2012北京海淀高三一模数学文(word版+答案+免费免点数)

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数学2012年高三一模试题及答案整理(朝阳、海淀、丰台)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i - 2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A ．且，则 B ．且，则C ．且，则D ．且，则6. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212xy -= B ．22123xy-= C.2214xy -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 102,1==a b n 5a =m n αββα//,//n m βα//n m //βα⊥⊥n m ,βα⊥m //n βα//,n m ⊥βα//n m ⊥βα⊥n m ,//βα⊥n m //8. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.()n ∈Z B.n ()n ∈Z C. 2n 或124n -()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为；函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，2AB =，=1EF ，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得C ∠ 若存在，请求出C P D ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++ ．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ；（Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n个．设1m m mnS a a a +=+++ ，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2012.3二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分16、（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分17、（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取A D 的中点N ，连接,M N N F .在D AB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN//AB,MN 12=A B . ……………2分又因为EF//AB,EF 12=A B ，所以M N //EF 且M N =EF .所以四边形M N FE 为平行四边形，所以E M //F N . ………………4分又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故E M //平面ADF . ……………………6分（Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得C P D ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB C D ⊥.又因为C D B D ⊥，所以C D ⊥平面EBD . ………………………8分在R t C PD ∆中，tan =C D C P D D P∠.因为C D 为定值，且C P D ∠为锐角，则要使C P D ∠最大，只要D P 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，D P 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得C P D ∠最大. …………11分易得tan C D C P D =D B∠=23.所以C P D ∠的正切值为23.……………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，15NCA F EB MD（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤，即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a=--，作差可知11aa -->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1)a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11)aa-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1,)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x的单调增区间为(11aa-+--. (14)分19、（本小题满分14分）解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a = …………3分则椭圆的方程为2213xy +=. …………4分(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k kx x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T-，变换1T-将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T-和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T-（一直不能再作1T-变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T-）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分北京海淀区2012年高三一模文科数学试题2012.04．05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}-2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）803、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4 4、过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）07、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-b A'B'C'D'A BCD8、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9、复数2i 1i-在复平面内所对应的点的坐标为 .10、若tan 2α=，则sin 2α= .11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是 .13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P大于1（其中'E Q Q P E PQ=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =；下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断ABC ∆的形状.俯视图16、（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.17、（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点．（Ⅰ）证明：BD //平面EM F ；（Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当E F A B ⊥时，求线段AC 1 的长．18、（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求D E AP的取值范围.20、（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î；（ⅱ）求()()C ard X A C ard X B ∆+∆的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、4511、22(4)(4)25x y -+-=12、3，2； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- (2)分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷ )6x π=-.…………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ，得：222,33k x k k ππππ-<<+Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………6分（Ⅱ）因为()2f A =，所以)62A π-=.所以1s i n ()62A π-=. ………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以3A π=. ……………………………………9分因为sin sin a bAB =，a =，所以 1sin 2B =. ………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分 16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分17、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ……………2分又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ．……………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点, 则AC BD ⊥．………………………5分所以在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 B D ⊥平面1AO C ． ………7分又1AC ⊂平面1AO C ，所以 B D ⊥O M FEABC 1D1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ，所以 A B D ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分因为 E 为A B 中点，所以 D E A B ⊥．又 EF AB ⊥，EF D E E = ．所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D EC ．………12分又 1C E ⊂平面1D EC ，所以 A B ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB=，所以114AC BC ==． …………………14分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x af x x xx-+=-= (2)分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0-∞ .………………………13 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又2c a =，所以 c =.所以 222431b ac =-=-=. 所以椭圆C 的方程为2214xy +=. ……………3分（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2D E =.所以 ||1||2D E AP =. ………………………………………5分当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41kx k +=+所以 20282.41k x k =+- (8)分所以||AP ==即||41A P k =+.类似可求||D E =. 所以2||||41D E AP k ==+………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||D E t t t A P tt-+-==>令2415()(2)t g t t t-=>，则22415'()0t g t t+=>.所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22D E t A P t-⨯-=>=.综上，||||D E A P 的取值范围是1[,)2+ . (13)分20、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分（Ⅱ）设当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()C ard Y A C ard Y B ∆+∆()1()1C ard W A C ard W B =∆-+∆-()()C ard W A C ard W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()C a r d X AC a r d X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()C ard Z A C ard Z B ∆+∆()1()1C ard X A C ard X B =∆-+∆-()()C ard X A C ard X B <∆+∆.所以集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()C ard X A C ard X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分2012年北京丰台区高考模试题（数学文）-B 版第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（题1）1．设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞ ．（题2）2．下面四个点中，在平面区域4y x y x<+⎧⎨>-⎩内的点是（）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)- 【解析】 B ；直接将坐标代入即得．（题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（）A ．10B ．12C ．15D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（题4） 4．若0mn<<，则下列结论正确的是（）A ．22mn>B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22log log mn> D ．1122log log m n >【解析】 D ；由指数函数与对数函数的单调性知D 正确．（题5）5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】 B ；1215x x ==，222222221211(6116)(7227)66s s =+++<=+++．甲乙012965541835572（题6）6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（） A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（题7）7．已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（） A ．2- B ．8116- C ．1 D ．0【解析】 A ；12(1,0),(2,0)A F -，设(,P x yx≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y⋅=--⋅-=--+，又2213yx -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=---⎪⎝⎭ ，当1x =时，取到最小值2-．（题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．当||2||CD AB =时，线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ．,M N 两点可能重合，但此时直线A C 与l 不可能相交D ．当AB 与C D 相交，直线A C 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交【解析】 C ；若,M N 两点重合，由,AM M B CM M D ==知AC BD ∥，从而A C ∥平面β，故有A C l ∥，故C 正确．第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（题9）9．i 是虚数单位，1i 1i+=+ ．【解析】 11i22+；11i 1i i i 1i22-++=+=+．（题10） 10．在边长为1的正方形A B C D 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为．【解析】 π4；当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144⋅=．（题11）11．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -=．【解析】；222(2)44cos 6013a b aa b b-=-⋅︒+= ．（题12） 12．已知2,0()12lg ,0x x x f x x x ⎧-=⎨+>⎩≤，若()2f x =，则x=．【解析】 1-当0x ≤时，由22x x -=得，1x =-（正值舍）；当0x >时，12lg 2x +=，解得x =（题13）13．在A B C ∆中，C 为钝角，32A B B C=，1sin 3A =，则角C=，sin B=．【解析】 150°6由正弦定理知sin 31sin sin 22AB C C BCA==⇒=，又C 为钝角，故150C=︒；11sin sin()sin cos cos sin 32326B A C A C A C ⎛=+=+=⨯-+= ⎝⎭．（题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．现给出下列命题： ①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）【解析】 ②③；①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（题15） 15．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； ⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =．⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =．（题16） 16．（本小题满分12分）已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值； ⑵求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===，因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以sin 10α=，所以sin 2cos sin cos 210αααα-=．（题17）17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱P C 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；⑶在A C B ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．【解析】 ⑴因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以B C ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在P A C ∆中，4PA AC ==，D 为P C 中点，所以AD PC⊥，所以AD ⊥平面PBC ， ⑵由三视图可得4B C =，由⑴知90AD C ∠=︒，B C ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B AD C -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．⑶取AB 的中点O ，连接C O 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．因为O 为C Q 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，O D ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ，连接A Q ，BQ ，四边形AC BQ 的对角线互相平分，所以AC BQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ，所以在直角PAD ∆中，PQ ==（题18） 18．（本小题满分14分）椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，且过(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若O A B ∆直角三角形，求m 的值．【解析】 ⑴已知2412c a a==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214xy +=．侧（左）视图正（主）视图PDCBAOQABC DP⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <<设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当A O B ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为A O B ∠为直角，所以0O A O B⋅=，即12120x x y y +=，所以212122()0x x m x x m +++=，所以222888055m m m --+=，解得m =±；ii ）当O A B ∠或O B A ∠为直角时，不妨设O A B ∠为直角，由直线l 的斜率为1，可得直线O A 的斜率为1-，所以111y x =-，即11y x =-，又2214xy +=，所以211514x x =⇒=±1112m y x x =-=-=±，依题意m <<0m≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为±±（题19） 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2nn nb na n a a a -=+-+++ ，n *∈N ，已知1b m=，232m b =，其中0m ≠．⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m=时，求nb ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m的取值范围．【解析】 ⑴由已知11b a =，所以1a m=；2122b a a =+，所以12322a a m+=，解得22m a =-；所以数列{}n a 的公比12q =-；⑵当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n nb na n a a a -=+-+++ ，………………………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++ ，……………………②，②－①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++ ，所以111223111123212nnn b n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭．⑶1[1]212113212nnn m m S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，因为1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以由[1,3]n S ∈得1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，注意到，当n为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是{|23}m m ≤≤．（题20） 20．（本小题满分14分）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；⑵2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x m x m x x m '=-⋅+-+⋅=-+，令()0f x '=得0x=或2xm =-，因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为12x =22x =，结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >．因为0m<，所以120x x <<，并且1(2)222x m m --=-+=4|2|4(2)10222m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．。

