无穷级数复习课.ppt
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高等数学第七章无穷级数.ppt
推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论 级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：
例如：
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节 正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理 二、比较审敛法 三、比值审敛法 四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点：部分和序列 单调递增。
当
第十一章 无穷级数课件
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 1 2 2s 由自由落体运动方程 s g t 知 t 2 g 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S
n 1
un ,
n 1
vn
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1
证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
n 1
但若二级数都发散 ,
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 1 2 2s 由自由落体运动方程 s g t 知 t 2 g 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S
n 1
un ,
n 1
vn
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1
证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
n 1
但若二级数都发散 ,
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
第十五讲(无穷级数)ppt
将z 在
x a 代入展开式
上的正弦或余弦级数 .
二 . 实例分析
例 1. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:Biblioteka 解 : (1) 令则
( P375 例 1 )
e n1 (n 1) ! n 1 (n 1) un 1 n e n! un nn
故
1 ( n 1, 2 , )
21?2???nnnn??n??n222112nnp393例6n??xn?n???021?xsnn??xnn??21??2x2???n?nxx??22???n?nxx??122?n?xx2212xx?1?221?1?02???????snnnn的收敛域为2设1?122???n??xnxxsn??????2112nnnxx??n????21121nnxx0?x????12nnnxx??n??321nnxx??n???1212nnxxx2212xxx??21?122???n??xnxxsn??n????1212nnxxxxs???1n?nnx???10n?2?1xnxdx??xdxx??0nn????11??01?xxxd1lnx??1421ln21???????xxxxxxs故????22211nnn例17
上展成付氏级数
ba 将z x 代入展开式 2
在 上的付氏级数 .
方法 2.
令x
z a , 即 z xa
F ( z ) f ( x ) f ( z a ) , z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
2) 利用拆项相消法 ( 也叫裂项法 ) 求和 .
n
例如
•
1 k 1 ( 2k 1)( 2k 1) 1 1 1 n 1 1 ] [ ] [1 2 2n 1 2 k 1 2k 1 2k 1
x a 代入展开式
上的正弦或余弦级数 .
二 . 实例分析
例 1. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:Biblioteka 解 : (1) 令则
( P375 例 1 )
e n1 (n 1) ! n 1 (n 1) un 1 n e n! un nn
故
1 ( n 1, 2 , )
21?2???nnnn??n??n222112nnp393例6n??xn?n???021?xsnn??xnn??21??2x2???n?nxx??22???n?nxx??122?n?xx2212xx?1?221?1?02???????snnnn的收敛域为2设1?122???n??xnxxsn??????2112nnnxx??n????21121nnxx0?x????12nnnxx??n??321nnxx??n???1212nnxxx2212xxx??21?122???n??xnxxsn??n????1212nnxxxxs???1n?nnx???10n?2?1xnxdx??xdxx??0nn????11??01?xxxd1lnx??1421ln21???????xxxxxxs故????22211nnn例17
上展成付氏级数
ba 将z x 代入展开式 2
在 上的付氏级数 .
方法 2.
令x
z a , 即 z xa
F ( z ) f ( x ) f ( z a ) , z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
2) 利用拆项相消法 ( 也叫裂项法 ) 求和 .
n
例如
•
1 k 1 ( 2k 1)( 2k 1) 1 1 1 n 1 1 ] [ ] [1 2 2n 1 2 k 1 2k 1 2k 1
高数无穷级数复习(课堂PPT)
2 !
n !
x(1,1)
23
二、例题 n1
例1
判
断
级:数 (1)敛
散 n n
性 ;
解
1
1
nn nn
nn
un (n 1 )n
(1
1
, )n
n1(n1)n n
n
n2
ln i (1 m n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
又 lim nn 1 n
ln im un10,
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x( , )
co x s 11x 21x 4 ( 1 )n x 2n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
22
ln1(x)x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
23
n
x(1,1]
(1x )
1 x ( 1 )x 2 ( 1 ) (n 1 )x n
任意项级数
1. 若SnS,则级数;收敛 2. 当 n,un0,则级数 ; 发散 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
4
2、幂级数
(1) 收敛性
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
a.代数运算性质:
设anxn和bnxn的收敛半 R1和 R 径 2, 各
n0
n0
R m R 1 ,iR 2 n
加减法
anxn bnxn cn xn .
