2020高考理科数学仿真试题四精品解析(62张)

2020年高考数学(理)全真模拟卷(四)(全国版含答案解析)

故选 B．
【点睛】
本题考查读懂条件程序框图的功能，比较指对数的大小，属于简单题.
1
7．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离
4
心率为 ( )
1
A．
3
1
B．
2
4
2
C．
3
3
D．
4
【答案】B 【解析】
试题分析：不妨设直线 l : x y 1 ，即 bx cy bc 0 椭圆中心到 l 的距离 cb
| bc | 2b b2 c2 4
e c 1 ，故选 B. a2
考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思
想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作
答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
读懂程序框图，可知输出 a ， b ， c 中最大的数，然后对 a, b, c 三个数进行判断，得到答案.
【详解】
由程序框图知，输出 a ， b ， c 中最大的数，
a

1
0.5 2
，
b

0.9
1 4
，
c

log5
0.3

2020高考理科数学仿真试题含答案

2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！数学理工农医类(四)本试卷分第Ⅰ卷（选择题共60分）和第Ⅱ卷（非选择题共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n(k)=k n C p k(1－p)n－k球的表面积公式S=4πR2,其中R表示球的半径4πR3,其中R表示球的半径球的体积公式V=3一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={圆:x2+y2=1},B={直线:y=x},则A∩B为A.{(22,22)}B.{(－22,－22)}C.{(22,22),(－22,22)}D.∅解析: 注意集合中的元素,A 为圆,B 为直线,故A ∩B =∅. 答案: D2.用6种不同的颜色把下图中A 、B 、C 、D 四块区域分开,允许同一色涂不同的区域,但相邻的区域不能涂同一色,则不同的涂法共有AB CDA.400种B.460种C.480种D.496种解析: 由A →B →C →D 的顺序填涂可得,共有16C 、15C 、14C 、14C =480种填涂方法.答案: C3.使得点A (cos2α,sin2α)到点B (cos α,sin α)的距离为1的α的一个值是A.12πB.6πC.－3πD.－4π解析: |AB |=22)2sin 2(sin )cos 2cos (αααα-+-=2|sin 2α|=1.答案: C4.已知4a －2b =(－2,23),c =(1,3),a ·c =3,|b |=4,则b 与c 的夹角是A.2πB.3πC.4πD.6π解析: 由题设得4a ·c －2b ·c =4·3－2b ·c =(－2,23)·(1,3),故得b ·c =4. 所以cos θ=||||c b cb ⋅=244⋅= 21⇒θ=3π,故选B本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量数量积公式的灵活应用.答案:B 5.已知数列a n =1+an bn,其中a >0,b <0(a 、b 为常数),那么a n 与a n +1的大小关系是A.a n >a n +1B.a n <a n +1C.a n =a n +1D.与n 的值相关解析: 构造函数:a n =ab (1－a 1·an 11+),由a >0,b <0知a n 是关于n 的减函数, ∴a n >a n +1. 答案: A6.函数y =xx ||lg 的大致图象是A BC D解析: y =xx ||lg 是奇函数,且当x =±1时,y =0,所以选D.答案: D7.如下图,正方体的棱长为3 cm,在每一个面的正中有一个正方形孔通到对面,孔的边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体的各棱,则该几何体的总表面积为A.54 cm 2B.72 cm 2C.76 cm 2D.84 cm 2解析: 把棱长为3 cm 的正方体分割成棱长为1 cm 的正方体共有33=27个,如题意抽去三个方向上的正方体,余下的可分为两类.第一类:处于正方体8个顶点上的8个小正方体,它们算入表面积的面各3个,共3×8=24(cm 2);第二类:处于正方体各棱中间的正方体,每个正方体算入表面积的面各4个,共4×12=48(cm 2),则总表面积为24+48=72(cm 2).注：此题另一种思路是：外表面积8×6＝48(cm 2),内表面积2×12=24(cm 2),总表面积 72 cm 2.答案: B 8.如果5-x ≠kx对一切x ≥15均成立,则有 A.k ≤0B.k ≤0或k >2020 C.k ≤0或k >1510D.0≤k <2020解析: 令y =5-x ,y =kx ,显然k ≤0时成立,由⎩⎨⎧=-=kxy x y 52⇒k 2x 2－x +5=0(k >0), 由Δ=0,得k =2020;由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 2020,52得x =10,而x ≥15,∴当x =15时,k =1510.∴k ≤0或k >1510.答案: C9.满足不等式0≤y ≤2－|x |的整数解(x ,y )的个数是 A.6B.7C.8D.9解析: 由已知|x |≤2,则－2≤x ≤2. 当x =－2,2时，y =0.有2个；当x =－1,1时，y =0,1.有4个；当x =0时，y =0,1,2.有3个. 综上，共有9个，故选D. 答案: D10.一名射击运动员命中的概率为0.7,那么他射击21次后最可能的命中次数是A.13或14B.14或15C.16或17D.17或18解析: 满足几何分布,∴E ξ=np =14.7. ∴B 满足.答案: B 11.若∞→n lim (a ·122-+n n －nb )=1,则ab 的值是A.82B.42C.8D.16解析:∞→n lim(a ·122-+n n －nb )=∞→n limnbn n a a n a n b a +-+-+-12)2(222222存在, 则2a 2－b 2=0.①∴原式=∞→n limbnn a n a a +-+⋅-222112=1.∴ba a +22=1. ②由①②可知,a =22,b =4.∴ab =82.答案: A 12.已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,01,0,,2x xx x 则f ′(1)、f ′(－1)等于A.