北京海淀区2012年高三一模试题(文科全套)

北京海淀2012年高考一模语文试题第Ⅰ卷（选择题共27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。

1.下列词语中，字形和加点的字的读音全部正确的一项是（）A.镌刻余音绕粱牵掣（zhi) 揆情度（duo)理B.观瞻激浊扬清商贾（gu) 良莠不齐C.棉薄两袖清风迄（qi）今矫（jiao)揉造作D. 斧正闻过饰非聒（guo）噪若即（ji）若离2.下列句子中，加点的成语使用不恰当的是（）A.春天的颐和园，小草带着泥土的芬芳钻了出来，柳枝之昆明湖畔轻轻摇曳，桃花在枝头尽情绽放，真是秀色可餐。

B.中华民族几千年的文明积淀和不绝如缕的文化传统，是我国新时期文化发展的起点，是我们民生振兴的基石。

C.在全球经济一体化的浪潮下，一个经济体爆发危机，就会冲击到其他经济体，因此，任何开放国家都难以独善其身。

D.福岛核事故发生一周年之际，日本政府首次组织记者进入核电站采访，让他们按照规定路线走马观花的转了一遭。

3.下列句子中，没有语病的一句是（）A.虽然中国公民在苏丹遭劫持是一起偶发事件，但中国公民出国要清楚的了解海外安全形势，防止各类安全风险，采取有效措施。

B.男子网坛两大巨头的决战持续近六小时，成为史上最长的大满贯决赛展现观众面前，这场决赛开启了世界男子网球赛的新时代。

C.文物局提出针对当前首都城市的发展与古都名城的保护，相关单位应加强文物保护力度，落实各项监管责任。

D.麦当劳（中国）有限公司销售过期食品，国家食品监管安全司要求其立即进行整改，以防止此类问题再次出现。

4.下列有关文学常识的表述,有错误的一项是（)A.中国第一部纪传体通史《史记》是由司马迁撰写的，后人称赞它“不虚美，不隐恶”，具有秉笔直书的“实录”精神。

B.诸葛亮的《出师表》、李密的《陈情表》分别体现了中国古代文化中的忠、孝传统，这两篇文章言辞恳切，感人至深。

C.巴金的《家》描写了一个封建大家庭的分化与没落，反映了封建宗法制度的崩溃，它奠定了巴金在中国文坛上的巨匠地位。

北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i(12i)-=（A ）2i -+ （B ）2i + （C ）2i - （D ）2i --（2）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF（A ）1122AB AD+（B ）1122AB AD -- （C ）1122AB AD -+ （D ）1122AB AD-（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）25 （4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（5）已知直线1l ：110k x y ++=与直线2l ：210k x y +-=，那么“12k k =”是“1l ∥2l ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（A ）12-（B ）1- （C ）32- （D ）3-FEDC BA 开始 i =1,s =0 s =s +2 i -1is ≤100i = i +1 输出i 结束是否（7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（A ）()f x 是偶函数，递增区间是()0,+（B ）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-（C ）()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- （D ）()f x 是奇函数，递增区间是(),0-（8）点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（A ）双曲线的一支（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）双曲线22145x y -=的离心率为 .（10）已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（11）若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y ì+- ïïï+- íïï- ïïî 则2z x y =+的最大值为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l 的方程为 .（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应甲城市乙城市9 08 77 3 1 2 4 72 2 0 4 743的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为；最小正周期为 .说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，3sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若2b =，求边,a c 的长. (16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. （17）（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，AC BD O = . （Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若平面PAC ^平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（19）（本小题满分13分）BCDO AP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为3613，求直线AB 的方程.（20）（本小题满分14分）若集合A 具有以下性质：①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈；命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有A xy∈；海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACBCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54（11）7 （12）乙，乙（13）1y x =+或1y x =-- （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为3sin 3B =，所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分（Ⅱ）由题意可知，(0,)2B πÎ.所以26cos 1sin 3B B =-=. ………………………………………5分所以 22sin sin 22sin cos 3A B B B ===. ………………………………………7分因为sin sin b aB A=，2b =，所以232233a=. 所以463a =. ………………………………………10分由1cos 3A =可知，(0,)2A πÎ.过点C 作CD AB ^于D . 所以466110cos cos 23333c a Bb A=????. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”. ………………………………………2分（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，则 ………………………………………4分()2163P A ==. 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13. ………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分()4263P B ==. 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分因为 AC PD ⊥，PD BD D = ，所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥.因为平面PAC ^平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，BD Ì平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分因为 PO Ì平面PAC ，所以 BD PO ⊥. ………………………………………7分因为底面ABCD 是菱形，所以 BO DO =.所以 PB PD =. ………………………………………8分（Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ，因为 AD Ì平面PAD ，BC Ë平面PAD ，所以 BC ∥平面PAD .………………………………………11分因为 BM Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，BC BM B = ，所以平面PBC ∥平面PAD .………………………………………13分而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾. ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………6分（Ⅱ）令2'()e [(2)]0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分MBCDOAP当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分当(2)0a -+>，即2a <-时, ()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表x(0,(2))a -+(2)a -+ ((2),)a -++∞'()f x-+()f x(0)f↘((2))f a -+↗由上表可知函数()f x 的最小值为24((2))ea a f a ++-+=. ……………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c =，12c a =，所以2a =. 所以 2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-.……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(34)690m y my ++-=. 所以 223636(34)0m m ∆=++>，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. ……………………………………7分所以 PAB ∆的面积21212121113()422S PF y y y y y y =-=创+-……………………………………9分222223636181()2343434m m m m m +=-+=+++.………………………………………10分因为PAB ∆的面积为3613，所以22123413m m +=+. 令21t m =+，则22(1)3113t t t = +. 解得116t =（舍），22t =. 所以3m =.所以直线AB 的方程为+310x y -=或310x y --=.……………………………………13分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”. 因为1B - ，B ∈1，所以112B --=- . 这与2B - 矛盾.………………………………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0ÎQ ，1ÎQ , 对任意的,x y ÎQ ，有x y - Q ，且0≠x 时，1xÎQ . 所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………………4分（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以 A ∈0.若,x y A Î，则A y ∈-0，即A y ∈-.所以A y x ∈--)(，即A y x ∈+. ………………………………………7分（Ⅲ）命题q p ,均为真命题. 理由如下： ………………………………………9分对任意一个“好集”A ，任取,x y A Î，若y x ,中有0或1时，显然A xy ∈. 下设y x ,均不为0，1. 由定义可知：A xx x ∈--1,11,1. 所以111A x x- -，即1(1)A x x Î-.所以 (1)x x A - .由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+ ，即2x A Î. 同理可得2y A Î. 若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A + . 若0x y + 且1x y + ，则2()x y A + . 所以 A y x y x xy ∈--+=222)(2. 所以A xy∈21. 由（Ⅱ）可得：A xyxy xy ∈+=21211. 所以 A xy ∈.综上可知，A xy ∈，即命题p 为真命题. 若,x y A Î，且0x ¹，则1A xÎ. 所以 1y y A x x=孜，即命题q 为真命题. ……………………………………14分。

