2006 第六章点的运动

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6-点的运动

dy vy dt
dz vz dt
加速度
dv y dvz dv dvx a i j k ax i a y j a z k dt dt dt dt
dvx d 2 x ax 2 dt dt
ay dv y dt d2 y dt 2
dvz d 2 z az 2 dt dt
例 6-1 已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规
尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互
垂直的滑槽中运动， OC AC BC l , MC a, ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹； y CM o
B
A
③ 速度；
④ 加速度。
解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
加速度
x l a 2 cos t ax v x y l a 2 sin t ay v y 2 2 2 2 4 a ax a y l a 4 cos 2 t (l a） sin 2 t
例6-4 已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速
运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达
54km/h。
求：列车起点和末点的加速度。
解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。由 at 常数 , v0 0
有 v at t
v 15m/s at 0.125m/s 2 t 120s
第六章
点
的
运
动
学
土建学院张文志
cheungmanchi@
§运动学基本概念 § § § 矢径表示法直角坐标法自然坐标法
§ 运动学的基本概念
一.参考体: 要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不变形的物体作为参考体. 如:书和黑板擦放在讲台上,书在运动,选黑板擦为“参考体”.

第六章第五节圆周运动讲解

第六章第五节圆周运动讲解第六章第五节圆周运动理解领悟物体沿圆周的运动是⼀种常见的曲线运动，⽽在圆周运动中，最简单的是匀速圆周运动，了解并掌握圆周运动的有关知识对今后研究⽇常⽣产⽣活的许多实际问题及对天体的运动规律的研究等⽅⾯起到很重要的作⽤。

本节主要学习圆周运动的线速度和⾓速度等概念。

1. 形形⾊⾊的圆周运动质点运动的轨迹是圆周的运动，我们称之为圆周运动。

圆周运动是⼀种常见的运动。

正如教材所述：⽇常⽣活中，电风扇⼯作时叶⽚上的点、时钟的分针和时针上的点、⽥径场弯道上赛跑的运动员等，都在做圆周运动。

科学研究中，⼤到地球绕太阳的运动。

⼩到电⼦绕原⼦核的运动。

⼩到电⼦绕原⼦核的运动，也常⽤圆周运动的规律来讨论。

除此之外，你还能举出⼀些物体做圆周运动的实例吗？2. 如何描述圆周运动的快慢本节教材在第⼀个“思考与讨论”栏⽬中提出了这样的问题：如图6－71所⽰，⾃⾏车的⼤齿轮、⼩齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，⾏驶时，这三个轮⼦上各点在做圆周运动。

那么，哪些点运动得更快些？也许它们运动得⼀样快？需要指出的是，⾃⾏车的⼤齿轮、⼩齿轮、后轮上各点在做圆周运动的说法是有条件的。

我们知道，当轮⼦的轴⼼（圆⼼）固定不动（如把⾃⾏车后轮架起停放在路⾯上），⽽轮⼦在转动时，轮⼦上各点确实是围绕它们的轴⼼（圆⼼）做圆周运动。

但当⾃⾏车⾏驶时，轮⼦在转动的同时，轮⼦的轴⼼也在向前运动，轮⼦上各点相对轴⼼⽽⾔仍是在做圆周运动，⽽相对地⾯则不是在做圆周运动，它们的运动情况较为复杂。

所以，这⾥所⽐较的运动快慢，实际上只是⽐较轮⼦上各点相对轴⼼的运动快慢。

我们经过仔细观察即可知道：三个轮⼦中后轮的半径最⼤，⼤齿轮的半径其次，⼩齿轮的半径最⼩；⼤齿轮和⼩齿轮通过链条相连，所以两齿轮上各点在相同时间内转过的弧长总是相等的；⼩齿轮和后轮是⼀起绕同⼀个轴⼼转动的，这两个轮⼦在相等的时间内转过的圈数（⾓度）是相等的。