－2B.－3C.－1D.1解析: f ′(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥⋅.0,2,0,121x x x x ∴f ′(1)·f ′(－1)=－1. 答案: C第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上)13.在(2+x33)2004的展开式中,系数为有理数的项共有_______项.解析: 易知T r +1=r 2004C 21002－2r ·33rx －r .其系数为有理数的充要条件是r 为2与3的倍数,即r 被6整除,所以r =6k (k ∈Z).∵0≤6k ≤2004, ∴0≤k ≤334(k ∈Z). ∴k =0,1,2, (334)系数为有理数的项共有335项.或利用等差数列通项公式,由2004=6(n －1),解得n =335. 答案: 33514.如下图的电路中有a 、b 、c 三个开关,每个开关断开或闭合的概率都是21,且是相互独立的,则在某时刻灯泡甲、乙亮的概率分别是_______.解析: 甲亮须a 、c 闭合,b 开启, ∴P 甲=21×21×21=81.乙亮a 必须闭合,b 、c 只需一个闭合即可, ∴P 乙=21×(21×21+21×21+21×21)=83. 答案:81,83 15.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_______种.解析:从10个点中任取4个的组合数为410C =210种.其中4点共面的分三类.(1)4点在同一侧面或底面的共4组,即46C ×4=60种.(2)每条棱的中点与它的对棱上三点共面,这样的共6种. (3)在6个中点中,4点共面数有3种.故4点不共面的取法有210－(60+6+3)=141种. 答案: 14116.关于正四棱锥P —ABCD ,给出下列命题: ①异面直线PA 与BD 所成的角为直角; ②侧面为锐角三角形;③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角; ④相邻两侧面所成的二面角为钝角. 其中正确命题的序号是___________.解析:①对,如图,顶点P 在底面上的射影为底面中心O . ∵AC ⊥BD ,∴PA ⊥BD ,即PA 与BD 所成的角为直角. ②对,设正四棱锥底面边长为a ,侧棱长为b , 则AC =2a ,OA =OB =22a .∵b >22a ,在△PAB 中,PA 2+PB 2－AB 2=2b 2－a 2>2(22a )2－a 2=0,∴∠APB 为锐角,故△APB 为锐角三角形,即侧面为锐角三角形. ③对,取BC 中点E ,连PE 、OE ,易知∠PEO 为侧面与底面所成的角,∠PBO 为侧棱与底面所成的角,sin ∠PEO =PEPO ,sin ∠PBO =PBPO .∵PB >PE ,∴sin ∠PEO >sin ∠PBO . ∴∠PEO >∠PBO .④对,作AF ⊥PB 于F ,连FC ,易证FC ⊥PB , ∴∠AFC 为相邻两侧面所成的二面角.∵AF <AB ,CF <BC ,在△AFC 中,AF 2+CF 2－AC 2<AB 2+BC 2－AC 2=0,从而∠AFC >90°.故相邻两侧面所成的二面角为钝角.答案: ①②③④三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期;(2)若x ∈［0,2π］,求f (x )的最大值、最小值.解:（1）因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x =(cos 2x +sin 2x )·(cos 2x －sin 2x )－sin2x =cos2x －sin2x =2cos(2x +4π),所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.6分(2)因为0≤x ≤2π,所以4π≤2x +4π≤4π5.当2x +4π=4π时,cos(2x +4π)取得最大值22;当2x +4π=π时,cos(2x +4π)取得最小值－1.所以f (x )在［0,2π］上的最大值为1,最小值为－2.12分18.(本小题满分12分)已知正四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面边长为3,高为4. (1)平面ABCD 内是否存在与AB 不平行的直线与BC ′垂直?证明你的结论.(2)求二面角A ′—BC ′—B ′的大小.(3)求点D ′到平面A ′BC ′的距离. 解法一:(几何法)(1)不存在.证明:假设平面ABCD 内存在与AB 不平行的直线l 与BC ′垂直. ∵ABCD —A ′B ′C ′D ′是正四棱柱, ∴AB ⊥BC ′. 又AB 与l 相交, ∴BC ′⊥平面ABCD .又BB ′⊥平面ABCD ,这与“过一点只能作一条直线与一个平面垂直”相矛盾.故平面ABCD 内不存在与AB 不平行的直线l 与BC ′垂直. 4分B'(2)作BH ⊥BC ′于H . 连结A ′H .∵A ′B ′⊥平面BB ′C ′, ∴A ′H ⊥BC ′.∴∠A ′HB ′为二面角A ′—BC ′—B ′的平面角. 易求得B ′H =512,A ′H =5413. 又A ′B ′=3, ∴△A ′B ′H 中,cos ∠A ′HB ′=HB H A B A H B HA '⋅'''-'+'2222=512541323)512()5413(222⋅⋅-+=41414. ∴∠A ′HB ′=arccos 41414为所求.8分(3)设d 为所求距离. ∵V D ′—A ′BC ′=V B —A ′C ′D ′,∴31S △A ′BC ′·d =31S △A ′C ′D ′·BB ′⇒31·2413·d =31·(21·32)·4⇒d =414112为所求. 12分解法二:(向量法)(1)不存在.证明:建立如图空间直角坐标系.不妨假设平面ABCD 内存在直线BE (E 在AD 上且与A 不重合)与BC ′垂直(如图).设E (0,t ,4)(t ≠0),则BE =(0,t ,4)－(3,0,4)=(－3,t ,0).又BC =D A '=A A '+D A '=(0,0,－4)+(0,3,0)=(0,3,－4), ∴BC ·BE =(0,3,－4)·(－3,t ,0)=3t =0⇒t =0,这与t ≠0矛盾. ∴平面ABCD 内不存在与AB 不平行的直线l 与BC ′垂直. (2)如图,作A ′H ⊥BC ′于H ,连结B ′H . ∵A ′B ′⊥平面BB ′C ′,∴B ′H 是A ′H 在平面BB ′C ′内的射影. ∴B ′H ⊥BC ′.∴∠A ′HB ′就是二面角A ′—BC ′—B ′的平面角. 设H (3,y ,z ),∵B ′(3,0,0), ∴B H '=(0,－y ,－z ).