17-3方向导数讲义与梯度
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导数偏导数方向导数梯度及其关系
导数：()()()00'000lim limx x f x x f x yfx x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,导数意义为函数变化率。
由定义可知，导数是对应一元函数。
偏导数：()()()0000000,,,limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆()()()0000000,,,limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆.偏导数是对应于多元函数。
其意义是：偏导数反应是函数沿坐标轴方向变化率。
方向导数：设l 为xOy平面上以()000,P x y 为始发点一条射线，()cos ,cos l αβ=e 是与l 同方向单位向量。
则该射线参数方程为：00cos cos x x t y y t αβ=+=+,那么，函数(,)f x y ,在()000,P x y 沿l 方向方向导数为：()()()0000000,cos ,y cos ,lim t x y f x t t f x y f ltαβ+→++-∂=∂。
从方向导数定义可知，方向导数()00,x y f l∂∂就是函数(,)f x y 在点()000,P x y 沿方向l 变化率。
方向导数也是对应于多元函数。
方向导数是一个标量值。
方向导数与偏导数关系：如果函数(,)f x y 在点()000,P x y 可微分，那么函数在改点沿任意方向l方向导数存在，且有()()()000000,,cos ,cos x y x y f f x y f x y lαβ∂=+∂,其中()cos ,cos l e αβ=为方向l 方向余弦。
（若方向()1,0l =e 也就是x 轴方向，则()0000,(,)x x y ff x y l∂=∂，若方向()0,1l =e 也就是y 轴方向，则()0000,(,)y x y f f x y l∂=∂）.梯度：设函数(,)f x y 在平面区域D 内有一阶连续偏导数，则对于每一个点()000,P x y D ∈都可以定出一个向量()()0000,,x y f x y f x y +i j ，这向量称为函数(,)f x y 在点()000,P x y 梯度，即()()()000000 ,,,x y f x y f x y f x y =+grad i j 。
173方向导数与梯度
z
故f 在P0沿l的方向导数存在,且
Pl
fl (P0 )
lim 0
f
P
f (P0 )
P0
o
y
x
fx (P0)cos fy (P0)cos fz (P0)cos . //
说明: (1). 由定理1知,如 f 可微, 则任意方向的方向导数皆可用偏导数表示:
t 0
t lx2 ly2 lz2
故f 在(0,0,0)沿任意射线l的方向导数皆存在,
且 f
1.
l (0,0,0)
例3.
设f
(x,
y)
1, 0,
当0
y x2, 其余部分
x
证明:fl (0,0)=0,但f 在(0,0)不连续. y
教材P.126 例2
o
y
x
证明: 设P x0 x, y0 y, z0 z为l上任一点,由已知:
f P f (P0) f x0 x, y0 y, z0 z f x0, y0, z0
fx (P0)x f y (P0)y fz (P0)z o
记 x x x0, y y y0, z z z0,
则射线l 的方向余弦＝向量P0P的方向余弦为：
z Pl
z P0 x y
o
y
cos
x
,
cos
y
,
cos
z
.
x
问题：(1).方向导数的计算？
(2).方向导数与可微、偏导数之间的关系？
高数 方向导数与梯度 知识点与例题精讲
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为
f f cos f cos f cos
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
二、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
x
P
设 x 轴正向到射线l 的转角
0
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值， 当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
都存在，且有
f f cos f sin
l x
y
，
f cos f cos
x
y
其中 为 x轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
y (1,0)
(1,0)
所求方向导数
z l
cos( ) 2sin( )
方向导数与梯度
其中
e l = (cos α , cos β , cos γ )
例3 n 是2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在 (1,1,1) 处指向外侧的法向量， 处指向外侧的法向量，
6 x 2 + 8 y 2 在该点沿 的方向导数. 求u = n 的方向导数. z | n |= 14 n = ( 2 x ,3 y , z ) (1,1,1) = ( 2,3,1) 解 1 2 3 cos α = cos γ = cos β = 14 14 14 6 8 6x 6x 8y u x ( 1 ,1 , 1 ) = = = uy = ( 1 , 1 ,1 ) 14 14 z 6x2 + 8 y2 z 6x2 + 8 y2
zx
( 1, 0 )
=e
2y
=1
zy
( 1, 0 )
= 2 xe 2 y
( 1, 0 )
=2
∂f ∂l
( 1, 0 )
1 1 2 = 1⋅ ) =− − + 2 ⋅ (− 2 2 2
例2 求 z = 3 x 2 y − y 2 切线方向（ 增大方向） 沿曲线在该点处切线方向（ x 增大方向）的 方向导数. 方向导数. 解
l = (1,0)
∂f ∂l ∂f
l = (−1,0) −
∂l
f x (0,0) = lim t →0
lim f ( t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) lim f ( − t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 = t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) f ( t ,0) − f (0,0) = lim | t | 不存在 t →0+ t t
17-3方向导数与梯度
f (P) f (P0 )
fx (P0 ) cos f y (P0 ) cos fz (P0 ) cos .