根据以上分析，你的回答可能有多种，如：后轮上的点运动得快些，⼤⼩齿轮上的点运动得⼀样快；后轮与⼩齿轮上的点转动得⼀样快，⽽⼤齿轮上的点转动得较慢等等。

38理论力学第六章点的运动学PPT课件

一.运动方程，轨迹
当点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值函数：
rrt —以矢量表示的点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢径r的末端绘出的一条连续曲线。——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v
r
dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。 4
1.弧坐标的运动方程
动点M在轨迹上位置的确定：动点M在轨迹上的位置
由弧长确定，视弧长S为代数量，称其为动点M在轨迹上的弧坐标。
s= f (t)
12
2.自然轴系
以点M 为原点，以切线、主法线、副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为动点M 的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。
,n,b,分别为切线、主法
线和副法线的单位向量。
—与弧坐标的正向一致
n —指向曲线内凹一侧
b —与 , n构成右手系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲线而变动的游动坐标系13 。
6-3 自然法
3、曲率(1/ ：)
定义——曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。表示曲线的弯曲程度。
1
d
lim | |
t0 S dS
14
1
引言
运动学的基本概念：
①运动学：：研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学，不考虑运动的原因。
②运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动是相对的 :参考体(物);参考系;静系;动系。
④运动分类 1)点的运动 2)刚体的运动
2
第六章点的运动学
3
6-1 矢量法

理论力学第六章点的合成运动 [同济大学]

解：从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解：从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A

ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A；绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r

第六章运动学基础2

a2
at 2
an2
(v2
c2 )a2 v2
(v2 )2
(1
v2 c2 v2
)a2
v4
2
c2 v2
a2
v4
2
a v3 (负号不合理舍去）
c
v2 c2 a v
§ 6-3 刚体的平动
一、定义 Translational motion of a rigid body
z 刚体在运动过程中，其上任
点的切向加速度和法向加速度的大小分别为：
a v 0 ,
an
v2
80
因为： a a2 an2 32 an
所以：
v2 80
an 32
即： ρ = 2.5 （m)
例6-7 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动的滚动（称为纯滚
动），设轮子转角=t，如图所示。求用直角坐标和弧坐标表
示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速
5. 点的加速度
v vτ
a dv dv τ v dτ dv τ v dτ ds dv τ v2 dτ
dt dt dt dt ds dt dt
ds
dv τ v2 n
dt
①②
dτ 1 n
ds
at an
①切向加速度at---反映速度的大小随时间的变化率，方向沿切线方向。
v2
at dt , an
v
a
aE
v D
a
F a v
aG v =0
提示：图示各点的速度均为可能，在速度可能的情况下，点 C,E, F,G 的加速度为不可能，点 A,B,D 的加速度为可能
例6-5 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。

第6章点的运动学

运动学的研究对象是真实物体的两种理想化的力学模型，即点和刚体。所谓点，是指大小、质量不计，但在空间占有确定位置的几何点。所谓刚体是由无数个点组成的不变形的系统。
第6章点的运动学
本章分别采用矢径法、直角坐标法、自然法三种不同的方法，研究点在空间运动时的几何性质。
6.1 点运动的矢径法
说明：（1）平面曲线上各点的密切面就是曲线所在的平面；（2）空间曲线上各点的密切面则随各点的位置不同而不同。过M点并垂直于切线MT的平面称为曲线在M点的法面。所有通过M点并在该法面内的直线都是曲线在M点的法线。在密切面内的法线MN称为主法线。垂直于密切面的法线MB 称为副法线(或次法线)。
可见，速度和加速度也是周期性变化的，变化的周期均是T，加速度的大小与动点到振动中心的距离成正比，方向恒指向振动中心，这是简谐振动的一个基本特点。
例6-2 汽车以速度v0沿直线道路行驶，车轮的半径为R，轮子与地面无相对滑动，试求轮缘任一点M的轨迹、速度和加速度。解设M点与地面接触时的位置为起始位置，并以此点为坐标原点建立坐标系Oxy，如图所示。在任一瞬时 t，M点的坐标为
2.速度 2.速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r．在t+△t瞬时．动点位于M’点，其矢径为r’。则在△t时间间隔内，矢径的改变量△r=r’-r，它表示动点M在△t时间内的位移。显然点的位移是矢量。比值△r/△t表示动点M在△t 时间内的平均速度，以v*表示，即 v*=△r/△ v*=△r/△t 当△t→0时，平均速度v*的极限值即为动点M在瞬时t 的速度，以v表示，即
沿主法线向曲线凹的一侧取一点 C，并使MC等于曲线在M点的曲率半径ρ，C点称为曲线在M 点的曲率中心。该圆周或圆弧曲率半径就是圆半径，圆心就是曲率中心。以M点为原点，曲线在M点的切线，主法线与副法线为轴的一组正交轴系称为自然轴系。

