上海市闵行区2015年高三(二模)数学(文科)及答案
上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）含解析答案
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一.填空题1．（3分）（2015•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（3分）（2015•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（3分）（2015•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（3分）（2015•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（3分）（2015•闵行区一模）若x满足4x=8，则x=．【考点】：指数式与对数式的互化．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得∴22x=23，从而2x=3，由此能求出x=．【解析】：解：∵x满足4x=8，∴22x=23，∴2x=3，解得x=．故答案为：．【点评】：本题考查指数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数运算法则的合理运用．6．（3分）（2015•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（3分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（3分）（2015•闵行区一模）口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，基本事件总数n==6，摸出的两球颜色不相同，包含的基本事件个数m==3，由此能求出摸出的两球颜色不相同的概率．【解析】：解：口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，基本事件总数n==6，摸出的两球颜色不相同，包含的基本事件个数m==3，∴摸出的两球颜色不相同的概率是p===．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（3分）（2015•闵行区一模）已知正方形ABCD的边长为2，M是正方形四边上的动点，则的最大值为4．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，构造函数，利用求函数的最值来解决问题【解析】：解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴负方向建立坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，∴=（2，0），M为正方形边界一点，设M（x，y），则0≤x≤2，0≤y≤2，=（x，y），则=2x≤4，当M在BC上时取得最大值4；故答案是：4．【点评】：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题10．（3分）（2015•闵行区一模）函数y=|log22x|+|log2x|的最小值为1．【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：直接利用绝对值的几何意义，转化求解函数的最值即可．【解析】：解：函数y=|log22x|+|log2x|=|1+log2x|+|﹣log2x|≥|1+log2x﹣log2x|=1．故答案为：1．【点评】：本题考查绝对值的几何意义，函数的最小值的求法，考查计算能力．11．（3分）（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h （x）=，则方程h（x）=2的解为x=．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：确定f（x）与g（x）的图象交点的横坐标的范围，作出函数h（x）的图象，从而得到h（x）=2=g（x），解方程即可得到答案．【解析】：解：记f（x）与g（x）的图象交点的横坐标为x=x0，∵f（）==＜1=，∴x0∈（，1），函数h（x）的图象如图所示：∴h（x）=2=，解得：x=，故答案为：x=．【点评】：本题考查新定义，考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．12．（3分）（2015•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（3分）（2015•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若＜0，则下列结论中：①△ABC是钝角三角形；②a2＞b2+c2；③cosBcosC＞sinBsinC；④sinB＞cosC；其中错误结论的序号是④．【考点】：余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】：解三角形．【分析】：由条件可得∠A 为钝角，故①、②正确；再根据cosA＜0，可得③正确；根据B+C＜，正弦函数的单调性、诱导公式可得④不正确，从而得出结论．【解析】：解：△ABC中，∵＜0，则∠A 为钝角，故①、②正确．再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cosBcosC+sinBsinC＜0，化简可得cosBcosC＞sinBsinC，故③正确．根据B+C＜，可得0＜B＜﹣C＜，∴sinB＜sin（﹣C）=cosC，即 sinB＜cosC，故④错误，故答案为：④．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义，诱导公式、两角和的余弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．14．（3分）（2015•闵行区一模）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，写出一个满足条件的a1的值为﹣1．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，由此求出a4=﹣19，a5=29，从而﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，由此能求出a1=﹣1．【解析】：解：取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查数列的递推公式的合理运用，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．二.选择题15．（3分）（2015•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O 与直线l相切的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（3分）（2015•闵行区一模）（2﹣x）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B． 1 C． 256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和【解析】：解：令二项式（2﹣x）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1．∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（3分）（2015•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（3分）（2015•闵行区一模）数列{a n}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据，，，…，的方差为λ2，则（）A．λ1＞λ2B．λ1=λ2C．λ1＜λ2D．与的大小关系与公差的正负有关【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2015﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以λ1＞λ2，故选：A．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三.解答题19．（2015•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，三棱锥A1﹣ABC的体积为，求直线A1B与CC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】：异面直线及其所成的角．【专题】：立体几何．【分析】：先通过图形便可知道∠A1AB便是直线A1B与CC1所成角，通过三棱锥的体积公式及直三棱柱的特点可求出AA1，而AB又可通过已知条件求出，所以在RtABA1中可求tan∠AA1B，从而可用反正切表示出∠AA1B．【解析】：解：根据已知条件；∴AA1=4；又AB=；AA1⊥AB；∴在Rt△ABA1中tan；；∵AA1∥CC1；∴∠AA1B是直线A1B和CC1所成角，并且该角为．【点评】：考查直三棱柱的侧棱和底面垂直，线面垂直的性质，棱锥的体积公式，异面直线所成角的定义及求解方法与过程．20．（2015•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（2015•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆Γ上的点P（，）到F1、F2的距离之和为2；（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求直线CD的方程．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）由椭圆Γ上的点P（，）到两焦点F1、F2的距离之和为2，可得=1，2a=2，a2=b2+c2，解出即可．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），设P是直线CD上的任意一点，由=1，=1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）=1，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解析】：解：（1）∵椭圆Γ上的点P（，）到两焦点F1、F2的距离之和为2，∴=1，2a=2，a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1．∴椭圆Γ的方程为；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），设P是直线CD上的任意一点，可得=1，=，=（x≠1）．∵=1，=1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）=1，∴1+=0，（x1≠x2）．∴=0，化为x+y﹣=0，当x=1时也成立．∴直线CD的方程为x+y﹣=0．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=sin2x+（sin2x﹣cos2x）+；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m=0，求实数m的取值范围；（3）求证：任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期．（2）利用正弦型函数的定义域求出函数的值域，进一步利用存在性问题求出函数中参数的取值范围．（3）利用函数具备严格的单调性来进行证明．【解析】：解：（1）函数f（x）=sin2x+（sin2x﹣cos2x）+==sin（2x﹣）+，所以函数的最小正周期为；T=π；（2）由于，所以：，设：F（x）=[f（t）]2﹣2f（t）=（f（t）﹣）2﹣2∈[﹣2，﹣1]，存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m=0，所以：m的取值范围为：m∈[﹣2，﹣1]（3）对任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，当时，使f（x1）f（x2）=1成立．当时，，所以：，）+．则：∈[﹣1，1]，设：（a∈[﹣1，1]），由．解得：或，所以x2的解集为：{x2|或}（k∈Z）．由于，所以：，由于函数在此区间内有严格的单调性．所以：存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期，存在性问题的应用，利用函数的单调性正面函数的唯一解．23．（2015•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1=4n+2（n∈N*），其前n 项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意n∈N*的恒成立；（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=392成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由；（3）记集合M={n|≥λ，n∈N*}，若M中共有5个元素，求实数λ的取值范围．【考点】：数列递推式；数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由已知得，解得d=2，a1=2，由此能求出a n=2n．由a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n=（n﹣1）•2n+1，得a n b n=n•2n﹣1，由此能求出b n=2n．（2）假设存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=392成立，则（p+1）2=，由，能求出p=4，q=3．（3）由M={n|，n∈N*}中共有5个元素，分别取n=1，2，3，4，5，6，求出相应的结果，由此能求出．【解析】：解：（1）∵数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1=4n+2（n∈N*），得，解得d=2，a1=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．由a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n=（n﹣1）•2n+1，可得a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n﹣1+1（n≥2），两式相减可得a n b n=n•2n﹣1，∴b n==2n．（2）假设存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=392成立．∵（a2p+2）2﹣b q=392，∴（4p+4）2﹣2q=392，∴16（p+1）2=392+2q，∴（p+1）2=，∵，∴p=4，q=3．（3）∵d=2，a1=2，∴=n2+n，M={n|≥λ，n∈N*}，∵M={n|，n∈N*}中共有5个元素，∴当n=1时，λ≤=1，当n=2时，λ≤=，当n=3时，λ≤=，当n=4时，λ≤=，当n=5时，λ≤=，当n=6时，λ＞=，∴．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．。
2015年上海市闵行区中考数学、语文、英语二模试卷及答案
2015年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24）1．（4分）（2015•闵行区二模）下列各题中是无理数的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2015•闵行区二模）二次根式a+的有理化因式是（）A．（a+）2B．（a﹣）2C．a﹣D．a+3．（4分）（2015•闵行区二模）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+3=0B．=﹣1C．=D．=﹣x4．（4分）（2015•闸北区模拟）如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（）A．九（1）班外出的学生共有42人B．九（1）班外出步行的学生有8人C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人5．（4分）（2015•闵行区二模）下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形6．（4分）（2015•闵行区二模）下列命题中假命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2015•闵行区二模）计算：=．8．（4分）（2015•闵行区二模）计算：a3•a﹣1=．9．（4分）（2015•闵行区二模）在实数范围内分解因式：x3﹣4x2=．10．（4分）（2015•闵行区二模）不等式组的解集是．11．（4分）（2015•闵行区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．12．（4分）（2015•闵行区二模）将直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式是．13．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，设=，=，那么（用，的式子表示）14．（4分）（2015•闵行区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AC相切，那么r=．15．（4分）（2015•闵行区二模）从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率是．16．（4分）（2015•闵行区二模）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为．17．（4分）（2015•闵行区二模）小丽在大楼窗口A测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度A=h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC=米（用α的三角比和h的式子表示）18．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF=．三．解答题19．（10分）（2015•闵行区二模）计算：+（﹣）+．20．（10分）（2015•闵行区二模）解方程：．21．（10分）（2015•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=2，sin∠B=，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE=BC．联结AE，F为线段AE的中点．求：（1）线段DE的长；（2）∠CAE的正切值．22．（10分）（2015•闵行区二模）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y （升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x（时）01234余油量y（升）150120906030（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）23．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．24．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax ﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（﹣3．，0），点D在线段AB上，AD=AC．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB为半径的圆D与圆C外切，求圆C的半径；（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上，如果线段MN被直线CD垂直平分，求的值．25．（14分）（2015•闵行区二模）如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN，点E、F分别在线段AN、DN上，且ME∥DN，MF∥AN，联结EF．（1）如图2，如果EF∥BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；（3）如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．2015年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24）1．（4分）（2015•闵行区二模）下列各题中是无理数的是（）A．B．C．D．【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：=3，=2，是无理数．故选B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．（4分）（2015•闵行区二模）二次根式a+的有理化因式是（）A．（a+）2B．（a﹣）2C．a﹣D．a+【考点】分母有理化．【分析】根据平方差公式，可分母有理化．【解答】解：（a+）（a﹣）=a2﹣b，故选：C．【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键．3．（4分）（2015•闵行区二模）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+3=0B．=﹣1C．=D．=﹣x【考点】无理方程；分式方程的解．【分析】根据非负数的性质判断A和B选项；解分式方程判断C选项；两边平方，解无理方程判断D选项．【解答】解：A、x4+3=0，方程无解，此选项错误；B、=﹣1，方程无解，此选项错误；C、=，解得x=1，是方程的增根，此选项错误；D、=﹣x，解得x=，此选项正确；故选D．【点评】本题主要考查了无理方程与分式方程的知识，解答本题的关键是掌握解答无理方程的步骤，此题比较简单．4．（4分）（2015•闸北区模拟）如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（）A．九（1）班外出的学生共有42人B．九（1）班外出步行的学生有8人C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人【考点】扇形统计图．【专题】数形结合．【分析】先求出九（1）班的总人数，再求出步行的人数，进而求出步行人数所占的圆心角度数，最后即可作出判断．【解答】解：由扇形图知乘车的人数是20人，占总人数的50%，所以九（1）班有20÷50%=40人，所以骑车的占12÷40=30%，步行人数=40﹣12﹣20=8人，所占的圆心角度数为360°×20%=72°，如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有150人．故选：B．【点评】本题主要考查扇形统计图及用样本估计总体等知识．统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体的知识．5．（4分）（2015•闵行区二模）下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．（4分）（2015•闵行区二模）下列命题中假命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【考点】命题与定理．【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．【解答】解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2015•闵行区二模）计算：=2．【考点】算术平方根．【专题】计算题．【分析】根据算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 叫做a的算术平方根，解答出即可；【解答】解：根据算术平方根的定义，得，==2．故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．8．（4分）（2015•闵行区二模）计算：a3•a﹣1=a2．【考点】负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：原式=a3+（﹣1）=a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用同底数幂的乘法计算是解题关键．9．（4分）（2015•闵行区二模）在实数范围内分解因式：x3﹣4x2=x2（x﹣4）．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式即可得到结果．【解答】解：原式=x2（x﹣4）．故答案为：x2（x﹣4）．【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（4分）（2015•闵行区二模）不等式组的解集是≤x＜2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥，∴不等式组的解集为≤x＜2，故答案为：≤x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．11．（4分）（2015•闵行区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣1．【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0没有实数根，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1．【点评】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0是解此题的关键．12．（4分）（2015•闵行区二模）将直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式是y=x﹣1．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据平移k值不变及上移加，下移减可得出答案．【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y=x+1﹣2，即y=x﹣1．故答案为：y=x﹣1．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．13．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，设=，=，那么+（用，的式子表示）【考点】*平面向量．【分析】由AB∥CD，且AB=3CD，可求得，然后利用三角形法则求得，再由AB∥CD，证得△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵AB∥CD，且AB=3CD，∴==，∴=+=+，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，∴==×（+）=+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用．14．（4分）（2015•闵行区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AC相切，那么r=．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求出AB的长，⊙C与AB相切，则圆心C到AB的距离就是半径的长，根据面积公式求出点C到AB的距离即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，设圆心C到AB的距离为d，则×3×4=×5×d，d=，根据⊙C与AB相切，则圆心C到AB的距离就是半径的长，r=，故答案为：．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成．15．（4分）（2015•闵行区二模）从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出选中小敏和小杰的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：小敏，小杰还有其他同学分别用1，2，3表示，列表得：1231﹣﹣﹣（1，2）（1，3）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）3（3，1）（1，3）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中选中小敏和小杰情况有2种，则P==，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（4分）（2015•闵行区二模）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为﹣=30．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设共有x位同学准备去周庄旅游，则后来有（x+2）位同学准备去周庄旅游，根据题意可得，加入2名同学之后每人可少分担30元，列方程即可．【解答】解：设共有x位同学准备去周庄旅游，则后来有（x+2）位同学准备去周庄旅游，由题意得，﹣=30．故答案为：﹣=30．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．17．