高中数学人教A版选修2-3课后导练：1.1.3分类加法计数原理和分步乘法计数原理(三) Word版含解析

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高中数学人教A版选修2-3 基本计数原理例题和练习

基本计数原理(1)分类加法计数原理:做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事情共有N=m1+m2 +……+m n种不同的方法。

(2)分步乘法计数原理:做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N= m1 ×m2 ×……× m n种不同的方法。

计数问题是数学中的重要研究对象，解决计数问题，其基本方法是列举法、列表法、树形图法等：其中级方法是分类加法原理和分步乘法原理：其高级方法是排列组合，基本计数原理是连接初级方法和高级方法的“桥梁”，是核心的方法，是解决计数问题的最重要的方法，而排列组合问题的方法：①特殊元素、特殊位置优先法。

②间接法。

③相邻问题捆绑法。

④不相邻(相间)问题插空法。

⑤有序问题组合法。

⑥选取问题先选后排法。

⑦至多至少问题间接法。

⑧相同元素分组可采用隔板法。

⑨分组问题等。

[例1]用0, 1, ..9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）。

A.243B.252C.261D.279[解析]0，1, 2，…，9共能组成9×10×10=900 (个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8=648 (个)，∴有重复数字的三位数有900-648=252 (个)。

故选B。

[注意]三位数一定要保证最高位不为0.[例2] 6名同学排成一排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有（）种不同站法。

[解析]法一: (位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步:第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有25A 种站法：第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有44A 种站法。

人教A版高中数学选修2-3讲义及题型归纳：分类加法计数原理和分步乘法原理

目录考点一：基本计数原理 (2)题型一、分布加法原理 (2)题型二、分布乘法原理 (4)题型三、基本计数原理的综合运用 (5)课后综合巩固练习 (6)考点一：基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．题型一、分布加法原理1.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( ) A ．3B ．5C ．9D ．12【分析】用列举法求解．【解答】解：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，有以下几类办法： ①用2张10元钱支付；②用1张10元钱和2张5元钱支付；③用1张10元钱、1张5元钱5张1元钱支付； ④用1张10元钱和10张1元钱支付； ⑤用1张5元钱和15张1元钱支付； ⑥用2张5元钱和10张1元钱支付；⑦用3张5元钱和5张1元钱支付； ⑧用4张5元钱支付； ⑨用20张1元钱支付．故共有9种方法．故选：C ．【点评】本题考查不同的付款方式共有多少种的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有( ) A ．3种B ．1848种C ．37种D ．6种【分析】分情况讨论：选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法，然后把这三种情况的数量加在一起即可．【解答】解：由题意可知选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法，共有：12141137++=．故选：C ．【点评】本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别． 3．已知集合{1M=，2-，3}，{4N =-，5，6，7}-，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点( ) A ．18个B ．10个C ．16个D ．14个【分析】根据第三、四象限内点的坐标的性质，分2种情况讨论，①取M 中的数作横坐标，取N 中的数作纵坐标坐标，②取N 中的数作横坐标，取M 中的数作纵坐标坐标，易得每种情况下的数目，进而由加法原理可得答案．【解答】解：第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制；分2种情况讨论，①取M 中的数作横坐标，取N 中的数作纵坐标坐标，有326⨯=种情况， ②取N 中的数作横坐标，取M 中的数作纵坐标坐标，有414⨯=种情况；共有6410+=种情况，故选：B ．【点评】本题考查分类计数原理的运用，解题的切入点为四个象限的点的坐标的性质．题型二、分布乘法原理1．设函数:f N N ++→满足：对于任意大于3的正整数n ，()3f n n =-，且当3n 时，2()3f n ，则不同的函数()f x 的个数为()A ．1B ．3C ．6D ．8【分析】通过()3f n n =-，结合映射的定义，根据2()3f n ，确定函数的个数．【解答】解：3n ，2()3f n ，f∴（1）2=或3，且f（2）2=或3 且f（3）2=或3．根据分步计数原理，可得共2228⨯⨯=个不同的函数．故选：D ．【点评】本题主要考查映射的定义，以及分步计数原理的应用，比较基础． 2．将一枚骰子向桌面先后抛掷2次，一共有( )种不同结果． A ．6B ．12C ．36D ．216【分析】由分步计数原理知有66⨯种结果，问题得以解决【解答】解：由分步计数原理知有6636⨯=种结果故选：C ．【点评】本题考查了分步计数原理，属于基础题3．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有多少种（结果用数字表示）．( ) A ．5B ．10C ．20D ．120【分析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，由分步原理求解即可，本题需要考虑的因素：相克的两种物质不相邻，注意满足此规则，计算符合条件的排列方法种数【解答】解：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5211110⨯⨯⨯⨯= 故选：B ．【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势题型三、基本计数原理的综合运用1．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是( )A ．420B ．180C ．64D ．25【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论．【解答】解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有4种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种，∴共有180种不同的涂色方案．故选：B ．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况． 2．5名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为（用数字作答）．【分析】先排不在排头的这个学生，方法有4种，其他学生任意排，有44A 种，根据分步计数原理，求得结果．【解答】解：先排不在排头的这个学生，方法有4种，其他学生任意排，有44A 种，根据分步计数原理，所有的排列方法共有44496A =种，故答案为：96．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，注意特殊元素优先排列，属于基础题．3．已知集合{1M ∈，2-，3}，{4N ∈-，5，6，7}-，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，求这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数．【分析】本题首先分类在每一类中又分步，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，分别可以得到在第一和第二象限中点的个数，根据分类加法原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类和分步的综合问题，⨯个，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22在第二象限的点共有12⨯个．⨯个，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22在第二象限的点共有22⨯个．∴所求不同的点的个数是2212222214⨯+⨯+⨯+⨯=（个)．【点评】本题考查分步计数原理和分类计数原理，是一个综合题目，首先分类，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．课后综合巩固练习1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有()种．A．8B．15C．18D．30【分析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有358+=种结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有358+=种结果，故选：A．【点评】本题看出分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．2．将一张面值1元的人民币全部换成面值1角，2角和5角的硬币，则换法总数为．【分析】设1角硬币有x枚，2角硬币有y枚，5角硬币有z枚，构造三元一次方程，然后利用列举法得到所有可能的情况，可得答案．【解答】解：设1角硬币有x 枚，2角硬币有y 枚，5角硬币有z 枚则2510x y z ++= 满足方程的解有：10x =，0y =，0z = 8x =，1y =，0z = 6x =，2y =，0z = 4x =，3y =，0z = 2x =，4y =，0z = 0x =，5y =，0z =5x =，0y =，1z = 0x =，0y =，2z = 3x =，1y =，1z = 1x =，2y =，1z =共十种不同情况故答案为：10【点评】解决此类问题要用列举法，把所有的情况都一一排查，找出问题的答案． 3．乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有项．【分析】根据多项式的乘法法则，分析易得在123()a a a ++中取一项有3种取法，在1234()b b b b +++中取一项有4种取法，在12345()c c c c c ++++中取一项有5种取法，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据多项式的乘法法则，123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++的结果中每一项都必须是在123()a a a ++、1234()b b b b +++、12345()c c c c c ++++三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，而在123()a a a ++中有3种取法，在1234()b b b b +++中有4种取法，在12345()c c c c c ++++中有5种取法，由乘法原理，可得共有34560⨯⨯=种情况，则123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++的展开式中有60项；故答案为60．【点评】本题考查分步计数原理的运用，是常见的题目；平时要多加训练．4．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有种停放方法．（用数字作答）【分析】利用分步计数原理，第一步先选车，第二种再排列，问题得以解决【解答】解：第一步先选车有36C 种，第二步因为每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，从中选取一辆车后，把这辆车所在的行列全划掉，依次进行，则有11111166543216C C C C C C A =种，根据分步计数原理得；366614400C A =种．故答案为：14400．【点评】本题考查了分步计数原理的应用，关键是如何求出每辆车所在行列的可能性5．对于各数互不相等的正数数组1(i ，2i ，⋯，)(n i n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组(2，4，3，1)中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组1(a ，2a ，3a ，4a ，5)a 的“顺序数”是4，则5(a ，4a ，3a ，2a ，1)a 的“顺序数”是．【分析】根据题意，假设出一种情况，倒序后输出顺序数即可．【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组1(a ，2a ，3a ，4a ，5)a 的“顺序数”是4，假设12a a <，13a a <，14a a <，15a a <，且后一项都比前一项小，因此可以判断出23a a >，34a a >，45a a >，则5(a ，4a ，3a ，2a ，1)a 的“顺序数”是6，故填：6．【点评】本题考查了新定义，理解好定义是解题的先决条件，另外，要大胆假设．本题属基础题．。

