2018-2019年最新最新高考总复习数学高考模拟仿真题一(不分文理,通用)
(完整word版)2018-2019高三第一次模拟试题文科数学
高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合 题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕 分，共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如 厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线 产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查， 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题： (13) 20 三、 解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析六
2018高考仿真模拟联考数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设全集U＝R，集合A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤3}，则（C U A）UB＝A．（2，3] B．（－∞，1]U（2，＋∞）C．[1，2）D．（－∞，0）U[1，＋∞）2．已知i是虚数单位，若a＋bi＝2i i＋－2ii－（a，b∈R），则a＋b的值是A．0 B．－25i C．－25D．253．已知条件p：a＜0，条件q：2a＞a，则p⌝是q⌝的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②5．双曲线22221x y a b －＝（a ＞0，b ＞0）与椭圆221259x y ＋＝的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是A ．（2，4）B ．（2，4]C ．[2，4）D ．（2，＋∞）6．若数列{n a }满足11n a －－1na ＝d （n ∈N ﹡，d 为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝A ．10B ．20C ．30D ．407．已知实数x ，y满足约束条件0,3440,x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋≥,≥则22x y ＋＋2x的最小值是A ．25B ．2－1C ．2425D ．18．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋ϕ），其中0＜ϕ＜对x2π，若f （x ）≤｜f （6π）｜∈R 恒成立，且f （2π）＞f （π），则ϕ等于A ．6π B ．56πC ．76πD ．116π9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．2B ．－12C ．－3D ．1310．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为A ．585B ．1481C ．2281D ．258111．过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若｜AF ｜＝3，则△AOB 的面积为 A ．22B ．2C ．322D ．2212．如下图，在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f （M ）＝（m ，n ，p ），其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M －PAB ，M －PBC ，M －PAC 的体积，若f （M ）＝（1，x ，4y ），且1x＋a y≥8恒成立，则正实数a 的最小值是 A ．2－2 B ．2212－ C ．9424－ D ．642－第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。
安徽省2018-2019年高考仿真卷理科数学试题
2018-2019年高考仿真卷理科数学一.选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．复数212m iz i-=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知抛物线)0(2a ＞ax y =的焦点到准线的距离为2，则a =（ ）A ．2B ．4 C．3. 设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ．73B ．53C ．5D ．34. 下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是（ ） A.:p a b >，22:q a b > B.2:0p ax bx c ++> 2:0c bq a x x++> C.22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < D.:p a b >，:22a b q >5．已知()|4||6|f x x x =-++的最小值为n ，则二项式2(n x 展开式中常数项是 （ ）A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（[x]表示不超过x 的最大整数）（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 7 D ． 97.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )第6题图 第7题图A.36πB.9πC.92π D.278π 8.如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ. 点H 是1A BD △的垂心 Ｂ. AH 垂直平面11CB D Ｃ.AH 的延长线经过点1C Ｄ.直线AH 和1BB 所成角为459.从九名同学中选出五名组成班委会，要求甲、乙两人要么同时入选，要么同时不入选，丙、丁不同时入选.则符合要求的选法种数为（ ）A.56B.41C.36D.3310.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ,当0x <时,()f x 满足2()'()f x x f x +()xf x <,则()f x 在R 上的零点个数为（ ）A.1B.3C.5D.1或3 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置11．已知命题P ：∃x 0∈R ,20220x x ++≤，则p ⌝是 ． 12．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为 ．13.已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使得前n 项和n S 取得最大值的n 是 ．14．已知椭圆2214x y +=的焦点为21F F ,，在长轴21A A 上任取一点M ，过M 作垂直于21A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为 ．15.如果)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题：①函数x ysin =具有“)(a P 性质”；②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”， 图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调BDB 11第8题图递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数. 其中正确的是(写出所有正确命题的编号)．三、解答题.（本小题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分）已知函数221()2(cos sin )122f x x x x =---，R x ∈，将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（Ⅰ）若c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B = ，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅ 的取值范围．17．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有,A B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率,P P 甲乙；（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用,ξη分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ）的条件下，求,ξη的分布列及,E E ξη；（表一）（表二）（表三）（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设,x y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（Ⅱ）的条件下，,x y 为何值时，z xE yE ξη=+最大？最大值是多少？（解答时须给出图示说明）18．（本小题满分12和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，1,AB =60,1,ADC AF ∠== M 是线段EF 的中点（Ⅰ）求证：AC BF ⊥；（Ⅱ）设二面角A FD B --的平面角为θ（Ⅲ）设点P 为一动点，若点P 从M 出发， 沿棱按照M E C →→的路线运动到点C 求这一过程中形成的三棱锥P BFD -的体积的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数xxx f ln )(=. （Ⅰ）求)(x f 的图像在点),(e e-1处的切线方程；（Ⅱ）设,0>a 求)(x f 在[]a a 42,的最小值；（Ⅲ）某同学发现：总存在正实数),(,b a b a <使a bb a=.试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请写出a 的取值范围（图示即可以）.20.（本小题满分13分）在矩形ABCD 中，|AB|=23，|AD|=2，E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点，以HF 、GE 所在直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系(如图所示)．若R 、R ′分别在线段0F 、CF 上，且|OF ||OR |=|CF ||CR'|=n1. （Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点P 在椭圆Ω：32x +2y =1上；（Ⅱ）若M 、N 为椭圆Ω上的两点，且直线GM 与直线GN 的斜率之积为32，求证：直线MN 过定点；并求△GMN 面积的最大值．21.（本小题满分13分）设数列{}na 满足2111,,n n aa a a a +==+{}|||2n M a R a =∈≤， *∈N n .（I ）当),(2--∞∈a 时，求证：M a ∉；（II ）当],(410∈a 时，求证：M a ∈；（III ）当),(+∞∈41a 时，判断元素a 与集合M的关系，并证明你的结论.。
2018-2019年最新高考总复习数学(文)全真模拟试题及答案解析
2019年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={1，2，3，5，7}，N={x|x=2k﹣1，k∈M}，则M ∩N=（）A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{2，3，5} D．{1，3，5，7}2．i为虚数单位，=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A． B．C．D．4．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知a，b表示两条直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a⊄M，a∥b，则a∥M；③若a⊥b，b⊂M，则a⊥M；④若a⊥M，a⊥b，则b∥M，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．某程序框图如图所示，当输出y值为﹣8时，则输出x的值为（）A．64 B．32 C．16 D．87．若变量x，y满足条件，则z=x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，3] B．[3，+∞）C．[0，3] D．[1，3]8．已知函数f（x）=，则方程f（x）=（x+1）的根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（4，5）10．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）= ．12．将一批工件的尺寸在（40～100mm之间）分成六段，即[40，50），[50，60），…，[90，100），得到如图的频率分布直方图，则图中实数a的值为．13．若直线y=kx与圆x2+y2﹣6x+8=0相切，且切点在第四象限，则k= ．14．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为．15．设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：（Ⅰ）对M中任意元素a，b，c都有（a#b）#c=a#（b#c）；（Ⅱ）对M中任意两个元素a，b，满足a#b∈M．则称M对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为．①{﹣2，﹣1，1，2}②{1，﹣1，0}③Z④Q．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）在[﹣，]上的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）=1，c=1，ab=2，且a＞b，求边a，b的值．17．如图，在三棱柱A1B1C1中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（Ⅰ）设D是AB的中点，证明：直线BC1∥平面A1DC；（Ⅱ）在△ABC中，若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1．18．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．19．将正奇数组成的数列{a n}，按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行……27 25（Ⅰ）求第五行到第十行的所有数的和；（Ⅱ）已知点A1（a1，b1），A2（a2，b2），…，A n（a n，b n）在指数函数y=2x的图象上，如果，以A1，A2，…，A n为一个顶点，x轴y 轴为邻边构成的矩形面积为S1，S2，…S n，求S1+S2+…+S n的值T n．20．已知函数f（x）=e x（x﹣lnx﹣1）（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，并说明理由．21．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={1，2，3，5，7}，N={x|x=2k﹣1，k∈M}，则M ∩N=（）A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{2，3，5} D．{1，3，5，7} 【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵M={1，2，3，5，7}，∴N={x|x=2k﹣1，k∈M}={1，3，5，9，13}，则M∩N={1，3，5}，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．i为虚数单位，=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算法则即可得到结论．【解答】解：====﹣﹣i，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本运算，要求熟练掌握复数的运算法则．3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A． B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵|﹣2|=，∴=，∴5=，解得=，∴向量，的夹角为．故选：C．【点评】本题考查了数量积的运算性质、向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】正弦定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据sinA=sinB时，则有A=B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件；同时△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，则sinA和sinB不一定相等，故可推断出sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断．解题的时候注意条件的先后顺序．5．已知a，b表示两条直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a⊄M，a∥b，则a∥M；③若a⊥b，b⊂M，则a⊥M；④若a⊥M，a⊥b，则b∥M，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：由a，b表示两条直线，M表示平面，知：①若a∥M，b∥M，则a与b相交、平行或异面，故①错误；②若b⊂M，a⊄M，a∥b，则由直线与平面平行的判定定理得a∥M，故②正确；③若a⊥b，b⊂M，则a与M相交或a⊂M，故③错误；④若a⊥M，a⊥b，则b∥M或b⊂M，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．某程序框图如图所示，当输出y值为﹣8时，则输出x的值为（）A．64 B．32 C．16 D．8【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=3，x=2，y=﹣2；第二次循环n=5，x=4，y=﹣4；第三次循环n=7，x=8，y=﹣6．第四次循环n=9，x=16，y=﹣8．∵输出y值为﹣8，∴输出的x=16．故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．7．若变量x，y满足条件，则z=x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，3] B．[3，+∞）C．[0，3] D．[1，3]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y取最值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线l0：x+y=0把直线向上平移可得过点A（3，0）时x+y最大，当x=3，y=0时，z=x+y取最大值3，把直线向下平移可得过点B（﹣1，1）时x+y最小，最小值为：﹣1+1=0，z=x+y的取值范围是[0，3]故选：C．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．8．已知函数f（x）=，则方程f（x）=（x+1）的根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】方程f（x）=（x+1）的根的个数，即函数y=f（x）与y=（x+1）图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数的图象，可得答案．【解答】解：方程f（x）=（x+1）的根的个数，即函数y=f（x）与y=（x+1）图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：由图可得两个函数图象共有2个交点，故方程f（x）=（x+1）有两个根，故选：C【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中将方程的根转化为函数图象的交点是解答的关键．9．已知函数f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（4，5）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求导数，利用f′（﹣1）=﹣4，求出a，再利用零点存在定理，即可求出函数y=f（x）的零点所在的区间．【解答】解：∵f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，∴﹣2a﹣e﹣1=﹣4，∴a=2﹣，∴f（x）=（2﹣）x2﹣e x，∴f（﹣1）=2﹣＞0，f（0）=﹣1＜0，∴函数y=f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0），故选：B．【点评】本题考查导数知识的运用，考查零点存在定理，正确求出a，利用零点存在定理是关键．10．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分等腰三角形△F 1F 2P 以F 1F 2为底和以F 1F 2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a 、c 的不等式，解之即可得到椭圆C 的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P 与短轴的顶点重合时，△F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ；②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F 2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F 1F 2=F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时， 存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，在△F 1F 2P 1中，F 1F 2+PF 1＞PF 2，即2c+2c ＞2a ﹣2c ，由此得知3c ＞a ．所以离心率e ＞．当e=时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e且e ≠时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（，）∪（，1）【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）= 4028 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解．【解答】解：∵函数f（x）=tanx+sinx+2015，∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+2015，∵f（﹣x）+f（x）=4030，∴f（m）+f（﹣m）=4030，∵f（m）=2，∴f（﹣m）=4028．故答案为：4028．【点评】本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大．12．将一批工件的尺寸在（40～100mm之间）分成六段，即[40，50），[50，60），…，[90，100），得到如图的频率分布直方图，则图中实数a的值为0.03 ．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图中频率和为1，求出a的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得；（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10=1，解得a=0.03．故答案为：0.03．【点评】本题考查了频率分布直方图中频率和为1的应用问题，是基础题目．13．若直线y=kx与圆x2+y2﹣6x+8=0相切，且切点在第四象限，则k= ﹣．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，题意可得k＜0，再根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值．【解答】解：圆x2+y2﹣6x+8=0，即（x﹣3）2+y2=1，表示以（3，0）为圆心、半径等于1的圆．由题意可得k＜0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得k=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为2π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，根据正视图与俯视图可判断底面扇形的中心角为，求出圆柱的体积乘以可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，∴几何体的体积V=×π×22×3=2π，故答案为：2π．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．15．设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：（Ⅰ）对M中任意元素a，b，c都有（a#b）#c=a#（b#c）；（Ⅱ）对M中任意两个元素a，b，满足a#b∈M．则称M对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为②③④．①{﹣2，﹣1，1，2}②{1，﹣1，0}③Z④Q．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】根据已知中“M对运算#封闭”的定义，逐一分析给定的四个集合是否满足“M对运算#封闭”的定义，可得答案．【解答】解：①中，当a=﹣1，b=1时，a+b=0∉{﹣2，﹣1，1，2}，当a=﹣2，b=2时，a×b=﹣4∉{﹣2，﹣1，1，2}，故①中集合对加法和乘法都不封闭，②中集合M={1，﹣1，0}满足：（Ⅰ）对M中任意元素a，b，c都有（a+b）+c=a+（b+c）；（Ⅱ）对M中任意两个元素a，b，满足a+b∈M．故②中集合对加法运算和乘法运算都封闭；③中集合M=Z满足：（Ⅰ）对M中任意元素a，b，c都有（a+b）+c=a+（b+c）；（Ⅱ）对M中任意两个元素a，b，满足a+b∈M．故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭；④中集合M=Q满足：（Ⅰ）对M中任意元素a，b，c都有（a+b）+c=a+（b+c）；（Ⅱ）对M中任意两个元素a，b，满足a+b∈M．故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭；故答案为：②③④【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，正确理解“M 对运算#封闭”的定义，是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）在[﹣，]上的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）=1，c=1，ab=2，且a＞b，求边a，b的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）利用向量数量积公式，结合二倍角、辅助角公式，利用角的范围求出相位的范围，然后求解函数的最小值，即可；（2）先确定C，在利用余弦定理、ab=2，即可求解边a，b的值．【解答】解：（1）∵向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•﹣2=2cos2x+sin2x﹣2=cos2x+1+sin2x﹣2=2sin（2x+）﹣1，x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）﹣1∈[﹣2，1]．∴函数f（x）在[﹣，]上的最小值：﹣2．（2）f（C）=2sin（2C+）﹣1=1，∴sin（2C+）=1∵C是△ABC的内角，∴2C+=，即C=由c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+b2=7，ab=2∵a＞b，∴a=2，b=．【点评】本题考查向量数量积公式、二倍角、辅助角公式，考查余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．如图，在三棱柱A1B1C1中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（Ⅰ）设D是AB的中点，证明：直线BC1∥平面A1DC；（Ⅱ）在△ABC中，若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点O，连接OD，由OD为△ABC1的中位线，OD∥BC1，即可判定直线BC1∥平面A1DC．（Ⅱ）由AA1⊥AB，AA1⊥AC，可证AA1⊥平面ABC，AA1⊥BC，由BC⊥AC，BC⊥AA1，即可证明BC⊥平面ACC1A1．