山东省日照市东港实验学校九年级数学总复习课时学案：第11课 二次函数
2019-2020学年九年级数学 二次函数学案.doc
2019-2020学年九年级数学 二次函数学案一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax 2+bx+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2+ bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程y=ax 2+bx+c 没有实数根 2.二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 3.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等． （二）：【课前练习】1. 直线y=3x —3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定2. 函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根；D ．无实数根3. 不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方； B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点； D ．在x 轴下方4. 已知二次函数y =x 2－x —6·（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标； （2）画出函数图象；（3）观察图象，指出方程x 2－x —6=0的解；（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积. 二：【经典考题剖析】1. 已知二次函数y=x 2－6x+8，求：（1）抛物线与x 轴J 轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x 2－6x ＋8=0的解是什么？ ②x 取什么值时，函数值大于0？ ③x 取什么值时，函数值小于0？2. 已知抛物线y ＝x 2－2x －8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o， 过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1） 设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围 （2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。
初三数学总复习教案 二次函数
初三数学总复习教案—二次函数知识结构⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=≠+-=≠++=))0,)0,(())(()),(()0()()0(212122轴的交点坐标是与、（交点式表示图象顶点顶点式一般式x x x x x x x a y k h a k h x a y a c bx ax y重点、热点已知三点求二次函数的解析式.根据所给条件合理选择表达式求二次函数的解析式. 目标要求1． 了解二次函数解析式的三种方法表示. 2． 会用待定系数法求二次函数的解析式.3． 能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式.检查学生的学案，了解学生课前预习情况。
二、【典型例析】例1, （20XX 年宁夏）二次函数y=-2(X-3)2+5图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（）。
A ．开口向下，对称轴为X=-3，顶点坐标为（3，5）； B ．开口向下，对称轴为X=3，顶点坐标为（3，5）； C ．开口向上，对称轴为X=-3，顶点坐标为（-3，5）; D ．开口向上，对称轴为X=3, 顶点坐标为（-3，5）;分析：要熟练掌握二次函数y=a(X+h)2+k 的性质：当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；对称轴为直线X=-h;顶点坐标为（-h,k ）解：∵在y=-2(X-3)2+5中,a=-2<0 ∴抛物线开口向下。
其对称轴为直线x=-(-3)=3,顶点坐标为（3，5） 综上所述，应选择（B ）例2,（20XX 年 山西） 若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线y= —X 2+1上，则线段PQ 的长是分析：既然P 、Q 两点在y= —X 2+1上，那么就可求出a 与b 的值，这样就确定了P 、Q 两点的坐标，进而求出PQ 的长。
解：依题意有a=-12+1b=-(-1)2+1∴P(1,0), Q(-1,0)∴ a=0b=0∴PQ=1-(-1)=2例3， （20XX 年 黑龙江）若二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点（-4，0）,（2，6），则这个二次函数的解析式为 。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。
九年级数学《二次函数》总复习教案
教材：初中数学九年级上册复习目标：1.理解二次函数的概念和特征。
2.掌握二次函数的基本性质和图像的特点。
3.熟练运用二次函数解决实际问题。
4.理解抛物线的性质及其与二次函数的关系。
一、概念复习1.二次函数：通过变量的平方项表达的函数。
2.顶点：二次函数图像的最高点或最低点，表示为（a，b）。
3.对称轴：二次函数图像的对称轴，表示为x=a。
4.开口方向：二次函数图像的开口方向，由二次项的系数决定。
二、性质复习1.零点：二次函数与x轴交点的横坐标。
2.判别式：用来判断二次函数的零点个数的式子。
当Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等的零点。
当Δ=b^2-4ac=0时，二次函数有两个相等的零点。
当Δ=b^2-4ac＜0时，二次函数没有实数零点。
3.最大值与最小值：当二次函数开口向上时，最小值是顶点的纵坐标。
当二次函数开口向下时，最大值是顶点的纵坐标。
三、图像特点复习1.开口方向：当a＞0时，二次函数开口向上。
