人教版高中数学必修2学案：第二章点、直线、平面之间的位置关系(复习)

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人教版高中数学必修二导学案第二章空间点直线平面之间的位置关系复习

新人教版高中数学必修第二册 (学案)空间点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系【第一学时】【学习目标】1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实理解三个基本事实的地位与作用【学习重难点】1．平面的概念2．点、线、面的位置关系3．三个基本事实及推论【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．教材中是如何定义平面的？2．平面的表示方法有哪些？3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？二、合作探究图形、文字、符号语言的相互转化例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.点、线共面问题例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．三点共线、三线共点问题例3：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．【学习小结】1．平面（1）平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．（2）平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．（3）平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．2．点、线、面之间的关系及符号表示图形语言4．平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图（1）．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图（2）．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图（3）．【精炼反馈】1．能确定一个平面的条件是（）A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线2．经过同一条直线上的3个点的平面（）A．有且只有一个B．有且只有3个C．有无数个D．不存在3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（）A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（）A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．。

人教A版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系复习课件 (共31张PPT)

所以 CC1⊥平面 ABC. 又 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
又因为 AD⊥DE，CC1，DE⊂平面 BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以 AD⊥平面 BCC1B1.
又 AD⊂平面 ADE，
所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.
(2)因为 A1B1＝A1C1，F 为 B1C1 的中点，
所以 A1F⊥B1C1.
因为 CC1⊥平面 A1B1C1，且 A1F⊂平面 A1B1C1，所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1，B1C1⊂平面 BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以 A1F⊥平面 BCC1B1.
由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1，所以 A1F∥AD.
又 AD⊂平面 ADE，A1F⊄平面 ADE，所以 A1F∥平面 ADE.
故CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,故CD⊥AE. (2)因为PA=AB=BC,∠ABC=60°,所以PA=AC. 又因为E是PC的中点,所以AE⊥PC. 由(1)知CD⊥AE,CD∩PC=C,从而AE⊥平面PCD, 故AE⊥PD. 因为PA⊥AB,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD, 所以BA⊥PD,又因为BA∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.
g a
7部分
g
8部分
b
g
b g
b
a
b
a
例3.如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,
AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,
PA=AB=BC,E是PC的中点.
求证：(1)CD⊥AE.
(2)PD⊥平面ABE.
证明:(1)因为PA⊥底面ABCD,所以CD⊥PA,又CD⊥AC,PA∩AC=A,
6. 面面平行的判定定理 a a , b a , a∩b, ⇒ a∥b. 由线面平行得面面平行. a∥ b , b∥ b , 7. 面面平行的性质定理 ab, g a = a, ⇒ a∥ b. g b = b, 由面面平行得线线平行.

人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章教案

）利用生活中的实物对平面进行描述；的直观图）掌握平面的基本性质及作用；.思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线置关系如何？由此可得什么结论？公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？l β= ，有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据例2: 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,l P αβ=且（1）平面的概念、画法、表示方法；（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关）了解空间中两条直线的位置关系；（养学生的空间想象能力；（；（）异面直线所成角的定义、范围及应用。

思考2:我们把上图中直线A′B与直线CD怎样理解异面直线？关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗 ?思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF 折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?思考4:通过上述实验可以得到什么结论？思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两思考2:如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？例2：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中1. 空间直线的位置关系；2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的两条直线)；3. 异面直线画法及判定；对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?例1：如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？1、正方体ABCD- A）了解空间中直线与平面的位置关系；（（.思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点；思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？（1）两个平面平行---没有公共点；例1：给出下列四个命题：(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l在平面α内，且l与平面β平行，则平面α与平面β一、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点.二、两个平面之间有两种位置关系：）理解并掌握直线与平面平行判定定理；（思考3：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？思考4：有一块木料如图，P为面思考5：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行？思考1：如果直线a与平面α内的一条直线b平行，则直线a与平面α一定思考2：设直线b在平面α内，直线a在平面α外，若a//b，则直线a与直线b确定一个平面β，那么平面α与平面β的位置关系如何？此时若直线a思考3：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述出该定理的内容吗？定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平思考5：直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”，在例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.2.两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行？思考3:通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理，用文字语言表述出该定理的内容吗？定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理，怎样表述？思考5:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥α,b∥β”，可用什么条件例1：在正方体ABCD-A′B′C′例2 ：在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（）掌握直线和平面所成的角及其应用（（。

