无穷级数复习课.ppt
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高等数学下无穷级数ppt课件
1 1)
p1
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
(n
1 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收
敛.
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
例2. 证明级数
发散 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , ( un vn )
则 必发散 .
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级 的敛散性数. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n
1 (n 1)
1
1 2
n1
乘以常数 c 所得级
数
也收敛 ,其和为 c S .
第十五讲(无穷级数)ppt
2n 1
2n 1 1 1 1 1 1 2 3 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 1 n 1 1 1 2n 1 1 1 2n 1 1 2 n 1 1 n1 n 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2
(3)
3. 函数的幂级数及付式级数展开法 (P395 - P408 ) (1) 函数的幂级数展开法 ( P295 , 1 )
1) 直接展开法 适用于: 在点 利用泰勒公式 的某邻域函数的高阶导数有界,
且在
的高阶导数表达式有规律可寻 ( 时 为麦克 劳林级数 )
～
( ) n 1 Rn ( x) ( x x0 ) (n 1) ! f
将z 在
x a 代入展开式
上的正弦或余弦级数 .
二 . 实例分析
例 1. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
解 : (1) 令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则
( P375 例 1 )
e n1 (n 1) ! n 1 (n 1) un 1 n e n! un nn
故
1 ( n 1, 2 , )
1 lim S 而 ) 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 ) lim ( S 2 n n
n
S
n
n
2n
例 6. 试证明交错级数
高数无穷级数复习(课堂PPT)
n0
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
14
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ; 当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ; 当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
(3) 唯一性
定理 如果函数f (x)在U (x0)内能展开成(xx0)
的幂级数, 即 f (x) an(xx0)n,
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n)(x0)
(n0,1,2,)
且展开式是唯一的.
20
(3) 展开方法
a.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1)求anf(nn)(!x0); (2 )讨 l n iR 论 n m 0 或 f(n )(x ) M , 则级数在收敛区敛 间于 内f(收 x).
(3)
lnn(2) n1 (a1)n
(a0).
n
解
nl im n un
nl im n lann(12)
1lim n lnn(2), an
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
14
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ; 当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ; 当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
(3) 唯一性
定理 如果函数f (x)在U (x0)内能展开成(xx0)
的幂级数, 即 f (x) an(xx0)n,
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n)(x0)
(n0,1,2,)
且展开式是唯一的.
20
(3) 展开方法
a.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1)求anf(nn)(!x0); (2 )讨 l n iR 论 n m 0 或 f(n )(x ) M , 则级数在收敛区敛 间于 内f(收 x).
(3)
lnn(2) n1 (a1)n
(a0).
n
解
nl im n un
nl im n lann(12)
1lim n lnn(2), an
高等数学-无穷级数ppt
傅里叶级数展开及应用
傅里叶级数展开
任何周期为2π的连续函数都可以展开为傅 里叶级数，即正弦函数和余弦函数的无穷 级数。展开式中的系数通过函数的定积分 求得。
VS
应用
傅里叶级数在信号分析、图像处理、热传 导等领域有广泛应用。例如，在信号分析 中，可以将复杂的信号分解为简单的正弦 波或余弦波的组合，从而方便地进行信号 的处理和分析。
函数项级数的连续性、可微性和可积性
80%
连续性
若函数项级数在某区间上一致收 敛，且每一项都连续，则其和函 数在该区间上也连续。
100%
可微性
若函数项级数在某区间上一致收 敛，且每一项都有连续的导数， 则其和函数在该区间上也有连续 的导数。
80%
可积性
若函数项级数在某区间上一致收 敛，则其和函数在该区间上可积 ，且积分与求和可交换顺序。
在数学分析中的应用，如求解微分方程等
幂级数解法
通过无穷级数的幂级数展开式，可以将某些 微分方程转化为代数方程进行求解，从而简 化计算过程。
傅里叶级数
在求解具有周期性的微分方程时，可以利用 傅里叶级数将函数展开为正弦和余弦函数的
无穷级数，进而进行分析和求解。
在物理学中的应用，如量子力学、电磁学等
量子力学中的波函数
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
河北专升本高等数学复习资料课件第八章无穷级数
间.同时规定，当幂级数只在点 a 处收敛，即收敛域只有一点 a 时，收敛半径 R = 0；当幂级
数在整个数轴上都收敛时，收敛半径 R = +∞，此时收敛域为 (−∞, +∞).