【解答】（本题满分为12分）证明：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点O，连接OD．…因为：四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，D是AB的中点，所以：OD为△ABC1的中位线，OD∥BC1，…因为：直线OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC．所以：直线BC1∥平面A1DC．…（Ⅱ）因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以：AA1⊥AB，AA1⊥AC．…因为：AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以：AA1⊥平面ABC．…因为：直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC．…由BC⊥AC，BC⊥AA1，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，所以：BC⊥平面ACC1A1．…【点评】本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．18．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．【解答】解：（I）由茎叶图得：，解得，x=5，y=7（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数及中位数，考查分层抽样方法及古典概型的概率计算，要注意求至少有1人是“高精灵”的选法可用分类法，解答本题的关键是读懂茎叶图19．将正奇数组成的数列{a n}，按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行……27 25（Ⅰ）求第五行到第十行的所有数的和；（Ⅱ）已知点A1（a1，b1），A2（a2，b2），…，A n（a n，b n）在指数函数y=2x的图象上，如果，以A1，A2，…，A n为一个顶点，x轴y 轴为邻边构成的矩形面积为S1，S2，…S n，求S1+S2+…+S n的值T n．【考点】数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）因为{a n}为等差数列，故a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，第五行的第一个数为a17=1+（17﹣1）×2=33，由此推出结论．（Ⅱ）将点A n（a n，b n）代入函数y=2x，利用乘公比错位相减求得Tn【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}为等差数列，故a n=1+（n﹣1）×2=2n ﹣1，第五行的第一个数为a17=1+（17﹣1）×2=33第十行的最后一个数为a10=1+（40﹣1）×2=79，故第五行到第十行的所有数字的和为33+35+ (79)（Ⅱ）因为A n（a n，b n）在函数y=2x图象上，故b n=2a n=22n﹣1，又因为a n=2n﹣1，故S1=a1b1=2，S2=a2b2=3×23=24，S n=a n b n=（2n ﹣1）×2 2n﹣1，所以+…+（2n﹣1）×22n﹣1①+…+（2n﹣1）22n﹣3②①﹣②得﹣3Tn=2+2（23+25+…+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n﹣3=2（2+（2+23+25+…+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n﹣1==故【点评】本题主要考查乘公比错位相减的方法，属于中档题型，高考经常涉及此考点．20．已知函数f（x）=e x（x﹣lnx﹣1）（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）函数f（x）=e x（x﹣lnx﹣1），定义域为（0，+∞）．．令g（x）=x﹣lnx﹣，求出g′（x）＞0，即可得出函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．再利用g（1）=0，可得f′（x）的正负，即可得出函数f（x）的单调性．（II）不存在满足题意的实数a，b．由（I）可知：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．若存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，则f（a）=a，f（b）=b．即方程f （x）=x在（0，+∞）上由两个实数根．令g（x）=f（x）﹣x，利用导数研究其单调性与极值最值即可得出．【解答】解：（I）函数f（x）=e x（x﹣lnx﹣1），定义域为（0，+∞）．．令g（x）=x﹣lnx﹣，则=＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∵g（1）=0，∴当x＞1时，g（x）＞0，因此f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因此f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（II）不存在满足题意的实数a，b．由（I）可知：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．若存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，则f（a）=a，f（b）=b．即方程f（x）=x在（0，+∞）上由两个实数根．令g（x）=f（x）﹣x，则﹣1．由（I）可知：h′（x）单调递增，h′（1）=﹣1＜0，h′（e）=e e﹣1＞0，∴存在m∈（1，e），使得h′（m）=0．并且当x∈（1，m）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（m，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．即h（m）为h（x）在（1，+∞）上的最小值．而h（1）=f（1）﹣1=﹣1＜0，∴h（x）=f（x）﹣x只有一个零点．即f（x）=x在（1，+∞）上只有一个实数根．∴不存在实数a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函数f（x）在[a，b]值域也是[a，b]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点的个数，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设PQ 的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG 和OT 的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i ）设直线PQ 的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，则判别式△=36m 2+4×9（3m 2+4）＞0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），PQ 的中点G （x 0，y 0），则y 1+y 2=，y 1y 2=，则y 0=（y 1+y 2）=，x 0=my 0+1=，即G （，），k OG ==﹣， 设直线FT 的方程为：y=﹣m （x ﹣1），得T 点坐标为（4，﹣3m ），∵k OT =﹣，∴k OG =k OT ，即线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）当m=0时，PQ 的中点为F ，T （4，0），则|TF|=3，|PQ|=，， 当m ≠0时，|TF|==，|PQ|====12，则==（3+），设t=，则t＞1，则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y＞3+1=4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系是应用，利用直线和椭圆方程联立转化为一元二次方程问题是解决本题的关键．考查学生的计算能力，运算量较大，综合性较强．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
2018-2019年最新高考总复习数学(文)仿真模拟考试试题及答案解析二
2019届高考模拟试卷（1）数学（文史类）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1、已知集合U R=，{|23}Q x x =-≤≤，{|20}P x x =-<，则()U Q C P =( )A ．{|12}x x ≤≤B ．{|1}x x ≥ C ．{|12}x x <≤D ．{|23}x x ≤≤2、若复数z 满足(1)2z i i -=(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3、三个数20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a << 4、已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的 半径为1，则该几何体的体积为（ ） A ．2324π-B ．324π-C ．π-24D ．224π-5、下列说法中正确的是（A ）命题“若0>>b a ，则ba 11<”的逆命题是真命题 （B ）命题:p x R ∀∈，012>+-x x ,则0:p x R ⌝∃∈，01020<+-x x （C ）“11>>b a ，”是“1>ab ”成立的充分条件 （D ）“b a >”是“22b a >”成立的充分不必要条件6、已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m，其 结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个 算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 7、下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；B ．若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；C ．若m α⊂，n α⊄，,m n 是异面直线，那么n 与α相交；D ．若m αβ=，//n m ，则//n α且//n β.8．已知菱形ABCD 边长为2，3B π∠=，点P 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，R λ∈．若3BD CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ的值为( ) A ．12 B ．12- C ．13D ． 13-9．在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆0964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 2222x y x y +++10+=的切线PA 与PB（,A B 为切点），若PB PA =，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2 B ．54 C ．53D ．5结束开始输入n2i =(,)0?MOD n i =输出i1i i =+是否10、设方程440x ax +-=的各实根为()12,,,4k x x x k ⋅⋅⋅≤. 若点()4(,)1,2,,i ix i k x =⋅⋅⋅均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()4,+∞B. ()(),66,-∞-+∞C. ()6,+∞D.()(),44,-∞-+∞二、填空题11、若向量(sin ,cos 2sin ), (1,2)a b ααα=-=r r ，且//a b r r，则tan α= .12、某校共有高中学生3600人，为了了解本期数学学科的考试成绩，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从高一、高二、高三年级抽取的人数分别为a b c ，，，且a b c ，，构成等差数列，则高二年级的学生人数为13、已知直线:l y x a =-经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 与C 交于A B 、两点．若6AB =，则p 的值为 14、某高校今年计划在我市招女生a 名，男生b 名，若a b 、满足不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，设这所高校今年计划招生最多x 名，则x = .15、在平面直角坐标系中，已知(,0),(,0)M a N a -，其中a R ∈，若直线l 上有且仅有一点P ，使得10PM PN +=，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”.由此定义可以判定以下说法正确的是 （填正确命题的序号）①当7a =时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当5a =时，坐标平面内有无数条黄金直线； ③当3a =时，黄金点的轨迹是个椭圆；④当0a =时，坐标平面内有且只有一条黄金直线.高考模拟试卷（1） 数学（文史类）答题卷班级 姓名： 一、选择题 二、填空题11、 12、 13、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案14、15、三、解答题16、（本题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市市法制办组织了普法知识竞赛．统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：甲单位87 88 91 91 93乙单位85 89 91 92 93 (Ⅰ)根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位对法律知识的掌握更稳定；(Ⅱ)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率．17、（本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面）中，AB BC ⊥，1AA AC =，E ，F 分别是11AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1//C F 平面ABE ；18、（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，. （1）若a b c ，，成等差数列，证明：sin sin 2sin()A C A C +=+. （2）若a b c ，，成等比数列，求角B 的取值范围.19、（本题满分12分）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈.（1）证明：数列{}na n 是等差数列；（2）设3n n nb a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .20、（本题满分13分）在直角坐标系xOy中，点M到点1(3,0)F-，2(3,0)F的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线:l y kx b=+与轨迹C交于不同的两点P和Q．（1）求轨迹C的方程；（2）当0AP AQ⋅=时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．21、（本题满分14分）已知函数()ln f x x a x =+，()()212g x f x x bx =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，记12x t x =，若133b ≥，求t 的取值范围.答案解析一、选择题：1、D 因为P＝{x|x<2}，所以∁U P＝{x|x≥2}，所以Q∩(∁U P )＝{x|2≤x≤3}，故选D .2、A 因为z＝2i(i＋1)(i－1)(i＋1)＝1－i，所以z＝1＋i，故选A.3、C4、【命题意图】本题主要考查利用三视图求空间几何体的体积，意在考查考生的空间想象能力和计算能力，是容易题.【答案】A5、C6、B7、A8、【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合能力和应用能力，是中档题.【答案】A【解析】因为AP AB λ=uu u r uu u r，λ∈R，所以(1)BP BA λ=-u u r u u r ，又因为BD BA BC =+u u u r u u r u u u r ，CP CB BP =+u u r u u r u u r(1)BC BA λ=-+-u u u r u u r ，所以3BD CP ⋅=-uu u r uu r即()[(1)]3BA BC BC BA λ+⋅-+-=-uu r uu u r uu u r uu r ，即4(1)4λλ⨯---12232⨯⨯⨯=-，即12λ=，故应选A ． 9、【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了两点间距离公式和点到直线的距离公式，意在考查考生的综合应用能力，属于中档题.【答案】B 【解析】圆1C 标准方程为22(2)(3)4x y -+-=，圆2C 标准方程为22(1)(1)1x y +++=， 2214PA PC =-，2221PB PC =-，由题意221241PC PC -=-，设(,)P x y ，则2222(2)(3)4(1)(1)1x y x y -+--=+++-，化简为3440x y +-=，OP的最小值为220044534d +-==+．故选B ．10、【命题意图】本题考查根的存在性及根的个数判断的基础知识，意在考查学生数形结合思想和转化与化归思想．【答案】B二、填空题：11、1412、1200 因为a，b，c成等差数列，所以2b ＝a＋c，即高二年级抽取的学生人数占抽样人数总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，高二年级的学生人数占总数的三分之一，即为1200人．13、32因为直线l过抛物线的焦点，所以a＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p24＝0.设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32.14、14如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13. 15、①②③ 三、解答题：16、解：(Ⅰ)x －甲＝15(87＋88＋91＋91＋93)＝90，x －乙＝15(85＋89＋91＋92＋93)＝90，s 2甲＝15[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝245，s 2乙＝15[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8，因为245<8，所以甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定．……6分(Ⅱ)从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个，则抽取的2名职工的分数差至少是4的基本事件：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个．由古典概型的概率计算公式可知，抽取的2名职工的分数差至少是4的概率P ＝510＝12.……………………………12分17、【分析】以三棱柱为载体，考查面面垂直的判定、线面平行的判定。
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A (2,3)是最优解，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝3－02－0＝32，故选A.6．(2017·浙江卷，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3 答案：A解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴ 该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A.7．(2018·南充一模)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 答案：D解析：∵直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，可得－2a＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点过点，排除11．(2018·河由三角函数图象的对称性知P为AC的中点，又(非选择题共小题，每小题的正方形中随机撒粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为2,10－x}(x≥0)的图象如图中实线所示．＝4时，f(x)取最大值，又⊥平面MAC；的值，使三棱锥S－ABC体积为三棱锥中，由于AB＝2，AC＝。
全国通用-2019年最新高考数学文科仿真模拟考试试题及答案解析一
最新高三年级第二学期统一练习（二） 2018.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项． 1. 复数()i 1i -=（A ）1i -（B ）1i -- （C ）1i -+ （D ）1i + 2.过点（2,0）且圆心为（1,0）的圆的方程是 （A ）2220x y x ++=（B ）2220x y x +-=（C ）2240x y x +-= （D ）2240x y x ++= 3.在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩．表示的平面区域内任取一个点(,)P x y ，使得1x y +≤的概率为（A ）12（B ）14（C ）18（D ）1124.已知点P 在抛物线24y x =上，它到抛物线焦点的距离为5，那么点P 的坐标为 （A ）(4, 4)，（4，-4） （B ）（-4,4），（-4,-4）（C ）（5，25），（5，25-） （D ）（-5，25），（-5，25-） 5. 已知函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是奇函数”是“(1)(1)f f =--”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后与函数()g x 的图象重合，则函数 ()g x 为（A ）sin(2)6x π-（B ）sin(2)6x π+ （C ）sin(2)3x π-（D ）sin(2)3x π+ 7.已知230.5log 3,log 2,log 2a b c ===，那么（A ）a b c <<（B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b c a <<8.下表为某设备维修的工序明细表，其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下一个工序.工序代号 工序名称或内容紧后工序 A 拆卸 B ，C B 清洗D C 电器检修与安装 H D 检查零件E ，G E 部件维修或更换F F 部件配合试验G G 部件组装H H装配与试车将这个设备维修的工序明细表绘制成工序网络图，如图，那么图中的1,2,3,4表示的工序代号依次为（A ）E ，F ，G ，G （B ）E ，G ，F ，G （C ）G ，E ，F ，F （D ）G ，F ，E ，F第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知向量(1,2),(1,3)a b ==-，则|2|a b +=_______.10.已知双曲线2221x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为33y x =，则a =.11.某产品广告费用x 与销售额y （单位：万元）的统计数据如下表，根据下表得到回归方程y ^=10.6x+a ，则a=_________.广告费用x4 2 35 销售额y （万元）4926395812.当n ＝3，x ＝2时，执行如图所示的程序框图， 则输出的结果为____________.13.一个三棱柱被一个平面截去一部分，剩下的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________________.14. 某旅行达人准备一次旅行，考虑携带A ，B ，C 三类用品，这三类用品每件重量依次为1kg ，2kg ，3kg ，每件用品对于旅行的重要性赋值依次为2,2,4，设每类用品的可能携带的数量依次为123,,(1,1,2,3)i x x x x i ≥=，且携带这三类用品的总重量不得超过11kg.当携带这三类用品的重要性指数123224x x x ++最大时，则1x ，2x ，3x 的值分别为_________________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足sin 3cos c A a C =． （I ）求角C 的大小；（Ⅱ）若23b =，5c =,求a 的值.16.（本小题共13分）某校举办的数学与物理竞赛活动中，某班有36名同学，参加的情况如下表：（单位：人）参加物理竞赛未参加物理竞赛参加数学竞赛 9 4 未参加数学竞赛320（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一科竞赛的概率；（Ⅱ）在既参加数学竞赛又参加物理竞赛的9名同学中，有5名男同学,,,,a b c d e 和4名女同学甲、乙、丙、丁.现从这5名男同学和4名女同学中各随机选1人，求a 被选中且甲未被选中的概率.17.（本小题共14分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，BC=1，且AC ⊥BC ，点D ，E ，F 分别为AC ，AB ，A 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：A 1D ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求证：EF ∥平面BB 1C 1C ； （Ⅲ）写出四棱锥A 1-BB 1C 1C 的体积. （只写出结论，不需要说明理由）18.（本小题共13分）已知{}n a 是各项为正数的等比数列，12320,64a a a +==,数列{}n b 的前n 项和为n S ，2log n n b a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求证:对任意的*n ∈N ，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列.19. （本小题共13分）设函数()e (1)xf x a x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(0,2]上存在唯一零点，求a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆w :22221(0)x y a b a b+=>>过点（0，2），椭圆w 上任意一点到两焦点的距离之和为4.（Ⅰ）求椭圆w 的方程;（Ⅱ）如图，设直线:(0)l y kx k =≠与椭圆w 交于,P A两点，过点00(,)P x y 作PC ⊥x 轴，垂足为点C ， 直线AC 交椭圆w 于另一点B.①用直线l 的斜率k 表示直线AC 的斜率； ②写出∠APB 的大小，并证明你的结论.数 学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
2018-2019年最新高考总复习数学(文)仿真模拟考试试题及答案解析