（4分）（2015•闵行区二模）小丽在大楼窗口A测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度A=h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC=米（用α的三角比和h的式子表示）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可得，∠ACB=α，AB=h，然后利用三角函数求出BC的长度．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=α，AB=h，∴BC=．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．18．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF=﹣1．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，得到∠CAB=∠ABC=45°，由△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，求出∠CAD=∠C′AD，于是得到∠ABF=135°，求得∠F=30°，根据直角三角形的性质即可得到结果．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，∴∠CAD=∠C′AD，∵∠DAB=∠BAF，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=15°，∵∠ABF=135°，∴∠F=30°，∴CF==，∴BF=CF﹣BC=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解题的关键．三．解答题19．（10分）（2015•闵行区二模）计算：+（﹣）+．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．【解答】解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．20．（10分）（2015•闵行区二模）解方程：．【考点】高次方程．【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．【解答】解：，由②得，x﹣y=0，x﹣2y=0，把这两个方程与①组成方程组得，，，解得，．故方程组的解为：，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，解答时，用代入法比较简单，如果其中的二元二次方程可以因式分解化为两个二元一次方程，与另一个方程组成两个二元一次方程组，解答更简单．21．（10分）（2015•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=2，sin∠B=，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE=BC．联结AE，F为线段AE的中点．求：（1）线段DE的长；（2）∠CAE的正切值．【考点】解直角三角形．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形性质求出∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，求出BD和CD，即可得出答案；（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2）2﹣AM2=42﹣（2﹣AM）2，求出AM，求出CM，即可求出答案．【解答】解：（1）如图，连接AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AB=AC=2，sin∠B=，∴=，∴AD=4，由勾股定理得：BD=2，∴DC=BD=2，BC=4，∵CE=BC，∴CE=4，∴DE=2+4=6；（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得；AE===2，∵由勾股定理得；CM2=AC2﹣AM2=CE2﹣EM2，∴（2）2﹣AM2=42﹣（2﹣AM）2，解得：AM=，CM===，∴∠CAE的正切值是==．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定的难度．22．（10分）（2015•闵行区二模）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y （升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x（时）01234余油量y（升）150120906030（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设x与y之间的函数关系式为y=kx+b，将点（0，150）和（1，120）代入求k和b值；（2）利用路程关系建立在D处加油的一元一次不等式，求在D处至少加油量．【解答】解：（1）把5组数据在直角坐标系中描出来，这5个点在一条直线上，所以y与x 满足一次函数关系，设y=kx+b，（k≠0）则，解得：，∴y=﹣30x+150．（2）设在D处至少加W升油，根据题意得：150﹣4×30﹣×30+W≥×30×2+10（3分）即：150﹣120﹣6+W≥118解得W≥94，答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是用待定系数法求函数解析式，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．23．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）过D作DG⊥BC于G，构造成矩形，然后通过三角形全等得到结论．（2）根据等腰三角形的性质三线合一，证得线段的垂直平分线，由等边对等角得到∠FEC=∠FCE，通过三角形相似得到∠BEF=∠FCE，于是得出∠BEF=∠CEF．【解答】（1）证明：过D作DG⊥BC于G，∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，∴四边形ABGD是矩形，∴∠ADG=90°，DG=AB，∵∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△AED与△GCD中，，∴△AED≌△GCD，∴DE=CD；（2）由（1）知：DE=CD，∵DF平分∠EDC，∴DF⊥CE，∴EF=CF，∴∠FEC=∠FCE，∵BE2=BF•BC，∴=，∵∠B=∠B，∴△EFB∽△CEB，∴∠BEF=∠FCE，∴∠BEF=∠CEF．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，辅助线的作法是解题的关键．24．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax ﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（﹣3．，0），点D在线段AB上，AD=AC．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB为半径的圆D与圆C外切，求圆C的半径；（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上，如果线段MN被直线CD垂直平分，求的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用方程求得a的值；然后利用抛物线解析式来求对称轴方程；（2）根据抛物线解析式可以求得点B、C的坐标，结合已知条件“AD=AC”可以得到点D的坐标，由点的坐标与图形的性质来求圆C的半径；（3）利用等腰△ACD、线段垂直平分线的性质得到∠AMC=∠BND，然后由三角形内角和推知∠180°﹣∠ACM﹣∠AMC=180°﹣∠B﹣∠BND，则∠A=∠BDN，易得DN∥AC，所以，根据平行线分线段成比例求得==．【解答】解：（1）把（﹣3，0）代入y=ax2﹣2ax﹣4得：9a+6a﹣4=0，解得：a=，则抛物线的解析式是：y=x2﹣x﹣4，对称轴是x=﹣=1，即x=1；（2）在y=x2﹣x﹣4中，令y=0，得x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣3或5．则B的坐标是（5，0）．在y=x2﹣x﹣4中令x=0，解得：y=﹣4，则C的坐标是（0，﹣4）．AC===5，则D的坐标是（2，0），∴CD=2，BD=3．当两圆外切时，R C+BD=CD，R C=2﹣3．则圆C的半径是：2﹣3；（3）∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD，又∵线段MN被直线CD垂直平分，∴∠DCB=∠DCM，∴∠ACM=∠B．又∵∠DNC=∠DMC，∴∠AMC=∠BND，∴∠180°﹣∠ACM﹣∠AMC=180°﹣∠B﹣∠BND，∴∠A=∠BDN，∴DN∥AC，∴==．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形判定和性质、点的坐标与图形的性质以及线段垂直平分线的性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（3）中弄清DN∥AC是解题的关键．25．（14分）（2015•闵行区二模）如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN，点E、F分别在线段AN、DN上，且ME∥DN，MF∥AN，联结EF．（1）如图2，如果EF∥BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；（3）如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到EF是△AND的中位线，利用三角形中位线定理进行解答即可；（2）设AM=x．利用（1）中相似三角形的性质得到==，==，利用图中相关图形的面积间的数量关系和已知条件列出=S△AND．由此求得x的值；关于x的方程[1﹣﹣]S△AND（3）如答图2，过点A作AP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q．需要分类讨论：当△ABN∽△DCN、△ABN∽△NCD两种情况，利用相似三角形的对应边成比例求得BN=CN=5，然后利用勾股定理计算AM的长度．【解答】解：（1）如答图1，∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD，又∵ME∥DN，MF∥AN，∴===，∴AE=EN．同理，NF=FD，∴EF是△AND的中位线，∴EF=AD=2；（2）设AM=x．则==，==，=[1﹣﹣]S△AND=S△AND．∴S四边形MENF解得x1=1，x2=3，∴AM的长度是1或3；（3）如答图2，过点A作AP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q，则PQ=AD=4，BP=CQ=3．当△ABN∽△DCN时，==1，∴BN=CN=5．∴DN=AN==5．又===，∴△NAD∽△BAN∽△CDN．当△ABN∽△NCD时，=，解得BN=CN=5，∴DN=AN==5．综上所述，当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN=5．【点评】本题考查了相似综合题．该题综合性比较强，涉及到了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题时，运用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；2300680618；733599；lbz；gsls；wangjc3；sks；zjx111；HJJ；zcx；1286697702；sjzx；王学峰；sdwdmahongye；dbz1018（排名不分先后）菁优网2015年12月7日考点卡片1．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．2．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．3．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解x2﹣2=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）4．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．5．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①1a=aa•a=aa；②1a+b=a﹣b（a+b）（a﹣b）=a﹣ba﹣b．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．6．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．8．高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．9．无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配。
2015年上海市闵行区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝．2．（3分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝．3．（3分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝．4．（3分）计算＝．5．（3分）若x满足4x＝8，则x＝．6．（3分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．7．（3分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8．（3分）口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是．9．（3分）已知正方形ABCD的边长为2，M是正方形四边上的动点，则的最大值为．10．（3分）函数y＝|log22x|+|log2x|的最小值为．11．（3分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则方程h（x）＝2的解为．12．（3分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．13．（3分）在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若＜0，则下列结论中：①△ABC是钝角三角形；②a2＞b2+c2；③cos B cos C＞sin B sin C；④sin B＞cos C；其中错误结论的序号是．14．（3分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，写出一个满足条件的a1的值为．二.选择题15．（3分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（3分）（2﹣x）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256 17．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点18．（3分）数列{a n}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据，，，…，的方差为λ2，则（）A．λ1＞λ2B．λ1＝λ2C．λ1＜λ2D．与的大小关系与公差的正负有关三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，三棱锥A1﹣ABC的体积为，求直线A1B与CC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．21．椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆Γ上的点P（，）到F1、F2的距离之和为2；（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求直线CD的方程．22．已知函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，求实数m的取值范围；（3）求证：任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立．23．已知数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意n∈N*的恒成立；（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由；（3）记集合M＝{n|≥λ，n∈N*}，若M中共有5个元素，求实数λ的取值范围．2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝[﹣1，4]．【解答】解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U＝R，∴∁U A＝[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]2．（3分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝﹣1+i．【解答】解：由（z+2）（1+i）＝2i，得，∴z＝﹣1+i．故答案为：﹣1+i．3．（3分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝﹣．【解答】解：∵f（x）＝x cos x，f（a）＝，∴f（a）＝a cos a＝，∴f（﹣a）＝﹣a cos（﹣a）＝﹣a cos a＝．故答案为：﹣．4．（3分）计算＝．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．5．（3分）若x满足4x＝8，则x＝．【解答】解：∵x满足4x＝8，∴22x＝23，∴2x＝3，解得x＝．故答案为：．6．（3分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．【解答】解：∵θ∈（，π），sin﹣cos＝，∴1﹣sinθ＝，∴sinθ＝，∵θ∈（，π），∴cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：．7．（3分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π＝．故答案为．8．（3分）口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是．【解答】解：口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，基本事件总数n＝＝6，摸出的两球颜色不相同，包含的基本事件个数m＝＝3，∴摸出的两球颜色不相同的概率是p＝＝＝．故答案为：．9．（3分）已知正方形ABCD的边长为2，M是正方形四边上的动点，则的最大值为4．【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴负方向建立坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，∴＝（2，0），M为正方形边界一点，设M（x，y），则0≤x≤2，0≤y≤2，＝（x，y），则＝2x≤4，当M在BC上时取得最大值4；故答案是：4．10．（3分）函数y＝|log22x|+|log2x|的最小值为1．【解答】解：函数y＝|log22x|+|log2x|＝|1+log2x|+|﹣log2x|≥|1+log2x﹣log2x|＝1．故答案为：1．11．（3分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则方程h（x）＝2的解为x＝．【解答】解：记f（x）与g（x）的图象交点的横坐标为x＝x0，∵f（）＝＝＜1＝，∴x0∈（，1），函数h（x）的图象如图所示：∴h（x）＝2＝，解得：x＝，故答案为：x＝．12．（3分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c＝2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝s2+t2﹣2st cos60°即s2+t2﹣st＝16，由椭圆的定义可得s+t＝2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t＝2n（n＞0），解得s＝m+n，t＝m﹣n．即有16＝（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）＝m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m＝n，取得最大值．故答案为：．13．（3分）在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若＜0，则下列结论中：①△ABC是钝角三角形；②a2＞b2+c2；③cos B cos C＞sin B sin C；④sin B＞cos C；其中错误结论的序号是④．【解答】解：△ABC中，∵＜0，则∠A为钝角，故①、②正确．再根据cos A＝﹣cos（B+C）＝﹣cos B cos C+sin B sin C＜0，化简可得cos B cos C＞sin B sin C，故③正确．根据B+C＜，可得0＜B＜﹣C＜，∴sin B＜sin（﹣C）＝cos C，即sin B ＜cos C，故④错误，故答案为：④．14．（3分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，写出一个满足条件的a1的值为﹣1．【解答】解：取a2＝﹣7，a3＝5，得5＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣2，∴a4＝﹣2×5﹣3×2﹣3＝﹣19，a5＝﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3＝29，∴﹣7＝﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1＝﹣1．故答案为：﹣1．二.选择题15．（3分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴k＝±1，∴k＝1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．16．（3分）（2﹣x）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256【解答】解：令二项式（2﹣x）8中的x＝1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8＝1．∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．17．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【解答】解：①y＝x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A 不正确，②y＝x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）＝﹣1，f（b）＝1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选：D．18．（3分）数列{a n}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据，，，…，的方差为λ2，则（）A．λ1＞λ2B．λ1＝λ2C．λ1＜λ2D．与的大小关系与公差的正负有关【解答】解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为＝a1008，所以λ1＝[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]＝•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2＝[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2015﹣a1﹣d）2]＝•（12+22+…+10072）．所以λ1＞λ2，故选：A．三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，三棱锥A1﹣ABC的体积为，求直线A1B与CC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：根据已知条件；∴AA1＝4；又AB＝；AA1⊥AB；∴在Rt△ABA1中tan；；∵AA1∥CC1；∴∠AA1B是直线A1B和CC1所成角，并且该角为．20．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1）当10＜x＜100时，W＝xR（x）﹣（40+16x）＝4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x＝50．21．椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆Γ上的点P（，）到F1、F2的距离之和为2；（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求直线CD的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Γ上的点P（，）到两焦点F1、F2的距离之和为2，∴＝1，2a＝2，a2＝b2+c2，解得a＝，b＝1，c＝1．∴椭圆Γ的方程为；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），设P是直线CD上的任意一点，可得＝1，＝，＝（x≠1）．∵＝1，＝1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）＝1，∴1+＝0，（x1≠x2）．∴＝0，化为x+y﹣＝0，当x＝1时也成立．∴直线CD的方程为x+y﹣＝0．22．已知函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，求实数m的取值范围；（3）求证：任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+＝＝sin（2x﹣）+，所以函数的最小正周期为；T＝π；（2）由于，所以：，设：F（x）＝[f（t）]2﹣2f（t）＝（f（t）﹣）2﹣2∈[﹣2，﹣1]，存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，所以：m的取值范围为：m∈[﹣2，﹣1]（3）对任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）＝1成立，当时，使f（x1）f（x2）＝1成立．当时，，所以：，）+．则：∈[﹣1，1]，设：（a∈[﹣1，1]），由．解得：或，所以x2的解集为：{x2|或}（k∈Z）．由于，所以：，由于函数在此区间内有严格的单调性．所以：存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）＝1成立．23．已知数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意n∈N*的恒成立；（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由；（3）记集合M＝{n|≥λ，n∈N*}，若M中共有5个元素，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），得，解得d＝2，a1＝2，∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．由a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n＝（n﹣1）•2n+1，可得a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1＝（n﹣2）•2n﹣1+1（n≥2），两式相减可得a n b n＝n•2n﹣1，∴b n＝＝2n．（2）假设存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立．∵（a2p+2）2﹣b q＝392，∴（4p+4）2﹣2q＝392，∴16（p+1）2＝392+2q，∴（p+1）2＝，∵，∴p＝4，q＝3．（3）∵d＝2，a1＝2，∴＝n2+n，M＝{n|≥λ，n∈N*}，∵M＝{n|，n∈N*}中共有5个元素，∴当n＝1时，λ≤＝1，当n＝2时，λ≤＝，当n＝3时，λ≤＝，当n＝4时，λ≤＝，当n＝5时，λ≤＝，当n＝6时，λ＞＝，∴．。
2015年高考文科数学上海卷-答案
【解析】()1f x =【提示】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期【考点】二倍角公式，三角函数的周期【答案】{}1,4 【解析】{UB x =<{}1,4UAB =【提示】由A 与B ，找出两集合的交集即可. 【考点】集合交集及其基本运算11【解析】()2f x =【提示】由原函数解析式把【考点】反函数.1sin 60=162a a ⎫⎪⎭【考点】立体几何的基本运算. 【解析】抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离【解析】12log (9x -且又2log (95)-1433x --+g【解析】条件要求男、女教师都有142332363636C +C C +C C 4515=+数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案. 242246621(2)()C 2240x x ==. 求得r 值，则答案可求. 【解析】双曲线又C【解析】2a b c ++222a b c =++222a b a c b c +++22222a b c a c b c =++++2222()a b c c a b ++++,142cosc a b c a b c a b<+>=+++,1465cosc a b c a b<+>=++.2a b c ++的最大值为1465+. a b c ++的最大值为【提示】分别以a b ，所在的直线为【考点】平面向量的基本运算【解析】()sin 1f x x =当且仅当223())()f x x f x -+-m x ，满足120x x <<L 11【解析】22x x ++直接可得82(x +<它们的解集是相同的3112n b a +-)n λ-，。