2012年海淀一模及答案(word版)

2012年海淀区一模数学1.23的相反数是（） A. 23-B. 23C. 32- D.322.2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数表示应为（） A. 341.4310⨯B. 44.14310⨯C. 50.414310⨯D. 54.14310⨯3.如图点A ，B ，C 在⊙O 上，若40C ∠=︒，则AOB ∠=（） A. 20︒ B. 40︒ C. 80︒D. 100︒4.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为偶数的概率为（）A.16B.13 C.14D.125.如图，在ABC中，90C ∠=︒，点D 在CB 上，D E AB ⊥，若2DE =，4CA =，则D BAB =（） A. 14 B.13C.12D.236.将代数式241x x +-化为2()x q p ++的形式，正确的是（） A. 2(32)x -+B. 2(52)x +-C. 2(42)x ++D. 2(42)x +-7.北京环保检测中心网公布的2012月3月31日的PM 2.5研究性检测部分数据如下表：时间 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 PM 2.5(3/mg m ) 0.0270.0350.032 0.0140.016 0.032则该日这6个时刻的PM 2.5的众数和中位数分别是（）A. 0.032，0.0295B. 0.026，0.0295C. 0.026，0.032D. 0.032，0.0278.下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A.B. C. D.9.函数13x y x +=-的自变量x 的取值范围是____________.10.分解因式：34x x -=__________________.11.右图是某超市一层到二层滚梯示意图，其中AB ，CD 分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，150ABC ∠=︒，BC 的长约为12米，O CBAEDCBA150 °hDC12.在平面直角坐标系xOy 中，正方形111A B C O 、2221A B C B 、3332A B C B ，…，按图中所示的方式放置。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文数北京卷word版含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}320,(1)(3)0A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A B =（） A.(,1)-∞- B.2(1,)3-- C.2(,3)3- D.(3,)+∞ 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C 【试题解析】23A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎭⎩，利用二次不等式的解法可得{3B x x =>或}1x <，画出数轴易得}{3A B x x =>. 2.在复平面内，复数10i 3i+对应的点坐标为（） A. (1,3) B.(3,1) C.(1,3)- D.(3,1-)【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义.【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A【试题解析】10i 10i(3i)13i 3i (3i)(3i)-==++++，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A. 3.设0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩不等式组表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A.π4 B. π22- C. π6 D.4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率.【参考答案】D【试题解析】题目中0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224p ⨯-⨯-==⨯，故选D4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.2B.4 C ．8 D.16【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值.【参考答案】C【试题解析】0,11,12,23,8,k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==循环结束，输出的S 为8，故选C.5.函数121()()2xf x x =-的零点个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【测量目标】导函数的定义与应用.【考查方式】已知复合函数，求零点个数.【参考答案】B 【试题解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2x x =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .6. 已知}{n a 为等比数列.下面结论中正确的是（） A.1222a a a + B.2221322a a a +C.若则12a a = ,则132a a a +D.若31a a >，则42a a > 【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质.【参考答案】B【试题解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0,a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >⇒<⇒<，与D 选项矛盾。

2012年海淀区高三一模数学文科

北京海淀区2012年高三一模文科数学试题2012.04．05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B =（A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}- 2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）803、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4 4、过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）07、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-8、在棱长为1的正方体''''A B C D A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.A'B'C'D'A BCD9、复数2i 1i-在复平面内所对应的点的坐标为 .10、若tan 2α=，则sin 2α= .11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是 .13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P大于1（其中'EQ Q P EPQ=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 . 14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =；下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得A B C ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断A B C ∆的形状.16、（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. （Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.俯视图17、（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠= （如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点．（Ⅰ）证明：BD //平面EM F ；（Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．18、（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求D E A P的取值范围.20、（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-.已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î；（ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值.ABCD图1M FEABC 1D图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、4511、22(4)(4)25x y -+-=12、3，2； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+-…………………2分3sin cos 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷ )6x π=-.…………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ，得：222,33k x k k ππππ-<<+ Z .所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………6分（Ⅱ）因为 ()2f A =，所以)62A π-=所以1sin()62A π-=. ………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以 3A π=. ……………………………………9分因为sin sin a b AB=，a =，所以 1sin 2B =. ………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π=.所以 A B C ∆为直角三角形. ………………………………………13分16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分 17、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//F M B D ． ……………2分又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//B D 平面EM F ．……………4分（Ⅱ）在菱形A B C D 中，设O 为,AC BD 的交点, 则A C B D ⊥．………………………5分所以在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 B D ⊥平面1A O C ． ………7分又 1AC ⊂平面1A O C ，所以 B D ⊥1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形A B C D 中，,60D A AB BAD =∠= ，所以 ABD ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分因为 E 为A B 中点，所以 D E AB ⊥．又 EF AB ⊥，EF DE E = ．所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D E C ．………12分又 1C E ⊂平面1D E C ，所以 A B ⊥1C E ．因为 ,4AE EB AB ==，1BC AB =，所以 114AC BC ==． …………………14分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x af x x x x-+=-=.…………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =（舍）.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEAB C 1DO M FEAB C 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分当0a >时，①当1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分 ②当1>，即1a >时，()f x在上单调递增，所以(1)f f >.又 (1)0f =，所以0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ...........................12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞ . (13)19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又2c a=，所以c =所以 222431b a c =-=-=. 所以椭圆C 的方程为2214xy +=. ……………3分（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2DE =.所以 ||1||2D E AP =. ………………………………………5分当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由 22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=. 所以 202162.41kx k +=+所以 20282.41k x k =+-………………………………8分所以||AP ==即 2||41AP k =+.类似可求||D E =所以2||||41D E AP k ==+………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||D E t t t AP tt-+-==>令2415()(2)t g t t t-=>，则22415'()0t g t t+=>.所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22D E t AP t-⨯-=>=.综上，||||D E A P 的取值范围是1[,)2+ . ………………………………………13分20、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分（Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆.所以集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分。