当a＜0时，二次函数开口向下。
2.对称轴：对称轴与顶点的横坐标相等。
3.零点：零点是二次函数与x轴交点的横坐标。
零点的个数由判别式Δ决定。
四、实际问题复习1.利用二次函数解决实际问题的步骤：（1）明确问题中有关条件。
（2）设出二次函数的表达式。
（3）求出二次函数的最值或零点。
（4）用解出的最值或零点回答问题。
2.举例：问题：商场的营业额可以用二次函数y=2x^2+3x+4来表示，其中x表示时间（以小时计），y表示营业额（以万元计）。
求该商场的最大营业额，并在什么时间实现。
解答：（1）根据题目，得到二次函数的表达式为y=2x^2+3x+4（2）通过求导数或将二次函数表示为顶点形式，得到该二次函数的顶点为（-3/4，23/8）。
（3）所以，该商场的最大营业额为23/8万元，实现时间为-3/4小时。
五、抛物线的性质复习1. 加入二次函数的f(x)=ax^2+bx+c。
若a＞0，抛物线开口向上；若a＜0，抛物线开口向下。
山东省日照市东港实验学校九年级数学总复习课时学案：第11课 二次函数
复习教学目标1． 根据具体情境分析和建立两个变量之间的二次函数关系，能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。
2． 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。
3． 理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，并能利用二次函数的相关知识解决实际问题。
复习教学过程设计Ⅰ.【唤醒】一、 填空 二次函数的知识结构(阅读)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+-=+==-==⎪⎩⎪⎨⎧一元二次方程的近似根利用二次函数的图象求数的关系一元二次方程和二次函数一元二次方程和二次函点坐标公式二次函数的对称轴和顶二次函数的图象用多种方式表示二次函数的定义实际问题情境二次函数所描述的关系二次函数c bx ax y k h x a y c ax y ax y x y x y 2,2)(2,22,2 1．函数22)2(-+=mx m y ，当m_____时，该函数是二次函数；当m_____时，该函数是一次函数。
2．抛物线y ＝2x 2＋1的顶点坐标是______，对称轴是，当x ＝时，函数取得最 ___值为；二次函数y＝2x 2－8x ＋1的顶点坐标是______,对称轴是___________,它的图象是由函数y ＝2x 2＋1沿着____轴向____平移______个单位，然后再沿着____轴向____平移______个单位得到。
二、 判断下列函数表达式中哪能些是二次函数（是二次函数打“√”若不是则打“×”）。
（1）y ＝3x －2 ( ) (2)y ＝2x 2－3x 3 （ ）（3）y ＝1－2x 2( ) (4) y ＝22-x ( ) （5）y ＝312-x( ) (6) c bx ax y ++=2( )三、 选择1．二次函数y ＝ax 2，当a<0时，y 的值恒小于0，则自变量x 的取值范围（ ）。
九年级数学《二次函数》总复习教案
九年级《二次函数》总复习 一、教学目标1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二、教学重点和难点重点：根据图象对二次函数的性质进行分析 难点：根据图象对二次函数的性质进行分析 三、教学过程知识梳理:1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法4、a ，b ，c 及相关符号的确定 5、抛物线的平移 （一）、二次函数的定义定义： y=ax ² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x ²，y=2x ²-2ab2/x ，y=100-5 x ²， y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。
2.当m_______时,函数y=(m+1)χm2-m- 2χ+1是二次函数？(二)、二次函数的图像及性质例1：已知二次函数:y=23x 212-+x（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。
（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。
（3）x 为何值时，y 有最小值，这个最小值是多少？（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0（分小组讨论交流，分小组展示。
教师讲解第（4）问，提示同学们要画草图由图象可知：当-3 < x < 1时，y < 0当x< -3或x>1时，y > 0（三）、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.（组织学生分组交流讨论，展示师生共评.）练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
山东省日照市东港实验学校九年级数学 总复习教案
山东省日照市东港实验学校九年级数学 总复习教案复习教学目标：1、理解现实世界中具有相反意义的量的含义，会借助数轴理解实数的相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值，并会比较实数的大小。
2、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根和立方根。
3、了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应的关系，会用一个有理数估计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念，会用计算器进行近似计算。
4、结合具体问题渗透化归思想，分类讨论的数学思想方法。
复习教学过程设计： Ⅰ [唤醒] 一、填空：1、-1.5的相反数是 、倒数是 、绝对值是 、1－ 2 的绝对值是 。
2、倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 。
算术平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 。
3、2-1= ，-2-2= ，(-12 )-2= ,(3.14-∏ )0=4、在227,∏,-8 ,3(-64) ,sin600,tan450中，无理数共有 个。
