新北师大班九上第一章特殊平行四边形单元测试题(含答案) (1)

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北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题(含答案) (1)

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、在菱形中，对角线，相交于点，则图中全等的直角三角形共有( )A. 对B. 对C. 对D. 对2、下列四个命题中，真命题是（）．A. 四边都相等的四边形是正方形B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形3、如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（）．A. 与互相垂直平分B. 且C. 且D. 且4、下列说法中错误的是（）.A. 对角线垂直的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 四条边相等的四边形是正方形D. 四个角相等的四边形是矩形5、如图，在矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，则图中的全等三角形共有（）.A. 对B. 对C. 对D. 对6、在中，，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).A.B.C.D.7、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8、下列命题中，真命题是（）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线相等的四边形是矩形9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④等腰三角形⑤等边三角形，一定能拼成的图形是A. ①②④B. ①②③C. ①②⑤D. ①④⑤10、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（）A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 平行四边形11、如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是（）A. ，B. ，，C.D. ，12、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（）A.B.C.D.13、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A.B.C.D.14、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（）A.B.C.D.15、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、边长为的正方形，对角线的长为______.17、有一组相等的四边形是菱形.18、1.正方形的定义有一组邻边且一个角是的平行四边形叫做正方形。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题(含答案) (1)

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、单选题（共10题；共30分）1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠ABC=60°，OA=1，则CD的长为（）A. 1B. 3C. 2D. 232.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（）A. 有一组对边平行且相等，有一个角是直角B. 两组对边分别相等，且有一组邻角相等C. 有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直D. 有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角3.顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）A. 矩形B. 正方形C. 平行四边形D. 菱形4.下列说法中，正确的是（）.A. 相等的角一定是对顶角B. 四个角都相等的四边形一定是正方形C. 平行四边形的对角线互相平分D. 矩形的对角线一定垂直5.在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是( )A. 20B. 40C. 24D. 486.如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，则∠AEB度数为（）A. 80°B. 75°C. 70°D. 60°7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（）A. 75°B. 65°C. 55°D. 50°8.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A. 3cmB. 2cmC. 2 3cmD. 4cm9.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.（2017•德州）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF 绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣b2a；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共10题；共30分）11.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为________cm2．12.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．13.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的解，则菱形ABCD的周长为________．14.（2017•包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．15.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时，PB 的长为________．16.如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b________c（填＜、=、＞）17.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．18.如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AF=8，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．19.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________．20.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为________．三、解答题（共9题；共60分）21.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．22.已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．23.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.24.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE//AB，过点B作BE//CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．25.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥CE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。

九年级数学（上）单元测试卷第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）

【新北师大版九年级数学（上）单元测试卷】第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 244. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 139.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 1611.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.12.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A. 1B.C. 4-2D. 3-4二.填空题：（每小题3分共12分）13.正方形的一条边长是4，则它的对角线长是_________.15.矩形的对角线相交构成的钝角为120°，短边等于5cm，则对角线的长为__________.16.如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________.三.解答题：（共52分）17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点P是AC的中点.求证：∠BDP=∠DBP．18.已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．于点F，且，连接BF．证明：；当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．20.已知中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E.求证：四边形AECF是菱形.证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）∴四边形AECF是不正确⑴你能找出小明错误的原因吗？请你指出来.⑵请你给出本题的证明过程.21.如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．22. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E,F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．23.如图，F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCM，交过F点AF的垂线FG于G，求证：AF=FG.一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】①正确.②等腰梯形是对角线相等，错误.③菱形也两个角相等，错误.④正确．所以选C.2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°【答案】B【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 24【答案】A【解析】∵菱形的两条对角线长分别为3和4，∴S菱形=.故选A.4. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∵HE∥BD，∴EF⊥HE，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形.故选B.5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD【答案】D【解析】A、不能，只能判定出是平行四边形；B、不能，只能判定出是矩形；C、不能，只能判定出是菱形；D、能，由OA=OB=OC=OD可判断出四边形ABCD是矩形，再根据AC⊥BD，可判断出矩形ABCD 又是菱形，所以可判断出四边形ABCD是正方形，故选D.6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等【答案】B【解析】根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对边平行且相等、对角线相等、对角线互相平分，但矩形的对角线不互相垂直，故选B．7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相垂直且相等【解析】如图所示：添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 13【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠BOC=120°，∴AO=BO，∠BAD=90°，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠BDA=30°，∴BD=2AB=10.故选B.9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.【解析】∵菱形的两条对角线分别为5cm和10cm，∴菱形的面积为：（cm2），设正方形的边长为cm，则，解得：（cm）.故选B.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 16【答案】D【解析】试题分析：根据题意可得：AD=2+6=8，根据折叠图形的性质可得：AB=2，然后根据矩形的面积计算公式求出矩形的面积.11.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】DE BF,AF EC,EGFH是平行四边形，E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，1∴EGFH是菱形。

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第一章《特殊平行四边形》单元测试卷班级： __________ 姓名： ___________ 得分： ___________一•选择题：（每小题3分，共36分） 1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）2•矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）3.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论不正确的是（）A ・当AC=BD 吋，它是菱形B ・当AC 丄BD 吋，它是菱形 C ・当ZABC=90°时，它是矩形D.当AB=BC 时，它是菱形4.如图所示，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使四边形ABCD 成为矩形，需要添加的条件是（）如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法不正确的是（）A.当AC=BD 时，四边形ABCD 是矩形;B.当AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形；C.当AC 丄BD 时，四边形ABCD 是菱形;D.当ZD4B 二90。

时，四边形ABCD 是正方形 7.正方形具有而菱形不具有的性质是（）A.对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相垂直平分D.四条边相等&如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和&点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角互补A ・内角和等于360° B.对角互补C.对边平行且相等D.对角线互相平分6. A. AB=CDC. AB=BCD. AC=BDB ・ AD=BD 5.B • 2cmD. 4cmC. 2y/~3cmN 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是（10. 如图，AC. BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE 〃AC,交BC 的延长线于E,则图中与△ABC 全等的三角形共有（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 如图，在菱形ABCD 屮，ZBAD=82。

, AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F,垂足为E,连接DF,则ZCDF 等于（） A.67°B.57°12. ................................................................................................................ 如图，将〃个边长都为1C 加的正方形按如图所示摆放，点儿、力2 ......................................... 他分别是正方形的小心，则〃个这样的正方形重亞部分的面积和为（）1 9n 7 n-\ 9z L 9A. —cmB. — cmC. --------------- cmD. （—） cm4444二•填空题：（每小题3分，共12分10C. 14D.不确定9. 如图所示，在菱形ABCQ 中，AC. 相交于点O,E 为的中点，若0E=4,则菱形ABCD 的周长是（） A. 8B. 16C. 24D. 32C.60°D.87°（第12题） C（第9题）（第10题）13.如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的屮点，请你三•解答题：（共52分17. （6分）在矩形ABCD 屮，点E 是BC 上一点,AE=AD, DF 丄AE,垂足为F ；求证:DF=DC.14. 15.16. 如图，l//m.矩形ABCD 的顶点3在直线m±,则Za 二度. 如图，E 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BE=BC, P 为CE 上任意一点，PQ 丄BC 于点0 PR 丄BD 于点R,则PQ+PR 的值为如图，己知RlHABC 中，ZACB=90°,以斜边A3为边向外作正方形ABDE,且正方形的对角线交于点O,连结0C.己知AC=5, 0C=6&,则另一直角边BC 的长（第15题）DABE18.（6分）如图，矩形ABCD'V，点分别在AB,CD边上，连接CE.AF, ZDCE=ZBAF.试判断四边形AECF的形状并加以证明.19.（8分）如图，在菱形ABCD中，AB=2, ZDAB = 60 ,点E是AD边的中点，点M是AB 边上一动点（不与点4重合），延长ME交射线CD于点N,连接AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2） _____________________________ 填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为__________ 时，四边形AMDN是菱形。