又C B '=(3,3,0)－(3,0,4)=(0,3,－4), ∴B H '·C B ' =－3y +4z . ∵B H '⊥C B ',∴－3y +4z =0.①又由BH =λC B ',可得4y +3z －12=0.②解①②联立的方程组,得y =2548,z =2536. 故B H '=(3,0,0)－(0,2548,2536)=(3,－2548,－2536),A H '=(－3,－2548,－2536). 又易得|B H '|=512,|A H '|=5413. ∴cos ∠A ′HB ′||||B H A H ''''=5125413)2536,2548,0()2536,2548,3(⋅--⋅--- =41414. ∴∠A ′HB ′=arccos 41414为所求.8分(3)由(2)可知BC ′⊥平面A ′HB ′. ∵BC ′⊂平面A ′BC ′, ∴平面A ′HB ′⊥平面A ′BC ′.作B ′G ⊥A ′H 于G ,则B ′G ⊥平面A ′BC ′,B ′G 就是点B ′到平面A ′BC ′的距离.∴B ′G =B ′H ·sin ∠A ′HB ′=512·2)41414(1-=414112. ∵ABCD —A ′B ′C ′D ′是正四棱柱,∴易证点D ′与点B ′到平面A ′BC ′的距离相等. ∴414112为所求.12分19.(本小题满分12分)二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k 点出现的概率是P k (k =1,2,3,4,5,6).在这种情况下,(1)求二人平局的概率P .(2)证明P ≥61;并证明如果P =61,则P k =61(k =1,2,3,4,5,6).(1)解:P =P 12+P 22+…+P 62.4分(2)证明:∵P 1+P 2+…+P 6=1,(P 1－61)2+(P 2－61)2+…+(P 6－61)2=P 12+P 22+…+P 62－31 (P 1+P 2+…+P 6)+61=P －61≥0,∴P ≥61,当P =61时,P 1=P 2=…=P 6=61.12分20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=12++x bax 在x =2处有一个极大值. (1)求a 、b 的关系式,并判断a 的符号; (2)求f (x )的单调区间.解:(1)f ′(x )=222)1()(2)1(++-+x b ax x x a =222)1(2++--x a bx ax .①∵f (x )在x =2处有一个极大值, ∴f ′(2)=0,从而3a +4b =0.②将b =－43a 代入①得f ′(x )=22)1()2)(21(+-+-x x x a . ∵f (x )在x =2处有极大值, ∴当－21<x <2时,f ′(x )>0;x >2时,f ′(x )<0,∴a >0.6分(2)令f ′(x )>0解得－21<x <2,从而f (x )在(－21,2)内是增函数; 令f ′(x )<0,解得x <－21或x >2,从而f (x )在(－∞,－21)或(2,+∞)内是减函数.12分21.(本小题满分12分)已知正数项数列{a n }和{b n }满足b n =21+41a n ,b n +1=b n (1－41a n +12)(n ∈N *),a 1=1. (1)求数列{a n }和{b n }的前4项; (2)求数列{a n }和{b n }的通项公式. 解:(1)∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=>>++③②①)411(,4121,0,0211n n n n n n n a b b a b b a对一切n ∈N *都成立, 又a 1=1,∴b 1=21+41a 1=43.由①②③式得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=>>),411(,4121,0,022122222a b b a b b a 解得a 2=32,b 2=32,同理解得a 3=21,b 3=85和a 4=52,b 4=53,∴数列{a n }的前4项为a 1=1,a 2=32,a 3=21,a 4=52,数列{b n }的前4项为b 1=43,b 2=32,b 3=85,b 4=53.6分(2)由a 1=1=22,a 2=32,a 3=21=42,a 4=52猜想数列{a n }的通项公式为a n =12+n (n ∈N *).④ 数学归纳法证明如下:当n =1、2、3、4时,由前计算知公式④成立.设n =k (k ≥4)时,公式④成立,即a k =12+k . 当n =k +1时,由①②③式得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-=+=++++++.0,0),411(,41211121111k k k k k k k b a a b b a b 消去b k +1得⎪⎩⎪⎨⎧>-=++++.0),411(41211211k k k k a a b a ⑤又b k =21+41a k =21+41×12+k =)1(22++k k ,把它代入⑤式解得 a k +1=1)1(2++k ,即n =k +1时,公式④也成立. ∴对一切n ∈N *,a n =12+n 成立,此时b n =21+41a n =21+41×12+n =)1(22++n n . ∴数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =12+n ,b n =)1(22++n n .12分说明:可先猜想数列{b n }的通项公式,再用数学归纳法证明,最后由②式解得{a n }的通项公式.22.(本小题满分14分)已知A (4,0)、N (1,0),曲线C 上的任意一点P 满足AN 、AP =6|PN |, (1)求点P 的轨迹方程; (2)求|PN |的取值范围;(3)若M (－1,0),求∠MP N 的取值范围.解:(1)设P (x ,y ),则AN =(－3,0),AP =(x －4,y ),PN =(1－x ,y ). ∵AN ·AP =6|PN |, ∴－3(x －4)+0·y =622)1(y x +-, 化简得3422y x +=1.4分(2)由(1)得|PN |=6AP AN ⋅=－21(x －4).又－2≤x ≤2,∴|PN |的取值范围为［1,3］.8分(3)设|PM |=m ,|PN |=n ,∵M 、N 正好是椭圆的两个焦点,∴cos ∠MPN =mnc n m 2)2(222-+=mn c mn n m 2)2(2)(22--+=mnmn c a 22)2()2(22--=mn b 242－1=mn 6－1≥2)2(6n m +－1=26a －1=21.又∠MPN ∈(0,π),∴∠MPN 的取值范围是［0,3π］.14分。