根据收敛半径的定义，可以确定幂级数σ∞
=0 ( − ) 的收敛域一定是( − , + ) ，
( − , + ] ，[ − , + ) ，[ − , + ] 中的一个.因此，求幂级数的收敛域只需求出
∞
（3）当 = +∞时，若σ∞
=1 发散，则σ=1 发散.
= ，则
典例精析
典例精析
知识清单
知识点一 正项级数
+1
→∞
定理3(比值判别法) 设 σ∞
=1 是正项级数，且 lim
（1）当 < 1 时，σ∞
=1 收敛；
（2）当 > 1 时，σ∞
=1
其中 > 0 = 1,2, ⋯ .
知识清单
知识点三
交错级数
−1
定理5(莱布尼茨判别法) 若交错级数σ∞
满足条件：
=1(−1)
（1） ≥ +1 = 1,2, ⋯ ；
（2） lim = 0，
→∞
则级数收敛.
−1
注：利用莱布尼茨判别法判断交错级数σ∞
数在整个数轴上都收敛时，收敛半径 R = +∞，此时收敛域为 (−∞, +∞).
根据收敛半径的定义，可以确定幂级数σ∞
=0 ( − ) 的收敛域一定是( − , + ) ，
( − , + ] ，[ − , + ) ，[ − , + ] 中的一个.因此，求幂级数的收敛域只需求出
∞
（3）当 = +∞时，若σ∞
=1 发散，则σ=1 发散.
= ，则
典例精析
典例精析
知识清单
知识点一 正项级数
+1
→∞
定理3(比值判别法) 设 σ∞
=1 是正项级数，且 lim
（1）当 < 1 时，σ∞
=1 收敛；
（2）当 > 1 时，σ∞
=1
其中 > 0 = 1,2, ⋯ .
知识清单
知识点三
交错级数
−1
定理5(莱布尼茨判别法) 若交错级数σ∞
满足条件：
=1(−1)
（1） ≥ +1 = 1,2, ⋯ ；
（2） lim = 0，
→∞
则级数收敛.
−1
注：利用莱布尼茨判别法判断交错级数σ∞
第八章 无穷级数
∑
1 p 级数, 收敛, 所以由比较审敛法知, 收敛. n ( n + 1) n =1 利用比较审敛法, 可以已知级数的敛散性判断所给级数的敛散性,
∑
∞
常用的比较级数有
∑ ∑ aq
n =1
∞
1 , n
∞
n 1
, ( a ≠ 0),
n =1
∑
n =1
∞
1 , ( p > 0). p n
定理3 (第二比较审敛法)设有正项级数
证
因级数
n
∑ u 收敛, 则 lim u
n n= n =1 n →∞
∞
n
=0
∑ u 收敛, 不妨设和为S.
n =1
由定义2知, 部分和数列{Sn }收敛于S ,即 lim Sn = S . n →∞ 由于un = S S n 1 , 故
lim un = lim( S Sn 1 ) = S S = 0. n →∞ n →∞
第一节 数项级数的概念及其基本性质
一,数项级的概念
在中学代数课中, 学习过无穷递缩等比数列的求和公式,并用 于化无限循环小数为分数.如0.3可认为是0.3,0.03,0.003,0.0003, 无穷多项的和,即
0.3 1 0.3=0.3+0.03+0.003+ = = 1 0.1 3
这说明在实际中有时需要计算或研究无穷多数(项)的和.对于这 样的无穷多数(项)和的表达式, 定义如下. 定义1 设u1 , u2 , u3 , , un ,为一给定的数列,则表达式:u1 + u2 +
6.1 无穷级数的概念及性质
§6.1 无穷级数的概念及其性质
教学目的：通过讲授，使学生理解级数、级数收敛的概念，会用级数收敛的定义判断级数的敛散性，并掌握几何级数、p －级数的敛散性和数项级数的基本性质. 教学重点：用级数收敛的定义判断级数的敛散性，几何级数、p －级数的敛散性，数项级数的基本性质.