5、用科学记数法表示：-3700000= ,0.000312=用科学记数法表示的数3.4×105中有 个有效数字，它精确到 位。
6、点A 在数轴上表示实数2，在数轴上到A 点的距离是3的点表示的数是 。
7、3260 精确到0.1 的近似值为 ，误差小于1的近似值为 。
8、比较下列各位数的大小：-23 -34 ,0 -1, tan300 sin600二、判断：1、不带根号的数都是有理数。
（ ）2、无理数都是无限小数。
（ ）3、232是分数，也是有理数。
（ ）4、3-2没有平方根。
（ ） 5、若3x =x ，则x 的值是0和1。
（ ）6、a 2的算术平方根是a 。
（ ） 三、选择：1、和数轴上的点一一对应的数是（ ） A 、整数 B 、有理数 C 、无理数 D 、实数2、已知：xy ＜ 0，且|x|=3 ，|y|=1,则x+y 的值等于（ ） A 、2或－2 B 、4或－4 C 、4或2 D 、4或－4或2或－23、如果一个数的平方根与立方根相同，这个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、0或+1或-1 Ⅱ[尝试] 例1，已知下列各数：∏，-2.6，227,0,0.4,-(-3),3(-27) ,(--12)-2,cos300,23.6 ,-10,0.21221222122221……（按此规律，从左至右，在每相邻的两个1之间，每段在原有2的基础上再增加一个2）。
九年级数学《二次函数》第十一课时教案
中学“自导式”育人设计方案课时累计：11 主备: 备课组长：审阅:时间年月日第周星期年级学科九年级数学课题22.3.2 实际问题与二次函数 (第三课时)育人目标（四维）1.知识：建立适当的坐标系解决实际问题2.技能：通过对抛物线型拱桥的探究，掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系法求二次函数解析式，解决实际问题.3.能力思维：体会数学知识在生活实际的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.4.素养：通过二次函数的有关知识灵活用于实际，体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.重点难点重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型.难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便育人策略启发式教学导学环节一、预学内容：（自育）1.自学书51页。
2.完成课前知识准备。
二、预学检查（小组完成）1.检查预学内容完成情况，组内互助自学内容。
（老师巡视各小组成员的学习情况，并作必要的指导）2.教师公布答案。
通过学生举手了解学生检测情况。
三、新课导学(一)探究：问题如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？1.小组讨论何建立恰当的直角坐标系，把这个实际问题轻松转化为代数问题2分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.3.抽生展示并点评。
4.你有其它解法吗？（二）做一做：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2．现图26.3.2（学生独立完成后小组互评并展示，老师点评）（三）总结;在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对称性建立以称轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线上一些点的坐标一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，)恰当地建立直角坐标系；(2数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式；一、预学检测单1. 函数y =ax 2(a ≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当a ____时，开口向上，当a ____时，开口向下.2.二次函数解析式的形式有：①一般式：____________，②顶点式：_____________，③交点式：________________.(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为_________，也可以根据抛物线与x 轴的交点坐标设为______________.(2)由A ，B 两点的横坐标，可以求得线段AB 的长为___.二、探究单：1. 如图：是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m.水面下降1m ，水面宽度增加多少？2. 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？三、巩固练习单:河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线形，水面宽为30米，水面离桥顶的高度是9米，建立如图所示的直角坐标系，你能求出桥拱所在抛物线的函数关系式吗？图26.3.2。
九年级数学《二次函数》教案最新7篇
九年级数学《二次函数》教案最新7篇九年级数学上册二次函数教案2021模板篇一一、素质教育目标(一)知识教学点使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系。
(二)能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力。
(三)德育渗透点培养学生独立思考、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点1.重点：使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用。
2.难点：一个锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)之间的关系的应用。
三、教学步骤(一)明确目标1.复习提问(1)、什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦，结合图形请学生回答。