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对于二元函数 f ( x, y) 来说, 相应于 (1) 的结果为
f l
( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 )cos
f y ( x0 , y0 )cos ,
由§1 例6 已知 fx (0,0) f y (0,0) 0 , 于是按方向
导数的计算公式 (1)，是否对任何方向 l ，恒有
f (0,0) 0 ? l
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若不对, 则求出正确答案; 并作出说明. 2. 一元函数 y f ( x) 的方向导数是什么？ 3. 一元函数 y f ( x) 的梯度 grad f ( x) 又是什么？
前页 后页 返回
2
2 3
3
1 3
1 3
.
前页 后页 返回
例2 设函数
1, 当 0 y x2, x 时,
f (x, y) 0,
其余部分.
前页 后页 返回
已知它在原点不连续 (当然也就不可微)．但在始于原点
的任何射线上, 都存在包含原点的充分小的一段，
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(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
2. P73 题 16
u
2x0
2x0 a2
2 y0
2 y0 b2
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
方向导数与梯度PPT课件
.
18
➢定义 设函数 f (x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,称向量
fx(x0,y0)ify(x0,y0)j 为函数 f (x, y)在点P0(x0, y0)的梯度, 记作
grafd(x0,y0),或f(x0, y0). 即: g f ( x r 0 , y 0 ) a f ( x 0 , d y 0 ) f x ( x 0 , y 0 ) i f y ( x 0 , y 0 ) j , 其中 i j 称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子
其中 co,scos,cos是方向l的方向余弦.
例1 求 f(x,y,z)x yy zz在x点(1,1,2)沿方向l的方向导数,
其中l的方向角分别为 60o,45o,60o.
例2 设 n是曲面 2x23y2z26在点 P(1,1,1)处指向外侧
的法向量,求函数 u 6x2 8y2 在点 P处沿方向 n 的方向导数.
第九讲 方向导数与梯度
.
1
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
.
2
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
.
3
一、方向导数
（一）定义 （二）计算
.
4
一、方向导数
（一）定义 （二）计算
.
5
➢引言
y
fx(x0, y0) l函i数m f沿(x0 x 轴 方x,向y0)的变f(x 化0,率y0)
x 0
t 当 P沿着l趋于 P0 (即 t 0)时的极限存在，则称此极限为
函数
f(x,
y,z)在P
0
沿方向l的方向导数,记作 f l
. (x0, y0, z0 )
.
8
方向导数与梯度-34页精选文档
（如图）
令|PP| (x)2(y)2,
且 z f ( x x , y y ) f ( x , y ), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
l i0m f(x x,y y)f(x,y)
或 li m 0f(xco s,y co s)f(x ,y) 是否存在？
x
y
或
f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
cos sin
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)是可微
分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数
都存Байду номын сангаас，且有 f f cos f sin ，
思考题解答
x z(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )
lim| x|. x0 x
同 理 ： y z(0,0) ly i0m | y y|
故 两 个 偏 导 数 均 不 存 在 .
沿 任 意 方 向 l { x , y , z } 的 方 向 导 数 ,
两边同除以 , 得到
f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
故有方向导数
cos
cos
f l
f(x x,y y)f(x,y)
lim
0
f cosf cos
x
在几何上 zf(x,y)表示一个曲面
曲面被平面
zc所截得
z z
f c
(x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
方向导数与梯度
设方向l的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
f同理,f当co函s数在此f c点os可 微 时f ,c那os末 函数在该点 沿其任中l意(c方osx向 ,lc的os方向,c导oys数)是都l存的在方z,向且向有量.