人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系教案

②图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．（2）空间两条直线的位置关系①相交直线——同一平面内，__有且只有__一个公共点．②平行直线——同一平面内，__没有___公共点．③异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．注：(1)若无特别说明，书中的两条直线均指不重合的两条直线．(2)空间两条直线的位置关系空间两条直线平行3.空间中直线与平面(1)位置关系：有且只有三种①直线在平面内——有无数个公共点；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；③直线与平面平行——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．(2)符号表示：直线l在平面α内，记为 l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为_l∩α＝M_；直线l与平面α平行，记为l∥α .(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．4.空间中直线与平面(1)位置关系：有且只有两种①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线．(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l.(3)图示：两个平面α，β平行，如图a所示；两个平面α，β相交于直线l，如图b所示．2.2直线、平面平行的判定及其性质1.直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：2.平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：3.直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理：4.平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质定理：2.3直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直的含义及判定定理含义：判定地理：2.平面与平面垂直的判定（1）二面角（2）平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.②画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．③判定定理3.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理：4.直线与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理：二、重难点直线、平面平行的判定及其性质1.应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．2．证明直线与平面平行的方法(1)定义：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．(3)判定定理法．3．对面面平行的判定定理的理解(1)定理可简记为：线面平行，则面面平行．这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面．(2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个条件： a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β. 4．平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.直线、平面垂直的判定及其性质1.线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．2.证明平面与平面垂直的方法根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．3.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的．三、易错点直线、平面平行的判定及其性质1．线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α.(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．直线、平面垂直的判定及其性质注意线面垂直与平行的相互转化：(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的．四、例题分析例1、如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.例2、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.例3、求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．例4、如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF ⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.例5、如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.例6、如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．。

高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行面面平行作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢，我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

人教版高中数学必修二导学案：第二章空间点直线平面之间的位置关系复习

第二章空间点直线平面之间的位置关系复习三维目标1.使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；2.通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.四个公理？问题2.线、面之间的位置关系？问题3.线、面垂直、平行的性质定理及判定定理？问题4.线、面之间所成的角？【学做思2】A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2．空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为 A 、030 B 、045 C 、060 D 、0903.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面BDE （2）求证：平面PAC ⊥平面BDE（3）若AB a =，PA b =，求三棱锥P-BDE 的达标检测*1. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 ( ) A. 90° B . 60° C. 45° D.30° *2、下面四个命题：（第3题图）①空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 ②一个平面内两条直线与另外一个平面平行，则这两个面平行 ③一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ④两个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直其中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 *3. 已知直线m ，n ，平面βα,，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊥⊥则,,m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα⊥⊥则,//,m m ；④若异面直线m ，n 互相垂直，则存在过m 的平面与n 垂直. 其中正确的命题的题号为 _______*4. 设l m n 、、是三条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，下面有四个命题： ①,l l βαβα若∥∥,则∥；②,l n m n l m 若∥∥,则∥；③,l l αβαβ⊥⊥若∥,则； ④,,l m αβ⊥⊥若,.l m αβ⊥⊥则其中假命题的题号为__________*5.如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；ACES*8.如图所示，⊥PA 矩形ABCD 所在平面，N M 、分别是PC AB 、的中点.(1)求证：//MN 平面PAD . (2)求证：CD MN ⊥.(3)若45=∠PDA ，求证：⊥MN 平面PCD赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF-aaBE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°-aaBE挖掘图形特征：x-aa E-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；CE的值.（3）求AE－变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．。