n0
n0
n0
x R ,R
高数课件28无穷级数
任意项级数审敛法总结
绝对收敛判别法
对于任意项级数，首先尝试判断其是否绝对收敛。若绝对收敛，则原级数一定收敛。
交错级数审敛法
对于交错级数，可以利用交错级数审敛法进行判断。若满足条件，则交错级数收敛。
其他审敛法
除了绝对收敛和交错级数审敛法外，还有其他一些审敛法可用于判断任意项级数的敛散性 ，如比较审敛法、比值审敛法等。在实际应用中，可以根据级数的具体形式选择合适的审 敛法进行判断。
泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
原理介绍
泰勒级数的基本思想是将复杂的函数用多项式来逼近，通过逐次求导并代入展开点的值，得到各阶导 数在该点的值，进而构造出相应的多项式。
常见函数泰勒展开式举例
要点一
常见函数泰勒展开式
如$e^x$、$sin x$、$cos x$、$ln(1+x)$等函数的泰勒展 开式。
电力系统
在电力系统中，傅里叶级数被用于 分析周期性电气信号的谐波成分， 为电力系统的稳定运行提供支持。
傅里叶变换与离散时间信号处理关系
傅里叶变换与傅里叶级数关系
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，可以将非周期函数表 示为连续频谱的形式。
离散时间信号处理中的傅里叶变 换
在离散时间信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于频域分 析和滤波器设计等方面，为数字信号处理提供了重要工具。 同时，离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）也在 实际应用中发挥着重要作用。
判断原级数的收敛性。
适用范围
02
适用于通项可以表示为某个函数的级数，且该函数在相应区间
内单调、可积。
应用举例
03
如对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$的$p$级数，可
无穷级数PPT课件
234
n1
| un | 1 , 所以 un 0 , 级数发散；
2. 级数的一般项趋于零,不能保证级数一定收敛。
如 ln(1 1 ) : ln(1 1 ) 0 (n ) , 但级数发散。
n1
n
n
11
例4 判别级数 un的敛散性，其中 n1
1 un
1 n2 1
1 n2 2
1； n2 n
3
1. 级数的定义
数列 u1，u2，u3，，un，
一般项
无穷级数 u1 u2 u3 un
无 穷 项 求 和 叫 做 （ 常 数项 ） 无 穷 级 数 ，
简称（常数项）级数，记为 un .
一般项 部分和
n1
无穷级数表达式中的第n项un . n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
例如，若级数 un 收敛， 则级数
n1
(u2n1 u2n ) 、 (u3n2 u3n1 u3n ) 均收敛，
n1
n1
且和不变.
18
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后所 成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
n1 n1
n1
14
注:
(1) 不能由 (un vn) 收敛推出 un 、 vn 收敛；
n1
n1
n1
(2) 若 un 收敛,而 vn 发散,则 (un vn) 必发散.
n1
n1
n1
证 假设 (un vn) 收敛,由 vn (un vn ) un ,
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Q
un
1, n
而级数 1 发散, 所以所得级数发散.
n 1
(1 x)m 1mxLm(m m1()mx21) (mn1) xn (1 x1)
2!
n!
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典型例题
例1 判别级数
n1
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
的收敛性.
解 因为 lim
n
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
2 n2
1,
而级数
n1
2 n2
收敛, 所以原级数也收敛.
当ae时,
un1 e 1, un (1 1 )n
lim
n
un
0
n
所给级数发散
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(1 1 )n n
结束
知识点
例5 讨论级数 (a 1 )n (a 0) 的收敛性.
n1
n
解
lim
n
n
un
lim(a 1) a
n
n
当a1时, 1, 所给级数收敛
当a1时, 1, 所给级数发散
lim
n
ln n np
0, (
p
0)
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知识点
例3
讨论级数
n1
an n! nn
(a
0)
的收敛性.