2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案

2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）参考答案及评分标准 2013．4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+- (2)分2= 12sin 2x x -+cos22x x = ………………4分π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==………………7分 9． 0 10． 14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14． 2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分（II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，所以该考场有100.2540÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =………………5分在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以DM =:3:1BM MD = ………………6分在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC，所以//MN 平面PDC ………………9分（Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，y所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB=为平面PAC的法向量………………10分4)PC=-，(4,0,4)PB=-设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=,则n PCn PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x zx z⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z=则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n=………………12分设二面角A PC B--的大小为θ，则7cosn DBn DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B--………………14分18. 解：（I）因为2()ln,f x x ax bx=++所以1()2f x ax bx'=++………………2分因为函数2()lnf x x ax bx=++在1x=处取得极值(1)120f a b'=++=………………3分当1a=时，3b=-，2231()x xf xx-+'=，'(),()f x f x随x的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增所以最大值1可能在1x =或e x =处取得而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-.………………13分 1９.（本小题满分14分）解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，2c a =，所以1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+ ………………6分ABGH所以AB==………………7分点M0）到直线l的距离d=则GH=………………9分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，所以要使AG BH=，只要AB GH=所以222228(1)24()121k krk k+=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k krk k k k k k+++=+==+++++++………………11分当0k=时，r=………………12分当0k≠时，242112(1)2(1)31322rk k=+<+=++又显然24212(1)2132rk k=+>++,<综上，r≤<………………14分20.解：（Ⅰ）因为x∆+=3(,y x y∆∆∆为非零整数）故1,2x y∆=∆=或2,1x x∆=∆=，所以点P的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-= 所以这些可能值对应的点在以0P上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y--=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*）因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数 ………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++=. 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++.若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1.相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数. ………………13分。

2012北京市高三一模文科数学分类汇编5：立体几何.pdf

2012北京市高三一模数学文分类汇编：立体几何【2012年北京市西城区高三一模文】5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A 【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB长为宽，高为2的矩形，所以左视图的面积为，选A. 【2012北京市门头沟区一模文】己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 (A) 4(B)8 (C)(D) 【答案】A 【2012北京市海淀区一模文】（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是 . 【答案】【2012北京市房山区一模文】3．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为( ) （A）（B）2（C）4（D）5 【答案】A 【2012北京市东城区一模文】（9）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 . 【答案】【2012北京市朝阳区一模文】10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【2012北京市朝阳区一模文】5. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A．且，则 B．且，则 C．且，则 D．且，则【答案】C 【2012北京市丰台区一模文】4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A．B． C．D．【答案】B 【2012北京市石景山区一模文】4.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（） A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据线面垂直的性质可知选项D正确。

【2012北京市石景山区一模文】7． A． B． C． D．【答案】A 【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2的四棱锥。

四棱锥的高为，四棱锥的体积为，所以组合体的体积为，答案选 A. 【2012北京市石景山区一模文】8．，、是上的两个点，、在平面内，且，，在平面上有一个动点，使得，则面积的最大值是（） A．B．C．D．【答案】C 【2012年北京市西城区高三一模文】17．（本小题满分14分）如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．（）∥平面；（），求证：；（Ⅲ）求四面体体积的最大值．【答案】（Ⅰ）证明：因为四边形，都是矩形，所以 ∥∥，．所以四边形是平行四边形，……………2分所以 ∥， ………………3分因为平面，所以 ∥平面． ………4分（Ⅱ）证明：连接，设．因为平面平面，且，所以平面， ………5分所以． ………………6分又，所以四边形为正方形，所以． …………7分所以平面， …………8分所以． ……9分（Ⅲ）解：设，则，其中．由（Ⅰ）得平面，所以四面体的体积为． ……11分所以． ………13分当且仅当，即时，四面体的体积最大． ………14分【2012北京市门头沟区一模文】17. （本小题满分13分）已知边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，平面ABCD，且，E是PC上的一点．I）求证：AB//平面；（II）求证：平面平面；（III）线段为多长时，平面？【答案】解：（I）证明：正方形ABCD中， AB//，又AB平面，平面所以AB//平面……3分（II）证明：正方形ABCD中，，平面ABCD，平面ABCD，，……5分又，所以平面，……6分平面，平面平面……8分（III）由（II）可知，所以只需可证平面，在中，可求，，， ……13分【2012北京市石景山区一模文】17 ．（本小题满分13分）如图所示，在正方体中，是棱的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使//平面？证明你的结论．【答案】解：（Ⅰ）证明: 因为多面体为正方体，所以；因为，所以． …………2分又因为，，所以.…………4分因为,所以平面平面. …………6分（Ⅱ）当点F为中点时，可使//平面. …………7分以下证明之：易知：//，且， …………9分设，则//且, 所以//且，所以四边形为平行四边形. 所以//. …………11分又因为，．所以//面 …………13分【2012北京市海淀区一模文】(17)（本小题分）（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（Ⅰ）证明：BD //平面；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）当时，求线段AC1 的长．【答案】证明：（Ⅰ）因为点分别是的中点，所以． ………………………………………2分又平面，平面, 所以平面． ………………………………………4分（Ⅱ）在菱形中，设为的交点, 则． ………………………………………5分所以在三棱锥中， . 又所以平面． ………………………………………7分又平面，所以． ………………………………………9分（Ⅲ）连结．在菱形中，，所以是等边三角形. 所以． ………………………………………10分因为为中点，所以．又，．所以平面，即平面． ………………………………………12分又平面，所以．因为，，所以． ………………………………………14分【2012北京市房山区一模文】17.（本小题共14分）在直三棱柱中，，.点分别是，的中点，是棱上的动点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若//平面，试确定点的位置，并给出证明. 【答案】(I) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点， ∴ …………………………1分 ,, ∴⊥平面 ………………………3分平面 ∴，即 …………………5分又 ∴平面 …………………………………6分（II）当是棱的中点时，//平面.……………………………7分证明如下: 连结,取的中点H，连接, 则为的中位线 ∴∥，…………………8分 ∵由已知条件，为正方形 ∴∥， ∵为的中点， ∴…………………………………11分 ∴∥，且 ∴四边形为平行四边形 ∴∥ …………………………………12分又∵ ∴//平面 ………………………………………14分【2012北京市东城区一模文】（17）（本小题共14分）如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使平面平面，连结，.（如图）（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：. 图1 图2 【答案】证明：（Ⅰ）取中点，连结．在△中，分别为的中点，所以∥，且．因为，所以∥,且，所以∥，且．所以四边形为平行四边形．所以∥． …………5分又因为平面，且平面，所以∥平面． …………7分（Ⅱ）取中点，连结. 因为，，所以，而，即△是正三角形. 又因为, 所以. 所以在图2中有. …………9分因为平面平面，平面平面，所以⊥平面. …………12分又平面，所以⊥. …………14分【2012北京市朝阳区一模文】17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，，且是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在上是否存在一点，使得最大？若存在，请求出的正切值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：取的中点，连接. 在中，是的中点，是的中点，所以. ……………2分又因为，所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. ………………4分又因为平面，平面，故平面. ……………………6分（Ⅱ）解：假设在上存在一点，使得最大. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. ………………………8分在中，. 因为为定值，且为锐角，则要使最大，只要最小即可. 显然，当时，最小. 因为，所以当点在点处时，使得最大. …………11分易得=. 所以的正切值为. ……………………13分【2012北京市丰台区一模文】17．（本小题共14分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（I）求证：AD平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ; （Ⅲ）若，试求的值．【答案】 P B C D E 图1 图2 D M B E F A C N D M B E F A C C1 D1 A1 B1 D C B A E。