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．36．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm212．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】矩形的定义及性质．【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD．①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；②菱形的对角线互相垂直，故②正确；③对角线相等的四边形，故③错误；④对角线互相垂直的四边形，故④正确．综上所述，正确的结论是：②④．故选：D．【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD在Rt△AOB中，∠AOB＝90°根据勾股定理，得：OB＝＝＝4∴BD＝2OB＝8故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】正方形的性质．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图设正方形S1的边长为x∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD∴AC=BC=2CD又∵AD=AC+CD=6∴CD==2∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°∴AM=MO∵MO=MN∴AM=MN∴M为AN的中点∴S2的边长为3∴S2的面积为3×3=9∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°∴AB=2∴AB边上的中线CD=AB=cm．故选D．【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°∴∠ADE=150°．∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=15°∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度数，最后根据DF⊥BC，求出∠C、∠A的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠A=∠C∴∠CDE=∠AED∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠CDE=90°∵∠EDF=60°∴∠CDF=30°∵DF⊥BC∴∠DFC=90°∴∠C=60°∴∠A=60°∴∠ADE=30°∴AD=2DE∵AE=2∴AD=2×2=4（cm）；故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm【考点】矩形的定义及性质．【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2即x2=（10﹣x）2+16．解得：x=5.8．故选C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2【考点】菱形的性质．【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm∵虚线的端点为矩形两邻边中点∴AC=4cm，BD=5cm∴如图（2）所示的小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1∴AD∥GF∴∠GFH＝∠P AH又∵H是AF的中点∴AH＝FH在△APH和△FGH中∵∴△APH≌△FGH（ASA）∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG∴PD＝AD﹣AP＝1∵CG＝2、CD＝1∴DG＝1则GH＝PG＝×＝故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为3．【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【解答】解：∵ABCD是菱形∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24∴AC＝6∵AH⊥BC，AO＝CO＝3∴OH＝AC＝3．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7）∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7∵D（5，0）∴OD＝5∵点P是边AB或边BC上的一点∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5∵AD＝3∴P A＝＝4∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC=1，∠B=90°∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．【考点】正方形的性质．【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求过F作FG⊥CD于G在Rt△E′FG中GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4所以E′F==．故答案为：．【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=ADBD=2DO，AB=AD∴AD=2∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF同理∠DAE=∠FDA∵AD=DA∴△ADE≌△DAF∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC=∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB∵BE=BF，OE=OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC∴∠BAC=∠ABO又∵∠BEF=2∠BAC即2∠BAC+∠BAC=90°解得∠BAC=30°∵BC=2∴AC=2BC=4∴AB===6．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°∴F、C、M三点共线∴DE=DM，∠EDM=90°∴∠EDF+∠FDM=90°∵∠EDF=45°∴∠FDM=∠EDF=45°在△DEF和△DMF中∴△DEF≌△DMF（SAS）∴EF=MF；（2）设EF=MF=x∵AE=CM=1，且BC=3∴BM=BC+CM=3+1=4∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2即22+（4﹣x）2=x2解得：x=则EF=．【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】正方形的性质．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1在△BCE和△DCF中∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线∴∠EBC=∠DBC=22.5°由（1）知△BCE≌△DCF∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中∴△DBG≌△FBG（ASA）∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）∵BD==∴BF=∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1①当BH=BP时，则BP=﹣1∵∠PBC=45°设P（x，x）∴2x2=（﹣1）2解得x=1﹣或﹣1+∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（，）综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．下列说法中正确的是（）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．有一个角是直角的平行四边形是正方形C ．有两个角相等的四边形是平行四边形D ．平移和旋转都不改变图形的形状和大小2．如图，长方形ABCD 是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD 的边长DC 为（）A ．10B ．13C ．16D ．193．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若112,AEF ∠=︒则1∠等于（）A ．43B ．44C ．45︒D ．46︒4．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCE S S 的比为（）A ．21):1B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶25．如图，已知菱形OABC 的顶点()0,0O ，()2,0C 且60AOC ∠=︒，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45︒，则第2020秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为（）A ．()3,3-B ．()1,3--C ．()2,3D ．33,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭6．如图，在长方形ABCD 中，AF BD ⊥，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，且DF 平分BDC ∠．下列结论中：①ABD CDB ≅；②ADE BDF S S =△△；③90ABD CDF ∠+∠=︒；④AD DF =．其中正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别在CD AD 、边上，且CE DF =，连接BE CF 、相交于G 点．则下列结论：①BE CF =；②BCG DFGE S S ∆=四边形；③2CG BG GE =⋅；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则45FGD ∠=︒；正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若25CBF ︒∠=，则AED =∠A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，12BC =．将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ，FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF BG ⊥；②GE GF =；③GDK △和GKH △的面积相等；④当点F 与点C 重合时，75DEF ∠=︒，其中正确的结论共有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（）A ．24︒B ．32︒C ．30D ．26︒11．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF 12．如图，菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（）A ．221B ．421C ．12D ．24二、填空题13．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，8AB =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为______．14．如图，四边形ABCD 是一个正方形，E 是BC 延长线上一点，且AC ＝EC ，则∠DAE 的度数为_________．15．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH 的周长为_______________．16．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________ ． 17．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．18．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC 分别交AB 、CD 于E 、F ，连接PB ，PD ．若2AE =，8PF =．则图中阴形部分的面积为_________．19．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝3，将矩形纸片折叠，边AD 、边BC 与对角线BD 重合，点A 与点C 恰好落在同一点处，则矩形纸片ABCD 的周长是______．20．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70°，则∠CAD= °．三、解答题21．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连接CD ，DE ．（1）如图1．①若∠CDE =90°，求证：∠A =∠E ．②若BD 平分∠CDE ，且∠E =24°，求∠A 的度数．（2）设∠A =α(α＞45°)，∠DEC =β，若CD =CE ，求β关于α的函数关系式，并说明理由． 22．如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，BC=12cm ，直线CM ⊥BC ，动点D 从点C 开始以每秒4cm 的速度运动到B 点，动点E 也同时从点C 开始沿射线CM 方向以每秒2cm 的速度运动．（1）问动点D 运动多少秒时，△ABD ≌△ACE ，并说明理由；（2）设动点D 运动时间为x 秒，请用含x 的代数式来表示△ABD 的面积S ；（3）动点D 运动多少秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4：1．23．如图，在ABC 中，,,,AC BC D E F =分别是,,AB AC BC 的中点，连接,DE DF ．求证：四边形DFCE 是菱形．24．长方形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，10OA =，6OC =．（1）如图，在AB 上取一点M ，使得CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标．（2）求折痕CM 所在直线的解析式．（3）在x 轴上是否能找到一点P ，使B CP '△的面积为13？若存在，直接写出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．MN，设25．如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线//BC∠的平分线于点F，连接AF．MN交BCA∠的角平分线于点E，交BCA∠的外角ACG=；（1）求证：EO FO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．26．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能，ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据平行四边形，菱形，正方形的判定，依据平移旋转的性质一一判断即可．【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误．应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项不符合题意．B、有一个角是直角的平行四边形是正方形，错误．应该是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，本选项不符合题意．C、有两个角相等的四边形是平行四边形，错误，可能是等腰梯形．本选项不符合题意．D 、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】利用正方形的性质，用两种方法表示CD ，从而建立等式求解即可．【详解】设两个一样大的正方形边长为x ，则各正方形边长表示如图，由AD ＝BC 可列方程：x ＋2＋x ＋1＝2x －1＋x ，解得x ＝4，则DC ＝x ＋1＋x ＋x ＝13，故选B【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，构造等式求解是解题的关键． 3．B解析：B【分析】根据矩形的对边平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，继而求得∠BFE=68°，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEF+∠BFE=180°，∵112AEF ∠=︒，∴∠BFE=68°，∴∠1=180°-2∠BFE=44°，故选B ．【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．A解析：A【分析】由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．【详解】解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．5．D解析：D【分析】过A 作AE ⊥OC 于E ，由菱形OABC 的顶点()0,0O ，()2,0C 且60AOC ∠=︒，求出A（1D 为AC 中点，可求D （12458=360︒⨯︒，转8次回到原位置，菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45︒，则第2020秒时，2020445=45252+88⎛⎫︒⨯︒ ⎪⎝⎭，相当于旋转454=180︒⨯︒，菱形旋转180°。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷-(含答案及解析)

