椭圆大题中的向量问题—基础篇

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高中数学椭圆大题之向量综合

高中数学椭圆大题之向量综合题型一：单一共线型例1、已知B A 、是椭圆1222=+y x 上的两点，并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,51λ时，求直线AB 斜率的取值范围.例2、已知定点)0,2(M ，若过M 的直线l （斜率不为零）与椭圆1322=+y x 交于不同的两点F E 、（E 在点F M 、之间），记OMFOMES S ∆∆=λ，求λ的取值范围.练1、椭圆1232222=+cy c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B A 、两点，且B F A F 21//，B F A F 212=，求直线AB 的斜率.练2、设)0,(1c F -，)0,(2c F 分别为椭圆1322=+y x 的左右焦点，B A 、在椭圆上，若B F A F 215=，求点A 的坐标.题型二、点在曲线上例1、已知椭圆22233b y x =+，斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，M 为椭圆上任一点，且OB OA OM μλ+=，证明22μλ+为定值.练1、椭圆C:12322=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在，说明理由.练2、设动点P 满足ON OM OP 2+=，其中M,N 是椭圆C:12422=+y x 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为21-，求P 的轨迹.。

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椭圆中的向量问题、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系 & 角度判断、椭圆内的平行四边形问题．1．向量的数量积问题22 的顶点）和椭圆 x 2 y 2 1 a ba1 2b2uuur uuurPA PB 计算过程可分为以下三步：uuur uuur写出向量的坐标（末初），并将 PA PB 表示成 f x 1x 2 ,x 1 x 2 的形式2 2 22 22 2t2a 2b 2m 2a 2b 2k 21 2kmta2 t22 2 2 2 2 ak b a k b其中 I 、II 两步可以互换顺序2 2 2 2 2 2uuur uuur a b m a b k 1特殊情况：当 P 为原点 O 时，OA OB 2 2 2 a 2k2b2记点 P t,0 是 x 轴上的一点，x 1,y 1 、B x 2, y 2 是直线 l ： y kx m （ l 不经过椭圆的两个交点，则 I ． II ．III uuur uuur PA PB联立直线联立则 x 1 ．将 x 1uuur ∴ PA x 1 t , y 1 x 2 t, y 2k 21 x 1x2 km tl 和椭圆，得出 x 1x 2 x 1 t,kx 1 m x 2 t , kx 2 mx 1 x 2f 1 k ,m 22mt， x 1 x 2f 2 k ,m ；yb 2kx 2xx 2x 2， uuurPBma 2 y 2 a 2b 222kma，2 2 2，a k bx 1x 2x 1x 2 代入①式中，得 a 2k 222am22 a 2k 22 2 2 2 2 2 b 2 x 2 2kma 2 x a 2 m 2 b 2 0，b 22，b 2uuur uuur得到PA PB g k, m uu ur PAuuurPB 转化为含 k,m 的式子 2 2 2 22 a m b 2kma2 k 12 2 2km t2 2 2 a 2k 2 b 2 a 2k 2 b 2m 2t 2基础练习：请按照以下条件作答2 x1．已知斜率为 k 的直线 l 经过点 1,0 与椭圆2uuur uuur1）若点 O 为原点，请写出 OA OB 关于斜率 k 的关系式；222．若斜率为 k 的直线 l 经过点 0,2 与椭圆 x y1交于 A 、B 两点（注意 32（1）若点 O为原点，请写出 u O u A ur O uu B ur关于斜率 k的关系式；uuur uuur（2）若点 P 1,0 ，请写出 PA PB 关于斜率 k 的关系式； 3）若点 P 2,0 ，请写出 PA PB 关于斜率 k 的关系式；uuur 2）已知点 P 2,0 ，请写出 PA uuurPB 关于斜率 k 的关系式；2y 1 交于 A 、 B 两点，0），1.1 求向量数量积的问题 22 C：x 2y 243 uuur PB 关于直线给出点 P 的坐标)例 1：已知椭圆 1，直线 l 经过 C 的右焦点 F 与椭圆交于A 、B 两点，点P 3,0 1) uuur 写出 PA l 的斜率 k 的关系式； uuur PA uuu r PB7k 215 4k 23 若 uuu ruuur PB 22，，求直线 l 的方程； ( y x 7 uuu uuur 求 uuur uuur若 OA OB 2， PA PB 的值；( 2 k2 2，求 uuu r uuuruuur uuur 7 PA PB 取值范；( PA PB 7,5) 4uuu uuu 24 uuur uuur 若 AP PB ≤ 24 ，求 PA PB 的取值范围； 7记 D 、 E 分别为椭圆 C 的左右顶点，uuu uuur uuur uuu 90 l 的方程；若 AD EB AE DB 90，求直线7uuu uuur uuur uuuuuur 求 AD EB AE DB 的取值范AD EB 2) 1) 3) 5) 6) y①．uuu r AE uuu r PA uuu r PB29)11k2 ≥ uuur DBuuu r PA 1)uuu r PB5,22),)4721,16 2uuur uuur点 A 、B 且 OA OB 2 ，求 k 的取值范围．222．已知椭圆x 3y21的左焦点为 F ，设A 、B 分别为椭圆的左右顶点，uuur uuur 的直线与椭圆交于 C 、D 两点 .，若 AC ·DB1.2 动点分析问题（直线 l 过椭圆顶点的问题）22以l 经过椭圆 x 2 y 2 1 a b 0 的左顶点 A a,0 为例． a2b2 设l ： y k x a 且l 过点 A 与椭圆交于点 B x 2,y 2 ，动点分析问题的过程如下：I ．分析问题中涉及的动点；II ．按难易程度，通过联立的方法用直线斜率 k 表示出问题中所涉及的动点坐标；练习 1.1 2 x1．已知椭圆4 y 21的离心率 e 3 ，若直线 l2y kx 2 与椭圆恒有两个不同的交联立 y 2b2k x a2 2 2 2 2x a y a b 0得2 2 2a kb2x 2 4 4 22k ax a k22a b 0 ，4 2 2 22 322a 4k2a 2b 2，得ab 2a 3k2，2ab 2k ，∴ x 1x 2ax2 2 2 2 ，x2 2 2 2 ， y2 2 2 2，a 2k2b2a 2k 2b 2a 2k 2b2即点 Bab 2a 3k 2,2ab 2ka 2k 2b 2 ,a 2k2 b 2过点 F 且斜率为 kuuur uuurAD ·CB 8，求 k 的值．III ．按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率 k 表示出来；IV ．将向量的数量积运用含 k 的式子表示出来．2例 2：如图，椭圆 E ： x y 21，记 A 、B 为椭圆的左右顶点，点 C 为椭圆的上顶点，直4线 l 经过点 C 与椭圆交于另一点 D ，并与 x 轴交于点 P ，直线 AC 与 BD 相交于点Q ．当点 P 异于点 B 时．1）记 k 为直线 l 的斜率，用 k 表示点 P 、D 的坐标；（ P2）用 k 表示出 l BD 的斜率；（ k BD 2k 1）BD4k 23）用 k 表示出点 Q 的坐标；（ Q 4k,2k 1 ） uuur uuur uuur uuur uuur4）用 k 表示出 OP 、OQ 的坐标，并求 OP OQ ．（OPuuur uuur OP OQ 4 )练习 1.2：2 x1．已知椭圆 C: y 21，若 F 为椭圆 C 的右焦点，经过椭圆的上顶点 B 的直线 l 与椭圆2另一个交点为 A ，且满足u B u Aur u B u Fur=2（1）用直线 l 的斜率 k 表示点 A 的坐标；（2）用含 k的式子表示 u B u A ur 的坐标，同时表示出 u B u F ur 的坐标；uuur uuur（3）用含 k 的式子表示 BA BF ，构建方程 f k 2 ； 4）解出 k 的值，写出直线 l 的方程 .2x 22．已知椭圆 xy 21若C 、D 分别是椭圆长轴的左右端点，动点 M 满足 MD CD ，连接 2uuuur uuurCM 交椭圆于点 P ，证明： OM OP 为定值．（1）记直线 l CM 的斜率为 k ，用含 k 的式子表示出点 M 的坐标；（2）用含 k 的式子表示出点 P 的坐标；uuur uuuur（3）用含 k 的式子分别表示出 OP 、 OM 的坐标；k1,08k 、D1 4k 24k 21 4kkuuuur uuur4）证明OM OP 为定值．2x23．已知椭圆y21，点 A 2,0 ，设直线l过点 A与椭圆交于另一点 B ，点Q（0, y0）在4uuur uuur线段 AB的垂直平分线上，且QA QB 4，求y0 的值．（1）设直线 l 的斜率为 k ，用含 k的式子表示点 B的坐标；（2）用含 k的式子表示出 AB的中点坐标，并写出 AB 的中垂线方程；（3）用含 k的式子表示出点Q 的坐标；uuur uuur（4）用含 k的式子分别表示出QA，QB ；5）运用Q uu A ur u Q u B ur f k 4，求直线 l 的方程，并求出点Q的坐标．2．数量积问题的延伸 —— 垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题．记点 P t,0 是 x 轴上的一点， A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是直线 l ： y kx m 和椭圆 1 a b 0 的两个交点，由之前的讨论可知，2 2 2 2 2 2 2u Pu Bur t2a 2b 2m 2a 2b 2k 21 2kmta 2，PB t2 2 2 2 2 2， a 2k2b 2a 2k2 b 2uuur uuur若 PA PB ，则 PA PB 0 ．△ AB 1B 2是面积为 4 的直角三角形．1）求椭圆的标准方程和离心率；2）过点 B 1作直线 l 与椭圆相交于 P 、 Q 两点，若 PB 2练习 2.12x 21．已知椭圆 C ：y 21， F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，若过点 F 2的直线 l 与椭圆 C21 2 2uuur uuur相交于 P 、Q 两点，且 F 1P F 1Q ，求直线 l 的方程．uu ur PA 例 3：如图，记 A 为椭圆2x 2 a2 y21 a b 0 的上顶点， b 为椭圆的两焦点， B 1、B 2 分别为 OF 1、OF 2 的中点，QB 2 ，求直线 l 的方程．22xyF 1、F22．已知椭圆 G ：xy 21，短轴上、下顶点分别为 A 、B ，若C 、D 是椭圆 G 上关于 y 轴 2对称的两个不同点，直线 BC 与x 轴交于点 M ，判断以线段 MD 为直径的圆是否过点 A ，并说明理由．2y1，设点 P 、Q 分别是椭圆和圆 O 上2位于 y 轴两侧的动点，若直线 PQ 与x 轴平行，直线 AP 、BP 与 y 轴的交点记为 M 、 N ，试证明 MQN 为直角 .2.2 角度问题点 P 在以 AB 为直径的圆内2 x3．如图，已知椭圆4判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系 ①．若 APB 90o，则 cos APB 0，点 P 在以 AB 为直径的圆外 ②．若 APB 90o，则 cos APB0，点 P 在以 AB 为直径的圆上 ③．若 APB 90o，则 cos APB0，uuur PB uuur PA uuur PB cos APB 0 uuur PB uuur PA uuur PB cos APB 0 uuur PB uuur PA uuur PB cos APB 0 uu ur PAuuur PAuu ur PA2.2.1 角度判断2 x2 例4：记F1、F2 分别是椭圆y21 241的左、右焦点，设过定M 0,2 的直线l 与椭圆交点于同的两点A、B ，且AOB 为锐角，求直线l 的斜率 k 的取值范围．练习 2.2.1221．已知点 F 是椭圆x y 1的右焦点，O为坐标原点，设过点 F ，斜率为 k的直线l 交432 2 2椭圆于A、B两点，若OA2 OB2 AB2，求k的取值范围．2x22．设 A、B分别为椭圆x y21的左、右顶点，设 P 为直线x 4上不同于点4,0 的任意4一点，若直线 AP与椭圆相交于异于 A的点 M ，证明：△MBP为钝角三角形．2.2.2 点与圆的位置关系问题22例 5：已知椭圆 E ： x +y=1，设直线 x=my-1,(m?R )交椭圆 E 于 A 、B 两点，判断点9G(- ,0) 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．4练习 2.2.2M (2,0) 与以 AB 为直径的圆的位置关系．3．向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型2 x1．已知椭圆32y21，直线 l 经过椭圆右焦点F 与椭圆相交于 A 、B 两点，试判断点2)当点 P 运动时，判断点 Q 与以 BP并证明你的结论．—— 椭圆内的平行四边形问题．22xy记点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是直线 l ： y kx m 与椭圆 2 2 1 a b 0 的两交点， ab在椭圆方程已知的情况下以求出 OP 、 AB 、点 O 到直线 l 的距离 d ， △ AOB 或平行四边形 OAPB 的面积等几何量的取值范围．3) 若点 P 在以 OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线上，则uuur uuur uuurOP OA OB ，可以得出，这也是一个很有用的结论．点 P x 3,y 3 在椭圆上，且四边形联立y kxb1 2 *x 2m 22ay a 2k 2 b 222kma xa 2 m 2b 21 ，∴x 1x 22kma 222a k b2 ，y 1y 2x 2 x 2 2m22b m，2 2 2，a k b再由平行四边形的性质可得 u O uu P ruuu r OAuuur OB ，∴x 3 x 1 x 2 ， y 3 y 1 y 2 ，则点 P22kmaa2k 222b m2 2 2b 2 a 2k 2 b将点 P 代入椭圆中可得2 2 44k m ab 2 2a 2k 21b 2424b m2 1 ，2 2 2 2a 2k 2b 24m 2 a 2k 2 b 21，得4m 22 2 2 a 2k 2 b 2 ．1) 2) 当直线 l 过定点，或直线斜率确定，若直线 l 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到我们可以求出直线的方程； k,m 的关系，结合 0，我们可OAPB 为平行四边形，如下图．22例6：已知椭圆C：x y 1，直线l 经过点P 0,1 交椭圆于A、B 两点， 32边做平行四边形OAPB ，其中顶点 P在椭圆上，O 为坐标原点．（1）验证当直线 l 斜率 k 不存在时，是否存在这样的点 P ；（2）记直线 l 的斜率为 k ，用含 k 的式子表示x1 x2，y1 y2；（3）由O uuAurOuuBurOuuPur，将点P 的坐标用含k 的式子表示；（4）将点 P 代入椭圆方程，得到方程 f k 1；（5）解方程，求出直线方程．练习3：221．已知椭圆 C ：x y 1，点 F 为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点32点F 转动到某一位置时，四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点方程；反之，请说明理由．2．已知椭圆C ：2x22y21，直线l 过点M2,0 与椭圆相交于A、 B 两点，点，且满足O u uur uuurA OBuuurtOP ，当uuuruuur PAPB2 5时，求实数3t 的取值范围P 为椭圆上一OA、OB 为邻P ，使得当l 绕P 的坐标和直线2x23．如图，已知椭圆 E：x y 1，斜率为 k的直线 l 经过椭圆的左焦点 F 与椭圆交于 A、B 4两点，直线 l'：x 4ky 0与椭圆 E交于 C、D两点，点 M 是线段 AB的中点．1 ）证明：点M 在直线 l ' 上；（运用点差法即可证明）2 ）已知S BDM3S ACM ；i ）证明： DM3CM ；ii ）证明四边形OACB是平行四边形；iii ）求直线 l 的方程．2 x22．已知椭圆 C ：y2 * 41，A、B 为 C 的左右顶点，4且l x 轴，点 P 是 C 上异于A、 B 的任意一点，l 于点Q ．(1)记k1、k2 分别为直线OQ、BP 的斜率，证明k121 1 4mx3 1 x1 x2 ，y3 1y1 y2 ，进而得到242m2a k b。