因为正弦、余弦的概念是研究本课内容的知识基础，请中下学生回答，从中可以了解教学班还有多少人不清楚的，可以采取适当的补救措施。
(2)请同学们回忆30°、45°、60°角的正、余弦值(教师板书).(3)请同学们观察，从中发现什么特征？学生一定会回答“sin30°=cos60°，sin45°=cos45°，sin60°=cos30°，这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”。
2.导入新课根据这一特征，学生们可能会猜想“一个锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值。
”这是否是真命题呢？引出课题。
(二)、整体感知关于锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系，是通过30°、45°、60°角的正弦、余弦值之间的关系引入的，然后加以证明。
引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”，关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明，但不标明是定理，其证明也不要求学生理解，更不应要求学生利用这两个关系式去推证其他三角恒等式。
在本章，这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算，而不是证明。
(三)重点、难点的学习和目标完成过程1.通过复习特殊角的三角函数值，引导学生观察，并猜想“任一锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值吗？”提出问题，激发学生的学习热情，使学生的思维积极活跃。
九年级数学《二次函数》总复习教案
一、教学目标：1.复习二次函数的定义、性质和图像；2.复习二次函数的解析式的推导和应用；3.复习二次函数与一次函数的关系；4.加强学生对二次函数的理解和运用能力。
二、教学内容及教学步骤：1.复习二次函数的定义和性质。
（1）复习二次函数的定义：二次函数定义为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
（2）复习二次函数的性质：①函数的对称轴：二次函数的对称轴是x轴的垂直平分线，方程为x=-b/2a。
②函数图像的开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
③ 函数的顶点：二次函数的图像的最高点或最低点即为函数的顶点，顶点的横坐标为-x_0 = -b/2a，纵坐标为y_0 = f(x_0) = -(b^2 -4ac)/4a。
④ 函数的零点：二次函数与x轴交点的横坐标即为函数的零点，方程为ax^2 + bx + c = 0，解方程得到的根为x_1 和 x_2（x_1≤ x_2）。
2.复习二次函数的图像与性质。
（1）通过例题让学生绘制各种不同开口方向、对称轴位置的二次函数的图像，并让学生总结不同性质之间的关系。
（2）使用计算机软件或网站上的图像工具辅助显示二次函数的图像，让学生在电脑屏幕上直观地观察二次函数的图像特点。
3.复习二次函数的解析式推导和应用。
（1）复习二次函数的解析式推导的基本步骤：已知二次函数的顶点坐标（x_0,y_0）和过另一点（x_1,y_1）的条件，推导二次函数的解析式。
（2）举例说明二次函数解析式推导的具体过程，并让学生进行练习。
（3）通过应用题，让学生理解二次函数的解析式在实际问题中的应用。
4.复习二次函数与一次函数的关系。
（1）复习二次函数与一次函数的关系：当二次函数的a=0时，二次函数退化成一次函数。
（2）通过例题让学生理解二次函数与一次函数的关系，以及在一次函数的基础上加上二次函数的图像特点后的整个函数图像的变化。
九年级数学二次函数反比例函数复习教案
教学目标：1.了解二次函数的一般式、顶点式和描绘二次函数的图像。
2.理解反比例函数的定义、性质和图像。
3.能够根据二次函数和反比例函数的特点，解决实际问题。
教学重点：1.理解二次函数的一般式和顶点式。
2.能够根据顶点式和一般式描绘二次函数的图像。
3.掌握反比例函数的定义、性质和图像。
教学难点：1.二次函数图像的描绘。
2.反比例函数的理解和应用。
教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）教师通过提问引导学生回顾二次函数和反比例函数的定义和性质。
例如：1. 二次函数是指函数的形式为 $y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a\neq0$。
请问二次函数的图像是什么形状？2. 反比例函数是指函数的形式为 $y=\frac{a}{x}$ 的函数，其中$a\neq0$。
请问反比例函数的特点是什么？Step 2：二次函数的一般式与顶点式（20分钟）教师给出二次函数的一般式 $y=ax^2+bx+c$，并解释其中每个参数的含义。
然后，引入二次函数的顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，并解释其中的参数含义。
学生通过观察二次函数的图像，了解二次函数的顶点的坐标是$h$ 和 $k$，进一步掌握二次函数的顶点式。
教师通过讲解和示例，引导学生将一个二次函数从一般式转换为顶点式，或者从顶点式转换为一般式。
然后，给学生一些练习题进行巩固。
Step 3：二次函数的图像描绘（30分钟）教师通过例题和图像展示，引导学生了解二次函数的图像特点。
例如，当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。
根据二次函数的顶点位置和开口方向，学生能够描绘出二次函数的图像。
教师给出一些具体的二次函数，引导学生根据函数的顶点和开口方向，描绘出对应的图像。
然后，学生进行练习并相互批改。
Step 4：反比例函数的定义和图像（20分钟）教师给出反比例函数的定义 $y=\frac{a}{x}$，并解释其中的参数含义。
山东省日照市东港区三庄镇中心初中九年级数学下册《二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》课件 新人教版
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a
的值是
A. 4
B. -1
C. 3
（A ）