教学难点：用级数收敛的定义判断级数的敛散性. 课堂安排：
复习：1. 数列的相关概念
2. 数列的前n 项和（等比数列、等差数列）
3. 数列的极限 一 数项级数的概念
1. 定义1 设有数列{}n u ： ,,,,21n u u u ，把它们的各项依次相加，得 ++++n u u u 21 ，
称为常数项无穷级数，简称数项级数（或级数），记为n n u ∞
=∑1，即
=∑∞
=n n u 1
++++n u u u 21 ，
其中 ,,,,21n u u u 称为级数的项，n u 称为一般项（或通项）.
2. 级数的部分和：称级数的前n 项和n n u u u S +++= 21为级数的部分和. 级数的部分和数列：部分和组成的数列{}n S ： ,,,,21n S S S
3. 定义2 若级数n n u ∞
=∑1的部分和数列{}n S 有极限，即
S u u u S n n n n =+++=∞
→∞
→ 21lim lim
则称级数n n u ∞
=∑1
收敛，S 称为级数的和，记为
++++=∑=∞
=n n n u u u u S 211
，
若{}n S 没有极限，则称级数发散.
注：只有收敛的级数才有和，发散级数不存在和.
例1 判别级数 13
127191311-+++++
高等数学级数教学ppt
n1 n1
n 1 n 1
n 1
n1
n1
n 1
n 1
Leabharlann Baidu
n 1
vn .
n1
上页
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返回
二、 级数的基本性质
n 1
1、 设级数 un收敛于S， 则级数 kun收敛， 且和为kS .
n 1
2、 设级数 un、 vn收敛且和为S、，则级数 ( un vn ) 也收敛，且其和为S , 即 ( un vn ) un
n 1
但 1 1 1 1 ( 1)n1
n 1
发散
推论： 设级数加括弧后所得的 级数发散， 则原级数发散. 证：设原级数收敛，
则按照已知条件的方式 加括弧得到一级数， 由性质 4得该级数收敛， 与已知矛盾 . 故原级数发散 . 三、 级数收敛的必要条件
设级数 un收敛， 则 lim un 0.
n 1
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返回
三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件： 设级数 un收敛， 则 lim un 0. n
n 1
说明： 由lim un 0 级数 un收敛 . n
1 1 1 1 例如， 调和级数 1 , n 1 n 2 3 n 1 1 显然 lim un lim 0，但级数 发散. n n n n 1 n 1 事实上， 假设 收敛， 且其和为S， n 1 n
n 1 n 1
n 1
n1
n1
n 1
n 1
Leabharlann Baidu
n 1
vn .
n1
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二、 级数的基本性质
n 1
1、 设级数 un收敛于S， 则级数 kun收敛， 且和为kS .
n 1
2、 设级数 un、 vn收敛且和为S、，则级数 ( un vn ) 也收敛，且其和为S , 即 ( un vn ) un
n 1
但 1 1 1 1 ( 1)n1
n 1
发散
推论： 设级数加括弧后所得的 级数发散， 则原级数发散. 证：设原级数收敛，
则按照已知条件的方式 加括弧得到一级数， 由性质 4得该级数收敛， 与已知矛盾 . 故原级数发散 . 三、 级数收敛的必要条件
设级数 un收敛， 则 lim un 0.