向量与椭圆结合的解题通法

向量与椭圆结合的解题通法一、向量与椭圆的结合向量与椭圆的结合，主要体现在椭圆的几何性质和向量的几何特性上。

椭圆是一种常见的平面图形，具有丰富的几何性质和运动特性。

向量则是一种具有方向和大小的量，可以用来表示物体的位置和运动。

将向量与椭圆结合起来，可以研究椭圆的各种性质和运动，为解决相关问题提供新的思路和方法。

二、椭圆的向量表示椭圆的向量表示方法有多种，其中比较常用的有：1.焦点法：以椭圆的两个焦点为端点，连接而成的向量表示椭圆的焦点位置和大小。

2.中心法：以椭圆中心为起点，连接椭圆上任意一点的向量表示椭圆的中心位置和大小。

3.方向法：以椭圆上任意一点为起点，沿椭圆轨迹方向引出的向量表示椭圆上该点的位置和运动方向。

三、向量在椭圆上的作用向量在椭圆上的作用主要有：1.描述椭圆上的点的位置和运动状态；2.表示椭圆上的点的速度和加速度；3.研究椭圆上的点的轨迹形状和变化规律；4.分析椭圆上的点的受力情况和运动规律。

四、向量与椭圆的关系向量与椭圆的关系主要体现在：1.向量的大小与椭圆的大小有关；2.向量的方向与椭圆的长轴和短轴有关；3.向量的起点和终点分别对应椭圆的中心和焦点；4.向量的变化与椭圆的变化有关。

五、向量在椭圆运动中的变化当一个物体在椭圆轨迹上运动时，其位置向量将发生相应的变化。

具体来说：1.如果物体沿椭圆轨迹做匀速运动，则其位置向量的长度将保持不变，但方向会不断变化；2.如果物体沿椭圆轨迹做变速运动，则其位置向量的长度和方向都会不断变化。

这时，可以通过求解位置向量的变化率来得到物体的速度和加速度。

六、向量与椭圆的方程的关系椭圆的方程与向量的关系主要体现在：1.椭圆的标准方程可以转化为向量的数量积方程；2.通过向量的数量积运算可以求出椭圆上的点的坐标；3.向量的模长可以表示椭圆的大小，向量的方向可以表示椭圆的长轴和短轴。

七、向量在判断椭圆形状中的作用利用向量可以判断椭圆的形状，具体方法如下：1.根据向量的数量积方程求出椭圆上任一点的坐标；2.根据该点的坐标计算出长短轴的值；3.根据长短轴的值判断出椭圆的形状（如扁圆、圆、竖圆等）。

