数学分析讲义

f (x)
-x
o
偶函数
x
x
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
四、周期函数
定义 设函数 f ( x ) 定义在数集 A .若 ∃l > 0, ∀x ∈ A ，有 x + l ∈ A ，且
f (x ± l ) = f (x )
则称函数 f (x ) 是周期函数， l 称为函数 f (x ) 的一个周期 周期. 周期
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
y=sin(x)
1
0.5
10 -0.5
20
30
40
50
-1
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
1 + ( −1) n n + 1 例 2 数列 有界. 与 2 n
例 3 反正切函数 y = arctgx 与反余切函数 y = arc ctgx 在 R 有界（如下图）. 事实上， ∃Μ = 与
3l − 3l −2 2
l − l − 2 2
l l 2 2
3l 3l 2 2
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
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§1.3 复合函数与反函数
一、复合函数
G 定义 设函数 z = f ( y ) 定义在数集 B ， 函数 y = ϕ ( x ) 定义在数集 A ， 是
A 中 使 y = ϕ (x ) ∈ B 的 x 的 非 空 子 集 （ 如 图 1.19 ）， 即
y = ϕ ( x ) 与 z = f ( y ) 的复合函数，即 ( f ϕ )( x ) = f [ϕ ( x )], x ∈ G, y 称为中 的复合函数，
间变量（ 1.20） 间变量（如图 1.20）.
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§1.3 复合函数与反函数
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§1.3 复合函数与反函数
二、反函数
−1
( y ), y ∈ f ( A).
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§1.3 复合函数与反函数
y
函数 y =
y
f (x)
反函数
x = ϕ( y)
y0
y0
W
x0
W
o
D
o
x
x0
x
D
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§1.3 复合函数与反函数
y
反函数 y = ϕ ( x )
Q (b, a )
直接函数 y = f ( x )
o
P (a , b )
一、函数概念
例1.真空中自由落体，物体下落的时间 t 与下落的距离 s 互相联系着. 如果物体距地面的高度为 h ，
∀ t ∈ [0,
2h ] g
都对应一个距离 s . 已知 t 与 s 之间的对应关系是
1 2 s = gt 2
其中g是重力加速度，是常数.
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§ 1.1 函数
例2.在气压为101.325 kPa 时，温度 T 与水的体积 V 互相联系着 . 实 测如下表：
y
y = f (x)
f (x)
-x o x x
f (− x )
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
定义 函数 f ( x ) 定义在数集 A .若 ∀x ∈ A ，有 − x ∈ A ， 且 f (− x ) = f ( x ) 则称函数 f ( x ) 是偶函数. 偶函数. 偶函数
y
f (− x )
y = sin x , 即 x 与 y 之间的
对应关系是：
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§ 1.1 函数
函数的定义
设 A 是非空数集。若存在对应关系 f ，对 A 中任意数 x （ ∀x ∈
A） ，按照对应关系 f
，对应唯一一个 y ∈ R ，则称 f 是定义在 A
上的函数，表为：
f : A→R。
数 x 对应的数 y 称为 x 的函数值，表为 y = f (x) 。 x 称为自变 数， y 称为因变数。数集 A 称为函数 f 的定义域，函数值的集 合 f ( A) = { f ( x) | x ∈ A} 称为函数 f 的值域。
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§ 1.1 函数
关于函数概念的几点说名
1、 函数 f 由两个因数完全决定，一个是 f 的定义域 A ；另一个 是 f 在每个 x ∈ A 的函数值 f (x ) 。 2、 在函数概念中，对应关系 f 是抽象的，只有在具体函数中， 对应关系 f 才是具体的。 为了对函数 f 有个直观形象的认识，可将 f 比喻为一部“数 值转换器” 。例如：