n 1
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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件： 设级数 un收敛， 则 lim un 0. n
n 1
说明： 由lim un 0 级数 un收敛 . n
1 1 1 1 例如， 调和级数 1 , n 1 n 2 3 n 1 1 显然 lim un lim 0，但级数 发散. n n n n 1 n 1 事实上， 假设 收敛， 且其和为S， n 1 n
无穷级数复习
判别法知级数收敛 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 判别法知级数 但
n +1 ∑ ln n n =1
∞
= lim ∑ ( ln( k + 1) − ln k
n →∞ k =1
n
)
= lim ln( n + 1)
n →∞
所以原级数仅条件收敛 所以原级数仅条件收敛 .
(n + 1)! (4) ∑ ( −1) n n +1 n =1
un ( x )
n →∞
3
x 3n
2 n +1
x 1 2 = lim = x , n →∞ 3 3
2
∴ ∴
x < 3 时
n →∞
∑
∞
x 2 n +1 收敛 . n 3
R = 3.
三、幂级数和函数的求法 • 求部分和式极限 • 初等变换法 分解、套用公式 初等变换法: 分解、 （在收敛区间内） • 映射变换法 在收敛区间内）
x = 1− x
( x < 1),
( x < 1).
直接法) *例9 （直接法)求级数 解: 原式 =
的和 .
1 ∞ ( −1)n [ (2n + 1) + 1 ] ∑ ( 2 n + 1)! 2 n =0
1 ∞ ( −1) n ∞ ( −1)n = ∑ +∑ 2 n =0 ( 2 n )! n =0 ( 2 n + 1)!
高等数学(微积分)课件--无穷级数复习题
2
n 0
n
和函数(二、18，19)
n 2 3 x x x 二、 18. 求幂级数 (-1)n -1 x 在(-1,1] 内的和函数S(x). n 2 3 n 1
n x n -1 二、 18.解： (-1) S(x) n n 1 n -1 n -1 n -1 两边关于x求导： (-1) x S' (x), (-x) S' (x) n 1 n 1
, lim e
n
1 ( )2 n
1 0, 发散
1 1 B. ln(1 ), 考虑调和级数 发散 n n (-1)n 1 (-1)n 1 C. [ 2] 2， n n n n 右边的两个级数均收敛 ，故收敛 1 1 D. , 考虑p级数 p ,0 p 1时发散 lnn n
7
一、17
8
一、20
9
10
11
二 1、
1 1 1 : 考虑 ( )的部分和S n (x) b n 1 n 1 b n 1 1 1 1 1 1 1 1 S n (x) ( - ) ( - ) ( ) b1 b 2 b 2 b3 b n b n 1 b1 b n 1 1 1 1 1 1 lim S n (x) lim( ) lim - lim n n b n b n b b1 1 b n 1 1 n 1
n 0
n
和函数(二、18，19)
n 2 3 x x x 二、 18. 求幂级数 (-1)n -1 x 在(-1,1] 内的和函数S(x). n 2 3 n 1
n x n -1 二、 18.解： (-1) S(x) n n 1 n -1 n -1 n -1 两边关于x求导： (-1) x S' (x), (-x) S' (x) n 1 n 1
, lim e
n
1 ( )2 n
1 0, 发散
1 1 B. ln(1 ), 考虑调和级数 发散 n n (-1)n 1 (-1)n 1 C. [ 2] 2， n n n n 右边的两个级数均收敛 ，故收敛 1 1 D. , 考虑p级数 p ,0 p 1时发散 lnn n
7
一、17
8
一、20
9
10
11
二 1、
1 1 1 : 考虑 ( )的部分和S n (x) b n 1 n 1 b n 1 1 1 1 1 1 1 1 S n (x) ( - ) ( - ) ( ) b1 b 2 b 2 b3 b n b n 1 b1 b n 1 1 1 1 1 1 lim S n (x) lim( ) lim - lim n n b n b n b b1 1 b n 1 1 n 1
微积分复习课件 无穷级数(1)
1
) 的敛散性.
n1
nn n
2．求函数项级数
n1
(1) n1 (n2 2n 3) x
的收敛域.