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椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题．1．向量的数量积问题记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+（l 不经过椭圆的顶点）和椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个交点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 计算过程可分为以下三步：I ．写出向量的坐标（末-初），并将PA PB ⋅u u u r u u u r表示成()1212,f x x x x +的形式 ()()()()11221122,,,,PA PB x t y x t y x t kx m x t kx m ⋅=-⋅-=-+⋅-+u u u r u u u r()()()()22212121k x x km t x x m t =++-+++······① II ．联立直线l 和椭圆，得出()121,x x f k m =，()122,x x f k m +=；联立222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，得()()2222222220a k b x kma x a m b +++-=，则2122222kma x x a k b +=-+，()22212222a m b x x a k b -=+，III ．将12x x +，12x x 代入①式中，得到(),PA PB g k m ⋅=u u u r u u u r ，将PA PB ⋅u u u r u u u r转化为含,k m 的式子∴PA PB ⋅u u u r u u u r ()()()()222222222222221a m b kma k km t m t a k b a k b-=+--⋅++++其中I 、II 两步可以互换顺序基础练习：请按照以下条件作答1．已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，（1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；（2）已知点()2,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；2．若斜率为k 的直线l 经过点()0,2与椭圆22132x y +=交于A B 、两点（注意0∆>），（1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；（2）若点()1,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；（3）若点()2,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；1.1 求向量数量积的问题（给出点P 的坐标）例1：已知椭圆C ：22143x y +=，直线l 经过C 的右焦点F 与椭圆交于A B 、两点，点()3,0P ．（1）写出PA PB ⋅u u u r u u u r 关于直线l 的斜率k 的关系式；（2271543k PA PB k +⋅=+u u u r u u u r ）（2）若227PA PB ⋅=u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（1y x =±-）（3）若2OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，求PA PB ⋅u u u r u u u r 的值；（22k =，2911PA PB ⋅=u u u r u u u r ）（4）求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围；（7,54PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r ）（5）若247AP PB +u u u r u u u r ≤，求PA PB ⋅u u u r u u u r 的取值范围；（21k ≥，522,47PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r ）（6）记D E 、分别为椭圆C 的左右顶点，①．若907AD EB AE DB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（1y x =±-）②．求AD EB AE DB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的取值范围．（21,162AD EB AE DB ⎡⎤⋅+⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r ）练习1.11．已知椭圆2214x y +=的离心率e =，若直线l ：y kx =+点A B 、且2OA OB ⋅>u u u r u u u r，求k 的取值范围．2．已知椭圆22132x y +=的左焦点为F ，设A B 、分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C D 、两点.，若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r，求k 的值．1.2 动点分析问题（直线l 过椭圆顶点的问题）以l 经过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点(),0A a -为例．设l ：()y k x a =+且l 过点A 与椭圆交于点()22,B x y ，联立()222222y k x a b x a y a b ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得()222224422220a k b x k a x a k a b +++-=， ∴4222122222a k a b x x ax a k b -=-=+，得2322222ab a k x a k b -=+，222222ab k y a k b =+，即点23222222222,ab a k ab k B a k b a k b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．动点分析问题的过程如下： I ．分析问题中涉及的动点；II ．按难易程度，通过联立的方法用直线斜率k 表示出问题中所涉及的动点坐标； III ．按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率k 表示出来； IV ．将向量的数量积运用含k 的式子表示出来．例2：如图，椭圆E ：2214x y +=，记A B 、为椭圆的左右顶点，点C 为椭圆的上顶点，直线l 经过点C 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 相交于点Q ．当点P 异于点B 时．（1）记k 为直线l 的斜率，用k 表示点P D 、的坐标；（2221814,0,4141k k P D k k k ⎛⎫-⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、）（2）用k 表示出BD l 的斜率；（2142BD k k k +=--）（3）用k 表示出点Q 的坐标；（()4,21Q k k -+）（4）用k 表示出OP u u u r、OQ u u u r 的坐标，并求OP OQ ⋅u u u r u u u r ．（1,0OP k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()4,21OQ k k =-+u u u r ，4OP OQ ⋅=u u u r u u u r）练习1.2：1．已知椭圆C :2212x y +=，若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线l 与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅u u u r u u u r（1）用直线l 的斜率k 表示点A 的坐标；（2）用含k 的式子表示BA u u u r 的坐标，同时表示出BF u u u r的坐标；（3）用含k 的式子表示BA BF ⋅u u u r u u u r，构建方程()2f k =；（4）解出k 的值，写出直线l 的方程.2．已知椭圆2212x y +=若C D 、分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM 交椭圆于点P ，证明：OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值．（1）记直线CM l 的斜率为k ，用含k 的式子表示出点M 的坐标；（2）用含k 的式子表示出点P 的坐标；（3）用含k 的式子分别表示出OP u u u r 、OM u u u u r的坐标；（4）证明OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值．3．已知椭圆2214x y +=，点()2,0A -，设直线l 过点A 与椭圆交于另一点B ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=u u u r u u u r ，求0y 的值．（1）设直线l 的斜率为k ，用含k 的式子表示点B 的坐标；（2）用含k 的式子表示出AB 的中点坐标，并写出AB 的中垂线方程；（3）用含k 的式子表示出点Q 的坐标；（4）用含k 的式子分别表示出QA u u u r，QB u u u r ；（5）运用()4QA QB f k ⋅==u u u r u u u r，求直线l 的方程，并求出点Q 的坐标．2．数量积问题的延伸——垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题．记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+和椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个交点，由之前的讨论可知， ()()2222222222222212a b m a b k kmta PA PB t a k b a k b +-+⋅=++++u u u r u u u r ，若PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r．例3：如图，记A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点，12F F 、为椭圆的两焦点，12B B 、分别为12OF OF 、的中点，12AB B △是面积为4的直角三角形．（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点1B 作直线l 与椭圆相交于P Q 、两点，若22PB QB ⊥，求直线l 的方程．练习2.11．已知椭圆C ：2212x y +=，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，若过点2F 的直线l 与椭圆C相交于 P Q 、两点，且11F P F Q ⊥u u u r u u u r，求直线l 的方程．2．已知椭圆G ：2212x y +=，短轴上、下顶点分别为A B 、，若C D 、是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．如图，已知椭圆22142x y +=，设点P Q 、分别是椭圆和圆O 上位于y 轴两侧的动点，若直线PQ 与x 轴平行，直线AP BP、与y 轴的交点记为M N 、，试证明MQN ∠为直角.2.2 角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系①．若90APB ∠<o ，则cos 0APB ∠>，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠>u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆外②．若90APB ∠=o，则cos 0APB ∠=，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆上③．若90APB ∠>o，则cos 0APB ∠<，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠<u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆内2.2.1 角度判断例4：记12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于同的两点A B 、，且AOB ∠为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．练习2.2.11．已知点F 是椭圆22143x y +=的右焦点，O 为坐标原点，设过点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于A B 、两点，若222OA OB AB +<，求k 的取值范围．2．设A B 、分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：M BP △为钝角三角形．2.2.2 点与圆的位置关系问题例5：已知椭圆E ：22142x y +=，设直线()1,x my m R =-?交椭圆E 于A B 、两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．练习2.2.21．已知椭圆22132x y +=，直线l 经过椭圆右焦点F 与椭圆相交于A B 、两点，试判断点(2,0)M 与以AB 为直径的圆的位置关系．2．已知椭圆C ：2214x y +=，A B 、为C 的左右顶点，直线l 经过点B且l x ⊥轴，点P 是C 上异于A B 、的任意一点，直线AP 交直线l 于点Q ．（1）记12k k 、分别为直线OQ BP 、的斜率，证明12k k ⋅为定值；（2）当点P 运动时，判断点Q 与以BP 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．3．向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型——椭圆内的平行四边形问题．记点()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+与椭圆()222210x y a b a b +=>>的两交点，点()33,P x y 在椭圆上，且四边形OAPB 为平行四边形，如下图．联立22221y kx mb x a y =+⎧⎨+=⎩，得()()2222222221a k b x kma x a m b +++-=， ∴2122222kma x x a k b +=-+，()2122222222b my y k x x m a k b+=++=+，再由平行四边形的性质可得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴312x x x =+，312y y y =+，则点2222222222,kma b mP a k b a k b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 将点P 代入椭圆中可得()()22442222222222214141k m a b m a b a k b a k b ⋅+⋅=++，即222241m a k b=+，得22224=+m a k b ．在椭圆方程已知的情况下（1）当直线l 过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；（2）若直线l 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到,k m 的关系，结合0∆>，我们可以求出OP 、AB 、点O 到直线l 的距离d ，AOB △或平行四边形OAPB 的面积等几何量的取值范围．（3）若点P 在以OA OB 、为邻边的平行四边形的对角线上，则OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r，可以得出()3121x x x λ=+，()3121y y y λ=+，进而得到222224=+m a k b λ，这也是一个很有用的结论．例6：已知椭圆C ：22132x y +=，直线l 经过点()0,1P 交椭圆于A B 、两点，以OB OA 、为邻边做平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，O 为坐标原点．（1）验证当直线l 斜率k 不存在时，是否存在这样的点P ；（2）记直线l 的斜率为k ，用含k 的式子表示12x x +，12y y +；（3）由OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，将点P 的坐标用含k 的式子表示；（4）将点P 代入椭圆方程，得到方程()1f k =；（5）解方程，求出直线方程．练习3：1．已知椭圆C ：22132x y +=，点F 为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点P ，使得当l 绕点F 转动到某一位置时，四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标和直线方程；反之，请说明理由．2．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 过点()2,0M 与椭圆相交于A B 、两点，P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r，当PA PB -<u u u r u u u r t 的取值范围．3．如图，已知椭圆E ：2214x y +=，斜率为k 的直线l 经过椭圆的左焦点F 与椭圆交于A B、两点，直线'l ：40x ky +=与椭圆E 交于C D 、两点，点M 是线段AB 的中点．（1）证明：点M 在直线'l 上；（运用点差法即可证明）（2）已知3BDM ACM S S ∆∆=；（i ）证明：3DM CM =；（ii ）证明四边形OACB 是平行四边形；（iii ）求直线l 的方程．。

向量与椭圆结合题型的解法_章礼抗

设 A (x1 , y1 ), B (x2 , y 2 ), 则由韦达定理知
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高中数学教与学 2006 年
1 令 m =2 k2 + 2 , 则 k m ≥ 4, S = 8 +2m 2 =2 . 5+ m 5+ m 16 16 ,故 ≤S <2. 9 9
2 1 4(1 +k ) 1 + 2 k = 2 1 (2 +k ) 2 + 2 k
(2)求点 T 的轨迹 C 的方程 ; (3)试问 : 在点 T 的轨迹 C 上 , 是否存在点M , 使 F 1MF 2 的面积 S =b . 若存在 , 求出
2
∠F 1M F 2 的正切值 ; 若不存在 , 说明理由. 分析 (1)取 P (x , y ), 则椭圆的左准线 a 方程为 x + =0. c 由椭圆的第二定义知 , | F 1P | a x+ c
2 2
1 2 k = . 1 5 +2 k2 + 2 k 8 +4 k2 +
=
c , a
18
第 10 期高中数学教与学
c | F 1P |= a + x . a c 由 x ≥- a , 知 a + x ≥ - c +a >0. a c ∴| F 1P | =a + x . a (2)设 T (x , y ) . 当 | PT | =0时 , 点 (a, 0)和 (- a, 0)点在轨迹上 ; 当 | PT | ≠ 0且 TF 2 ≠ 0时 , 由 PT TF 2 = 0 知 PT ⊥ TF 2. 又因 | PQ |= | PF 2 | , 所以 T 为线段 F 2Q 的中点. 设 Q 的坐标为 (x′ , y′ ), 则有 x′ +c x = , 2 y = y′ ; 2 求得 x ′=2x - c, y ′=2y. + | BF | 为定长 , 并求出点 E 、F 的坐标及点 B 的轨迹方程. (2)设 P 为点 B 轨迹上任意一点 , 点 M 、N 分别在射线 PA 、PC 上 , 动点 Q 满足 PQ = λ PM PN (λ > 0), 经过点 A 且以 | PM | | PN |

高中数学椭圆的性质及相关题目解析

高中数学椭圆的性质及相关题目解析椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它有着独特的性质和应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及相关题目解析等方面进行阐述，帮助高中学生更好地理解和应用椭圆。

一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中，F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度为2c，a和c之间的关系为a > c。

椭圆的长轴是通过焦点的直线段，长度为2a；短轴是与长轴垂直的直线段，长度为2b，且满足a > b > c。

椭圆的离心率e定义为e = c / a，离心率决定了椭圆的形状。

当e < 1时，椭圆是一个封闭曲线；当e = 1时，椭圆变成一个抛物线；当e > 1时，椭圆变成一个双曲线。

椭圆的焦点和准线的性质也是我们需要了解的。

焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1 + PF2 = 2a；准线是与长轴平行且过焦点的直线，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即PD =e * PF。