北师大版九年级数学上册单元测试卷第一章特殊平行四边形1．下列说法正确的是A ．对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线互相平分的四边形是菱形C ．菱形的对角线相等且互相平分D ．菱形的对角线互相垂直且平分 2．下列说法中，你认为正确的是（）A ．四边形具有稳定性B ．等边三角形是中心对称图形C ．任意多边形的外角和是360D ．矩形的对角线一定互相垂直 3．已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；①两条对角线相等的四边形是矩形；①有两个角相等的平行四边形是矩形；①两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．如图，下列条件中①AC BD ⊥①BAD 90∠=①AB BC =①AC BD =，能使平行四边形ABCD 是菱形的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 5．已知菱形ABCD ，对角线5AC =，12BD =，则菱形的面积为（）A ．60B ．50C ．40D ．30 6．在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（）A ．测量一组对边是否平行且相等B ．测量四个内角是否相等C ．测量两条对角线是否互相垂直D ．测量四条边是否相等一、单选题（共30分，每小题3分）7．如图，把长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，下列结论：①①ABD 与△EDB 全等；①①ABF 与△EDF 全等；①AF EF =；①①BDF 是等腰三角形．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，CE 交AD 于点F ，连接AE ．若①AEC=140︒，则①DFC 等于（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，,AO CO BO DO ==.添加下列条件，可以判定四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AB AD =B ．AC BD =C ．AC BD ⊥ D ．ABO CBO ∠=∠ 10．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，它是菱形 B ．当AC BD ⊥时，它是菱形C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形D ．当AC BD =时，它是正方形二、填空题（共30分，每小题3分） 11．矩形的两条对角线的夹角为60，较短的边长为12cm ，则对角线长为________cm ． 12．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为________．13．如图所示，已知ABCD 中，下列条件：①AC =BD ；①AB =AD ；①①1=①2；①AB ①BC 中，能说明ABCD 是矩形的有______________（填写序号）14．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6，4，则AB 长为__．15．如图，平行四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件________，使ABCD 成为正方形（只需添加一个即可）．16．如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF =AE +FC ，则边BC 的长为____________．17．如图，将两张长为16cm ，宽为4cm 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，那么菱形周长的最大值与最小值的和是________．18．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ①AC ，CE ①BD ，已知AB =6cm ，BC =8cm ，则四边形ODEC 的周长为______cm ．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连接EF ，若EF =4BD =，则菱形ABCD 的面积为________．20．如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长到E ，使CE CD =，连接AE 交BC 于F ，AFC n D ∠∠=，当n =______时，四边形ABEC 是矩形．三、解答题（共60分） 21．矩形ABCD 中68AB cm BC cm AE ==，，平分BAC ∠交BC 于E CF ，平分ACD ∠交AD 于F ．（共8分）（1）说明四边形AECF 为平行四边形；（2）求四边形AECF 的面积．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且①ADO为等边三角形，过点A 作AE①BD于点E.（共8分）(1)求①ABD的度数；(2)若BD＝10，求AE的长．23．已知如图，两个长为8，宽为2的矩形纸条倾斜地重叠着．（共10分）()1求证：两矩形重叠部分为菱形；()2求菱形面积最大和最小值．24．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD 为BC 边上的高，过点A 作//AE BC ，过点D 作//DE AC ，AE 与DE 交于点E ，AB 与DE 交于点F ，连结BE ．（共10分）()1求证：四边形AEBD 是矩形；()2求四边形AEBD 的面积．25．如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且45.∠=试说明：EAF+=．（共12分）BE DF EF26．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA 上，连接CF．（共12分）()1求证：HEA CGF∠=∠；()2当AH DG=时，求证：菱形EFGH为正方形．参考答案：1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．B 10．D11．24 12．24 13．①① 1415．90ABC∠=16．17．4018．20 19．20．221．（1）见解析；（2）30cm2（1）①四边形ABCD是矩形，①AD①BC（即AF①CE），AB①CD，①①BAC=①ACD，又①AE平分①BAC，CF平分①ACD，①①EAC=①FCA，①AE①CF，①四边形AECF是平行四边形；（2）过点E作EO①AC于点O，①①B=90°，AE平分①BAC，①EO=BO，①AE=AE，①Rt①ABE①Rt①AOE，①AO=AB=6，①在Rt①ABC，10,①OC=AC-AO=4（cm）,设CE=x，则EO=BE=BC-CE=8-x，①在Rt①OEC中由勾股定理可得：222-+=，解得：58(x x4)x=，①EC=5，①S四边形AECF=CE·AB=5×6=30（cm2）.22．(1)①ABD＝30°；(2)AE(1)①四边形ABCD是矩形，①①DAB＝90°，①①ADO为等边三角形，①①ADB＝60°，①①ABD＝180°－①DAB－①ADB＝30°；(2)①BD＝10，①BAD＝90°，①ABD＝30°，①AD＝12BD＝5，①①ADO为等边三角形，①AD＝AO＝DO＝5，①AE①DO，①DE＝EO＝12DO＝2.5，在Rt①AED中，由勾股定理得AE23．（1）详见解析；（2）菱形面积最大和最小值分别是172、4．()1根据题意得：AD//BC，AB//CD，①四边形ABCD是平行四边形．如图1，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，①两纸条宽度相同，①AE AF=．①平行四边形ABCD的面积为AE CD BC AF⨯=⨯，①CD BC=．①平行四边形ABCD为菱形；()2如图2，此时菱形ABCD的面积最大．设AB x =，EB 8x =-，AE 2=，则由勾股定理得到：2222(8x)x +-=，解得 17x 4=， 1717S 242=⨯=最大；如图3，此时菱形ABCD 的面积最小．S 224=⨯=最小．综上所述，菱形面积最大和最小值分别是172、4． 24．（1）详见解析；（2）12. ()1①AE //BC ，BE //AC ，①四边形AEDC 是平行四边形． ①AE CD =．在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的高， ①ADB 90∠=，BD CD =．①BD AE =．①四边形AEBD 是矩形．()2在Rt ADC 中，ADB 90∠=，AC 5=，1BD CD BC 32===，①AD 4=．①四边形AEBD 的面积BD AD 3412=⋅=⨯=． 25．证明见解析.①四边形ABCD 为正方形①AB=AD,①BAD=①B=①ADF=90°如图，把△ABE 逆时针旋转90°得到△ADG ，①BE =GD ，AE =AG ．①ADG=①ABE=90°，①GAD=①BAE ①①ADG+①ADF=180°①G 、D 、F 在同一条直线上.①①EAF =45°，①①F AG =①GAD+①DAF=①BAE+①DAF=①BAD-①EAF=90°﹣45°=45°， ①①EAF =①F AG ．在△AEF 和△AGF 中，①AE AG EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AEF ①①AGF （SAS ），①EF =GF ，即EF =GD +DF ，①BE +DF =EF ．26．（1）详见解析；（2）详见解析.（1）连接GE ，①AB//CD ，①AEG CGE ∠∠=，①GF//HE ，①HEG FGE ∠∠=，①HEA CGF ∠∠=；()2①四边形ABCD 是正方形， ①D A 90∠∠==， ①四边形EFGH 是菱形， ①HG HE =，在Rt HAE 和Rt GDH 中， AH DG HE HG =⎧⎨=⎩， ①()Rt HAE Rt GDH HL ≅， ①AHE DGH ∠∠=，又DHG DGH 90∠∠+=， ①DHG AHE 90∠∠+=， ①GHE 90∠=， ①菱形EFGH 为正方形；。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(包含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（）A ．14B ．18C ．21D ．282．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，给出下列结论：①BE=DF ；②∠DAF=15°；③AC 垂直平分EF ；④BE+DF=EF ；其中结论正确的共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（）A ．54°B ．36°C ．28°D ．72°4．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（）．A ．18B ．20C ．22D ．245．如图，在长方形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝5，EC ＝3，则长方形的周长为（）A ．20B ．22C ．24D ．266．如图，以△ABC 的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF ，GH ，DJ ，如果△ABC 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（）A ．28B ．24C ．20D ．167．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以相同的速度，沿A B C D A ----方向运动到点A 处停止．设点P 运动的路程为,x PCD ∆的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（）A ．12B ．24C ．20D ．488．如图，在菱形ABCD 中，已知3AD =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，求AE 的长是（）A ．12+B ．6C ．231-D ．13+ 9．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等 10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（）A ．12B ．16C ．20D ．24 11．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（）A ．40B ．47C ．24D ．2012．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（）A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．48cm二、填空题13．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为斜边AC 中点，8AC =，则BD =______． 14．D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点（不与B 、C 重合），DE ⊥BC 于点D ，交直线BA 于点E ，作∠EDF ＝45°，DF 交AC 于F ，连接EF ，BD ＝nDC ，当n ＝__________时，△DEF 为等腰直角三角形．15．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点，若4AB =，7BC =．则图中阴影部分的面积为__________．16．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为_______________．17．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB l为边作第三个正方形OB l B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_______．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，将矩形纸片折叠，边AD、边BC与对角线BD 重合，点A与点C恰好落在同一点处，则矩形纸片ABCD的周长是______．19．如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，若==，则线段DF的长是_________．2,4AB AD20．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∠=︒，则BEFDFG68∠的度数为_________．三、解答题21．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB =︒∠，现将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE '△（点A 的对应点为点C ），延长AE 交CE '于点F ．（1）如图1，求证：四边形BEFE '是正方形；（2）连接DE ．①如图2，若DA DE =，求证：F 为CE '的中点；②如图3，若15AB =，3CF =，试求DE 的长．22．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：CF AF =；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形． 23．如图，四边形ABCD 是平行四边形，//DE BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接,BE DF ．若BE DE =，求证：四边形EBFD 是菱形．24．如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点O，M，N，A，B均在格点上，请按要求完成下列问题：（1）在图①中，仅用无刻度直尺在网格中画出∠MON的平分线OP，并简要说明画图的依据；（2）在图②中，仅用无刻度直尺在网格中画一个Rt△ABC，使点C在格点上，并简要说明画图的依据．25．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求点E的坐标；（2）求点D的坐标．26．综合与探究如图是一个正方形纸片ABCO，如果将正方形纸片ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF，ED交AB于点G，ED的延长线交0A于点H，连接CH、CG．（1）求证：CG平分∠DCB；（2）直接写出线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连接BD，AD，AE，BE，试探究在旋转过程中，四边形AEBD能否成为矩形？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．B解析：B【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，由勾股定理就可以表示出BE与EF，再通过比较可以得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ．故①正确；∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°故②正确；∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．故③正确；设EC=x ，由勾股定理，得，CG=2x ，AG=2x ∴AC=2x ∴x ∴BE=1122x x x -= ∴BE+DF=)1x=EF 故④错误；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．A解析：A【分析】先根据矩形的性质得出AD ∥BC ，故可得出∠DAC 的度数，由角平分线的定义求出∠EAF 的度数，再由EF 是线段AC 的垂直平分线得出∠AEF 的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE 的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=72°．∵由作法可知，AF 是∠DAC 的平分线，∴∠EAF=12∠DAC=36°． ∵由作法可知，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-36°=54°，∴∠α=54°．故选：A ．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 4．C解析：C【分析】过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．【详解】如图，过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵//AD BC∴ADB CBD ∠=∠∴ABD ADB ∠=∠∴5AD AB ==∵AE BC ⊥，90C ∠=︒∴//AE DC∴四边形AECD 为矩形∴5EC AD ==，4AE CD ==又∵AE BC ⊥，即90AEB =︒∠ ∴3BE ==∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=故选：C ．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解． 5．B解析：B【分析】直接利用勾股定理得出DC 的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE 的长，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC ，∵ED ＝5，EC ＝3，∴DC 4==，则AB ＝4，∵AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴AB ＝BE ＝4，∴长方形的周长为：2×（4＋4＋3）＝22.故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是把握已知，整合已知得出等腰三角形，依据勾股定理求出线段长．6．