人教版高中数学选修2-3练习：1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．5 名同学去听同时进行的 4 个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且一定选择一个知识讲座，则不一样的选择种数是()A．54B．45C．5×4×3×2D．5×4【分析】 5 名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有 4 种选择，由5分步乘法计数原理知共有4×4×4×4×4＝4 种选择．2．已知会合 M ＝{1 ，－ 2,3} ，N＝{ －4,5,6,7} ，从两个会合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不一样的点的个数是()A．18B．17C．16D．10【分析】分两类．第一类： M 中的元素作横坐标， N 中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有 3×3＝9(个)；第二类： N 中的元素作横坐标， M 中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有 4×2＝8(个)．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17(个)点在第一、二象限．【答案】B3．同室四人各写一张拜年卡，先集中起来，而后每人从中拿一张他人的贺年卡，则四张拜年卡不一样的分派方式有()A．12 种B．9 种C．8 种D．6 种【分析】设四张贺卡分别记为A， B， C，D.由题意，某人(不如设 A 卡的供卡人 )取卡的状况有 3 种，据此将卡的分派方式分为三类，关于每一类，其余人挨次取卡分步进行，为了防止重复或遗漏，我们用“树状图”表示以下：BADCCDADAC CADBDABDBA DABCCABCBA所以共有 9 种不一样的分派方式，故 B.【答案】B341-1-84.将 1,2,3，⋯，9 9 个数字填在如的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分挨次增大．当 3,4 固定在 1-1-8 中的地点，填写空格的方法()A．6 种B．12 种C．18 种D．24 种【分析】因每一行从左到右，每一列从上到下分挨次增大，1,2,9 只有一种填法， 5只好填在右上角或左下角， 5 填好后与之相的空格可填 6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6 种果，故 A.【答案】A5．体育老把 9 个同样的足球放入号 1,2,3 的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数许多于其号，不一样的放球方法有() 【学号： 97270006】A．8 种B．10 种C．12 种D．16 种【分析】第一在三个箱子中放入个数与号同样的球，剩下三个足球，三个足球能够任意搁置，第一种方法，能够在每一个箱子中放一个，有 1 种果；第二种方法，能够把球分红两份， 1 和 2，两份在三个地点，有3×2＝6种果；第三种方法，能够把三个球都放到一个箱子中，有 3 种果．上可知共有 1＋6＋3＝10 种果．【答案】B二、填空6．小正在玩“ QQ”游，他划从里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这 5 各种子中选出 4 种分别栽种在四块不一样的空地上(一块空地只好栽种一种作物 )，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不一样的栽种方案共有 ________种．【分析】当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24 种不一样的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝ 24 种不一样的种法，故共有48 种不一样的栽种方案．【答案】487．从会合 {0,1,2,3,5,7,11} 中任取 3 个不一样元素分别作为直线方程Ax＋By＋ C＝ 0 中的 A， B， C，所得直线经过坐标原点的有________条．【分析】由于过原点的直线常数项为0，所以 C＝0，从会合中的 6 个非零元素中任取一个作为系数A，有 6 种方法，再从其余的 5 个元素中任取一个作为系数 B，有 5 种方法，由分步乘法计数原理得，合适条件的直线共有1×6×5＝30(条)．【答案】308．甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每日至多安排一人，并要求甲安排在此外两位前方．不一样的安排方法共有 ________种．【分析】分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12 种排法；若甲在周二，则乙丙有3×2＝ 6 种排法；若甲在周三，则乙丙有2×1＝ 2 种排法．所以不一样的安排方法共有12＋6＋2＝20 种．【答案】20三、解答题9．如图 1-1-9 所示，用 6 种不一样的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不一样，且两头的格子的颜色也不一样，不一样的涂色方法共有多少种 (用数字作答 )．图 1-1-9【解】不如将图中的 4 个格子挨次编号为①②③④，当①③同色时，有6×5×1×5＝150 种方法；当①③异色时，有6×5×4×4＝ 480 种方法．所以共有150＋480＝630 种方法．10．用数字 1,2,3,4,5,6 构成无重复数字的三位数，而后由小到大排成一个数列．(1)求这个数列的项数；(2)求这个数列中的第89 项的值．【解】(1) 达成这件事需要分别确立百位、十位和个位数，能够先确立百位，再确立十位，最后确立个位，所以要分步相乘．第一步：确立百位数，有 6 种方法．第二步：确立十位数，有 5 种方法．第三步：确立个位数，有 4 种方法．依据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120 个三位数．所以这个数列的项数为120.(2)这个数列中，百位是 1,2,3,4 的共有 4×5×4＝ 80 个，百位是 5 的三位数中，十位是 1 或 2 的有 4＋ 4＝ 8 个，故第 88 个为 526，故从小到大第 89 项为 531.[ 能力提高 ]1．(2016 ·泽检测菏 )如图 1-1-10，一环形花坛分红A， B， C，D 四块，现有4 种不一样的花供选种，要求在每块里种 1 栽花，且相邻的 2 块种不一样的花，则不同的种法总数为 ()图 1-1-10A．96B．84C．60D．48【分析】可挨次种A，B，C，D四块，当C 与 A 种同一栽花时，有4×3×1×34×3×2×2＝48 各种法．＝ 36 各种法；当 C 与A 所栽花不一样时，有由分类加法计数原理，不一样的种法种数为36＋48＝84.【答案】B2．两人进行乒乓球竞赛，采纳五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情况(各人胜败局数的不一样视为不一样情况)共有 () A．10 种B．15 种C．20 种D．30 种【分析】由题意知，竞赛局数最少为 3 局，至多为 5 局．当竞赛局数为3局时，情况为甲或乙连赢 3 局，共2 种；当竞赛局数为 4 局时，若甲赢，则前3局中甲赢 2 局，最后一局甲赢，共有 3 种情况；同理，若乙赢，则也有 3 种情况，所以共有 6 种情况；当竞赛局数为 5 局时，前 4 局，甲、乙两方各赢 2 局，最后一局胜出的人赢，若甲前 4 局赢 2 局，共有赢取第 1、2 局， 1、3 局， 1、 4 局，2、3 局， 2、 4 局，3、4 局六种情况，所以竞赛局数为 5 局时共有2×6＝12(种)，综上可知，共有2＋ 6＋ 12＝20(种)．应选 C.【答案】C3．在一次运动会选手选拔赛上，8 名男运动员参加100 米决赛．此中甲、乙、丙三人一定在1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8 名运动员竞赛的方式共有________种．【分析】分两步安排这8 名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7 四条跑道可安排，所以安排方式有 4×3×2＝24 种．第二步：安排此外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有 5×4×3×2×1＝ 120 种．所以安排这8 人的方式有 24×120＝2 880 种．【答案】 2 8804．(2016 ·杭州外国语学校检测 )给出一个正五棱柱，用 3 种颜色给其10 个顶点染色，要求各侧棱的两个端点不一样色，有几种染色方案？【解】分两步，先给上底面的 5 个极点染色，每个极点都有 3 种方法，共有35种方法，再给下底面的 5 个极点染色，由于各侧棱两个端点不一样色，所以每个极点有 2 种方法，共有 25种方法，依据分步乘法计数原理，共有35·25＝ 7 776(种 )染色方案 .。

高中数学人教A版选修2-3优化练习：第一章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 Word版含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．若x∈{1,2,3}，y∈{5,7,9}，则x·y的不同值个数是()A．2 B．6C．9 D．8解析：求积x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值．答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．答案：C3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A．3种B．6种C．7种D．9种解析：分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．答案：C4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：第一步，取b，有6种方法；第二步，取a，也有6种方法，根据分步乘法计数原理得，共有6×6＝36种方法，即虚数有36个．答案：C5．如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种解析：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后按B，C，F的顺序涂色，分为两类；一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一种是B与E和D均不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．答案：B6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1207．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2名参加校学生会的竞选，其中至少有1名女生当选的选法种数是________．解析：至少有1名女生当选有两种可能：(1)参加竞选的有1名女生，有4×3＝12种选法；(2)参加竞选的有2名女生，有3种不同选法．因此至少有1名女生当选的选法为12＋3＝15(种)．答案：158．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有________种．解析：分两步：第一步，先选垄，共有6种选法．第二步：种植A、B两种作物，有2种选法．因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6×2＝12(种)．答案：129．设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，a∈{1,2,3,4,5,6,7}，b∈{1,2,3,4,5}，这样的椭圆共有多少个？解析：依题意按a，b的取值分为6类，第一类：a＝2，b＝1；第二类：a＝3，b＝1, 2；第三类：a＝4，b＝1,2,3；第四类：a＝5，b＝1,2,3,4；第五类：a＝6，b＝1,2,3,4,5；第六类：a＝7，b＝1,2,3,4,5.由分类加法计数原理得：这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20个．10．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每个年级选1人成为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解析：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选法；第二类，从高二年级选一人，有6种选法；第三类，从高三年级选一人，有4种选法．由分类加法计数原理得，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选法；第二步，从高二年级选一人，有6种选法；第三步，从高三年级选一人，有4种选法．由分步乘法计数原理得，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法．由分类加法计数原理得，共有30＋20＋24＝74种选法．[B组能力提升]1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10解析：当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，选B.答案：B2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A、B的值，则形成的不同直线有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．答案：A3．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案.解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理得，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4804．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有________个．解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，有9个三角形；……当y取6时，x＝6，有1个三角形．所以，所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：365．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞赛中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的选择？解析：分两类情况：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．6．7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从中选出会下象棋和会下围棋的各1人参加比赛，共有多少种不同的选法？解析：第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N1＝3×2＝6(种)．第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N2＝3×2＝6(种)．第三类：从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N3＝2×2＝4(种)．第四类：从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名参加象棋比赛和围棋比赛，有N4＝2种．综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝6＋6＋4＋2＝18(种).。

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理》教案新部编本.pdf

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________xx市实验学校1．1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理开课班级：汕头市渔洲中学高二（1）班授课老师：蔡洋教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类加法计数原理(加法原理)与分步乘法计数原理(乘法原理)教学难点：分类加法计数原理(加法原理)与分步乘法计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：1 分类加法计数原理（1）提出问题问题 1.1：小明从汕头到梅州,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车有12班,那么一天中,小明乘坐这些交通工具从汕头到梅州共有多少种不同的走法?问题1.2：用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有Nnm种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有nm m m N21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。

人教新课标版数学高二-数学人教A版选修2-3学案 1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

（第一课时）【学习目标】1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2. 会利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。

【重点难点】分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理应用【学习过程】一、思考：1. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？_________；2. 用一个大写的英文字母和一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？_________________。

你能概括上述两个问题的特征吗？二、阅读课本第2-4页，梳理知识点：知识点一分类加法计数原理：完成一件事有_____类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N =_____种不同的方法。

探究1：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？________________________探究2：如果完成一件事情有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？_____________________________知识点二分步乘法计数原理：完成一件事需要_____个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N =___________种不同的方法。

探究3：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？__________探究4：如果完成一件事情需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？___________________________三、课堂互动探究：典例精析变式训练类型一分类加法计数原理的应用例1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：______A大学B大学_____生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式1-1：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同的选法的种数是___________。

