a >0，解得a >－3且a ≠0.4．(理)(2021·广东省七校联考)已知定义在R 上的连续可导函数f (x )，当x ≠0时，有xf ′(x )<0，则下列各项正确的是( C )A ．f (－1)＋f (2)>2f (0)B ．f (－1)＋f (2)＝2f (0)C ．f (－1)＋f (2)<2f (0)D ．f (－1)＋f (2)与2f (0)大小关系不确定(文)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f (x )e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( B ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)[解析] (理)由题意得，x <0时，f (x )是增函数，x >0时，f (x )是减函数，∴x ＝0是函数f (x )的极大值点，也是最大值点，∴f (－1)<f (0)，f (2)<f (0)，两式相加得，f (－1)＋f (2)<2f (0)，故选C.(文)根据题意，F (x )＝f (x )e x ，其导数F ′(x )＝f ′(x )·e x －f (x )·(e x )′e 2x＝f ′(x )－f (x )e x， 又由f (x )－f ′(x )>0，则有F ′(x )<0， 即函数F (x )在R 上为减函数， 又由f (1)＝1e ，则F (1)＝f (1)e ＝1e 2，不等式F (x )<1e 2等价于F (x )<F (1)，则有x >1，则不等式的解集为(1，＋∞)．5．(理)(2021·山东枣庄调研)已知函数f (x )＝x e x －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x a (a ∈R )．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程； (2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间．(文)(2021·东北三省四市一模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x ＋a ln x ，x ∈(0,6)，讨论f (x )的单调性．[解析] (理)(1)a ＝0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， 所以切线的斜率是k ＝f ′(1)＝2e.又f (1)＝e ，所以y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e. (2)f ′(x )＝(x ＋1)(e x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝ln a . ①当a ＝1e时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在R 上单调递增．②当0<a <1e 时，ln a <－1，由f ′(x )>0，得x <ln a 或x >－1，由f ′(x )<0，得ln a <x <－1.所以单调递增区间为(－∞，ln a )，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a ，－1)． ③当a >1e 时，ln a >－1，由f ′(x )>0，得x <－1或x >ln a ，由f ′(x )<0，得－1<x <ln a .所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a )． 综上所述，当a ＝1e时，f (x )在R 上单调递增；当0<a <1e 时，单调递增区间为(－∞，ln a )，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a ，－1)；当a >1e 时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a )．(文)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2，x ∈(0,6)，∴a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0,6)上恒成立， ∴f (x )在(0,6)单调递减，无单调递增区间；当a >0，且2a ≥6，即0<a ≤13时，f ′(x )<0在x ∈(0,6)上恒成立，∴f (x )在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；当a >0，且2a <6，即a >13时，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 上，f ′(x )<0，在x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，6上，f ′(x )>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，6上单调递增． 综上，当a ≤13时，f (x )在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；当a >13时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，6上单调递增．。
“高三复习：导数在研究数学中的应用”教学反思
“高三复习：导数在研究数学中的应用”教学反思观点：从学生实际出发，抓准得分点，让学生得到该得的分数。
新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在求曲线的切线方程、讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、证明不等式等方面有着广泛的应用。
导数的应用一直是高考试题的重点和热点。
历年来导数的应用在高考约占17分（其中选择或填空题1题5分，解答题一题12分），根据本班学生的实际情况，我们得分定位在10分左右。
因此教学重点内容确定为：1、求曲线的切线方程，2、讨论函数的单调性，3、求函数的极值和最值。
反思：一、收获1、合理定位，有效达成教学目标。
导数的几何意义、函数的单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用（解答题的第2、第3个问）往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。
定位在获得中档难度的10分左右，符合本班学生的实际情况。
本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。
学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。
2、问题设置得当，较好突破难点。
根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：1、求曲线y=f(x)在点（a,f(a)）的曲线方程，2、求曲线y=f(x)过点（a,f(a)）的曲线方程。
一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。
使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。
通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。
3、注重板书，增强教学效果。
在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。
我依然感觉到黑板板书的重要性。
板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。
本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。
微积分应用基础第三章导数的应用
0
（0，2） 2 (2,)
— 不存在 +
0
— 不存在 +
↘
极小值 0
↗
极大值 3 16
↘
极小值 0
↗
第三章 导数的应用
例2 求函数 f (x) 3x 2 sin x 在区间 [0,2 ] 内的极
值。
解 因为 f (x) 3 2 cos x ，f (x) 2sin x 。
注意：
（1）函数的极大值和极小值是局部概念，即如果 f(x0)是f(x) 的极值，只是对极值点x0的左右近旁一个小范围来讲的。 （2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个极小值，
且其中的极大值未必比极小值要大。如极大值 f(x1) 极小值f(x5)还要小。 （3）函数的极值只能在区间内部取得。
就比
z 2x2 y 2 ,点(0,0) 处，函数有极小值0。
第三章 导数的应用
二、二元函数极值的判别法 极值存在的必要条件 若函数f(x，y) 在点P0(x0，y0)
处一阶偏导数存在，且在该点函数有极值，则必有 f x′(x0，y0)= f y′(x0，y0) =0
Q(t)、Q′(t)和Q〞(t)的图形，分析上图得出如下初步结论：
(1) 该班次的产量Q随着时间t增长而增加，到一定时间 后又随着时间增长而降低； (2)Q′ >0的时间对应产品Q增加的时间，Q′<0的时 间对应产品Q减少的时间； (3) Q′=0对应产品最大的时间； (4) Q〞>0的时间对应产品增加幅度较大的时间，Q〞 <0的时间对应产品增加幅度较小及产品减少′(x)=6x(x2 - 1)2由