2019届模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设U R =，集合{}{}y |y 1,1,2,1,1,2A x x B ==->=--，则下列正确的是（ ）A. (){}2,1U C A B =--B. ()(),0U C A B =-∞C. ()0,A B =+∞D. {}2,1A B =--2.若复数312a ii--（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 2- B. 4 C. 6- D. 63.已知椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A.14 B. 12C. 2D.4 4. 已知向量()3cos ,2a α=-与向量()3,4sin b α=-平行，则锐角α等于（ ） A.6π B. 4π C. 3π D.512π5.在集合|x ,1,2,3,,106n x n π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭中任取一个元素，所取元素恰好满足方程3sin 2x =的概率是（ ） A.15 B. 25 C. 35 D. 456.已知函数()log a y x b =+（,a b 为常数），()[]22,0,3x xg x b x -=∈的图象如图所示，则函数的最大值是（ ） A. 1 B. b C. 3b D.1b7.若关于x 的不等式212log x x a +-->的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,8 B. ()8,+∞ C.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8.若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数23x yz +=的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 99.将函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+≠>的图象向左平移6π个单位，得到的图象关于原点对称，则ω的值可以是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610.设,,αβγ是三个不同的平面，,a b 是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若//,//a b αα，则//a b B. 若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则 αβ⊥ C. 若//,//,//a b a b αβ，则//αβ D. 若,a b 在平面α内的射影相互垂直，则a b ⊥11.已知点()(),00F c c ->是双曲线2222:1x y E a b-=的左焦点，双曲线E 的离心率为e ，过F 且平行于双曲线E 渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则2e =（ ）A. 5B.532+ C. 522+ D. 512+ 12.定义域为D 的函数()f x 同时满足条件：①常数,a b 满足a b <，区间[],,a b D ⊆②使()f x 在[],a b 上的值域为[](),,at bt t N +∈那么我们把()f x 叫做[],a b 上的“t 级矩形”函数，函数()3f x x =是[],a b 上的“2级矩形”函数，则满足条件的常数(),a b 对共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D.4对第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是 .14.一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积之比为 .15.若,,a b c 都是正数，且2a b c ++=，则411a b c+++的最小值为 . 16.已知函数()24ln f x x x =+，若存在014x ≤≤满足的实数0x ，使得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线与直线20x my +-=垂直，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某市区甲、乙、丙三所学校的高三文科学生共有800名，其中男、女生人数如下表：甲校 乙校 丙校 男生 97 90 x 女生 153yz从这三所学校的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙校高三文科女生的概率为0.2. （1）求表中x z +的值；（2）某市四月份模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001,002，…，800进行编号，如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的4个人的编号；（下面摘取了随机数表第7行至第9行）（3）已知145,145x z ≥≥，求丙校高三文科生中的男生比女生人数多的概率.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点. （1）求证：CE BF ⊥；（2）若2,3AB PD ==，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.19.(本小题满分12分)若数列{}n a 满足221n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 为等方差数列.已知等方差数列{}n a 满足150,1, 3.n a a a >==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n n b na =若不等式()44n kb n k >-+对任意n N *∈的恒成立，求实数k 的取值范围.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为22，且斜率为3的直线l 过椭圆C 的焦点及点()0,23-（1）求椭圆C 的方程；（2）已知一直线m 过椭圆的左焦点F ，交椭圆于点,P Q ，若直线m 与两坐标轴都不垂直，点M 在x 轴上，且使MF 为PMQ ∠的一条角平分线，求点M 的坐标.21.(本小题满分12分)已知函数()()()()()ln ,g .f x x x ax a R x f x '=-∈=（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线310x y --=平行，求实数a 的值； （2）若函数()()212F x g x x =+有两个极值点12,x x ，且12x x <， 求证：()()211f x f x <-<.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，1O 与2O 相交于A,B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O 于点E ，并与2BO 的交于点P,PB 分别与1O 、2O 交于C,D 两点.（1）求证：;PA PD PE PC = （2）.AD AE =23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 5.ρρθ-=- （1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得的弦长为23，求整数a 的值.24.(本小题满分10分)不等式选讲已知不等式118x x ++-<的解集为.A （1）求集合A ；（2）若(),,0,a b A x ∀∈∈+∞，不等式9a b x m x+<++恒成立，求实数m 的最小值.参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 题号123456789101112答案 A C A B A D C B D B D C二、填空题(本大题共4个小题．每小题5分．共20分)113.14.3:15.316.42,9.2π⎡⎤-⎣⎦三、解答题（ 本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2018-2019年最新最新高考总复习数学高考模拟仿真题二(不分文理,通用)
仿真测2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)若复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数，则a 的值是( ) A ．－3 B ．－3或1 C ．3或－1 D ．1[答案] D[分析] 易错点、纯虚数要求虚部不为0.[解析] 因为复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝0，a ＋3≠0，解得a ＝1.(理)(2015·河南八市质量监测)如图所示的复平面上的点A ，B 分别对应复数z 1，z 2，则z 2z 1＝( )A ．－2iB ．2iC ．2D ．－2[答案] A[解析] 由图可知z 2＝2＋2i ，z 1＝－1＋i ，则z 2z 1＝2＋2i －1＋i ＝(2＋2i )(－1－i )2＝－(1＋i)2＝－2i.[方法点拨] 准确应用概念、定理的前提是理解和熟记，特别是其中易混易错易忘的地方，可单独记录在案，不断强化记忆，并在解题过程中通过实践加深印象，才能有效的防范和避免失误．2．(2015·河北衡水中学一模)下列函数，有最小正周期的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x 2＋1)0[答案] B[解析] A ：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0－sin x ，x <0，不是周期函数；B ：y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0－tan x ，x <0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期．3．(2015·南昌市二模)下列结论错误的是( )A ．命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2”的逆否命题为：“若x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件C ．命题：“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” D ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题 [答案] B[解析] 易知A 、C 、D 正确，而a >b 时，ac 2>bc 2不一定成立(如c ＝0时不成立)．当ac 2>bc 2时，a >b 一定成立，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．4．(2015·东北三校二模)已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)的夹角为π，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5)[答案] A[解析] 设B (x ，y )，则AB →＝(x －3，y ＋4)，由已知得(x －3)2＋(y ＋4)2＝(25)2，cosπ＝AB →·a |AB →|·|a |＝(x －3)－2(y ＋4)25·5＝－1，即x －2y －1＝0，联立两方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴B (1,0)．5．(文)(2015·青岛市质检)某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为( )A ．84B ．78C ．81D ．96[答案] B[解析] 设该校高三有x 人，则高二有(30＋x )人，故480＋x ＋(30＋x )＝1290，∴x ＝390.设样本中高三学生人数为t ，则96480＝t390，∴t ＝78.(理)(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D[解析] 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8.∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.6．(文)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．16 B ．13 C ．23 D ．1[答案] B[解析] 由三视图知该几何体是底面为直角三角形(两直角边长分别为1,1)高为2的三棱锥，其体积为13×(12×1×1)×2＝13.(理)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163D ．6[答案] B[解析] S 1＝1，S 2＝4，高h ＝2， ∴V ＝13(1＋1×4＋4)×2＝143.7．(文)曲线x ＝1－y 2与直线y ＝x ＋b 无公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－1，2) B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) [答案] C[分析] 本题常见错误是将两方程联立消元变形为一元二次方程，用判别式得出b >2或b <－ 2.[解析] x ＝1－y 2表示右半圆x 2＋y 2＝1(x ≥0)，如图可知，当－2≤b ≤1时，直线y ＝x ＋b 与曲线有公共点，∴b 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．[方法点拨] 转化要等价：解答数学问题过程中，经常要进行转化(转换)，转化过程中，某些变形可能要使变量的取值范围扩大或缩小，某些变换可能使原变量的受限条件丢失(如换元时原变量的取值范围必须转化为新元的取值范围)等等，平时解题过程中，要注意养成习惯．(理)(2014·吉林市质检)若双曲线y 2m2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线离心率为( )A ． 2B ．3C ．62D ． 3[答案] C[分析] 本题极易由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，造成错误迁移得到1|m |＝2，∴m ＝±22，而造成错解． [解析] ∵a b＝2，a 2＝m 2，b 2＝1，∴m 2＝2，∴a 2＝m 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝3，∴离心率e ＝c a ＝32＝62. [方法点拨] 运用公式重细节：数学中有大量的公式、法则、性质，它们中好多都有前提条件，使用它们解决问题时，必须注意有无限制条件，题目中给出的条件是否满足其要求．8．(2015·昆明市质检)执行下面的程序框图，若输入x ＝1，则输出的S ＝( )A ．21B ．37C ．57D ．62[答案] B[解析] 由程序框图得：x ＝1，S ＝0，t ＝31＝3，S ＝0＋3＝3；x ＝1＋1＝2，t ＝32＝9，S ＝3＋9＝12；x ＝2＋1＝3，t ＝32＝9，S ＝12＋9＝21；x ＝3＋1＝4，t ＝42＝16，S ＝21＋16＝37，结束循环，输出S ＝37.9．(2015·太原市模拟)已知△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，BC ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．6B ．12C ．5D ．10[答案] A[解析] ∵在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，∴sin A ＝45，sin B ＝35，由正弦定理BC sin A ＝ACsin B 得，AC ＝BC ·sin Bsin A ＝4×3545＝3，∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝1， ∴∠C 为直角，∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝6，故选A ．10．(文)(2015·石家庄市一模)已知偶函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝( ) A ．－3＋2 B ．1 C ．3 D ．3＋2[答案] D[解析] ∵f (x )为偶函数，且0<π3<2，∴f (－π3)＝f (π3)＝2sin π3＝3，∵x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，∴f (4)＝2，故选D ．(理)(2014·辽宁文，10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈[0，12]2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34][答案] A[解析] 解法1：由f (x )为偶函数，且x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ， x ∈[0，12]，2x －1， x ∈(12，＋∞).得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1， x <－12，cos πx ， －12≤x ≤12，2x －1， x >12.在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝12，易知其交点为A (13，12)，B (34，12)，C (－13，12)，D (－34，12)，由图易知，f (x )≤12的解为13≤x ≤34或－34≤x ≤－13，由13≤x －1≤34得43≤x ≤74，由－34≤x －1≤－13得14≤x ≤23，故选A ． 解法2：当x ∈[0，12]时，由f (x )＝cos πx ≤12得x ∈[13，12]，当x ∈(12＋∞)时，由f (x )＝2x －1≤12，得x ∈(12，34]，∴x ∈[13，34]时f (x )≤12，∵f (x )是偶函数，∴x ∈[－34，－13]时，f (x )≤12，而要使f (x－1)≤12，则x ∈[14，23]∪[43，74]．[点评] 照顾到f (x )为偶函数，可以只讨论x ≥0的部分，由对称性写出结论． 11．(文)(2015·柳州市模拟)设点P 在曲线y ＝e x上，点Q 在曲线y ＝ln x 上，则|PQ |最小值为( )A ．ln2B ． 2C ．1＋ 2D ．2－1[答案] B[解析] 因为函数y ＝e x与y ＝ln x 互为反函数，所以它们的函数图象关于直线y ＝x 对称，要使|PQ |最小，则必有P ，Q 两点的切线斜率和y ＝x 的斜率相等，对于曲线y ＝ln x ，令y ′＝1x＝1，得x ＝1，故Q (1,0)．同理，对于曲线y ＝e x ，令y ′＝e x＝1，得x ＝0，所以P 点坐标为(0,1)，综上，|PQ |最小值为1＋1＝2，选B ．(理)(2015·衡水中学三调)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为( )A ．956B ．928 C ．914 D ．59[答案] B[解析] 由于抽取五个不同的数字，且数字5是这五个数的中位数，故数字5必在抽取的数中，因此抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C 24·C 23C 58＝928.12．(文)(2015·洛阳市质检)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π[答案] D [解析]由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥A －BCD ，其外接球的直径为52＋32＋42＝52，∴外接球的表面积为：S ＝4π⎝⎛⎭⎪⎫5222＝50π. (理)(2014·中原名校联考)已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝120°，若点P ，A ，B ，C ，D 都在同一球面上，则此球的表面积等于( )A ．8πB ．12πC ．16πD ．20π[答案] D[解析] 设△PAD 外接圆心为O 1，则O 1A ＝r ，O 1P ＝r ，设O 1P 与AD 相交于E .∵PA ＝PD ＝2，∠APD ＝120°，∴AE ＝DE ＝3，PE ＝1， ∴O 1E ＝r －1，由AE 2＋O 1E 2＝O 1A 2， 得r ＝2，从而O 1E ＝1，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ， 设矩形ABCD 外接圆心为O 2，则O 2E ⊥平面PAD ，设球心为O ，则四边形OO 1EO 2为矩形，△OO 2A 为直角三角形， ∵O 2A ＝12AC ＝12AB 2＋AD 2＝2，OO 2＝O 1E ＝1，∴球半径R ＝OA ＝5，∴球面积S ＝4πR 2＝20π.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2015·柳州市模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋1＋n，它的前n 项和为9，则n ＝________.[答案] 99 [解析] a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，可得前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，所以n ＋1－1＝9，则n ＝99.(理)(2015·商丘市二模)若a ＝∫π20sin 2x d x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 6展开式的常数项为________．[答案] 160[解析] a ＝∫π20sin 2x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos 2x π20＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 6的展开式的常数项T 4＝C 36(2x)3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3＝160.14．(2015·郑州市质检)已知点A(－1,1)、B(0,3)、C(3,4)，则向量AB →在AC →方向上的投影为________．[答案] 2[解析] AB →＝(1,2)，AC →＝(4,3)，∴AB →在AC →方向上的投影为AB →·AC →|AC →|＝1×4＋2×35＝2.15．(文)(2015·济南市模拟)100名学生某次数学测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60,80)中的学生人数是________．[答案] 50[解析] 根据频率分布直方图中各组频率之和为1，得10(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a)＝1，解得a ＝1200，所以测试成绩落在[60,80)中的频率是10(3a ＋7a)＝100a ＝100×1200＝12，故对应的学生人数为100×12＝50.(理)(2015·青岛市诊断)某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N(110,102)，已知P(100≤X ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．[答案] 8[解析] 由题意可知P(X>120)＝0.5－P(110≤X ≤120)＝0.5－P(100≤X ≤110)＝0.5－0.34＝0.16.故120分以上的人数为50×0.16＝8.16．(2015·长沙市模拟)已知函数f(x)＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x20152015，且F(x)＝f(x＋4)，函数F(x)的零点均在区间[a ，b](a<b ，a ，b ∈Z )内，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为________．[答案] π[分析] F (x )的图象可由f (x )的图象平移得到，故只要知道f (x )的零点，就能知道F (x )的零点，讨论f (x )的零点，由f (x )的表达式知需用导数研究f (x )的单调性．又圆x 2＋y 2＝b －a 的面积最小，等价于b －a 取最小值，结合b 、a ∈Z .利用导数可确定函数在R 上是增函数，再利用零点存在性定理即可获解．[解析] 因为f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x2014＝1＋x 20151＋x>0(x ≠－1，x ≠0)，又因为f′(－1)＝2015>0，f ′(0)＝1>0，故f (x )在R 上单调递增．因为f (0)＝1>0，f (－1)<0，所以f (x )的零点在[－1,0]内，F (x )的零点在[－5，－4]内，b －a 的最小值为1，所以圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为π.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2015·梧州二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B. (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的外接圆直径为2，求a 2＋b 2的取值范围．[解析] (1)由sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B得，sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cosC sin B ，即sin (C －A )＝sin(B －C )，所以C －A ＝B －C ， 即2C ＝B ＋A ，得C ＝π3.(2)由C ＝π3，可设A ＝π3－α，B ＝π3＋α其中－π3<α<π3.所以a 2＋b 2＝(2R sin A )2＋(2R sin B )2＝4(sin 2A ＋sin 2B )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 2＋1－cos 2B 2＝4－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝4＋2cos 2α.由－π3<α<π3得－2π3<2α<2π3，所以－12<cos 2α≤1，所以3<a 2＋b 2≤6.故a 2＋b 2的取值范围是(3,6]．18．(本题满分12分)(2014·新乡、平顶山、许昌调研)已知四棱锥P －ABCD 中， PC ⊥底面ABCD ，PC ＝2，且底面ABCD 是边长为1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．(1)求证：P 、A 、B 、C 、D 五点在同一个球面上，并求该球的体积； (2)如果点F 在线段BD 上，DF ＝3BF ，EF ∥平面PAB ，求PEEC的值； (3)(理)在(2)的条件下，求二面角B －EF －C 的余弦值．[解析] (1)解法一：设PA 的中点为M ，∵△PAC 为直角三角形，PC ＝2，AC ＝2，∴CM ＝PM ＝AM ＝62. 设正方形ABCD 的中心为点O ，则OM ∥PC ，OM ＝1且PC ⊥底面ABCD ，∴OM ⊥底面ABCD ， 又O 为BD 的中点，∴BM ＝DM ＝1＋(22)2＝62，∴CM ＝PM ＝AM ＝BM ＝DM ，故点P 、A 、B 、C 、D 在以M 为球心半径为62的球上，且V 球M ＝43π(62)3＝6π. 解法二：以PC 、BC 、CD 为相邻棱补成长方体，则PA 为长方体的对角线，∴长方体内接于以PA 为直径的球，∴P 、A 、B 、C 、D 在同一个球面上， 球半径R ＝12PC 2＋BC 2＋CD 2＝62，∴V 球＝43πR 3＝6π.(2)连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK .∵EF ∥面PAB ，EF ⊂面PCK ，面PCK ∩面PAB ＝PK ， ∴EF ∥PK .∵DF ＝3BF ，∵AB ∥CD ，∴CF ＝3KF .∵EF ∥PK ，∴CE ＝3PE ，∴PE EC ＝13.(3)(理)以C 为原点，CD →、CB →、CP →所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，D (1,0,0)，A (1,1,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，因为DF ＝3BF ，CE ＝3PE ，得E (0,0，32)，F (14，34，0)，故EF →＝(14，34，－32)，BF →＝(14，－14，0)，CF →＝(14，34，0)．设n 1＝(x ，y ，z )是平面BEF 的法向量，则n 1·EF →＝14x ＋34y －32z ＝0， n 1·BF →＝14x －14y ＝0.取x ＝1，则n 1→＝(1,1，23)．设n 2＝(p ，q ，r )是平面CEF 的法向量，则n 2·EF →＝14p ＋34q －32r ＝0， n 2·CF →＝14p ＋34q ＝0.取p ＝3，则n 2＝(3，－1,0)，设向量n 1、n 2的夹角为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝35555.故二面角B －EF －C 的余弦值为35555.[方法点拨] 运算过程要合理，计算要耐心细致19．(本题满分12分)(文)(2015·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ^＝y －b ^t .[分析] (1)列表分别计算出t ，y ，l nt ＝∑i ＝1nt 2i －n t 2，l ny ＝∑i ＝1nt i y i －n t y 的值，然后代入b ^＝l ny l nt求得b ^，再代入a ^＝y －b ^ t 求出a ^值，从而就可得到回归方程；(2)将t ＝6代入回归方程中可预测该地区2015年的人民币储蓄存款． [解析] (1)列表计算如下it iy it 2it i y i1 1 5 1 52 2 6 4 123 3 7 9 214 4 8 16 325 5 10 25 50 ∑153655120这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1nt i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又l nt ＝∑i ＝1nt i －n t 2＝55－5×32＝10，l ny ＝∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12.从而b ^＝l ny l nt ＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^ t ＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为y ^＝1.2t＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．(理)(2015·福建理，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． [分析] 考查(1)古典概型；(2)离散型随机变量的分布列和期望．