2020届高三第二次模拟考试卷理科数学(四) 解析版

2020届高三第二次模拟考试卷理科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，(2){21}x x A x -=<，{ln(1)}B x y x ==-，则()U A B =I ð（）A ．{1}x x ≥B ．{1}x x ≤C ．{01}x x <≤D ．{12}x x ≤<【答案】D【解析】由题意可知{02}A x x =<<，{1}B x x =<，所以(){02}{1}{12}U A B x x x x x x =<<≥=≤<I I ð，故选D ． 2．已知函数()()xf x a a =∈R ，则“104a <≤”是“对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- 成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立”等价于“函数()()x f x a a =∈R 在R 上为减函数”，即01a <<，显然“104a <≤”是“任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立”的充分不必要条件，故选A ． 3．已知 1.12a =，0.45b =，5ln2c =，则（） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D【解析】 1.10221a =>=，0.40551b =>=， ∵101122048a ==，1045625b ==，∴1a b >>，又5lnln 12e <=，∴a b c >>，故选D ． 4．已知复数z 满足i i ()z m m =+∈R ，若z 的虚部为1，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】∵i i z m =+，∴i 1i imz m +==-，由于z 的虚部为1，故1m -=，∴1i z =+，复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，故复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A ． 5．已知1cos sin 5αα-=，则πcos(2)2α-=（） A ．2425-B ．45-C ．2425D ．45【答案】C【解析】由1cos sin 5αα-=，得11sin 225α-=，所以24sin 225α=，所以π24cos(2)sin 2225αα-==，故选C ． 6．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3π4A =，3tan 4C =，2b =，则ABC△的面积S =（） A ．6 B ．4C．D．【答案】A【解析】在ABC △中，因为3tan 4C =，所以3sin 5C =，4cos 5C =，又3π4A =，所以3πsin sin()sin()sin )4B A C C C C =+=+=-=，由正弦定理sin sin b c B C =，得232510c=，解得62c =，故ABC △的面积1sin 62S bc A ==，故选A ．7．在ABC △中，已知92AB AC ⋅=u u u r u u u r ，3AC =u u ur ，3AB =u u u r ，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的值是（）A ．112B ．132C ．6D ．7【答案】B【解析】不妨设2133AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，1233AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r，所以222112252()()3333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC⋅=+⋅+=+⋅+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 22222525913()(33)999922AB AC AB AC =++⋅=⨯++⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选B ．8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，若12a =，且11242n n n S S a ++=++，则使得120n T n >-成立的n 的最小值是（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．9【答案】A【解析】由11242n n n S S a ++=++，化简可得132n n S S +=+，则当2n ≥时，132n n S S -=+，两式相减得13n n a a +=，当1n =时，12132a a a +=+，又12a =，所以2163a a ==，故{}n a 是以3为公比，2为首项的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯．根据等比数列的前n 项和公式可得2(13)3113nn n S -==--，从而数列{}n S 的前n 项和11233(13)331322n n n n T S S S S n n +-=++++=-=---L ．所以120n T n >-，即13312022n n n +-->-，化简可得1324322n +>，即1532433n +>=，解得4n >．故使得120n T n >-成立的n 的最小值是5，故选A ．9．如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为（）A ．3π4B ．2πC ．3π2D ．9π4【答案】C【解析】正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以1A 为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为2π3π342⨯=，故选C ．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且122F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ⋅=u u u r u u u u r ，212AF AF c ⋅=u u u r u u u u r，则椭圆的离心率e 为（）A ．33B ．312C ．512D ．22【答案】C【解析】假设点A 位于x 轴的上方，由1120AF F F ⋅=u u u r u u u u r 可得2(,)bA c a-，所以21(0,)b AF a =-u u u r ，22(2,)b AF c a=-u u u u r ，所以42122b AF AF c a⋅==u u u r u u u u r ，所以2b ac =，即22a c ac -=，所以21e e -=，解得152e -±=，因为01e <<，则512e -=，故选C ． 11．已知函数3()()3(0)f x x a x a a =--+>在[1,]b -上的值域为[22,0]a --，则b 的取值范围是（） A ．[0,3] B ．[0,2]C ．[2,3]D ．(1,3]-【答案】A【解析】由题意，得2()3()33(1)(1)f x x a x a x a '=--=-+--．由()0f x '=，得1x a =+或1x a =-，所以当11a x a -<<+时，()0f x '<；当1x a <-或1x a >+时，()0f x '>，所以函数()f x 在(1,1)a a -+上单调递减，在(,1)a -∞-，(1,)a ++∞上单调递增．又(1)22f a a +=--，(1)22f a a -=-+．若(1)22f a -=--，即3(1)322a a a --++=--，则1a =，此时3()(1)31f x x x =--+，且()4f x =-时，1x =-或2x =；由()0f x =，解得0x =或3x =．因为函数()f x 在[1,]b -上的值域为[4,0]-，要使函数()f x 在[1,]b -上的值域为[22,0]a --，需1a b +≤，此时1[1,]a b -∈-，所以(1)22(1)0f a f a ->--⎧⎨-≤⎩，即3(1)322220a a a a ⎧--++>--⎨-+≤⎩，无解．综上所述，b 的取值范围是[0,3]，故选A ．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足0x ≥时，12log (1),[0,1)()13,[1,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（） A ．21a -B ．21a --C ．12a --D ．12a -【答案】D【解析】因为()f x 为R 上的奇函数，所以当0x <时，12log (1),(1,0)()()13,(,1]x x f x f x x x --+∈-⎧⎪=--=⎨⎪-+--∈-∞-⎩，画出函数()y f x =的图象和直线(01)y a a =<<，如图．由图可知，函数()y f x =与直线(01)y a a =<<共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则1232x x +=-，4532x x +=，而132log (1)x a --+=，即23log (1)x a -=，可得312ax =-，所以1234512ax x x x x ++++=-，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足2n n S n =+，则数列{}n a 的公差d = ．【答案】8【解析】由2n n S n =+，知24n S n n =-，则依据21()22n d dS n a n =+-，知8d =． 14．若点(,)P x y 是不等式组0333x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y a -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[3,)+∞【解析】将不等式20x y a -+≥化为2a y x ≥-，只需求出2y x -的最大值即可．令2z y x =-，作出不等式组0333x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2y x =，可知在(0,3)处2z y x =-取得最大值3，则实数a 的取值范围是[3,)+∞． 15．51(2)x x++展开式中2x 的系数为．【答案】120【解析】5101(2)()x x x x++=+，则1010222211010C C r r r r r r T x x x ---+=⋅=，令10222r -=，则3r =，故2x 的系数为310C 120=，故答案为120． 16．图甲是应用分形几何学作出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第()n n ∈*N 行中白圈与黑圈的“坐标”为．【答案】113131(,)22n n ---+【解析】由图甲所示的分形规律知，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个“坐标”为(,)x y ，则第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，第四行记为(13,14)，第五行记为(40,41)，……，各行黑圈乘以2，分别是2，4，10，28，82，L ，即11+，31+，91+，271+，811+，L ，所以第n 行的黑圈数为1312n -+，而第n 行共有13n -个圈，故第n 行的白圈数为1113131322n n n ---+--=，故第()n n ∈*N 行中白圈与黑圈的“坐标”为113131(,)22n n ---+．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 3tan c B a A =．（1）求222b c a+的值；（2）若2a =，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）4；（27．【解析】（1）由2sin 3tan c B a A =，得3sin cos 3sin c B A a A =，结合正弦定理得22cos 3bc A a =，故2222232b c a bc a bc +-⨯=，2224b c a +=，得2224b c a +=．（2）由（1）及2a =，知2216b c +=，故2226cos 2b c a A bc bc+-==．又222b c bc +≥，故8bc ≥，当且仅当b c =时取等号，∴63cos 84A ≥=，由6cos A bc =，得6cos bc A =，且π(0,)2A ∈，∴1sin 3tan 2ABC S bc A A ==△， ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==， ∴21167tan 11cos 93A A =-≤-=， ∴3tan 7ABC S A =≤△ABC △7．