二、椭圆的相关题目解析1. 题目：已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，求椭圆的离心率。

解析：根据椭圆的定义，我们知道a = 5，b = 4。

将a和c的值代入离心率公式e = c / a，可得e = 4 / 5。

2. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，且焦点到准线的距离为2，求椭圆的方程。

解析：根据椭圆的性质，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即2 = e * a。

由于焦点到准线的距离为2，而椭圆的长轴长度为2a，所以a = 1。

再根据焦点的坐标，可得椭圆的中心为O(0, 0)。

因此，椭圆的方程为x^2 + y^2 / 1^2 = 1，即x^2 + y^2 = 1。

3. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-2, 0)和F2(2, 0)，准线方程为x = 3，求椭圆的方程。

椭圆综合题型分类总结大全(定点定值问题、圆锥曲线与向量、圆锥曲线弦长与面积等)

椭圆综合题型分类总结大全一、直线与椭圆位置关系的常规解题方法:1.设直线的方程（注意：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标（注意:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组，得到新的一元二次方程4.求出韦达定理（注意：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化，常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（注意：需讨论K 是否存在，OA ⊥OB ） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔12120x x y y +>③“等角、角平分、角互补问题”即斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题”即坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想1、“常规求值”问题：找等式关系，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：应当假设存在去求，若求出答案则假设成立，若不存在则计算时会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变量用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明（此方法用得少）4、处理定点问题的方法：⑴常把方程参数分离，使参数乘以的因式为0，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；、题型一、椭圆与向量（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

向量知识在椭圆中的渗透三问题分析

向量知识在椭圆中的渗透三问题分析作者：左家宏赵松林来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第04期1.向量知识背景下线段的定比分点问题在椭圆中的渗透例1已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为23。

（1）求椭圆方程；（2）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段AB 所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。

解：（1）由于椭圆焦点在y轴上，所以可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1，则由2c=4得c=2。

又ca=23，所以a=3，b2=a2-c2=5。

则所求的椭圆方程为y29+x25=1。

（2）若k不存在，则AMMB≠2；若k存在，则设直线AB的方程为y=kx+2。

又设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+2，x25+y29=1，得（9+5k2）x2+20kx-25=0。

有x1+x2=-20k9+5k2①，x1·x2=-259+5k2②。

因为点M的坐标为M0，2，所以AM=（-x1，2-y1），MB=（x2，y2-2）。

由AMMB=2得AM=2MB。

所以（-x1，2-y1）=2（x2，y2-2）。

将x1=-2x2代入①②得x2=20k9+5k2③，2x22=259+5k2④。

由③④得220k9+5k22=259+5k2，k2=13，k=±33。

线段AB所在直线的方程为y=±33x+2。

2.共线向量与椭圆问题的交汇例2设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，上顶点为B，过B 与BF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且向量F1F2与F2Q方向相反，F2Q=2F1F2，求椭圆C的离心率。