人教版高中数学选修2-3知识讲解,巩固练习(教学资料)：专题1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识一、分类加法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.2．分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．【注】分类加法计数原理的特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情.二、分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．2．分步乘法计数原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．【注】分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一个方法才能完成该步要做的事情.可以用下图表示分步乘法计数原理的原理：3．两个计数原理的联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题．区别(1)完成一件事共有n类方法，关键词是“分类”．(2)各类方法都是互斥的、并列的、相互独立的.(3)每类方法都能完成这件事．(1)完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”．(2)每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事．(3)各步之间是互相关联的、互相依存的.三、两个计数原理的应用1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．应用分类加法计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用分步乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．2．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．3．分步要做到“步骤完整”，步与步之间要相互独立，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．知识参考答案：一、1．m+n2．m1＋m2＋···＋m n二、1．m×n2．m1×m2×···×m n重点重点分类加法计数原理、分步乘法计数原理难点两个计数原理的应用易错混淆分步、分类致误或分步、分类时考虑不全致误1．分类加法计数原理的应用对分类加法计数原理的理解注意点：（1）明确问题中所指的“完成一件事”是指什么，怎样才算是完成这件事，然后根据问题的特点确定一个分类标准，在这个标准下进行分类.（2）“完成一件事有n类不同方案”是指完成这件事的所有方法可分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，而不需要再用到其他方法；每一类没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.简单地说，就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”.【例1】从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有A．2种B．3种C．5种D．6种【答案】C【例2】把3枚相同的纪念邮票和4枚相同的纪念币作为礼品送给甲、乙两名学生，要求全部分完且每人至少有一件礼品，则不同的分法共有种.【答案】18【解析】以甲分得的礼品数为标准分类（用(a,b)表示甲分得纪念邮票a枚，纪念币b枚），可分为6类：第1类，甲分得1件礼品有2种分法：（1,0），（0,1）；第2类，甲分得2件礼品有3种分法：（2,0），（1,1），（0,2）；第3类，甲分得3件礼品有4种分法：（3,0），（2,1），（1,2），（0,3）；第4类，甲分得4件礼品有4种分法：（3,1），（2,2），（1,3），（0,4）；第5类，甲分得5件礼品有3种分法：（3,2），（2,3），（1,4）；第6类，甲分得6件礼品有2种分法：（3,3），（2,4）.根据分类加法计数原理，不同的分法共有2+3+4+4+3+2=18种.【名师点睛】本题的分类标准并不明显，根据题意，这些礼品要全部分完且每人至少有一件礼品，因此可以将甲、乙这两人中一人分得的礼品数作为分类标准，本题从甲分得的礼品数考虑，也可以从两类礼品的角度考虑，分两个步骤完成，应用分步乘法计数原理解决.2．分步乘法计数原理的应用对分步乘法计数原理的理解注意点：（1）明确问题中所指的“完成一件事”是指什么，怎样才算是完成这件事，然后根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分步的步骤也会不同.（2）“完成一件事需要n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤就能完成这件事.即各步骤是相互依存的，只有每个步骤都完成才能完成这件事.简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”.【例3】某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有A．180种B．360种C．720种D．960种【答案】D【解析】分五步完成,第i步取第i个号码由分步乘法计数原理,可得车牌号码共有种.【例4】（1）用数字1,2,3可以组成多少个三位数？（2）用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数？【答案】（1）27；（2）6.【解析】（1）要完成“组成三位数”这件事,需分以下3步：第一步：确定个位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第二步：确定十位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第三步：确定百位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法.根据分步乘法计数原理,可以组成的三位数有3×3×3=27个.（2）要完成“组成没有重复数字的三位数”这件事,需分以下3步：第一步：确定个位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第二步：确定十位数字,第一步选过的数字不能选择,因此有2种选法；第三步：确定百位数字,只有1种选法.根据分步乘法计数原理,知可以组成的三位数有3×2×1=6个.【规律总结】（1）应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．（2）利用分步乘法计数原理解题的一般思路．①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．3．两个计数原理的综合应用应用两个计数原理解题时的策略：（1）确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题．（2）处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两者要有机结合．（3）注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏．【例5】编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？【例6】集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标.（1）可以得到多少个不同的点？（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？【解析】（1）一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点；第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点.由分类加法计数原理得不同点的个数为12＋12＝24(个).（2）第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正数，同样可分为两类.由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8(个).4．分类或分步时考虑不全致误【例7】有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×2＝6种不同信号；每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号3＋6＋6＝15种．【错因分析】每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．【正解】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．【易错警示】审题时要细致，把题意弄清楚．本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏．【例8】甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有种.【错解】错解1：分四步完成这件事.第1步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情况；同理，第2，3，4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况.由分步乘法计数原理知，共有4×4×4×4=44=256种不同的冠军获得情况.错解2：分四步完成这件事.第1步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有3种不同情况；同理，第2，3，4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有3种不同情况.由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3=34=81种不同的冠军获得情况.【错因分析】要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”.但错解1、2中都有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况.【正解】可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况.由分步乘法计数原理知，共有4×4×4=43=64种不同的冠军获得情况.【答案】64【易错警示】此类问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么.也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.基础训练1．某学生去书店,发现2本不同的好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有A．1种B．2种C．3种D．4种2．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种C．54种D．720种3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有A．12种B．7种C．14种D．49种4．在一次才艺展示活动中,甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”,但学校规定每位同学限报其中的一个,且乙知道自己唱歌不如甲,若甲报唱歌比赛乙就报朗诵比赛,则他们三人不同的报名方法有A．3种B．6种C．7种D．8种5．从1,2,3,4,5五个数中任取3个,可组成不同的等差数列的个数为A．2 B．4C．6 D．86．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有A．12 B．24C．36 D．407．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有_______种. 8．甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，则共有________种不同的推选方法.9．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续．．．．固定相邻的2个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是________．10．现从高一四个班的学生中选取34人，其中一、二、三、四班分别选取7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（2）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？能力提升11．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有A．120种B．1024种C．625种D．5种12．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有A．6种B．36种C．63种D．64种13．设集合I={1，2，3，4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50 种B．49 种C．48 种D．47 种14．若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这5个数字中任取2个不同的数字，则方程所表示的不同直线有A ．5条B ．7条C ．12条D ．14条15．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种16．已知a ∈{3,4,6}，b ∈{2,5,7,8}，则方程x 2a ＋y 2b＝1可表示________个不同的椭圆.17．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为______ 18．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”，则1，2，3，4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有________个.19．用n 种不同的颜色为下列两块广告牌（如图甲、乙）着色，要求A ，B ，C ，D 四个区域中相邻（有公共边界）的区域用不同的颜色.（1）若n =6,求为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n .真题练习20．(新课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．921．(2019新课标全国Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个22．(2019福建模拟)满足a ，b ∈{−1,0,1,2}，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 A ．14 B ．13 C ．12D ．1023．(2019山东模拟)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为A ．243B ．252C ．261D ．27924．(2019安徽模拟)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对参考答案1 2 3 4 5 6 11 12C D D B D C D C13 14 15 20 21 22 23 24B DC B C B B C 1．【答案】C【解析】分两类:买1本书、买2本书,各类购买方式依次有2种、1种,故购买方式共有2+1=3种.2．【答案】D【解析】第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同的选法；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同的选法．根据分步乘法计数原理得，共有30×24=720种不同的选法．3．【答案】D【解析】要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4+3=7种方法，第二步出门也有4+3=7种方法，由分步乘法计数原理知，进、出的方案有7×7=49种.4．【答案】B【解析】从甲着手分析,分两类：若甲报唱歌比赛,则乙报朗诵比赛,丙可任选,有2种报名方法；若甲报朗诵比赛,则乙、丙均可任选,有2×2=4种报名方法.所以共有2+4=6种不同的报名方法.5．【答案】D【解析】分两类:第1类,公差大于0,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,④1,3,5,共4个等差数列；第二类,公差小于0,也有4个.根据分类加法计数原理可知,共有4+4=8个不同的等差数列.【名师点睛】完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：（1）明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事．（2）完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．（3）确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一个类；②分别在不同两类中的两种方法不能相同．即不重复，无遗漏．7．【答案】81【解析】4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则每人有3种报名方法，则4人共有3×3×3×3=81种方法.8．【答案】31【解析】分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×5＝15种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×2＝6种选法；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5×2＝10种选法.综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种不同选法.9．【答案】60【解析】第一步任意选取一个螺栓，有6种方法；第二步，按照要求以此固定，不妨第一次固定螺栓1，则有如下的固定方法：1,3,5,2,4,6；1,3,5,2,6,4；1,3,6,4,2,5；1,5,2,4,6,3；1,5,3,6,2,4；1,5,3,6,4,2；1,4,2,6,3,5；1,4,2,5,3,6；1,4,6,3,5,2；1,4,6,2,5,3，共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.10．【解析】（1）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．（2）分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．11．【答案】D【解析】由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，每次分完只有一个代表队得不到，所以共有5种不同的分法．故选D．12．【答案】C【解析】每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C．13．【答案】B【解析】按分类加法计数原理做如下讨论：①当A中最大的数为1时，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有24－1＝15种方法；②当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14种方法；③当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12种方法；④当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，B可以是{5}，即有8×1＝8种方法.故共有15＋14＋12＋8＝49种方法.14．【答案】D【解析】方法一（直接法）：本题中有特殊数字0，所以，以A,B中是否有数字0为标准进行分类，可分两类：第1类，当A,B中有一个为0时，表示直线x=0或y=0，共2条不同直线.第2类，当A,B都不为0时，确定直线Ax+By=0需要分两步完成：第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法.由分步乘法计数原理知，共可确定4×3=12条不同直线.由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2+12=14条.方法二（间接法）：分两步：第1步，确定A的值，有5种不同的方法；第2步，确定B的值，有4种不同的方法.由分步乘法计数原理知，可以确定5×4=20条直线.在这20条直线中，A=0，B=1，2，3，5，以及B=0，A=1，2，3，5各表示一条直线，即有6条直线是重复计数的，因此，符合条件的不同直线共有20−6=14条.【名师点睛】间接法体现了“正难则反”的思想.若问题从正面考虑的话情况比较多,而问题的反面情况较少,且容易计数,则宜采用间接法,即先求出方法总数,再减去不符合条件的方法数或重复计数的方法数. 15．【答案】C【解析】解法1：分两种情况：①A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，由分步乘法计数原理知有4×3×2＝24种．②A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，由分步乘法计数原理知有4×3×2×2＝48种．由分类加法计数原理知，共有72种，故选C．解法2：先涂A，有4种涂法，再涂B、D，①若B 与D 同色，则B 有3种，E 有2种，C 有2种，共有4×3×2×2＝48种；②若B 与D 不同色，则B 有3种，D 有2种，E 有1种，C 有1种，共有4×3×2×1×1＝24种，由分类加法计数原理知，共有不同涂法48＋24＝72种．故选C ．【名师点睛】这是一个有限制条件的计数问题，解决方法是：特殊位置、特殊元素优先安排的原则．本题是先分类再分步，而分类的标准是两个特殊位置，这样，在分类时才能做到“不重不漏”．应用两个计数原理解题时的策略：(1)确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题．(2)处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两者要有机结合． (3)注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏． 16．【答案】12【解析】∵a ∈{3,4,6}，b ∈{2,5,7,8}，∴x 2a ＋y 2b ＝1可表示不同的椭圆个数为3×4＝12个．17．【答案】49【解析】黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 【名师点睛】计数原理与其他知识交汇命题，常以“个数”或“概率”形式出现，计数常采用列举数数、树状图、表格等方法．解答时，先依据其他知识转化，将所求问题归结为计数问题，再按计数原理进行计算．19．【解析】（1）对区域A ，B ，C ，D 按顺序着色，共有6×5×4×4=480种不同的方法.（2）对区域A，B，C，D按顺序着色，依次有n种、n−1种、n−2种和n−3种，由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n−1)(n−2)(n−3)=120，整理得(n2−3n)(n2−3n+2)=120，(n2−3n)2+2(n2−3n)−120=0，n2−3n−10=0或n2−3n+12=0（舍去），解得n=5.【名师点睛】（1）由题意知本题考查的是分步乘法计数原理，对区域A，B，C，D按顺序着色，第一块有6种方法，第二块就不能选第一块的颜色，有5种结果，以此类推，根据分步计数原理得到结果．（2）利用分步乘法计数原理得到不同的染色方法有n(n−1)(n−2)(n−3)种，再根据共有120种结果，列出等式，解关于n的方程，即可得到结果．对于着色问题的两种典型现象：一是平面图涂颜色：先涂接触区域最多的一块；二是立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举.20．【答案】B【解析】由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，则共有6×3=18种走法，故选B.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．21．【答案】C【解析】由题意，得必有10a=，81a=，则具体的排法列表如下：0 00 1 1 11 10 1 110 11 010 1 110 11 01 00 11 010 1 1 10 1 1 0 10 1 1由上表知，不同的“规范01数列”共有14个，故选C.【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 22．【答案】B【解析】当0a =时，关于x 的方程为20x b +=，此时有序数对()()()0,10,00,102),(-，，，均满足要求；当0a ≠时，440ab ∆=-≥，所以1ab ≤，此时满足要求的有序数对为()()(1,11,01,11,2)()-----,,,,()()()111,01,1212,0()()--,,,，,,．综上，共有13个满足要求的有序数对． 23．【答案】B【解析】十个数排成不重复数字的三位数的求解方法是：第1步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)；第2步，排十位数字，有9种方法；第3步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8=648个没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数有9×10×10=900（个），所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900−648=252. 24．【答案】C【解析】如图，在上底面中选11B D ，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样11A C 对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对．所以全部共有48对．。