16
方向导数与梯度
1991年研究生考题, 计算,5分
存在时,
f x
f y
是否一定存在
7
方向导数与梯度
例如, 函数 z 的方向导数
fflimlimf (fx(xx, yx,y)y) f (fx(,xy,)y)
lx 0x0
x
x2 y2在点(0, 0)处沿方向 l i
f l
f i
lim |x|0
(x)2 02 0 lim x 1,
第七节 方向导数与梯度
directional derivative and gradient
方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 数量场与向量场的概念 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
方向导数与梯度
一、方向导数概念与计算公式
设有二元函数 z f ( x, y),考虑函数在某点
l P0 x P0
y P0
13
方向导数与梯度
问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
f cos sin 2 sin( p )
l (1,1)
4
故 (1) 当 p 时,方向导数达到最大值
4
2;
(2) 当 5p 时, 方向导数达到最小值 2;
4
(3) 当 3p 和 7p 时,方向导数等于 0.
例 设n 是曲面2x2 3 y2 z2 6在点P(1,1,1)
方向导数与梯度
f l
(x0, y0)
=|gradf(x0, y0)|cos(gradf(x0, y0),^el). , .
函数在一点的梯度是这样一个向量, 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ . >>>
函数f(x, 在点 沿方向l 在点P 的方向导数: 函数 , y)在点 0沿方向 (el=(cosα, cosβ))的方向导数: 的方向导数
f l
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ .
第六节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、总结
一、方向导数
设函数z= , 在点 在点P 的某一邻域U(P0)内有定义, 内有定义, 设函数 =f(x, y)在点 0(x0, y0)的某一邻域 的某一邻域 内有定义 l是xOy平面上以 0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单 平面上以P 为始点的一条射线, 是 平面上以 为始点的一条射线 同方向的单 位向量为el=(cosα, cosβ). 位向量为 . 方向导数
1 n= ( fx(x0, y0), f y(x0, y0)) . 2 2 fx (x0, y0)+ f y (x0, y0)
提示: 等值线f(x, = 是曲面 是曲面z= , 被平面 所截得的曲线 被平面z= 提示: 等值线 , y)=c是曲面 =f(x, y)被平面 =c所截得的曲线
z = f (x, y) z =c
§3方向导数和梯度
§ 3 方向导数和梯度附录：数量场，向量场数量场：设D 是n R 中的一个区域，f 是定义在D 内的一个实值函数，即R D f →:。
则称在D 内有一个数量场f ，或称f 是D 内的数量场。
例如：教室中每一点的温度、位置等；点电荷形成的电位切； 磁铁周围磁力的大小.等值面：设f 是D 内的一个数量场，称})({C x f D x s =∈= （C 是常数）是数量场f 的等值面，即在S 内每一点x 处，f 所对应的数值是相同的，都等于C.特别当D 是2R 中的区域时，称S 等值线.例如：天气预报中的等温面，等压面；地势图上的等高线（海拔相同）.向量场一、 方向导数1. 方向导数的定义三元函数f 在点),,(0000z y x P 的三个偏导数，分别是函数f 在点),,(0000z y x P 沿着平行于坐标轴的直线方向（双向）上的变化率. 函数f 在点0P 沿射线l （单向）方向的变化率，即f 在点0P 沿方向l 的方向导数.定义1（P124）设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义 ， l 为从点0P 出发的射线 . ),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点 , 以ρ表示P 与0P 两点间的距离 . 若极限 ρρρρf P f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在 , 则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数 , 记为0P l f∂∂ 或)(0P f l 、),,(000z y x f l .定义1' 设D 是3R 中的一个区域，f 是D 内的一个数量场，D P ∈0，l 是3R 中的一个单位向量，即,1=l 如果t P f tl P f t )()(lim 000-++→，存在，则称此极限是数量场f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记为)(0P l f ∂∂，即tP f tl P f P l f t )()(lim )(0000-+=∂∂+→。
《方向导数与梯度》课件
方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于 梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束 优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向 搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向 表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个 方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。 常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直 观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最 快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度 下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02
方向导数与梯度
i =1 n
i =1 n
i =1
进一步可计算得： A = f aa = 2∑ xi2 > 0, B = f ab = 2∑ xi , C = f bb 2n ，
f (a + h, y + k ) − f (a, b) = Φ (1) − Φ (0)
3．Taylor 定理
定理 17.9 设 f ( x, y ) 在 P0 ( x0 , y 0 ) 的邻域 U ( P0 ) 内有 n + 1 阶连续偏 导，则 ∀P( x0 + h, y 0 + k ) ∈ U ( P0 ), ∃θ ∈ (0,1) ，使得
取得极大值，当 H f ( P0 ) 是不定矩阵时， f ( x, y ) 在 P0 ( x0 , y 0 ) 不取得极 值。 证明
f ( x, y ) − f ( x 0 , y 0 ) =
1 (∆x, ∆y ) H f ( P0 )(∆x, ∆y ) T + o(∆x 2 + ∆y 2 ) 2
注：若 P0 ( x0 , y 0 ) 是 f ( x, y ) 的稳定点，则定理 17.11 又可表述为比 较实用的形式： 记 A = f xx ( x0 , y 0 ), B = f xy ( x0 , y 0 ) = f yx ( x 0 , y 0 ), C = f yy ( x0 , y 0 )
{ f x ( P0 ), f y ( P0 ), f z ( P0 )} 为函数 f ( x, y, z ) 在点 P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 的梯度，记作 gradf = { f x ( P0 ), f y ( P0 ), f z ( P0 )}
作业：2，3，6，
高数讲义第七节方向导数与梯度
故
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点
处沿方向
的方向导数定义为
如果 u = f ( x , y , z ) 在点
处可微，则
例3 设 是曲面
在点
处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数.