18．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动．（1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（2）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155．【解析】（1）∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC △是正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又AD BC ∥，∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，又PA AD A =I ，∴AE ⊥平面PAD ，即无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．（2）由（1）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．连接AM ，∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角，在AME Rt △中，15sin 5AME ∠=，则62AE AM =，设2AB a =，则3AE a =，得2AM a =．又2AD AB a ==，设2PA b =，∴(0,,)M a b ，∴222AM a b a =+=，从而b a =，∴2PA AD a ==，则(0,0,0)A ，(3,,0)B a a -，(3,,0)C a a ，(0,2,0)D a ，(0,0,2)P a ，(3,0,0)E a ，3(,,)2a aF a ， ∴(3,0,0)AE a =u u u r ，3(,,)22a a AF a =u u u r ，设(,,)x y z =n 是平面AEF 的法向量，则3003002ax AE ax ayAF az ⎧=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩u u u r u u u r n n ，取z a =，得(0,2,)a a =-n 为平面AEF 的一个法向量．连接BD ，易知BD ⊥平面ACF ，∴(3,3,0)BD a a =-u u u r是平面ACF 的一个法向量，∴215cos ,523BD BD a a BD⋅===-⋅⋅u u u ru u u r u u u r n n n ，由图知二面角C AF E --为锐角，∴二面角C AF E --的余弦值为15． 19．（12分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的车速制成如图所示的条形图：经计算，样本的平均值85μ=，标准差 2.2σ≈，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于3μσ-或车速大于2μσ+需矫正速度．（1）从该快速车道上的所有车辆中任取1辆，求该车辆需矫正速度的概率；（2）从样本中任取2辆车，求这2辆车均需矫正速度的概率；（3）从该快速车道上的所有车辆中任取2辆，记其中需矫正速度的车辆数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）120；（2）1495；（3）分布列见解析，1()10E ξ=．【解析】（1）记事件A 为“从该快速车道上的所有车辆中任取1辆，该车辆需矫正速度”，X 为所取车辆的车速．已知378.4μσ-≈，289.4μσ+≈，由条形图可知，所求的概率为()(3)(2)P A P X P X μσμσ=<-+>+141(78.4)(89.4)10010020P X P X =<+>=+=．（2）记事件B 为“从样本中任取2辆车，这2辆车均需矫正速度”．由题设可知样本容量为100，又需矫正速度的车辆数为5，故所求概率为252100C 1()C 495P B ==．（3）需矫正速度的车辆数ξ服从二项分布，即1(2,)20B ξ:．则0022119361(0)C ()()2020400P ξ===；111211919(1)C ()()2020200P ξ===；22021191(2)C ()()2020400P ξ===，因此ξ的分布列为故数学期望11()22010E ξ=⨯=． 20．（12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆2222:3C x y p +=，1C 与2C 的交点为A ，B ，且74FA FB ⋅=-u u u r u u u r ．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过焦点F 作倾斜角为锐角的直线，分别交1C 于M ，N 两点，交2C 于P ，Q 两点，求PQ MN的取值范围．【答案】（1）22y x =，223x y +=；（2）11(0,2．【解析】（1）由222232x y p y px ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得22230x px p +-=，解得x p =或3x p =-（舍去），所以2y =，不妨设(2)A p ，(,2)B p ，又(,0)2p F ，所以7(2)(,2)224p p FA FB ⋅=⋅-=-u u u r u u u r ，解得21p =，所以1p =．故抛物线1C 的方程为22y x =，圆2C 的方程为223x y +=．（2）由（1）知，抛物线1C 的焦点1(,0)2F ，设直线方程为12x my =+，即102x my --=，则圆2C 的圆心到直线的距离2121d m =+214231PQ m =-+．将12x my =+代入22y x =，得2210y my --=，2440Δm =+>，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，所以121221y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以221212(1)MN m y y m =+-=+．22221111423122(1)12(1)1PQ MN m m m m=⋅-=-++++ 令211t m=+，01t <<，则231121222PQ t t t t MN =-=-23()12f t t t =-，01t <<，则()3(8)0f t t t '=->，所以函数()f t 在(0,1)上单调递增，所以0()11f t <<，所以PQ MN 的取值范围是11． 21．（12分）已知函数1()ln (1)f x x a x=+-，a ∈R ．（1）若()0f x ≥，求实数a 的取值集合；（2）证明：212ln (2)xe x x e x x+≥-++-．【答案】（1）{1}；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知，有221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，1()ln 202f a =-+<，与条件()0f x ≥矛盾．当0a >时，若(0,)x a ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减；若(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在(0,)+∞上有最大值1()ln (1)ln 1f a a a a a a=+-=+-，由()0f x ≥，知ln 10a a +-≥，令()ln 1(0)g x x x x =-+>，则11()1x g x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． ∴()g x 在(0,)+∞上有最大值(1)0g =，∴()ln 10g x x x =-+≤，∴ln 10a a -+≤， ∴ln 10a a -+=，∴1a =．综上，当()0f x ≥时，实数a 的取值集合为{1}．（2）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 1x x≥-在(0,)+∞上恒成立， ∴要证212ln (2)xe x x e x x+≥-++-，只需证当0x >时，2(2)10x e x e x ----≥．令2()(2)1(0)x h x e x e x x =----≥，则()2(2)xh x e x e '=---．令()2(2)xu x e x e =---，则()2xu x e '=-，令()0u x '=，得ln 2x =．当(0,ln 2)x ∈时，()0u x '<，()u x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0u x '>，()u x 单调递增，即()h x '在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．而(0)1(2)30h e e '=--=->，(ln 2)(1)0h h ''<=， ∴存在0(0,ln 2)x ∈，使得0()0h x '=．当0(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当0(,1)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．又(0)110h =-=，(1)1(2)10h e e =----=，∴对任意0x >，()0h x ≥恒成立，2(2)10x e x e x ----≥．综上所述，212ln (2)xe x x e x x+≥-++-成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是3cos 3sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin()04ρθ-=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求线段AB 中点的极坐标（0ρ≥，02πθ≤<）．【答案】（1）24sin 50ρρθ--=；（2）π)4．【解析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数ϕ，得22(2)9x y +-=，所以曲线C 的普通方程为22(2)9x y +-=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22(2)9x y +-=，得24sin 50ρρθ--=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ--=．（2）因为πsin()04ρθ-=，所以ππsin coscos sin 044ρθρθ-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y -=，联立方程，得22(2)9x y x y ⎧+-=⎨-=⎩，消去y ，得22450x x --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，所以12122y y x x +=+=，所以1212x x +=，1212y y +=，所以线段AB 中点的直角坐标为(1,1)，则其极坐标为π)4． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()331f x x a x =-++，()412g x x x =--+．（1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x ∈R ，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围．【答案】（1）7{3}5x x -<<；（2）135[,]1212-．【解析】（1）由题意可得33,21()51,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，由336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，由516x --<，得75x >-，即7154x -<<；当14x ≥时，由336x -<，得3x <，即134x ≤<．综上，()6g x <的解集为7{3}5x x -<<．（2）因为存在1x ，2x ∈R ，使得12()()f x g x =-成立，所以{(),}{(),}y y f x x y y g x x =∈=-∈≠∅R R I ．由（1）可知，9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞，又()331(33)(31)31f x x a x x a x a =-++≥--+=+，所以9314a +≤，解得1351212a -≤≤，故a 的取值范围为135[,]1212-．。