人教版高中数学选修2-3练习：1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．如图 1-1-1 所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有()图 1-1-1A．6 条B．5 条C．9 条D．4 条2 条．由【分析】从左到右通电线路可分为两类：从上边有 3 条；从下边有分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有 3＋2＝5 条．【答案】B2．有5 列火车停在某车站并排的 5 条轨道上，若火车A 不可以停在1 道上，第则 5 列火车的泊车方法共有()A．96 种B．24 种C．120 种D．12 种【分析】先排第 1 道，有 4 种排法，第2,3,4,5 道各有4,3,2,1 种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96 种．【答案】A()3．将5 封信投入 3 个邮筒，不一样的投法共有A．53种B．35种C．8 种D．15 种5 封信投完，共有【分析】每封信均有 3 种不一样的投法，因此挨次把3×3×3×3×3＝35种投法．【答案】B4．假如 x，y∈N，且 1≤x≤3，x＋ y<7，则知足条件的不一样的有序自然数对的个数是 ()A．15B．12C．5D．4【分析】利用分类加法计数原理．当 x＝1 时， y＝0,1,2,3,4,5，有 6 个；当 x＝ 2 时， y＝0,1,2,3,4，有 5 个；当x＝3 时， y＝ 0,1,2,3，有 4 个．据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15 个．【答案】A5．从会合 {1,2,3,4,5} 中任取B 的值，则形成的不一样直线有(A．18 条C．25 条2 个不一样的数，作为方程Ax＋By＝ 0 的系数) 【导学号： 97270002】B．20 条D．10 条A，【分析】取法，此中当第一步，取A＝1，B＝2A 的值，有 5 种取法；第二步，取B 的值，有 4 种时与 A＝2，B＝4 时是同样的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2 时是同样的方程，故共有5×4－ 2＝18 条．【答案】A二、填空题x2y26．椭圆 m＋ n ＝1 的焦点在y 轴上，且m∈{1,2,3,4,5} ， n∈ {1,2,3,4,5,6,7} ，则知足题意的椭圆的个数为________．【分析】由于焦点在y 轴上，因此 0<m<n，考虑 m 挨次取 1,2,3,4,5 时，切合条件的 n 值分别有 6,5,4,3,2 个，由分类加法计数原理知，知足题意的椭圆的个数为 6＋ 5＋4＋3＋2＝20 个．【答案】207．某班 2016 年元旦晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增添了 2 个新节目，假如将这两个节目插入原节目单中，那么不一样的插法的种数为 ______．【分析】将第一个新节目插入 5 个节目排成的节目单中有 6 种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6 个节目排成的节目单中有7 种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法： 6×7＝42(种)．【答案】428．如图1-1-2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标明的数字表示该段网线单位时间内能够经过的最大信息量，现从结点 B 向结点 A 传达信息，信息能够分开沿不一样的路线同时传达，则单位时间内传达的最大信息量为 ________．图1-1-2【分析】依题意，第一找出 B 到A 的路线，一共有 4 条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为 6.由分类加法计数原理，单位时间内传达的最大信息量为3＋ 4＋ 6＋6＝19.【答案】19三、解答题9．有不一样的红球 8 个，不一样的白球7 个．(1)从中随意拿出一个球，有多少种不一样的取法？(2)从中随意拿出两个不一样颜色的球，有多少种不一样的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)．(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不一样颜色的球共有8×7＝ 56(种 )．10．某单位员工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有 28 人， A 型血的共有 7 人， B 型血的共有 9 人， AB 型血的共有 3 人．(1)从中任选 1 人去献血，有多少种不一样的选法；(2)从四种血型的人中各选 1 人去献血，有多少种不一样的选法？【解】从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不一样的选法；从 A 型血的人中选 1 人有 7 种不一样的选法；从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不一样的选法；从AB 型血的人中选1 人有3 种不一样的选法．(1)任选1 人去献血，即不论选哪一种血型的哪一个人，“任选1 人去献血”这件事情都能够达成，因此用分类加法计数原理．有 28＋ 7＋ 9＋ 3＝47 种不一样的选法．(2)要从四种血型的人中各选 1 人，即从每种血型的人中各选出 1 人后，“各选 1 人去献血”这件事情才达成，因此用分步乘法计数原理．有 28×7×9×3＝5 292 种不一样的选法．[ 能力提高 ]1.一植物园观光路径如图1-1-3 所示，若要所有观光而且路线不重复，则不同的观光路线种数共有 ()图 1-1-3A．6 种C．36 种B．8 种D．48 种【分析】由题意知在 A 点可先观光地区1，也可先观光地区 2 或3，每种选法中能够按逆时针观光，也能够按顺时针观光，因此第一步能够从 6 个路口任选一个，有 6 种走法，观光完第一个地区后，选择下一步走法，有 4 种走法，参观完第二个地区后，只剩下最后一个地区，有 2 种走法，依据分步乘法计数原理，共有 6×4×2＝48 种不一样的观光路线．【答案】D2．某市汽车牌照号码 (由 4 个数字和 1 个字母构成 )能够上网自编，但规定从左到右第二个号码只好从字母 B，C， D 中选择，其余四个号码能够从 0～9这十个数字中选择( 数字能够重复 )．某车主第一个号码(从左到右 )只想在数字3,5,6,8,9 中选择，其余号码只想在1,3,6,9 中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有 ()【导学号：97270003】A．180 种C．720 种B．360 种D．960 种【分析】分五步达成，第 i 步取第 i 个号码 (i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960 种．【答案】D3．直线方程 Ax＋By＝0，若从 0,1,3,5,7,8 这 6 个数字中每次取两个不一样的数作为 A， B 的值，则可表示 ________条不一样的直线．【分析】若 A 或B 中有一个为零时，有 2 条；当AB≠0时有5×4＝20 条，故共有20＋2＝22 条不一样的直线．【答案】224．已知会合M＝ { － 3，－ 2，－ 1,0,1,2} ， P(a， b)表示平面上的点 (a， b∈M)，(1)P 能够表示平面上的多少个不一样点？(2)P 能够表示平面上的多少个第二象限的点？(3)P 能够表示多少个不在直线y＝x 上的点？【解】 (1)达成这件事分为两个步骤： a 的取法有 6 种，b 的取法有 6 种．由分步乘法计数原理知， P 能够表示平面上的 6×6＝ 36(个 )不一样点．(2)依据条件需知足a<0，b>0.达成这件事分两个步骤： a 的取法有 3 种， b 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知， P 能够表示平面上的 3×2＝6(个)第二象限的点． (3)由于点 P 不在直线 y＝x 上，因此第一步 a 的取法有 6 种，第二步 b 的取法有 5 种，依据分步乘法计数原理可知， P 能够表示 6×5＝30(个)不在直线 y＝ x 上的点．。