2015年上海市高考数学文科模拟卷(闵行三模)
主视图俯视图AACB BA 1 C 1B 1 A 1B 1闵行区2014学年第二学期高三年级综合练习数 学 试 卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．集合2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =<，则U A B 等于 ． 2．函数=y 的定义域是 ． 3．已知函数11()12xf x =，则1(1)f-= ．4．若复数11()12i b b i ++∈-R 的实部与虚部相等，则b 的值为 ． 5．若对任意正实数a ，不等式21<+x a 恒成立，则实数x 的最小值为 ．6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323S S S 、、成等差数列，则数列{}n a 的公比为 ．7．已知平面上四点O A B C 、、、，若1233=+u u u r u u u r u u u rOB OA OC ，= ．8. 如图，水平放置的正三棱柱111ABC A B C -的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为 ．9.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的取值范围是 ．10. 某班级有3名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这3名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3学校_____________________ 班级__________ 姓名_________ 准考证号______________…………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………个专业中恰有一个专业没有学生选择的概率是 ． 11.函数()2sin 21f x x x =+-图像的对称中心是 ．12.设12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足121235PF PF F F -=，则该双曲线的渐近线方程为 ． 13.设角α的终边在第一象限，函数)(x f 的定义域为[]1,0，且1)1(,0)0(==f f ，当y x ≥时，有)()sin 1(sin )()2(y f x f y x f αα-+=+，则使等式11()22f =成立的α的集合为 ．14.在直角坐标平面上，有5个非零向量12345a a a a a u r u u r u u r u u r u u r 、、、、，且1(1,2,3,4)k k a a k +⊥=u u r u u u r，各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，若12345a a a a a l =u r u u r u u r u u r u u r++++（常数），则12345a a a a a u r u u r u u r u u r u u r++++的最小值为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案， 考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15. 下列函数中，与函数3y x =的值域相同的函数为 （ ）（A ）112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭. （B ）ln(1)y x =+. （C ）1x y x +=. （D ）1y x x=+. 16. 角α终边上有一点)2,1(-，则下列各点中在角α2的终边上的点是 （ ） (A) (3,4). (B) (3,4)--. (C) (4,3). (D) (4,3)--. 17. 一无穷等比数列{}n a 各项的和为32，第二项为13，则该数列的公比为 （ ） （A ）13. （B ）23. （C ）13-. （D ）13或23.18.下图揭示了一个由区间()1,0到实数集R 上的对应过程：区间()1,0内的任意实数m 与数轴上的线段AB （不包括端点）上的点M 一一对应（图一），将线段AB 围成一个圆，使两端B A ,恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在yA B M0 1m x MA (B ) A (0,1)MN (n ,0)xyO1(0,1)π-（图一）（图二）（图三）rrrr l轴上，点A 的坐标为(0,1)（图三）.图三中直线AM 与x 轴交于点()0,n N ，由此得到一个函数)(m f n =，则下列命题中正确的序号是 （ ）021)1(=⎪⎭⎫⎝⎛f ； )()2(x f 是偶函数； )()3(x f 在其定义域上是增函数；)()4(x f y =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,21对称.（A ）（1）（3）（4）.（B ）（1）（2）（3）.（C ）（1）（2）（4）. （D ）（1）（2）（3）（4）. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
2015高考试题——数学文(上海卷)Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文2015年上海市文科试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U .3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 5.若线性方程组的增广矩阵为⎝⎛0213⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为.9.若y x ,满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为.10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 11.在62)12(xx +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),12(*∈≥N m m ，则m的最小值为二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C. 211 D. 213 18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2,1PO OA ==，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数 (1)根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.(1)求1t 与1()f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC ∆的面积为S .(1)设1122(,),(,)A x y C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-； （2）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值; (3)设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变. 23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n N ++-=-∈. (1)若35,n b n =+且11a =,求{}n a 的通项公式;(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}n b 的第0n 项是最大项; (3)设130a λ=<,(*)n n b n N λ=∈,求λ的取值范围,使得对任意,*m n N ∈，0n a ≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭答案 一、（第1题至第14题） 1.π 2.{1.4} 3.1142i + 4. 23- 5.16 6. 4 7. 2 8. 29. 3 10. 120 11.240 12. 22144x y -=13. 3+ 14.8 二、（第15题至第18题）15 .A 16.B 17.D 18.A 三、（第19题至第23题） 19.[解] 1112323P AOC V -=⨯⨯= 因为AC OE ,所以PAC ∠为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角由2,1PO OA OC ===,得PA PC ==,AC =在PAC中，由余弦定理得cos PAC ∠=,故异面直线PA 与OE所成的角的大小为20.[解]（1）()f x 的定义域为{0,}x x x R ≠∈,关于原点对称，2211()()f x a x ax x x-=-+=--， 当0a =时，()()f x f x -=-为奇函数当0a ≠时，由(1)1,(1)1f a f a =+-=-，知(1)(1)f f -≠-，故()f x 即不是奇函数也不是偶函数。
2015年上海市奉贤区高考数学二模试卷(文科)含详解
2015年上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．（4分）已知=3，，则=．2．（4分）已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=．3．（4分）函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为．4．（4分）若log x y=﹣2，则x2+y的值域为．5．（4分）在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是．6．（4分）以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为．7．（4分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．8．（4分）古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共人．9．（4分）如图为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓是正方形，则该几何体的侧面积为．10．（4分）从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，2恰好是中位数的概率是．11．（4分）若不等式组所确定的平面区域的面积为0，则实数a的取值范围为．12．（4分）已知函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数，又y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，若f（x）=（x＞0），则g（x）=．13．（4分）设F1，F2是曲线=1（m＞0，n＞0）的两个焦点，曲线上一点与F1，F2构成的三角形的周长是16，曲线上的点到F1的最小距离为2，则n=．14．（4分）已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，•=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），S n=，当S n最大时，n=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（5分）已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的（）A．充分且必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是（）A．3πB．2πC．πD．18．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆＜S圆环C．S圆=S圆环D．不确定三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？20．（13分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．21．（14分）平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P 满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．22．（16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥3）依次围成一个圆圈．（1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n （n≤m）满足S3=15，S2015=S2013+12a1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，a m每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8；（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．23．（18分）已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α，β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）求αf（β）+βf（α）的值；（3）判断函数y=f（x），x∈[α，β]的单调性，并证明．2015年上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．（4分）已知=3，，则=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】53：导数的综合应用．【分析】利用数列极限的运算法则即可得出．【解答】解：∵=3，，则===．故答案为：．【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．（4分）已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=﹣i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】根据复数z满足z+i=1﹣iz，移项得到z+zi=1﹣i，提出公因式z（1+i）=1﹣i，两边同除以1+i，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．【解答】解：复数z满足z+i=1﹣iz，∴z+zi=1﹣iz（1+i）=1﹣i∴z===﹣i故答案为：﹣i【点评】本题考查复数的代数形式的运算，本题解题的关键是整理出复数的表示式，再进行复数的除法运算，或者设出复数的代数形式，根据复数相等的充要条件来解题．3．（4分）函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为（﹣∞，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0恒成立，从而得到定义域．【解答】解：由题意得，x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0恒成立，故函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为（﹣∞，+∞）；故答案为：（﹣∞，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．4．（4分）若log x y=﹣2，则x2+y的值域为（2，+∞）．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】利用指数与对数的互化，化简所求表达式，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：log x y=﹣2，可得y=x﹣2，x＞0且x≠1，x2+y=x2+x﹣2=x2+＞2=2．所以x2+y的值域为：（2，+∞）；故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查函数的值域，基本不等式的应用，对数与指数的互化，考查计算能力．5．（4分）在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是﹣10．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】分别在（1+x）5﹣的展开式的通项T r=C5r x r（1+x）6展开式的通项T k+1=C6k x k，+1令r=3，k=3可求【解答】解：（1+x）5﹣的展开式的通项T r=C5r x r+1令r=3可得，T4=C53x3的展开式的通项T k=C6k x k，令k=3可得T4=C63x3+1∴含x3的项的系数是C53﹣C63=10﹣20=﹣10故答案为：﹣10【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定的项，属于基础试题6．（4分）以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可．【解答】解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=4．故答案为：（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7．（4分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题．【分析】求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可．【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．8．（4分）古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共195人．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．9．（4分）如图为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓是正方形，则该几何体的侧面积为8．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】首先根据三视图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】8；解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2，高为的正四棱锥．所以：正四棱锥的侧面的高为：，则正四棱锥的侧面积为：S=．故答案为：8【点评】本题考查的知识要点：三视图和立体图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．10．（4分）从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，2恰好是中位数的概率是．【考点】BB：众数、中位数、平均数；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意知，2之前2个数中取1个，2之后2个数中取1个共4种5个数中取3个数的情况为10种，根据概率公式计算即可【解答】解：2之前2个数中取1个，2之后2个数中取1个，情况为（0，2，3），（0，2，4），（1，2，3），（1，2，4）共4种，5个数中取3个数的情况为（0，1，2），（0，1，3），（0，1，4），（0，2，3），（0，2，4），（0，3，4），（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）共10种，故2恰好是中位数的概率是=，故答案为：【点评】本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题11．（4分）若不等式组所确定的平面区域的面积为0，则实数a的取值范围为a≤3．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】画出约束条件表示的可行域，如图求出交点A的坐标，然后结合题意，列出关于a的不等关系即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域，如图中大阴影部分，由题意A（1，2），当直线x+y=a过点A时，a=3，当a＞3时，不等式组所确定的平面区域是图中的小三角形，它的面积不为0；当a≤3时，不等式组所确定的平面区域是空集，它的面积为0；故答案为：a≤3．【点评】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．12．（4分）已知函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数，又y=f﹣1（x+1）与y=g （x）的图象关于直线y=x对称，若f（x）=（x＞0），则g（x）=log（x2+2）﹣1（x＞0）．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据y=f﹣1（x）向左平移1个单位得出y=f﹣1（x+1），利用反函数的概念图象的对称性得出f（x）图象向下平移1个单位得出g（x）的图象，即可得出g（x）的解析式．【解答】解：y=f﹣1（x）向左平移1个单位得出y=f﹣1（x+1），∵函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数∴函数y=f（x）与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，∵y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴f（x）图象向下平移1个单位得出g（x）的图象，∵f（x）=（x＞0），∴g（x）=﹣1（x＞0），故答案为：g（x）=log（x2+2）﹣1（x＞0）；【点评】本题考查了函数图象的对称性，平移问题，利用反函数的概念，图象的对称性的知识求解，知识综合较多，属于中档题．13．（4分）设F1，F2是曲线=1（m＞0，n＞0）的两个焦点，曲线上一点与F1，F2构成的三角形的周长是16，曲线上的点到F1的最小距离为2，则n= 4或5．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆的方程分类求出椭圆的半长轴长，短半轴长及半焦距，再由三角形的周长是16，曲线上的点到F1的最小距离为2列关于m，n的方程组求得n的值．【解答】解：由曲线=1（m＞0，n＞0），当m＞n时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，此时a=m，2a=2m，b=n，c2=a2﹣b2=m2﹣n2，∴．由题意可得，，解得：m=5，n=4；当m＜n时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，此时a=n，2a=2n，b=m，c2=a2﹣b2=n2﹣m2，∴．由题意可得，，解得：m=4，n=5．∴n的值为4或5．故答案为：4或5．【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，关键是注意分类讨论，是中档题．14．（4分）已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，•=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），S n=，当S n最大时，n=8或9．【考点】8E：数列的求和；9H：平面向量的基本定理．【专题】54：等差数列与等比数列；5A：平面向量及应用．【分析】由已知条件采用累加法求得=+（n﹣1），求出•的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可．【解答】解：∵=，∴向量为首项为，公差为的等差数列，则=+（n﹣1），则•=•[+（n﹣1）]=2+（n﹣1）•=4（n﹣1）=，由•=≥0，解得n≤9，即当n=9时，•=0，则当n=8或9时，S n最大，故答案为：8或9．【点评】本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限．【解答】解：由sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．故选：D．【点评】本题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是基础题．16．（5分）已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的（）A．充分且必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）﹣（a4+a5），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，综合答案可得．【解答】解：若八个正数，成等比数列公比q＞0，（a1+a8）﹣（a4+a5）=a1[（1+q7）﹣（q3+q4）]=a1[（q3﹣1）（q4﹣1）]当0＜q＜1，时（q3﹣1）＜0，（q4﹣1）＜0∴a1[（q3﹣1）（q4﹣1）]＞0当q＞1，时（q3﹣1）＞0，（q4﹣1）＞0∴a1[（q3﹣1）（q4﹣1）]＞0所以a1+a8＞a4+a5，故若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的充分非必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．17．（5分）已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是（）A．3πB．2πC．πD．【考点】H1：三角函数的周期性；H2：正弦函数的图象．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得•=π，求得ω 的值，可得f（x）的最小正周期是的值．【解答】解：由题意可得sin（wx+θ）=的解为两个不等的实数x1，x2，且•=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性，属于中档题．18．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆＜S圆环C．S圆=S圆环D．不确定【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．【解答】解：根据题意：①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：C．【点评】本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】先利用平面中的知识求出∠ABC=180°﹣45°﹣15°=120°．再利用余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosα，求出对应的时间，根据正弦定理，可得结论．．【解答】解：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5，设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°﹣45°﹣15°=120°（2分）根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosα，（14t）2=+（10t）2﹣2×4.5×10t×（﹣），（4分）128t2﹣60t﹣27=0，（4t﹣3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）（6分）∴AC=14×=，BC=10×=，（8分）根据正弦定理，得，（10分）又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，（11分）又＜＜，∴arcsin＜，甲船沿南偏东﹣arcsin的方向，用小时可以追上乙船．（13分）【点评】本题主要考查解三角形的实际应用．解决这一类型题目的关键是把文字语言转化为数学符号，用数学公式，定理，公理等知识来解．20．（13分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，运用棱柱的体积公式和解直角三角形，即可得到所求值；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，运用解直角三角形，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）依题意，B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，由，则，由D为BC的中点，BC==5，即有，由，即，∴，即侧棱BB1与底面ABC所成角为；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，B1D⊥面ABC，B1D‖CE，面ABC‖面A1B1C1∴CE⊥面A1B1C1，∴CE⊥A1E，tan∠A1CE===，所求异面直线B1D与CA1所成角为．