2020高考理科数学仿真模拟卷(解析版)

2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（） A ．12-B ．12C ．2-D ．23．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（） A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u vu u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（） A ．13B ．13-C ．76D ．76-6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）A ．112n - B ．121n- C ．113n - D ．1121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--U8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（）．A ．2B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．14．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD，AB BD ==，1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集；（II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I .故选D.2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】A【解析】()()()()221222255a i i a i a az i i i i +-++-===+++-Q 是纯虚数 2105205a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：12a =-本题正确选项：A3．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x 2，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee =>-，排除D 选项.故选A. 5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（） A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 的中点，所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B. 6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+【答案】B【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,11123n n n a a a +-+= ,1111112()n nn n a a a a +--=-, 则1111211n n n n a a a a +--=-,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1111222n n n na a -+-=⨯= ，利用叠加法，211213211111111()()......()122.......2n n n a a a a a a a --+-+-++-=++++ ， 1212121n n n a -==-- ，则121n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2- D ．{2}(1,1]--U【答案】D【解析】由题意得21362k T ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，k N ∈，得21T k π=+，故242k Tπω==+，因为06ω<<，k N ∈，所以2ω=.由2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，因为2πϕ<，故6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤+≤，令26t x π=+，则由题意得2sin 0t m -=在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12m =-或11222m -<≤，解得{}(]21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，准线l ：2x =-，圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0F ，半径1r =，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知|PB PF =，则1PA PQ PA PF r PA PB +≥+-=+-，∴当,,A P B 三点共线时PA PB +取最小值325+=，1514PA PQ PA PB ∴+≥+-≥-=．即有PA PQ +取得最小值4，故选B ．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17 B ．27C ．37D ．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E ,分4步进行分析： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E ，与A,B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有3种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有2种颜色可选，则区域D,C 有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种，其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选，则区域D,C 有2+2×1=4种选择，不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数【答案】A【解析】根据题意可知：（12341234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（12341234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：（12341234+++++x x x x y y y y +）（） =1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析：A ，如果输出的值为792，则a =792， I （a ）=279，D （a ）=972，b =D （a ）−I （a ）=972−279=693，不满足题意． B ，如果输出的值为693，则a =693,，I （a ）=369，D （a ）=963，b =D （a ）−I （a ）=963−369=594，不满足题意． C ，如果输出的值为594，则a =594，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（）．ABCD【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF ,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH -FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N∠=α，因为sinα=1MN A M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为Oe：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=u u u u r u u u u r，1,2i=，所以Oe与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e+<<.故填⎭.16．四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==，1CB CD==，则四面体A BCD-的外接球的表面积为______【答案】4π【解析】如图，在四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==1CB CD==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1．其表面积为2414ππ⨯=．故答案为：4π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭Q ，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <，因为n 是自然数，所以n 的最大值为4. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）.∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长. 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，由此可得，0MN n ⋅=u u u u r r，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD（Ⅱ），设1(,,)n x y z =u r 为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u r ，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =u r ，设2(,,)n x y z =u u r 为平面1ACB 的一个法向量，则2120{0n AB n AC ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r ，又1(0,1,2)AB =u u u r ，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-u u r ，因此有121212cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅u r u u r u r u u r u r u u r，于是12,10sin n n 〈〉=u r u u r ，所以二面角11D AC B --. （Ⅲ）依题意，可设111A E AB λ=u u u r u u u u r ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ，又(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3NE n NE n NE n ⋅〈〉===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得2λ=，所以线段1A E2.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点. （1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4p l y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p p p∆=->+==， ∵直线py 4=平分AFB ∠， ∴AF BF k k 0+=， ∴1212pp y y 440x x --+=，即：12121212p px1x1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =．（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx bpy =+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pk pb∆=+>+==-， ∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴pb 2=．∴直线AB 的方程为：py kx 2=+．假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQPQ3PA PB +=，作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、， ∴121212p pPQPQOQOQy y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='，∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p ·4k 2p PA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±，故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立. ()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<， ()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立， ()f x ∴在()0,+∞为增函数。