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立
当x=
-
b 2a
时，
y有最小值：4a4ca-b2
当x=
-
b 2a
时，
y有最大值：4a4ca-b2
y 3x2 6x 1 y x2 4x 5 y 2(x 1 ) 2 4 y (x 2 ) 2 9
函数y=ax²+bx+c的图象和性质：
顶点坐标：（-2ba ，4a4ca-b2） 对称轴： 直线x=-2ba
开口 增减性
向 a>0 上
x<-
b 2a
x>-
b 2a
a>0
向 下
x<-
b 2a
二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y ox
说出下列函数的开口方向、对称
轴、顶点坐标：
(1) y a(x h)2 k (a 0)
(2) y 1 (x 5)2 4 3 33
(3) yy=(x+2 1)22-x21
配方
(3) y= (x+1)2- 2
(4) y 3x2 4x 1
函数y=ax²+bx+c的对称轴、
y
y
y
y
ox
A
中考数学一轮复习 第11课 二次函数导学案-人教版初中九年级全册数学学案
第11课二次函数【考点梳理】：1、理解二次函数的概念；2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3、会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容：（1）二次函数及其图象，如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向；抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h.【思想方法】 数形结合，分类讨论【考点一】：二次函数的图象和性质 【例题赏析】（1）（2015，某某某某，11，3分）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值X 围是（ ）思考与收获A． x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4考点：抛物线与x轴的交点．分析：利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值X 围即可．解答：解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值X围是：﹣2＜x＜4．故选：B．点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．（2）（2015•某某,第9题3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2y1≤y2，其中正确结论的个数是（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．解答：解：函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故①正确；函数的对称轴是x=﹣1，即﹣=﹣1，则b=2a，2a﹣b=0，故②正确；当x=1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；则y1和y2的大小无法判断，则④错误．故选C．思考与收获点评：本题考查了二次函数的性质，主要考查了利用图象求出a，b，c的X围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子．【考点二】：二次函数表达式的确定【例题赏析】（1）（2015某某某某15，3分）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2x2﹣4x﹣3．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．（2）（2015•黔西南州）（第9题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（）A． B． C． D．专题：压轴题；动点型．分析：解决本题的关键是正确确定y与x之间的函数解析式．解答：解：∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；∴S△CPO=CP•CO=x•2x=x2．∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0≤x≤3），故选：C．点评：解决本题的关键是读懂图意，确定函数关系式．【考点三】：二次函数和其它函数的应用【例题赏析】（1）（2015•某某省某某,第15题3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2，已知足球被踢出后经过4s地，则足球距地面的最大高度是m．考点：二次函数的应用．分析：首先由题意得：t=4时，h=0，然后再代入函数关系h=at2可得a数解析式计算出h的最大值即可．解答：解：由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=﹣，∴函数关系为h=﹣2，足球距地面的最大高度是：（m），故答案为：．点评：此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式（2）（2015•某某第22题 10分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值X围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB的对称轴交于点P，求点P的坐标．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．.分析：（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞﹣1（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1y=﹣x+3即可得到结果．