5
3．求级数 (1)n n2 n 1 的和.
n1
2n
4．将 f (x) 1 展开成 x3 的幂级数. x(x 1)
高等数学练习题（第十一章）解答与提示 基础部分
一、选择题 1．D 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．C 12．A 二、填空题
收敛,
则级数
(1) n
n1
n1
an _______. n2
4
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性与 有关
9．设级数 un 收敛, 则必收敛的级数为_______. n1
(A)
(1)n un
n1
n
(B)
u
2 n
n1
(C)
(u2n1 u2n ) (D)
n1
1
(A) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件
(B) 必要非充分条件 (D) 即非充分又非必要条件
6．设 a 为常数, 则级数 (1)n (1 cos ) ___________.
n1
n
(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与的值有关
7．幂级数 3n x 2n 的收敛半径 R=_________. n1
无穷级数PPT课件
1 1 3
1 35
(2n
1 1) (2n
1)
的收敛性.
解
un
1 (2n 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
,
Sn
1 1 3
1 35
1 (2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 (n ) , 2 2n 1 2
n1
un S
n1
如果数列{Sn } 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
5
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如 果q 1，
Sn
a
aq
aq2
aqn1
a aqn 1q
，
当q 1时, lim qn 0 n
un
收敛，则级数 kun
收敛,其
n1
和为ks ；
(2)
若级数
n1
un
发散，则级数
kun
发散.
例如:1.级数 1 发散 n2 2n
n1
6. 2.级数
n1
2n 3n1
n1
2
2 3
高等数学无穷级数 PPT
根值审敛法也一定失效、
改用比较审敛法
1
或lim n2
1
(2n 1) 1/ 4
n (2n 1)2n
2n
1 n2
,
收敛.
要判别一个正项级数就是否收敛,通常按下列步骤进行:
(1)用级数收敛得必要条件
如果
lim
n
u
n
0
,则级数发散,否则需进一步判断、
(2)用比值判别法
如果 lim un1 1,即比值判别法失效,则改用比较判别法、
k 1
1 1 1 1
23
n
n1
k k 1
它显然大于曲边梯形得面积S,即有
n
A Ak
k 1
n 1
1
1 x
dx
ln
x
|1 n
1
lnn
1
而 limln1 n n 发散、
,表明A得极限不存在,所以该级数
二、正项级数及其敛散性
如果 un ≥0(n=1,2,3…),则称级数
为正un项级数 n 1
高等数学无穷级数
第一节 常数项级数及其敛散性
一、常数项级数及其敛散性
1、常数项级数得概念
定义1 设给定一个数列 u1,u2,u3,,un ,, 则表达式
u1 u2 u3 un
(11、1)
称为常数项无穷级数,简称数项级数,记作 即 un
无穷级数 知识点总复习
无穷级数 知识点总复习
本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和． §7.1 数项级数
本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛．
● 常考知识点精讲
一、数项级数的概念
1．数项级数定义
定义：设{}n u 是一个数列，则称表达式
121
n
n n u
u u u ∞
==++++
∑
为一个数项级数，简称级数，其中第n 项n u 称为级数的通项或一般项，1
n
n k
k S u
==∑称为级
数的前n 项部分和． 2．级数收敛的定义 定义：若数项级数
1n
n u
∞
=∑的部分和数列{}n S 有极限，则称级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，极限值lim n n S →∞
称
为此级数的和．当lim n n S →∞
不存在时，则称级数
1
n
n u
∞
=∑发散．
利用级数收敛的定义，易知当1q <时，几何级数1
n n q ∞
=∑收敛，和为
1
1q
-；当1q ≥，几何级数发散．
[例1.1] 判断下列级数的敛散性
⑴11
(1)n n n ∞
=+∑ ⑵1
(1)n n n ∞
=+-∑
解：⑴由于 11
1
1223(1)
n S n n =
+++
⋅⋅+
111111(1)()()12
23
11
n n n =-+-+
+-=-++ 所以 1lim lim(1)11n n n S n →∞→∞=-=+，故级数11(1)
n n n ∞
=+∑收敛．
⑵ 由于(21)(32)(1)11n S n n n =-+-+
++-=+-
所以lim n n S →∞
=+∞，故级数
1
(
1)n n n ∞
s无穷级数
8.1数项级数的概念与基本性质
教学目的
理解级数的概念和基本性质
教学重点
级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数
教学难点
有穷项相加与无穷项相加的差异
教学过程
1.导入
以前我 们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课
2.1常数项级数的概念
定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞
==
++++1
21n n
n a
a a a （8.1.1）
的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数
∑∞
=1
n n
a
的通项（或一般项）．
如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数.