名师精编2020年全国高考理科数学模拟试卷4+答题卡+解析

2020年全国高考模拟理科数学卷（4）考试时间120分钟总分150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设U =R ，A ={x |x 2-3x -4＞0},B ={x |x 2-4＜0},则=B A C U I )(A ．{x |x ≤-1,或x ≥2}B ．{x |-1≤x ＜2}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |x ≤4}2.若复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m 的值为（） A. -1 B.-2 C.1 D.23.A ．4163π-B ．403C ．8163π-D ．3234. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A ．1-B ．21C ．1D ．25. 在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = （） A. 495 B.500 C.505 D.5106. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（）4A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭UC ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U8. 设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫∈=-+-⎪⎝⎭满足()(0)3f f π-=，求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值（） A.1 B.2 C.3 D.9. 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间[]2,1是减函数，则函数)(x f （）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数10. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+u u u v u u u v u u u u v，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=u u v u u u u v（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（） A ．13 B ．12 C ．23D12. 在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，4AB DB +=，AB ⊥BD ，则三棱锥 A —BCD 的外接球的体积的最小值为（）A. 3B. 43πC. 3D. 323π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13. 若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =+ 。

2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷4(含答案)

nnnn
18．（12 分）[山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：
（1）根据上述统计数据填下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95％的把握认为以 50 岁为分界点对 “新农村建设”政策的支持度有差异；
极点，以 x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆 C 的方程为 2 5sin ， l 被圆 C 截得的弦长为 2 ．（1）求实数 m 的值；
（2）设圆C 与直线l 交于点 A、 B ，若点 P 的坐标为 m, 5 ，且 m 0 ，求 PA PB 的值．
23．（10 分）【选修4-5：不等式选讲】
21 221
为（）
A． 3x 4y 0
B． 3x 5y 0
C． 4x 3y 0
D． 5x 4y 0
7．[天一大联考]已知
f x
Asinx B A 0, 0,
π 的图象如图所示，则
2
对称中心可以为（）
A． ,0
π
π
π
B．
π
,1
6 6
6 6
C． ,0
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．[金山中学]已知集合 A
x x2 3x 4 0
， B x x 1，则
AI B （
）
R
A．
B． 0,4
C． 1,4
D． 4,
2．[湘钢一中]已知 i 为虚数单位，若复数1 ai2 i是纯虚数，则实数 a 等于（）

2020高考理科数学仿真模拟卷(解析版)

2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（） A ．12-B ．12C ．2-D ．23．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（） A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u vu u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（） A ．13B ．13-C ．76D ．76-6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）A ．112n - B ．121n- C ．113n - D ．1121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--U8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（）．A ．2B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．14．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD，AB BD ==，1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集；（II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I .故选D.2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】A【解析】()()()()221222255a i i a i a az i i i i +-++-===+++-Q 是纯虚数 2105205a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：12a =-本题正确选项：A3．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x 2，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee =>-，排除D 选项.故选A. 5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（） A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 的中点，所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B. 6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+【答案】B【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,11123n n n a a a +-+= ,1111112()n nn n a a a a +--=-, 则1111211n n n n a a a a +--=-,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1111222n n n na a -+-=⨯= ，利用叠加法，211213211111111()()......()122.......2n n n a a a a a a a --+-+-++-=++++ ， 1212121n n n a -==-- ，则121n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2- D ．{2}(1,1]--U【答案】D【解析】由题意得21362k T ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，k N ∈，得21T k π=+，故242k Tπω==+，因为06ω<<，k N ∈，所以2ω=.由2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，因为2πϕ<，故6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤+≤，令26t x π=+，则由题意得2sin 0t m -=在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12m =-或11222m -<≤，解得{}(]21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，准线l ：2x =-，圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0F ，半径1r =，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知|PB PF =，则1PA PQ PA PF r PA PB +≥+-=+-，∴当,,A P B 三点共线时PA PB +取最小值325+=，1514PA PQ PA PB ∴+≥+-≥-=．即有PA PQ +取得最小值4，故选B ．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17 B ．27C ．37D ．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E ,分4步进行分析： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E ，与A,B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有3种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有2种颜色可选，则区域D,C 有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种，其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选，则区域D,C 有2+2×1=4种选择，不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数【答案】A【解析】根据题意可知：（12341234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（12341234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：（12341234+++++x x x x y y y y +）（） =1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析：A ，如果输出的值为792，则a =792， I （a ）=279，D （a ）=972，b =D （a ）−I （a ）=972−279=693，不满足题意． B ，如果输出的值为693，则a =693,，I （a ）=369，D （a ）=963，b =D （a ）−I （a ）=963−369=594，不满足题意． C ，如果输出的值为594，则a =594，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（）．ABCD【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF ,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH -FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N∠=α，因为sinα=1MN A M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为Oe：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=u u u u r u u u u r，1,2i=，所以Oe与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e+<<.故填⎭.16．四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==，1CB CD==，则四面体A BCD-的外接球的表面积为______【答案】4π【解析】如图，在四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==1CB CD==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1．其表面积为2414ππ⨯=．故答案为：4π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭Q ，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <，因为n 是自然数，所以n 的最大值为4. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）.∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长. 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，由此可得，0MN n ⋅=u u u u r r，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD（Ⅱ），设1(,,)n x y z =u r 为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u r ，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =u r ，设2(,,)n x y z =u u r 为平面1ACB 的一个法向量，则2120{0n AB n AC ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r ，又1(0,1,2)AB =u u u r ，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-u u r ，因此有121212cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅u r u u r u r u u r u r u u r，于是12,10sin n n 〈〉=u r u u r ，所以二面角11D AC B --. （Ⅲ）依题意，可设111A E AB λ=u u u r u u u u r ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ，又(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3NE n NE n NE n ⋅〈〉===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得2λ=，所以线段1A E2.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点. （1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4p l y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p p p∆=->+==， ∵直线py 4=平分AFB ∠， ∴AF BF k k 0+=， ∴1212pp y y 440x x --+=，即：12121212p px1x1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =．（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx bpy =+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pk pb∆=+>+==-， ∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴pb 2=．∴直线AB 的方程为：py kx 2=+．假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQPQ3PA PB +=，作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、， ∴121212p pPQPQOQOQy y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='，∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p ·4k 2p PA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±，故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立. ()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<， ()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立， ()f x ∴在()0,+∞为增函数。