【点评】本题考查空间角的求法，主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法，考查直线和平面的位置关系，属于中档题．21．（14分）平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P 满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C1的方程；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合条件，得到b的范围，即可得到双曲线C2的焦距的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y），则，∴曲线C1的方程为；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，所以，∵，∴，∴0＜b≤2，由双曲线C2的焦距为2，故双曲线C2的焦距的取值范围∈（2，2]．【点评】本题考查轨迹方程的求法，主要考查椭圆和双曲线的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．22．（16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥3）依次围成一个圆圈．（1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n （n≤m）满足S3=15，S2015=S2013+12a1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，a m每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8；（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．【考点】87：等比数列的性质．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，求出d，S3=3a1+3d=15，解得a1=2，可得数列{a n}的通项公式；（2）确定a n=a n﹣1a n+1，依此类推a8=a2=b；（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，再利用反证法进行证明即可．【解答】解：（1）因a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，从而（1分）由S2015=S2013+12a1，a2015+a2014=12a1，（2分）故解得d=3或d=﹣4（舍去）（3分）因此d=3，又S3=3a1+3d=15，解得a1=2（4分）从而当n≤1008时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1（5分）当1009≤n≤2015时，由a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列得（1009≤n≤2015），因此（6分）（2）由题意，∴a n=a n﹣1a n+1，（7分）得，（8分）a7=a1=a（9分）依此类推a8=a2=b（10分）（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，（11分）得又，（12分）④故有．⑤（13分）若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由此得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，（14分）由②得，而此推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，（15分）同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数．（16分）【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，有难度．23．（18分）已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α，β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）求αf（β）+βf（α）的值；（3）判断函数y=f（x），x∈[α，β]的单调性，并证明．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断；3T：函数的值．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）讨论m=0，和m≠0，并且显然能得到m=0时f（x）为奇函数，而m≠0时f（x）非奇非偶，对于这种情况举反例说明即可；（2）先得到f（x）的特征方程为：x2﹣mx﹣1=0，而根据韦达定理即可得到α+β=m，αβ=﹣1，并且，从而便可求出=﹣m2﹣2；（3）利用单调性的定义来判断f（x）的单调性：设α＜x1＜x2＜β，作差判断f （x1）﹣f（x2）的符号即可得出f（x）在[α，β]上的单调性．【解答】解：（1）①m=0时，是奇函数；②m≠0时，f（﹣1）=，f（1）=；∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1）；∴是非奇非偶函数；（2）∵；∴△=m2+4＞0恒成立；∴α+β=m，αβ=﹣1；∵；∴=；∴αf（β）+βf（α）=﹣m2﹣2；（3）设α＜x1＜x2＜β，则：；∵α＜x1＜x2＜β＜x2；∴，；∵；∴；∴2x1x2﹣m（x1+x2）﹣2＜0；∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x）在[α，β]内单调递增．【点评】考查奇函数的定义，举反例来说明一个函数非奇非偶的方法，韦达定理，一元二次方程取得实根的情况和判别式△的关系，以及利用单调性的定义判断函数单调性的方法和过程，基本不等式的应用，熟悉二次函数的图象．。
2015年上海高考数学文科试卷带详解
2014年上海普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数2()13sin f x x =-的最小正周期为 . 【参考答案】π【测量目标】考查二倍角公式，三角函数的周期 【试题分析】()213sin f x x =- 31cos 222x =-，()f x ∴的最小正周期为2π2ππ2T ω===. 2.设全集U =R .若集合{}1,2,3,4A =,{}|23B x x =剟，则U A B ð= .【参考答案】{1,4}【测量目标】考查集合交集及其基本运算【试题分析】{}23U B x x =<> 或ð{}1,4U A B ∴= ð. 3.若复数z 满足31+i z z +=，其中i 为虚数单位，则z = . 【参考答案】11i 42+ 【测量目标】考查复数的计算【试题分析】设i z a b =+，则由31+i z z +=得42i 1i a b +=+，41,2 1.a b =⎧∴⎨=⎩即1,412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11i 42z ∴=+. 4.设1()fx -为()21x f x x =+的反函数，则1(2)f -=_____. 【参考答案】23-【测量目标】考查反函数 【试题分析】()21x f x x =+ ，()()21f x x f x -∴=-.即()121x f x x --=-.()1223f -∴=-. 5.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为3,5,x y =⎧⎨=⎩则12c c -=_____. 【参考答案】16【测量目标】考查线性方程组 【试题分析】由题意:12233015c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，1221,5.c c =⎧∴⎨=⎩即1216c c -=. 6.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =_____. 【参考答案】4【测量目标】考查立体几何的基本运算 【试题分析】正三棱柱的体积为∴122a a a ⨯⨯⨯=4a =. 7.抛物线22y px =(0)p >上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_____. 【参考答案】2【测量目标】考查抛物线的性质【试题分析】 抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离.∴当动点Q 到焦点的距离最小时，有距离12Q p d x =+=，当且仅当0Q x =时距离最小，此时12p=即2p =. 8.方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为_____. 【参考答案】2【测量目标】考查对数方程【试题分析】12log (95)x -- ，12log (32)x --定义域分别为3log 522x +>,31log 2x >+，且又 1122log (95)log (32)2x x ---=-+，即12195log 232x x ---=-,∴()21134330x x ---+= .令13x t -=,则2430t t -+=.即得1t =或3t =,1x ∴=或2x =,又定义域须满足1x >,2x ∴=.9.若x 、y 满足0,2,0,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩………则目标函数2z x y =+的最大值为____.【参考答案】3【测量目标】考查二元线性规划求目标函数最值【试题分析】由题意约束条件所形成的线性区域的三个交点为(0,0)，(2,0)，(1,1)；且目标函数可转化为22x zy =-+，可见在点(1,1)时函数的截距最大，此时z 取得最大值即23z x y =+=.10.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_____(结果用数值表示). 【参考答案】120【测量目标】考查排列组合的基本运用【试题分析】 条件要求男、女教师都有.∴从选择男教师的角度分析有三种可能，即选择1名、2名或3名，此时对应的女教师有4名、3名或2名三种不同的选择.∴不同的选取方式的种数为142332363636C C +C C +C C=45+15+60=120. 11.在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于______(结果用数值表示).【参考答案】240【测量目标】考查二项式基本定理【试题分析】 二项式6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为242246621C (2)()C 2240x x ==. 12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为2214x y -=.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为__________.【参考答案】22144x y -= 【测量目标】考查双曲线的基本性质和双曲线方程【试题分析】 双曲线1C 、2C 的顶点重合∴在双曲线2C 中2a =.又 2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的2倍.即得21222C b = 22C b ∴=.故2C 的方程为22144x y -=. 13.已知平面向量,,a b c满足a b ⊥ ，且{}{},,1,23a b c = ，则a b c ++ 的最大值是_____. 【参考答案】3【测量目标】考查平面向量的基本运算【试题分析】 2a b c ++ 222a b c =++ 222a b a c b c +++. 22222a b c a c b c =++++ 2222()a b c c a b =++++,142cos c a b c a b c a b <+>=+++,14cos c a b c a b<+>=++.即2a b c ++的最大值为14+∴a b c ++的最大值为314.已知函数()sin .f x x =若存在12,,,m x x x 满足1206πmx x x <<< 剟，且12231()()()()()()12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-= ()*2,m m ∈N …，则m 的最小值为______.【参考答案】8【测量目标】考查三角函数性质和绝对值方程的求解 【试题分析】()sin 1f x x = …当且仅当π2π2x k =+时取等号成立. 又 12231()()()()()()12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-= 和12,,,m x x x 满足1206πm x x x <<< 剟,12378π11π0,,π,,6π.22x x x x x ∴===== ∴m 最小值为8. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15．设12,z z ∈C ,则“12z z 、均为实数”是“12z z -是实数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【参考答案】A【测量目标】考查充要条件，复数的基本运算【试题分析】显然由12,z z 均为实数可得12z z -是实数，另一方面，设134i z =+，254i z =+，则122z z -=-此时12z z -是实数而12,z z 均为复数，矛盾. “12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的充分非必要条件.∴答案选A. 16．下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是（ ）A.2(8)(23)2x x x +++< B.282(23)x x x +<++C.212238x x x <+++D.223182x x x ++>+ 【参考答案】B【测量目标】考查不等式的解集【试题分析】223x x ++ 2(1)2x =++2…∴直接可得282(23)x x x +<++与28223x x x +<++是等价的，∴它们的解集是相同的. ∴答案选B.17.已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ,则点B 的纵坐标为（ ）C.112D.132【参考答案】D【测量目标】考查平面直角坐标 【试题分析】由题意知1sin 7θ=，∴cos θ=B 点的纵坐标πsin()3y OB θ=+ .其中7OA OB ==,代入解得132y =.∴答案选D.18.设(,)n n nP x y 是直线21nx y n -=+()*n ∈N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞--=（ ） A.1- B.12-C.1D.2 【参考答案】A【测量目标】考查直线与圆，极限的计算 【试题分析】当n →∞时，直线21n x y n -=+趋近于21x y -=，与圆222x y +=在第一象限的交点无限靠近(1,1),而11n n y x --可看作(,)n n n P x y 与点(1,1)连线的斜率.其值会无限接近圆222x y +=在点(1,1)处的切线的斜率，其斜率为-1.∴ 1lim1n n n y x →∞--=-1.∴答案选A. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ,底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧 AB 的中点，E 为劣弧 CB的中点.已知2PO =,1OA =.求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.第19题图【测量目标】考查体积的计算，异面直线所成的角 【试题分析】1112323P AOC V -=⨯⨯=.因为AC OE ∥，所以PAC ∠为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角.由2PO =，1OA OC ==,得PA PC ==，AC =.在△PA C 中，由余弦定理得cos 10PAC ∠=，故异面直线PA 与OE所成的角的大小为arccos 10. 20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[]1,2上的单调性，并说明理由. 【测量目标】考查函数的奇偶性和单调性【试题分析】(1)()f x 的定义域为{}|0,x x x ≠∈R ，关于原点对称. ()f x -=2211()a x ax x x-+=--,当0a =时，()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数.当0a ≠时，由(1)1f a =+，(1)1f a -=-，知(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数. (2)设1212x x <剟，则21()()f x f x -22212111ax ax x x =+--=21()x x -()12[a x x +- 121]x x ，由1212x x <剟，得210x x ->，1224x x <+<，1214x x <<，121114x x -<-<-，又13a <<，所以122()12a x x <+<，得()21a x x +1210x x ->，从而()21()0f x f x ->，即21()()f x f x >，故当()1,3a ∈时，()f x 在[]1,2上单调递增.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，,,O P Q 三地有直道相通，OP =3千米，PQ =4千米，OQ =5千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地,经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ,速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地.第21题图（1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t 剟时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]12,t t 上的最大值是否超过3？说明理由. 【测量目标】考查三角函数，平面直角坐标系【试题分析】 (1)138t =.记乙到P 时甲所在地为R ，则158OR =千米.在OPR △中，2222cos PR OP OR OP OR O =+-∠ ，所以1()f t PR ==千米). (2)278t =.如图建立平面直角坐标系.设经过t 小时，甲、乙所在位置分别为M 、N .当37,88t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，(3,4)M t t ，(3,83)N t -，()f t =()f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3()8f =，不超过3.第21题图22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D .记AOC △的面积为S .(1) 设()11,A x y ，()22,C x y .用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-； (2) 设1l ：y kx =，C ，13S =，求k 的值；(3) 设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 【测量目标】考查椭圆的基本性质，直线与椭圆的关系 【试题分析】 (1)直线1l ：110y x x y -=，点C 到1l的距离d =因为OA =12211122S OA d x y x y ==- . (2)由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得21211+2x k =.由(1),122112S x y x y =-113x kx =-=13=，解得15k =-或1-.(3)设1l ：y kx =，则2l ：my x k =.设()11,A x y ，()22,C x y .由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得212112x k=+，同理2222221212()k x m k mk==++.由(1),122112S x y x y =- 122112x mx x kx k =- 21212k m x x k -==，整理24222222(81)(4162)(81)0S k S S m m k S m -++++-=.由题意知，S 与k 无关，则2222810,41620,S S S m m ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩得21,81.2S m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，12m =-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，*.n ∈N(1) 若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；(2) 设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a …()*n ∈N .求证：{}n b 的第0n 项是最大项； (3) 设130a λ=<，n n b λ=()*n ∈N .求λ的取值范围，使得对任意*,m n ∈N ，0n a ≠，且1(,6)6m n a a ∈. 【测量目标】考查数列的基本性质及通项公式的计算【试题分析】 (1)由13n n b b +-=，得16n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列，故{}n a 的通项公式为65n a n =-，*n ∈N .(2)证明：由11()2()n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-.所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-.因为0n n a a …，*n ∈N ，所以01122n b a b +-1122n b a b +-…，即0n n b b ….故{}n b 的第0n 项是最大项.(3)因为n n b λ=，所以()112n nn n a a λλ++-=-，当2n …时，n a =()1n n a a --()()12211n n a a a a a --+-++-+ ()()()11222223n n n n λλλλλλλ---=-+-++-+ 2n λλ=+.当1n =时，13a λ=，符合上式.所以2n n a λλ=+.因为130a λ=<，且对任意*n ∈N ，11(,6)6n a a ∈，故0n a <.特别地，2220a λλ=+<，于是1(,0)2λ∈-.此时对任意*n ∈N ，0n a ≠.当102λ-<<时，222n n a λλλ=+>，21212n n a λλλ--=-+<，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值为2220a λλ=+<，最小值为13a λ=.由题意，mna a 的最大值及最小值分别为12321a a λ=+及21213a a λ+=.由21136λ+>及3621λ<+，解得104λ-<<.综上所述，λ的取值范围为1(,0)4-.。
上海闵行区2015届高三下学期质量调研考试(一模)数学文试题(Word版含答案)
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，则U A =ð ． 2．若复数z 满足(2)(1)2z i i ++=（i 为虚数单位），则z = ．3．函数()cos f x x x =,若1()2f a =，则()f a -= ．4．计算221lim 4n n n n→∞+=+ ．5．若x 满足48x=,则x = . 6．已知2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，sin cos 22θθ-cos θ= ．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .8．口袋中有形状、大小都相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是 ．9．已知正方形ABCD 的边长为2，M 是正方形ABCD 四边上的动点，则AB AM ⋅的最大值为 ．10．函数22|log 2||log |y x x =+ 的最小值为 ．11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则方程()2h x =的解为 .12．已知12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则mn 的最大值为 .13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，若0AB AC ⋅<，则下列结论中：①ABC △是钝角三角形； ②222a b c >+； ③cos cos sin sin B C B C >； ④sin cos B C >． 其中错误．．结论的序号是 ． 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，写出一个满足条件的1a 的值为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆22:1O x y +=和直线:l y kx =1k =是圆O 与直线l 相切的（ ）(A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.16． 8(2)x -展开式中各项系数的和为 ( )(A)1-. (B)1. (C)256.(D)256-.17．已知()y f x =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是 ( )(A)若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<.(B)若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(),a b 内没有零点.(C)若()f x 在区间(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(),a b 内有零点.(D) 如果函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在区间(),a b 内有零点.18．数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ.则 ( )(A) 12λλ>. (B) 12λλ=.(C)12λλ<. (D) 1λ与2λ的大小关系与公差d 的正负有关.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠===，三棱锥1A ABC -的体积为83．求直线B A 1与1CC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x =-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元). （注：利润=销售收入-成本）(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，已知椭圆Γ上的点41,33P ⎛⎫⎪⎝⎭到12F F 、的距离之和为 （1）求椭圆Γ的方程；CB1C 1B1AA（2）若椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求直线CD 的方程．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知函数221()2(sin cos 2f x x x x =+-（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m --=，求实数m 的取值范围； （3）求证：任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 为等差数列，满足142()n n a a n n *++=+∈N ，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得222()392p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件 的,p q ；若不存在，说明理由； （3）记集合|,nn S M n n b λ*⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭N ，若M 中共有5个元素，求实数λ的取值范围.闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．（理）1，（文）32； 6．54-； 7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理)，(文)4； 10．(理)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文) 1； 11．