解答：解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0，∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3， ∴B （0，3），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ， ∴， 解得：，∴直线AB 的解析式为：y=﹣x+3， ∵抛物线y=﹣x 2+2x+3，的对称轴为：x=1， ∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2， ∴P （1，2）．点评： 本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，求函数的解析式，直线AB 的交点即为点P 的坐标是解题的关键．【考点四】：二次函数和三角形的应用【例题赏析】（2015•某某 第24题 12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A （11）的抛物线经过点B （5，3），且与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）求点O 到直线AB 的距离；（3）点M 在第二象限内的抛物线上，点N 在x 轴上，且∠MND=∠OAB ，当△DMN 与△OAB 似时，请你直接写出点M 的坐标．考点： 二次函数综合题．.分析： （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，解得a=．故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，∴∠OAB=90°，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，解得x1=3，x2=﹣1，D（3，0），DN=3﹣a．①当△MND∽△OAB时，=，即=，化简，得4b=a﹣3 ①M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②联立①②，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，M1（﹣2，），当△MND∽△BAO时，=，即=，化简，得b=12﹣4a ③，联立②③，得，解得a 1=3（不符合题意，舍），a 2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80， M 2（﹣17，80）．综上所述：当△DMN 与△OAB 相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．点评： 本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．【考点五】：二次函数和四边形的应用【例题赏析】（2015•某某第28题 12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣23x 2+bx+c ，经过A （0，﹣4），B （x 1，0），C （x 2，0）三点，且|x 2﹣x 1|=5． （1）求b ，c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．考点： 二次函数综合题．分析： （1）把A （0，﹣4）代入可求c ，运用两根关系及|x 2﹣x 1|=5b ；（2满足条件的D 点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，可得PH 垂直平分OB ，求出OB 的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB 的长度关系，判断是否为正方形即可．解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣23x 2+bx+c ，经过点A （0，﹣4）， ∴c=﹣4又∵由题意可知，x1、x 2是方程﹣23x 2+bx ﹣4=0的两个根， ∴x 1+x 2=32b ，x 1x 2=6 由已知得（x 2﹣x 1）2=25又∵（x 2﹣x 1）2=（x 2+x 1）2﹣4x 1x 2=94b 2﹣24 ∴94b 2﹣24=25 解得b=±，当b=时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， 又∵y=﹣23x 2﹣x ﹣4=﹣23（x+）2+，∴抛物线的顶点（﹣72，）即为所求的点D ．（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（﹣6，0）点P 必是直线x=﹣3与 抛物线y=﹣23x 2﹣x ﹣4的交点，∴当x=﹣3时，y=﹣23×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在抛物线上存在一点P （﹣3，4），使得四边形BPOH 为菱形．四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（﹣3，3但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形等性质特点进行解题是关键。
九年级数学二次函数复习教案
一、教学目标：1.知识与能力目标：1.复习二次函数的基本概念、性质及图像；2.复习二次函数的平移、伸缩变换；3.复习解二次函数的相关问题；4.复习利用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：1.通过提问、讲解和练习等方式，引导学生复习二次函数的主要知识点；2.引导学生灵活运用所学知识解决实际问题。
3.情感态度价值观目标：1.培养学生对数学的兴趣；2.提高学生的数学思维和解决问题的能力；3.培养学生的合作意识和实际应用能力。
二、教学重点与难点：1.教学重点：1.复习二次函数的基本概念、性质及图像；2.复习二次函数的平移、伸缩变换；3.复习解二次函数的相关问题；4.复习利用二次函数解决实际问题。
2.教学难点：1.通过实际问题解决中运用二次函数；2.灵活运用二次函数的平移、伸缩变换。
三、教学过程设计：1.导入新课进行一个小组讨论，让学生回顾一下二次函数的知识点，并提出自己的问题和疑惑。
然后学生将自己的问题汇报给全班。
2.概念复习与演练1.复习二次函数的基本概念和性质，例如函数的定义域、值域、最值等。
2.复习二次函数的图像和特征，例如开口方向、对称轴、顶点坐标等。
3.利用教材上的例题和习题进行讲解和练习。
3.平移、伸缩变换的复习与演练1.复习并讲解二次函数平移和伸缩的概念和方法。
2.复习并讲解平移后的二次函数的图像和特征。