2012高三一模文科分类：数列

2012北京市高三一模数学文分类汇编：4数列【2012北京市海淀区一模文】（2）在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）80【答案】B 【解析】由18,632-==a a ，得2,31-=-=a q ，所以40)3(1))3(1(244321=-----=+++a a a a ，选B.【2012北京市房山区一模文】8．设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数）．在以下数列 ⑴{}21n +;（2）29211n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭; （3）42n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭;（4）1{1}2n -中属于集合W的数列编号为（）（A ）（1）（2）（B ）(3) (4)（C ）（2）（3）（D ）(2) (4)【答案】D【2012北京市东城区一模文】(14) 已知数列{}n a ，1a m =，m *∈N ，1,21,2nn n n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为偶数,为奇数.若{}n a 中有且只有5个不同的数字，则m 的不同取值共有个．【答案】8【2012北京市朝阳区一模文】4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 32 【答案】B【2012北京市东城区一模文】（4）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等差数列，则x y z ++的值为（A ）2- （B ）4- （C ）6- （D ）8-【答案】C【2012北京市丰台区一模文】7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且2342,,2a S a +成等差数列，则数列2{}na 的前5项和为（）A ．341B ．10003C ．1023D ．1024【答案】A【2012北京市石景山区一模文】10．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若0,141=+=k a a a ，则k =________．【答案】10【解析】法1：有题意知49S S =,即098765=++++a a a a a ，所以07=a ，又7420a a a k ==+，所以10,144==+k k 。

2012届北京市高三一模文科数学分类汇编1：集合与简易逻辑

2012北京市高三一模数学文分类汇编：集合与简易逻辑【2012年北京市西城区高三一模文】1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（）（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.【2012北京市门头沟区一模文】已知集合}032|{2=--=x x x A ，那么满足A B ⊆的集合B 有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】D【2012北京市海淀区一模文】（1）已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B =（A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}- 【答案】C【解析】}20{}1,1{<<=-=x x B A ，，所以}1{=⋂B A ,答案选C.【2012北京市房山区一模文】1．设全集,R =U 集合{}21≤≤-=x x A ,{}10≤≤=x x B ，则=B C A U ( ) （A ）{}10><x x x 或（B ）{}2101≤<<≤-x x x 或（C ）{}2101≤≤≤≤-x x x 或（D ）{}21>-<x x x 或【答案】B【2012北京市丰台区一模文】1．已知集合2{|9},{|1}A x x B x x =≤=<，则A B （）A ．{|3}x x ≤B ．{|31}x x -<<C ．{|31}x x -≤<D ．{|33}x x -≤≤【答案】C【2012北京市石景山区一模文】1．设集合}032|{2<--=x x x M ,{|220}N x x =->，则N M 等于（）A ．(1,1)-B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1,0)-【答案】B【解析】}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x M ,}1{>=x x N ，所以}31{<<=x x N M ，答案选B.【2012年北京市西城区高三一模文】7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“23S S >”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件【答案】C【解析】21323q a a S S ==-，若10a >，则021323>==-q a a S S ，所以23S S >。

北京市高三一模考试数学文试题真题(word版含答案)

北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为，你的理由是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ；设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”，则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况，所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=，租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =，所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=，得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =．（Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-，所以23cos 4B =，因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高．因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形，所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=，因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=，所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=．（Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ，所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =．设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==，所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =，代入椭圆方程，求得132y =±，所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-．（Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =，即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增，所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+，因为(1)30g e =-<，323()402g e =->，所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。

海淀数学2012年1月期末试题答案文

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54（11）7 （12）乙，乙（13）1y x =+或1y x =-- （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin3B =，所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分（Ⅱ）由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos 3B =. ………………………………………5分所以 sin sin 22sin cos 3A B B B ===. ………………………………………7分因为sin sin b aB A=，2b =， =.所以3a =. ………………………………………10分由1cos 3A =可知，(0,)2A πÎ.过点C 作CD AB ^于D .所以110cos cos 23333c a B b A=???. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”. ………………………………………2分（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，则 ………………………………………4分()2163P A ==. 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13. ………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分()4263P B ==. 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分因为 AC PD ⊥，PD BD D = ，所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥.因为平面PAC ^平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，BD Ì平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分因为 PO Ì平面PAC ，所以 BD PO ⊥. ………………………………………7分因为底面ABCD 是菱形，所以 BO DO =.所以 PB PD =. ………………………………………8分（Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ，因为 AD Ì平面PAD ，BC Ë平面PAD ，所以 BC ∥平面PAD .………………………………………11分因为 BM Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，BC BM B = ，所以平面PBC ∥平面PAD .………………………………………13分而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾. ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e ()x f x x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++. ………………………………………2分当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………6分（Ⅱ）令2'()e [(2)]0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分当(2)0a -+>，即2a <-时, ()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表MBCDOAP由上表可知函数()f x 的最小值为2((2))e a f a +-+=. ……………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c =，12c a =，所以2a =. 所以 2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-. ……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(34)690m y my ++-=. 所以 223636(34)0m m ∆=++>，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. ……………………………………7分所以 PAB ∆的面积12111322S PF y y =-=创……………………………………9分=………………………………………10分因为PAB ∆的面积为3613， 213=. 令t =22(1)3113t t t = +. 解得116t =（舍），22t =. 所以m =所以直线AB 的方程为10x -=或10x --=.……………………………………13分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”. 因为1B - ，B ∈1，所以112B --=- . 这与2B - 矛盾.………………………………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0ÎQ ，1ÎQ , 对任意的,x y ÎQ ，有x y - Q ，且0≠x 时，1xÎQ . 所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………………4分（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以 A ∈0.若,x y A Î，则A y ∈-0，即A y ∈-.所以A y x ∈--)(，即A y x ∈+. ………………………………………7分（Ⅲ）命题q p ,均为真命题. 理由如下： ………………………………………9分对任意一个“好集”A ，任取,x y A Î，若y x ,中有0或1时，显然A xy ∈. 下设y x ,均不为0，1. 由定义可知：A xx x ∈--1,11,1. 所以111A x x - -，即1(1)A x x Î-. 所以 (1)x x A - .由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+ ，即2x A Î. 同理可得2y A Î. 若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A + . 若0x y + 且1x y + ，则2()x y A + .所以 A y x y x xy ∈--+=222)(2. 所以A xy∈21. 由（Ⅱ）可得：A xyxy xy ∈+=21211.所以 A xy ∈.综上可知，A xy ∈，即命题p 为真命题. 若,x y A Î，且0x ¹，则1A xÎ. 所以 1y y A x x=孜，即命题q 为真命题. ……………………………………14分。

2012年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析)