解
lim
n
un1 un
lim
n
an1 (n
(n 1)! 1)n1
nn an n!
a
lim
n
(n
nn 1)n
a
lim
n
(1, 所给级数收敛
当ae时, 1, 所给级数发散
n1
与 vn 的敛散性相同.
n1
(2)如果 lim un
n vn
0,
则
vn
n1
为
un 的强级数.
n1
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结束
内容提要
❖比值审敛法
设 un 为正项级数 n1
如果 lim un1
n un
则当 1时级数
收敛 当1(或)时级数发散
❖根值审敛法
设 un 为正项级数 n1
如果
lim n
n
un
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散
注: 类似于等比级数的公比, 称其为渐近公比.
• p-级数的渐近公比等于1.
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内容提要
❖莱布尼茨定理
如果交错级数 (1)n1un 满足条件 n1
(1)unun1(n1 2 3 )
(2)
lim
n
un
0
则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1
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内容提要
❖比较审敛法
设 un 和 vn 都是正项级数 且 unkvn(k0 nN)
n1
n1
若 vn 收敛 则 un 收敛 若 un 发散 则 vn 发散
n1
n1
n1
n1
❖比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数.
n1
n1
(1)如果 lim un
n vn
1,
则 un
• 逐项求导公式
s(x) (anxn) (anxn) nanxn1 (|x|R)
n0
n0
n1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
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结束
内容提要
❖几个函数的展开式
1 1 x x2 xn (1 x1) 1 x
ex 1 x x2 L xn L ( x ),
内容提要
❖幂级数的和函数的性质
• 幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续 • 逐项积分公式
x
0
s(x)dx
x
0
( an
n0
xn)dx
x
n0 0
an
xndx
n0nan1
xn1
(xI
)
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
• 幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导.
当a1时,
lim
n
un
lim(1
n
1)n n
e,
所给级数发散
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知识点
例6 判别级数 (1)n1 的收敛性.
n1 n ln n
解
un
1, n ln n
Q
un
1, n
而级数 1 发散, 所以所给级数非绝对收敛.
n1 n
Q
lim
n
un
0,
且
un
单调减少,
因此所给级数条件收敛.
无穷级数复习课
一、内容提要 二、典型例题
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铃
内容提要
❖收敛级数的基本性质
性性质质11
如果 un s
则 kun ks
n1
n1
性性质质22
如果 un s
、 vn
则 (un vn)s
n1
n1
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的
收敛性
❖级数收敛的必要条件
性质 5
当|x|<R时 幂级数绝对收敛 当|x|>R时 幂级数发散 当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散
• 正数R通常叫做幂级数∑anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级数∑anxn的收敛区间 注 若幂级数只在x0收敛则规定收敛半径R0 若幂级数在(, )内收敛则规定收敛半径R
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提示:
4n2 1 n 10
ln(1
1 n2
)
~
4n2 n 10
1
1 n2
~
2 n2
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知识点
例2
判别级数
ln n
n2 n12 p
( p 0)的收敛性.
解
因为
lim
n
ln n n12 p
1 n1 p
0,
而级数
n2
1 n1
p
收敛,
所以级数
ln n
n2 n12 p
(p
0)也收敛.
提示: (x ln x) 1 1 0, (x 1) x
n ln n 单调增加
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知识点
例6 求幂级数 (x 1)n 的收敛域.
n2 ln n
解 R lim | un | lim ln(n 1) 1
u n n1
n ln n
当 x11 时, 得级数
1,
n2 ln n
❖绝对收敛与条件收敛
若级数 |un | 收敛 则称级数 un 绝对收敛 若级数 un
n1
n1
n1
收敛, 而级数 |un | 发散 则称级数 un 条件收敛
n1
n1
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内容提要
❖幂级数的收敛半径与收敛区间
• 如果幂级数∑anxn不是仅在点x0一点收敛也不是在整个 数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R存在使得
2!
n!
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 ( x)
3! 5!
(2n 1)!
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n ( x)
2! 4!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n xn1 (1 x1)
234
如果
un
n1
收敛则
lim
n0
un
0
• 如果一般项不趋于零, 则级数必发散.
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内容提要
❖等比级数的收敛性
等比级数 aqn 当 |q|<1 时收敛, 当 |q|≥1 时发散.
n0
❖p级数的收敛性
p级数
n1
1 np
当
p1
时收敛
当 p1 时发散
❖正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界