第六章质点的运动

解： 1、建立固定参考系；建立固定参考系Oxy；
2、根据已知的约束条件列写点的运动方程。列写点的运动方程。
P点的运动方程：点的运动方程：
x =(2l −d) cosϕ =(2l −d) cosω t y = dsinϕ = dsin ω t
从中消去t得到P点的轨迹方程
x y + =1 l 2 −d d
上述三相互正交的轴线构成了随时间变化的直角坐标系，上述三相互正交的轴线构成了随时间变化的直角坐标系，称为自然轴系M 自然轴系－TNB 。
§1-3 自然坐标法
自然轴系的基矢量 b= τ ×n
M
§1-3 自然坐标法
二、运动方程
M
s = s(t)
弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素： • 轨迹已知；轨迹已知； • 有坐标原点；有坐标原点； • 有正、负方向。有正、负方向。
τ d =n dϕ
§1-3 自然坐标法
&τ a =v +v& τ
ϕ s & = dτ = dτ ⋅ d ⋅ d τ d t d ϕ ds dt
ds d ϕ 1 & = s =v = − 率曲 d s ρ dt
2
dτ =n ϕ d
dv v a = τ + n= a τ +ann=aτ +an τ dt ρ
例题1 例题1：
椭圆规机构
ω ϕ 常 , ＝&＝数
O = A = A =l , B = d A B C P
求：P点的运动方程、点的运动方程、点的运动方程速度、加速度。速度、加速度。
例题1 例题1：
椭圆规机构
ω ϕ 常 , ＝& ＝数

理论力学第六章点的运动学.

d d ds an v v dt ds dt
又 d 1 n dS
an
v2

n an
v2

an是一个沿主法线正方向的矢量，指向曲率中心。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与弧坐标的正向一致 n — 指向曲线内凹一侧 b — 与 , n 构成右手系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。表示曲线的弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、由 v v0e kt dt

理论力学第6章点的运动

（6-27a）
（6-27b）（6-28a）
a
2 ，
a 2
，
az z
（6-28b）
6.5曲线坐标、球坐标描述法
6.5.1曲线坐标描述法
图6-10 点的曲线坐标描述法
r r q1, q2 , q3 xi yj zk
1 r ei H i qi
• 按从特殊到一般的顺序： • 质点的运动通常分为：直线运动、圆周运动和曲线运动三种。 • 刚体的运动通常分为：平行移动、定轴转动、平面运动、定点转动和一般运动五种。
第6章点的运动
本章从点的运动开始讨论。点的位置、速度和加速度有各种表示方法，其中直角坐标应用最为普遍。但在分析具体问题时，有时使用柱坐标或球坐标更为方便。实际上根据研究对象的不同特点，可任意选择独立的长度或角度坐标确定点的位置。点的位置确定以后，只要对坐标作微分运算，就能导出点的速度和加速度。对于点的运动轨迹已预先确定的特殊情况，也可利用沿轨迹的弧坐标表示点的位置，称为点的自然法表示。
v lim v * lim
t 0
v dr r t 0 t dt
(6-2)
其方向沿 r 矢量端图的切线方向，亦即轨迹的切线方向，
v dv a lim a lim vr t 0 t 0 t dt 加速度矢量沿速度矢量端图的切线方向（图6-1b）， 2 单位为 m s。
x ax v x
y ay v y
z az v z
(6-7)
将式（6-4）对时间两次求导，可得加速度的直角坐标表达式： a ax i ay j az k
(6-7a)
ax x ， ay y ，