(3)运算能力和分析解决问题的能力．(1)银行卡被锁定相当于三次尝试密码都错，求出基本事件数，然后用古典概型的概率计算公式求解；(2)列出随机变量X 的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可．[解析] (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为X 1 2 3 p161623所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.20．(本题满分12分)(2014·哈三中一模)若点A (1,2)是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，经过点B (5，－2)的直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点．(1)求证：PA →·QA →为定值；(2)若点P ，Q 与点A 不重合，问△APQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为点A (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，所以4＝2p ，有p ＝2，那么抛物线C ：y 2＝4x若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝5，此时P (5，25)，Q (5，－25)，A (1,2) PA →·QA →＝(－4,2－25)·(－4,2＋25)＝0若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k (x －5)－2，(k ≠0)，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －5)－2.消去x 得，ky 2－4y －4(5k ＋2)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－20k ＋8k ，Δ＝16＋16k (5k ＋2)>0.PA →·QA →＝(1－x 1,2－y 1)·(1－x 2,2－y 2)＝1－(x 1＋x 2) ＋x 1x 2＋4－2(y 1＋y 2)＋y 1y 2 ＝1－y 21＋y 224＋y 21y 2216＋4－2(y 1＋y 2)＋y 1y 2＝1－(y 1＋y 2)2－2y 1y 24＋y 21y 2216＋4－2(y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0所以，PA →·QA →为定值．(2)若直线l 的斜率不存在，直线l ：x ＝5，此时P (5,25)，Q (5，－25)，A (1,2)S △APQ ＝12×45×4＝8 5若直线l 的斜率存在时， |PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1＋1k2·80k 2＋32k ＋16k2点A (1,2)到直线l ：y ＝k (x －5)－2的距离h ＝4|k ＋1|1＋k 2S △APQ ＝12·|PQ |·h ＝8(5k 2＋2k ＋1)(k ＋1)2k 4，令u ＝(1k＋1)2，有u ≥0，则S △APQ ＝8u 2＋4u 没有最大值．21．(本题满分12分)(文)(2015·河南省高考适应性测试)已知函数f (x )＝x 2ln x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝tf (x )－x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1∪(1，e 2]上有两个零点，求实数t 的取值范围．[解析] (1)因为f (x )＝x 2ln x，其定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．f ′(x )＝x (2ln x －1)(ln x )2，由f ′(x )>0得f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)， 由f ′(x )<0得f (x )的单调递减区间为(0,1)，(1，e)(2)函数g (x )＝tf (x )－x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1∪(1，e 2]上有两个零点，等价于h (x )＝ln x x 与y ＝t在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1∪(1，e 2]上有两个不同的交点．h ′(x )＝1－ln x x 2，由h ′(x )>0得0<x <e ，由h ′(x )<0得x >e ，所以当x ＝e 时y ＝h (x )有极大值，即最大值h (e)＝1e.又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e ，h (e 2)＝2e 2，h (1)＝0且2e 2>0>－e ，所以实数t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e .(理)(2015·兰州市诊断)设函数f (x )＝x 2＋m ln(x ＋1)． (1)若函数f (x )是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围． (2)若m ＝－1，试比较当x ∈(0，＋∞)时，f (x )与x 3的大小；(3)证明：对任意的正整数n ，不等式e 0＋e－1×4＋e－2×9＋…＋e(1－n )n 2<n (n ＋3)2成立．[解析] (1)∵f ′(x )＝2x ＋mx ＋1＝2x 2＋2x ＋mx ＋1，又函数f (x )在定义域上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，若f ′(x )≥0在(－1，＋∞)上恒成立，即函数f (x )是定义域上的单调递增函数，则m ≥－2x 2－2x ＝－2(x ＋12)2＋12在(－1，＋∞)上恒成立，由此可得m ≥12；若f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵x ＋1>0，∴应有2x 2＋2x ＋m ≤0在(－1，＋∞)上恒成立，这显然是不可能的．∴不存在实数m 使f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立． 综上所述，实数m 的取值范围是[12，＋∞)．(2)当m ＝－1时，函数f (x )＝x 2－ln(x ＋1)． 令g (x )＝f (x )－x 3＝－x 3＋x 2－ln(x ＋1)， 则g ′(x )＝－3x 2＋2x －1x ＋1＝－3x 3＋(x －1)2x ＋1，显然，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (0)＝0，∴当x ∈(0，＋∞)时，恒有g (x )<g (0)＝0， 即f (x )－x 3<0恒成立． 故当x ∈(0，＋∞)时，f (x )<x 3.(3)由(2)可知x 2－x 3<ln(x ＋1)(x ∈(0，＋∞))， ∴e(1－x )x 2<x ＋1(x ∈(0，＋∞))， ∴e(1－n )n 2<n ＋1(n ∈N *)， ∴e 0＋e－1×4＋e－2×9＋…＋e(1－n )n 2<2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本题满分10分) (2015·昆明市质检)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，以AD 为直径作⊙O 交AB 于点G .(1)证明：B 、C 、D 、G 四点共圆；(2)过点C 作⊙O 的切线CP ，切点为P ，连接OP ，作PH ⊥AD 于H ，若CH ＝165，OH ＝95，求CD ·CA 的值．[解析] (1)∵AD 是直径，∴∠AGD ＝90°， ∵∠BCA ＝90°，∴∠AGD ＝∠BCA ，∴B 、C 、D 、G 四点共圆．(2)∵CP 是⊙O 的切线，CDA 是⊙O 的割线， ∴根据切割线定理得CP 2＝CD ·CA ， ∵∠CPO ＝90°，PH ⊥AD ， ∴根据射影定理得CP 2＝CH ·CO ， ∵CH ＝165，CO ＝CH ＋OH ＝165＋95＝5，∴CP 2＝CH ·CO ＝165×5＝16，∴CD ·CA ＝16.23．(本题满分10分)(2015·衡水中学三调)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ.(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并指明C 是什么曲线？ (2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ |的值． [解析] (1)∵ρ＝4cos θ.∴ρ2＝4ρcos θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得x 2＋y 2＝4x ， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆． (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t 代入x 2＋y 2＝4x .整理得t 2－33t ＋5＝0.设其两根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝33，t 1t 2＝5. 所以|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝7.24．(本题满分10分)(文)(2015·陕西)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．[分析] 考查绝对值不等式和柯西不等式及转化思想． (1)求解绝对值不等式，令解集与已知解集相等，即可求a ，b ； (2)由柯西不等式求解．[解析] (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. (理)(2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[分析] 考查1.绝对值三角不等式；2.柯西不等式，推理论证能力及转化思想． (1)依据绝对值不等式的性质求解最小值； (2)利用柯西不等式求解．[解析] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 因为f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时，等号成立．所以14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.[方法点拨] 1.应用不等式的性质时，要注意限制条件．2．|a －b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件是a ·b ≤0；|a ＋b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件是ab ≥0；||a |－|b ||≤|a －b |等号成立的条件是ab ≥0.3．用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立．。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析二
2018年高考模拟考试理科数学试卷一、单选题（共12小题）1．设集合，则=（）A．B．C．D．2．命题“”的否定是（）A．B．C．D．3．直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A．1B．C．2D．44．已知等比数列中，等差数列中，，则数列的前9项和等于（）A．9B．18C．36D．725．已知函数的图象关于原点对称，其中，则函数的图象（）A．关于点对称;B．可由函数的图象向右平移个单位得到;C．可由函数的图象向左平移个单位得到;D．可由函数的图象向右平移个单位得到．6．已知函数若实数满足，则（）A．0B．C．2D．7．下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．8．如下图，已知，点在线段上，且，设，则等于（ ）A ．B ．C ．3D ．9．设F 1，F 2 是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ． C ．D ．10．已知中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则是（ ）A ．等腰直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．B．4C．D．12．设函数，若不等式有解．则实数的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.设实数满足则的最大值为_________．14.已知，则的值为；15.已知是互不相同的正数，且，则的取值范围是；16.已知等差数列中，，公差，且成等比数列，，则数列的前项和；三、解答题（共8小题） 17.在中，分别是角A ，B ，C 的对边，已知，且（1）求的大小；（2）设且的最小正周期为，求在的最大值。
18.如图，是圆的直径，是圆上异于A 、B 的一个动点，垂直于圆所在的平面，∥，，．（1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19.设一个口袋中装有10个球其中红球2个，绿球3个，白球5个，这三种球除颜色外完全相同．从中一次任意选取3个，取后不放回．（1）求三种颜色球各取到1个的概率；（2）设X表示取到的红球的个数，求X的分布列与数学期望．20.已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为．①若直线PA平分线段MN，求的值；②对任意，求证：．21.设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线．(Ⅰ) 求函数，的解析式；(Ⅱ) 求函数在上的最小值；(Ⅲ) 若对，恒成立，求实数的取值范围．22.如图，已知AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C作半圆的切线CF，过点A作CF的垂线，垂足为D，AD交半圆于点E，连结EC，BC，AC．（Ⅰ）证明：AC平分；（Ⅱ）若AB=3，DE=，求的面积．23.已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．（1）以原点为极点．轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知，圆上任意一点，求面积的最大值．24.设函数．（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：因为所以，故答案为：D答案：D2.考点：简单的逻辑联结词试题解析：因为命题“”的否定是故答案为：B答案：B3.考点：积分试题解析：因为如图，所求为故答案为：C答案：C4.考点：等比数列等差数列试题解析：因为。
2019年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷文一
2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷文（一）本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·晋城一模]已知集合，，则集合（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】解方程组，得．故．选D ．2．[2018·台州期末]若复数（为虚数单位），则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，，选C ．3．[2018·南宁二中]为考察，两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：药物A 实验结果患病未患病服用药没服用药0.10.20.30.40.50.60.70.80.91药物B 实验结果患病未患病服用药没服用药0.10.20.30.40.50.60.70.80.91根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（） A ．药物的预防效果优于药物的预防效果 B ．药物的预防效果优于药物的预防效果C ．药物、对该疾病均有显著的预防效果D ．药物、对该疾病均没有预防效果【答案】B 【解析】由、两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析
第2题图2018年高三年级模拟考试（一） 数学（理）试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．复数i1i+在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为A ．16B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足AB C =，且A 不是B否是k ≤4开始 k =1，S =1 S =S ·2k k =2k输出S结束第4题图的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．24 B ．20+42C ．28D ．24+ 425．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前9项和等于A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．37B ．73C ．34D.437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线C DE BOA 第11题图1x =-垂直相交于点B ，||||PB PA =，则cos APB ∠的值为A ．12B ．13C．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”．已知()21g x x =-，()3f x x b =+ ，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是A ．(10⎤-∞-⎦，B ．1010⎡⎤-⎣⎦， C．310⎡⎤-⎣⎦，D ．)10⎡+∞⎣，第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 9．261()x x+的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答） 10．在△ABC 中，60A ∠=︒，1AC =，△ABC 的面积为3，则BC的长为 ．11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______.12．若a ,b ,c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的 最大值为 ．第14题图13．已知函数2()log f x x =.若0b a ＜＜,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是 ．14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为 ，第n(n ∈N *)行中白圈与黑圈的“坐标”为________．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题13分）已知函数()()cos sin cos f x x x x =-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的最大值和最小值．……………………………第1行 …………………第2行 ............ ......... (3)……………………………甲 乙F E16．（本小题13分）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在[8:00，23:00]内每个整点．．时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t 1，t 2，t 3，…，t 16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率．17．（本小题14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，EFEA ⊥，22AB EF == ，90AED ∠=︒，AEED =，H 为AD 的中第16题图点．（Ⅰ）求证：EH ∥平面FBD ； （Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角--B FD P 的大小为3π？若存在求出BP 的长，若不存在请说明理由.18．（本小题13分） 已知函数21()()axf x x x e a=--(a ≠0)． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 的零点； （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）当0a >时，若02)(≥+ax f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围．19．（本小题14分） 已知椭圆M :2222x y +=. （Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,,A B C 为椭圆M 上的三个动点，若四边形OABC 为平行四边形，判断ABC ∆的面积是否为定值，并说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列； （Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()N m m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．理科数学参考答案一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1 2 3 4 5 6 7 8 ADABCBDD二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 20； 10.13； 11.1；12.12+；13.()3+∞，； 14.()1314， , -1-1313+122n n -（，）．三、解答题（共6个小题，共80分） 15. 解：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-()11sin 2cos 2122x x =-+ ……………………………………………4分21sin 2242x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ………………………………………………6分 所以函数)(x f 的最小正周期22T ππ==． ……………………………7分（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ……………………8分所以当244x ππ-=，即4x π=时，函数)(x f 取得最大值0， (10)分 当242x ππ-=-，即8x π=-时，函数)(x f 取得最小值2122--． ……………………………12分所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为0和2122--．……………………………13分16. 解：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．……………………………3分（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差．……………………………7分（Ⅲ）由图可得下表：整点时刻800:900:1000:1100:1200:1300:1400:1500:最高气温101112131313132123最低气温46810210311131210温差65431232131223整点时刻1600:1700:1800:1900:2000:2100:2200:2300:最高气温1123121086543最低气温865432231232温差14365431232131……………………………10分由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：（800:，900:），（900:，1000:），（1000:，1100:），（1100:，1200:），（1200:，1300:），（1300:，1400:），（1400:，1500:），（1500:，1600:），（1600:，1700:），（1700:，1800:），（1800:，1900:），（1900:，2000:），（2000:，2100:），（2100:，2200:），（2200:，2300:）．其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于3 ”的事件（记为A）共有3个：（1100:，1200:），（1500:，1600:），（2000:，2100:）． 所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率31()155P A ==． ……………………………13分17.（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结HO ，FO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 是BD 的中点， 又H 是AD 中点， 所以//OH AB ，12OH AB =． 而//EF AB ，12EF AB =， 所以//EF OH 且EF OH =， 所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FBD ，EH ⊄平面FBD ，OE FD CABH所以//EH 平面FBD ． (5)分（Ⅱ）证明：因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EHAD ⊥．因为//AB EF ，EF EA ⊥， 所以AB EA ⊥． 因为AB AD ⊥， 所以AB⊥平面AED ，因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥， 所以EH ⊥平面ABCD ．9分（Ⅲ）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图．建立空间直角坐标系H －xyz ．则()100A ，，，0()10D -，，， ()011F ，， ()010O ，，，0()12C -，，设点()20()02P m m <≤，，，于是有()1,1,1DF =，(),1,1FP m =-． 设平面PDF 的法向量(),,x y z =n ，则PxyzOE FDC A BH00n n DF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即00x y z mx y z ++=⎧⎨+-=⎩，．令1z =，得21x m =-，11m y m --=-． 所以21,,111n m m m --⎛⎫=⎪--⎝⎭． 平面BDF 的法向量()1,1,0OA =-． 所以cos 3n nOA OA π⋅=⋅ ，即()2221110,,11112212111m m m m m m --⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=--⎛⎫⎛⎫⋅++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，．所以1m =-．所以点P 的坐标为()120-，，，与点C 的坐标相同． 所以2BP BC ==． ……………………………14分18.解：(Ⅰ)令)(=x f ， 即0)1(2=--ax e ax x ． (1)分因为0>ax e ,所以012=--ax x ． ……………………………2分a41+=∆,因为0>a ,所以0>∆.所以方程012=--ax x 有两个不等实根：212a a a x a ++=，222a a ax a-+=．所以函数)(x f 有且只有两个零点212a a ax a++=和222a a a x a-+=. ………3分(Ⅱ)()()21ax f x a x x e a ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭． …………………………4分令()0f x '=，即()210a x x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2x a=-或1x =． ………………5分当0a >时，列表得：x2(,)a-∞-2a- 2(,1)a- 1 (1,)+∞()f x '+ 0 － 0 + ()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增……………………………6分 当0a <时，（1）若2a <- ，则21a -<，列表得 x2(,)a-∞-2a - 2(,1)a- 1 (1,)+∞()f x '－ 0 + 0 － ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………7分（2） 若20a -<<，则 21a->，列表得 x(),1-∞1 21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a-2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '－ 0 + 0 － ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………8分综上，当0a >时，()f x 单调递增区间为2(,)a -∞-，(1,)+∞，单调递减区间为2(,1)a -；当2a <-时，()f x 单调递增区间为2(,1)a -，单调递减区间为2(,)a-∞-，(1,)+∞；当20a -<<时，()f x 单调递增区间为21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),1-∞，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． ……………………………9分(Ⅲ)因为0a >，所以当2x a <-时，有20x >， 2x a->，0a >， 所以210x x a-->，从而()0f x >． ……………………………10分当2x a≥-时，由（Ⅱ）可知函数在1x =时取得极小值1(1)0a f e a=-<．