x
f( )
x f(x )
Sin( )
Sin(x) 数学分析讲义
§ 1.1 函数
3、 根据函数定义， 函数都存在定义域， 但是常常并不明 确指出函数的定义域， 这时认为函数的定义域是自明 的，即定义域是使函数有意义的实数的集合。 4、 函数定义指出： “任意数 x ( ∀x ∈ A )，按照对应关系
•
无理数点
o
x
有理数点
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§ 1.1 函数
四、数列
数列的定义: 数列的定义
定义在自然数集 Ν 上的函数 f (x) 称为数列. 数列. 数列 设 ∀n ∈ Ν ， f (n) = a n .因为自然数能够按照大小顺 序排列起来，所以数列的值域 {a n n ∈ Ν}中的数也能够 相应地按照自然数 n 的顺序排列起来，即
a1 , a 2 , a3 , ⋯ a n , ⋯ . a n 称为数列（1）的第 n 项或通项 通项. 第 通项
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
一、有界函数
定义 设 函 数 f (x) 在 数 集 A 有 定 义 . 若 函 数 值 的 集 合
f ( A) = { f ( x) x ∈ A}有上界（有下界、有界） ，则称函数 f (x)
定义： 定义 ： 一一对应， 设函数 y = f ( x ) 在 A 一一对应 ， 即 ∀y ∈ f ( A) ， 存在唯一一个
新的对应关系， x ∈ A ， f (x ) = y ， 使 这是一个由 f ( A) 到 A 新的对应关系， 称为函数 y = f ( x ) 的反函数， 的反函数，表为 x = f
π
2
> 0, ∀x ∈ R, 有 arctgx <
π
2
,
∃Μ = π > 0, ∀x ∈ R, 有 arc ctgx < π
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
arctgx 图 像
1.5 atan(x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
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§1.2 四类具有特殊性质的函数
G = {x x ∈ A, ϕ ( x ) ∈ B} ≠ φ . ∀x ∈ G ， 按照对应关系 ϕ ， 对应唯一一个
1.19） ，即 y ∈ B ，再按照对应关系 f 对应唯一一个 z （如图 1.19） 即 ∀x ∈ G 都 ， 上定义了一个函数， 对应唯一一个 z .于是在 G 上定义了一个函数，表为 f ϕ ，称为函数
T/100℃ 0
100
2
99.99
4
99.987
6
99.99
8
99.998
10
100.012
12
100.032
14
100.057
V/cm3
对{0,2,4,6,8,10,12,14}中每个温度 T 都对应唯一一个体积 V ，已知 T 与 V 的对应关系用上面的表格表示.
例 3.
∀ x ∈ R 都对应唯一一个数 y = sin x
f f ( x)
f
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§ 1.1 函数
三、函数的图象
符号函数: 符号函数
y 1 o -1 y
1
1 y = sgn x = 0 − 1
狄利克雷函数: 狄利克雷函数
当x > 0 当x = 0 当x < 0
x
1 y = D(x) = 0
当 x 是有理数时 当 x 是无理数时
f =g。
2、 若 A ∩ B ≠ φ ，则函数 f 与 g 的和 f + g 、差 f - g 、积 fg 分别定 、 义为： 义为： （ f + g ） x ）= f ( x ) + g ( x ) ， x ∈ A ∩ B 。 （ （ f - g ） x ）= f ( x ) − g ( x ) ， x ∈ A ∩ B 。 （ （ fg ） x ）= f ( x ) g ( x ) ， x ∈ A ∩ B 。 （ 3、 若 ( A ∩ B ) − {x | g ( x ) = 0} ≠ φ ，则函数 f 与 g 的商 g 定义为 、 （ （ g ） x ）= g ( x ) ， x ∈ ( A ∩ B ) − {x | g ( x ) = 0} 。
1、幂函数 、
y = xµ
( µ 是常数
)
y
y = x2
1
(1,1)
y= x
y= x
o
1 y= x
1
x
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§1.3 复合函数与反函数
2、指数函数 、
y = a
x
(a > 0, a ≠ 1)
y = ex
1
y = a
x
(a > 0, a ≠ 1)
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§1.3 复合函数与反函数
3、对数函数 、
I 上是单调减少的
则称函数
y
y = f (x)