人教新课标版数学高一-高中数学必修2教案第二章点、直线、平面之间的位置关系

2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面平面[导入新知]1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①所示．(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②所示．3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑难]几何中的平面有以下几个特点(1)平面是平的．(2)平面是没有厚度的．(3)平面是无限延展而没有边界的．平面的基本性质[导入新知]平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[例1]如右图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点M与平面AC.(4)点A1与平面AC.(5)直线AB与直线BC.(6)直线AB与平面AC.(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.[类题通法]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①所示；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②所示；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③所示．点、线共面问题[例2]证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内．[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．[类题通法]证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有以下几种(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．[活学活用]下列说法正确的是()①任意3点确定一个平面；②圆上的3点确定一个平面；③任意4点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面．A．①②B．②③C．②④D．③④答案：C共线问题[例3]已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如右图所示．求证：P，Q，R 3点共线．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC 与平面α的交线上．∴P，Q，R 3点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．[类题通法]点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．[活学活用]如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1 3点共线．证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．2.证明三线共点问题[典例](12分)如下图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．[解题流程][活学活用]如右图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．证明：∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上.一、选择题1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α答案：B2．下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面答案：D3．空间两两相交的3条直线，可以确定的平面数是()A．1 B．2C．3 D．1或3答案：D4．下列推断中，错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案：C5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF 与HG交于点M，那么()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上答案：A二、填空题6．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．答案：直线AB⊂平面α7．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．(1)A∉α，a⊂α________.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________.(3)a⊄α，a∩α＝A________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C∉l，AB∩l＝R，设过点A，B，C 3点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.答案：CR三、解答题9．求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面．解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l⊂α.因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．10．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E 4点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R 3点共线．证明：如图．(1)连接B1D1，∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R 3点共线．2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系[导入新知]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[化解疑难]1．对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a ，b 两条直线．例如，如右图所示的长方体中，棱AB 和B 1C 1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB 与B 1C 1是异面直线．2．空间两条直线的位置关系(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点——⎩⎪⎨⎪⎧平行直线异面直线(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：直线⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线不共面直线：异面直线平行公理及等角定理 [导入新知]1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．(2)符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[化解疑难]对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．两直线位置关系的判定[例1]如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面[类题通法]1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如右图)．[活学活用]如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由：∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又A1A D1D，而D1D C1C，∴A1A C1C.∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC.∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1.而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．平行公理及等角定理的应用[例2]如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1AA1.又∵AA1BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.[类题通法]1．证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义．(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等．(3)公理4.2．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补．因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．[活学活用]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点．求证：BF ED1.证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.∵F为CC1的中点，∴BG C1F.∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF GC1.又∵EG A1B1，A1B1C1D1，∴EG D1C1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1GC1，∴BF ED1.两异面直线所成的角[例3]如右图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小．[解]取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝12BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.[类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．(2)证：证明作出的角就是要求的角．(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°. [活学活用]已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成的角的大小．解：如右图所示，连接A1D和C1D.∵B1C∥A1D，∴∠DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角．∵A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，∴A1D＝A1C1＝C1D，∴△A1C1D为等边三角形．即∠C1A1D＝60°.∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.2.探究空间中四边形的形状问题[典例]在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．[证明]如右图所示，连接BD.因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝12BD.同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG . 又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形． [多维探究] 1．矩形的判断本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？证明：由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ，又BD ⊥AC ，因此EH ⊥EF ，所以四边形EFGH 为矩形． 2．菱形的判断本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？证明：由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ，所以EH ＝EF .又四边形EFGH 为平行四边形，所以四边形EFGH 为菱形． 3．正方形的判断本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？证明：由探究1与2可知，四边形EFGH 为正方形． 4．梯形的判断若本例中，E ，H 分别是AB ，AD 中点，F ，G 分别是BC ，CD 上的点，且CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝1∶2，则四边形EFGH 是什么形状？证明：由题意可知EH 是△ABD 的中位线，则EH ∥BD 且EH ＝12BD .又∵CF FB ＝CG GD ＝12，∴FG ∥BD ，FG BD ＝FC BC ＝13，∴FG＝13BD，∴FG∥EH且FG≠EH，∴四边形EFGH是梯形．[方法感悟]根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．一、选择题1．若a，b，c是空间3条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交答案：D2.如右图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案：A3．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直答案：D4．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B5．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则( ) A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面答案：B 二、填空题6．直线a ，b ⊂平面α，且a ，b 成的角为40°，经过α外一点A 与a ，b 都成30°角的直线有且只有________条．答案：27．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与A 1B 1所成的角的余弦值为________．答案：138．如下图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．答案：③ 三、解答题9.如右图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明：设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点， ∴EQ A 1D 1.又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1B 1C 1，∴EQ B 1C 1(平行公理)． ∴四边形EQC 1B 1为平行四边形．∴B 1E C 1Q . 又∵Q ，F 是DD 1，C 1C 两边的中点，∴QD C 1F . ∴四边形QDFC 1为平行四边形． ∴C 1Q DF .又∵B 1E C 1Q ，∴B 1E DF . ∴四边形B 1EDF 为平行四边形．10.已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB＝CD，所以PM＝PN，①若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上可知：AB与MN所成角为60°或30°.2．1.3 & 2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系[导入新知]直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示[化解疑难]1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系．(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行．(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内．2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.空间中平面与平面的位置关系[导入新知]两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l有无数个公共点(在一条直线上) [化解疑难]1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．直线与平面的位置关系[例1]下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a ∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3[答案] B[类题通法]空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[活学活用]下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3答案：C平面与平面的位置关系[例2](1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问：α∥β是否正确？为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问：α∥β是否正确？为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．[类题通法]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.[活学活用]1．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．答案：4 62.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．3.有关截面图形的形状问题[典例](12分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．[解题流程][规范解答]由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图①所示．(4分)当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图②所示．(8分)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图③所示．(12分)[活学活用]如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC 的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过3点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．一、选择题1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定答案：C2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A．平行B．相交C．直线在平面内D．平行或直线在平面内答案：D3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案：B4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能答案：A5．给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．其中正确说法的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：B二、填空题6．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．答案：①②7．与空间四边形ABCD 4个顶点距离相等的平面共有________个．答案：78．下列命题正确的有________(填序号)．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.答案：①⑤三、解答题9.如右图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．10．已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1 & 2.2.2直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定[导入新知]表示图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α[化解疑难]1．用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备3个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α.(2)直线b在平面α内，即b⊂α.(3)两直线a，b平行，即a∥b.2．该定理的作用：证明线面平行．3．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．平面与平面平行的判定[导入新知]表示图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒α∥β1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少。