2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|x 2=1}，B ={x|x(x −2)<0}，那么A ∩B =( ) A.⌀ B.{−1} C.{1} D.{−1, 1}2. 在等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18，则a 1+a 2+a 3+a 4=( ) A.26 B.40 C.54 D.803. 已知向量a →=(x +1, 2)，b →=(−1, x)．若a →与b →垂直，则|b →|=( ) A.1 B.√2 C.2 D.44. 过双曲线x 29−y 216=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（）A.3x +4y −15=0B.3x −4y −15=0C.4x −3y +20=0D.4x −3y −20=05. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（）A.4B.5C.6D.76. 若满足条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥a 的整点(x, y)恰有9个，（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则整数a 的值为（） A.−3 B.−2C.−1D.07. 已知函数f(x)={−x 2+ax ，x ≤1，ax −1,x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（） A.a <2 B.a >2C.−2<a <2D.a >2或a <−28. 在棱长为1的正方体ABCD −A′B′C′D′中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P 的个数为（）A.4B.6C.8D.12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.复数2i1−i在复平面内所对应的点的坐标为________．若tanα＝2，则sin2α＝________．以抛物线y2=4x上的点(x0, 4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是________．已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是________，左视图的面积是________．设某商品的需求函数为Q＝100−5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中EQ EP =−Q′QP，Q′是Q的导数），则商品价格P的取值范围是________．已知函数f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，则f（f(x)）=________下面三个命题中，所有真命题的序号是________．①函数f(x)是偶函数；②任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立；③存在三个点A（x1, f(x1)），B（x2, f(x2)），C（x3, f(x3)），使得△ABC为等边三角形．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 已知函数f(x)=sin x+sin(x−π3)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f(A)=√32，a=√3b，试判断△ABC的形状．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0, 100]，样本数据分组为[0, 20),[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60∘（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（1）证明：BD // 平面EMF；（2）证明：AC1⊥BD；（3）当EF⊥AB时，求线段AC1的长．已知函数f(x)=a ln x −12x 2+12(a ∈R 且a ≠0)．（1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点A(2, 0)，离心率为√32，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E ，D ，求|DE||AP|的取值范围．对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M ，对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ={x|f M (x)⋅f N (x)=−1}．已知A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 2, 4, 8, 16}．（1）写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；（2）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数．(I)求证：当Card(X △A)+Card(X △B)取得最小值时，2∈X ； (II)求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值．参考答案与试题解析2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】求出集合A 中方程的解，确定出集合A ，求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合A 中的方程x 2=1，解得：x =1或x =−1， ∴ 集合A ={−1, 1}，由集合B 中的不等式x(x −2)<0，解得：0<x <2， ∴ 集合B ={x|0<x <2}， ∴ A ∩B ={1}．故选C 2.【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和【解析】根据等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18，求得数列的首项与公比，即可求和．【解答】解：∵ 等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18， ∴ q =a3a 2=−3，a 1=a 2q=−2∴ a 1+a 2+a 3+a 4=−2+6−18+54=40 故选B ． 3. 【答案】 B 【考点】向量的模【解析】根据a →与b →垂直建立等式关系，求出x ，从而得到向量b →的坐标，根据向量模的公式可求出所求．【解答】解：∵ 向量a →=(x +1, 2)，b →=(−1, x)，a →与b →垂直∴ a →⋅b →=x −1=0解得x =1 则b →=(−1, 1) ∴ |b →|=√2 故选B ． 4.【答案】 D【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线x 29−y 216=1的右焦点为F(5, 0)，经过一、三象限的渐近线为y =43x ，得到所求直线方程为y =43(x −5)，由此能够求出结果．【解答】解：∵ 双曲线x 29−y 216=1的右焦点为F(5, 0)，经过一、三象限的渐近线为y =43x ，∴ 所求直线方程为y =43(x −5)，整理，得4x −3y −20=0．故选D ． 5.【答案】 B【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k 的值．【解答】解：第一次循环：n =3×5+1=16，k =0+1=1，继续循环；第二次循环：n =162=8，k =1+1=2，继续循环；第三次循环：n =82=4，k =2+1=3，继续循环；第四次循环：n =42=2，k =3+1=4，继续循环；第五次循环：n =22=1，k =4+1=5，结束循环．输出k =5．故选B．6.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出满足条件{x−y≥0x+y−2≤0y≥a的平面区域，利用整点(x, y)恰有9个，可求整数a的值．【解答】解：作出满足条件{x−y≥0x+y−2≤0y≥a的平面区域，如图要使整点(x, y)恰有9个，即为(0, 0)、(1, 0)、(2, 0)，(1, 1)、(−1, −1)、(0, −1)、(1, −1)，(2, −1)、(3, −1)故整数a的值为−1故选C．7.【答案】A【考点】全称命题与特称命题分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则说明f(x)在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可.【解答】解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则说明f(x)在R上不单调.①当a=0时，f(x)={−x2，x≤1,−1,x>1,，其图象如图所示，满足题意;②当a<0时，函数y=−x2+ax的对称轴x=a2<0，其图象如图所示，满足题意;③当a>0时，函数y=−x2+ax的对称轴x=a2>0，其图象如图所示，要使得f(x)在R上不单调,则只要二次函数的对称轴x=a2<1,∴a<2.综上可得，a<2.故选A.8.【答案】B【考点】椭圆的定义【解析】由题意可得点P是以2c=√3为焦距，以a=1为长半轴，以12为短半轴的椭球与正方体与棱的交点，可求【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC′=√3∵|PA|+|PC′|=2∴点P是以2c=√3为焦距，以a=1为长半轴，以12为短半轴的椭球上，∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD上各有一点满足条件故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.【答案】(−1, 1)【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】复数的分母实数化，利用复数与点的对应关系，求出结果即可．【解答】解：复数2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，所以复数2i1−i在复平面内所对应的点的坐标为(−1, 1)．故答案为：(−1, 1)．【答案】4【考点】同角三角函数间的基本关系二倍角的三角函数【解析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为2tanα1+tan2α，把已知条件代入运算求得结果．【解答】∵tanα＝2，∴sin2α＝2sinαcosα=2sinαcosαcos2α+sin2α=2tanα1+tan2α=45，【答案】(x−4)2+(y−4)2=25【考点】抛物线的求解圆的标准方程【解析】先根据抛物线的方程求得其焦点的坐标，把y=4代入抛物线方程求得圆心的坐标，进而求得圆的直径，进而求得圆的方程．【解答】解：∵y2=4x，∴p=2，焦点F(1, 0)，把y=4代入抛物线方程求得x0=4，得圆心P(4, 4)∴圆的半径r=√32+42=5∴所求圆的方程为(x−4)2+(y−4)2=25．故答案为：(x−4)2+(y−4)2=25．【答案】√23,√22【考点】由三视图求体积【解析】由题意可知，三条侧棱两两垂直的正三棱锥是正四面体，要求该三棱锥的体积和左视图的面积，必须求出正四面体的高及底面三角形的高，从而解决问题．【解答】正三棱锥A−BCD的三条侧棱两两垂直，∴正三棱锥A−BCD是正四面体，底面是边长为2正三角形，底面上的高是√3，所以底面面积S =√34×22=√3， A 到底面的距离：ℎ=√AD 2−DF 2=(√3)=√63；∴ 该三棱锥的体积V =13×√3×√63=√23，该三棱锥的左视图的面积：S △ADE =12×DE ×AF =12×√3×√63=√22【答案】 (10, 20) 【考点】函数最值的应用【解析】利用Q ＝100−5P ，弹性EQEP 大于1，建立不等式，解不等式即可得到结论．【解答】∵ Q ＝100−5P ，弹性EQEP 大于1 ∴ EQEP =−Q ′Q P =5P100−5P >1 ∴ (P −10)(P −20)<0∴ 10<P <20 【答案】 1,①②③ 【考点】命题的真假判断与应用函数的求值【解析】根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f(x)）=1．根据函数奇偶性的定义，可得f(x)是偶函数，①正确；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得②正确；取x 1=−√33，x 2=0，x 3=√33，可得A(√33, 0)、B(0, 1)、C(−√33, 0)三点恰好构成等边三角形，得③正确．【解答】解：∵ 当x 为有理数时，f(x)=1；当x 为无理数时，f(x)=0∴ 当x 为有理数时，f （f(x)）=f(1)=1；当x 为无理数时，f （f(x)）=f(0)=1 即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f(x)）=1 接下来判断三个命题的真假对于①，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，故①正确；对于②，若x 是有理数，则x +T 也是有理数；若x 是无理数，则x +T 也是无理数∴ 根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f(x +T)=f(x)对x ∈R 恒成立，故②正确；对于③，取x 1=−√33，x 2=0，x 3=√33，可得f(x 1)=0，f(x 2)=1，f(x 3)=0∴ A(√33, 0)，B(0, 1)，C(−√33, 0)，恰好△ABC 为等边三角形，故③正确．故答案为：1 ①②③三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】解：(1)f(x)=sin x +sin (x −π3) =sin x +12sin x −√32cos x=32sin x −√32cos x =√3(√32sin x −12cos x) =√3sin (x −π6)，由2kπ−π2≤x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得：2kπ−π3≤x ≤2kπ+2π3，k ∈Z ，则f(x)的单调递增区间为[2kπ−π3, 2kπ+2π3]，k ∈Z .(2)∵ f(A)=√3sin (A −π6)=√32， ∴ sin (A −π6)=12，∵ 0<A <π，∴ −π6<A −π6<5π6，∴ A =π3，又a =√3b ，∴ 由正弦定理asin A =bsin B 得：sin B =12，又a >b ，A =π3，∴ B =π6， ∴ C =π2，则△ABC 为直角三角形．【考点】两角和与差的正弦公式正弦定理三角形的形状判断【解析】（1）将f(x)解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到f(x)的单调递增区间；（2）由第一问确定的函数解析式及f(A)=√32，求出sin(A−π6)的值，由A的范围求出A−π6的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由a=√3b，利用正弦定理求出sin B的值，由a大于b，利用三角形的边角关系得出A大于B，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而确定出C的度数，判定出三角形ABC的形状．【解答】解：(1)f(x)=sin x+sin(x−π3)=sin x+12sin x−√32cos x=32sin x−√32cos x=√3(√32sin x−12cos x)=√3sin(x−π6)，由2kπ−π2≤x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[2kπ−π3, 2kπ+2π3]，k∈Z.