所以，()11af e a=-为函数()f x 在R 上的最小值． ……………………………11分由题意，不等式02)(≥+ax f 对x R ∈恒成立，所以得021≥+-ae aa ，解得2ln 0≤<a ．所以a的取值范围是(]0,ln2． …………………………………………13分19. 解：（Ⅰ）椭圆M 的标准方程为：2212x y +=所以2a =，1b =，1c =． 所以椭圆M的离心率22c e a ==. ……………………4分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC 垂直平分OB ．所以23(,)22A ，23(,)22C -，(2,0)B ． 3AC =，2OB =所以OAC ∆的面积1122OAC S AC OB ∆=⋅632=22411=⨯⨯⨯. …………6分②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=，()()222216421220k m k m ∆=-+->，122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，122221my y k +=+．……………………9分因为四边形OABC 为平行四边形， 所以()12122242211,2km m k OB OA OC x x y y k ⎛⎫=+=++= ⎪+⎝+⎭-，． 所以22422121km m B k k -⎛⎫⎪⎝++⎭，， 代入椭圆方程，化简得D ACOBxy22214k m +=. …………………10分因为AC ()()221212x x y y =-+-2212121()4k x x x x =++-= 21k +()222242242121m km k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭-22222212121k k m k ++-=+261=2k m+. …………………11分点O到AC的距离d =21m k+. …………………12分 所以OAC ∆的面积2OACS AC d ∆1=⋅226162241m k m k1+=⨯⋅=+. 综上，OAC ∆的面积为定值64. ……………………………13分因为OAC ∆的面积等于ABC ∆的面积， 所以ABC ∆的面积为定值64. …………………………………………14分20. 解：(Ⅰ)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=. (1)分由于11a =，所以21a p =+，231a p p =++.假设数列{}n a 是等差数列，那么1a ，2a ，3a 成等差数列. 所以2132a a a =+，因而20p p -=，解得1p =或0p =. (2)分由已知1p ≠，当0p =，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故p 的值不存在.所以数列{}n a 不可能是等差数列. ………………………………………………3分(Ⅱ) 因为{}n a 是递减数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.因为11a =，所以21a p =-，231a p p =--. 因为数列{}n a 是等比数列，所以22(1)1p p p -=--，得12p =或0p =（舍去）. 则212a =，公比1q 2=，故11()2n n a -=. (4)分设12m n n n n <<<<…，那么11n n +≤，22n n +≤，…，mn m n +≤（1m ≥）．因为111122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1122)n mn +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1212111111222222mn n n n n n m+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……．……………5分因为12111(11111121122222212mn n n mn n m ++++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-)... (6)分而11111111022222n m n m n a -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即11122nm n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以12111222n n n mn a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和. ……………………7分(Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以2122210n n n n a a a a +--+->．①因为22122n n ->，所以212221n n n n a a a a +-->-. ②由①②知，2120n n a a +->，因此()2221222nn n n a a +-==-.③……9分因为{}2n a 是递减数列，同理得，2210n n a a --<，故()212122122n n n n a a ----=-=-.④由③④可知，()12nn n a a +-=-. ……………………11分因此()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()211222n -=+-+-++-()()()()112122112333nn n⎡⎤⋅-----⎣⎦===---.所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nna n N *-=-∈. ………………………13分。
2018-2019年最新高考总复习数学(文)高考仿真模拟试题及答案解析七
高 考 仿 真 模 拟 试 题（二）数学（文）试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1.已知集合{}{}2|40,|2Mx x x N x x =-<=≤，则M N ⋃=A ．()2,4-B ．[)2,4-C ．()0,2D ．(]0,22.已知,t R i ∈为虚数单位，复数121234,z i z t i z z =+=+⋅，且是实数，则t 等于 A.34B.43C. 43-D. 34-3.命题p ：∈∀a (0，1)∪(1，＋∞)，函数=)(x f )1(log -x a 的图象过点(2，0)，命题q ：N x ∈∃，23x x <。
则( )A.p 假q 假B.p 真q 假C.p 假q 真D.p 真q 真 4.平面向量a 与b 夹角为23π，()3,0,2a b ==，则2a b +等于A ．13B ．37C ．13D ．3 5.已知x ，y满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 A. 4B.34C.211D.146.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.112B.80C.72D.647.将函数()()3cos f x x π=图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调递减区间是 A ．[]()41,43k k k Z ++∈ B ．[]()21,23k k k Z ++∈ C ．[]()21,22k k k Z ++∈ D ．[]()21,22k k k Z -+∈8已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，若实数m 满足)(log 3m f +)(log 31m f )1(2f ≤，则m 的取值范围是A.(0，3]B. [31 ，3] C. [31，3) D.[31，＋∞) 9.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是10.已知椭圆12222=+b y a x ，双曲线12222=-by a x 和抛物线px y 22=(0>p ))的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则A. 21e e <3eB. 21e e >3eC. 21e e =3eD. 21e e ≥3e第Ⅱ卷 非选择题 （共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置） 11.在ABC ∆中，若21,3,3b c C a π==∠==，则 ________.12.在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（左下图），但是年龄组为[)25,30的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[)25,30的人数为______.13. 双曲线19222=-bx y 的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是__________。
2018-2019年最新高考总复习数学(文)高考仿真模拟试题及答案解析
2018届高三下学期考前模拟数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的.1．复数i i -+1)1(2等于()A ．i +-1B ．i +1C ．i -1D ．i --12．若集合12{|,01}A y y x x ==<≤，1{|2,01}B y y x x==-<≤，则A B 等于() A.(],1-∞ B.(]0,1C.φD.{1}3.阅读右面的程序框图，若输出的12y =，则输入的x 的值可能为()A ．1-B ．0C ．1D ．54.给出两个命题:命题:p 不等式0απ<<成立是不等式sin 0α>成立 的必要不充分条件；命题q：函数)2log y x =-是奇函数.则下列命题是真命题的是() A.p q ∧B.p q ∨⌝C.p q ∨D.p q ∧⌝5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线， 垂足为M ，若||4,PF =则PFM ∆的面积为（）A.6D.86．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），则891011,,,∏∏∏∏中值最大的是（） A ．8∏B ．9∏C ．10∏D ．11∏7．在同一个坐标系中画出函数xa y =，ax y sin =的部分图象，其中0>a 且1≠a ，则下 列所给图象中可能正确的是()ABCD8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且2z x y =+的最小值为1，则a ＝()A ．1B ．2C ．14D ．129.已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2,3AB AC AO AB OA +==，则CA CB ⋅的值是()A ．3B ．1 10.已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形面积为() A ．14B ．12C ．1D ．211.已知()sin(2015)cos(2015)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为() A ．2015πB ．22015πC ．42015πD ．4030π 12．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为() A ．()ln f x x =B ．12)(2－x x f =C ．()21xf x =+D ．()sin()2f x x π= 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中的横线上.13．已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则nm 11+的最大值为 ．14.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的 四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．15．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：1A3331373152,39,4,...5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩仿此，若3m的“分裂”数中有一个是73，则m的值为________.16.巳知函数'(),'()f xg x分别是二次函数()f x和三次函数()g x的导函数，它们在同一坐标系内的图象如右图所示.三.解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）2015年“五一”期间，高速公路车辆较多。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析十二
2018年高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|y=lg（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．∅D．[2，+∞）2．复数z=（i是虚数单位）的共扼复数是（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．﹣D．﹣4．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．5．已知向量=（0，﹣1，1），（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．36．设a∈Z，且0≤a＜13，若512015+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．127．已知椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，P为此椭圆上一点，且满足，则此椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣2 D．8．若函数f（x）满足对于x∈[n，m]（m＞n）时有≤f（x）≤km 恒成立，则称函数f（x）在区间[n，m]（m＞n）上是“被k限制”的，若函数f（x）=x2﹣ax+a2在区间[，a]（a＞0）上是“被2限制”的，则实数a的取值范围是（）A．（1，]B．（1，] C．（1，2] D．[，2]二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．不等式|2x+1|﹣|x﹣4|＜6的解集为．10．由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为．}，，，求a n= ．11．已知数列{a12．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．13．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．（坐标系与参数方程选做题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数）；在极坐标系（以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2两交点的距离为．（几何证明选讲选做题）15．如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则DE= ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．已知函数（1）要得到y=f（x）的图象，只需把y=g（x）的图象经过怎样的变换？（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求①函数h（x）的最大值及对应的x的值；②函数h（x）的单调递增区间．17．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=AD ，E 、F 分别为PC 、BD 的中点．（Ⅰ） 求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ） 求证：面PAB ⊥平面PDC ；（Ⅲ） 在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C ﹣PD ﹣G 的余弦值为？说明理由．19．设S n 是正项数列{a n 的前n 项和，且．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）是否存在等比数列{b n }，使 a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（2n ﹣1）•2n+1+2 对一切正整数n 都成立？并证明你的结论．（3）设，且数列{C n }的前n 项和为T n ，试比较与的大小．20．如图，已知抛物线C ：y 2=2px 和⊙M ：（x ﹣4）2+y 2=1，过抛物线C 上一点H （x 0，y 0）（y 0≥1）作两条直线与⊙M 相切于A 、两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．21．已知函数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，（x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|y=lg（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．∅D．[2，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】利用对数函数定义域、均值定理、交集定义求解．【解答】解：∵集合A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，={y|y=2}，∴A∩B=[2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数定义域、均值定理、交集定义的合理运用．2．复数z=（i是虚数单位）的共扼复数是（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】把给出的复数的分子展开平方运算，然后利用复数的除法运算进行化简，化为a+bi（a，b∈R）的形式后可求其共轭复数．【解答】解：z==．所以．故选B．【点评】本题考查了复数的概念，考查了复数的代数形式的乘除运算，解答的关键是掌握复数的除法运算法则，是基础题．3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，原式利用平方差公式及同角三角函数间的基本关系化简，将得出关系式代入计算即可求出值．【解答】解：∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，∴sin4θ﹣cos4θ=（sin2θ﹣cos2θ）（sin2θ+cos2θ）=sin2θ﹣cos2θ=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣，故选：C．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=×4×=．故选C．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．5．已知向量=（0，﹣1，1），（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】方程思想；综合法；空间向量及应用．【分析】对|λ+|=两边平方，列出方程解出．【解答】解：||=，||=，=﹣1．∵|λ+|=，∴（）2=29．即λ2||2+2λ+||2=29，∴2λ2﹣2λ﹣12=0，∵λ＞0，∴λ=3．故选：D．【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512015+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【考点】二项式定理的应用；整除的定义．【专题】转化思想；推理和证明；二项式定理．【分析】根据512015+a=（52﹣1）2015+a，把（52﹣1）2015+a 按照二项式定理展开，结合题意可得﹣1+a能被13整除，由此求得a的范围．【解答】解：∵512015+a=（52﹣1）2015+a=﹣•522015+•522014﹣•522013+…﹣•521﹣1+a能被13整除，0≤a＜13，故﹣1+a=﹣1+a能被13整除，故a=1，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．已知椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，P为此椭圆上一点，且满足，则此椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣2 D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义及其性质即可得出．【解答】解：∵，∴∠F1PF2=．|=|F1F2|=c，|PF1|=c，可得：|PF∴|PF|+|PF1|=c+c=2a，∴==﹣1，故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．若函数f（x）满足对于x∈[n，m]（m＞n）时有≤f（x）≤km 恒成立，则称函数f（x）在区间[n，m]（m＞n）上是“被k限制”的，若函数f（x）=x2﹣ax+a2在区间[，a]（a＞0）上是“被2限制”的，则实数a的取值范围是（）A．（1，]B．（1，] C．（1，2] D．[，2]【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据题意得a＞1；求出x∈[，a]时，f（x）的取值范围①，再由≤f（x）≤2a②，由①②得不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：根据题意，∵a＞0，且＜a，∴a＞1；f（x）=x2﹣ax+a2=+≥，（Ⅰ）当∈[，a]，即a≥时，在x=时，f（x）取得最小值；又∵（﹣）﹣（a﹣）=﹣＜0，∴x=a时，f（x）取得最大值a2；∴f（x）的取值范围是[，a2]①；又∵≤f（x）≤2a②；∴，解得≤a≤2；∴≤a≤2；（Ⅱ）当＜，即1＜a＜时，f（x）在[，a]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（）=﹣1+a2，最大值是f（a）=a2；∴f（x）的值域是[﹣1+a2，a2]③；又∵≤f（x）≤2a②；∴；解得1＜a＜；综上，a的取值范围是{a|1＜a≤2}．故选：C．【点评】本题考查了新定义的问题以及函数的应用问题，解题时应根据题意，求出函数f（x）的取值范围，列不等式组，求出a的取值范围．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．不等式|2x+1|﹣|x﹣4|＜6的解集为（﹣11，3）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：不等式|2x+1|﹣|x﹣4|＜6等价于①，或②，或③，解①求得﹣11＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜3，解③求得x∈∅．综上可得，原不等式的解集为{x|﹣11＜x＜3}，故答案为：（﹣11，3）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．10．由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】导数的概念及应用．【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：由得x2=x+2，即x2﹣x﹣2=0，解得x=﹣1或x=2，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S==（x3+x2+2x）|=，故答案为：【点评】本题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．11．已知数列{a}，，，求a n= 4n﹣2 ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1化简计算可知a n﹣a n﹣1=4，进而可知数列{a n}是首项为2、公差为4的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=[﹣]，整理得：a n﹣a n﹣1=4，又∵a1=，∴a1=2，∴数列{a n}是首项为2、公差为4的等差数列，∴a n=4n﹣2，故答案为：4n﹣2．【点评】本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．12．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 4 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】先将不等式恒成立转化为左边函数的最小值大于等于9恒成立；将不等式的左边展开，利用基本不等式求出最小值，令最小值大于等于9，解不等式求出a的范围，求出a的最小值．【解答】解：∵对任意正实数x，y恒成立∵∴解得a≥4故答案为：4【点评】本题考查解决不等式恒成立问题常转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值．13．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3] ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】曲线即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b=1+b=1﹣．结合图象可得b的范围．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．（坐标系与参数方程选做题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数）；在极坐标系（以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C与C2两交点的距离为．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】直线与圆．【分析】根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（0，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度．【解答】解：由得x2+y2=9，∴曲线C1的普通方程为得x2+y2=9，∵ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0，∴x﹣y+2=0，曲线C2的方程为，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣2=0．∵圆C1的圆心为（0，0），∵圆心（0，0）到直线x﹣y﹣2=0的距离d==，又r=3，所以弦长AB=2=2．则C与C2两交点的距离为．故答案为：．【点评】本题主要考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则DE= ．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；选作题．【分析】设出未知量，根据两个三角形有两对角对应相等，得到两个三角形相似，写出比例式，得到关于未知量的方程，再在直角三角形中利用勾股定理做出所要的结果．【解答】解：设BC=AD=x，连接AB∵∠C=∠C，∠CAE=∠E∴△CAE～△CED，则有，∴化简得到x=2，根据勾股定理，则故答案为：6【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判断和性质，考查利用方程思想解决平面几何知识，本题是一个基础题，解题时注意所设的不是要求的结果．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．已知函数（1）要得到y=f（x）的图象，只需把y=g（x）的图象经过怎样的变换？（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求①函数h（x）的最大值及对应的x的值；②函数h（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的定义域和值域；余弦函数的单调性；三角函数的最值．