2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(四)含答案

绝密 ★ 启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =I （） A ．{}0 B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则31322f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（） A ．33B ．3C ．3-D ．33-5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A 在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （）A ．22-B ．22C ．2D ．2-7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（） A ．4B ．6C ．32+1D ．109．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（） A ．()(),10,3-∞-U B ．()()1,03,-+∞U C ．()(),11,3-∞-UD ．()()1,01,3-U10．已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（）A ．116B ．316C ．3316D ．333211．某几何体的直观图如图所示，AB 是O e 的直径，BC 垂直O e 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O e 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ uuu r的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．12．设双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A ．10,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C ．710,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．101,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020高考理科数学仿真模拟卷(解析版)

2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（） A ．12-B ．12C ．2-D ．23．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（） A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u vu u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（） A ．13B ．13-C ．76D ．76-6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）A ．112n - B ．121n- C ．113n - D ．1121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--U8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（）．A ．2B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．14．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD，AB BD ==，1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集；（II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I .故选D.2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】A【解析】()()()()221222255a i i a i a az i i i i +-++-===+++-Q 是纯虚数 2105205a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：12a =-本题正确选项：A3．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x 2，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee =>-，排除D 选项.故选A. 5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（） A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 的中点，所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B. 6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+【答案】B【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,11123n n n a a a +-+= ,1111112()n nn n a a a a +--=-, 则1111211n n n n a a a a +--=-,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1111222n n n na a -+-=⨯= ，利用叠加法，211213211111111()()......()122.......2n n n a a a a a a a --+-+-++-=++++ ， 1212121n n n a -==-- ，则121n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2- D ．{2}(1,1]--U【答案】D【解析】由题意得21362k T ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，k N ∈，得21T k π=+，故242k Tπω==+，因为06ω<<，k N ∈，所以2ω=.由2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，因为2πϕ<，故6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤+≤，令26t x π=+，则由题意得2sin 0t m -=在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12m =-或11222m -<≤，解得{}(]21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，准线l ：2x =-，圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0F ，半径1r =，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知|PB PF =，则1PA PQ PA PF r PA PB +≥+-=+-，∴当,,A P B 三点共线时PA PB +取最小值325+=，1514PA PQ PA PB ∴+≥+-≥-=．即有PA PQ +取得最小值4，故选B ．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17 B ．27C ．37D ．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E ,分4步进行分析： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E ，与A,B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有3种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有2种颜色可选，则区域D,C 有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种，其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选，则区域D,C 有2+2×1=4种选择，不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数【答案】A【解析】根据题意可知：（12341234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（12341234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：（12341234+++++x x x x y y y y +）（） =1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析：A ，如果输出的值为792，则a =792， I （a ）=279，D （a ）=972，b =D （a ）−I （a ）=972−279=693，不满足题意． B ，如果输出的值为693，则a =693,，I （a ）=369，D （a ）=963，b =D （a ）−I （a ）=963−369=594，不满足题意． C ，如果输出的值为594，则a =594，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（）．ABCD【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF ,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH -FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N∠=α，因为sinα=1MN A M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为Oe：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=u u u u r u u u u r，1,2i=，所以Oe与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e+<<.故填⎭.16．四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==，1CB CD==，则四面体A BCD-的外接球的表面积为______【答案】4π【解析】如图，在四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==1CB CD==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1．其表面积为2414ππ⨯=．故答案为：4π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭Q ，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <，因为n 是自然数，所以n 的最大值为4. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）.∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长. 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，由此可得，0MN n ⋅=u u u u r r，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD（Ⅱ），设1(,,)n x y z =u r 为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u r ，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =u r ，设2(,,)n x y z =u u r 为平面1ACB 的一个法向量，则2120{0n AB n AC ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r ，又1(0,1,2)AB =u u u r ，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-u u r ，因此有121212cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅u r u u r u r u u r u r u u r，于是12,10sin n n 〈〉=u r u u r ，所以二面角11D AC B --. （Ⅲ）依题意，可设111A E AB λ=u u u r u u u u r ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ，又(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3NE n NE n NE n ⋅〈〉===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得2λ=，所以线段1A E2.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点. （1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4p l y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p p p∆=->+==， ∵直线py 4=平分AFB ∠， ∴AF BF k k 0+=， ∴1212pp y y 440x x --+=，即：12121212p px1x1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =．（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx bpy =+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pk pb∆=+>+==-， ∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴pb 2=．∴直线AB 的方程为：py kx 2=+．假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQPQ3PA PB +=，作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、， ∴121212p pPQPQOQOQy y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='，∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p ·4k 2p PA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±，故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立. ()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<， ()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立， ()f x ∴在()0,+∞为增函数。

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