（理）5，(文) 14x =；12．13．(文理) ④； 14．（理）{}1,3,67---，（文）1-或3-或67- 二. 选择题 15． B ； 16． B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题 19．（文） 11111183323A ABC BC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A 11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒= ………………………………4分11//BB CC ， 11A BB ∴∠是直线B A1与直线1CC 所成的角 ……6分11111tan 2A B A BB BB y ∴∠===………………………10分11arctan2A BB ∴∠= 所以直线B A 1与1CC所成的角为arctan 2………………12分 19．（理）法一：1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分 设1CC y =1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=， ……………8分 所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =． 得点(020)B ，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 则1(22)A B y =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． …………………4分 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，则11sin 468A B ny A B n θ⋅===⇒=⋅，……………8所以11111111111113323C A BC A C BCC BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 20． (1) 40000()(1640)164360W xR x x x x=-+=--+10100x <<，……6分 (2) 解400001643602760W x x=--+≥ ………………12分 得2(50)0x -≤时， 所以50x =.答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =. …………………14分 21．（文）（1） 2a a =⇒=………………3分将点P 的坐标代入方程22212x y b+=得281199b +=⇒21b = ………6分 所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分 （2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=-- ………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、 设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+ ………………9分 将1(1)2y k x =-+代入2222x y +=得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--= 由212242221k kx x k -+==+得1k =- ………………12分 所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 21．（理）(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a+=,解得22a = ……3分 又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅= 又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b =-，24(,)33b F P c =-，所以24()033b c c --+= 而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c = ………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分 （2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分 将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12|||3CD x x =-===………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分 则2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-= 两等式相减得1132y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12|||CD x x =-===．……14分 22．（1）（文理）221()cos 22sin cos 2f x x x x x =+-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2分 函数()f x 的最小正周期T π= ………………………………4分（2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=-∈-- …………………8分（理）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m 的取值范围为(),1-∞-.……10分 （文）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数m 的取值范围为[]2,1--.……10分 （3）（理）存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分 （文理）当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-- ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==-- ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒-- ⎪⎝⎭ ………………14分设11()a f x =，则[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤ ∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分23．（文） （1）法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+= 所以31242a a d d -==⇒=，所以12a =故2,n a n = ……………………………2分 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2n n b = ……………………………4分 法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+， 又142()n n a a n n *++=+∈N ，所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2n a n = ………………2分 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2n n b = ……………………………4分 （2）假设存在,p q *∈N 满足条件，则244)2392q p +-=（化简得2324472q p p -+-= ……………………………6分 由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q =得22244712240p p p p +-=⇒+-= ……………………8分 故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分（3）易得2n S n n =+，则22n nn S n n b +=， ……………………12分 下面考察数列2()2nn nf n +=的单调性， 因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f =21(6),32f =……………………………16分 因为M 中的元素个数为5，所以不等式,nnS n b λ*≥∈N 解的个数为5， 故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤⎥⎝⎦. ……………………………18分 23．（理） （1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。
上海市闵行区2015届高考模拟二模试题
上海市闵行区2015届高考模拟二模试题高三2013-05-07 10:08闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试语文试卷考生注意：1．答题前，考生务必在答题纸上将自己的姓名、准考证号、所在学校及班级等填写清楚。
2．所有试题的答案必须全部涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，写在试卷上一律不给分。
答题时应注意试题题号和答题纸题号一一对应，不能错位。
3．本试卷共6页。
满分150分。
考试时间150分钟。
一阅读 80分（一）阅读下文，完成第1—6题。
（16分）①仅仅在刚刚过去的2012年，我们便听到了众多老牌纸媒的噩耗。
拥有79年历史的美国老牌杂志《新闻周刊》宣布，最后一期印刷版杂志发行后停刊，全面转向数字杂志。
德国《纽伦堡晚报》、《法拉克福论坛报》、《德国金融时报》相继停刊，法国第二大经济类报纸《论坛报》也寿终正寝。
这股“纸媒之死”的洪流当然也淹没了图像类新闻杂志。
②早在1972年美国《LIFE》第一次停刊之时，专栏作家沙纳·亚历山大当时还不肯相信：“摄影杂志没有死，人们既未停止阅读，也没有丧失对周围世界的兴趣。
”这话说得固然不错，然而他没有料到脱离了纸这种介质，人们依然可以通过电子屏幕观看图像，亦能够畅游网络，保持着对周围世界更浓厚的兴趣。
我们可以通过Google Books阅读自《LIFE》创刊至1972年的所有文章，也能够看到它所有的精彩版面。
像纸张扼杀竹简一样，数字化把成吨的纸张简化到一张光盘上。
今天这个时代并没有失去任何新闻和惊心动魄的照片。
相反的，图像类纸质媒体和新闻摄影师们却正感到自己失去了一个时代。
③然而旧的死去并不一定是件坏事。
正如法国VU图片社创始人Christian说道：“我们已经有了获取新闻和图片的新渠道。
纸张可以算的上是一种奢侈行为。
我们为什么还要砍伐大量树木，污染大片水源？”况且，新形式的报道并不亚于传统媒体。
轰动一时的“维基解密”就是新式媒体的代表。
2010年7月，维基联合《卫报》发布“阿富汗战争日记”专题，内容包含超过几万份关于阿富汗战争的文档。
上海市闵行区2015届高三数学下学期质量调研考试(一模)试卷 文
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试卷〔文科〕〔总分为150分，时间120分钟〕 考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、某某号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题〔本大题总分为56分〕本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否如此一律得0分．1．集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，如此UA =．2．假设复数z 满足(2)(1)2z i i ++=〔i 为虚数单位〕，如此z = ．3．函数()cos f x x x =,假设1()2f a =，如此()f a -=．4．计算221lim 4n n n n →∞+=+．5．假设x 满足48x =,如此x = . 6．2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sincos22θθ-=，如此cos θ= ．7. 假设圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，如此该圆锥的体积为 . 8．口袋中有形状、大小都一样的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，如此摸出的两球颜色不一样的概率是 ．9．正方形ABCD 的边长为2，M 是正方形ABCD 四边上的动点，如此AB AM ⋅的最大值为 ． 10．函数22|log 2||log |y x x =+ 的最小值为 ．11．函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，如此方程()2h x =的解为 .12．12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，如此mn 的最大值为 .13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，假设0AB AC ⋅<，如此如下结论中：①ABC △是钝角三角形； ②222a b c >+； ③cos cos sin sin B C B C >； ④． 其中错误结论的序号是 ．14．数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-〔p 为常数，0p ≠且1p ≠〕，假设{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，写出一个满足条件的1a 的值为 ．二．选择题〔本大题总分为20分〕本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否如此一律得0分．15．圆22:1O x y +=和直线:l y kx =+1k =是圆O 与直线l 相切的〔 〕 (A)充要条件. (B)充分不必要条件. (C)必要不充分条件.(D)既不充分也不必要条件.16． 8(2)x -展开式中各项系数的和为 ( )(A)1-. (B)1. (C)256. (D)256-.17．()y f x =是定义在R 上的函数，如下命题正确的答案是 ( )(A)假设()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，如此有()()0f a f b ⋅<.(B)假设()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，如此其在(),a b 内没有零点.(C)假设()f x 在区间(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，如此其在(),a b 内有零点.(D) 如果函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，如此其在区间(),a b 内有零点.18．数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为nS ，假设记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ.如此 ( ) (A)12λλ>. (B)12λλ=.(C) 12λλ<. (D)1λ与2λ的大小关系与公差d 的正负有关.三.解答题〔本大题总分为74分〕本大题共有5题，解答如下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．〔此题总分为12分〕如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠===，三棱锥1A ABC -的体积为83．求直线B A 1与1CC 所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕.20．〔此题总分为14分〕此题共有2个小题，第(1)小题总分为6分，第(2)小题总分为8分． 某公司生产电饭煲，每年需投入固定本钱40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动CB1C 1B1AA本钱．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x =-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元).〔注：利润=销售收入-本钱〕(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．〔此题总分为14分〕此题共有2个小题，每一小题总分为各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，椭圆Γ上的点41,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到12F F 、的距离之和为 〔1〕求椭圆Γ的方程；〔2〕假设椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求直线CD 的方程．22．〔此题总分为16分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分为4分，第(2)小题总分为6分，第(3) 小题总分为6分．函数221()2(sin cos 22f x x x x =+-〔1〕求函数()f x 的最小正周期；〔2〕假设存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m --=，求实数的取值范围； 〔3〕求证：任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立.23．〔此题总分为18分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分为4分，第(2)小题总分为6分，第(3)小题总分为8分．数列{}n a 为等差数列，满足142()n n a a n n *++=+∈N ，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立.〔1〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔2〕是否存在,p q *∈N ，使得222()392p q a b +-=成立，假设存在，求出所有满足条件的,p q ；假设不存在，说明理由；〔3〕记集合|,n n S M n n b λ*⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭N ，假设M 中共有5个元素，求实数λ的取值范围.闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．〔理〕1，〔文〕32； 6．54-；7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理，(文)4； 10．(理)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文)1； 11．〔理〕5，(文)14x =；12． ； 13．(文理)④；14．〔理〕{}1,3,67---，〔文〕1-或3-或67-二. 选择题15． B ； 16．B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题19．〔文〕11111183323A ABC BC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A 11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒=………………………………4分11//BB CC ， 11A BB ∴∠是直线B A 1与直线1CC 所成的角……6分11111tan A B A BB BB ∴∠===………………………10分11arctan2A BB ∴∠=所以直线B A 1与1CC所成的角为arctan2………………12分19．〔理〕法一：1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分设1CC y =1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =． 得点(020)B ，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 如此1(22)A B y =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． …………………4分设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ， 如此，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BCC BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分20． (1)40000()(1640)164360W xR x x x x =-+=--+……6分(2) 解400001643602760W x x =--+≥………………12分得2(50)0x -≤时，所以50x =.答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =.…………………14分 21．〔文〕〔1〕2a a =⇒=3分将点P 的坐标代入方程22212x y b +=得281199b +=⇒21b =………6分 所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分〔2〕法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、如此2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+=………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+………………9分将1(1)2y k x =-+代入2222x y +=得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--=由212242221k kx x k -+==+得1k =-………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分21．〔理〕(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a +=,解得22a =……3分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅=又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b =-，24(,)33bF P c =-，所以24()033b c c --+=而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c =………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分〔2〕法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，如此2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+=………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||3CD x x =-===………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分如此2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-=两等式相减得1132y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||3CD x x =-===．……14分22．〔1〕〔文理〕221()cos 22sin cos 2f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，……………2分函数()f x 的最小正周期T π=………………………………4分〔2〕当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈--…………………8分〔理〕存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数的取值范围为(),1-∞-.……10分 〔文〕存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数的取值范围为[]2,1--.……10分 〔3〕〔理〕存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分 〔文理〕当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==-+ ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭………………14分设11()a f x =，如此[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分 23．〔文〕 〔1〕法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+=所以31242a a d d -==⇒=，所以12a =故2,n a n =……………………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+①对任意的n *∈N 恒成立 如此1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+〔2n ≥〕 ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2nn b =……………………………4分法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，又142()n n a a n n *++=+∈N ，所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N 所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2n a n =………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+①对任意的n *∈N 恒成立 如此1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+〔2n ≥〕 ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2nn b =……………………………4分〔2〕假设存在,p q *∈N 满足条件，如此244)2392q p +-=（ 化简得2324472q p p -+-=……………………………6分由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q = 得22244712240p p p p +-=⇒+-=……………………8分 故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分〔3〕易得2n S n n =+，如此22n n n S n n b +=， ……………………12分 下面考察数列2()2n n n f n +=的单调性， 因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f =21(6),32f =……………………………16分因为M 中的元素个数为5，所以不等式,n n S n b λ*≥∈N 解的个数为5，故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………18分23．〔理〕 〔1〕法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。
2015年高考数学(文)试题(上海题)含答案
2
21. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
如图， O , P, Q 三地有直道相通， OP 3 千米， PQ 4 千米， OQ 5 千米，现甲、乙两警员同时从
O 地出发匀速前往 Q 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f (t ) （单位：千米）.甲的路线是 OQ ，速度为 5 千 米/小时， 乙的路线是 OPQ ， 速度为 8 千米/小时， 乙到达 Q 地后在原地等待.设 t t1 时， 乙到达 P 地，t t2 时，乙到达 Q 地. (1)求 t1 与 f (t1 ) 的值；
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文
2015 年上海市文科试题
一．填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对得 4 分，否则一律零分） 1.函数 f ( x ) 1 3 sin x 的最小正周期为. 2.设全集 U R .若集合 A {1,2,3,4} ， B {x | 2 x 3} ，则 A (CU B ) . 3.若复数 z 满足 3 z z 1 i ，其中 i 是虚数单位，则 z . 4.设 f
x 1 2
5) log 2 (3 x 1 2) 2 的解为.