高中数学人教A版必修2教案：第二章点、直线、平面之间的位置关系小结与复习

优质资料---欢迎下载课题第二章点、直线、平面之间的位置关系小结与复习课型复习课课时：1授课时间：教学目标知识与技能：理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．过程与方法：熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．情感态度与价值观：通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界．教学重点总结证明平行问题和证明垂直问题的方法教学难点总结求二面角的方法教学手段多媒体辅助教学教学方法回忆联想教学过程一、知识结构二、典例解析：例1．在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC1、C1D1、AA1的中点，O 为AC 与BD 的交点（如图），求证：（1）EG ∥平面BB1D1D ；（2）平面BDF ∥平面B1D1H ；（3）A1O ⊥平面BDF ；（4）平面BDF ⊥平面AA1C 。

解析：（1）欲证EG ∥平面BB1D1D ，须在平面BB1D1D 内找一条与EG 平行的直线，构造辅助平面BEGO ’及辅助直线BO ’，显然BO ’即是。

（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H 内寻找B1D1和O ’H 两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF ，O ’H ∥平面BDF 。

二次备课⇒⇒平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系判定性质直线与平面垂直平面与平面垂直直线与平面平行平面与平面平行判定性质（3）为证A1O ⊥平面BDF ，由三垂线定理，易得BD ⊥A1O ，再寻A1O 垂直于平面BDF 内的另一条直线。