(2)∵f(A)=√3sin(A−π6)=√32，∴sin(A−π6)=12，∵0<A<π，∴−π6<A−π6<5π6，∴A=π3，又a=√3b，∴由正弦定理asin A =bsin B得：sin B=12，又a>b，A=π3，∴B=π6，∴C=π2，则△ABC为直角三角形．【答案】解：（1）由直方图可得(x+0.025+0.0065+0.003×2)×20=1．所以x=0.0125．…（2）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12．…因为600×0.12=72．所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．…【考点】用样本的频率分布估计总体分布频率分布直方图【解析】（1）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（2）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．【解答】解：（1）由直方图可得(x+0.025+0.0065+0.003×2)×20=1．所以x=0.0125．…（2）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12．…因为600×0.12=72．所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．…【答案】解：（1）∵点F，M分别是C1D，C1B的中点，∴△BC1D中，FM是中位线，可得FM // BD．…又∵FM⊂平面EMF，BD⊄平面EMF，∴BD // 平面EMF．…（2）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．…连接AO，C1O∴在三棱锥C1−ABD中，C1O⊥BD，AO⊥BD．又C1O∩AO=O，∴BD⊥平面AOC1．…又∵AC1⊂平面AOC1，∴BD⊥AC1．…（3）连接DE，C1E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60∘，所以△ABD是等边三角形，得DA=DB．…∵E为AB中点，∴DE⊥AB．又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC1．…又∵C1E⊂平面DEC1，∴AB⊥C1E．∵AE=EB，BC1=AB=4，∴AC1=BC1=4．…【考点】直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）△ABC1中根据中位线定理，得到FM // BD，结合线面垂直的判定定理，可得BD // 平面EMF．（2）根据菱形的对角线相互垂直，得到C1O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC1，从而得到平面AC1O内的直线AC1BD．（3）等边三角形△ABD中，E为AB中点，得到DE⊥AB，再结合EF⊥AB，得到平面DEF⊥AB，所以C1E⊥AB，结合E为AB中点，可得AC1=BC1=4．【解答】解：（1）∵点F，M分别是C1D，C1B的中点，∴△BC1D中，FM是中位线，可得FM // BD．…又∵FM⊂平面EMF，BD⊄平面EMF，∴BD // 平面EMF．…（2）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．…连接AO，C1O∴在三棱锥C1−ABD中，C1O⊥BD，AO⊥BD．又C1O∩AO=O，∴BD⊥平面AOC1．…又∵AC1⊂平面AOC1，∴BD⊥AC1．…（3）连接DE，C1E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60∘，所以△ABD是等边三角形，得DA=DB．…∵E为AB中点，∴DE⊥AB．又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC1．…又∵C1E⊂平面DEC1，∴AB⊥C1E．∵AE=EB，BC1=AB=4，∴AC1=BC1=4．…【答案】解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)．求导函数可得f′(x)=ax−x=−x2+ax．…当a<0时，在区间(0, +∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0, +∞)．…当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a（舍）．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：所以f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．…综上所述，当a<0时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．（2）由（1）可知：当a<0时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…当a>0时，①当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…②当√a>1，即a>1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以f(√a)>f(1)．又f(1)=0，所以f(√a)>0，与对于任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0矛盾．…综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(−∞, 0)∪(0, 1]．…【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）确定函数f(x)的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f(x)的单调区间；（2）对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0，即使得对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．【解答】解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)．求导函数可得f′(x)=ax−x=−x2+ax．…当a<0时，在区间(0, +∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0, +∞)．…当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a（舍）．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：所以f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．…综上所述，当a <0时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)；当a >0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a ，+∞)．（2）由（1）可知：当a <0时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．… 当a >0时，①当√a ≤1，即0<a ≤1时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…②当√a >1，即a >1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以 f(√a)>f(1)．又 f(1)=0，所以 f(√a)>0，与对于任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0矛盾．… 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(−∞, 0)∪(0, 1]．… 【答案】解：（1）因为 A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，所以a =2．又ca =√32，所以 c =√3．所以 b 2=a 2−c 2=4−3=1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…（2）当直线AP 的斜率为0时，|AP|=4，DE 为椭圆C 的短轴，则|DE|=2，所以|DE||AP|=12．…当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为y =k(x −2)，P(x 0, y 0)，则直线DE 的方程为y =−1k x ．…由{y =k(x −2)x 24+y 2=1得x 2+4[k(x −2)]2−4=0，即(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0．所以2+x 0=16k 24k 2+1，所以 x 0=8k 2−24k 2+1．…所以 |AP|=√(x 0−2)2+(y 0−0)2=√(1+k 2)(x 0−2)2，即 |AP|=4√1+k 24k 2+1．类似可求|DE|=4√1+k 2k +4．所以|DE||AP|=4√1+k2k 2+44√1+k 24k 2+1=2√k 2+4．… 设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2． ∴|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t(t >2)．令g(t)=4t 2−15t(t >2)，则g′(t)=4t 2+15t >0．所以 g(t)是一个增函数．所以 |DE||AP|=4t 2−15t>4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是[12，+∞)．… 【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）根据A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，可得a =2，利用ca =√32，可得c =√3，从而b 2=a 2−c 2=4−3=1，故可得椭圆C 的方程；（2）当直线AP 的斜率为0时，可得|DE||AP|=12；当直线AP 的斜率不为0时，设出直线AP 、DE 的方程，分别与椭圆方程联立，求出|AP|，|DE|，进而利用导数，即可确定|DE||AP|的取值范围．【解答】解：（1）因为 A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，所以a =2．又ca =√32，所以 c =√3．所以 b 2=a 2−c 2=4−3=1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…（2）当直线AP 的斜率为0时，|AP|=4，DE 为椭圆C 的短轴，则|DE|=2，所以|DE||AP|=12．…当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为y =k(x −2)，P(x 0, y 0)，则直线DE 的方程为y =−1k x ．…由{y =k(x −2)x 24+y 2=1得x 2+4[k(x −2)]2−4=0，即(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0．所以2+x 0=16k 24k 2+1，所以 x 0=8k 2−24k 2+1．…所以 |AP|=√(x 0−2)2+(y 0−0)2=√(1+k 2)(x 0−2)2，即 |AP|=4√1+k 24k 2+1．类似可求|DE|=4√1+k 2k +4．所以|DE||AP|=4√1+k2k 2+44√1+k 24k 2+1=2√k 2+4．…设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2． ∴|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t(t >2)．令g(t)=4t 2−15t(t >2)，则g′(t)=4t 2+15t >0．所以 g(t)是一个增函数．所以 |DE||AP|=4t 2−15t>4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是[12，+∞)．…【答案】（1）解：f A(1)=1，f B(1)=−1，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M(x)⋅f N(x)=−1}．A={2, 4, 6, 8, 10}，B={1, 2, 4, 8, 16}．∴A△B={1, 6, 10, 16}．…（2）设当Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值时，X=W．(I)证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．那么Card(Y△A)+Card(Y△B)=Card(W△A)−1+Card(W△B)−1<Card(W△A)+Card(W△B)．这与题设矛盾．所以2∈X，即当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，2∈X．…(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=C U{a}．那么Card(Z△A)+Card(Z△B)=Card(X△A)−1+Card(X△B)−1<Card(X△A)+Card(X△B)．所以集合W中的元素只能来自A∪B．若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card(X△A)+Card(X△B)的值不变．综上可知，当W为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）直接利用新定义写出f A(1)和f B(1)的值，并用列举法写出集合A△B；（2）设Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，X=W，(I)利用反证法证明2∈X成立；(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．通过a∈X且a∉A∪B，以及a∈A∪B且a∉A∩B，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．【解答】（1）解：f A(1)=1，f B(1)=−1，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M(x)⋅f N(x)=−1}．A={2, 4, 6, 8, 10}，B={1, 2, 4, 8, 16}．∴A△B={1, 6, 10, 16}．…（2）设当Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值时，X=W．(I)证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．那么Card(Y△A)+Card(Y△B)=Card(W△A)−1+Card(W△B)−1<Card(W△A)+Card(W△B)．这与题设矛盾．所以2∈X，即当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，2∈X．…(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=C U{a}．那么Card(Z△A)+Card(Z△B)=Card(X△A)−1+Card(X△B)−1<Card(X△A)+Card(X△B)．所以集合W中的元素只能来自A∪B．若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card(X△A)+Card(X△B)的值不变．综上可知，当W为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．第21页共22页◎第22页共22页。