例如， 等差数列各项的和
+-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数．
等比数列各项的和
+++++-1
12
111n q a q a q a a
称为等比级数，也称为几何级数．
级数
1
1n n ∞
=∑ =111123n +++++ 称为调和级数．
级数（8.1.1）的前n 项和为：
121
n
n k k k S a a a a ===+++∑ ，
称n S 为级数
∑∞
=1
n n
a
的前n 项部分和，简称部分和．
2.2常数项级数收敛与发散
定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞
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n
un
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散
注: 类似于等比级数的公比, 称其为渐近公比.
• p-级数的渐近公比等于1.
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内容提要
❖莱布尼茨定理
如果交错级数 (1)n1un 满足条件 n1
(1)unun1(n1 2 3 )
(2)
lim
n
un
0
则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1
当|x|<R时 幂级数绝对收敛 当|x|>R时 幂级数发散 当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散
• 正数R通常叫做幂级数∑anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级数∑anxn的收敛区间 注 若幂级数只在x0收敛则规定收敛半径R0 若幂级数在(, )内收敛则规定收敛半径R
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内容提要
❖比较审敛法
设 un 和 vn 都是正项级数 且 unkvn(k0 nN)
n1
n1
若 vn 收敛 则 un 收敛 若 un 发散 则 vn 发散
n1
n1
n1
n1
❖比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数.
n1
n1
(1)如果 lim un
n vn
1,
则 un
内容提要
❖幂级数的和函数的性质
• 幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续 • 逐项积分公式
x
0
s(x)dx
x
0
( an
n0
xn)dx
x
n0 0
an
xndx
n0nan1
xn1
(xI
)
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
• 幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导.
提示:
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
~
4n2 n 10
1
1 n2
~
2 n2
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知识点
例2
判别级数
ln n
n2 n12 p
( p 0)的收敛性.
解
因为
lim
n
ln n n12 p
1 n1 p
0,
而级数
n2
1 n1
p
收敛,
所以级数
ln n
n2 n12 p
(p
0)也收敛.
n 1
(1 x)m 1mxLm(m m1()mx21) (mn1) xn (1 x1)
2!
n!
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典型例题
例1 判别级数
n1
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
的收敛性.
解 因为 lim
n
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
2 n2
1,
而级数
n1
2 n2
收敛, 所以原级数也收敛.
当a1时,
lim
n
un
lim(1
n
1)n n
e,
所给级数发散
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知识点
例6 判别级数 (1)n1 的收敛性.
n1 n ln n
解
un
1, n ln n
Q
un
1, n
而级数 1 发散, 所以所给级数非绝对收敛.
n1 n
Q
lim
n
un
0,
且
un
单调减少,
因此所给级数条件收敛.