第六章点的运动

d2 x 2 d2 y 2 d2 z 2 a = ( 2 ) +( 2 ) +( 2 ) dt dt dt
加速度的方向余弦：
cos(a , j ) = ay a
az cos(a , k ) = 12 a
杆初始位置铅垂向上，绕 A 点顺时针转动，拨动套在固定圆环的小环。已知固定环的半径为 R，杆运动后与初始位置的夹角φ=ωt（ω为常量）试求小环作为点的运动方程，速度和加速度。
1
M’
τ’
τ’
ρ
=
lim
s→ 0
dφ φ = ds s
17
3．求单位切向矢量对弧长的导数
τ = τ ′ τ φ τ = 2 τ sin 2
第二篇
运动学
1
引
言
静力学主要研究作用在物体上力系的平衡条件物体的运动规律不仅与受力情况有关而且与物体的惯性和物体原来的运动状态有关物体在力作用下的运动规律是一个比较困难的问题无论是为下阶段学习的需要，还是为分析结构的运动打好基础，都有必要先学好运动学 2
Байду номын сангаас动学是什么？
运动学是研究物体运动几何性质的科学其任务：
用直角坐标法表示加速度
同理，设 a = a xi + a y j + a zk
dvx d2x = = && ax = x 2 dt dt dv y d2y ay = = = && y 2 dt dt dvz d2z = = && az = z 2 dt dt
因此有
加速度的大小：
ax cos(a , i ) = a
x = f 1( t ) y = f 2( t ) z = f 3( t )

华南理工_网络理论力学随堂练习

第二篇运动学·第六章点的运动学·6.1 矢量法2. 6-6．下列说法正确的是。

（A）点的位移就是点走过的路程（B）点的矢端曲线，就是点运动的轨迹（C）如果在运动中点的矢径保持不变，点必作直线运动（D）如果在运动中点的矢径没有增量，点的速度一定为零参考答案：BD3. 6-7．下列说法正确的是。

（A）位移是矢量（B）当点作直线运动时，位移不是矢量（C）当点作曲线运动时，位移也可以是代数量（D）不论运动轨迹如何，位移一定是矢量参考答案：AD4. 6-1．运动学是研究物体运动的几何性质的科学。

（）.参考答案：√5. 6-2．运动学中通常采用两种参考系：定参考系和动参考系。

（）.参考答案：√6. 6-3．运动方程反映了物体运动的速度与时间的对应规律。

（）.参考答案：×7. 6-4．点的加速度等于矢径对时间的一阶导数。

（）.参考答案：×第二篇运动学·第六章点的运动学·6.2 直角坐标法3. 6-13．下列说法正确的是。

（A）在直角坐标法中，点的坐标和时间的对应关系，就是点的运动方程（B）当点作直线运动时，位移就等于路程（C）点作匀变速直线运动时，点的加速度和速度方向一定相同（D）点作匀速直线运动时，加速度一定为零参考答案：AD4. 6-8．动点的速度在直角坐标轴上的投影等于该点的对应坐标对时间的一阶导数。

（）.参考答案：√5. 6-9．动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度的对应投影对时间的一阶导数。

（）.参考答案：√6. 6-10．点作直线运动时，若有加速度存在，则加速度必沿着直线方向。

（）.参考答案：√第二篇运动学·第六章点的运动学·6.3 自然法2. 6-20．点M 沿螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，则该点（）。

（A）越跑越快（B）越跑越慢（C）加速度越来越大（D）加速度越来越小答题： A. B. C. D.参考答案：C6. 6-24．点作曲线运动，若其法向加速度越来越大，则该点的速度____________。