人教版数学高二A版选修2-3课后导练分类加法计数原理和分步乘法计数原理(三)

课后导练基础达标1.将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )A.8B.15C.125D.243解析：每名大学生有3种不同的分配方式，所以共有35种不同的分配方式.故选D.2.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A ，B ，C ，D ，E ，F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )A.6种B.36种C.63种D.64种答案：C3.某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为( )A.24B.22C.20D.12解析：先排体育课，只能排在二、三节，有两种排法；第二步排语文，有3种方法；第三步排数学，有2种方法；第四步排外语，只有1种方法，故共有N=2×3×2×1=12种排法，故选D.4.用1，5，9，13中任意一个数作为分子，4，8，12，16中任意一个数作为分母，可构造________个不同的真分数.解析：设构造的真分数为nm ，其中m ∈{1，5，9，13}，n ∈{4，8，12，16}，且m ＜n ，若m=1，则n 有4种选法；若m=5，则n 有3种选法；若m=9，则n 有2种选法；若m=13，则n 有1种选法，故可构造的真分数个数为4+3+2+1=10种.综合运用5.某演出队有8名歌舞演员，其中6人会表演舞蹈节目，有5人会表演歌唱节目，今从这8人中选出2人，一人表演舞蹈，一人表演歌唱，则选法共有( )A.24种B.27种C.28种D.36种解析：设会表演舞蹈节目的6人组成集合A ，会表演歌唱节目的5人组成集合B ，则A∩B 中的元素个数为3个，把这三个称为“全能选手”.若按入选的选手中含有n 个“全能选手”可分三大类：含0个，含1个，含2个.第1类的选法种类为3×2=6个；第2类的选法种数为3×2+3×3=15个；第3类的选法种数为3×2=6种.由加法原理可得选法共有N=6+15+6=27种，故选B.6.已知：m ∈{2，5，8，9}，n ∈{1，3，4，7}，则方程ny m x 22 =1表示的焦点在x 轴上的不同椭圆个数为( )A.12B.16C.8D.10解析：由题意m ＞n ，可用分类计数原理求得共有N=1+3+4+4=12个，选A.7.由n×n 个边长为1的正方形拼成的正方形棋盘中，由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目是( )A.nB.n 2C.61.(n+1).(2n+1).n D.n.(n-1).(n-2).....3.2.1 解析：边长分别为1，2，...，n 的正方形的数目分别是n 2，(n-1)2，...，12个，故由加法原理可得所有正方形的数目为n 2+(n-1)2+ (12)61n(n+1)(2n+1)，故选C.拓展探究8.设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动.那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有多少种?解析：如图所示，(1)青蛙经过3次从A 点跳到D 点，有且只有2种情况，即有2种跳法.(2)青蛙跳完5次停止跳动，说明它在跳到第3次时没有到达D 点.又每次跳动不分方向，有2种方向可能.所以前3次有2×2×2=8种跳法.由(1)知应减去2种到达D 点的跳法，故前3次的跳法是8-2=6种；后两次(显然是分步)共有2×2=4种跳法.故跳5次停跳的方法有6×4=24种.综上，这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有26种.备选习题9.电子计算机的输入纸带每排8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生___________种不同信息.解析：产生一种信息需分8步，每步有两种选择方法，由分步计数原理可得共可产生N=28=256(种)不同信息.10.圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为___________. 解析：把和圆心三点共线的两个顶点视为一组，共可分为n 组，每组顶点和剩余的任一个顶点均可构成一个直角三角形，共可形成2(n-1)个直角三角形，由分类计数原理可得所求直角三角形的个数共有：N=n·2(n-1)=2n(n-1)(个)11.若直线方程ax+by=0中的a 、b 可以从0，1，2，3，4这五个数中任取两个不同的数字，则该方程表示的不同的直线共有多少条?解析：可按a 、b 是否为0进行分类：第一类，a 或b 中有一个取0时，方程表示不同直线为x=0或y=0，共2条.第二类，a ，b 都不取0时，确定a 的取值有4种方法，确定b 的取值有3种方法，共有4×3=12(种).但是，当a=1，b=2与a=2，b=4时，方程表示同一直线；类似地，还有a=2，b=1与a=4，b=2的情况.综上所述，方程表示的不同的直线共有2+12-2=12(条).12.我国使用的明码电报号码是用4个数字(从0到9)代表一个汉字的，问一共可以表示多少个不同的汉字?解析：4个数字均可从0到9这10个数字中任取一个.由分步计数原理，能够表示不同的汉字有104=10 000(个).13.用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡牛中写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，要求字母不同且3色齐全的取法有多少种? 解析：取出5张卡片字母不同的取法有35=243(种)；取出5张卡片字母不同且至少缺一种颜色的取法共有3×25=96(种).至少缺一种颜色，不妨以至少缺红色为例：因为所选的5张卡片字母不同，颜色可从黄绿中任选，故选出的卡片有缺红、黄或缺红、绿两种可能.同样，在至少缺黄色时，存在缺黄、红或黄、绿两种可能；在至少缺绿色时，存在缺绿、红或绿、黄两种可能.这样，在排除至少缺一种颜色的取法时，将同时缺两种颜色的3种情况，排除了两次，应再加上.故取出5张卡片字母不同且颜色齐全的取法共有N=243-96+3=150(种).。

高二数学人教A版数学选修2-3导学案：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.1. 两个原理
课前预习学案
一、预习内容
分类计数原理：完成一件事 , 有 n 类方式 , 在第一类方式 , 中有 m1 种不同的方法 , 在第二类方式 , 中有 m2 种
不同的方法， ……，在第 n 类方式 , 中有 mn 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N=
A
B
（1）
A
பைடு நூலகம்
B
（ 2）
例 3、为了确保电子信箱的安全 , 在注册时通常要设置电子信箱密码 . 在网站设置的信箱中 ,
（ 1）密码为 4 位 , 每位均为 0 到 9 这 10 个数字中的一个数字 , 这样的密码共有多少个 ?
（ 2）密码为 4 位 , 每位是 0 到 9 这 10 个数字中的一个 , 或是从 A 到 Z 这 26 个英文字母中的 1 个 , 这样的密
课后练习与提高
一、选择题
1．将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有（
）．
A．种
B．种 C．种 D．种
2．将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（
）．
A．种
B．种 C．18 种 D． 36 种
3．已知集合
，
，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐
种不同的方法 .
分步计数原理：完成一件事 , 需要分成 n 个
，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2
种不同的方法， ……，做第 n 步有 mn 种不同的方法 , 那么完成这件事共有
N=
种不同的方法。
课内探究学案

人教版高中数学选修2-3练习：第一章1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理A级基础巩固一、选择题1．已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：满足题意的集合A分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1，2}，{3，2}共4个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有4＋1＝5(个)．答案：D2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有()A．7种B．12种C．64种D．81种解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．答案：B3．如图所示，一条电路从A处到B处接通时，可构成的通路有()A．8条B．6条C．5条D．3条解析：依题意，可构成的通路有2×3＝6(条)．答案：B4．已知集合，M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18 B．17 C．16 D．10解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有3×3＝9(个)；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有4×2＝8(个)．由分类加法计数原理，在第一、第二象限内的点共有9＋8＝17(个)．答案：B5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b 组成复数a＋bi，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．答案：C二、填空题6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．答案：1207．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．答案：88．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．答案：712三、解答题9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；……x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．10．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？解：操场可从5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理知，着色方案共有6×5×4×4＝480(种)．B级能力提升1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．答案：C2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．答案：653．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种．解：按出场位置顺序逐一安排：第一位置有3种安排方法；第二位置有7种安排方法；第三位置有2种安排方法；第四位置有6种安排方法；第五位置有1种安排方法．由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：1-1