B解析：B【分析】过E 作EM ⊥FA 交FA 的延长线于M ，过C 作CN ⊥AB 交AB 的延长线于N ，根据全等三角形的性质得到EM ＝CN ，于是得到S △AEF ＝S △ABC ＝8，同理S △CDJ ＝S △BHG ＝S △ABC ＝8，于是得【详解】解：过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM=∠CAB∵四边形ACDE、四边形ABGF是正方形，∴AC=AE，AF＝AB，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝12AF•EM，S△ABC＝12AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．【详解】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6，当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4，∴长方形ABCD的面积为：AB•BC=6×4=24．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．8．D【分析】首先作FH⊥AB，垂足为H，由四边形ABCD是菱形，可得AD＝AB＝3，即可求得AF的长，又由∠DAB＝60°，即可求得AH与FH的长，然后由∠EFG＝15°，证得△FHE是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：如图，作FH⊥AB，垂足为H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∵DF＝1，∴AF＝AD−FD＝2，∵∠DAB＝60°，∴∠AFH＝30°，∴AH＝1，FH3⊥，∵FG BC⊥，∴FG AD又∵∠EFG＝15°，∴∠EFH＝∠AFG−∠AFH−∠EFG＝90°−30°−15°＝45°，∴△FHE是等腰直角三角形，∴HE＝FH3∴AE＝AH＋HE＝13，故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．9．B解析：B【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．【详解】A、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C 、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D 、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．10．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．11．D解析：D【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：5AB =，∴菱形ABCD 的周长=4×5=20．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 12．A解析：A【分析】根据矩形的性质求出OA=OB ，AC=BD ，求出AC 的长，求出OA 和OB 的长，推出等边三角形OAB ，求出AB=OA ，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OC=12AC ，OD=OB=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵AC+BD=24，∴AC=BD=12cm ，∴OA=OB=6cm ，∵OA=OB ，∠AOB=60°，∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA=6cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB 和求出OA 的长．二、填空题13．4【分析】直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可；【详解】∵∠ABC=90°D 为斜边AC 的中线∵AC=8∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质正确掌握知识点是解题的关键；解析：4【分析】直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可；【详解】∵∠ABC=90°，D 为斜边AC 的中线，∵AC=8，∴ 142BD AC ==，故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，正确掌握知识点是解题的关键；14．或1【分析】分两种情况①当∠DEF ＝90°时由题意得出EF ∥BC 作FG ⊥BC 于G 证出△CFG △BDE 是等腰直角三角形四边形EFGD 是正方形得出BD=DE=EF=DG=FG=CG 继而可得结果；②当∠E 解析：12或1 【分析】分两种情况①当∠DEF ＝90°时，由题意得出EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，证出△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，得出BD=DE=EF=DG=FG=CG ，继而可得结果；②当∠EFD ＝90°时，求出∠DEF ＝45°，得出E 与A 重合，D 是BC 的中点，BD=CD ，即可得出结果.【详解】解：分两种情况：①当∠DEF ＝90°时，如图1所示：∵DE ⊥BC ，∴∠BDE ＝90°＝∠DEF ，∴EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，∴BD=DE=EF=DG=FG=CG ，∴BD=12CD,∴n=12； ②当∠EFD ＝90°时，如图2所示：∵∠EDF ＝45°，∴∠DEF ＝45°，此时E 与A 重合，D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴n=1.综上所述：n=12或1, 故答案为：12或1 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、正方形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键. 15．【分析】根据三角形面积公式可知图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=7设两个阴影部分三角形的底为ADBC 高分别为h1h2则h1+h2=AB ∴解析：14【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=7，设两个阴影部分三角形的底为AD ，BC ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2=AB ，∴S △ADE +S △BCE =12AD•h 1+12BC•h 2=12AD （h 1+h 2）=12AD•AB ， ∴147142S =⨯⨯=阴影；故答案为：14．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．16．【分析】先证四边形BGDH 为平行四边形再证BG=BH 然后由勾股定理求B Ｇ四边形BGDH 的周长=4BH 即可【详解】由题意得矩形矩形∴四边形是平行四边形∴平行四边形的面积∴四边形是菱形设则在中由勾股定理解析：34011【分析】先证四边形BGDH 为平行四边形，再证BG=BH ，然后由勾股定理求B Ｇ，四边形BGDH 的周长=4BH 即可．【详解】由题意得矩形ABCD ≌矩形BEDF ，90,7,//,//,11A AB BE AD BC BF DE AD ︒∴∠====，∴四边形BGDH 是平行四边形，∴平行四边形BGDH 的面积BG AB BH BE =⋅=⋅，BG BH ∴=，∴四边形BGDH 是菱形，BH DH DG BG ∴===．设BH DH x ==，则11AH x =-．在Rt ABH △中，由勾股定理得2227(11)x x +-=，解得85,11x = 8511BG ∴=， ∴四边形BGDH 的周长340411BG ==．【点睛】本题考查四边形的周长问题，关键是证四边形BGDH 为菱形，用勾股定理求BH ，掌握矩形的性质，菱形的性质与判定，会用勾股定理解决问题．17．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC 边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B 1、B 2、B 3、B 4、B 5、B 6、B 7、B 8、B 9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B 2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC 边长为1，∴，∵正方形OBB 1C 1是正方形OABC 的对角线OB 为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2，B2点坐标为（-2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），B6（8，-8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．18．6＋2【分析】由题意BD=2AD=利用勾股定理求出AB即可解决问题【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°AD=BC=AB=CD由翻折的性质可知BD=2AD=2∴在中AB=CD===3∴四边解析：6＋【分析】由题意BD=2AD=利用勾股定理求出AB即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°由翻折的性质可知∴在Rt DAB中=3,∴四边形ABCD的周长为故答案为【点睛】本题考查矩形的性质翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题．19．【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得【详解】解：∵长方形纸片∴根据折叠的性质可得设根据勾股定理即解得故答案为：【点睛】本题考查折叠与勾股定理能正确表示直角三角形的三边是解题关键解析：32【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF ．【详解】解：∵长方形纸片ABCD ，∴2CD AB ==，90C ∠=︒，根据折叠的性质可得'2AD CD AB ===，90AD F C '∠=∠=︒，D F DF '=，设D F DF x '==，4AF AD DF x =-=-，根据勾股定理D F AD AF ''+=，即()2224x x +=-，解得32x =，故答案为：32．【点睛】本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．20．56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠使点B 与点D 重合点A 落在点G 处∴∠G=∠A=90°∠GDE=∠B=90°∵∠DFG=6解析：56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处， ∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED ， ∴180180685622DEC BEF -∠-=︒︒︒∠==︒，故答案为：56．【点睛】此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，由90EBE '∠=︒，可证四边形BEFE '是矩形．由BE BE '=，可证四边形BEFE '是正方形；（2）如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．可证DHA AEB △≌△．可得AH BE FE =='，由旋转性质知，CE AE '=即可；（3）设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，由勾股定理222CE BE BC '+='可求BE '，由DHA AEB △≌△，可求CE AE DH ='=3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得DE ==【详解】（1）证明：由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，又AE ∵延长与CE 于F 点，90FEB AEB ∠∠︒∴==．∵Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，90EBE ∠∴='︒，∴四边形BEFE '是矩形．又∵BE BE '=，∴四边形BEFE '是正方形．（2）证明：如图，过点 D 作DHEA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =． 90HDA DAH EAB DAH ∠∠∠∠︒+=+=，HDA EAB ∴∠=∠．又90DHA AEB ∠∠==︒，AD AB =，DHA AEB ∴△≌△．AH BE FE =='∴，由旋转性质知，CE AE '=，故12FE AH CE =''=，即CF FE '=．（3）解：设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，222(3)15x x ∴++=，解得9x =（舍去12x =-）．如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ，同（2）知DHA AEB △≌△，DH AE ∴=，AH BE BE '==．CE AE DH =='∴3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【点睛】本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．22．（1）见解析；（2）△ABC ， △ADE ，△ADF ，△AFE【分析】（1）根据90BAC DAE ∠=∠=︒得到BAD CAE ∠=∠再根据已知条件求证ABD ACE ABD ACE ∠=∠≌，再根据题意得∠ABD=∠ACE=45°，进而得到△DCE 为直角三角形，再由点F 是DE 的中点得到CF=AF ；（2）根据等腰直角三角形的性质和定义结合第一问即可得到结果．【详解】（1）证明：∵90BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠即BAD CAE ∠=∠∵AB AC =，AD AE =∴ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠∵90BAC ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒∴45ABD ACE ∠=∠=︒∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=∵点F 是DE 的中点，90DAE DCE ∠=∠=︒ ∴12AF DE =，12CF DE = ∴CF AF =（2）图中所有的等腰直角三角形是：ABC ，ADE ，ADF ，AFE △；【点睛】此题属于三角形旋转类综合性问题，涉及知识点为三角形全等，直角三角形斜边上的中线为斜边的一半．23．见解析【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AD=CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE=∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED=∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到DE=BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE=DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE=∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF=∠BFE ，∴∠AED=∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，DAE BCF AED CFB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴DE=BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE=DE ，∴四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，射线OP 即为所求的∠MON 的平分线．作图依据是：可判定△MOP ≌△NOP ，于是有∠MOP ＝∠NOP ．（2）如图2，△ABC 即为所求作的直角三角形，其中∠ACB ＝90°．作图依据是：①菱形的对角线互相垂直，即BC ⊥EF ；②可判定AC ∥EF ，则AC ⊥BC ，所以∠ACB ＝90°．【点睛】本题考查作图−应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用所学知识解决问题．25．（1）()4,8E ；（2）()0,5D【分析】（1）由折叠的性质得10AO AE ==，利用勾股定理求出BE 长，得到CE 的长，就可以得到点E 的坐标；（2）设OD x =，8CD x =-，由折叠的性质得OD DE x ==，再在Rt CDE △中利用勾股定理列式求出x 的值，就可以得到点D 的坐标．【详解】解：（1）∵折叠，∴10AO AE ==，在Rt ABE △中，22221086BE AE AB =-=-=， ∴1064CE BC BE =-=-=，∴()4,8E ；（2）设OD x =，则8CD x =-，∵折叠，∴OD DE x ==，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，即()22284x x -+=，解得5x =，∴()0,5D ．【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，并结合勾股定理进行边长的求解． 26．（1）见解析；（2）HG=OH+BG ；（3）能，理由见解析【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD=CB ，∠CDG=∠CBG=90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG=∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG=DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH=HD ，再根据线段间的关系即可得出HG=HD+DG=OH+BG ；（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形．【详解】证明：（1）正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ． ,90CD CB CDG CBG ︒∴=∠=∠=，在直角三角形CDGC 和直角三角形CBG 中．CD CB CG CG =⎧⎨=⎩， CDG CBG ∴≅，DCG BCG ∴∠=∠，即CG 平分∠DCB ．（2）HG=OH+BG ．由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG=DG ，在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，CH CH CO CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），∴OH=HD ，∴HG=HD+DG=OH+BG ；（3）如图，当点G 为AB 中点时，四边形AEBD 为距形，因为点G 为AB 中点，所以BG=GA=12AB ，∵CDG CBG ∆≅∆， ∴1122DG BG AB DE ===，所以BG=GA=DG=GE ，所以四边形AEBD 是平行四边形，因为AB=DE ，所以四边形AEBD 是矩形．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ；（2）找出BG=DG 、OH=HD ；（3）掌握矩形的判定方法．。