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】先对函数的解析式用余弦的二倍角公式化简，可变为（1）观察两个函数的解析式，易得将y=g（x）的图象向左平移个单位得到y=f（x）的图象；（2）先求出h（x）=f（x）﹣g（x）的解析式，化简得h（x）=①由余弦函数的性质求出函数h（x）的最大值及对应的x的值②由余弦函数的性质令，解出x的取值范围即可得到函数的增区间．【解答】解：（1）∵∴将y=g（x）的图象向左平移个单位得到y=f（x）的图象．（2）=①∴时取最大值．②由，∴，所以递增区间为．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，解答本题关键是掌握三角恒等变换公式对三角函数的解析式进行化简，然后再由余弦函数的性质求打三角函数的最值及求三角函数的单调区间．17．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3））+P（）+P（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．【解答】解：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A）+P（）+P（）=×+=；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3P（ξ=1）=P（A）+P（）=P（ξ=2）=P（）+P（）==P（（ξ=3）=P（）==ξ的分布列为ξ 1 2 3P期望Eξ=1×+2×+3×=．【点评】本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（II）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．（III）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC∩BD=F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．∴在△CPA中，EF∥PA…且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=ADABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD所以CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA…又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．…..（Ⅲ）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．∵PA=PD，∴PO⊥AD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，连结PG，DG设G（1，a，0）（0≤a≤2）．由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为=（1，0，﹣1）．设平面PGD的法向量为=（x，y，z）．∵=（1，0，1），=（﹣2，﹣a，0），∴由，=0可得，令x=1，则y=﹣，z=﹣1，故=（1，﹣，﹣1），∴cos==，解得，a=．所以，在线段AB上存在点G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．…【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力．19．设S n是正项数列{a n的前n项和，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在等比数列{b n}，使a1b1+a2b2+…+a n b n=（2n﹣1）•2n+1+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论．（3）设，且数列{C n}的前n项和为T n，试比较与的大小．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】证明题；综合题；转化思想．【分析】（1）本题已知数列前n项和的表达式，求通项通常用a n=S n ﹣S n﹣1，求通项，再验证n=1时，是否适合所求的通式，若符合就写成统一式，否则，写成分段的形式；（2）假设存在这样的等比数列{b n}，使a1b1+a2b2+…+a n b n=（2n﹣1）•2n+1+2 对一切正整数n都成立，故可先研究前两项，找出规律，提出猜想，再进行证明得出结论；（3）由（1），将a n=2n+1代入，求出C n的表达式，再所其形式求出列{C n}的前n项和为T n，由和的形式与的比较即可得到它们的大小关系．【解答】解：（1）由S n=+a n﹣得S n+1=，相减并整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0又由于a n+1+a n＞0，则a n+1=a n+2，故{a n}是等差数列．∵+a12﹣，所以a1=3故a=2n+1 …4分n（2）当n=1，2时，a1b1=22（2×1﹣1）+2=6，a1b1+a2b2=23（2×2﹣1）+2=26，可解得b1=2，b2=4，猜想b n=2n，使a1b1+a2b2+…+a n b n=2n+1（2n﹣1）+2成立．证明：3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）2n=2n+1（2n﹣1）+2恒成立．令S=3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）2n①2S=3•22+5•23+7•24+…+（2n+1）2n+1②②﹣①得：S=（2n+1）2n+1﹣2•2n+1+2=（2n﹣1）2n+1+2，故存在等比数列{b n}符合题意…8分（3）C n=＜=（）则T n=c1+c2+…+c n（+…+）=（﹣）＜故…12分【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查了数列递推式的应用，错位相减法求和的技巧放缩法证明不等式，解题的关键是熟练掌握错位相减法的技巧，放缩法的技巧，本题中第二问先研究前两项得出规律，提出猜想，再进行证明是研究规律不明显的问题时常用的思路，第三问中用到了放大的技巧，要注意不要放得过大，放缩法证明不等式技巧性很强，需要有有较高的观察能力与判断能力，既要放，又不能放得过了头，谨记20．如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【考点】圆与圆锥曲线的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；抛物线的标准方程．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=﹣2y H=﹣4，从而可求直线EF的斜率；法二：求得直线HA的方程为，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值．法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m ≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵点M 到抛物线准线的距离为=，∴，∴抛物线C 的方程为y 2=x ． （Ⅱ）法一：∵当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，点H （4，2），∴k HE =﹣k HF ，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴，∴，∴y 1+y 2=﹣2y H =﹣4．∴． 法二：∵当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，点H （4，2），∴∠AHB=60°，可得，，∴直线HA 的方程为，联立方程组，得，∵∴，．同理可得，，∴．（Ⅲ）法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵，∴， ∴直线HA 的方程为（4﹣x 1）x ﹣y 1y+4x 1﹣15=0，同理，直线HB 的方程为（4﹣x 2）x ﹣y 2y+4x 2﹣15=0，∴，，∴直线AB 的方程为，令x=0，可得，∵，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当y0=1时，t min=﹣11．法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2=m4﹣7m2+16，HA2=m4﹣7m2+15．以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x﹣m2）2+（y﹣m）2=m4﹣7m2+15，①⊙M方程：（x﹣4）2+y2=1．②①﹣②得：直线AB的方程为（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m=m4﹣7m2+14．当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），∵，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当m=1时，t min=﹣11．【点评】本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强．21．已知函数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，（x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），进一步得出x1∈（1，a）和x2∈（a，a2），从而得出答案．【解答】解：（1）由题意，函数的定义域为（0，+∞），当a≤0时，，，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…3分当a＞0时，，…5分若x≥a，，此时函数f（x）单调递增，若x＜a，，此时函数f（x）单调递减，综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）．…7分（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，此时函数至多只有一个零点，不合题意； (8)分则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），由题意，必须，解得a＞1，…10分由，f（a）＜0，得x1∈（1，a），…12分而f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna），下面证明：a＞1时，a﹣1﹣lna＞0设g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞1则，所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，所以f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna）＞0，又f（a）＜0，所以x2∈（a，a2），综上，1＜x1＜a＜x2＜a2．…16分【点评】本题考查了函数的单调性、根的存在性及根的个数判断．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和f ˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
【最新精编】2018-2019年全国高考数学(文理)模拟预测试题含答案(共9套试卷)
绝密★启用前高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i（B ）4i - （C ）4（D ）4-（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ===-，则A B =（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2]（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为（A（B ）43 （C2 （D ）4（6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94（D ）98（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n +（8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）3（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为（A ）1 cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为(A)(612π++ (B) 8(1)π+(C)4(21)π+(D)(12π+（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为 图2 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．bkg0.00150.ABCD（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________． (14)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .(16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +的最小值为 . 图3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且15AB AC ⋅=-.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产 量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg . 已知当年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=，AB=PC=2，（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6（20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B 左边），AB =2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．数学(文科)参考答案及评分说明图7一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（7）由142a a a =，得公差d =1，n a n =；故选C.（10）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. （11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：211112222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯2484(612πππ=++++=++.(12)PACB S PA AC PA =⋅=四边形==可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 2=得min ||CP =，由点到直线的距离公式得：min ||CP ==0k >，所以2k =.二、填空题：解析：（15）依题意知函数()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率ABCDE'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-12016120172017=-=．（16）如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则PC PD PQ +=2PE =，要||PQ 取最小值，只需||PE 取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE 取最小值，这时PE 为梯形的中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+=, 故min ||3PQ =.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分 即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴11sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分 (Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分 ∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=,且3BE AC ==-----------8分 设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE=+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得2x =，即AD 的长为2.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得5sin 2sin 714AB BACACD BC∠∠===，----------------------------------------9分∵090ACD <∠<∴11cos 14ACD ∠=，--------------10分 在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =分】 【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得2AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分 解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元， 当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元， 当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分 因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分 而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分 故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分 (19)解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分由AB=2知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO=1，------------------------------------------------------------------2分又AB=BC=2，60ABC ∠=知△ABC 为等边三角形，∴3CO =分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO ⊥CO ，-----------4分∴PO ⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分 又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分 （Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形， 由D PAC P ADCV V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分∵22ADC S ∆==12PAC S PA ∆=,---------------------10分 ∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=7==，即点D 到平面APC的距离为7.-------12分 （20）解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分由AB =2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=， 则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242Mk y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=， 由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分 ∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>[0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>，又(1,0)A -，∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+， 解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞.-----------------------------12分（21）解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分 记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()ln(1)0g x x =--<，----------3分 即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=从而'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-， --------------------------------------------2分记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥） 则211'()(1)1g x x x =---22(1)x x -=-，---------------------------------------------------------3分∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减， ∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <， ∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】 (Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线 为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分 综上得：要使()f x a<对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞.------------------------------12分【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h x a x =--11a ax x +-=-1()1a a x x a-+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1ax a+=， 1201a a a +>⇔<<，（1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即ln(1)(2)0x ax --->，不符合题意；---------------------------8分（2）当01a <<时，对1(2,)ax a+∀∈，'()0h x >， 此时函数()h x 在1(2,)aa+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分 （3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC∆∽BDA∆，------------------------------------------------------------------3分得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分 于是得x =±，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分 则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分 ∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-，∴a =1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分 当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分 当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<<∵222a ->-，2aa <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分上海市2016-2017年高考模拟考试数学试卷（理科）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m = ．2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ ．3．函数()1f x 的反函数1()f x -= ． 4．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ．5．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）．6．已知菱形ABCD ，若||1AB =，3A π=，则向量AC 在AB 上的投影为 ．7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V = ．8．已知函数3())f x x x =+，若()f x 的定义域中的a 、b 满足f (-a )+f (-b )-3=f (a )+f (b )+3，则()()f a f b += ．9．在代数式5221(425)1x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数等于 ．10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为 ．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 （结果用最简分数表示）． 12．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望73E ξ=，则a b += ． 13．正整数a 、b 满足1a b <<，若关于x 、y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为 ．14．数列{}n a 中，若10a =，2i a k =（*i ∈N ，122k k i +<≤，1,2,3,k =），则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．复数i1im z +=-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足()()()7910a b b c c a +++=∶∶∶∶，则△ABC [答] ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形18．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]f x x x x x =π⋅π⋅π⋅π的定义域与区间[0,1]的交集由n 个开区间组成，则n 的值为[答] ( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60︒．若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳子的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数．（1）若4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x a 、b 的值．（2）若1a =，6x π=是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()f x 且0[0,2]x ∈π．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． 已知函数2()1x x f x a x -=++，其中1a >． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中*n ∈N ，1k 、2k ∈Z ． （1）试写出一组1k 、2k 的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数．（2）若11k =，*2k ∈N ，数列{}n b 满足nn a b n=，且对任意的*m ∈N （3m ≠），均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值．