1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)[学习目标]1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．能根据实际问题特征，正确选择原理解决实际问题．[知识链接]1．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？答分10步．第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种；第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种；…第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．故共有乘客下车的可能方式有5×5×5×…×5,10个＝510(种)．2．从1，2，3，4，7，9六个数中，任意两个不同数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数有多少？答(1)当取的两数中有1时，且1只能为真数，此时不管取哪一个数为底数对数的值都为0.(2)当两数都不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴即所有不同的对数的值的个数为1＋5×4－4＝17.[预习导引]1．两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．2．两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分类要做到不重不漏；分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，分步要做到步骤完整.要点一两个计数原理在排数中的应用例1数字不重复的四位偶数共有多少个？解(1)0在末位时，十、百、千分别有9，8，7种排法，共有9×8×7＝504(个)．(2)0不在末位时，2，4，6，8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除外)，其余两位分别有8，7两种排法．∴共有4×8×8×7＝1 792(个)．由(1)(2)知，共有符合题意的偶数为504＋1 792＝2 296(个)．规律方法排数问题实际就是分步问题，需要用分步乘法计数原理解决．此题中，由于数字0的出现，又进行了分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用．跟踪演练1用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．要点二抽取(分配)问题例2高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．法二(间接法)先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．规律方法解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用例举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．跟踪演练23个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60(种)．法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1，2，3，4，5；分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1，2)，选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1，3)，选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1，4)，选法有3×2×1＝6(种)．分类还有以下几种情况：(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)；共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得：共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．要点三涂色问题例3一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．(1)如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？(2)如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？解(1)如题图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植．因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步乘法计数原理得3×2×1＝6(种)．(2)如图2，当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法，当a1，a3同色时，有3×2×2×1＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理，共有6＋12＝18(种)种植方法．规律方法(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色、不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．(2)涂色问题往往涉及两计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．跟踪演练3如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．要点四种植问题例4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．解法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)不同种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种)．规律方法按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．跟踪演练4将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种(以数字作答)．答案42解析分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．(2)若第三块田放a：第四块有b或c2种方法：①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有()A．48种B．24种C．14种D．12种答案 A解析从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法共有8×6＝48(种)．2．已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数为()A．125 B．15 C．100 D．10答案 C解析若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，要完成该事件，需分步进行：第一步：对于系数a有4种不同的选法；第二步：对于系数b有5种不同的选法；第三步：对于系数c有5种不同的选法．由分步乘法计数原理知，共有4×5×5＝100(个)．3．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项．答案24解析要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项)．4．由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？解(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列，组合问题，尤其是较复杂的排列，组合问题的基础．2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些．一、基础达标1．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是()A．26 B．24 C．20 D．19答案 D解析单位时间内传递的最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19，故选D.2．已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为() A．2 B．4 C．8 D．15答案 D解析完成xy这件事分两步：第一步：从集合{1，2，3，4}选一个数，共有4种选法；第二步：从集合{5，6，7，8}选一个数，共有4种选法．共有4×4＝16(种)选法．其中3×8＝4×6，所以xy可表示的不同值的个数为15. 3．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是() A．100 B．90 C．81 D．72答案 C解析分两步：第一步选b，∵b≠0，所以有9种选法；第二步选a，因a≠b，所以有9种选法．由分步乘法计数原理知共有9×9＝81(个)点．4．(2013·福建理)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为() A．14 B．13 C．12 D．10答案 B解析①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解，此时b取4个值，故有4种有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1，显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．∵(a，b)共有3×4＝12个实数对，此时(a，b)的取值为12－3＝9(个)．∴(a，b)的个数为4＋9＝13.5．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种．答案96解析完成承建任务可分五步：第一步，安排1号有4种；第二步，安排2号有4种；第三步，安排3号有3种；第四步，安排4号有2种；第五步，安排5号有1种．由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1＝96(种)．6．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法．答案242解析分三类，第一类：取数学书和语文书，有10×9＝90(种)；第二类：取数学书和英语书，有10×8＝80(种)；第三类：取语文书和英语书，有9×8＝72(种)，故共有90＋80＋72＝242(种)．7．若把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有多少对？解把六棱锥的棱分成三类：第一类，底面上的六条棱所在的直线共面，则每两条之间不能构成异面直线．第二类，六条侧棱所在的直线共点，每两条之间也不能构成异面直线．第三类，结合图形可知，底面上的六条棱所在的直线中的每一条与之不相交的四条侧棱所在的四条直线中的每一条才能构成异面直线．再由分步乘法计数原理，可构成异面直线6×4＝24(对)．二、能力提升8．现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种答案 D解析共有4×3×2×2＝48(种)．9．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有() A．18条B．20条C．25条D．10条答案 A解析第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A ＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．10．如图是5个相同的长方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些长方形，使每个长方形涂一种颜色，且相邻长方形涂不同的颜色．如果颜色可反复使用，那么共有________种涂色方法．答案 1 280解析涂第一个长方形时有5种方法；涂第二个长方形时颜色与第一个不同，有4种方法；由于颜色可以反复使用，因此第三个、第四个、第五个长方形各有4种涂法．由分步乘法计数原理知，所有的涂色方法共有5×4×4×4×4＝1 280(种)．11．有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同方法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？解(1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．12．从{－3，－2，－1，0，1，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？解因为抛物线经过原点，所以c ＝0，从而知c 只有1种取值．又抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 顶点在第一象限，所以顶点坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＞0，4ac －b 24a ＞0，由c ＝0解得a <0，b >0，所以a ∈{－3，－2，－1}，b ∈{1，2，3}，这样要求的抛物线的条数可由a ，b ，c 的取值来确定：第一步：确定a 的值，有3种方法；第二步：确定b 的值，有3种方法；第三步：确定c 的值，有1种方法．由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N ＝3×3×1＝9(条)．三、探究与创新13．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．解 (1)如图，由题意知，四棱锥S －ABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 必须颜色相同，B ，D 必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60(种)．(2)法一由题意知，四棱锥S －ABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 可以颜色相同，B ，D 可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B ，D 颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S ，A ，B ，C 四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法；根据分步乘法计数原理，共有2×120＝240(种)不同的涂法．法二分两类．第一类，C与A颜色相同．由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×1×2＝120(种)方法；第二类，C与A颜色不同．由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×2×1＝120(种)方法；由分类加法计数原理，共有120＋120＝240(种)不同的方法．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，。

高中人教A数学选修2-3学案：1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理含答案

24位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动则周六周日都有同学参加公益活动的概率为解析四位同学各自在周六周日两天中选择一天参加公益活动的情况有式其中仅在周六或周日参加的各有一种故所求概率p11116个数字可以写出没有重复数字的整数15个
晨鸟教育
第一章计数原理
高二一班某寝室有 8 名同学，他们约定毕业后每年春节要互寄一张贺年卡片，他们一共要消费多少张卡片？第 32 届夏季奥运会因新冠肺疫情延期至 2021 年 7 月 23 日至 8 月 8 日在日本东京举办，206 个国家代表方队入场参加开幕式．这些代表方队的出场顺序一共有多少种排法？某城市的电话号码有 8 位数字，一共能构成多少个电话号码？汽车牌照由 26 个英文字母和 10 个阿拉伯数字选出五个组成，一共能组成多少辆汽车的牌照号码？……你知道是怎样计数的吗？
互动探究·攻重难
互动探究解疑命题方向❶
分类加法计数原理的应用典例 1 有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球 6 个，白色小球 5 个，黄色小球 4 个．若从三个袋子中任取 1 个小球，有多少种不同的取法？ [解析] 有 3 类不同方案：第 1 类，从第 1 个袋子中任取 1 个红色小球，有 6 种不同的取法；第 2 类，从第 2 个袋子中任取 1 个白色小球，有 5 种不同的取法；第 3 类，从第 3 个袋子中任取 1 个黄色小球，有 4 种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取 1 个小球都能独立地完成“任取 1 个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有 6＋5＋4＝15(种)．『规律总结』 (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的 n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事． (2)利用分类加法计数原理解题的一般思路

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步课时训练高二下学期数学人教A版选修2-3

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理——高二数学人教A版2-3同步课时训练1.为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从5名领导和6名科员中选出4名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有2名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是( )A.210B.360C.420D.7202.绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好.现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者.若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法( )A.228B.132C.180D.963.某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为( )A.27B.24C.18D.164.现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有( )A.7种B.9种C.14种D.70种5.某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为( )A.30B.14C.33D.906.某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有( )A.12B.13C.14D.157.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )A.8B.9C.12D.248.旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为( )A.24B.18C.16D.109.某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为( )A.85B.86C.91D.9010.某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.72011.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为_________.12.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有______种13.某公司招聘5名员工.分给下属的甲、乙两个部门.其中2名英语翻译人员不能分给同一部门.另3名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是________.14.某车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名既能当车工又能当钳工.现要在这11名工人里选派4名针工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？15.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,则不同的冠军获得情况有多少种？答案以及解析1.答案：A解析：求不同的选法种数可以有两类办法，选出的4人中有2名领导，有2256C C 种方法；有3名领导，有3156C C 种方法，由分类加法计数原理得：22315656C C C C 1015106210+=⨯+⨯=，所以不同的选法种数是210，A 正确. 故选：A. 2.答案：B解析：4人去3个省份，且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在这四人中任意取两人进行捆绑，则共有2343C A 36⋅=种，②若4人中含有甲，则在剩余的4人中抽取3人，共有34C 4=种，接下来若甲和另1人去同一省份，则共有112322C C A 12⋅⋅=种，若甲单独一人去一个省份，则共有()212322C C A 12+=种，根据加法和乘法原理可得共有，此类情况共有()4121296⨯+=种综上共有3696132+=种. 故选：B. 3.答案：D解析：由题意，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗，即甲不可预约C 医院，则甲可预约A ，B 两家医院，①若甲预约A 医院，乙预约A 医院，则丙可预约B ，C 医院，共2种情况； ②若甲预约A 医院，乙预约B 或C 医院，则丙可预约A ，B ，C 医院，共236⨯=种情况；③若甲预约B 医院，乙预约A 或C 医院，则丙可预约A ，B ，C 医院，共236⨯=种情况；④若甲预约B 医院，乙预约医院，则丙可预约A ，C 医院，共2种情况，所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为266216+++=种. 故选：D. 4.答案：C 解析：分为三类：从国画中选，有2种不同的选法；从油画中选，有5种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有52714++=（种）不同的选法；故选：C. 5.答案：D解析：因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有65390⨯⨯=种故选：D. 6.答案：C解析：由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团，有2种安排方法，所以有224⨯=种安排方法；第二步，从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团，共2种选法.故此时共有428⨯=种安排方法；第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，将会英语的另外2人安排到需要会英语的旅游团，有2种安排方法；第二步，从会日语的3人（包括甲）中选出1人安排到需要会日语的旅游团，有3种选法.故此时共有236⨯=种选法.综上，不同的安排方法种数为8614+=. 故选：C. 7.答案：B解析：设四个班分别是A 、B 、C 、D ，对应的数学老师分别是a 、b 、c 、d. 让a 老师先选，可从B 、C 、D 班中选一个，有3种选法，不妨假设a 老师选的是B ，则b 老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.由分步乘法计数原理，知共有33119⨯⨯⨯=种不同的安排方法. 故选：B. 8.答案：D解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的路线有33A 种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有1222C A ⨯种.所以小李可选的旅游路线数为312322A C A 10+⨯=.9.答案：B解析：方法一（直接法）由题意,可分三类考虑:第一类，男生甲入选,女生乙不入选的选法种数为1221334343C C C C C 31++=；第二类,男生甲不入选，女生乙入选的选法种数为1221343434C C C C C 34++=；第三类，男生甲入选，女生乙入选的选法种数为27C 21=.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为31342186++=.方法二（间接法）从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法种数为444954C C C 120--=；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的选法种数为4474C C 34-=.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为1203486-=.10.答案：C解析：先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有22A 种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有33A 种不同的排法，再排2本语文书，有22A 种不同的排法，最后排2本英语书，有22A 种不同的排法.根据分步乘法计数原理，得共有23222322A A A A 48=种不同的排法.故选C. 11.答案：180解析：按A ，B ，C ，D 顺序着色， A 区块有5种着色方案， B 区块有4种着色方案， C 区块有3种着色方案， D 区块有3种着色方案，故不同的着色方法种数为5433180⨯⨯⨯=，故答案为：180. 12.答案：6解析：由分步计数的乘法原理，从甲地去丙地可选择的旅行方式有326⨯=种. 故答案为：6. 13.答案：12 解析：由题意可得,①甲部门要2个电脑编程人员,则有3种情况;2名英语翻译人员的分配方法有2种，根据分步乘法计数原理,分配方案共有326⨯= (种).②甲部门要1个电脑编程人员,则有3种情况;2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理,分配方案共有326⨯= (种).由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有6612+= (种). 14.答案：设既能当车工又能当钳工的2名工人为A ,B .A ,B 都不在内的选派方法有4454C C 5=（种）； A ,B 都在内且当钳工的选派方法有224254C C C 10=（种）； A ,B 都在内且当车工的选派方法有242254C C C 30=（种）；A ,B 都在内，且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有233254AC C 80=（种）； A ,B 有一人在内且当钳工的选派方法有l 34254C C C 20=（种）； A ,B 有一人在内且当车工的选派方法有143254C C C 40=（种）.所以不同的选派方法共有51030802040185+++++=（种）.15.答案：可先举例说出其中的一种情况,如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙,可见研究的对象是“3门学科”,只有3门学科各产生1名冠军,才完成了这件事,而4名同学不一定每人都能获得冠军,故完成这件事分三步. 第1步,产生第1个学科冠军,它一定被其中1名同学获得,有4种不同的获得情况；第2步,产生第2个学科冠军,因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军,所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺,有4种不同的获得情况；第3步,同理,产生第3个学科冠军,也有4种不同的获得情况. 由分步乘法计数原理知,共有3444464⨯⨯==种不同的冠军获得情况.。