解：设Q（x0，0），因为F2（c，0），B（0，b），则F2B=（-c，b），BQ=（x0，-b）。

又F2B⊥BQ，所以-cx0-b2=0，故x0=-b2c。

又向量F1F2与F2Q的方向相反，故F2Q=2F1F2。

2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)专题05 椭圆中的向量问题含解析

2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）专题05椭圆中的向量问题一、单选题1．过椭圆22143x y +=的左焦点作倾斜角为45 的直线l 交椭圆于A B ，两点，设O 为坐标原点，则OA OB ⋅ 等于（）A ．1-B ．2-C ．177-D ．247-2．已知12,F F 分别为双曲线22(0)x y m m -=>的左､右焦点，12(0,2),P F PF 为直角三角形，线段2PF 交双曲线于点Q ，若2PQ PF λ=，则λ=（）A ．34B ．14C ．13D ．233．椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120MF MF ⋅= ，则M 到y 轴的距离为（）A ．3B ．C D 4．P 为椭圆2211615x y +=上任意一点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是A ．[]0,15B ．[]5,15C ．[]5,21D ．()5,215．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交与A ，B 两点，若222AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）A B ．13C ．34D ．456．在对角线16AC =的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，则1PC PC ⋅的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[0,1]C ．[1,1]-D ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知焦点在x 轴上且离心率为2的椭圆E ，其对称中心是原点，过点()0,1M 的直线与E 交于A ，B 两点，且2AM MB =，则点B 的纵坐标的取值范围是（）A ．(]1,3B ．(]1,4C ．(]2,4D ．(]2,68．已知椭圆2212220),1(,x y a b F F a b+=>>为椭圆的左．右焦点，M 是椭圆上任一点，若12MF MF ⋅ 的取值范围为[3,3]-，则椭圆方程为（）A ．22193x y +=B ．22163x y +=C ．221124x y +=D ．2214x y +=二、多选题9．已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左､右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，12PF F △外接圆的圆心为H ，12PF F △内切圆的圆心为I ，直线PI 交x 轴于点,M O 为坐标原点.则（）A ．PH PO 的最小值为22a B ．PH PO 的最小值为24a C ．椭圆C 的离心率等于PI IMD ．椭圆C 的离心率等于IM PI10．（多选）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则（）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF 的周长为4B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为311．已知椭圆C ∶22221x y a b+=(a >b >0)的左，右两焦点分别是F 1，F 2，其中F 1F 2=2c .直线l ∶y =k (x +c )(k ∈R )与椭圆交于A ，B 两点则下列说法中正确的有（）A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C ．若2123AF AF c ⋅= ，则椭圆的离心率的取值范围是51,52⎤⎥⎣⎦D ．若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率13e =12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率1e =-B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅<D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅<三、填空题13．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅ 的最大值为_____.14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，且过点22P ⎛ ⎝⎭，动直线:l y kx m =+交椭圆C 于不同的两点A 、B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点），则2232m k -=______．15．在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12120AF AF BF BF ⋅+⋅=，则12||AB F F 的值为________．16．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =uuu r uu r ，则椭圆的离心率e =_________四、解答题17．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，右准线与x 轴交于E点，若椭圆的离心率2e =，且||1EF =．（1）求椭圆的解析式；（2）过F 的直线l 交椭圆于AB 、两点，且OA OB +与(4,m =共线，求角,OA OB <> 的大小．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，焦距为2，右准线l 的方程为3x =.过2F 的直线交E 于A ，B 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若222AF F B =，求直线AB 的方程.19．已知焦点在x 轴的椭圆C 的方程为：22216125x ya +=，A ､B 分别为椭圆C 的左右顶点，G 为C 的上顶点，37516AG GB ⋅= .（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O到直线l .（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN =，求直线n 的斜率.21．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设A 为椭圆的下顶点，B 为椭圆的上顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点.若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.22．已知椭圆2222:1(1)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点(0,2)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由专题05椭圆中的向量问题一、单选题1．过椭圆22143x y +=的左焦点作倾斜角为45 的直线l 交椭圆于A B ，两点，设O 为坐标原点，则OA OB ⋅ 等于（）A ．1-B ．2-C ．177-D ．247-【解析】由22143x y +=可得24a =，23b =可得222431c a b =-=-=，即1c =，所以左焦点()1,0-，且直线l 斜率为tan 451k == ，所以直线l 的方程为1y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得27880x x +-=，可得1287x x +=-，1287x x =-，()11,OA x y = ，()22,OB x y =，所以()()1212121212121121OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+++=+++ 881721777⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C.2．已知12,F F 分别为双曲线22(0)x y m m -=>的左､右焦点，12(0,2),P F PF 为直角三角形，线段2PF 交双曲线于点Q ，若2PQ PF λ=，则λ=（）A ．34B ．14C ．13D ．23【解析】双曲线为221x y m m-=，由于12F PF △是直角三角形，可知12122OP F F ==，所以4m m +=，得2m =，即()22,0F ，所以直线2PF 的方程为2y x =-+，将直线2PF 的方程与双曲线方程联立，2222y x x y =-+⎧⎨-=⎩，得32x =，即31,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2PQ PF λ= ，所以34λ=.故选：A.3．椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120MF MF ⋅= ，则M 到y 轴的距离为（）A ．3B ．CD 【解析】设()00,M x y ，点M 在椭圆2214x y +=上，所以22001,4x y +=①椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，则()1F ，)2F ，所以()001,x y M F =- ，)200,x y M F =--，由120MF MF ⋅= ，可得())0000,,0x y x y -⋅-=，化简可得22003,x y +=②联立①②可解得03x =±，故M 到y ，故选：C.4．P 为椭圆2211615x y +=上任意一点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是A ．[]0,15B ．[]5,15C ．[]5,21D ．()5,21【解析】()()()()PE PF PN NE PN NF PN NE PN NE⋅=+⋅+=+⋅-2PN= 2NE-24PN =- .因为a c PN a c -≤≤+ ，即35PN ≤≤ ，所以PE PF ⋅的范围是[]5,21.故选C.5．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交与A ，B 两点，若222AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）AB ．13C ．34D ．45【解析】设()()1122,,,A x y B x y ,过点2F的直线方程为x c =+,由22221x c x y a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,得()2222430a b y cy b ++-=,由韦达定理得:12y y +=412223b y y a b ⋅=-+,因为222AF F B = ，所以122y y =-，则()221241222123y y b y y a b ⎛ +⎝⎭==-⋅-+，即222324a b c +=，解得2427e =，因为0e >，所以239e =A 6．在对角线16AC =的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，则1PC PC ⋅的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[0,1]C ．[1,1]-D ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】设(),P x y ，因为点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，所以点P 到点1C 和点C 的距离之和为4，由椭圆的定义可知：点P 的轨迹是椭圆的一部分，以1CC 所在的直线为x 轴，线段1CC 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为正方体的体对角线16AC =，所以正方体的棱长为则()C，)1C，所以c =2a =，1b =，可得点P 的轨迹为椭圆2214x y +=，所以)1,PC x y =-，(),PC x y =- ，则)()22213PC PC x x y x y ⋅=--+=+- 222313244x x x =+--=-，因为22x -≤≤，所以204x ≤≤，所以232214x -≤-≤，由此可得121PC PC -≤⋅≤ ，故选：A.7．已知焦点在x 轴上且离心率为32的椭圆E ，其对称中心是原点，过点()0,1M 的直线与E 交于A ，B 两点，且2AM MB =，则点B 的纵坐标的取值范围是（）A ．(]1,3B ．(]1,4C ．(]2,4D ．(]2,6【解析】设()00,B x y ，(,)A x y ，则由2AM MB =，可得()00(,1)2,1x y x y --=-，解得02x x =-，032y y =-，即()002,32A x y --.2，所以可设椭圆E 的标准方程为221(1)4y x m m m+=>，所以()()220022001423214x y m mx y mm ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，消去0x ，0y 的平方项，得01(3)4y m =+，由2y m ≤，即2(3)16m m +≤，解得19m ≤≤，又1m >，所以19m <≤，所以(]01(3)1,34y m =+∈，故选：A.8．已知椭圆2212220),1(,x y a b F F a b+=>>为椭圆的左．右焦点，M 是椭圆上任一点，若12MF MF ⋅ 的取值范围为[3,3]-，则椭圆方程为（）A ．22193x y +=B ．22163x y +=C ．221124x y +=D ．2214x y +=【解析】设(),M m n ，()1,0F c -，()2,0F c ，则()1,MF c m n =--- ，()2,MF c m n =--，所以()()222212MF MF c m c m n m n c ⋅=--⋅-+=+- ，又22222,MO m n b a ⎡⎤=+∈⎣⎦，所以222212,MF MF b c a c ⎡⎤⋅∈--⎣⎦ ，又因为12MF MF ⋅的取值范围为[3,3]-，故223b c -=-，223a c -=，222b c a +=，所以223,9b a ==，得方程为22193x y +=，故选：A二、多选题9．已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，12PF F △外接圆的圆心为H ，12PF F △内切圆的圆心为I ，直线PI 交x 轴于点,M O 为坐标原点.则（）A ．PH PO 的最小值为22a B ．PH PO 的最小值为24a C ．椭圆C 的离心率等于PI IMD ．椭圆C 的离心率等于IM PI【解析】由题意得外心H 满足21HF HF =，所以H 必在y 轴上，设()0,H x ，()P m n ,，()1,0F c -，则由1HP HF =得()2222m n x x c +-=+，即2222m n nx c +-=，所以2222m n c x n +-=，所以2220,2m n c H n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以222,2m n c PH m n ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ，(),PO m n =--，所以222222222m n c m n c PH PO m --++⋅=-=，因为P 在椭圆上，设cos ,sin m a n b θθ==，所以()()()22222222cos sin cos 1cos m n a b a b θθθθ+=+=+-()2222222cos cos a b b c b θθ=-+=+，当cos 0θ=时，有()222minm nb +=，所以PH PO ⋅ 的最小值为22222bc a +=，故A 正确，B 错误；连接12,IF IF ，则12,IF IF 分别为1221,PF F PF F ∠∠的角平分线，由角平分线定理可知，1212IM F M F M PIPF PF ==，则121222IM F M F M ce PIPF PF a+===+，故D 正确，C 错误.故选：AD.10．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则（）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF 的周长为4B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3【解析】对于选项A ，由椭圆定义，可得121224AF AF BF BF a +=+==，因此1ABF 的周长为12112248AF AF AB AF BF AF BF a ++=+++==，故A 错误．对于选项B ，设()P m n ,，则2214m n +=，且22m -≤≤．又()1F，)2F ，所以()1,PF m n =-，)2,PF m n =-，因此()2223123312044m m PF PF m m n m ⋅=-+=-+-=-=，解得[]2,2m =∈-，故B 正确．对于选项C ，因为24a =，21b =，所以=2413=-=c，即c =32c e a ==C 错误．对于选项D ，设()11,P x y ，则点P 到圆221x y +=的圆心的距离为PO =因为111y -≤≤，所以max max 113PQ PO =+==，故D 正确．故选：BD ．11．已知椭圆C ∶22221x y a b+=(a >b >0)的左，右两焦点分别是F 1，F 2，其中F 1F 2=2c .直线l ∶y =k (x +c )(k ∈R )与椭圆交于A ，B 两点则下列说法中正确的有（）A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C ．若2123AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是12⎤⎥⎣⎦D ．若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率13e =【解析】由直线l ∶y =k (x +c )过点(),0c -，即弦AB 过椭圆的左焦点1F .22211224ABF l AB AF BF AF BF AF BF a ∆=++=+++=，所以A 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则M 1212(,)22x x y y ++有1212OMy y k x x +=+，1212y y k x x -=-，所以1212121221222122OM y y y y x x x y y k k x x x +-⋅⨯+--==-由2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得∶22221212220x x y y a b --+=，所以2221222212y y b x x a -=--则有2221222212OM y y b k k x x a-==--，所以B 错误；()111,AF x c y =+ ，()112,AF x c y =-所以2222222222212111222,c AF AF x c y x a c a c a c a⎡⎤⋅=-+=+-∈--⎣⎦ ，则有2222223a c c a c -≤≤-，可得12c e a ⎤=∈⎥⎣⎦，所以C 正确；由过焦点的弦中通经最短，则AB 的最小值为通径22b a ，则有223b c a=，即222320a ac c --=，解得a =2c ，所以12c e a ==，D 错误.故选：AC12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（）A．椭圆的离心率1e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅<D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅<【解析】如图，设122F F c =，则由正六边形性质可得点22c I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由点I 在椭圆上可得22223144c c a b +=，结合222a c b -=可得223b a=，∴椭圆离心率11e ===，∴())2222222410a c a ⎡⎤-=-<⎢⎥⎣⎦∴当点A 为椭圆上顶点时，12cos 0F AF ∠<，此时120AF AF ⋅<；点2c I ⎛ ⎝⎭在双曲线22221x y N m n -=：的渐近线上可得322n c c m ⋅=即=n m ∴双曲线的离心率为22e ===,当点B 为双曲线的顶点时，易知120BF BF ⋅< .故选：ABD.三、填空题13．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅ 的最大值为_____.【解析】因为圆22(1)1x y -+=，圆心()1,0C 半径为1，设(),A x y ，33x -≤≤.因为AM AC CM =+ ，AN AC CN AC CM =+=-，所以()()2221AM AN AC CM AC CM AC CM AC ⋅=+⋅-=-=- ()2211x y =-+-.因为(),A x y 在22195x y +=上，所以22559y x =-，所以()222541512599AM AN x x x x ⋅=-+--=-+ ，33x -≤≤.函数24259y x x =-+，对称轴为94x =，当3x =-时，AM AN ⋅ 取得最大值为15.14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，且过点22P ⎛ ⎝⎭，动直线:l y kx m =+交椭圆C 于不同的两点A 、B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点），则2232m k -=______．【解析】∵椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，∴c a =222a b =①，又椭圆过点22P ⎛ ⎝⎭，2213124a b ∴+=②，联立①②解得，22a =，21b =∴椭圆C 的方程为2212x y +=．将直线:l y kx m =+代入椭圆方程化简得()222214220k x kmx m +++-=．由题意知，()228210k m ∆=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(*)0OA OB ⋅= ，12121212212212()()(1)0()kx m kx m k km x x y y x x x x x x m ∴+=+++=++++=，将*式代入得22222121222222(1)(22)43220212121m k m m k x x y y k m k k k --+=++--∴+==+++，则22322m k -=.故答案为：2.15．在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12120AF AF BF BF ⋅+⋅=，则12||AB F F 的值为________．【解析】不妨设Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0),(0,)A a B b ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中c =由条件知()222221212()()20AF AF BF BF c a c a c b a b c ⋅+⋅=---+-+=+-= ．所以12||22222AB F F c c ===．16．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =uuu r uu r ，则椭圆的离心率e =_________【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=，所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b-+==++，又3AF FB =uuu r uu r ，所以123y y =-，所以222222b y a b -=+，222222(1)3b a y a b --=+，所以22222222(1)3b b a a b a b ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222240a a b a b +-+=，又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ，所以()1,0F -，所以2221a b c -==，所以22a =或21a =（舍去），所以a =22c e a ==.四、解答题17．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，右准线与x 轴交于E点，若椭圆的离心率e =，且||1EF =．（1）求椭圆的解析式；（2）过F 的直线l 交椭圆于AB 、两点，且OA OB +与(4,m =共线，求角,OA OB <> 的大小．【解析】（1）由题意知21ca c a c=-=，解得a =，1c =，又222c a b =-从而1b =．所以椭圆方程为2212x y +=（2）由（1）知(1,0)F ，显然直线不垂直于x 轴，可设直线:(1)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=，则221212121222242(1)2,,(1)(1)121212k k kx x x x y y k x k x k k k --+==+=-+-=+++，于是22242,1212k k OA OB k k ⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭ ，依题意：2224212124k k k k -+，故k 0k =，当k =212122(1)(1)12k y y k x k x k =--=-+，故12120OA OB x x y y ⋅=+= ，所以OA 与OB的夹角为90︒．当0k =时，AB 是x 轴，所以OA 与OB的夹角为180︒．即角,OA OB <> 的大小为90︒或180︒；18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，焦距为2，右准线l 的方程为3x =.过2F 的直线交E 于A ，B 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若222AF F B =，求直线AB 的方程.【解析】（1）设椭圆方程为22221()x y a b a b +=>，其中2223c a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：23a =，2212b a ∴=-=，故所求椭圆方程为22132x y +=.（2）设AB 方程为1x my =+，代入椭圆22236x y +=中得：222(1)36my y ++=，即()2223440m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，由222AF F B = 得122y y -=，解得m =则直线AB的方程为1)y x =-.19．已知焦点在x 轴的椭圆C 的方程为：22216125x ya +=，A ､B 分别为椭圆C 的左右顶点，G 为C 的上顶点，37516AG GB ⋅= .（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积.【解析】（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，50,4G ⎛⎫⎪⎝⎭，则5,4AG a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，5,4GB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，由37516AG GB ⋅= 得：2253751616a -=，即225a =，所以C 的方程为：221612525x y +=.（2）设(,)p p P x y ，(6,)Q Q y ，根据对称性只需考虑0Q y >情形，此时，55p x -<<，504P y <≤，由已知得：()5,0B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y ==||BQ =因为BP BQ =，所以1p y =，将1p y =代入C 的方程，解得：3p x =或3p x =-.由直线BP 的方程得：2Q y =或8Q y =，所以点P ，Q 的坐标分别为()13,1P ，()16,2Q 或()23,1P-，()26,8Q .1当11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点()5,0A -到直线11PQ11APQ的面积为111522APQ S =；②当22||P Q =22P Q 的方程为71093y x =+，点()5,0A -到直线22P Q 的距离为26，22AP Q△的面积为22152262AP O S == ；综上所述，APQ 的面积为52.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O到直线l 的距离为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN =，求直线n 的斜率.【解析】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C 的离心率为22，原点O 到直线0bx cy bc +-=的距离为22，所以,22c a bc a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c ==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++.因为MN =，所以()()2121,44P x x y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =，故直线n 的斜率为±1.21．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设A 为椭圆的下顶点，B 为椭圆的上顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点.若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.【解析】（1）由题意可得，(c,0)F ，当x c =时，2222222221(1)c y c b y b y a b a a+=⇒=-⇒=±，所以得：22221223c e a b a a b c⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）由（1）可知，()1,0F -，(0,A，(B ，过点F 且斜率为k 的直线方程为()1y k x =+，联立方程()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，故()()()222121212122911143k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+，又(11,AC x y =，()22DB x y =-，(22,AD x y =，()11CB x y =-，所以AC DB AD CB ⋅+⋅()()12121221x x y y x x y y =-+-+1212622x x y y =--22224129622104343k k k k ⎛⎫-=-⨯-⨯-= ⎪++⎝⎭，整理可得22512243k k +=+，解得k =22．已知椭圆2222:1(1)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点(0,2)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得：22222b a c a b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=（2）当直线l的斜率不存在时，M，(0,N 3OM ON ⋅=-，不符合题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y 由221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++=()22Δ(16)16340k k =-+>，解得12k <-或12k >1221634k x x k +=-+，122434x x k =+∴()()212121212124OM ON x x y y k x x k x x ⋅=+=++++ ()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++∵2OM ON ⋅= ，∴221612234k k -=+，解得2k =±，满足0∆>所以存在符合题意的直线，其方程为222y x=±+..。