x y 0 9.若 x, y 满足 x y 2 ，则目标函数 f x 2 y 的最大值为. y 0
10. 在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取 方式的种数为 11.在 ( 2 x （结果用数值表示）. （结果用数值表示）.
2015年上海市闵行区高考数学二模试卷(文科)含详解
2015年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）用列举法将方程log3x+log3（x+2）=1的解集表示为．2．（4分）若复数z满足z•（1+i）=2（其中i为虚数单位），则|z+1|=．3．（4分）双曲线=1的两条渐近线的夹角的弧度数为．4．（4分）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．5．（4分）二项式（2x﹣1）5的展开式中，x2项的系数为．6．（4分）已知等比数列{a n}满足a2=2，a3=1，则=．7．（4分）如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x+y﹣2的最小值等于．8．（4分）空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB的长度为．9．（4分）给出条件：①x1＜x2，②|x1|＞x2，③x1＜|x2|，④x12＜x22．函数f（x）=|sinx|+|x|，对任意，能使f（x1）＜f（x2）成立的条件的序号是．10．（4分）已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）2=a n2﹣2a n+2（n∈N*），则使a2015＞2015成立的正整数a1的一个值为．11．（4分）斜率为的直线与焦点在x轴上的椭圆x2+=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为．12．（4分）函数f（x）=log a x+ax2﹣2在区间（0，1）内无零点，则实数a的范围是．13．（4分）已知点P是半径为1的⊙O上的动点，线段AB是⊙O的直径．则的取值范围为．14．（4分）已知函数f（x）=，g（x）=，若对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2C．D．16．（5分）从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有（）A．14种B．48种C．72种D．120种17．（5分）函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，则b﹣a的最大值是（）A．πB．C．D．2π18．（5分）如图，已知直线l⊥平面α，垂足为O，在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=2，点P是边AC的中点．该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1）A∈l，（2）C∈α．则|+|的最大值为（）A．2B．2C．1+D．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，求此圆锥的全面积与体积．20．（14分）设三角形ABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且B=．若△ABC不是钝角三角形，求：（1）角C的范围；（2）的取值范围．21．（14分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．22．（16分）已知两动圆和（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足：=0．（1）求曲线C的方程；（2）若A的坐标为（﹣2，0），求直线AB和y轴的交点N的坐标；（3）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标．23．（18分）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．2015年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）用列举法将方程log3x+log3（x+2）=1的解集表示为{1} ．【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】由对数运算知方程可化为x（x+2）=3，且x＞0；从而解出解，再用列举法表示即可．【解答】解：∵log3x+log3（x+2）=1，∴log3x（x+2）=1，且x＞0；∴x（x+2）=3，且x＞0；解得，x=1；故答案为：{1}．【点评】本题考查了对数的运算与化简，同时考查了集合的表示法，属于基础题．2．（4分）若复数z满足z•（1+i）=2（其中i为虚数单位），则|z+1|=．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．【分析】先求出复数z，再求|z+1|．【解答】解：∵复数z满足z•（1+i）=2，∴z==1﹣i，∴|z+1|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查复数的化简，考查复数的模，比较基础．3．（4分）双曲线=1的两条渐近线的夹角的弧度数为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线=1两条渐近线的方程，得到直线的倾斜角，即可得到结论．【解答】解：双曲线=1的两条渐近线的方程为：y=±x，所对应的直线的倾斜角分别为，∴双曲线=1的两条渐近线的夹角等于．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角，属于基础题．4．（4分）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据半角的正切公式进行求解即可．【解答】解：∵cosα=，且α∈（0，π），∴sinα=，则tan===，故答案为：．【点评】本题主要考查半角的正切公式的应用，比较基础．5．（4分）二项式（2x﹣1）5的展开式中，x2项的系数为﹣40．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】直接写出二项展开式的通项，由x得次数为2求得r，则x2项的系数可求．【解答】解：二项式的通项=，由r=2，得x2项的系数为．故答案为：﹣40．【点评】本题考查了二项式定理，考查了二项式的系数，是基础的计算题．6．（4分）已知等比数列{a n}满足a2=2，a3=1，则=8．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得：q，a1，利用=，即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a3=1，∴a1q=2，=1，解得q=，a1=4，∴===8．故答案为：8．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列极限，考查了计算能力，属于中档题．7．（4分）如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x+y﹣2的最小值等于﹣3．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x可得当直线经过点A（﹣2，1）时，z取最小值，代值计算可得．【解答】解：作出线性约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=﹣x+2+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（﹣2，1）时，截距2+z取最小值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=﹣2+1﹣2=﹣3故答案为：﹣3．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．（4分）空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB的长度为．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出，正方体的体对角线，符合题意，根据图形求解即可．【解答】解：∵空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，∴把它放到正方体中研究得出：可判断出正方体的棱长为1，体对角线为，∴线段AB为故答案为：．【点评】本题考查了简单几何体的三视图的知识，构建常见的几何体，镶嵌其中即可，属于中档题，需要很好的空间思维能力．9．（4分）给出条件：①x1＜x2，②|x1|＞x2，③x1＜|x2|，④x12＜x22．函数f（x）=|sinx|+|x|，对任意，能使f（x1）＜f（x2）成立的条件的序号是④．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由函数的解析式可得f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，函数f（x）在[﹣，0]上是减函数，在[0，]上是增函数，从而求得对任意，都有f（x1）＜f（x2）成立的条件．【解答】解：由于函数f（x）=|sinx|+|x|为偶函数，它的图象关于y轴对称，函数f（x）在[﹣，0]上是减函数，在[0，]上是增函数，要使对任意，都有f（x1）＜f（x2），只有x12＜x22 ，故答案为：④．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，函数的图象特征，属于中档题．10．（4分）已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）2=a n2﹣2a n+2（n∈N*），则使a2015＞2015成立的正整数a1的一个值为2015．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由数列递推式得到数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得通项后再由a2015＞2015求得正整数a1的一个值．﹣1）2=a n2﹣2a n+2，得【解答】解：由（a n+1，则数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴，则，即，取，由a2015＞2015，得，即，∵a1是正整数，∴a1≥2015．故答案为：2015．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题．11．（4分）斜率为的直线与焦点在x轴上的椭圆x2+=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，结合图形，得出直线与椭圆两交点坐标，根据两点间的斜率公式，求出焦距；【解答】解：由题意知：直线与椭圆两交点的横坐标为﹣c，c，纵坐标分别为﹣，，∴由直线的斜率为，可得=转化为：2b2=ac，2（a2﹣c2）=ac，a=1，即2c2+﹣2=0，解得c=，（负根舍去）∴椭圆的焦距为：；故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的几何性质及直线的斜率公式和离心率公式的应用问题，也考查了点到直线的距离公式的应用问题，是中档题．12．（4分）函数f（x）=log a x+ax2﹣2在区间（0，1）内无零点，则实数a的范围是（1，2] ．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，从而由函数零点判定定理及函数的单调性判断实数a的范围．【解答】解：若0＜a＜1时，f（x）=log a x+ax2﹣2在定义域内连续，且f（x）→+∞，f（1）=0+a﹣2＜0，故函数f（x）=log a x+ax2﹣2在区间（0，1）内有零点；若a＞1时，函数f（x）=log a x+ax2﹣2在区间（0，1）上是增函数，且f（x）→﹣∞，故只需使f（1）≤0，即a﹣2≤0，故a≤2，故实数a的范围是（1，2]；故答案为：（1，2]．【点评】本题考查了函数单调性的判断与应用及函数零点判定定理的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于基础题．13．（4分）已知点P是半径为1的⊙O上的动点，线段AB是⊙O的直径．则的取值范围为[﹣4，4] ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】以AB所在直线为x轴，圆心O为原点，建立如图所示的直角坐标系xOy．设A（﹣1，0），B（1，0），P（m，n），求出向量AB，PA，PB的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和点在圆上的性质，即可得到所求范围．【解答】解：以AB所在直线为x轴，圆心O为原点，建立如图所示的直角坐标系xOy．设A（﹣1，0），B（1，0），P（m，n），则=（m+1，n），=（m﹣1，n），=（2，0），即有=2（m+1）+2（m﹣1）=4m，由﹣1≤m≤1，可得﹣4≤4m≤4．即有的取值范围是[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查坐标法的运用和点在圆上的性质，属于中档题．14．（4分）已知函数f（x）=，g（x）=，若对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2）可化为f（x）max≤g（x）min，由基本不等式可知g（x）min=﹣；再分段讨论确定函数f（x）可能的最大值，从而可得+k≤﹣，从而解得．【解答】解：若对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2），则f（x）max≤g（x）min，当x=0时，g（x）=0，当x＞0时，g（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜0，故g（x）min在（﹣∞，0）上取得，g（x）==≥=﹣（当且仅当x=﹣1时，等号成立）；故g（x）min=﹣；当x＞1时，f（x）=﹣+x＜﹣；当x≤1时，f（x）=﹣x2+x+k=﹣（x﹣）2++k；故f（x）max≤g（x）min可化为+k≤﹣，故k≤﹣；故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的应用及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2C．D．【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：对于A：由a＜b＜0，得：a2＞ab，故A错误；对于B：若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，b＜0，∴﹣ab＜﹣b2，故B正确；对于C：由a＜b＜0，两边同除以ab得：＜，即＞，故C错误；对于D：0＜＜1，＞1，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．16．（5分）从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有（）A．14种B．48种C．72种D．120种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】12：应用题；5O：排列组合．【分析】要求最后一个节目必须是合唱，有2种方法，前3个节目，共有=60种方法，利用乘法原理可得结论．【解答】解：要求最后一个节目必须是合唱，有2种方法，前3个节目，共有=60种方法，所以这个节目单的编排方法共有2×60=120种方法．故选：D．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．17．（5分）函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，则b﹣a的最大值是（）A．πB．C．D．2π【考点】HW：三角函数的最值．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意结合三角函数的图象，取值可得．【解答】解：∵函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，∴不妨取a=，b=，此时可得b﹣a的最大值为，故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．18．（5分）如图，已知直线l⊥平面α，垂足为O，在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=2，点P是边AC的中点．该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1）A∈l，（2）C∈α．则|+|的最大值为（）A．2B．2C．1+D．【考点】91：向量的概念与向量的模．【专题】35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】将问题转化为求平面内两点间的距离最大问题：以O为原点，OA为y 轴，OC为x轴建立直角坐标系，设∠ACO=θ，B（x，y），求出O、C两点间的最大距离即可．【解答】解：以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图所示；∵+=，∴|+|=||，又∵AC=BC=2，AB=2，∴△ABC是Rt△；设∠ACO=θ，B（x，y），则：x=ACcosθ+CBsinθ=2cosθ+2sinθ，y=BCcosθ=2cosθ；∴x2+y2=4cos2θ+8sinθcosθ+4sin2θ+4cos2θ=2cos2θ+4sin2θ+6=2sin（2θ+φ）+6，当sin（2θ+φ）=1时，x2+y2最大，为2+6，此时||的值最大，为1+．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，解题时应根据题意，建立适当的坐标系，利用两点间的距离公式进行计算，是综合性题目．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，求此圆锥的全面积与体积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】由题意和几何体的特征，取OA的中点H，连接PH，QH，利用线面垂直和勾股定理求出母线长和圆锥的高．再代入全面积公式和体积公式求值．【解答】解：取OA的中点H，连接PH，QH，则PH∥SO，且PH=SO，∴PH⊥平面AQB，∵PQ与SO所成角为，∴∠QPH=，在直角三角形△QOH中，∵点Q为半圆弧的中点，r=10，∴QH=5，在直角三角形△PHQ中，=tan=1，则PH=5，即SO=10，在直角三角形△SOA中，SA==10，∴圆锥的全面积S=πr2+πr•SA=100π+100π=100π（1+），圆锥的体积V=πr2•SO=π×100×10=，【点评】本题考查了求圆锥的全面积和体积，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．20．（14分）设三角形ABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且B=．若△ABC不是钝角三角形，求：（1）角C的范围；（2）的取值范围．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由即可求得C的范围．（2）由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简可得=1+，由角C的范围，即可求得的取值范围．【解答】解：（1）因为，…（2分）由得：…（4分）（2）…（6分）=（）…（10分）当时，当时，，…（12分）所以=．…（14分）【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．21．（14分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；（2）∴0≤M≤30，∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；设=t，则≤t≤1，．由≤（x=4时取等号），可得m≥，由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，∴≤m≤．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数求最值是关键．22．（16分）已知两动圆和（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足：=0．（1）求曲线C的方程；（2）若A的坐标为（﹣2，0），求直线AB和y轴的交点N的坐标；（3）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标．【考点】J3：轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设两动圆的公共点为Q，利用条件列出|QF1|+|QF2|=4（＞|F1F2|）．利用椭圆的定义求解曲线C的方程．（2）通过，求出k MA，k MB，直线MB：y=﹣2x+1，然后求解B的坐标，求出AB的方程，然后求解即可．（3）求出M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），通过当AB的斜率不存在时，求出．当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，联立方程组：，通过韦达定理以及，求出m，然后求解直线AB恒过定点．【解答】解：（1）（文理）设两动圆的公共点为Q，则有：|QF1|+|QF2|=4（＞|F1F2|）．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，．所以曲线C的方程是：．…（4分）（2）由条件，知道k MA k MB=﹣1，∵M（0，1），A（﹣2，0）∴k MA=，k MB=﹣2，得直线MB：y=﹣2x+1，…（6分）解方程组可得，…（8分），直线AB：，所以交点．…（10分）（3）由题意可知：M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），当AB的斜率不存在时，易知满足条件的直线AB为：x=0过定点…（6分）当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，联立方程组：，把②代入①有：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0…（8分）③，④，因为，所以有x1•x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）=0，，把③④代入整理：，（有公因式m﹣1）继续化简得：（m﹣1）（5m+3）=0，或m=1（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点．…（10分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，直线恒过定点的求法，考查分析问题解决问题的能力．23．（18分）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；（3）运用参数分离可得，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）当n=1时，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，当n≥2时，由2S n=b n（b n+1），2S n﹣1=b n﹣1（b n﹣1+1）得（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=b n+b n﹣1因数列{b n}的各项均为正数，所以b n﹣b n﹣1=1，所以数列{b n}是首项与公差均为1的等差数列，所以数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）数列{a n}的通项公式为，数列{c n}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，其所有项的和为S1008=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）×2015=2（22015﹣1）+[3+7+…+4027]=22016﹣2+×1007=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103；（3）由，得，记因为，当取等号，所以取不到，当n=3时，的最小值为（n∈N*）递减，的最大值为B1=6，所以如果存在n∈N*，使不等式成立实数λ应满足A3≤λ≤B1，即实数λ的范围应为．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系，主要考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式存在性问题转化为求最值问题，具有一定的难度和综合性．。
2015年高考文科数学上海卷及答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N .（Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学答案解析1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.【考点】二元线性规划求目标函数最值.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，。
上海市闵行区2015届高三下学期质量调研考试(二模)数学
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1.用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为． 【答案】{}1 【解析】试题分析：原方程为3log (2)1x x +=，即(2)3x x +=，1x =或3x =-，又∵0x >，∴1x =. 考点：对数方程.2.若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（其中i 为虚数单位），则1z +=．【解析】试题分析：由题意得22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，12z i +=+==考点：复数的运算.3.双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为. 【答案】3π【解析】试题分析：双曲线221412x y -=的两条渐近线为y =，斜率为2,33ππ，它们的夹角为3π. 考点：双曲线的渐近线. 4.若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α=．【答案】13【解析】试题分析：解1：因为()0,απ∈，所以1tan 23α===. 解2：由已知3sin 5α=，241sin2sin 1cos 1522tan 2sin 3cos 2sin cos 2225αααααααα--=====. 解3：同2，3sin 15tan 421cos 315ααα===++.考点：半角公式，二倍角公式。