高中数学人教A版选修2-3课时训练1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)(一) Word版含答案

．分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)[学习目标]．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．[知识链接]．用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？答因为英文字母共有个，阿拉伯数字共有个，所以总共可以编出＋＝(种)不同的号码．．用前个大写英文字母和～九个阿拉伯数字，以，，…，，，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码．如图：由于前个英文字母中的任意一个都能与个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有×＝(个)不同的号码．[预习导引]．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有＝＋种不同的方法．．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有＝×种不同的方法．要点一分类加法计数原理的应用例高二·一班有学生人，男人；高二·二班有学生人，女人；高二·三班有学生人，男人．()从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？()从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解()要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法：第一类：从高二·一班选一名，有种不同的方法；第二类：从高二·二班选一名，有种不同的方法；第三类，从高二·三班选一名，有种不同的方法；故任选一名学生任学生会主席的选法共有＋＋＝种不同的方法．()要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有类不同的选法：第一类，从高二·一班男生中选有种不同的方法；第二类，从高二·二班男生中选有种不同的方法；第三类，从高二·三班女生中选有种不同的方法．故任选一名学生任学生会体育部长有＋＋＝种不同的方法．规律方法应用分类加法计数原理应注意如下问题：()明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．()无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．。

人教版高中数学选修23课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—3第一章课后习题解答第一章计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习（P6）1、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6.2、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择. 练习（P10）1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法. 根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）.2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）.3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5＝30（种）. 习题1.1 A 组（P12）1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4＋7＝11（种）.2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）.3、对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数4×4＝16（个）.对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个. 所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）.4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）.5、（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A中选横坐标，有6个选择；第二步，从A中选纵坐标，也有6个选择. 所以共有坐标6×6＝36（个）.（2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线4×4＝16（条）.习题1.1 B组（P13）1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）.2、（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是43.（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点，故不同的选法种数是35. 1．2排列与组合练习（P20）1、（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=；（2）777!5040A ==；（3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=；（4）87121277121255A A A A ==.3、4、（1）略. （2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =（种）. 6、3424A =（种）. 练习（P25）1、（1）甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁；（2）2、ABC ∆，ABD ∆，ACD ∆，BCD ∆.3、3620C =（种）. 4、246C =（个）. 5、（1）26651512C ⨯==⨯；（2）3887656123C ⨯⨯==⨯⨯；（3）3276351520C C -=-=；（4）328532356210148C C -=⨯-⨯=.6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m mn n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组（P27）1、（1）325454*********A A +=⨯+⨯=；（2）12344444412242464A A A A +++=+++=. 2、（1）315455C =；（2）19732002001313400C C ==；（3）346827C C ÷=；（4）22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、（1）12111(1)n n n n n n n n n n n n A A n A A nA n A +-+--=+-==；（2）(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有481680A =（种）不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列，有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=（种）.8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个，而!n n ≥，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是!n .9、（1）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画21045C =（条）不同的弦；（2）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310120C =（个）. 10、（1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线2555C -=（条）；（2）同（1）的理由，可得对角线为2(3)2n n n C n --=（条）.说明：本题采用间接法更方便. 11、由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值1234444415C C C C +++=（种）. 12、（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是3856C =；（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是410210C =. 13、（1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是3510C =. （2）由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数是3560A =；（3）由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是53243=；（4）由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A 中取，有m 种取法；第二步，从集合B 中取，有n 种取法. 所以共有取法mn 种. 说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决.14、由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数有32143224C C C ⋅⋅=. 15、由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题.（1）225460C C ⋅=；（2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2721C =（种）选法；（3）用间接法，在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为449791C C -=；如果采用直接法，则可分为3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到符合条件的方法数为33277791C C C ++=；（4）用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954120C C C --=. 也可以用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为132231545454120C C C C C C ++=.16、按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有12345666666663C C C C C C +++++=（种）. 17、（1）31981274196C =；（2）142198124234110C C ⋅=；（3）51982410141734C =；（4）解法1：3141982198125508306C C C =⋅=. 解法2：55200198125508306C C -=. 说明：解答本题时，要注意区分“恰有”“至少有”等词. 习题1.2 B 组（P28）1、容易知道，在737C 注彩票中可以有一个一等奖.在解决第2问时，可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会，它们分别是637112324784C =和8371138608020C =. 要将一等奖的机会提高到16000000以上且不超过1500000，即375000006000000nC ≤<，用计算机可得，6n =，或31n =.所以可在37个数中取6个或31个.2、可以按照I ，II ，III ，IV 的顺序分别着色：分别有5，4，3，3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180（种）.3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中取3个数，有35C 种取法；第二步，从2，4，6，8中取2个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法. 共有符合条件的五位数3255457200C C A ⋅⋅=（个）. 4、由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是11333354A A A ⋅⋅=. 5、等式两边都是两个数相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法.在n 个人中选择m 个人搞卫生工作，其中k 个人擦窗，m k -个人拖地，共有多少种不同的选取人员的方法？解法1：利用分步计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有m knm C C 种不同的选取人员的方法；解法2：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n k -个人中选m k -个人拖地，这样，由分步计数原理得，共有k m knn k C C --种不同的人员选择方法. 所以，k m k m knn k n m C C C C --=成立. 说明：经常引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于学生对问题的深入理解，检查结果，纠正错误. 1．3二项式定理练习（P31）1、7652433425677213535217p p q p q p q p q p q pq q +++++++.2、2424236(2)(3)2160T C a b a b =⋅=. 3、231(1)(2n rr r n rrr r nn r T C C x --+-=⋅=.4、D . 理由是5105555511010(1)T C x C x -+=-=-. 练习（P35）1、（1）当n 是偶数时，最大值2nn C ；当n 是奇数时，最大值12n nC-.（2）1311111111111210242C C C +++=⋅=. （3）12.2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=，2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=，0213nn n n C C C C ++=++∴012knnn n n n C C C C C ++++++0213()()n n n n C C C C =+++++022()2n n n C C =++=∴021222nn n nnnC C C -+++==. 3、略.习题1.3 A 组（P36）1、（1）011222(1)(1)(1)(1)n n n r n rr nn nn n n n C P C P P C P P C P P C P ---+-+-++-++-；（2）0122222nn n nn n n n n C C C C ++++.2、（1）9965432(9368412612684a a a a a b a a a b =+++23369a b ab b（2）27311357752222222172135(7016822412821283282x x x x x x x x ----=-+-+-+-.3、（1）552(1(122010x x ++=++；（2）11114412222(23)(23)192432x x x x x x ---+--=+. 4、（1）前4项分别是1，30x -，2420x ，33640x -；（2）91482099520T a b =-；（3）7924T =；（4）展开式的中间两项分别为8T ，9T ，其中78711815((6435T C x y =-=-87811915((6435T C x y =-=5、（1）含51x 的项是第6项，它的系数是5510163()28C -=-；（2）常数项是第6项，5105561012()2522T C -=⋅-=-.6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx --+=-=- 6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=- 由220n r -=得r n =，即21()n x x-的展开式中常数项是12(1)n rn n T C +=-(2)!(1)!!nn n n =- 12345(21)2(1)!!n n nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-…[135(21)][2462](1)!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=-……[135(21)]2!(1)!!n nn n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-…135(21)(2)!nn n ⋅⋅⋅⋅-=-…（2）2(1)n x +的展开式共有21n +项，所以中间一项是12135(21)(2)!n nn n n n T C x x n +⋅⋅⋅⋅-==…7、略.8、展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3n C 与7n C ，由37n n n C C -=，得37n =-，即10n =.所以，这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.习题1.3 B 组（P37）1、（1）∵1122221(1)111n n n n n n n n n n n n C n C n C n C n ----+-=++++++- 1122222n n n n nn n n C n C n C n n ---=+++++2213242(1)n n n n nn n n n C n C n C ----=+++++∴(1)1n n +-能被2n 整除；（2）∵1010991(1001)1-=--1019288291010101010010010010010011C C C C =-⋅+⋅++⋅-⋅+- 1019288210101010010010010010100C C C =-⋅+⋅++⋅-⨯1711521381010101000(101010101)C C C =-⋅+⋅++⋅-∴10991-能被1000整除.2、由0112211(21)222(1)2(1)n n n n n n n nnn n n n C C C C C -----=⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-，得112211222(1)2(1)1n n n n n n nn n C C C -----⋅+⋅++-⋅⋅+-=.第一章复习参考题A 组（P40）1、（1）2n ；说明：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”. 由于项的形式是i j a b ，而,i j 都有n 种取法.