f′(x)=0， 得驻点x1=-1,x2=0,x3=1 。 列表考察如下：
导数在研究函数中的应用教学设计
导数在研究函数中的应用教学设计1.3.1函数的单调性与导数海南农垦加来高级中学：邓柏林函数的单调性与导数教学设计（让学生先作图，再根据flash动画，归纳出定理）定理：一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内1) 如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)单调递增；2) 如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)单调递减。
注意：①应正确理解“ 某个区间” 的含义，它必是定义域内的某个子区间。
②如果在某个区间内恒有f /(x)＝0 ,则f(x) 为常数函数.函数单调性与导数的教学设计说明邓柏林“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章《导数及其应用》的内容。
本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。
由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。
通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。
我觉得教学设计的根本目的是创设一个有效的教学系统，这样的教学系统不是随意出现的而是教师精心创设的，没有有效的教学设计就不可能保证教学的效果和质量。
教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。
教学设计的首要任务就是明确教学目标，实际上教学目标是教学设计的灵魂和统帅，将指引后续教学设计的方向，决定后续教学设计的具体工作。
在制定教学目标的时候，我觉得要把握以下几点：第一，把握教学要求，不求一步到位。
函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。
在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用运算的性质研究单调性，知道它的变化趋势；第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢。
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2018年春季高2016级提高班（教、学案）高二数学备课组班级： 姓名： 课题：导数在函数中的应用函数的单调性与导数例1 (1)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，则当a <0时，f (x )的单调增区间是________，单调减区间是______．[解析] ∵f ′(x )＝a ＋1x (x >0)＝a (x ＋1a )x ，∴当x ≥－1a 时f ′(x )≤0，当0<x <－1a 时f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，－1a )，单调减区间为(－1a，＋∞)(2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．[解] h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝(1x －1)2－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈[14，1]，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝(7x －4)(x －4)16x.因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是[－716，＋∞)．跟踪训练：1. [2014·课标全国卷Ⅱ]若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A. (－∞，－2]B. (－∞，－1]C. [2，＋∞)D. [1，＋∞)解析：因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.2. [2015·苏州模拟]已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x ，x ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)函数f (x )是否为R 上的减函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2. 所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)f (x )不是R 上的减函数． 若函数f (x )在R 上单调递减， 则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立． 因为e x >0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立． 所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f (x )不可能是R 上的减函数． 二 函数的极值与导数例2 [2014·重庆高考]已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5，无极大值．跟踪训练3. [2013·课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增， 在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．三 函数的最值与导数例3 [2014·安徽高考]设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增．其中x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3.(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减． 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 跟踪训练4．已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解：(1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1 <k <2时，f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 分类讨论思想在导数中的应用[2014·山东高考]设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．[解] (1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)，此时f ′(x )＝2(x ＋1)2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)． ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a <0时，Δ>0，设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.由于x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a >0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．跟踪训练[2015·揭阳模拟]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系； (2)试讨论函数g (x )的单调性．解：(1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，则g ′(x )＝1x ＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ≤0时，2ax －1<0在(0，＋∞)上恒成立，由g ′(x )>0得0<x <1，由g ′(x )<0得x >1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a >0时，令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12时，由g ′(x )>0得x >1或0<x <12a， 由g ′(x )<0得12a <x <1，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上是单调递减；若12a >1，即0<a <12时，由g ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0得1<x <12a ，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12时，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 综上可知，当a ≤0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．。