（3）若12k k <，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <）的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求1k 、2k 的最小值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于双曲线(,)a b C ：22221x y a b -=（,0a b >），若点00(,)P x y 满足2200221x y a b -<，则称P 在(,)a b C 的外部；若点00(,)P x y 满足2200221x y a b->，则称P 在(,)a b C 的内部．（1）若直线1y kx =+上点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围．（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222x y r +=（0r >）在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围．（3）若曲线2||1xy mx =+（0m >）上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围．数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)1．1 2．13．3(1)x -，x ∈R 4．π 5．6．327 8．3- 9．（理）15（文）123n - 10．（理）1511．（理）114 （文）．（理）16（文）2 13．（理）2016（文）11414．（理）128（文）2016二、选择题(本大题满分20分)15．B 16．D 17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分) 19．(本题满分12分)[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分）在等边三角形ABC 中，18AB =，得AO =4分）在直角三角形PAO 中，18OP =，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分）三根细钢管的总长度3163.25sin60h≈︒厘米．（12分）20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[解]（1）因为()sin cos )f x a x b x x θ=++（其中sin θ=，cos θ=），所以()f x=2分）及4f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭4分） 解得1a =-，3b =或3a =，1b =-．（6分）（2）易知，当6x π=于是162f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭b 8分）于是()sin 2sin()3f x x x x π==+，（10分）当()f x 2x k =π或23x k π=π+（k ∈Z ）．（12分） 因为0[0,2]x ∈π，故所求0x 的值为0，3π，2π．（13分） 21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． [证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<， 于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分） 对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分） 而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分）因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当n ()f n单调递减；当n ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）2,0,||0,0.n n n n n n a a c a a a >⎧=+=⎨⎩≤其中2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且12k k <．当120k k <≤时，{}n a 各项均为正数，且单调递增，2n n c a =，也单调递增，不合题意；当120k k <≤时，222,,0,.n n a n k c n k >⎧=⎨⎩≤ 不合题意；（12分）于是，有120k k <<，此时12122,,0,.n n a n k or n k c k n k <>⎧=⎨⎩≤≤（14分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉． 于是由212121222()()2[()]n n c a n k n k n k k n k k ==--=-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<，此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤，因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）（文）[解]（1）设直线310x y -+=上点的坐标为00(,31)x x +，代入22x y -，得2222200031(31)8()88x y x x x -=-+=--+，（2分）对于x ∈R ，22118x y -<≤，因此，直线31y x =+上的点都在(1,1)C 的外部．（4分）（2）设点N 的坐标为00(,)x y ，由题设22001x y -≥．（6分）2||MN x =22001x y +≥，得||1MN ≥，（8分）对于0y ∈R ，于是6||MN ≥，（10分）因此，||MN （3）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为⎝⎭．（12分）将x =，y =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（13分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（15分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（17分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为)+∞．（18分） 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）由题意，直线1y kx =+上点00(,1)x kx +满足221x y -<，即求不等式2200(1)1x kx -+<的解为一切实数时k 的取值范围．（1分）对于不等式220(1)220k x kx ---<， 当1k =±时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有22210,48(1)0,k k k ⎧-<⎪⎨∆=+-<⎪⎩解得||k故k的取值范围为(,(2,)-∞+∞．（4分）（2）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为⎝⎭．将x=，y =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（6分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（7分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（9分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为)+∞．（10分） （3）由2||1xy mx =+，得1||||||y m x x =+．将1||||||y m x x =+代入22221x y a b -<，由题设，不等式22221||||1m x x x a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<对任意非零实数x 均成立．（12分）其中22222222222221||||1[()2]m x x x a b a m x a m a b a b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---． 令2x t =，设22222()()2a f t b a m t a m t=---，（0t >）． 当2220b a m ->时，函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，()1f t <不恒成立；（14分）当2220b a m -<时，2222()a b a m t t---≤，函数()ft 的最大值为22a m -，因为0m>01<<；（16分） 当2220b a m -=时，22()201a f t a m t=--<<．（17分）综上，2220b a m -≤，解得b m a ≥．因此，m 的取值范围为,b a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（18分）（文） [解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当n ()f n单调递减；当n ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）因为2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且120k k <<，所以12122,,||0,.n n n n a n k or n k c a a k n k <>⎧=+=⎨⎩≤≤（12分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．（14分） 于是由212122[()]n c n k k n k k =-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<， 此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤，因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）2016-2017年高三第二次联考（二模）文科数学试卷一、单选题（共12小题）1．已知复数（其中为虚部单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合，则（）A．B．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．3B．4C．5D．66．数列中，已知，且，则数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列7．将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数个，则函数的单调递减区间是（）A．B．8．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的侧面积是（）A．B．C．D．9．已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A．B．C．D．10．对于，有如下四个命题：①若，则为等腰三角形；②若，则为直角三角形；③若，则为锐角三角形；④若，则为等边三角形，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．411．已知双曲线的焦距长为，过原点作圆：的两条切线，切点分别是，且，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．设是定义在的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.用系统抽样从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1-160编号，并按编号顺序平均分成20组（1-8号，9-16号，…，153-160号），若按等距的规则从第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是．14.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则实数．15.已知，则．16.某同学在研究函数的性质时，受到两点间的距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述正确的是．（填上所有正确结论的序号）①的图象是中心对称图形；②的图象是轴对称图形；③数的值域为；④方程有两个解．三、解答题（共8小题）17.已知公差大于零的等差数列，各项均为正数的等比数列，满足．（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求证：．18.2016年9月20日是第28个全国爱牙日，为了迎接此节目，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿的不换龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．（1）能否在犯错率不超过0．001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系？（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．附：．19.如图，在多面体中，四边形是正方形，，为的中点．（1）求证：面；（2）求证：面；（3）求四面体的体积．20.已知抛物线上三个不同的点，满足关系式．（1）求抛物线的方程；（2）求的外接圆面积的最小值及此时的外接圆的方程．21.已知函数．（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；（2）若时，恒成立，求的取值范围．22.如图，是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点（不与重合），与圆相切于点，连结．（1）求证：；（2）若，试求的大小．23.已知曲线的参数方程为，（为参数）．（1）求曲线的普通方程；（2）过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围．24.已知．（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．答案部分1.考点：复数乘除和乘方试题解析：故答案为：B答案：B2.考点：集合的运算试题解析：B={x|x<0或x>4},．故答案为：B答案：B3.考点：充分条件与必要条件试题解析：，，所以“”是“”的必要不充分条件。
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第三部分 高考模拟考场仿真测1时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2015·上饶市三模)已知i 是虚数单位，若(－1－2i)z ＝1－i ，则z －在复平面上所代表的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] 由(－1－2i)z ＝1－i 得，z ＝1－i －1－2i ＝(1－i )(－1＋2i )(－1－2i )(－1＋2i )＝1＋3i 5，∴z －＝15－35i ， ∴z －在复平面内对应点为(15，－35)，在第四象限．(理)当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] 取m ＝34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，y ＝14－14i ，∴选D ．2．(文)将函数y ＝sin(x ＋π6)(x ∈R )的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋5π12)(x ∈R )B ．y ＝sin(x 2＋5π12)(x ∈R )C ．y ＝sin(x 2－π12)(x ∈R )D ．y ＝sin(x 2＋5π24)(x ∈R )[答案] B[解析] y ＝sin(x ＋π6)――→左移π4个单位y ＝sin(x ＋5π12)――→各点横坐标扩大到2倍y ＝sin(12x ＋5π12)． (理)(2015·太原市一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称[答案] B[解析] 由已知得，ω＝2，平移后其解析式为f (x )＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，由题意得：－2π3＋φ＝－π，φ＝－π3，结合选项知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象关于直线x ＝512π对称，选B ．3．(2015·昆明市调研)给出下列四个命题： ①∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数； ②∀x ∈R ，使ex －1>0；③∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β； ④∀φ∈R ，函数f (x )＝cos(x ＋φ)都不是奇函数． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，①正确；由指数函数的性质知②正确；当α＝π3，β＝－π3时，cos(α＋β)＝1＝cos α＋cos β，③正确；当φ＝π2时，f (x )为奇函数，④不正确，故选D ．4．(文)(2015·广州市测试)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，若在[－4,4]上任取一个实数x 0，则使f (x 0)≥0成立的概率为( )A ．425B ．12C ．23D ．1[答案] B[解析] 由－x 20＋2x 0＋3≥0得－1≤x 0≤3，所以在[－4,4]上任取一个实数x 0，使f (x 0)≥0的概率为3－(－1)4－(－4)＝12，故选B ．(理)(2015·郑州市质量监测)某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．3种B ．6种C ．9种D ．18种[答案] C[解析] 共有两类选法，A 选1门、B 选2门和A 选2门、B 选1门，因此共有C 12C 23＋C 22C 13＝9种不同选法．5．(文)若方程x 2k －4－y 2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为( )A ．(2k,0)，(－2k,0)B ．(0，－2k ，)(0，－－2k )C ．(2|k |，0)，(－2|k |，0)D ．由k 值确定[答案] D[解析] 由(k －4)(k ＋4)>0得k <－4或k >4，当k <－4时，焦点在y 轴上；当k >4时，焦点在x 轴上． 故选D ．(理)(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 [答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.6．(2014·乌鲁木齐地区5月诊断)已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥22x ＋y ≤44x －y ≥－1，若a ＝(x ，y )，b ＝(3，－1)，设z 表示向量a 在b 方向上的投影，则z 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－1,6]C ．[－3210，610] D ．[－110，610] [答案] C[分析] a 在b 方向上的投影z 是关于x 、y 的表达式，故脱去向量外衣后本题转化为线性规划问题，关键是准确应用概念“a 在b 方向上的投影”．[解析] 画出约束条件表示的平面区域如图所示．a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b 10＝3x －y10，作直线l 0：3x －y ＝0，平移直线l 0，当直线l 0经过点(2,0)时，3x －y 取最大值6，当l 0经过点(12，3)时，3x －y 取最小值－32，∴a 在b 方向上的投影的取值范围为[－3210，610]． [方法点拨] 使用概念要准确、运用定理要规范数学中有大量的概念、公理、定理，只有准确地把握理解和运用，才能高效准确的解答数学问题．7．(文)已知数列{a n }中a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3][答案] B[分析] {a n }单调递增的含义是，对∀n ∈N *，有a n ＋1>a n 成立，这是恒成立问题，本题易错之处是忽视n ∈N *的限制条件，用二次函数对称轴求解误为k2≤1.[解析] a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，由于{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．(理)(2014·乌鲁木齐市诊断)在(x －ax)5的展开式中x 3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20[答案] B[分析] 运用二项展开式的通项公式，易错点有二：一是项数和C rn 的对应关系，二是项数与a 、b 的指数的对应关系，T r ＋1＝C r n an －r b r为展开式的第r ＋1项而不是第r 项．[解析] T r ＋1＝C r 5x5－r(－1)r a r x －r＝(－1)r a r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝3，∴r ＝1，∴x 3的系数为－5a ＝－5，∴a ＝1，∴(x －1x )5＝C 05x 5＋C 15x 4(－1x )＋C 25x 3(－1x )2＋C 35x 2(－1x )3＋C 45x (－1x )4＋C 55(－1x)5，∴各项的系数中最大值为C 25＝10.[方法点拨] 考虑问题要全面，思考过程要严谨在审题过程中，要边读题边翻译，同时把特殊情形、细节问题、注意事项等记录下来，在解题过程中要予以关注，例如研究函数就要注意函数的定义域．8．(文)(2014·唐山市二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1136B ． 3C ．533D ．433[答案] B[解析] 由三视图知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则BE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，△PAD 为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积V ＝13×[12×(1＋2)×2]×3＝3，故选B ．(理)(2014·吉林市质检)已知α、β为两个平面，且α⊥β，l 为直线．则l ⊥β是l ∥α的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] D[解析] 如图①所示，α⊥β，l ⊥β，但l ⊂α；如图②所示，α⊥β，l ∥α，但l ⊂β，故l ⊥β是l ∥α的既不充分也不必要条件．9．(2015·福州市质检)执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为( )A ．(8,2)B ．(8,3)C ．(16,3)D ．(16,4)[答案] D[解析] 开始→x ＝1，y ＝0，判断y ≤3成立，第一次循环，x ＝2，y ＝1；再次判断y ≤3仍然成立，第二次循环，x ＝4，y ＝2；第三次循环，x ＝8，y ＝3；第四次循环，x ＝16，y ＝4，此时y ≤3不成立，输出有序实数对(16,4)后结束，故选D ．10．(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[分析] 不能准确作出两函数在相应区间的图象，以及分不清两函数图象的相应位置关系是造成失误的主要原因．[解析] 分别在同一坐标系内作出两函数的图象．如图所示，观察易知两函数图象有且仅有3个交点．[点评] 在判断函数图象交点的个数或利用函数图象判断方程解的个数时，一定要注意函数图象的相对位置关系，可以取特殊值验证一下，如取x ＝12时，4x －4<log 2x ，即此时对应函数图象上的点应在相应直线的上侧，因此我们可以通过取特殊值的方法相对准确地确定两函数图象的相对位置关系．(理)已知函数f (x )＝|x ＋1x |－|x －1x|，若关于x 的方程f (x )＝2m 有四个不同的实根，则实数m 的取值m 范围是( )A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[答案] D[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≥1，2x 0<x <1，－2x －1<x <0，－2x x ≤－1.f (x )＝2m 有四个不同的实数根，由数形结合法得0<m<1.[点拨] 作图要准确，用图要严密要抓住关键点(最高、最低点，与坐标轴的交点、端点、两图象的交点、极值点、对称中心等)，变化趋势(增减性、增长或减少的快慢)，正负值、对称性等．11．(文)(2015·福建质量检查)若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( )A ．2＋1B ．4 2C ．3＋2 2D ．6[答案] C[解析] ∵曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C ．[易错分析] 本题容易造成如下错解：由直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)可得a ＋b ＝1.又a >0，b >0，所以a ＋b ＝1≥2ab ，则0<ab ≤14，1ab ≥4，所以1a ＋2b≥22ab≥42，选择B ．在上面的解题过程中，两次运用了基本不等式，但两次等号成立的条件不同，第一次是a ＝b ，第二次是2a ＝b ，在a >0，b >0时不能同时满足，所以42取不到．所以在求最值时，如果多次运用基本不等式，一定要检验各次等号成立的条件是否能够同时成立．(理)(2015·杭州市第一次质检)设对任意实数x >0，y >0，若不等式x ＋xy ≤a (x ＋2y )恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．6＋24 B ．2＋24C ．6＋24D ．23[答案] A[分析] 本题乍一看会感到无从着手，从分离参数的角度得到a ≥x ＋xyx ＋2y，往下又不知如何进行，但如果仔细观察，就会发现不等式的两边对于字母x 、y 来说都存在二次关系(x 与x 、y 与y )，因此可考虑采用化归的思想将已知不等式转换为一元二次不等式或基本不等式的形式求解．[解析] 原不等式可化为(a －1)x －xy ＋2ay ≥0，两边同除以y 得(a －1)xy －x y＋2a ≥0，令t ＝x y，则(a －1)t 2－t ＋2a ≥0，由不等式恒成立知a －1>0，从而相应二次函数的对称轴t ＝12(a －1)>0，∴Δ＝1－4(a －1)·2a ≤0，解得a ≥2＋64，∴a min ＝2＋64，故选A ．[易错分析] 二元不等式恒成立问题的处理具有很大的难度，对于由双元到单元的转换大多数考生容易出现错误，此类问题解决的关键在于明确转化目标及整体意识．12．(2014·郑州市质检)等差数列{a n }中的a 1、a 4027是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋12x ＋1的极值点，则log 2a 2014( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] 令f ′(x )＝x 2－8x ＋12＝0则x 1＝2，x 2＝6，即a 1＝2，a 4027＝6或a 1＝6，a 4027＝2，a 2014＝a 1＋a 40272＝4∴log 2a 2014＝2，故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(文)若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值为________．[答案] 49[分析] 本题易将sin y －cos 2x 转化为(13－sin x )－cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，误认为sin x ∈[－1,1]，致使问题转化不等价而导致解题错误．[解析] 由已知条件有sin y ＝13－sin x ，且sin y ＝(13－sin x )∈[－1,1]，结合sin x ∈[－1,1]，得－23≤sin x ≤1，而sin y －cos 2x ＝13－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，设t ＝sin x (－23≤t ≤1)，则原式＝t 2－t －23＝(t －12)2－1112(－23≤t ≤1)，因为对称轴为t ＝12，故当t ＝－23，即sin x ＝－23时，原式取得最大值49.[点拨] 1.简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题． 2．直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观具体的问题． 3．特殊化策略对于某个在一般情况下成立的结论或恒成立问题，可运用一般与特殊相互转化的化归思想，将一般性问题特殊化、具体化，使问题变得简便．4．换元化归思想形如y ＝f (g (x ))的表达式，可通过设t ＝g (x )得到新的函数关系y ＝f (t )，换元后要注意新元的取值范围．5．在研究直线与圆锥曲线位置关系，公共点个数时，常常要通过消元化为一元二次方程用根的判别式来判断，但此时一定要注意是否为完整曲线，否则应数形结合以确定正确答案．6．