3.利用教材上的例题和习题进行讲解和练习。
4.解二次函数的复习与演练1.复习二次函数的解的方法，例如配方法、求解方程组等。
2.复习并讲解二次函数解相关问题的方法，例如求最值、求交点等。
3.利用教材上的例题和习题进行讲解和练习。
5.实际问题的解决1.提供一些与实际生活相关的问题，让学生结合所学知识解决问题。
2.分组讨论和汇报，互相学习和交流。
6.小结与反馈对本节课的重点和难点进行小结，并进行学生的反馈和问答环节。
四、教学资源准备：1.教材和课件；2.相关练习题和习题；3.与实际生活相关的问题。
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复习教学目标
1． 根据具体情境分析和建立两个变量之间的二次函数关系，能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。
2． 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。
3． 理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，并能利用二次函数的相关知识解决实际问题。
复习教学过程设计
Ⅰ.【唤醒】
一、 填空 二次函数的知识结构(阅读)
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧++=+-=+==-==⎪⎩⎪⎨⎧一元二次方程的近似根利用二次函数的图象求数的关系一元二次方程和二次函数一元二次方程和二次函点坐标公式二次函数的对称轴和顶
二次函数的图象用多种方式表示二次函数的定义实际问题情境二次函数所描述的关系
二次函数c bx ax y k h x a y c ax y ax y x y x y 2,2)(2,22,2
1．函数22)2(-+=m x m y ，当m_____时，该函数是二次函数；当m_____时，该函数是一次函数。
2．抛物线y ＝2x 2＋1的顶点坐标是______，对称轴是 ，当x ＝ 时，函数取得最 ___值为 ；二次函数y ＝2x 2－8x ＋1的顶点坐标是______,对称轴是___________,它的图象是由函数y ＝2x 2＋1沿着____轴向____平移______个单位，然后再沿着____轴向____平移______个单位得到。
二、 判断下列函数表达式中哪能些是二次函数（是二次函数打“√”若不是则打“×”）。
（1）y ＝3x －2 ( ) (2)y ＝2x 2－3x 3 （ ）
（3）y ＝1－2x 2 ( ) (4) y ＝22-x ( )
（5）y ＝31
2-x ( ) (6) c bx ax y ++=2( )
三、 选择
1．二次函数y ＝ax 2，当a<0时，y 的值恒小于0，则自变量x 的取值范围（ ）。
A. x 可取一切实数
B. x>0
C. x<0
D. x≠0
2．抛物线y ＝2x 2
＋x －3与x 轴两个交点间的距离为（ ）。
A. 2.5
B. －0.5
C. 0.5
D. －2.5
3．有一个二次函数，它的图象经过（1，0）；图象的对称轴是x=2；并且它的顶点与x 轴的距离是4，则该函数的表达式是（ ）
A ．4)2(42+--=x y B.4)2(42--=x y C.4)2(42+-=x y D. 4)2(44)2(422--=+--=x y x y 或 Ⅱ. 【尝试】
例1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过（1，0）与（2，5）两点
(1) 求这个二次函数的解析式
(2) 作出该函数的图象，并根据图象回答下列问题：
① 函数的对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点坐标
② 当x 取何值时，y>0，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
解略 （答案： y ＝x 2＋2x －3）
提炼：用待定系数法求二次函数解析式，用描点法作出图象，根据图象解决二次函数的一些基本性质。
例2.函数y ＝ax 2－ax ＋3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的值和交点坐标，求a 的值和交点坐标。
1． 解略 （答案： 0，（－31，0）；1，（－1，0）；9，（ 31，0） ） 提炼：解决函数问题时，先要注意对函数中首项系数a 的讨论，然后若有二次函数与x 轴交点的关系，则需利用到二次函数与一元二次方程的关系，利用一元二次方程的根的判别式来解决。
例3.阅读下面的文字后，解答问题：
有这样一道题目：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （0，a ），B （1，－2），求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x ＝2。
”题目中的矩形部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的表达式？若能，写出求解过程；若不能，说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整，并把你所补充的条件填写在原题中的矩形框内。
解略 （答案：（1）y ＝x 2－4x ＋1， （2）答案不惟一，如填“C （0，1）”或“顶点纵坐标为“－
3”等）
提炼：学生自己编题，有助于学生加深对题意的理解。
另外，解决此类问题，是从题目中的结论到已知条件，有利于训练学生的逆向思维。
例4.阅读如下材料，运用材料中的知识解决问题
材料：一元二次方程，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x
1、x
2
，根与系数有如下关系：
x 1＋x
2
＝－
a
b
，x
1
、x
2
＝
a
c
，这个关系称为韦达定理。
问题：二次函数y＝－x2－(m－3)x＋2(m－1)的图象与x轴交于A，B两点（点A在原点O的左侧，
点B在O的右侧），且x
1 〈 x
2
，也y轴交于点c，线OA与OB的长的乘积等于8，求抛物线的顶点P及点
C的坐标。
解略（答案： P（－1，9）， C（0，8））
提炼：应用韦达定理解决二次函数问题，可以将二次函数的问题转化为一元二次方程来解决，体会方程与函数的关系。
Ⅲ. 【小结】
1．本单元知识结构（见填空第1题）。
2．本节课运用的数学思想方法：类比思想、数形结合思想、分类思想等。