椭圆中6种常考基础题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

第19讲椭圆中6种常考基础题型【考点分析】考点一：椭圆的通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a．考点二：椭圆中有关三角形的周长问题图一图二如图一所示：21F PF ∆的周长为c a 22+如图一所示：ABC ∆的周长为a 4考点三：椭圆上一点的有关最值①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c -．考点四：椭圆的离心率椭圆的离心率()10<<=e a c e ，222222221ab a b a ac e -=-==考点五：椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）考点六：中点弦问题（点差法）中点弦问题：若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且AB k 与OM k 斜率存在时，则22ab K k OM AB -=⋅；（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k OMAB -=⋅若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，22ab K k PB P A -=⋅（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k PBP A -=⋅【题型目录】题型一：椭圆的定义有关题型题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的离心率题型四：椭圆中焦点三角形面积题型五：椭圆中中点弦问题题型六：椭圆中的最值问题【典型例题】题型一：椭圆的定义有关题型【例1】已知△ABC 的周长为10，且顶点()2,0B -，()2,0C ，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)95x y y +=≠B ．221(0)59x y y +=≠C ．221(0)64x y y +=≠D ．221(0)46x y y +=≠【答案】A【解析】∵△ABC 的周长为10，顶点()2,0B -，()2,0C ，∴=4BC ，+=10464AB AC -=>，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵3,2a c ==，∴2945b =-=，又因为,,A B C 三点构成三角形，∴椭圆的方程是()221095x y y +=≠.故选：A ．【例2】如果点(),M x y =M 的轨迹是（）．A ．不存在B ．椭圆C ．线段D ．双曲线【答案】B=(),M x y 到点(0,3),(0,3)-的距离之和为3(3)6--=<M 的轨迹是椭圆，故选：B【例3】设1F ，2F 分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1223PF PF += ，则12F PF ∠=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】D【解析】因32221==+PO PF PF ，所以213OF OF PO ===，所以︒=∠9021PF F 【例4】1F 、2F 是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，1||6PF =，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则||OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】如图，直线1F M 与直线2PF 相交于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，且PM ⊥1F N ，所以三角形1F PN 是等腰三角形，所以1PF PN =，点M 为1F N 中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 是三角形12F F N 的中位线，所以212OM F N =，其中212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-，因61=PF ，所以62=N F ，所以3=OM ，所以选C【例5】已知椭圆22:12516x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】设MN 的中点为G ，椭圆的左右焦点分别为21,F F ，则G 为MN 的中点，1F 为MA 的中点，所以12GF AN =，同理22GF BN =，所以()204221==+=+a GF GF BN AN【例6】方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A ．0k >B ．12k <<C ．1k >D ．01k <<【答案】B【解析】方程x 2＋ky 2＝2可变形为：22122x y k+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则有：202k<<，解得k 1>.易知当12k <<时，k 1>，当k 1>时未必有12k <<，所以12k <<是k 1>的充分但不必要条件.故选B.【例7】点1F ，2F 为椭圆C ：22143x y+=的两个焦点，点P 为椭圆C 内部的动点，则12PF F △周长的取值范围为（）A ．()2,6B ．[)4,6C ．()4,6D ．[)4,8【答案】C【解析】由椭圆C ：22143x y +=，得：2,1a c ==，当点P 在椭圆上时，12PF F △周长最大，为226a c +=，当点P 在x 轴上时，去最小值，为44c =，又因点P 为椭圆C 内部的动点，所以12PF F △周长的取值范围为()4,6.故选：C.【例8】椭圆22193x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，如果1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的（）A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍【答案】C【解析】由题意知：212F F PF ⊥，所以13322===a b PF ，因6221==+a PF PF ，所以51=PF ，所以521=PF PF【题型专练】1.已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B ．2.焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为（）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】由题意知252=b ，因为222c b a +=，所以16252+=a ，解得41=a ，所以2ABF ∆的周长为4144=a ，故选：D3.（2021新高考1卷）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】因2121262MF MF a MF MF ⋅≥==+，所以921≤⋅MF MF 4.已知椭圆22192x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆上，若1||4MF =，则12F MF ∠=（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程求得12F F =1226MF MF a +==，求得1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，再由余弦定理列出方程，求得121cos 2F MF ∠=-，即可求解．【详解】解：由题意，椭圆方程22192x y +=，可得3,a b c ===所以焦点12(F F ，又由椭圆的定义，可得1226MF MF a +==，因为1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠,所以2221242242cos F MF =+-⨯⨯∠，解得121cos 2F MF ∠=-，又由12(0,180)F MF ∠∈，所以12120F MF ∠= .故选:C ．5.设1F ，2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A ．513B ．45C ．27D ．49【答案】C 【解析】【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出243PF =，再由椭圆的定义得出1PF ，再求21PF PF 的值.【详解】由椭圆的定义可知，1226PF PF a +==，由中位线定理可知，212PF F F ⊥，将x =22194x y+=中，解得43y =±，即243PF =，1414633PF =-=，故214323147PF PF =⨯=故选：C6.已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】由题意得：11122=+ny m x ，所以当0>>n m ，则nm 110<<，所以表示焦点在y 轴上的椭圆，所以A 对，B 错，当0>=n m 时，曲线C 为ny x 122=+，所以表示圆，半径为n 1，当0,0>=n m 时，曲线C 为ny 12=，所以n y 1±=，所以表示两条直线，故选：AD7.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）AB．CD．【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.8.在平面直角坐标系xOy 中，若△ABC 的顶点(0,2)A -和(0,2)C ，顶点B 在椭圆181222=+xy 上，则sin sin sin A C B +的值是（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】【分析】由题设易知,A C 为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有||||2AB CB a +=，||2AC c =，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：,A C 为椭圆的两个焦点，而B 在椭圆上，所以||||2AB CB a +==||24AC c ==，由正弦定理边角关系知：|||||sin sin sin |A A CB CB A BC +=+故选：A9.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．10.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段2PF 的中点在以原点O 为圆心，2OF 为半径的圆上，则直线2PF 的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.11．已知A 为椭圆2212516x y +=上一点，F 为椭圆一焦点，AF 的中点为P ，O 为坐标原点，若2OP =则AF =（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】不妨设椭圆2212516x y +=左焦点为F ，右焦点为E ，因为AE 的中点为P ，EF 的中点为O ，所以24AE OP ==，又由210AE AF a +==，可得1046AF =-=.故选：B .12.已知椭圆C ：22194x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且118AF BF +=，则AB =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】由椭圆22:194x y C +=知：a =3，由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，所以11412AF BF AB a ++==，又因为118AF BF +=，所以AB 4=，故选：A题型二：椭圆的标准方程【例1】已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为)，其上下顶点分别为1C ，2C ，点()1,0A ，12AC AC ⊥，则该椭圆的标准方程为（）A ．22134x y +=B ．22143x y +=C ．2213y x +=D ．2213x y +=【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆C 的一顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，12AF F △焦距为2，过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，则ADE ∆的周长是（）A ．B ．8C ．D ．16【例3】如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2214525x y +=C ．2213010x y +=D ．2213616x y +=故选：D【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为53，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）A ．221188x y +=B ．22198y x +=C ．221188y x +=D ．22184y x +=【例5】过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【例6】已知12,F F 分别是椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点，1FCD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为14-，则椭圆的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．2214x y +=D ．22143x y +=【例7】已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【题型专练】1．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221x ya b+=()0a b >>的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，20AB AF ⋅= 且122AF AB AF =+.若坐标原点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的方程为（）A ．2214x y +=B ．22143x y +=C ．221169x y +=D ．2211612x y +=1612故选：D2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ∠=，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A ．221129x y +=B ．2211612x y +=C ．2212418x y +=D ．2213224x y +=3．已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22172x y +=B ．22127x y +=C ．22194x y +=D ．22149x y +=4．已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，3AB =，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2213y x +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22132x y +=方法二：由题意，设椭圆C 的标准方程为所以a ＝2或12a =-（舍去），所以2a 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．故选：C.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA 的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D．22197x y +=6．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，P 是C 上一点，213PF PF =，123F PF π∠=，C 的面积为12π，则C 的标准方程为（）A ．221364x y +=B ．22112x y +=C ．221169x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆C ：22=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C的标准方程为（）A ．22=134y x +B ．22=134x y +C ．22=13x y +D ．22=132x y +9．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线交于C 与A ，B ，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22198x y +=1F 题型三：椭圆的离心率【例1】已知1F ，2F 为椭圆22221x ya b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1C ．12D 又1290F AF ∠=，∴21,3AF c AF c ==，∴32c c a +=，可得2331c a ==+故选：B ．【例2】已知椭圆C ：()21024b b+=<<的左焦点为1F ，直线()0y kx k =≠与C 交于点M ，N .若1120MF N ︒∠=，1183MF NF ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．22C D 因为O 为12,MN F F 的中点，所以四边形所以12MF NF =，12NF MF =，由椭圆的定义可得：又因为1183MF NF ⋅=，所以1MF 【例3】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线3310--=x y 对称，且线段MN 中点的纵坐标为53，则椭圆C 的离心率是（）A B C ．23D【例4】已知椭圆C ：221a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）AB ．34C ．35D【例5】设B 是椭圆()22:10C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎝⎦【例6】12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是12PF F △的内切圆圆心，若12PF F △的面积等于12IF F △的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．2D ．2a b如图，设()()()12,,,0,,0,P m n F c F c ∴-三角形由椭圆的定义可得22l a c=+122222PF F S cn cnr l a c a c∴===++ ，又2121113,2322P I F F F F cn S S c n a =∴⨯⨯=⨯⨯ 故选：B【例7】用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②③C ．①②D ．①③【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值，即12,F F 是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图：在椭圆上任意一点P 作平行于12O O 的直线，与球1O 交于F 点，与球2O 交于E 点，则PE ，2PF 是过点P 作球2O 的两条公切线，2PE PF =，同理1PF PF =，是椭圆的焦点；①正确；【例8】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于34-，则椭圆的离心率为（）A ．34B ．58C ．12D ．4【题型专练】1．直线:l y =与椭圆2222:1x y C a b+=交于,P Q 两点，F 是椭圆C 的右焦点，且0PF QF ⋅= ，则椭圆的离心率为（）A ．4-B ．3C 1D ．2【详解】的左焦点为F '，由对称性可知：四边形PF QF '为平行四边形，PF QF '∴=2PF PF QF a '=+=；2．设12,F F 分别是椭圆221x ya b+=的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使12120F AF ∠=︒且123AF AF =，则椭圆的离心率为（）AB C D3.设椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M ，N 在C 上（M 位于第-象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若1222||,F F MN MF ==，则C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．377122a +故选：B4．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是12A A 椭圆的长轴，1PA 垂直于地面且与球相切，16PA =，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．23C ．13D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面12PA A ，再结合三角形内切圆性质求出12A A 长即可作答.【详解】依题意，平面12PA A 截球O 得球面大圆，如图，12Rt PA A 是球O 大圆的外切三角形，其中112,PA A A 切圆O 于点E ，F ，=5．如图圆柱12O O 的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱12O O 内部，现用一垂直于轴截面ABB A ''的平面α去截圆柱12O O ，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（）A ．3B ．3C D ．3半径为1，12O O 平面α与底面夹角余弦值为圆柱的底面半径为1,∴又椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为以G 为原点建立上图所示平面直角坐标系，12,332FH a EF a ∴===，则椭圆标准方程为2222c a b =-=，故离心率故选：A.6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为坐标平面上一点，且满足120PF PF ⋅=的点P 均在椭圆C 的内部，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知点A ，P ，Q 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上不重合的三点，且点P ，Q 关于原点对称，若12AP AQ k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B C D8．已知椭圆22:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为F，椭圆C上存在点P，使得PF OP⊥，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．2⎛⎝⎦B．,12⎫⎪⎪⎣⎭C．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B题型四：椭圆中焦点三角形面积【例1】已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，12π3F PF ∠=，若12F PF △的面积为C 的短袖长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.【题型专练】1.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（）A．4B．4±C．4D．4±【答案】B 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S ︒=⨯= 设P 点的纵坐标为h则12421F F h h ⋅⋅=±⇒=.故选：B2．已知()()1200F c F c -，，，是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF ⋅=，且122=△PF F S c ，则E 的离心率为（）ABC ．2D 3．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12，则12F PF △的面积为（）A．B．CD ．9题型五：椭圆中中点弦问题【例1】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴为4，直线230x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M ，则椭圆C 的方程为（）A ．221168x y +=B ．22142x y +=C ．2211612x y +=D ．22143x y +=【例2】平行四边形ABCD 内接于椭圆221x y a b +=()0a b >>，椭圆的离心率为2，直线AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（）A ．1-4B ．1-2C ．2D ．-1设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，【例3】椭圆2294144x y +=内有一点(2,3)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程为（）A ．23120x y +-=B ．32120x y +-=C ．941440x y +-=D ．491440x y +-=【例4】已知椭圆E ：143+=上有三点A ，B ，C ，线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，O为坐标原点，直线OD ，OE ，OF 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，3k ，且123k k k ++=直线AB ，BC ，AC 的斜率都存在，分别记为AB k ，BC k ，AC k ，则111AB BC ACk k k ++=（）AB ．C ．-D ．1-【例5】离心率为2的椭圆()222210x y a b a b +=>>与直线y kx =的两个交点分别为A ，B ，P 是椭圆不同于A 、B 、P 的一点，且PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，若120αβ+=︒，则()cos αβ-=（）A ．16-B ．13-C ．13D ．16【例6】（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【例7】（2022·全国甲（理）T10）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A.32B.22C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率2c e a ===.故选：A.【例8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为__________．【答案】63【解析】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，因为||BF AF'=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=时，离心率的最大值为63，故答案为63．【题型专练】1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．23C．3D ．32.椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【详解】由题意，椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ，则()2200344y x =-，又由1220002200034PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⨯=-+--，可得1234PA PA k k -=，因为[]12,1PA k ∈--，即23421PA k --≤≤-，可得23384PA k ≤≤，所以直线2PA 斜率的取值范围33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B3．已知椭圆22:184x y C +=，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】D，进而联立方程求解中点4．点A ，B 在椭圆2212x y +=上，点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2OA OB OM +=，则直线AB 的方程是（）A ．12y x =-B ．522y x =-+C ．32y x =-+D ．322y x =-5．已知椭圆143x y +=上有三个点A ､B ､C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D ､E ､F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若34OD OE OF k k k ++=-(O 为坐标原点)，则111AB BC ACk k k ++=（）A ．1B ．-1C ．34-D ．34【答案】A的斜率转化为6．直线:20l x y-=经过椭圆22+1(0)x y a ba b=>>的左焦点F，且与椭圆交于,A B两点，若M为线段AB中点，||||MF OM=，则椭圆的标准方程为（）A．22+163x y=B．22+185x y=C．2214x y+=D．22+1129x y=7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（）A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-8．已知过点()1,1M 的直线l 与椭圆22184x y +=交于,A B 两点，且满足,AM BM =则直线l 的方程为（）A ．30x y -+=B ．230x y +-=C ．2230x y -+=D ．230x y +-=题型六：椭圆中的最值问题【例1】已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上则下列结论正确的是（）A ．12PF PF ⋅有最大值无最小值B ．12PF PF ⋅无最大值有最小值C ．12PF PF ⋅既有最大值也有最小值D ．12PF PF ⋅既无最大值也无最小值【例2】若点O 和点F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（）A ．()a a c +B ．()b a c +C ．()a a c -D ．()b ac -【例3】已知点P 是椭圆4x +2y =1上的动点（点P 不在坐标轴上），12F F 、为椭圆的左，右焦点，O 为坐标原点；若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M 丄MP ，则丨OM 丨的取值范围为（）A ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D ．2）【答案】A=因为1F M MP ⊥，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，所以，PN 因为O 为12F F 的中点，所以，212OM F N =设点00(,)P x y ，由已知可得2a =，1b =，c 则022x -<<且00x ≠，且有220114y x =-，()2221000032331PF x y x x =++=+++-【例4】已知点P 在椭圆193x y +=上运动，点Q 在圆22(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．2C ．24-D ．4【答案】D【分析】先求出点P 到圆心(1,0)A 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案。