5.二项式5(21)x -的展开式中，2x 项的系数为. 【答案】40- 【解析】试题分析：展开式的通项为555155(2)(1)(1)2k k k k k k kk T C x C x ---+=⋅-=-⋅，令52k -=，则3k =，所以2x 的系数为3225(1)240C -⋅=-.考点：二项式定理.6.已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12lim ()n n a a a →+∞+++=．【答案】8 【解析】试题分析：由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，首项14a =，所以112lim ()1n n a a a a q →+∞+++=-48112==-.或者12314[1()]1281212n n n a a a --+++==--，1231lim()lim(8)82n n n n a a a -→∞→∞+++=-=. 考点：等比数列的前n 项和，数列的极限.7.如果实数,x y 满足线性约束条件20,3501,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+-的最小值等于．【答案】3- 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:l 0x y +=，上下平移直线l ，当l 过点(2,1)B -时，z 取得最小值3-.考点：简单的线性规划.8.空间一线段ABAB 的长度为.考点：三视图.9.出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是． 【答案】④ 【解析】试题分析：函数()sin f x x x =+是偶函数，当[0,]2x π∈时，()sin f x x x =+是增函数，因此在[,0]2π-上是减函数，故由①②③都不能得出12()()f x f x <，只有④由2212120x x x x <⇒≤<12()()f x f x ⇒<，而对偶函数()f x 来讲有()()f x f x =，因此有12()()f x f x <.考点：函数的奇偶性，单调性.10.已知数列{}n a 满足221(1)22()n n n a a a n *+-=-+∈N ，则使20152015a >成立的正整数1a 的一个值为．【答案】2015（或填大于2015的任一整数） 【解析】试题分析：由已知221(1)(1)1n n a a +-=-+，所以数列2{(1)}n a -是等差数列，且公差为1，所以221(1)(1)(1)n a a n -=-+-，2220151(1)(1)2014a a -=-+，则由20152051a >得221(1)20142014a -+>，11a，∵20132014<，且1*a N ∈，∴12015a ≥，答案是2015或大于2015的任一整数. 考点：数列的通项公式.11.的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为.【解析】试题分析：由题意,P Q 两点关于原点对称，设(,)P c n --，则有(,)Q c n，于是有()()2n n c c --=--，即n c =，把Q 点坐标代入椭圆方程有222121cc b+=，又221b c =-代入上式解得212c =（22c =舍去），2c =，焦距为2c =考点：椭圆的几何性质.12.函数2()log 2a f x x ax =+-在区间()0,1内无零点，则实数a 的范围是.. 【答案】(]1,2 【解析】试题分析：2()log 2a f x x ax =+-0=可变形为2log 2a x ax =-，由题意函数()log a g x x =与2()2h x ax =-在(0,1)上无交点，2()2h x ax =-的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为0x =，在(0,)+∞上为减函数，(0)2h =，(1)2h a =-，当01a <<时，()log a g x x =在(0,)+∞上是减函数，且(1)0(1)2g h a =<=-，此时()g x 和()h x 在(0,1)上有交点，不合题意；当1a >时，()log a g x x =在(0,)+∞上是增函数，要使得()g x 和()h x 在(0,1)上无交点，则有(1)2(1)0h a g =-≥=，2a ≤，所以a 的取值范围是(1,2]. 考点：函数的零点，函数图象的交点，函数的单调性.13.已知点P 是半径为1的O 上的动点，线段AB 是O 的直径.则AB PA AB PB ⋅+⋅的取值范围为． 【答案】[]4,4- 【解析】试题分析：连接PO 延长交圆于点C ，则PA PB PC +=，则AB PA AB PB ⋅+⋅()AB PA PB =⋅+AB PC =⋅，由于2PC AB ==，P 在圆上，所以当PC 与AB 同向（或反向）时，AB PC⋅取得最大值4（最小值4-），所以44AB PC -≤⋅≤.COBPA考点：向量的数量积.14.已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()()1x g x a x =∈+R ，若对任意的{}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．【答案】3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意，当(2,)x ∈-+∞时，max min ()()f x g x ≤，(0)0g =，当0x >时，1()1g x x x=+，而12x x+≥，因此11012x x<≤+，同理当0x <时，11012x x-≤<+，min 1()2g x =-，13log y x =是减函数，当1x >时，1311()log 122f x ≤-+=-，当21x -<≤时，2211()()24f x x x k x k =-++=--+-，14k ≤-，所以1142k -≤-，34k ≤-. 考点：函数的最值，不等式恒成立问题.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是()(A)2a ab <.(B)2ab b -<-.(C)11a b <.(D)b a a b>. 【答案】B 【解析】试题分析：对于选择题，可举例说明命题是错误的，如当2,1a b =-=-，满足0a b <<，但此时,,A C D 均不正确，由排除法只能选B.事实上由220a b ab b ab b b <<⎧⇒>⇒-<-⎨<⎩，B正确.考点：不等式的基本性质.16.从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ()(A)14种. (B)48种. (C)72种.(D) 120种.【解析】试题分析：可先选一个合唱节目排在节目单的最后，然后再从剩下的5个节目中选3个排在前面，因此共有1325120C A =种编排方法.考点：排列组合的综合应用.17.函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( )(A)π.(B)34π.(C)35π. (D)π2. 【答案】B考点：正弦函数的值域.18.如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===P 是边AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为( )(A)2. (B)1+【答案】CABl CαNPO试题分析：OP PB +OB =，首先，若点,,,A O C B 不共面，过直线BO 作平面α垂直于直线AC ，垂足为D ，则OB OD BD <+，而当,,,A O C B 共面时，OB OD BD =+，故在A点确定时，当,,,A O C B 共面时OB 最大，此时设OAC θ∠=，则c o s 2c o s OA A C θθ==，在OAB ∆中，2222cos()4OB OA AB OA AB πθ=+-⋅+24cos 8cos()4πθθθ=+-+64sin 22cos 266θθ=+-≤+=+1OB ≤OB 最大值为1，选C.考点：向量的加减法，立体几何中的最值，余弦定理，三角函数的最值.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.(本题满分12分)如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．【答案】100(1π. 【解析】试题分析：本题关键是求得母线SA 的长度，我们要把已知异面直线PQ 和SO 所成的角找出来，为此取OA 中点M ，则//PM SO ，QPM ∠为异面直线PQ 和SO 所成的角4π，且PM QM ⊥，由已知可得MQ =从而PM =，SO =则母线SA =侧面积可求.试题解析：取OA 的中点M ,连接PM ,又点P 为母线SA 的中点所以//PM OS ，故MPQ ∠为PQ 与SO 所成的角．………………2分 在Rt MPQ △中，4MPQ π∠=，PM QM =，………………4分由点Q 为半圆弧AB 的中点知OQ AB ⊥，在Rt MOQ △中，10,5OQ OM MQ ==⇒=故PM =，所以OS =SA 8分 所以2S 100r ππ==底，10S r SA ππ=⋅=⨯⨯=侧………10分100100(1S S S ππ=+=+=全底侧．…………………12分考点：圆锥的表面积.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：(1)角C 的范围；(2)2ac的取值范围． 【答案】（1）62C ππ≤≤；(2)[]1,4.【解析】试题分析：（1）条件ABC △不是钝角三角形就是说它的内角最大为直角，即2A π≤，2C π≤，再由已知得23A C π+=，因此可得角C 的范围是62C ππ≤≤；（2）由正弦定理22sin()22sin 3sin sin C a A c C Cπ-==1==+，可知当2C π=时，21a c =，当62C ππ≤<时，21tan a c C=+，由此得214a c <≤，综合起来就是214a c ≤≤. 试题解析：（1）因为23A C π+=，23A C π=-………………………2分 由0,022C A ππ<≤<≤得：62C ππ≤≤…………………………4分（2）24sin sin 2sin sin a R A A c R C C==………………………6分2sin()1sin B C C +===+62C ππ≤≤）………10分当2C π=时，211a c =+=当62C ππ≤<时，(]211,4tan a c C=+∈…………………………12分所以2a c []11,4=+.……………………14分考点：（1）三角形的形状与内角和；（2）正弦定理，三角函数的值域.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．【答案】（1）10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）；（2）71924m ≤≤． 【解析】试题分析：本题属于函数的应用，目的就是列出函数解析式，然后利用函数式解决问题，列式时所需的等量关系一般题中已经给出，也可能是常识性的知识，已知中有4x =时，20y =，由此可求得2100p =，本题等量关系是油库内储油量M 等于进货量＋年初储量－区域内用量－区域外的需求量，即10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）；（2）按要求就是030M ≤≤，即()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩N恒成立，转化为()*101116,201m x x x m x ⎧≥-+⎪⎪≤≤∈⎨⎪≤⎪⎩N 恒成立，由此就能求得71924m ≤≤． 试题解析：(1)由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）．…………………………………6分 （２）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立 ………………………8分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-+⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤⎪⎩N 恒成立………………………10分t =，则：114t ≤≤ 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得 72m ≥（4x =时取等号）………………………12分 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤．………………………14分考点：函数的应用题.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=． （1） 求曲线C 的方程；（2） 若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标； （3） 证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．【答案】(1)2214x y +=；（2）3(0,)5N -；（3）证明见解析，定点3(0,)5N -.【解析】试题分析：本题解析几何问题，考查学生的运算求解能力，考查逻辑推理能力，（1）两圆交点Q 到两圆心的距离之和为4，而这两圆心的距离为4<，因此动点Q 的轨迹是椭圆，由椭圆定义知2,a c =，则1b =，由此得椭圆方程；（2）由条件0MA MB ⋅=，知道1MA MB k k =-,(0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12, MB k =2-,得直线MB :21y x =-+, 代入椭圆方程可解得B 点坐标为1615(,)1717-,直线AB方程为:33105y x =--,由此可得交点3(0,)5N -；（3）可看作是直线与椭圆的位置关系问题，解决它的方法一般是设直线AB 的方程为y kx m =+（需另外讨论斜率不存在时的情形），代入椭圆方程整理得222(14)8440k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有122814kmx x k -+=+，21224414m x x k -⋅=+，由已知条件0M A M B ⋅=，得1212(1)(1)0x x k x m k x m ⋅++-+-=，即 221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把1212,x x x x +代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得：(1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），这说明直线AB 过定点3(0,)5-，当然也可先用特殊值法求出定点，由椭圆的对称性知若有定点，则定点必在y 轴上，取一条直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -，下面只要证明过3(0,)5N -的直线与椭圆相交于两点,A B ，满足0MA MB ⋅=即可.试题解析：（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，2,a c ==．所以曲线C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）由条件0MA MB ⋅=，知道1MA MB k k =-,(0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12, MB k =2-,得直线MB :21y x =-+, ………………………6分解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分 310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -．……………………………10分（3）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -………………………12分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：214y y kx m +=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………14分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k-⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．………………………16分 证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……12分 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点A B 、的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………14分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：21435y y kx +=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++ 2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………16分 考点：（1）椭圆的定义求椭圆方程；（2）直线与椭圆的位置关系.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项k a 与1k a +之间插入k 个*(1)()k k b k -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在n *∈N ，使不等式11820(1)(1)n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立，求实数λ的范围．【答案】（1）n b n =；（2）201622029103+；（3）17,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】试题分析：本题是数列问题，考查分析问题，解决问题的能力，考查逻辑推理能力，属于难题，（1）考查数列的前n 项n S 与项n b 之间的关系，利用1n n n S S b --=，可把已知化简得11n n b b --=，即数列{}n b 是等差数列，通项易得；（2）主要要弄清数列{}n c 中的项数，2n n a =，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，这些项的和为2(1)i i -，因此在求数列{}n c 的和时，我们按m 的奇偶性进行分类讨论，当21(2,)m k k k *=-≥∈N 时，数列{}n c 共有2015123201410+++++=⨯项，其所有项的和为220152222210082015(222)[123420132014]S ⨯=++++-+-+--+……8分20152016340272(21)(37114027)2210072+=-+++++=-+⋅ 20162016220151007222029103=+⨯-=+；（3）由11820(1)(1)n n nn n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭得28201,1,2,3,(1)n n n n λ+≤≤+=+记2820,1,1,2,3,(1)n n A n B n n n =+=+=+，只要我们求出{}n A 的最小值A ，{}n B 的最大值B ，则有A B λ≤≤，因为8n A n n =+≥，当n =8n A n n=+取不到当3n =时，8n A n n =+的最小值为3253A =，2201(1)n B n =++（n *∈N ）递减，2201(1)n B n =++的最大值为16B =，故实数λ的范围应为17,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．试题解析：（1）当1n =时，由1112(1)S b b =+得11b = …………1分 当2n ≥时，由2(1)n n n S b b =+，1112(1)n n n S b b ---=+得111()()n n n n n n b b b b b b ---+-=+因数列{}n b 的各项均为正数，所以11n n b b --=………………………………3分 所以数列{}n b 是首相与公差均为1等差数列所以数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………………………………4分 （2）数列{}n a 的通项公式为2n n a =…………………………5分 数列{}n c 中一共有2015123201410082015+++++=⨯项，其所有项的和为220152222210082015(222)[123420132014]S ⨯=++++-+-+--+……8分20152016340272(21)(37114027)2210072+=-+++++=-+⋅ 20162016220151007222029103=+⨯-=+……………………………11分（3）由11820(1)(1)n n nn n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭得 28201,1,2,3,(1)n n n n λ+≤≤+=+……………………………13分记2820,1,1,2,3,(1)n n A n B n n n =+=+=+因为8n A n n =+≥，当n =8n A n n=+取不到当3n =时，8n A n n =+的最小值为3253A = 2201(1)nB n =++（n *∈N ）递减，2201(1)n B n =++的最大值为16B =…………15分 所以如果存在n *∈N ，使不等式11820(1)(1)n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立 实数λ应满足31A B λ≤≤，即实数λ的范围应为17,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………………………18分考点：（1）已知数列前n 项和n S 与项的关系，求通项公式，等差数列的通项公式；（2）数列的和；（3）不等式恒成立问题.。
2015年上海市高考数学试卷及解析(文科)