北京2012年数学文一模汇编——选择填空题(word版+免费免点数)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A.42i - B. 42i -+ C. 24i + D. 24i -2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，下列命题正确的是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //6. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为A ．2212x y -= B ．22123x y -= C.2214x y -= D. 221x y -= 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.n ()n ∈Z B.2n ()n ∈Z C. 2n 或124n - ()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= . 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为．2012年北京市东城区高三数学一模试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

2012北京市高三一模文科数学分类汇编2：函数与导数.pdf

2012北京市高三一模数学文分类汇编：函数与导数【2012年北京市西城区高三一模文】13. 已知函数则的零点是_____；的值域是_____．和，【解析】当时，由得，。

当时，由，得，所以函数零点为和。

当时，，所以，当，，所以此时，综上，即函数的值域为。

【2012年北京市西城区高三一模文】3．若，，，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D 【解析】，，，所以，选D. 【2012北京市门头沟区一模文】8. 给出定义：若(其中为整数)，则叫离实数最近的整数，记作，已知，下列四个命题： ①函数的定义域为，值域为； ②函数是上的增函数； ③函数是周期函数，最小正周期为1； ④函数是偶函数，其中正确的命题的个数是 (A) 4(B)3 (C)2(D)1 【答案】B 【2012北京市门头沟区一模文】函数（且）的图象经过点，函数（且）的图象经过点，则下列关系式中正确的是 (A) (B)(C)(D) 【答案】C 【2012北京市海淀区一模文】（13）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 . 【答案】【2012北京市海淀区一模文】（7）已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）或【答案】A 【2012北京市房山区一模文】14．设函数，，，（）,则方程有___个实数根，方程有___个实数根．【答案】4，【2012北京市房山区一模文】13．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为___千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为__万元．【答案】2,20 【2012北京市房山区一模文】4．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B 【2012北京市丰台区一模文】2．设，则a，b，c的大小关系是（） A．B．C．D．【答案】B 【2012北京市丰台区一模文】8．已知定义在R上的函数满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（） A．（1，5）B．C．D．【答案】B 【2012北京市丰台区一模文】11．已知函数在时取到最小值，则a=．【答案】【2012北京市丰台区一模文】14．定义在区间[a，b]上的连结函数，如果，使得，则称为区间[a，b]上的“中值点”。

2012北京市高三一模文科数学分类汇编9：复数、程序、推理与证明.pdf

2012北京市高三一模数学文分类汇编：复数、程序、推理与证明【2012年北京市西城区高三一模文】2．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D 【解析】输入，。

，，，，，满足条件，输出，选D. 【2012北京市门头沟区一模文】12.如右图所示的程序框图输出的结果是．，则判断框中应填入的条件为（）（A）4（B）5（C）6（D）7 【答案】A 【2012北京市朝阳区一模文】11. 执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是 . 【2012北京市东城区一模文】（5）右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（A）（B）（C）（D）【答案】B 【2012北京市丰台区一模文】13．执行如右图所示的程序框图，若输出的n的值为10，则=。

【答案】3 【2012北京市石景山区一模文】5．执行右面的框图，若输入的是，则输出的值是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，第六次循环：此时条件不成立，输出，选B. 【2012年北京市西城区高三一模文】8．已知集合，其中，且.则中所有元素之和是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C 【解析】本题可转化为二进制，集合中的二进制数为，因为，所以最大的二进制数为1111，最小的二进制数1000，对应的十进制数最大为15，最小值为8，则，8到15之间的所有整数都有集合中的数，所以所有元素之和为，选C. 【2012年北京市西城区高三一模文】14. 如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，确定了.依此类推，可由，确定，.记，. 给出下列三个结论： ① 数列是递减数列； ② 对，； ③ 若，，则. 其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】① ② ③. 【2012年北京市西城区高三一模文】4．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B 【解析】由复数的几何意义知，所以，对应的点在第二象限，选B. 【2012北京市门头沟区一模文】9. 复数在复平面内对应的点的坐标是．【2012北京市海淀区一模文】（14）已知函数则；下面三个命题中，所有真命题的序号是 . 函数是偶函数；任取一个不为零的有理数，对恒成立；存在三个点使得为等边三角形. 【答案】1 ①②③ 【2012北京市海淀区一模文】（9）复数【2012北京市海淀区一模文】（8）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（A）4 （B）6 （C）8 （D）12 【答案】B 【2012北京市房山区一模文】9. 是虚数单位，则___. 【答案】【2012北京市东城区一模文】（8）设集合，函数，且则的取值范围是（A）(] （B） (]（C）() （D） [0，] 【2012北京市东城区一模文】（1）若，，是虚数单位，则的值为（A）（B）（C）（D）【答案】D 【2012北京市丰台区一模文】9．在复平面内，复数对应的点的坐标为。