北师大版九年级上学期第1章《特殊的平行四边形》单元测练习(含答案)

《特殊的平行四边形》单元测试卷一．选择题1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．93．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠25．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A ．1B ．C ．D ．6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（） A ．对边相等 B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分7．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE ＝EF ；④S △AOE ：S △BCM ＝2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（） A ．∠A ＝∠BB ．∠A ＝∠CC ．AC ＝BDD ．AB ⊥BC9．在△ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B ，C 两点不重合），过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是（）A ．若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若BD ＝CD ，则四边形AE DF 是菱形 D ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形10．如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°．G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ，下列说法不正确的是（）A ．四边形CEDF 是平行四边形B ．当CE ⊥AD 时，四边形CEDF 是矩形C ．当∠AEC ＝120°时，四边形CEDF 是菱形D ．当AE ＝ED 时，四边形CEDF 是菱形11．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．则图中阴影部分的面积等于（）A ．1B ．C ．D ．12．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH +∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若＝，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）201414．关于▱ABCD 的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF16．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断二．填空题17．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于H，则DH等于．18．在菱形ABCD中，∠A＝60°，其所对的对角线长为4，则菱形ABCD的面积是．19．顺次连接四边形ABCD各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线AC、BD的关系是．20．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若BD＝5，则四边形DOCE的周长为．23．如图，矩形ABCD中， AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE ＝S△COE，其中正确的结论的序号是．24．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．25．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，连接EF，则EF的最小值为cm．26．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．27．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．28．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为．29．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得▱ABCD 为正方形．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．31．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD 的面积是18，则DP的长是．三．解答题32．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．33．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．34．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是．35．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE 是矩形．36．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．37．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．38．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为，∠ABC＝°．（直接填写结果）39．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？40．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；②当AG与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，故选：A．2．解：∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC，∴BC＝6，∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．故选：A．3．解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．4．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．5．解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD﹣AP＝1，∵C G＝2、CD＝1，∴DG＝1，则GH＝PG＝×＝，故选：C．6．解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．7．解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵FO＝FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB＝∠EOB＝90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，∴∠CDE＝∠DFE，∴DE＝EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE ＝S△COF，∵S△COF ＝2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝，∵∠FCO＝30°，∴FM＝，BM＝CM，∴＝，∴S△AOE ：S△BCM＝2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选：B．8．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．9．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C 、∵四边形CEDF 是平行四边形，∵∠AEC ＝120°，∴∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴CE ＝DE ，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是菱形，正确；D 、当AE ＝ED 时，不能得出四边形CEDF 是菱形，错误；故选：D ．11．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴直线AC 是正方形ABCD 的对称轴，∵EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．∴根据对称性可知：四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等，△AIE 的面积＝△AEG 的面积，∴S 阴＝S 正方形ABCD ＝，故选：B ．12．解：①∵四边形ABCD 为正方形，EF ∥AD ，∴EF ＝AD ＝CD ，∠ACD ＝45°，∠GFC ＝90°，∴△CFG 为等腰直角三角形，∴GF ＝FC ，∵EG ＝EF ﹣GF ，DF ＝CD ﹣FC ，∴EG ＝DF ，故①正确；②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），∴∠HEF ＝∠HDC ， ∴∠AEH +∠ADH ＝∠AEF +∠HEF +∠ADF ﹣∠HDC ＝∠AEF +∠ADF ＝180°，故②正确；③∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），故③正确；④∵＝， ∴AE ＝2BE ，∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝GH ，∠FHG ＝90°，∵∠EGH ＝∠FHG +∠HFG ＝90°+∠HFG ＝∠HFD ，在△EGH 和△DFH 中，， ∴△EGH ≌△DFH （SAS ），∴∠EHG ＝∠DHF ，EH ＝DH ，∠DHE ＝∠EHG +∠DHG ＝∠DHF +∠DHG ＝∠FHG ＝90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM ＝x ，则DM ＝5x ，DH ＝x ，CD ＝6x ，则S △DHC ＝×HM ×CD ＝3x 2，S △EDH ＝×DH 2＝13x 2，∴3S △EDH ＝13S △DHC ，故④正确；故选：D ．13．方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3… ∴D 1E 1＝B 2E 2，D 2E 3＝B 3E 4，∠D 1C 1E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°，∴D 1E 1＝C 1D 1sin30°＝，则B 2C 2＝（）1，同理可得：B 3C 3＝＝（）2，故正方形A n B n ∁n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014．故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，∴D 1E 1＝B 2E 2＝，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2＝60°，∴B 2C 2＝，同理：B 3C 3＝×＝…∴a 1＝1，q ＝，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长＝1×． 14．解：∵▱ABCD 中，AB ⊥BC ，∴四边形ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项A 错误；∵▱ABCD 中，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B 错误；∵▱ABCD 中，AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形，选项C 正确；∵▱ABCD 中，AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项D 错误．故选：C ．15．解：∵EF 垂直平分BC ，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．16．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形纸条的宽度相等，∴DE＝DF．又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．故选：B．二．填空题（共15小题）17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，＝•AC•BD，∵S菱形ABCDS＝DH•AB，菱形ABCD∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．故答案为：．18．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其所对的对角线长为4，∴可得AD＝AB，故△ABD是等边三角形，则AB＝AD＝4，故BO＝DO＝2，则AO＝＝2，故AC＝4，则菱形ABCD的面积是：×4×4＝8．故答案为：8．19．解：∵EFGH为菱形∴EH＝EF又∵E、F、G、H为四边中点∴AC＝2EH，BD＝2FE∴AC＝BD．故答案为AC＝BD．20．解：根据作图，AC ＝BC ＝OA ， ∵OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝BC ＝AC ，∴四边形OACB 是菱形，∵AB ＝2cm ，四边形OACB 的面积为4cm 2，∴AB •OC ＝×2×OC ＝4，解得OC ＝4cm ．故答案为：4．21．解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AC ＝BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OA ＝OD ＝BD ，S △AOD ＝S △AOB ，∵AB ＝3，AD ＝4，∴S 矩形ABCD ＝3×4＝12，BD ＝5，∴S △AOD ＝S 矩形ABCD ＝3，OA ＝OC ＝，∵S △AOD ＝S △AOP +S △DOP ＝OA •PE +OD •PF ＝××PE +××PF ＝（PE +PF ）＝3， ∴PE +PF ＝．故答案为．22．解：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD＝BD＝，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×＝10．故答案为：10．23．解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠COD＝60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质，AB＝OA，∴AC＝2AB，由垂线段最短BC＜AC，∴BC＜2AB，故②错误；∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴BO＝BE，∵∠COB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确；∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE ＝S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．24．解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．25．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．26．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．27．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．28．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC＝同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．29．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD＝90°．30．解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD∴四边形CDFB是矩形∵BC＝CD∴四边形CDFB是正方形∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG∴△BCE≌△BFG（SAS）∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABF＝45°，∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG∴△ABE≌△ABG（SAS）∴AE＝AG＝5，∴A F＝AG﹣FG＝5﹣2＝3在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，∴DF＝6∴BC＝6故答案为：631．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．三．解答题（共9小题）32．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵AD为BC边上的中线∴DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）连接DF，∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，＝AC▪DF＝×4×5＝10．∴S菱形ADCF33．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．34．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为： AC•BD＝×4×2＝4．故答案是：4．35．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．36．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．37．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．38．解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB＝∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝5，∠ABO＝∠EBO，∵AB＝10，∴AB＝2BO，∵∠AOB＝90°∴∠BA0＝30°，∠ABO＝60°，∴AO＝BO＝5，∠ABC＝2∠ABO＝120°．故答案为，120．39．解：（1）①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝4×1＝4厘米，（1分）∵正方形ABCD中，边长为10厘米∴PC＝BE＝6厘米，（1分）又∵正方形ABCD，∴∠B＝∠C，（1分）∴△BPE≌△CQP（1分）②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝PC，而BP＝4t，CP＝10﹣4t，∴4t＝10﹣4t（2分）∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）∴厘米/秒．（1分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x﹣4x＝30，（1分）解得秒．（1分）∴点P共运动了厘米（1分）∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）40．（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF＝BC．∵H、I分别是BG、CG的中点．，∴HI是△BCG的中位线，∴HI∥BC且HI＝BC，∴EF∥HI且EF＝HI．∴四边形EFHI是平行四边形．（2）解：①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位线，∴FH∥AG，FH＝AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是矩形；故答案为：AD⊥BC；②当AG＝BC时，四边形DEFI是菱形．理由：∵△ABC的两条中线BE与CF交于点G、H、I分别是BG、CG的中点，∴FH＝AG，∵EF＝BC，∴当AG＝BC时，FH＝EF，∵四边形EFHI为平行四边形，∴▱EFHI为菱形；故答案为：AG＝BC．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题及答案 (1)

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．菱形的对称轴的条数为( B )A．1B．2C．3D．42．下列说法中，正确的是( C )A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直3．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是( B )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形4．(2017·玉林模拟)下列命题是假命题的是( C )A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE对折，使得点B 落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为( C )A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．1 cm6．(2016·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH 等于( A )A.245B.125C．5 D．4第5题图,第6题图),第7题图)7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( C )A．90°B．60°C．45°D．30°8．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( C ) A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB＝AD＝BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC＝BD，AD＝AB时，四边形ABCD是正方形9．(2016·舟山)如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是( D )A.5B.136C．1 D.56,第9题图),第10题图) 10．(2017·襄阳模拟)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( D )A．①②B．②③C．①③D．①④二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是__3__cm2.12．如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是__22.5__度．13．如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件__∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90°__，使四边形ABCD为矩形．,第12题图),第13题图),第14题图),第15题图)14．已知矩形ABCD，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为__78__cm.15．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝3，则四边形AECF的周长为__22__．16．(2016·苏州)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标为__(3，43)__．三、解答题(共72分)17．(10分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？∵△AOB，△BOC，△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86 cm，且AC＝BD ＝13 cm，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，即矩形ABCD的周长是34 cm18．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB ＝DE，∴∠ABD＝∠EDC，AC＝DE，∴∠EDC＝∠ACD，又DC＝CD，∴△ADC≌△ECD(2)若BD＝CD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE 綊BD，∴AE綊DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD⊥DC，∴▱ADCE是矩形19．(10分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE ∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC(2)∠BAO＝40°20．(10分)如图，已知在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∠A＝∠C，CD＝AB，又∵点E，F 为AB，DC的中点，∴CF＝AE，∴△ADE≌△CBF(2)四边形AGBD是矩形．连接EF，∵▱BEDF是菱形，∴BD⊥EF，又DF綊AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADB＝90°，又∵AD∥BC，DB∥AG，∴四边形AGBD是平行四边形，∴▱AGBD是矩形21．(10分)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形的面积．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.又∵AB＝AC, ∴△ABC是等边三角形．∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°. ∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝12AD，EC＝12BC.∵四边形ABCD为菱形，∴AD綊BC，∴AF綊EC，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形(2)在Rt△ABE中，AE＝82－42＝43，∴S菱形ABCD＝8×43＝32322．(10分)(2017·天水模拟)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.(1)求证：AE＝CF；(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF 是否是菱形，并说明理由．(1)在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，在△ADE和△CDF中，∠ADE ＝∠CDF，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF(2)四边形DEGF是菱形．理由如下：在正方形ABCD中，AB＝BC，∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC －CF，即BE＝BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴BD垂直平分EF，∴EO＝FO.又∵OG＝OD，DE＝DF，∴四边形DEGF是菱形23．(12分)如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P，Q分别是BM，DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，∵在矩形ABCD 中，点M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝12AD，CN＝12BC，∴AM＝CN.在△MBA 和△NDC中，∵AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AM＝CN，∴△MBA≌△NDC(SAS)(2)四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN＝BM.∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN.∵点P，Q分别是BM，DN的中点，∴PM＝NQ.∵DM＝BN，DQ＝BP，∠MDQ＝∠NBP，∴△MQD≌△NPB(SAS)．∴MQ＝NP.∴四边形MPNQ是平行四边形．∵点M是AD的中点，点Q是DN的中点，∴MQ＝12AN，∴MQ ＝12BM.又∵MP＝12BM，∴MP＝MQ.∴四边形MPNQ是菱形第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