在进行某些变形时(如不等式两边同乘以一个代数式，等式两边平方，两等式(或不等式)的两边相乘等等)一定要考虑取值范围的变化是否影响题目结果的变化．7．用换元法解题，换元后一定要考虑新元的取值范围．(理) (2015·洛阳市期末)如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos C ＝________.[答案] 79[解析] 由已知得：cos ∠ABC ＝1－2sin2∠ABC 2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，过C 作CE ∥AB ，交BD 的延长线于E ，则DE BD ＝CE AB ＝DC AD ＝12，∴CE ＝1，DE ＝233，BE ＝23，cos ∠BCE ＝－cos ∠ABC ＝－13，在△BCE中，由余弦定理得：cos ∠BCE ＝BC 2＋CE 2－BE 22BC ·CE ，即BC 2＋1－122BC ＝－13，∴3BC 2＋2BC －33＝0，解得BC ＝3(负根已舍)，在△ABC 中，由余弦定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝4＋9－2×2×3×13＝9，再由余弦定理得：cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝9＋9－42×3×3＝79.14．(2015·乌鲁木齐地区三诊)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰三角形，e 为双曲线的离心率，则e 2＝________.[答案] 5－2 2[解析] 设|AF 2|＝m ，∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝2a ＋m ，又|AF 1|＝|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m ＋|BF 2|，∴|BF 2|＝2a ，又|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|BF 1|＝4a .依题意|BF 1|＝2|AF 1|，即4a ＝2(2a ＋m )，∴m ＝2(2－1)a ，在Rt △F 1AF 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，即8a 2＋(22a －2a )2＝4c 2，整理得c 2＝5a 2－22a 2，∴e 2＝5－2 2.[方法点拨] 高考对运算能力要求很高，它要求运算过程合理，计算准确，逻辑严密，平时做练习题时，有些题目可以审审题、梳理一下思路即可，但一定要保证有足量的题目严格规范写出解答过程，以养成周密答题的良好习惯，以免手生，眼高手低．15．(2015·河南省高考适应性测试)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ＋1，x ＋y ＋k ≤0.(k为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k 的值是________．[答案] －3[解析] 由题意可得，直线x ＋y ＋k ＝0经过y ＝2x ＋1与2x ＋y ＝113的交点A ，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，23， ∴k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋23＝－3.16．(文)(2015·长沙市模拟)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，OP →＝OA →＋tAB →.若点P 在x 轴上，则实数t 的值为________．[答案] －23[解析] 因为点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，所以OA →＝(1,2)，AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)，设P (x ，y )，OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )，令y ＝2＋3t ＝0得t ＝－23，则x ＝－1，所以当t ＝－23时，点P (－1,0)在x 轴上．(理)(2015·河南八市质量监测)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中含x 2项的系数为12，则展开式的常数项为________．[答案] 160[解析] 由T T ＋1＝C r6·x6－r 2·a r ·x －r 2＝a r ·C r 6·x 3－r ，当r ＝1时，x 2的系数为a ·C 16＝6a ＝12，∴a ＝2.所以当r ＝3时，常数项为23·C 36＝8×6×5×43×2×1＝160.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(文)(2015·河北衡水中学一模)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n . (1)证明：数列{b n }是等差数列，并求S n ； (2)比较a n 与S n ＋7的大小． [解析] (1)证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n ，∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n＋1－b n ＝1.∴数列{b n }是公差为1的等差数列． 由a 1＝35，b n ＝1a n －1得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n (n －1)2＝n 22－3n .(2)解法1：由(1)知：b n ＝－52＋1×(n －1)＝n －72，由b n ＝1a n －1得a n ＝1＋1b n ＝1＋1n －72.∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72.∵当n ≥4时，－n 22＋3n －6是减函数，1n －72也是减函数， ∴当n ≥4时，a n －S n －7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0. ∴a n ≤S n ＋7.解法2：由(1)知，b n ＝n －72，又b n ＝1a n －1，∴a n ＝2n －52n －7，S n ＝n22－3n .当n >3时，易知{a n }是递减数列，S n 是递增数列．又a 1＝35，S 1＋7＝92，a 1<S 1＋7；a 2＝13，S 2＋7＝3，a 2<S 2＋7； a 3＝－1，S 3＋7＝52，∴a 3<S 3＋7； a 4＝3，S 4＋7＝3，∴a 4＝S 4＋7.当n >4时，a n <3，S n ＋7>3， 从而a n <S n ＋7.综上对任意n ∈N *有，a n ≤S n ＋7.(理)(2014·湖南理，20)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．[分析] 第(1)问常因忽视{a n }是递增数列致误； 第(2)问常因变换欠严密致误． [解析] (1)因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＋1－a n ≥0，则|a n ＋1－a n |＝p n⇒a n ＋1－a n＝p n，分别令n ＝1、2可得a 2－a 1＝p ，a 3－a 2＝p 2⇒a 2＝1＋p ，a 3＝p 2＋p ＋1，因为a 1,2a 2,3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3⇒4(1＋p )＝1＋3(p 2＋p ＋1)⇒3p 2－p ＝0⇒p ＝13或0.当p ＝0时，数列a n 为常数数列不符合数列{a n }是递增数列，所以p ＝13.(2)∵{a 2n －1}是递增数列，∴a 2n ＋1－a 2n －1>0， ∴(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0，① ∵122n <122n －1，∴|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|，② 由①②知a 2n －a 2n －1>0，∴a 2n －a 2n －1＝(12)2n －1＝(－1)2n22n －1，③∵{a 2n }是递减数列，同理得a 2n ＋1－a 2n <0， ∴a 2n ＋1－a 2n ＝－(12)2n ＝(－1)2n ＋122n，④由③④得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋12－122＋…＋(－1)n2n －1＝1＋12×[1－(－12)n －1]1＋12＝43＋13·(－1)n 2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋(－1)n3·2n －1.[方法点拨] 数学思维、证明要求严谨，步步有据，条理清楚，在数列、不等式、立体几何、解析几何大题的解答过程中，对逻辑严密都有一定的要求，解题过程中要注意条件充分，推理有据，语言准确，书写规范．18．(本题满分12分)(文)(2014·安徽文，19)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G 、E 、F 、H 分别是棱PB 、AB 、CD 、PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH.(1)证明： GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．[审题要点] (1)欲证GH ∥EF ，因为BC ∥平面GEFH ，所以由线面平行的性质定理和公理4可获证．(2)由四条侧棱长相等及底面是正方形可知四棱锥为正四棱锥，P 在底面射影为正方形ABCD 的中心，欲求四边形的面积，由(1)知四边形GEFH 为梯形，由于平面GEFH ⊥平面ABCD ，交线EF ，故过G 作GK ⊥EF ，则GK 为梯形的高，且GK ∥PO ，于是问题转化为由相似关系求GK 的长度和GH 的长度．[解析] ∵BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，∴GH ∥BC ．同理可证EF ∥BC ，∴GH ∥EF .(2)连接AC 、BD 交于一点O ，BD 交EF 于K ，连接OP 、GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可证PO ⊥BD ，又∵BD ∩AC ＝O ，且AC 、BD 都在底面内，∴PO ⊥平面ABCD ， 又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，PO ⊄平面GEFH ， ∴PO ∥平面GEFH .又∵平面GEFH ∩平面PBD ＝GK ，∴PO ∥GK ，且GK ⊥平面ABCD ，∴GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．∵AB ＝8，EB ＝2，∴EB AB ＝KB DB ＝14，∴KB ＝14DB ＝12OB ，即k 为OB 的中点，又∵PO ∥GK ，∴GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.又由已知得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6. ∴GK ＝3.∴四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK ＝4＋82×3＝18.[易错警示] 1.应用线面平行的性质定理时交待不清，步骤不完整，不规范． 2．不能从已知条件中发现正四棱锥关系，因而找不到棱锥高PO ∥平面GEFH ，打不通思路．3．比例关系不清，计算错误．(理)(2015·柳州市模拟)已知平行四边形ABCD (图1)中，AB ＝4，BC ＝5，对角线AC ＝3，将△ACD 沿AC 折起至△PAC 位置(图2)，使二面角P －AC －B 为60°，G ，H 分别是PA ，PC 的中点．(1)求证：PC ⊥平面BGH ； (2)求二面角P －BG －H 的余弦值．[解析] (1)过C 作CE ∥AB 且CE ＝AB ，连BE ，PE . ∵AC 2＋AB 2＝BC 2，∴AC ⊥AB ，所以四边形ABEC 是矩形．又AC ⊥CE ，PC ⊥AC ，∴AC ⊥面PEC ，所以∠PCE 是二面角P －AC －B 的平面角，∴∠PCE ＝60°. ∵PC ＝CE ＝4，∴△PCE 为正三角形． ∵BE ∥AC ，∴BE ⊥面PEC ，∴BE ⊥PE ，∴PB ＝PE 2＋BE 2＝5＝BC ． 而H 是PC 的中点，∴BH ⊥PC ， ∵G 、H 是△PAC 的中位线，∴GH ⊥PC ， ∵GH ∩BH ＝H ，∴PC ⊥平面BGH .(2)以CE 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，－2,0)，P (0,0,23)，C (0，－2,0)． 易求得面PAB 的法向量为n ＝(23，0,3)， 而平面BGH 的法向量为PC →＝(0，－2，－23)， 所以|cos 〈n ，PC →〉|＝3714.故二面角P －BG －H 的余弦值是3714.19．(本题满分12分)(文)(2015·洛阳市期末)如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用m (m ∈N )表示．(1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；(2)当m＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率．[解析](1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，由14(87＋89＋91＋93)＝14[85＋90＋91＋(90＋m)]，得m＝4，设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有：0,1,2，…，9时共有10种可能．当m＝4时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，∴当a＝5,6,7,8,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有5种可能．∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P(A)＝510＝12.(2)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件B．当m＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有16种，分别是：(87,85)，(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,90)，(89,91)，(89,93)，(91,85)，(91,90)，(91,91)，(91,93)，(93,85)，(93,90)，(93,91)，(93,93)．事件B的结果有8种，它们是：(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,93)，(91,85)，(93,85)，(93,90)．∴两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率P(B)＝816＝12.(理)(2015·石家庄市二模)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图．若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计(2)将频率视为概率．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )n ＝a ＋b ＋c ＋dP (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828[解析] (1)2×2列联表如下非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计6040100K 2＝100(40×25－15×20)260×40×55×45≈8.2498．249>6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．(2)视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (x ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0,1,2,3)从而分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125E (X )＝np ＝65，D (X )＝np (1－p )＝1825.20．(本题满分12分)(文)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)．(1)当a ＝1时，曲线y ＝f (x )上P 点处的切线与直线x －3y －2＝0垂直，求P 点的坐标； (2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)∵直线x －3y －2＝0的斜率为13，∴切线的斜率为－3. 由f (x )＝x 3＋3|x －1|得：当x ≥1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f ′(x )＝3x 2＋3＝－3不成立，∴切线不存在； 当x <1时，f (x )＝x 3－3x ＋3，f ′(x )＝3x 2－3＝－3， ∴x ＝0，∴P 点的坐标为(0,3)．(2)当x ≥a 时，f (x )＝x 3＋3x －3a ，f ′(x )＝3x 2＋3>0， ∴f (x )单调递增．当x <a 时，f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，若0<a ≤1，f ′(x )＝0时，x ＝－1；f ′(x )>0时，x <－1；f ′(x )<0时，－1<x <a ； 若a >1，f ′(x )＝0时，x ＝±1；f ′(x )>0时，x <－1或1<x <a ；f ′(x )<0时，－1<x <1. 综上可得：当0<a ≤1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，a )；当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)． [方法点拨] 1.含参数的数学问题，参数变化时，往往会导致结果的不同，这时要注意分类讨论，并且要注意与恒成立问题加以区分．2．有些数学问题，依据条件可以得到不同位置状态的图形，这时要根据其不同位置进行分类讨论．3．许多数学概念本身都是涉及分类的，如绝对值、指对函数、直线斜率、圆锥曲线定义等等．这类问题要注意是否需要分类讨论．4．把分类定义的数学概念，或涉及概念中有限定范围的单独找出来，弄清它们的本质，遇到相关题目时，首先看是否涉及分类，就能有效提高解题正确率．5．熟练掌握高中教材中有关的几何图形的性质中涉及分类讨论的内容，才能在解题中立于不败之地．(理)设函数f (x )＝x －2x－a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．[分析] 第(2)问，由于f (x )解析式中含参数a ，f (x )的单调性受a 的值的制约，需要分类讨论，关键是分类标准的确定要明确．[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝3时，f ′(x )＝1＋2x 2－3x＝x 2－3x ＋2x 2＝(x －1)(x －2)x 2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x ) 递增 极大值 递减 极小值 递增所以f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝－1； 在x ＝2处取得极小值，f (2)＝1－3ln2.(2)f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a |≤22时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <－22时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0，f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：x (0，x 1) x 1(x 1，x 2) x 2(x 2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )递增极大值递减极小值递增 故f (x )在(0，a －a 2－82)，(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减．综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在(0，a －a 2－82)，(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减．21．(本题满分12分)(文)(2015·昆明市质检)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，离心率为32. (1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 相切于点T ，且交两坐标轴的正半轴于A ，B 两点，求|AB |的最小值及此时点T 的坐标．[解析] (1)由题可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，则a 2＝4b 2，∵椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2＝4b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为x m ＋y n＝1(m >0，n >0)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x m ＋y n ＝1，消去x 得， (m 2＋4n 2)y 2－2m 2ny ＋n 2(m 2－4)＝0.∵直线l 与C 相切，∴Δ＝4m 4n 2－4n 2(m 2＋4n 2)(m 2－4)＝0，化简得m 2＋4n 2－m 2n 2＝0， ∵m >2，∴n 2＝m 2m 2－4. ∵m 2＋n 2＝m 2＋m 2m 2－4＝5＋m 2－4＋4m 2－4≥9， 当且仅当m 2－4＝4m 2－4时“＝”成立，即m ＝6，n ＝ 3. ∴|AB |＝m 2＋n 2≥3，故|AB |的最小值为3.此时由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 6＋y 3＝1，解得切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33. (理)(2015·杭州市质检)在直角坐标系xOy 中，设点A (－1,0)，B (1,0)，Q 为△ABC 的外心．已知CG →＋2OG →＝0，QG ∥AB ．(1)求点C 的轨迹Γ的方程；(2)设经过F (0，2)的直线交轨迹Γ于点E ，H ，直线EH 与直线l ：y ＝322交于点M ，点P 是直线y ＝2上异于点F 的任意一点．若直线PE ，PH ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在实数t ，使得1k 1＋1k 2＝t k 3？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． [解析] (1)设C (x ，y )，∵CG →＋2OG →＝0，∴G (x 3，y 3)，设Q (x 1，y 1)，∵Q 为△ABC 的外心，∴Q 在线段AB 的中垂线上，∴x 1＝0，又QG ∥AB ，∴y 1＝y ′3， ∴Q (0，y 3)， 根据|QA |＝|QC |，得x 2＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当直线EF 的斜率不存在时，t ＝2.设直线EF 的斜率为k ，则直线EH 的方程为y ＝kx ＋2，点M 坐标为(22k ，322)． 把直线方程代入椭圆方程3x 2＋y 2＝3并整理，得(k 2＋3)x 2＋22kx －1＝0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，P (a ，2)(a ≠0)，则有x 1＋x 2＝－22k k 2＋3，x 1x 2＝－1k 2＋3， 所以1k 1＝x 1－a y 1－2＝x 1－a kx 1，1k 2＝x 2－a kx 2，1k 3＝1k－2a . 又因为1k 1＋1k 2＝x 1－a kx 1＋x 2－a kx 2＝2k－22a ， 故存在常数t ＝2符合题意．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本题满分10分)(2015·东北三校二模)如图，已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点A ，CD 是∠ACB 的平分线，交AE于点F ，交AB 于点D ．(1)求证：CE ·AB ＝AE ·AC ；(2)若AD DB ＝12，求证：CF ＝DF .[解析] (1)证明：由CA 为切线知，∠CAE ＝∠CBA ，又∠C 为公共角，∴△ACE ∽△BCA ，得CE AC ＝AE AB，CE ·AB ＝AE ·AC ． (2)证明：∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACF ＝∠BCD ，∵AC 为圆的切线，∴∠CAE ＝∠CBD ，∴∠ACF ＋∠CAE ＝∠BCD ＋∠CBD ，即∠AFD ＝∠ADF ，所以AF ＝AD ，∵△ACF ∽△BCD ，∴CF CD ＝AF BD ＝AD BD ＝12，∴CF ＝DF . 23．(本题满分10分)(文)(2015·云南省统考)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ. (1)求证：曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．[解析] (1)证明：∵ρ＝21－cos θ， ∴ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2，∴ρ2＝(ρcos θ＋2)2.∴x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0，∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t －1，y ＝－4t －2，∴2x ＋y ＋4＝0.∴曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＋4＝0.∵M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值．设M 2(r 2－1,2r )，M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋122＋345≥325＝3510. ∴|M 1M 2|的最小值为3510. (理)(2015·昆明市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝4t 2－6，(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，l 与C 相交于A ，B 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)设线段AB 的中点为M ，求点M 的极坐标．[解析] (1)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝32t ，(t 为参数)， 曲线C 的普通方程为y ＝x 2－6. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝32t ，代入y ＝x 2－6，得t 2－23t －24＝0， ∴Δ＝108>0，t 1＋t 2＝23，∴t 1＋t 22＝ 3.即点M 所对应的参数为 3.∴点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. ∴点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3. 24．(本题满分10分)(2015·太原市一模)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )＝|x －1＋a |，求x 的取值范围．[解析] (1)当a ＝3时，f (x )＝|2x －1|＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4，x ≥3，x ＋2，12<x <3，4－3x ，x ≤12，其图象如图所示，与直线y ＝4相交于点A (0,4)和B (2,4)，∴不等式f (x )≤4的解集为{x |0≤x ≤2}；(2)∵f (x )＝|2x －1|＋|x －a |≥|(2x －1)－(x －a )|＝|x －1＋a |. ∴f (x )＝|x －1＋a |⇔(2x －1)(x －a )≤0，①当a <12时，x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a ≤x ≤12； ②当a ＝12时，x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12； ③当a >12时，x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤a .。