§ 2.3 等差数列的前n项和(一)(课件1)

合集下载

2.3.1(讲课)等差数列的前n项和公式

公差为d，求等差数列的前n项和Sn Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an 倒 Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 两式左右分别相加，得
序相加
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
2Sn n(a1 an )
n(a1 an ) 公式1 S n 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) 公式2 Sn na1 d 2
一、等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an ) Sn 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) Sn na1 d 2
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，
… … … …
…
问题就是求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100 ∴S=5050.

第二章数列 2.3 等差数列的前n项和(一)

第二章数列 2.3 等差数列的前n 项和（一）明目标、知重点 1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路．2. 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思．3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识梳理1．数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n .a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 2．等差数列前n 项和公式(1)若{a n }是等差数列，则S n 能够用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2；(2)若首项为a 1，公差为d ，则S n 能够表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d .3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出一道数学题为1到100的所有整数的和为多少？很快高斯即得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来研究它．探究点一等差数列前n 项和公式思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？ .思考2 人们从“高斯的算法”受到启示，创造了“倒序相加法”，即设S ＝1＋2＋3＋…99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S ＝50×101＝5050.你能利用此种方法1＋2＋3＋…＋n 等于多少吗？答思考3 如何用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？答小结 (1)我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n . (2)等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解依题意得，反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式实行求解．易错方面：把前n项和与最后一项混淆，忘记答或写单位．跟踪训练1 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解例2 已知一个等差数列{a n}前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解方法一；方法二：反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和相关的问题中，要注意方程思想和整体思想的使用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，a n，S n，知其三能求其二．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.探究点二等差数列前n项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？答思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．(3)解 (1)方法一方法二反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解当堂检测1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )解析由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7答案 B解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋(－12)×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171. [呈重点、现规律]1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.一、基础过关1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( )A.12 B ．2C.14D ．4答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7．设S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9.解设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 二、能力提升8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m－1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m＝10，故选C.9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310 B.13C.18D.19答案 A 解析方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13， ∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝2×4d ＝4－a ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.12．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与拓展13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。

高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和

99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
返回
点击此图片进入 NO.1 课堂强化
返回
点击此图片进入 NO.2 课下检测
返回
1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512，所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
返回
[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d，由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11，得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5，解方程组得 a1＝3， n＝7，或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第二章数列
等差数列的前
第一课时等差数列的前 n项和
名师课堂 · 一点通
创新演练 · 大冲关
考点一考点二考点三
n
项和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
返回

2.3 等差数列的前n项和(1)

的元素的个数，并求这些元素的和．
解答：假设a1=7，则d=7, an=7n<100. 由7n<100得最大正整数n为14，所以元素的个数是14. 故S14=14×7+½(14×13×7)=1911, 即这些元素的和是1911.
□范例讲解例3. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝16，S8＝64，求S12.
d 2 d S n n (a1 )n 2 2
用a1和an表示
☆能用基本量 a1和d表示吗？
二次函数形式
□范例讲解例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4，S8＝172，
求a8和d; (2)等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54？ n(a1 an ) (1)答案：a8=39，d=5; Sn
2
S n na1 n( n 1)d 2
(2)解答：
因为a1=-10，d=4, Sn=54, 则 Sn=na1+½n(n-1)d,即得n² -6n-27=0, 解得n=9. 所以前9项的和是54.
□范例讲解例2. 求集合
M {m | m 7n, n N * 且m 100}
orLeabharlann n( n 1)d S n na1 2
2.等差数列的前n项和的性质：
在等差数列中， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也是等差数列.
课后作业
1. 课本P.40 第1题；
2. 作业本 1-9.
“倒序相加”法
□讲授新课 1. 数列的前n项和：数列{an}中，
a1 a2 a3 an
称为数列{an}的前n项和，记为Sn.
Sn a1 a2 a3 an
2. 等差数列的前n项和公式

等差数列的前n项和PPT优秀课件5

S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) [ a 1 ( n 1 ) d ] S n a n ( a n d ) ( a n 2 d ) [ a n ( n 1 ) d ]
n 个 2 S n （ a 1 a n ) （ a 1 a n ) （ a 1 a n )
(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
n(22n) Sn 2 n(n1).
3. 等差数列 5,4,3,2, ···前多少项和是 –
30？
解： a1=5 , d = -1 , Sn = -30
Sn
5nn(n1)(1)30 2
n15或n4(舍)
课堂小结
1.等差数列前n项和Sn公式的推导: 倒序相加法
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
Sn

n(a1 an) 2
Snna1n(n21)d
说明：(1)正确合理的选择公式. (2).注意与通项公式相结合.
课后作业：
1：作业本：§2.3等差数列的前n项和（1） 2: 预习课本P44，例3，例4
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
题
分析：由于 a1a2a3 34an2an1an146
所以 3(a1an)180
解
从而
Sn
n(a1an) 2
390得n
=

2.3等差数列的前n项和公式(1)

3.公式的应用(知三求一)。
2.3.2等差数列的前n项和
复习
1、等差数列{an}的基本性质：
(1) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=· · ·
(2) a、A、b成等差数列
A=（a+b)/2
(3)如果数列{an}的通项公式是 an=An+B (A、B是与n无关的常数），那么数列{an} 一定是等差数列。
Sn
50 （50 1) 50 100 (2) 2550 2
(3)a1 14.5, d 0.7, an 32.
32 14.5 n 1 26, S 26 0.7
26 (14 .5 32 ) an a (n 1604 .5 . 1)d 2
求集合 M m | m 7n, n N , 且m 100 的元素个数，并求这些元素的和. 100 2 解： 7 n 100 n 14
例3

所以集合M中的元素共有14个.
将它们从小到大列出，得
7
7
7, 2 7, 3 7, 4 7,
即
,
14 7,
例1:根据下列条件，求相应的等差数列
an
的
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
(2)a1 100 , d 2, n 50;
S50
10 (5 95) 500 . 2
n（a1 an ) Sn 2
n（n 1) S n na1 d 2
2、等差数列{an}的前n项和公式 n(n 1) n(a1 an ) sn na1 d sn 2 2
练习1、计算提示：（1） 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 （2） 1+3+5+„+（2n-1） n2 法二：（3）1-2+3-4+5-6+„+（2n-1）-2n -n

等差数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版选必修二)

2na1 n(n 1)d 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d.
(2)
追问：如果不利用公式 (1) 的结论，你还有其他方法得到公式 (2) 吗？
Sn a1 a2 a3 an a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
高中数学
Sn a1 a2 a3 an
a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
na1 [1 2 (n 1)]d n(n 1)
na1 2 d.
对于任意正整数 n，都有 1 2 3 n n(1 n) .
2
高中数学
等差数列 {an} 的前 n 项和公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d.
(2)
练习：在等差数列{an}中，a1＝7，a50＝101，求 S50.
解：S50
50 (7 101) 2
2700.
等差数列 {an} 的前 n 项和公式
Sn
n(a1 2
an ) .
(1)
功能1：已知 a1，an 和 n，求 Sn . 功能2：已知 Sn，n，a1 和 an中任意 3 个，求第 4 个.
(n 1)] n
当n为偶数时，
Sn
n(1 2
n) .
问题3 计算1＋2＋3＋…＋n. 对于任意正整数n，都有 1 2 3 n n(1 n) .
2
追问：不分类讨论能否得到最终的结论呢？
2(1 2 3 n) n(1 n).
高中数学
Sn 1 2 3 (n 2) (n 1) n, Sn 1 2 3 (n 2) (n 1) n.
高中数学
Sn a1 a2 a3 an3 an1 an ,

2.3等差数列的前n项和(1)

2
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
19 19 1 S19 19 21 1 570 块 2
3/30/2015
想一想
3/30/2015
在等差数列 {an} 中，如果已知五个量 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
（ n n 1) d S n na1 2 an a1 (n 1) d
结论：知三求二
3/30/2015
复习引入
数列的通项公式能够反映数列的基本特性，而在实际问题中，常常需要求数列的前n项和.对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这就是本节课我们需要探究的课题.
3/30/2015
3/30/2015
高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”.
环县二中
梁万聪
复习引入
1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式：
(1) an＝a1＋(n－1)d .
(2) an＝am＋(n－m)d .
3/30/2015
复习引入
3. 等差中项
ab A a , A, b 2
*
成等差数列.
4. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N*)

高中数学2.3 等差数列的前n项和(一)优秀课件

高斯求和解决了求： 1数，2，列 3，，n, 前100项的和： 123 9 9 100 一般地，我们称意a 义1 a 2 a 3 a n 1 a n
为数列{an}的前n项和，用 S n 表示， S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
合作探究
问题：如何求等差数列 a n 的前 n 项和 S n ?
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
S n a n a n 1 a n 2 a 2 a 1
如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？
合作探究
如何求等差数列 a n 的前 n 项和 S n ?
S n a 1 ( a 1 d ) [ a 1 （ n 1 ) d ]
第二章数列 2.3 等差数列的前n项和
xx实验高级崔中明
复习回忆
1.等差数列的概念 an-an-1=d (n∈N*且 n≥2) 2.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d
情境导入
等差数列的前n项和
德国著名数学家高斯10岁的时候就能快速度解决这个问题：
1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？
2
求二 2、等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？
答案: n=9，或n=-3〔舍去〕
提示： d 4 , 5 4 1 0 n n n 1 4
2
谢谢大家！
变式 1：(I)已知等差数列{an}中， (1)a1＝12，S4＝20，求 S6； (2)a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求 n 及 an；
解析：(1)S4＝4a1＋442 －1d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3. 故 S6＝6a1＋662 －1d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.

高中数学优质课件 2.3.1等差数列的前n项和(一)

10(10−1) × 50
2
=
7250
(元)．
∴ 从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250
万元．
典例突破（一）等差数列的前n项和公式的应用
【解题反思】如何建立等差数列模型？
答：建立等差数列的模型，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应．
② ��奇 − ��偶 = ��；
③

��奇 ��偶
=
��+�� 1.
自主探究（二）深层探究
（2）当 �� 的项数为偶数 2�� 时， ① ��2�� = �� 1 + ��2�� = �� 2 + ��2��−1 = ⋯ = �� + ��+1
第二章数列 §2.3.1 等差数列的前n项和
目标定位学习目标和重难点
【学习目标】 1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 2．经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思； 3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
行驶了多少km.
典例突破（一）等差数列的前n项和公式的应用
【解析】(1) 依题意，从第2辆车到最后一辆车，每辆车都比
前一辆车少行驶
1 6
小时.
∴ 建立等差数列{an}，用an表示第n辆车的行驶时间，则

2.3 等差数列的前n项和课件(人教版)

n =1 S1, 2. Sn与an的关系 an =S S , n 2 n − n−1 ≥
练习：试求下列数列的前项和. 练习：试求下列数列的前100项和项和（1）2，2，2，2，…… ），，，，（2）-1，1，-1，1，…… ），，，，（3）1，2，3，4，…… ），，，， 200 0 5050
n( n − 1) Sn = na1 + d 2
比较以上两个公式的共同点与不同点
共点须 a1和 , 同 : 知 n 同 : 者需 a 不点前还知 n,后还知 , 者需 d 题需据知件定用个式解时根已条决选哪公。
பைடு நூலகம்
二、练习 1.若等差数列 n}满足下列条件，求前项和 n：若等差数列{a 满足下列条件求前n项和满足下列条件，项和S 若等差数列（1）a1=5，an=95，n=10； 500 ），，；（2）a1=100，d=-2，n=50；2550 ），，；（3）a1=12，a8=26，n=20；620 ），，；（4）a7=8，d=3，n=15； 165 ），，；（5）若a8=5，你能求出 15吗？），你能求出S 结论：等差数列的前2n-1项和公式：项和公式：结论：等差数列{an}的前的前项和公式
如果已知数列{ 的第的第1项或前几项），），且如果已知数列 an}的第项(或前几项），且或前几项）任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个递推公式。数列的递推公式数列的递推公式。
递推数列通项公式的求法：归纳法、累加法—— ——适用递推数列通项公式的求法：归纳法、累加法——适用数列通项公式的求法于差式、累乘法——适用于除式、迭代法。 ——适用于除式于差式、累乘法——适用于除式、迭代法。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正确性。将等差数列的项表示为坐标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出现在首项小于0，公差小于0的情况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出现在首项大于0，公差大于0的情况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可以用于描述一系列数据的分布特征，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一系列金融数据的累加值，例如股票价格、债券收益、投资回报等。

高中数学2.3等差数列前n项和优秀课件1

A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】由题意得
5 5
1 1
+ 2 0d + 2 5d
= =
1350,,解得
d=3.
例：已知两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且
=
7 4
++217,则
11的值为(
11
).
A.74 B.32 C.43 D.7781
【解析】∵S2n-1=(2n-1)·1+22 -1=(2n-1)·22 =(2n-1)an, 同理 T2n-1=(2n-1)bn,
∴前 84 项都是非负数.
(2)Sn=na1+
(
-1) 2
=50n+-0.6
( 2
-1),
由(1)知,(Sn)max=S84=84×50+84×832×(-0.6)=2108.4.
例设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.求 a7+a8+a9.
【方法指导】运用性质 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列来解题.
等差数列前n项和的性质
壹知识回顾
数列的定义、数列的表示，数列的分类数列与函数的关系求通项公式
特殊数列：等差数列
通项公式
前n项和
定义
性质
贰新课讲授
等差数列前 n 项和的性质
(1)已知 Sn 求 an
(2)等差数列前 n 项和的有关计算
(3)已知{an}是等差数列,求前 n 项和的最值时:
【解析】由数列{an}为等差数列,则 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列,即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6),

人教版高中数学必修五等差数列的前n项和课件 (1)

解析：数列{an}的公差d＝a1177－－a11＝－121－7－－1 60＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由an<0得3n－63<0，解得n<21. ∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数．设Sn，S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和，当n≤20时，S′n＝－Sn＝－－60n＋nn2－1×3 ＝－32n2＋1223n；
可利用配方法求出二次函数的最值来确定Sn的最值，但应注意
n∈N*. ,
2．(1)在数列{an}中，已知an＝2n－49，则Sn取得最小值时，n＝( )
A．26
B．25
C．24 D．23
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝ 29,5a8＝a5－8，则Sn的最大值为________．
解析： (1)由an＝2n－49知a1＝－47，d＝2>0. Sn＝na1＋nn2－1d＝－47·n＋nn2－1×2 ＝n2－48n＝(n－24)2－242 ∴当n＝24时，Sn取得最小值．
解析：利用等差数列的性质求解． ∵{an}是等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝1＋5，∴a3＝3， ∴S5＝5a12＋a5＝5×22a3＝5a3＝5×3＝15.
答案： B
3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝____________.
解析： ∵a3＋a5＝a1＋a7＝14，∴a7＝13. 又a7＝a1＋(7－1)d，∴d＝13－ 6 1＝2. Sn＝na1＋nn－2 1d. ∴n×1＋nn2－1×2＝100. 解得n＝10或n＝－10(舍)．
2a1＋5d＝19， (2)由题设可得5a1＋552－1d＝40，即a21a＋1＋2d5＝d＝8，19，解得da＝1＝32，，故 a10＝2＋3×(10－1)＝29.

2.3等差数列的前n项和(1)课件(人教A版必修5)

设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和，当 n≤20
nn－1 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋ × 3 2
3 2 123 ＝－2n ＋ 2 n；8 分当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
nn－1 20×19 ＝－60n＋ 2 ×3－2×－60×20＋ × 3 2
由题目可获取以下主要信息： na1＋an 由 Sn＝，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组． 2 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
[解题过程]
nn－1 (1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，
又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， ∴ 1 n＋ nn－1d＝－1 022. 2 解得 n＝4，d＝－171.
解析： a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3. 又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1. 6×6－1 ∴S6＝6×(－1)＋ ×2＝24. 2
• 已知数列{an}是等差数列， • (1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差 d； • (2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10； • (3)若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
d2 a1－ 2
2d
1 a1 d d1 a12 2 ＝2n－2－ d －22－ d .
由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知，当 n 取 1 a1 最接近2－ d 的正整数时，Sn 取到最大值(或最小值)，值得注 1 a1 意的是最接近2－ d 的正整数有时 1 个，有时 2 个． (2)根据项的正负来定．若 a1>0，d<0，则数列的所有正数项之和最大；若 a1<0，d>0，则数列的所有负数项之和最小． ,