猜想A1O ⊥OF 。

借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O ⊥OF 。

（4）∵ CC1⊥平面AC∴ CC1⊥BD 又BD ⊥AC∴ BD ⊥平面AA1C 又BD 平面BDF∴ 平面BDF ⊥平面AA1C评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路例2．如图，三棱锥D —ABC 中，平面ABD 、平面ABC 均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a ，且二面角D —AB —C=600。

高一数学必修2：第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教案(新人教A版必修2)

点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。

2、本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题（1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（）（A ）4个（B ）6个（C ）7个（D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（）（A ）没有（B ）有一条（C ）有无数条（D ）α内所有直线答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直 A A ′CαODCPαABC 1B 11D 1DC课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间位置关系》(内含解析)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含解析）一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．如图2342，P A⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()图2342A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．P A⊥BD【解析】若PD⊥BD，则BD⊥平面P AD，又BA⊥平面P AD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为P A⊥矩形ABCD，所以P A⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面P AD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为P A⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得P A⊥BD.故选A.【答案】A5．如图2343所示，三棱锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()图2343A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【解析】∵平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．【答案】D二、填空题6．如图239，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．图239【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图2310所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图2310【解析】 BC ⊂平面ABC PA ⊥平面ABC ⇒PA ∩AC ＝A AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .【答案】 4三、解答题8．如图2311，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .图2311【证明】 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .9．如图2312所示，三棱锥ASBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图2312【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝＝22a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.10．(2015·淮安高二检测)如图2313，四棱锥SABCD的底面ABCD 为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图2313①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．【答案】411．如图2314，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.图2314【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。

高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系章末复习课件

BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
求证：(1)E、F、G、H 四点共面；
(2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上．证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD，又 EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H 四点共面． (2)∵G、H 不是 BC、CD 的中点，∴EF≠GH. 又 EF∥GH，∴EG 与 FH 不平行，则必相交，设交点为 M. EHGF⊂ ⊂面面AABCCD⇒M∈面 ABC 且 M∈面 ACD ⇒M 在面 ABC 与面 ACD 的交线上⇒M∈AC.
∴OG 綊 BE，四边形 BEGO 为平行四边形． ∴OB∥GE. ∵OB⊂平面 BDD1B1， GE⊄平面 BDD1B1， ∴GE∥平面 BDD1B1.
章末复习课
研一研·题型解法、解题更高效
(2)由正方体性质得 B1D1∥BD， ∵B1D1⊄平面 BDF，BD⊂平面 BDF， ∴B1D1∥平面 BDF. 连接 HB，D1F，易证 HBFD1 是平行四边形，得 HD1∥BF. ∵HD1⊄平面 BDF，BF⊂平面 BDF， ∴HD1∥平面 BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面 BDF∥平面 B1D1H.
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型三空间中的垂直关系空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法： ①计算所成的角为 90°(包括平面角和异面直线所成的角)； ②线面垂直的性质(若 a⊥α，b⊂α，则 a⊥b)． (2)判定线面垂直的方法： ①线面垂直定义(一般不易验证任意性)； ②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝ M⇒a⊥α)； ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)； ④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思一、教学目标通过本次教学，学生将能够：1.掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；2.学会使用空间几何中的基本概念和基本问题；3.进一步培养学生的数学思维，提高学生的空间想象能力和综合运用能力。

二、教学重点和难点教学重点：1.理解空间中点、直线、平面的概念和特征；2.掌握点与直线、点与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系；3.运用三视图法和参考投影法解决平面与平面的位置关系。

教学难点：1.掌握点、直线、平面的共面关系；2.学会在空间中画出图形；3.掌握平面间的位置关系。

三、教学过程1. 导入环节（5分钟）引导学生通过生活实际情境，复习几何学中的点、线、面的概念，并对此进行概括，展现本课内容的片面性和局限性，进而引导学生思考如何通过分别考虑点、直线、平面的位置关系的方法来全面把握几何学中的空间图形。