无穷级数复习课
一、内容提要 二、典型例题
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铃
内容提要
❖收敛级数的基本性质
性性质质11
如果 un s
则 kun ks
n1
n1
性性质质22
如果 un s
、 vn
则 (un vn)s
n1
n1
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的
收敛性
❖级数收敛的必要条件
性质 5
n1
与 vn 的敛散性相同.
n1
(2)如果 lim un
n vn
0,
则
vn
n1
为
un 的强级数.
n1
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内容提要
❖比值审敛法
设 un 为正项级数 n1
如果 lim un1
n un
则当 1时级数
收敛 当1(或)时级数发散
❖根值审敛法
设 un 为正项级数 n1
如果
lim n
• 逐项求导公式
s(x) (anxn) (anxn) nanxn1 (|x|R)
n0
n0
n1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
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内容提要
❖几个函数的展开式
1 1 x x2 xn (1 x1) 1 x
ex 1 x x2 L xn L ( x ),
2!
n!
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 ( x)
3! 5!
(2n 1)!
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n ( x)
2! 4!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n xn1 (1 x1)
234
提示: (x ln x) 1 1 0, (x 1) x
n ln n 单调增加
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知识点
例6 求幂级数 (x 1)n 的收敛域.
n2 ln n
解 R lim | un | lim ln(n 1) 1
u n n1
n ln n
当 x11 时, 得级数
1,
n2 ln n
lim
n
ln n np
0, (
p
0)
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知识点
例3
讨论级数
n1
an n! nn
(a
0)
的收敛性.
解
lim
n
un1 un
lim
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an1 (n
(n 1)! 1)n1
nn an n!
a
lim
n
(n
nn 1)n
a
lim
n
(1
1 1
)n
a e
n
当ae时, 1, 所给级数收敛
当ae时, 1, 所给级数发散
Q
un
1, n
而级数 1 发散, 所以所得级数发散.
如果
un
n1
收敛则
lim
n0
un
0
• 如果一般项不趋于零, 则级数必发散.
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内容提要
❖等比级数的收敛性
等比级数 aqn 当 |q|<1 时收敛, 当 |q|≥1 时发散.
n0
❖p级数的收敛性
p级数
n1
1 np
当
p1
时收敛
当 p1 时发散
❖正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界
❖绝对收敛与条件收敛
若级数 |un | 收敛 则称级数 un 绝对收敛 若级数 un
n1
n1
n1
收敛, 而级数 |un | 发散 则称级数 un 条件收敛
n1
n1
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内容提要
❖幂级数的收敛半径与收敛区间
• 如果幂级数∑anxn不是仅在点x0一点收敛也不是在整个 数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R存在使得
当ae时,
un1 e 1, un (1 1 )n
lim
n
un
0
n
所给级数发散
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(1 1 )n n
结束
知识点
例5 讨论级数 (a 1 )n (a 0) 的收敛性.
n1
n
解
lim
n
n
un
lim(a 1) a
n
n
当a1时, 1, 所给级数收敛
当a1时, 1, 所给级数发散
un
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散
注: 类似于等比级数的公比, 称其为渐近公比.
• p-级数的渐近公比等于1.
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内容提要
❖莱布尼茨定理
如果交错级数 (1)n1un 满足条件 n1
(1)unun1(n1 2 3 )
(2)
lim
n
un
0
则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1
当|x|<R时 幂级数绝对收敛 当|x|>R时 幂级数发散 当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散
• 正数R通常叫做幂级数∑anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级数∑anxn的收敛区间 注 若幂级数只在x0收敛则规定收敛半径R0 若幂级数在(, )内收敛则规定收敛半径R
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内容提要
❖比较审敛法
设 un 和 vn 都是正项级数 且 unkvn(k0 nN)
n1
n1
若 vn 收敛 则 un 收敛 若 un 发散 则 vn 发散
n1
n1
n1
n1
❖比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数.
n1
n1
(1)如果 lim un
n vn
1,
则 un
内容提要
❖幂级数的和函数的性质
• 幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续 • 逐项积分公式
x
0
s(x)dx
x
0
( an
n0
xn)dx
x
n0 0
an
xndx
n0nan1
xn1
(xI
)
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
• 幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导.