2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1、（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为、2、（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=、3、（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=、4、（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=、5、（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=、6、（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=、7、（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=、8、（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为、9、（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为、10、（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）、11、（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）、12、（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为、13、（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是、14、（4分）已知函数f（x）=sinx、若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为、二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件16、（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A、（x+8）（x2+2x+3）＜2B、x+8＜2（x2+2x+3）C、＜D、＞17、（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A、B、C、D、18、（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A、﹣1B、﹣C、1D、2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小、20、（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由、21、（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）、甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待、设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地、（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由、22、（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S、（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变、23、（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*、（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1、（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π、题目分析：由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期、试题解答解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π、点评：本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题、2、（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3} 、题目分析：由A与B，找出两集合的交集即可、试题解答解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键、3、（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=、题目分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出、试题解答解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=、∴z=、故答案为：、点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题、4、（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=﹣、题目分析：由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求、试题解答解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=、∴、故答案为：、点评：本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题、5、（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16、题目分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可、试题解答解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16、点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键、6、（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4、题目分析：由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值、试题解答解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4、点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题、7、（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2、题目分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论、试题解答解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2、故答案为：2、点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础、8、（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2、题目分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可、试题解答解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2、经过验证：x=1不满足条件，舍去、∴x=2、故答案为：2、点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题、9、（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3、题目分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值、试题解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）、由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大、由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3、点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法、10、（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）、题目分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案、试题解答解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120、点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算、11、（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）、题目分析：写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求、试题解答解：由（2x+）6，得=、由6﹣3r=0，得r=2、∴常数项等于、故答案为：240、点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题、12、（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为、题目分析：求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程、试题解答解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为、故答案为：、点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础、13、（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+、题目分析：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可、试题解答解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+、故答案为：3+点评：本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）、14、（4分）已知函数f（x）=sinx、若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8、题目分析：由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值、试题解答解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8、故答案为：8、点评：本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题、二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件题目分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可、试题解答解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键、16、（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A、（x+8）（x2+2x+3）＜2B、x+8＜2（x2+2x+3）C、＜D、＞题目分析：根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论、试题解答解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B、点评：本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题、17、（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A、B、C、D、题目分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可、试题解答解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D、点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键、18、（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A、﹣1B、﹣C、1D、2题目分析：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出、试题解答解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1、∴=﹣1、故选：A、点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小、题目分析：由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S又容易得到，从△AOC而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积、根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC、试题解答解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos、点评：考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角、20、（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由、题目分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断、试题解答解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数、（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增、点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题、21、（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）、甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待、设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地、（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由、题目分析：（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可、试题解答解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3、点评：考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法、22、（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S、（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变、题目分析：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值、试题解答解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=、所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=、方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=、综上所述，m=﹣，S=、点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题、23、（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*、（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且、题目分析：（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围、﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，试题解答（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴、∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得∴λ∈（）②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题。
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闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为 ． 2．若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（其中i 为虚数单位），则1z += ．3．双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为 .4．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ．5．二项式5(21)x -的展开式中，2x 项的系数为 . 6．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12lim ()n n a a a →+∞+++= ．7.如果实数,x y 满足线性约束条件20,3501,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+-的最小值等于 ．8．空间一线段AB ，若其主视图、左视图、则线段AB 的长度为 .9．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()si n f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是 ．10．已知数列{}n a 满足221(1)22()n n n a a a n *+-=-+∈N ，则使20152015a >成立的正整数1a 的一个值为 ．11．x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .12．函数2()log 2a f x x ax =+-在区间()0,1内无零点，则实数a 的范围是 .13．已知点P 是半径为1 的O 上的动点，线段AB 是O 的直径.则AB PA AB PB ⋅+⋅ 的取值范围为 ．14．已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()1x g x x =+，若对任意的12,x x ∈R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( )(A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种. 17．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( )(A) π. (B) 34π. (C)35π.(D) π2.18．如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===P 是边AC 的中点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈. 则OP PB +的最大值为 ( )(A) 2. (B) (C) 1+. (D)三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．ABl CαNPO20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：(1) 角C 的范围；(2)2ac的取值范围． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分。
已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标； （3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项k a 与1k a +之间插入k 个*(1)()k k b k -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在n *∈N ，使不等式 11820(1)(1)n n nn n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立，求实数λ的范围．闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准（文理）一. 填空题 1．{}1； 23．3π； 4．13； 5．（理）（文）40-；6．（理）323 ，（文）8； 7．（理）4，（文）3-；8．(理) 110，(文)9．④；10．(理) {}|2015,n n n *≥∈N ，(文) 2015等； 11．12．(文理) (]1,2； 13．（理）⎡⎣，（文）[]4,4-；14．（文理）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．二. 选择题 15． B ； 16． D ； 17．B ； 18． C ． 三. 解答题19．[解] 取OA 的中点M ,连接PM ,又点P 为母线SA 的中点所以//PM OS ，故MPQ ∠为PQ 与SO 所成的角． (2)在Rt MPQ △中，4MPQ π∠=，PM QM =，………………………4分由点Q 为半圆弧AB 的中点知 OQ AB ⊥， 在Rt MOQ △中，10,5OQ OM MQ ==⇒=故PM =，所以OS =SA ………………………8分所以2S 100r ππ==底，10S r SA ππ=⋅=⨯⨯=侧………………10分100100(1S S S ππ=+=+=+全底侧．…………………………………12分20．[解] （1）因为23A C π+=，23A C π=- …………………………………2分 由0,022C A ππ<≤<≤得：62C ππ≤≤…………………………………4分（2）24sin sin 2sin sin a R A A c R C C== …………………………………6分2sin()1sin B C C +===62C ππ≤≤）……………10分 当2C π=时，211sin a Cc C=+= 当62C ππ≤<时，(]211,4tan a c C=+∈ …………………………………12分 所以2ac []11,4=+. …………………………………14分21．[解](1)由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． …………………………………6分 （２）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩N 恒成立 ………………………8分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立 ………………………10分t =，则：114t ≤≤ 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号） ………………………12分 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号） 所以71924m ≤≤． ………………………14分22．[解]（1）（文理）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分（2）（理）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N - ………………………6分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k-⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分 证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………8分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++ 2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分 （文）由条件0MA MB ⋅=，知道1MA MB k k =-,(0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分 解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分 310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -． ……………………………10分（3）（理）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第(2)小题的③④代入，整理得：3225S =……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t =≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ……………………………14分92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分（注：文科第（3）小题的评分标准参照理科第（2）小题） 23． [解] （1）（文理）当1n =时，由1112(1)S b b =+得11b = …………1分 当2n ≥时，由2(1)n n n S b b =+，1112(1)n n n S b b ---=+得111()()n n n n n n b b b b b b ---+-=+因数列{}n b 的各项均为正数，所以11n n b b --= ………………………………3分 所以数列{}n b 是首相与公差均为1等差数列所以数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………………………………4分 （2）（理）数列{}n a 的通项公式为2n n a = ……………………5分 当21(2,)m k k k *=-≥∈N 时，数列{}n c 共有(21)12(22)(21)k k k k -++++-=-项，其所有项的和为22122222(21)(222)[1234(23)(22)]k k k S k k --=++++-+-+---+-2122(21)[37(45)]22(21)(1)k k k k k -=-++++-=-+--11(1)222m m m +=-+- ………………………………8分 当2()m k k *=∈N 时，数列{}n c 共有212(21)(21)k k k k ++++-=+项，其所有项的和为22(21)(21)2(21)k k k k k S S k +-=+--2222122(21)(1)2(21)2(21)2k k k k k k k k +=-+--+--=---11(1)222m m m +=--+- ……………………………11分（文）数列{}n a 的通项公式为2n n a = …………………………5分数列{}n c 中一共有2015123201410082015+++++=⨯项，其所有项的和为220152222210082015(222)[123420132014]S ⨯=++++-+-+--+……8分20152016340272(21)(37114027)2210072+=-+++++=-+⋅ 20162016220151007222029103=+⨯-=+ ……………………………11分（3）（理）由1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+得 2111,1,2,3,1(1)n n n n n λ+≤≤+=++ ……………………………13分记211,1,1,2,3,1(1)n n n n A B n n n +==+=++由12,(1)(2)n n nA A n n n +--=++211(1)n B n =++递减（或12223(1)(2)n n n B B n n ++-=++）………………………15分 得123,A A A >= 345A A A <<<，123B B B >>>所以实数λ的范围为[]21,A B ,即55,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………………18分 (文) 由11820(1)(1)n n nn n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭得 28201,1,2,3,(1)n n n n λ+≤≤+=+ ……………………………13分记2820,1,1,2,3,(1)n n A n B n n n =+=+=+因为8n A n n =+≥，当n =8n A n n=+取不到当3n =时，8n A n n =+的最小值为3253A = 2201(1)nB n =++（n *∈N ）递减，2201(1)n B n =++的最大值为16B =…………15分所以如果存在n *∈N ，使不等式 11820(1)(1)n n nn n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立 实数λ应满足31A B λ≤≤，即实数λ的范围应为17,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………………………18分。