高考椭圆大题知识点公式

高考椭圆大题知识点公式椭圆是初中数学中的一个重要的几何概念，它也是高考中常见的题型之一。

椭圆的性质和计算方法在高考中一直以来都是考察的重点，掌握了椭圆的知识点和公式，对于解答相关题目有着至关重要的作用。

本文将详细介绍高考椭圆大题的知识点和公式。

1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可以用一个特定的平面曲线来描述，它是一个离心率小于1的闭合曲线。

椭圆有两个特殊的焦点和一个长轴和短轴。

在求解椭圆的相关题目时，我们需要了解椭圆的四个基本性质：离心率、焦半径、焦距和准线。

2. 椭圆的方程和标准方程对于给定的椭圆，我们需要根据已知条件求解其方程。

椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1（a>b>0），其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。

3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是与椭圆的离心率相关的关键概念。

根据椭圆的标准方程，椭圆的焦点分别位于椭圆的长轴两侧，并与中心坐标的y坐标有一定的关系。

在求解与焦点相关的问题时，我们需要根据给定条件确定焦点的坐标和与焦点相关的长度。

4. 椭圆的参数方程和切线方程椭圆的参数方程是描述椭圆上任意一点的坐标与参数的关系。

根据椭圆的参数方程，我们可以求解椭圆上特定点的坐标，并进一步求解与椭圆相关的问题。

另外，椭圆的切线方程是求解椭圆上某一点的切线斜率和方程的重要手段。

5. 椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长是解答椭圆相关题目时常见的考点。

椭圆的面积公式为πab，其中a是椭圆的长轴半径，b是椭圆的短轴半径。

椭圆的周长公式是2π√(a²+b²/2)。

6. 椭圆在平面几何中的应用椭圆不仅仅是一个抽象的数学概念，它在实际生活和工程领域中有着丰富的应用。

椭圆的轨迹和焦点特性在天体运动、建筑设计、电子工程等领域有着广泛的应用。

通过了解椭圆的应用，我们可以更好地理解椭圆的几何性质和相关计算方法。

椭圆向量pf1·pf2的范围

椭圆向量pf1·pf2的范围近年来，椭圆向量pf1·pf2的范围成为了研究的热点。

椭圆向量pf1·pf2的范围，是指在一个给定的椭圆上，两个不同焦点到某一点的距离之和。

这个概念最早由著名数学家费马提出，随后得到了广泛的应用，并在实际问题中展现出了重要的意义。

在本文中，我们将深入探讨椭圆向量pf1·pf2的范围，包括其定义、性质、应用等方面，希望能对读者有所帮助。

1. 椭圆向量pf1·pf2的定义椭圆是一个非常重要的曲线，其在数学和物理学中都有着广泛的应用。

对于一个给定的椭圆，我们可以定义其焦点为f1和f2，那么椭圆向量pf1·pf2的范围即为点p到焦点f1和f2的距离之和。

具体而言，如果点P的坐标为(x, y)，焦点f1的坐标为(x1, y1)，焦点f2的坐标为(x2, y2)，那么椭圆向量pf1·pf2的范围可以表示为√((x-x1)²+(y-y1)²)+√((x-x2)²+(y-y2)²)。

这个范围的计算对于理解椭圆的性质和应用具有重要意义。

2. 椭圆向量pf1·pf2的性质椭圆向量pf1·pf2的范围具有一些重要的性质，这些性质对于解决实际问题具有重要的指导意义。

椭圆向量pf1·pf2的范围是一个恒定值，即椭圆上的任意一点到焦点的距离之和是相等的。

椭圆向量pf1·pf2的范围与椭圆的大小和形状有关，当椭圆的长轴和短轴增大时，椭圆向量pf1·pf2的范围也会增大。

椭圆向量pf1·pf2的范围还具有对称性，即相对于椭圆的两个焦点是对称的。

这些性质使得椭圆向量pf1·pf2的范围成为了研究和应用的热点。

3. 椭圆向量pf1·pf2的应用椭圆向量pf1·pf2的范围在现实生活中具有广泛的应用。

在天文学中，椭圆向量pf1·pf2的范围可以用来描述行星轨道的形状和大小。

完整版)椭圆大题题型汇总例题+练习

完整版)椭圆大题题型汇总例题+练习解决直线和圆锥曲线的位置关系的步骤如下：1.判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率。