提示:
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
~
4n2 n 10
1
1 n2
~
2 n2
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例2
判别级数
ln n
n2 n12 p
( p 0)的收敛性.
解
因为
lim
n
ln n n12 p
1 n1 p
0,
而级数
n2
1 n1
p
收敛,
所以级数
ln n
n2 n12 p
(p
0)也收敛.
n 1
(1 x)m 1mxLm(m m1()mx21) (mn1) xn (1 x1)
2!
n!
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典型例题
例1 判别级数
n1
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
的收敛性.
解 因为 lim
n
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
2 n2
1,
而级数
n1
2 n2
收敛, 所以原级数也收敛.
当a1时,
lim
n
un
lim(1
n
1)n n
e,
所给级数发散
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例6 判别级数 (1)n1 的收敛性.
n1 n ln n
解
un
1, n ln n
Q
un
1, n
而级数 1 发散, 所以所给级数非绝对收敛.
n1 n
Q
lim
n
un
0,
且
un
单调减少,
因此所给级数条件收敛.
无穷级数复习课
一、内容提要 二、典型例题
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内容提要
❖收敛级数的基本性质
性性质质11
如果 un s
则 kun ks
n1
n1
性性质质22
如果 un s
、 vn
则 (un vn)s
n1
n1
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的
收敛性
❖级数收敛的必要条件
性质 5
n1
与 vn 的敛散性相同.
n1
(2)如果 lim un
n vn
0,
则
vn
n1
为
un 的强级数.
n1
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内容提要
❖比值审敛法
设 un 为正项级数 n1
如果 lim un1
n un
则当 1时级数
收敛 当1(或)时级数发散
❖根值审敛法
设 un 为正项级数 n1
如果
lim n
• 逐项求导公式
s(x) (anxn) (anxn) nanxn1 (|x|R)
n0
n0
n1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
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内容提要
❖几个函数的展开式
1 1 x x2 xn (1 x1) 1 x
ex 1 x x2 L xn L ( x ),
2!
n!
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 ( x)
3! 5!
(2n 1)!
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n ( x)
2! 4!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n xn1 (1 x1)
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提示: (x ln x) 1 1 0, (x 1) x
n ln n 单调增加
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例6 求幂级数 (x 1)n 的收敛域.
n2 ln n
解 R lim | un | lim ln(n 1) 1
u n n1
n ln n
当 x11 时, 得级数
1,
n2 ln n
lim
n
ln n np
0, (
p
0)
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例3
讨论级数
n1
an n! nn
(a
0)
的收敛性.
解
lim
n
un1 un
lim
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an1 (n
(n 1)! 1)n1
nn an n!
a
lim
n
(n
nn 1)n
a
lim
n
(1
1 1
)n
a e
n
当ae时, 1, 所给级数收敛
当ae时, 1, 所给级数发散
Q
un
1, n
而级数 1 发散, 所以所得级数发散.
如果
un
n1
收敛则
lim
n0
un
0
• 如果一般项不趋于零, 则级数必发散.
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❖等比级数的收敛性
等比级数 aqn 当 |q|<1 时收敛, 当 |q|≥1 时发散.
n0
❖p级数的收敛性
p级数
n1
1 np
当
p1
时收敛
当 p1 时发散
❖正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界
❖绝对收敛与条件收敛
若级数 |un | 收敛 则称级数 un 绝对收敛 若级数 un
n1
n1
n1
收敛, 而级数 |un | 发散 则称级数 un 条件收敛
n1
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内容提要
❖幂级数的收敛半径与收敛区间
• 如果幂级数∑anxn不是仅在点x0一点收敛也不是在整个 数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R存在使得
当ae时,
un1 e 1, un (1 1 )n
lim
n
un
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例5 讨论级数 (a 1 )n (a 0) 的收敛性.
n1
n
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lim
n
n
un
lim(a 1) a
n
n
当a1时, 1, 所给级数收敛
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