解： 令 则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为
（2）等值线与梯度 等值线在点 P ( x , y ) 处的一 个法向量可取为
梯度与等值线的关系：
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
一、问题的提出
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数
仅反映函数在水平方向 （横轴方向）上的变化率。 同理，偏导数 仅反映函数在垂直平方向 上的变化率。 在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化 率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,4)，(5,4)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(4,3)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
解 由梯度计算公式得 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为 解
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 （3）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为
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在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n的方向导数.
解: n(4x,6y,2z)P2(2,3,1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
Hale Waihona Puke 1414而u x
6x P z 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 162831 41 11
n P 14
例4.
处矢径 r 的模 , 试证 证:
f(r)
x x2 y2 z2
f (r) x r
f (r ) f (r) y ,
y
r
f(r)f(r) z
z
r
graf(rd)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
x
y
z
zP
f(r)1(xiy jzk ) r
r
o
y
f (r)1r r
f(r)r0
x
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l x
特别:
• 当 l 与 x 轴同向0,时 ,有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 ,时 ,有 f f
2
l x
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例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2xyz 2
l P
14
x2y 314
o
x
(设 c 1c2c3)
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式 (2 g)r (C a u ) d C gruad (4 g( ) u rv ) a u g dv r v a gd u rad
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例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电位为 u4q r(r x2y2z2),试证
gru a dE (场强 E4πεqr2r0)
证: 利用例4的结果 grf( a r) df(r)r0
graud
q
4r
r0
q
4
r2
r
0
E
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
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例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
yx
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1,2x)x2(1,4)
cos 1 , cos 4
17
17
y P
o1 2x
60 17
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例3. 设 n是曲面
精品
17-3方向导数与 梯度
一、方向导数
定义: 若函数 f(x,y,z)在点 P(x, y,z) 处
沿方向 l (方向角为,,) 存在下列极限:
l
P
f lim 0
P(x,y,z)
l i0fm (x x ,y y ,z z ) f(x ,y ,z )记 作 lf
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
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( 2 )gf rM a ( 2 d ,1 ,0 ) f
cos
l l M l grad f M
arcco6s
l
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定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
ffco sfco sfco s l
l x y
z
P
证明: 由函数 f(x,y,z)在点 P 可微 , 得
P(x,y,z)
f f x f y f z o () x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
gr f a (fx ( d x ,y ),fy (x ,y )) 3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f gradf l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
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思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
o()
故 f limffco sfco sfco s
l 0 x
y
z
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对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
为, ) 的方向导数为
y
lf l i0fm (x x ,y y)f(x ,y) l
P
fx (x ,y )co fy s (x ,y )coso
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
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解答提示:
1. (1)
曲线
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数
l fM fx co fy s co fz s co ( 1 ,1 s ,1 )
7
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二、梯度
方向导数公式 ffc o sfco s fcos
l x y
z
令向量
Gxf,
f, y
f z
l0(co ,cso ,s co )s
当l 0与G方向一致, 方时向导数取最大值：
maxf G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为,,) 的方向导数为
ffco sfco sfco s
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f fcosfcos
l x
y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
graf d xf, yf, zf
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1. 定义 向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作gradf, 即
f , x
f , y
f z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
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对函 zf数 (x,y),曲 线 zzf(C x,y)在xo面 y 上的 影 L*:f(x,y)C称为函数 f 的等值线 .
设fx, fy不同时为, 则零L*上点P 处的法向量为
(fx, fy) PgrafdP
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 gradf P.