2.联立直线和曲线的方程组。

3.讨论一元二次方程的情况。

4.计算一元二次方程的判别式。

5.运用韦达定理、同类坐标变换等技巧。

6.计算弦长、中点、垂直、角度、向量、面积、范围等。

在解题过程中需要掌握中点坐标公式和弦长公式，同时还需要了解两条直线垂直的判定方法和XXX定理的应用。

常见的题型包括数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系以及弦的垂直平分线问题。

对于后者，需要掌握垂直和平分的相关知识。

举例来说，对于题型一，可以给定一个点T和一条直线l，要求找到与曲线N相交的点A、B，并判断是否存在一点E使得三角形ABE是等边三角形。

对于题型二，可以给定一个椭圆和一些已知点，要求求出过这些点且与给定直线相切的圆的方程。

在解题过程中，需要注意排除格式错误和明显有问题的段落，同时对每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺和易懂。

练1：Ⅰ）椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

Ⅱ）设直线 $l:y=kx+m(k\neq0)$ 与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN的垂直平分线过定点G$(x_G,y_G)$。

根据对称性可知，$G$ 在$x$轴上，即$y_G=0$。

由于线段MN的垂直平分线过点$G$，所以$G$ 是线段MN的中点。

又因为MN是直线$l$的斜率为$k$的两点之间的线段，所以MN的中点的横坐标为$-\frac{m}{k}$。

因此，$x_G=-\frac{m}{k}$。

又因为$M$、$N$ 在椭圆上，所以它们满足椭圆的方程，代入直线方程可得关于$k$的二次方程。

由于线段MN不垂直于$x$轴，所以$k\neq0$。

根据二次方程的判别式，当判别式大于等于$0$时，线段MN存在，$k$的取值范围为$\left(-\infty,-\frac{a}{b}\right)\cup\left(\frac{a}{b},+\infty\right)$。

(完整版)关于椭圆向量点乘类题型

向量点乘类1、在直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为,直线与交于两点. (1)写出的方程; (2）,求的值。

【解析】 (1）设，由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点, 长半轴为2的椭圆, 它的短半轴, 故曲线的方程为。

（2)证明：设，其坐标满足消去并整理，得故。

即，而，于是, 解得考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系。

2、已知椭圆的离心率为，且过点。

（1)求椭圆的方程; （2）若过点C（—1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点,试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标;若不存在,请说明理由。

【解析】（1）∵椭圆离心率为, ∴,∴. 1分又椭圆过点(，1）,代入椭圆方程,得。

所以。

4分∴椭圆方程为，即.(2)在x轴上存在点M，使是与K无关的常数。

证明：假设在x轴上存在点M(m，0),使是与k无关的常数, ∵直线L过点C(—1，0）且斜率为K，∴L方程为，由得。

设，则∵∴= ===设常数为t，则。

整理得对任意的k恒成立，解得，即在x轴上存在点M（），使是与K无关的常数。

考点：椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积。

点评：中档题,曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程,运用韦达定理.求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，建立了a ，bac 的方程组。

3、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,直线与椭圆C 相交于A 、B 两点. （Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ)求的取值范围；【解析】（Ⅰ）由题意知，∴,即又,∴ 故椭圆的方程为（Ⅱ)解：由得：设A(x1，y1)，B (x2,y2),则∴ ∵∴，∴ ∴的取值范围是．考点:直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．4、如图，F 1，F 2是离心率为的椭圆C ：(a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线:x ＝－将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 ： 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．(Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ) 求的取值范围。

椭圆焦点向量乘积问题

椭圆焦点向量乘积问题
首先，让我们回顾一下椭圆的定义。

椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合。

这个常数称为椭圆的半长轴。

椭圆的性质在数学和物理学中都有广泛的应用。

现在，让我们考虑一个椭圆和其两个焦点的向量表示。

设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆上的任意一点P的位置向量为r，那么根据椭圆的定义，有|PF1| + |PF2| = 2a，其中a为椭圆的半长轴。

我们可以用向量表示来描述这个性质。

设F1和F2的位置向量分别为a和-b，那么对于任意点P的位置向量r，我们有|r + a| + |r b| = 2a。

这就是椭圆的向量表示。

现在，我们来考虑椭圆焦点向量乘积的问题。

具体来说，我们要研究向量|PF1|和|PF2|的乘积的性质。

这个问题在数学竞赛和数学建模中经常出现，具有一定的挑战性和深度。

通过向量运算的性质和椭圆的定义，我们可以推导出椭圆焦点
向量乘积的一些有趣结论。

这些结论不仅可以帮助我们更深入地理解椭圆的几何性质，还可以拓展我们对向量运算的认识。

总之，椭圆焦点向量乘积问题是一个有趣而深奥的数学问题，它涉及椭圆的几何性质和向量运算的结合。

通过研究这个问题，我们可以深入理解椭圆的性质，并丰富我们对向量运算的认识。

过椭圆上一点的切线方程公式推导向量法

过椭圆上一点的切线方程公式推导向量法今天咱们聊聊椭圆上的切线方程，听上去高大上，其实也没啥复杂的。

你想啊，椭圆就像个大饼，圆圆的，咬一口就掉了两片。

不过今天我们不聊吃的，而是要说说那些在椭圆上游走的小点。

小点就是我们的主角，想象一下它们像一群舞者，在这个大饼上翩翩起舞。

每当有一个小点出现在椭圆上，就会有一条切线悄悄跟随，仿佛在为它打气。

咱们得先知道什么是椭圆。

简单来说，椭圆就是一类特殊的曲线。

你可以想象一下，两个焦点在它的心里，椭圆的每一个点到这两个焦点的距离加起来都是一样的。

好比说，有两位亲密无间的好友，走到哪儿都要一起。

听起来是不是有点浪漫呢？不过别急，接下来咱们要用向量法来推导切线方程了。

说到向量，大家一定不陌生。

向量就像是一个带方向的箭头。

想象一下，咱们有个点P，它坐落在椭圆上，坐标是(x₀, y₀)。

这个点就像是你在聚会上找到了个位置，既然找到了，那就得有个切线来陪着它。

怎么来陪呢？先来个法向量。

法向量就好比是你和朋友的聊天话题，聊到哪儿就代表了你们的方向。

对于椭圆来说，法向量的方向与椭圆在这个点的切线方向是垂直的。

那法向量的表达式是什么呢？椭圆的一般方程可以写成 (frac{x^2{a^2 +frac{y^2{b^2 = 1)。

在这个方程里，a和b就是椭圆的长短轴。

接着我们就得用偏导数来求出法向量。

算一下，法向量就能找出来了。

切线的方向与法向量相垂直，咱们只需把法向量转个90度，就能得到切线的方向。

就像你转身去找朋友，没几步就能找到那条通往欢乐的路。

咱们一起来看看具体的切线方程。

设切线方程为y = mx + b，m就是切线的斜率，b则是y轴的截距。

为了求出斜率，咱们用法向量的坐标变化来求。

简单点说，就是用y对x的变化率来表示，最终得到的方程就是切线的表达式。

别忘了哦，切线过的点(x₀, y₀)也得带上，所以在这个切线方程里得把这个点带上，形成一个完整的方程。

哎呀，难免会有人觉得头大。

椭圆大题中的向量问题—基础篇

椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题．1．向量的数量积问题记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+(l 不经过椭圆的顶点）和椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个交点,则PA PB ⋅计算过程可分为以下三步：I ．写出向量的坐标（末-初）,并将PA PB ⋅表示成()1212,f x x x x +的形式 ()()()()11221122,,,,PA PB x t y x t y x t kx m x t kx m ⋅=-⋅-=-+⋅-+ ()()()()22212121k x x km t x x m t =++-+++······① II ．联立直线l 和椭圆，得出()121,x x f k m =,()122,x x f k m +=；联立222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，得()()2222222220a k b x kma x a m b +++-=，则2122222kma x x a k b +=-+，()22212222a m b x x a k b -=+，III ．将12x x +,12x x 代入①式中，得到(),PA PB g k m ⋅=，将PA PB ⋅转化为含,k m 的式子∴PA PB ⋅()()()()222222222222221a m b kma k km t m t a k b a k b-=+--⋅++++其中I 、II 两步可以互换顺序，则2PA PB t⋅=+为原点O 时,(2aOA OB ⋅=基础练习:请按照以下条件作答1．已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，（1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅关于斜率k 的关系式；（2)已知点()2,0P ，请写出PA PB ⋅关于斜率k 的关系式；2．若斜率为k 的直线l 经过点()0,2与椭圆22132x y +=交于A B 、两点（注意0∆>）,（1)若点O 为原点,请写出OA OB ⋅关于斜率k 的关系式；（2）若点()1,0P ，请写出PA PB ⋅关于斜率k 的关系式；（3)若点()2,0P ，请写出PA PB ⋅关于斜率k 的关系式；1.1 求向量数量积的问题（给出点P 的坐标）例1：已知椭圆C :22143x y +=，直线l 经过C 的右焦点F 与椭圆交于A B 、两点，点()3,0P ．(1)写出PA PB ⋅关于直线l 的斜率k 的关系式；（2271543k PA PB k +⋅=+）(2）若227PA PB ⋅=，求直线l 的方程；(1y x =±-)(3）若2OA OB ⋅=-，求PA PB ⋅的值；（22k =，2911PA PB ⋅=）（4）求PA PB ⋅的取值范围;(7,54PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦）（5)若247AP PB +≤,求PA PB ⋅的取值范围；（21k ≥，522,47PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦）(6）记D E 、分别为椭圆C 的左右顶点，①．若907AD EB AE DB ⋅+⋅=，求直线l 的方程；（1y x =±-） ②．求AD EB AE DB ⋅+⋅的取值范围．（21,162AD EB AE DB ⎡⎤⋅+⋅∈⎢⎥⎣⎦）练习1.11．已知椭圆2214x y +=的离心率e =，若直线l :y kx =A B 、且2OA OB ⋅>,求k 的取值范围．2．已知椭圆22132x y +=的左焦点为F ，设A B 、分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C D 、两点.，若··8AC DB AD CB +=,求k 的值．1。