工程力学-第六章

6.1.3 自然坐标法
例 6-1 已知点 M 的运动方程为 x 2t ， y t2 ，式中 x 和 y 的单位为 m，t 的单位为 s。试求动点的
运动轨迹，以及当 t 1s 时切向加速度、法向加速度和轨迹的曲率半径。解：由题目中给出的点的运动方程，消去 t 即可得到点的运动轨迹方程为 x2 4 y (x 0 ，y 0)
等于 dv ，其方向与 Δt→0 时 Δv 的极限方向一致。在国际单位制中，加速度的单位是 m/s2。 dt
6.1.2 直角坐标法
1．点的运动方程
如图所示，设动点 M 相对于一参考直角坐标系 Oxyz 运动，点 M 在空间的位置由它的坐标值 x，y，z
x f1(t)
唯一确定。当点运动时，坐标值
6.1.1 矢量法
2．点的速度
位移 Δr 与对应时间间隔 Δt 的比值，表示点在 Δt 内运动的平均快慢和方向，称为点在该时间间
隔内的平均速度，用 v*表示，即 v* r t
平均速度是一个矢量，其大小等于 r ，方向与位移 r 的方向相同。当 Δt→0 时，点 M′趋近于 t
M，而平均速度 v*趋近于一个极限值，此极限值称为动点 M 在瞬时 t 的瞬时速度，简称速度，用 v 表
6.1.2 直角坐标法
2．点的速度
另一方面，以 vx，vy，vz 表示动点速度 v 在直角坐标轴上的投影，则 v 可表示为 v vxi vy j vzk
对比上述两式，有 vx x ，vy y ，vz z
所以，点的速度在直角坐标系中的投影等于动点对应的坐标对时间的一阶导数。
速度 v 的大小和方向可由它的这三个投影完全确定，速度 v 的大小为 v vx2 vy2 vZ2
第六章
点的运动学和刚体基本运动

《理论力学》第六章-点的运动试题及答案

理论力学6章作业题解6-5 半圆形凸轮以匀速v =10mm/s 沿水平方向向左运动,活塞杆AB 长l ，沿铅直方向运动。

当运动开始时,活塞杆A 端在凸轮的最高点上。

如凸轮的半径R =80mm ，求活塞B 的运动方程和速度方程。

解答选铅直方向为y 坐标，圆心与轮心O 高程相同，则活塞B 的运动方程为)( 1006400)(222mm l t AB vt R y +-=+-=速度方程为)/( 641022s mm t t dt dy v --== 6-9 点M 以匀速率u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t w j =规律绕O 转动。

当t=0时， M 在O 点，求其在任一瞬时的速度及加速度的大小。

解答采用直角坐标法建立M 点的运动方程。

îíì====)sin(sin )cos(cos t ut ut y t ut ut x w j w j 速度分量及大小为îíì+==-==)cos()sin(/)sin()cos(/t t u t u dt dy v t t u t u dt dx v yx w w w w w w 222)(1t u v v v y x w +=+=加速度分量及大小为ïîïíì-+==---==)sin()cos()cos(/)cos()sin()cos(/22t t u t u t u dt dv a t t u t u t u dt dv a y yx x w w w w w w w w w w w w 222)(4t u a a a y x w w +=+=6-12 一点作平面曲线运动，其速度方程为3=x v 、)4sin(2t v y p p =，其中速度单位为m/s ，时间单位为s 。

已知初瞬时该点在坐标原点，试求该点的运动方程和轨迹方程。

解求直角坐标表示的运动方程。

工程力学习题

B
已知 f=0， 1 , G2 , a 90 G 1.
A
q
G2

B
不计杆重，求平衡位置q 角。
分别研究A、B轮，受力如图，由相应力△，有
G1
a
A
G1 FAB G2 FAB , sin( q ) sina sin(a q ) sin
FNA
q
FAB
a G1
a
q

θ
a0
A
以运送物料。设某瞬时曲柄
与铅垂线成 q 角。曲柄的角速度为 w0 ，角加速度为 a0 ，
D
方向如图所示，试求此瞬时送料槽D的速度和加速度。
8
B
C
静力学
例题3-9
第四章平面任意力系
组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端， E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kN•m，试求固端A，铰链C和支座 E的约束力。 F A H B l/8 l/8 l/4 q C l/4
可表示为
y
A
a
d2 x dt 2
rw 2 coswt cos 2wt .
O

C
l
B x
4
运动学
例题 8-3
第三章点的合成运动
B
凸轮顶杆机构中半径为R
的半圆形凸轮以等速度
y'
v0 沿水平轨道向右运动，
A
v0
带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如图所示，试求
x'
R O n
30º 时，顶杆AB的速度。
y A O

C