（2）3276525C C ⋅=；（3）1545480A A ⋅=，或2454480A A ⋅=；说明：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置，第二种方法是先考虑有限制的两个位置. （4）45C ；说明：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题. （5）53；说明：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答. （6）54；说明：对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数212C ，减去其中的正十二边形的边12条：21212111212542C ⨯-=-=. （7）第1n +项.说明：展开式共有21n +项，且各系数与相应的二项式系数相同.2、（1）1234566666661956A A A A A A +++++=；说明：只要数字是1，2，3，4，5，6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求.（2）552240A =. 说明：只有首位数是6和5的六位数才符合要求.3、（1）3856C =；（2）1234555530C C C C +++=. 4、468898C C +=.说明：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题. 按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类.5、（1）2(1)2n n n C -=；说明：任意两条直线都有交点，而且交点各不相同. （2）2(1)2n n n C -=. 说明：任意两个平面都有一条交线，而且交线互不相同. 6、（1）59764446024C =；（2）23397442320C C ⋅=；（3）2332397397446976C C C C ⋅+⋅=. 7、34533453103680A A A A ⋅⋅⋅=. 说明：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列. 但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列. 8、（1）226x -；说明：第三项是含2x 的项，其系数是22112244553(23)(2)26C C C C ⋅+⋅-⨯+--. （2）18118(9)(rr r r T C x -+=，由题意有1802rr --= 解得12r =，1318564T =；（3）由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---化简得2373220n n -+=，解得14n =，23n =；（4）解法1：设1r T +'是10(1)x -展开式的第1r +项，由题意知，所求展开式中4x 的系数为41T +'，31T +'与21T +'的系数之和.444110()T C x +'=-，333110()T C x +'=-，222110()T C x +'=-，因此，4x 的系数432101010135C C C =-+=. 解法2：原式39(1)(1)x x =--3223344999(1)(19)x x C x C x C x =--+-++因此，4x 的系数499135C =+=. 9、5555559(561)9+=-+5515454555556565619C C =-⋅++⋅-+ 551545455555656568C C =-⋅++⋅+由于551545455555656568C C -⋅++⋅+中各项都能被8整除，因此55559+也能被8整除.第一章复习参考题B 组（P41）1、（1）121121n n n C C -++==，即1(1)212n n +⋅=，解得6n =；（2）1144244224192A A A ⋅⋅=⨯⨯=；说明：先排有特殊要求的，再排其他的. （3）433333⨯⨯⨯=，34444⨯⨯=；说明：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B 中能够找到唯一对应的元素，（4）2426106500000A ⨯=；（5）481258C -=；说明：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数48C 中，排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及如右图中ABC D ''这样的四点共面的其他 6种情况，因此三棱锥的个数为481258C -=（6）1或1-.说明：令1x =，这时(12)n x -的值就是展开式中各项系数的和，其值是1,(12)(1)1n n n n -⎧-=-=⎨⎩是奇数，是偶数2、（1）先从1，3，5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况. 所以能组成的六位奇数个数为114344288A A A ⋅⋅=. （2）解法1：由0，1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有55A 个. 因此，所求的正整数的个数是155555(1)479A A A ⋅-+=. 解法2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的正整数中，大于201345的数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354，个数为1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3，4，5中的一个，个数为1535A A ⋅；根据分类计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351479A A A A A A A A +⋅+⋅+⋅+⋅=. 3、（1）分别从两组平行线中各取两条平行线，便可构成一个平行四边形，所以可以构成的平行四边形个数为221(1)(1)4m n C mn m n ⋅=--；（2）分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体，所以可以构成的平行六面体个数为2221(1)(1)(1)8mn l C C C mnl m n l ⋅⋅=---. 4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法. 根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有144496A A ⋅=（种）；（2）先排不能放在最前和最后的那两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有233336A A ⋅=（种）.5、解法1：由等比数列求和公式得33342(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x+++-+++++++=，上述等式右边分子的两个二项式中含2x 项的系数分别是33n C +，33C ，因此它们的差23333(611)6n n n n CC +++-=，就是所求展开式中含2x 项的系数.解法2：原式中含2x 项的系数分别是23C ，24C ，…，22n C +，因此它们的和就是所求展开式中含2x 项的系数. 与复习参考题B 组第2题同理，可得22223334233(611)6n n n n n C C CCC +++++++=-=修2—3第二章课后习题解答第二章随机变量及其分布 2．1离散型随机变量及其分布列练习（P45）1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. （2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值. 2、可以举的例子很多，这里给出几个例子：例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；例2 某城市一年内下雨的天数；例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数；例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量. 练习（P49）1、设该运动员一次罚球得分为X ，X 是一个离散型随机变量，其分布列为说明：这是一个两点分布的例子，投中看作试验成功，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便.2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X 是一个离散型随机变量，1(0)({})0.254P X P ====反反 2(1)({}{})0.54P X P ====正反反正1(2)({})0.25P X P ====正正因此X 的分布列为说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X 的取值范围为{0，1，2}，对应关系为正正→2 正反→1 反正→1 反反→0在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X 不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X 所有取值看成是全体基本事件，即{0,1,2}Ω=.根据古典概型计算概率的公式有 1(1)({1})3P X P ===. 这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然Ω中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.3、设抽出的5张牌中包含A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为5448552()i iC C P X i C -==，i =0，1，2，3，4. 因此抽出的5张牌中至少3张A 的概率为(3)(3)(4)0.002P X P X P X ≥==+=≈.说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A 的个数X 是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A 看成次品，则X 就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X 服从超几何分布.本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X 服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X 服从超几何分布.说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型.习题2.1 A组（P49）1、（1）能用离散型随机变量表示.设能遇到的红灯个数为X，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.事件{X＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.（2）能用离散型随机变量表示.定义12345X⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，成绩不及格，成绩及格，成绩中，成绩良，成绩优则X是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.事件{X＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X＝5}表示该同学取得的成绩为优.说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可.2、某同学跑1 km所用时间X不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：01km 4min 11km 4min Y >⎧=⎨≤⎩，跑所用的时间，跑所用的时间它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.事件{1}Y =表示该同学跑1 km 所用时间小于等于4 min ，能够取得优秀成绩；事件{0}Y =表示该同学跑1 km 所用时间大于4 min ，不能够取得优秀成绩.说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X 表示出现正面的次数，则不能用随机变量X 表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X ＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X 表示.说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X 表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X 表示随机事件{第i 次取出次品，其他均为合格品}. 4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，即（1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）11ni i p ==∑.5、射击成绩优秀可以用事件{X ≥8}表示，因此射击优秀的概率为P {X ≥8}＝(8)(9)(10)0.280.290.220.79P X P X P X =+=+==++=说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率. 6、用X 表示该班被选中的人数，则X 服从超几何分布，其分布列为104261030()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4. 该班恰有2名同学被选到的概率为2842610304!26!1902!2!8!18!(2)0.31230!60910!20!C C P X C ⨯⨯⨯====≈⨯.说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型. 习题2.1 B 组（P49）1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布，分布列为即（2）该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为112(2)(2)(3)0.667263P X P X P X ≥==+==+==. 说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题.2、用X 表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为7729736()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4，5，6，7. 至少中三等奖的概率为52617072972972977736363697(5)0.00192752C C C C C C P X C C C ≥=++=≈. 说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看出至少中三等奖的概率近似为1／1000. 2．2二项分布及其应用练习（P54）1、设第1次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第1次和第2次都抽到A 的事件为BC .解法1：在第1次抽到A 的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A ，所以在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为3()51P C B =. 解法2：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为()433()()45151n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为43()35251()451()515251P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯.说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A 的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.2、设第1次抽出次品的时间为B ，第2次抽出正品的事件为C ，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC .解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为95()99P C B =. 解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为()59595()()59999n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为595()9510099()599()9910099P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义.练习（P55）1、利用古典概型计算的公式，可以求得()0.5P A =，()0.5P B =，()0.5P C =，()0.25P AB =，()0.25P BC =，()0.25P AC =，可以验证()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =.所以根据事件相互独立的定义，有事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立.说明：本题中事件A 与B 相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断.2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3.（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2.说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B .（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=（2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=（3）其中至少一个地方降雨的事件为()()()AB AB AB ，由于事件AB ，AB 和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为()()()0.060.20.70.80.30.44P AB P AB P AB ++=+⨯+⨯=.说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质.4、因为()()A AB AB =，而事件AB 与事件AB 互斥，利用概率的性质得到()()()P A P AB P AB =+所以()()()P AB P A P AB =-.。