北师大版九年级第一章《特殊平行四边形》单元检测卷(含答案)

第一章《特殊平行四边行》单元检测卷（全卷满分100分时限90分钟）一．选择题（每小题3分，共36分）1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有() A．4对B．6对C．8对D．10对2.如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是()A．AE＝AF B．EF⊥AC C．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线3.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于()A．20 B．15 C．10 D．54.如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是()A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC5.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为()A．10°B．12.5°C．15°D．20°6.已知，如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当∠BED ＝126°时，∠EDA的度数为()A．54°B．27°C．36°D．18°7.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形8.如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为() A．8 2 B．4 2 C．8 D．69.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，则∠BOE的度数是()A．80°B．65°C．45°D．75°10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为()A.3－1 B．3－ 5 C.5＋1 D.5－111．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，点E、F分别是AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝()A．35°B．45°C．50°D．55°12．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝12(BC－AD)；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：（每小题3分，共12分）13.如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD＝1∶2，则AC＝____________．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则DE的长度是____．15．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G.若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝________°.16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于________°.三、解答题(本大题共7个小题，共52分)17.(6分)如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．18.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．19.(7分)如图，已知：四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)试探究四边形BECF是什么特殊的四边形并说明理由；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．20.(8分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为DC ，BC 中点． (1)求证：△ADE ≌△ABF ； (2)求△AEF 的面积．21.(6分)已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点． (1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OA ＝12BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？说明理由．22.(8分)已知：如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线与BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4 cm，∠BAD＝120°，求AE，BF的长．23.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(t＞0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明现由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案一、选择题（共36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CCDACDCCDDDC二．填空题：（每小题3分共12分）三．解答题：17.（1）四边形ACED 是平行四边形。

初中数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形单元测试(含答案)

第一章特殊平行四边形一、单选题1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90°D．AC与BD互相平分2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠BOC=120°，AC=8，则AB的长为（）A．6B．4C．43D．423．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，点D是AB的中点，则CD的长度是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cmCD的长为半径4．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于12作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CN的长为（）A ．253B ．4C ．256D ．55．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（）A ．158B ．154C ．152D ．156．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，△ABD 的周长为12cm ，则下列结论错误的是（）A ．OE ∥ABB ．四边形ABCD 是中心对称图形C ．△EOD 的周长等于3cmD ．若∠ABC =90°，则四边形ABCD 是轴对称图形7．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =12，BC =13，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A．6013B．3013C．2413D．12138．如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE+PD 的最小值为（）A．35B．32C．6D．5二、填空题9．菱形的周长为12cm，它的一个内角为60°，则菱形的面积为．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝3，BD＝4，则线段OH的长为．11．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：．12．已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=度．13．如图，矩形ABCD内有一点P，连接AP，DP，CP，延长CP交AB于点E，若∠APD=90°,AD=8,CP=CD=6，则AE的长是．OA，把矩形OABC沿OB折叠，14．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，AB=12点C落在点D处，BD交OA于点E，则点E的坐标为．15．如图，已知点E在菱形ABCD的边AB上，以BE为边向菱形ABCD外部作菱形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB=5，BE=2，∠ABC=120°，则MN=．16．如图，在边长为10的正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作AE的垂线，交AE于点G，交CD于点H，F是BH上一点，连接EF，若BE=FE，则FH的长为．17．如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =24，点P 在BC 边上，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，则PE +PF = ．18．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，BP ＝5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③S △APD +S △APB ＝12+62；④S 正方形ABCD ＝4+6．其中正确结论的序号是．三、解答题19．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO =CO ，BO =DO ，且∠ABC=90°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB 的度数；②四边形ABCD 的面积．20．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．21．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．22．十一国庆节，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（1）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．武玥同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．请你根据①②步骤计算EC，FC的长．23．综合与实践：【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）；（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时，得到了线段BN．【知识运用】请根据上述过程完成下列问题：（1）已知矩形纸片ABCD，AB=43，AM=4，求线段BM的长；（2）通过观察猜测∠NBC的度数是多少？并进行证明；【综合提升】（3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将MN延长交BC于点G．将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请判断四边形BGHM的形状，并说明理由．参考答案：1．A2．B3．C4．C5．B6．C7．B8．Acm29．93210．5411．∠BAC=90∘AD平分∠BAC 12．22.513．8314．(5,0)15．67216．517．1201318．①③④19．解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1∴∠BAC=60°，AC=2，BC=3又∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°S□ABCD=1×3=320．解：（1）在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠A=60∘，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60∘；（2）∵O是对角线BD的中点，BD=2，∴OB=12∵∠ABD=60∘，=1；∴BE=OBcos60∘=2×12（3）过D作DF⊥AB于点F，由(2)可得：OE=OBsin60∘=3，∵OE⊥AB，点O为BD中点，∴DF=2OE=23，则S菱形ABCD=AB⋅DF=4×23=83．21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠CEF，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF经过O且垂直于AC，∴EF是对角线AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AD于H，则∠CHD=∠CHF=90°，∵∠ADC=60°，∴∠HCD=30°，∴HD=12CD=1，∴CH=CD2−HD2=3，∵AD=3，∴AH=2，∵四边形AECF是菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，则FH=2−x，在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2=FH2+CH2，即x2=(2−x)2+(3)2，解得：x=74，∴AF=CF=74，∴菱形AECF的面积为：AF×CH=74×3=734．22．解：∵△ADE由△AFE关于AE对称，∴△ADE≌△AFE，∴DE=FE，AD=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=AF=20cm，AB=CD=16cm，在Rt△ABF中，由勾股定理：BF=AF2−AB2=202−162=12cm，∴CF=BC-BF=20-12=8cm．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°．设CE=x，则DE=EF=16-x，在Rt△CEF中，由勾股定理：EF2=CE2+CF2，代入数据：(16-x)2=x2+64，解得：x=6．∴EC=6cm．综上所述，线段EC=6cm，CF=8cm．23．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，∵AB=43，AM=4，∴BM=AB2+AM2=8；（2）猜测：∠NBC=30°，证明：连接AN：∵EF为折痕，∴EF垂直平分AB，∴AN=BN，∵△BMN由△BMA折叠所得，∴AB=BN，∴AN=BN=AB，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠NBC=90°−60°=30°；（3）四边形BGHM为菱形，理由：∵△BMN由△BMA折叠所得，∴∠ABM=∠NBM，∠BAM=∠MNB=90°，∵∠ABN=∠ABM+∠NBM=60°，∴∠ABM=∠NBM=30°，∵∠NBC=30°，∴∠NBM=∠NBC=30°，∴∠MBG=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=BG，∵将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，∴△BMG≌△HGM，BH⊥MG，∴MH=BM，∴MH=BM=BG，∵MH∥BG，∴四边形BGHM是平行四边形，∵BM=BG，∴四边形BGHM是菱形．。

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)一、选择题1．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为（）2cm．A．48B．24C．12D．202．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．对边平行3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90︒B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等4．如图，在矩形ABCD中，已知AE BD⊥于E，∠BDC=60°，BE=1，则AB的长为（）A．3B．2C．3D35．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形6．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则ba=（）A 51-B 53+C 51+D 217．如图，在菱形ABCD 中 50ABC ∠=︒ ，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则 AOE ∠ 的度数是（）A ．110°B ．112°C ．115°D ．120°8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝4，CD ＝6，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝120°，则AD 的长度为（）A ．3B ．3C ．3D ．3+39．如图，点E 、F 在矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线上，BE =DF ，则四边形AECF 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且BE CF =，连接BF ，DE ，则BF DE +的最小值为（）A 3B 5C ．3D ．512．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∠A ＝120°，则A ．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上一点90AED ∠=︒，∠EAD=30°，F 是AD 边的中点2cm EF =则BE = cm ．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则∠BEQ 周长的最小值为．三、解答题15．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE//BD ，BE//AC ．（1）求证：四边形AEBO 是菱形；（2）若2AB =，OB=3，求AD 的长及四边形AEBO 的面积．16．如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC∠AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =45°，分别连接EF 、BD ，BD 与AF 、AE 分别相交于点M 、N.（1）求证：EF =BE +DF .为了证明“EF =BE +DF ”，小明延长CB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程. （2）若正方形ABCD 的边长为6，BE =2，求DF 的长.18．已知：如图，在 Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ ， CD 是 ABC 的角平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分別为E 、F.求证：四边形 CEDF 是正方形.四、综合题19．如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，AEF 是由ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D .（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长.20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE∠AC ，且12DE AC =，连接CE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB=6，AC=8，求AE的长.21．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图1，连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断∠“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1），连接AF、CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；②求AF的长；（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿∠AFB和∠CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q 的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵菱形周长为20cm∴一条边的边长a=5cm又∵一条对角线长为8cm根据勾股定理可得另一条对角线长的一半22543 b-=∴另一条对角线长为6cm∴2186242m=⨯⨯=菱形的面积故答案为：B.【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理，首先根据菱形的四边相等可知边长为5，又因为菱形的对角线垂直，所以结合一条已知的对角线求出另一条对角线的长度为6，两条对角线长度已知即可求出菱形的面积.2．【答案】B【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】菱形和矩形具有平行四边形的一切性质，菱形特有：四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角，矩形特有：四个角都是直角，对角线相等，据此逐一判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C 不符合题意；D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一一判断得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：四边形ABCD 为矩形60BDC ∠=︒=60ABD ∴∠︒AE BD ⊥30BAE ∴∠=︒AB 2∴=故答案为：B ．【分析】由矩形的性质求出∠ABD=90°，利用三角形内角和求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；B 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；C 、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C 选项不符合题意，D 选项符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，一一判断可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：依题意得()2()a b b b a b +=++整理得：22222a b ab b ab ++=+则220a b ab -+= 方程两边同时除以2a 2()10b b a a --=152b a +∴=（负值已经舍去）【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a＋b），右图是一个长方形，长宽分别为（b＋a＋b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a＋b）2＝b（b＋a＋b），解方程即可求出ba的值.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC∠BD，∠CDO= 12∠ADC=12∠ABC=25°∴∠DOC=90°∵点E是CD的中点∴OE=DE= 12CD∴∠DOE=∠CDO=25°∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°故答案为：C.【分析】根据菱形的性质得出AC∠BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可. 8．【答案】A【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠EBC=∠ECB=60°∴∠BCE是等边三角形∵BC=4，∴EC=BE=BC=4∵AB=1，CD=6∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10∵∠A=90°∴22221057553DE AE-=-=故答案为：53.【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得∠BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.9．【答案】A∴AO=CO BO=DO又BE=DF∴ BO+BE=DO+DF即EO=FO∴ 四边形AECF 是平行四边（对角线互相平分的四边形是平行四边形）故选：A【分析】根据矩形性质得到平行四边形的判定条件。

九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元清新版北师大版(含答案)

九年级数学上册新版北师大版：检测内容：第一章特殊平行四边形得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是( B )A．对角线相等B．对角线互相平分C．都是轴对称图形D．对角线互相垂直2．下列条件中，不能判断一个四边形是矩形的是( D )A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角B．有3个角是直角C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D．一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等3．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD 的长为( D )A．5 B．13C．10D．7第3题图第4题图第5题图第6题图4．如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( B ) A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形5．如图，在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，将正方形向右平移3个单位长度，则平移后点D的坐标是( B )A．(－6，2) B．(0，2) C．(2，0) D．(2，2)6．(宁夏中考)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长为( B ) A．13 B．10 C．12 D．57．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则AE的长为( C )A．0.5 B．1 C．2 D．3第7题图第8题图第9题图第10题图8．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，OE ⊥OF 交AB 边于点F ，点G ，H 分别是点E ，F 关于直线AC 的对称点，点E 从点C 运动到点B 时，图中阴影部分的面积大小变化情况是( C )A ．先增大后减小B ．先减小后增大C ．一直不变D ．不确定9．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED ＝2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE ＝1，AG ＝4，则AB 的长为( D )A ．3B ．4C ．17D ．1510．如图，在平面直角在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC ＝60°，点B 在y 轴上，OA ＝1，将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2 022次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 022的坐标为( A ) A ．(1 348，3 ) B ．(1 348.5，32 ) C ．(1 349，0) D ．(1 349.5，32) 二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，请再添加一个条件：__BC ＝CD (答案不唯一)__，使四边形ABCD 成为菱形．第11题图第12题图第13题图第14题图第15题图12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE ＝3，则AB 的长为__6__．13．如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为72 cm 2，则菱形的边长为__234 _cm__.ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF ，且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G .若DG GA ＝17 ，则AD AB＝__2 ． 15．如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为__342__.三、解答题(共75分)16．(6分)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D，E，F分别是BC，AB，AC 的中点．求证：四边形AEDF是菱形．证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．又∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC，∴AE＝AF，∴平行四边形AEDF 是菱形17．(8分)(鹿邑县期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，求AD的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB.∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝BD2－AB2＝36－9＝3318．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证：四边形ACED是正方形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD.∴∠ADC＝∠OCE，∠DAO＝∠CEO.∵O是CD的中点，∴OC＝OD，∴△AOD≌△EOC，∴OA＝OE，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵AB∥CD，∴∠COE＝∠BAE＝90°，∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE ＝CD，∴菱形ACED是正方形19．(10分)如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AD ∥BC .又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．又∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，CE ＝12 BC ，∴∠AEC ＝90°.同理可得AF ＝12AD ，∴AF ＝CE .又∵AD ∥BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝AB 2－BE 2 ＝82－42 ＝43 ，∴S 菱形ABCD ＝8×43 ＝32320．(10分)(舞钢市期中)如图，E 和F 分别是菱形ABCD 的边AB 和AD 的中点，且AB ＝5，AC ＝6.(1)判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求线段EF 的长．解：(1)△OEF 是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴OE ，OF 是△ABD 的中位线，∴OE ＝12 AD ，OF ＝12AB ，∴OE ＝OF ，∴△OEF 是等腰三角形(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ＝3，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴OB ＝AB 2－OA 2 ＝52－32 ＝4，∴BD ＝2OB ＝8.∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ＝12BD ＝421．(10分)如图，四边形ABCD 和四边形AECF 都是矩形，AE 与BC 相交于点M ，CF 与AD 相交于点N .(1)求证：△ABM ≌△CDN ；(2)矩形ABCD 和矩形AECF 满足何种关系时，四边形AMCN 是菱形？证明你的结论．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝CD ，AD ∥BC .∵四边形AECF 是矩形，∴AE ∥CF ，∴四边形AMCN 是平行四边形，∴AM ＝CN ，∴Rt △ABM ≌Rt △CDN (HL)(2)当AB ＝AF 时，四边形AMCN 是菱形，证明：∵四边形ABCD ，AECF 是矩形，∴∠B ＝∠BAD ＝∠EAF ＝∠F ＝90°，∴∠BAD －∠NAM ＝∠EAF －∠NAM ，即∠BAM ＝∠F AN .又∵AB ＝AF ，∴△ABM ≌△AFN (ASA)，∴AM ＝AN .由(1)知四边形AMCN 是平行四边形，∴平行四边形AMCN 是菱形22．(10分)(1)如图①，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC 上，∠EDF ＝45°，连接EF，求证：EF＝AE＋FC；(2)如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF，AE，FC的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°.延长BA到点M，使AM＝CF，连接MD，则△AMD≌△CFD(SAS)，∴∠MDA ＝∠CDF，MD＝DF.∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，∴∠ADM＋∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF.又∵DE＝DE，∴△EDF≌△EDM(SAS)，∴EF＝EM.∵EM ＝AE＋AM＝AE＋CF，∴EF＝AE＋CF(2)EF2＝AE2＋CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN ＝∠CAD＋∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2＋AN2.∵∠EDF＝45°，∴∠CDF＋∠ADE＝45°，∴∠ADE＋∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF.又∵DE＝DE，∴△EDF≌△EDN(SAS)，∴EF ＝EN，∴EF2＝AE2＋CF223．(13分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O，点P为直线BD上的动点(不与点B重合)，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接CE，BE.(1)问题发现：如图①，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为__BP＝CE__；∠ECB＝__90°__；(2)拓展探究：如图②，当点P在线段BO的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)问题解决：当∠BEC＝30°时，请直接写出线段AP的长度．图①图②备用图解：(2)结论成立，理由如下：连接AE，易知△AEP，△ABC都是等边三角形，∴AE＝AP，AB＝AC，∠EAP＝∠BAC＝60°，∴∠EAC＝∠BAP，∴△AEC≌△APB(SAS)，∴CE ＝BP，∠ABP＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝∠ACE＋∠ACB＝90°，∴结论仍然成立(3)如图③，当点E在AC左侧时，∵∠BEC＝30°，∠ECB＝90°，∴∠EBC＝60°.∵∠ABC＝60°，∴BE与AB重合．∵AB＝BC＝4，∴BE＝2BC＝8，∴AE＝BE－AB＝4.又∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE＝4(此时点P与点D重合)；如图④，当点E在AC右侧时，∵∠BEC＝30°，∠ECB＝90°，∴∠EBC＝60°.∵∠DBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC＋∠EBC＝90°.∵BC＝AB＝4，∴BE＝2BC＝8，∴CE＝43.∵BP＝CE，∴BP＝43，∴EP＝BP2＋BE2＝47.又∵△APE是等边三角形，∴AP＝PE＝47.综上所述，AP的长为4或47。

北师版九上数学第一章特殊平行四边形单元测试卷(含答案)

北师版九上数学第一章特殊平行四边形单元测试卷（难）一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知四边形ABCD，下列说法正确的是()A.当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B.当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C.当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D.当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形2.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）第2题图A.2B.C.D.63.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150°B.135°C.120°D.100°4.已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.4C.6D.86.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）A.20B.15C.10D.57.若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（）A.4B.2C.D.8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A. B. C. D.第5题图第6题图（1）（2）10.如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________.12.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C 运动.给出以下四个结论：①;②∠∠;③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大.上述正确结论的序号有.13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB 到点E ，使，则∠BCE 的度数是.14.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，已知△的周长为24cm，则矩形的周长是cm.15.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为.CDAB第17题图第15题图第18题图16.已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为_________.17.如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______.第9题图第10题图18.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题（共66分）19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD.（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.20.（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.21.（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.（1）求证:AE=DF.（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.第21题图22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长.23.（8分）如图，在矩形中，相交于点，平分，交于点.若，求∠的度数.24.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.（1）求证：OE＝OF；（2）若BC＝，求AB的长.25.(8分)已知：如图，在四边形中，∥，平分∠，，为的中点.试说明：互相垂直平分.26.(10分)如图，在△中，∠，的垂直平分线交于点，交于点，点在上，且.(1)求证：四边形是平行四边形.(2)当∠满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由.第26题图第一章特殊平行四边形--单元检测题1（难）参考答案一、1.B 2.A解析：根据图形折叠的性质可得：∠BCE =∠ACE=21∠ACB ，∠B =∠COE =90°，BC =CO =21AC ，所以∠BAC =30°，所以∠BCE =∠ACE =21∠ACB =30°.因为BC =3，所以CE =23.3.C解析：如图，连接AC .在菱形ABCD 中，AD=DC ,AE ⊥CD ，AF ⊥BC ，因为，所以AE 是CD 的中垂线，所以，所以△ADC 是等边三角形，所以∠60°，从而∠120°.4.B 解析:如图，在矩形ABCD 中，10cm，15cm，是∠的平分线，则∠∠C .由AE ∥BC 得∠∠AEB ，所以∠∠AEB ，即，所以10cm，ED =AD -AE =15-10=5(cm)，故选B.5.B解析：因为矩形ABCD 的面积为，所以阴影部分的面积为，故选B．6.D 解析：在菱形中，由∠=，得∠.又∵，∴△是等边三角形，∴.7.B 解析：如图，在正方形中，，则，即，所以，所以正方形的面积为2，故选B.8.C 9.A解析：由题意知AC ⊥BD ,且4，5，所以2114510cm )22S AC BD =⋅=⨯⨯=菱形（.10.A 解析：由折叠知，四边形为正方形，∴.二、11.6解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6.12.①②③解析：因为四边形ABCD 为菱形，所以ABCD ，∠B =∠D ，BE =DF ，所以△≌△，所以AE AF ，①正确.由CB =CD ，BE=DF ,得CE=CF ，所以∠CEF=∠CFE ，②正确.当E ，F 分别为BC ，CD 的中点时，BE=DF =21BC =21DC .连接AC ，BD ，知△为等边三角形，所以⊥.因为AC ⊥BD ,所以∠ACE =60°，∠CEF =30°，⊥，所以∠AEF =.由①知AE AF ，故△为ABCD第7题答图等边三角形，③正确.设菱形的边长为1，当点E ，F 分别为边BC ，DC 的中点时，的面积为，而当点E ，F 分别与点B ，D 重合时，=，故④错.13.22.5°解析:由四边形是正方形，得∠∠又，所以.5°，所以∠.14.48解析:由矩形可知，又⊥，所以垂直平分，所以.已知△的周长为24cm ，即所以矩形ABCD 的周长为15.解析：如图，作E 关于直线AC 的对称点E ′，则BE =DE ′，连接E ′F ，则E ′F 即为所求，过F 作FG ⊥CD 于G ，在Rt△E ′FG 中，GE ′=CD -DE ′-CG =CD -BE -BF =4-1-2=1，GF =4，所以E ′F =＝＝.16.96解析：因为菱形的周长是40，所以边长是10．如图，，．根据菱形的性质，有⊥，，所以，．所以．17.28解析：由勾股定理,得.又，，所以所以五个小矩形的周长之和为18.22.5解析：由四边形ABCD 是正方形，可知∠BAD =∠D =90°，∠CAD =12∠BAD =45°.由FE ⊥AC ，可知∠AEF =90°.在Rt△ABC 与Rt△ADC 中，AE =AD ，AF =AF ，∴Rt△AEF ≌Rt△ADF （HL），∴∠FAD =∠FAE =12∠CAD =12×45°=22.5°.三、19.证明：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∴∠FAC =∠B +∠ACB =2∠BCA .∵AD 平分∠FAC ，∴∠FAC =2∠CAD ，∴∠CAD =∠ACB .在△ABC 和△CDA 中，∠BAC ＝∠DCA ，AC ＝AC ，∠DAC ＝∠ACB ，∴△ABC ≌△CDA .（2）∵∠FAC =2∠ACB ，∠FAC =2∠DAC ，∴∠DAC =∠ACB ，∴AD ∥BC .∵∠BAC =∠ACD ，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∵∠B =60°，AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∴平行四边形ABCD 是菱形.20.证明：（1）在□ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB =∠EAD .∵AE =AB ，∴∠ABE =∠AEB ，∴∠ABE =∠EAD .（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE.∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB，∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴AB=AD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.21.解：（1）证明：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是平行四边形,所以AE=DF.（2）解：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形，理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，且∠BAD=∠FDA.又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAF，∴∠DAF=∠FDA，∴AF=DF，∴平行四边形AEDF为菱形. 22.（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF.（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，解得：x=，即EF=.23.解：因为平分，所以.又知，所以因为，所以△为等边三角形，所以因为，所以△为等腰直角三角形，所以．所以，，所以=75°.24.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠OAE=∠OCF.又∵OA=OC,∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA）.∴OE=OF.（2）解:连接BO.∵BE=BF，∴△BEF是等腰三角形.又∵OE=OF,∴BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴∠BOF=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF=90°.又∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,∴∠BAC=∠EOA.∴AE=OE.∵AE=CF,OE=OF,∴OF=CF.又∵BF=BF,∴Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）.∴∠OBF=∠CBF.∴∠CBF=∠FBO=∠OBE.∵∠ABC=90°,∴∠OBE=30°.∴∠BEO=60°.∴∠BAC=30°.在Rt△BAC中，∵BC AC=2BC=4.AB=25.解：如图，连接∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.因为在Rt△中，是的中点，所以是Rt△的斜边BC 上的中线，所以，所以．因为平分，所以，所以所以∥.又AD ∥BC ，所以四边形是平行四边形．又，所以平行四边形是菱形，所以互相垂直平分．26.（1）证明：由题意知∠∠，∴∥，∴∠∠.∵，∴∠∠AEF =∠EAC =∠ECA .又∵，∴△≌△，∴，∴四边形是平行四边形．（2）解：当∠时，四边形是菱形．理由如下：∵∠，∠，∴AB 21.∵垂直平分，∴.又∵，∴AB 21，∴，∴平行四边形是菱形．。

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷带答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷带答案(北师大版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．对角线互相垂直平分的四边形是（）A ．菱形、正方形B ．矩形、菱形C ．矩形、正方形D ．平行四边形、菱形2．在ABC 中，点D 是边AC 的中点，连结BD 并延长到E ，使DE DB =，连结AE ，CE ．则下列说法不正确的是（）A ．四边形ABCE 是平行四边形B ．当90ABC ∠=︒时，四边形ABCE 是矩形C ．当AB BC =时，四边形ABCE 是菱形D ．当AB BC CA ==时，四边形ABCE 是正方形3．如图，在矩形ABCD 中（AD ＞AB ），点E 是BC 上一点，且DE=DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，在下列结论中，不一定正确的是（）A ．△AFD ≌△DCEB ．AF=12AD C ．AB=AF D ．BE=AD ﹣DF 4．如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点，连接EF ，如果4EF =，那么菱形ABCD 的周长为（）A ．4B ．8C ．16D ．325．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.56．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为16和12，DE AB ⊥于点E ，则DE =（）A ．485B ．965C ．10D ．87．如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E ，F 分别为边AB BC ，的中点，连接AF DE ，，点G ，H 分别为DE AF ，的中点，连接GH ，则GH 的长为（）A ．2B ．1CD ．28．如图，在矩形ABCD 中，在CD 上取点E ，连接AE ，在AE ，AB 上分别取点F ，G ，连接DF ，GF ，AG GF =将ADF 沿FD 翻折，点A 落在BC 边的A '处，若//GF A D '，且3AB =，AD=5，AF 的长是（）A B C ．52 D 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是．10．如图，在ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，在不添加任何辅助线的情况下，请你加一个条件，使ABCD 是菱形．11．如图，点M 是正方形ABCD 内位于对角线BD 上方的一点2MAD ∠=∠，则AMD ∠的度数为．12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点E 是边BC 的中点，连接AE ，把△ABE 沿AE 对折得到△AFE ，延长AF 与CD 交于点G ，则DG 的长为．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转角()α0α180︒<<︒得到正方形A B C D ''''，连接D C '，当点B '恰好落在线段D C '上时，线段D C '的长度是．（结果保留根号）三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E 为垂足，连接DF ，求∠CDF 的度数．15．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=10，E 在AD 上，连接BE ，CE ，过点A 作AG ∥CE ，分别交BC ，BE 于点G ，F ，连接DG 交CE 于点H ．若AE=2，求证：四边形EFGH 是矩形．16．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、F 两点均在BD 上），折痕分别为BH 、DG ．（1）求证：△BHE ≌△DGF ；（2）若AB=6cm ，BC=8cm ，求线段FG 的长．17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求BG的长．18．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA=PE．（1）求证：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由参考答案：1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A9．2410．AB BC =（答案不唯一）11．135°12．5516136214．解答：解：如图，连接BF ，在△BCF 和△DCF 中，∵CD ＝CB ，∠DCF ＝∠BCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF ，∴∠CBF ＝∠CDF ，∵FE 垂直平分AB ，∠BAF ＝ ×80°＝40°∴∠ABF ＝∠BAF ＝40°，∵∠ABC ＝180°－80°＝100°，∠CBF ＝100°－40°＝60°，∴∠CDF ＝60°．15．解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠BAD=∠ADC=90°∵AB=4，AE=2∴22AE AB +5，22DE CD +221024-+（）5∴BE 2+CE 2=BC 2∴∠BEC=90°∵AG ∥CE ，AE ∥CG∴四边形AECG 是平行四边形∴CG=AE=2，5同理∠AGD=90°∵AG ∥CE∴∠EFG=∠FEH=90°∴四边形EFGH 是矩形．16．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC∵△BEH 是△BAH 翻折而成∴∠ABH=∠EBH ，∠A=∠HEB=90°，AB=BE∵△DGF 是△DGC 翻折而成∴∠FDG=∠CDG ，∠C=∠DFG=90°，CD=DF∴∠DBH=12∠ABD ，∠BDG=12∠BDC ∴∠DBH=∠BDG∴△BEH 与△DFG 中∠HEB=∠DFG ，BE=DF ，∠DBH=∠BDG∴△BEH ≌△DFG（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=6cm ，BC=8cm∴AB=CD=6cm ，AD=BC=8cm∴22BC CD +2286+∵由（1）知，FD=CD ，CG=FG∴BF=10-6=4cm设FG=x ，则BG=8-x在Rt △BGF 中BG 2=BF 2+FG 2，即（8-x ）2=42+x 2解得x=3，即FG=3cm ．17．（1）解：四边形ABCD 是菱形OB OD ∴= E 是AD 的中点OE ∴是ΔABD 的中位线//OE FG ∴//OG EF∴四边形OEFG 是平行四边形EF AB ⊥90EFG ∴∠=︒∴平行四边形OEFG 是矩形；（2）解：四边形ABCD 是菱形BD AC ∴⊥ 10AB AD ==90AOD ∴∠=︒ E 是AD 的中点152OE AE AD ∴===；由（1）知，四边形OEFG 是矩形5FG OE ∴==5AE = 4EF =223AF AE EF ∴=-=10352BG AB AF FG ∴=--=--=．18．（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=BC∠ABP=∠CBP=45°在△ABP 和△CBP 中AB BCABP CBP PB PB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CBP （SAS ）∴PA=PC∵PA=PE∴PC=PE ；（2）解：由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP=∠BCP ，∵PA=PE ，∴∠PAE=∠PEA∴∠CPB=∠AEP∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°∴∠ABC+∠EPC=180°∵∠ABC=90°，∴∠EPC=90°（3）∠ABC+∠EPC=180°，理由：解：在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP 和△CBP 中，AB BC ABP CBPPB PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴∠BAP=∠BCP ，∵PA=PE∴∠DAP=∠DCP∴∠PAE=∠PEA ，∴∠CPB=∠AEP ，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°。

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