同时，激发学生空间想象的能力。

2. 正式教学环节（40分钟）1）点与直线的位置关系教师介绍点与直线的位置关系，并用图形进行示范。

然后，让学生自己分析和总结，归纳出点与直线的位置关系的有关性质。

例如：•点在直线上；•点在直线上的外部；•点在线的两侧；•点与直线相离。

2）点与平面的位置关系引入点与平面的位置关系，老师同样先给出范例进行示范，帮助学生加深理解。

然后，再让学生自己探究和总结，归纳点与平面的位置关系的有关性质。

例如：•点在平面上；•点在平面上的内部；•点在平面上的外部。

3）直线与平面的位置关系讲述直线与平面的位置关系，为学生提供相关的图形，并进行实操。

教师同样应给学生提供足够多的机会，让学生自行探究总结，得出有关性质。

例如：•直线在平面上；•直线与平面交于一点；•直线与平面平行；•直线与平面垂直。

4）平面与平面的位置关系在学习与应用前面的知识点后，适当引入平面与平面的位置关系。

老师还是要以图形为依据，实践出多重案例，使学生理解平面与平面的位置关系的本质。

【人教A版】高中数学必修二第二章：点、直线、平面之间的位置关系复习

数 1, 2 ，使
a 1e1 2e2
四、数量积的主要应用
2
1、计算向量的模：a a a , a a a
坐标表示： a x2 y2
2、两点间距离公式：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
3、计算两个向量的夹角：
cos a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
DAC为等腰三角形 DO AC
平面DAC 平面ABC, A
o
C
600
平面DAC 平面ABC AC,
DO 平面ABC
B
例题2.（2015年全国Ⅰ卷）如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
直线和平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的概念
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面互相垂直，
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
简记为:线线垂直，则线面垂直。
3．直线与平面垂直的另一种判定方法
两条平行直线中的一条垂直一个平面,则另一条直线也垂直这个平面.
直线和平面平行的判定与性质
1.判定定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简记为:线线平行，则线面平行。
2.性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
简记为:线面平行，则线线平行。
平面和平面平行的判定与性质
3、使三线共点，确定坐标原点（以垂足或者面内线线垂直的交点为原点）

第二章点、直线、平面之间的位置关系复习教案【人教版】高中数学必修

第二章点、直线、平面之间的位置关系单元小结导航知识链接即知识网络图主要考查线线、线面及面面的平行与垂直，空间角和距离的计算。

从解答题来看，遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法、平移法、转化法等数学方法；注意考查转化与化归的思想（即立体问题平面化，面面问题线面问题线线问题；几何问题代数化）。

思想方法小结1．掌握直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直的证明（判定）方法是本章的重要内容，必须熟练掌握各种常用的证明定理。

(1) 直线与直线平行，常用的证明方法有：i 共面且无公共点的两条直线平行；（定义）ii 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么直线和交线平行；（线面平行，线线平行）iii 同平行于一条直线的两条直线平行；iv 若两平面平行，又分别与第三个平面相交，则它们的交线平行；v 垂直于同一平面的两条直线平行。

(2) 直线与平面平行，常用的证明方法有：i 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行；（定义）ii 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；（判定）（线线平行，线面平行）iii 如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。

（面面平行，线面平行）直线与平面平面空间两条直线空间直线与平面空间两个平面平面的概念和性质平面的表示法平行直线异面直线相交直线直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交两个平面平行两个平面相交公理4及等角定理异面直线所成的角判定性质概念垂直斜交二面角判定性质概念垂直斜交(3)平面与平面平行，常用的证明方法有：i两个平面没有公共点，则这两个平面平行；（定义）ii若一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；（判定）（线面平行，面面平行）iii垂直于同一直线的两个平面平行；iv两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；v一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交线，那么这两个平面平行。

高一数学人教A版必修2教案第二章点、直线、平面之间的位置关系复习

.“平行”和“垂直”是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中两种最重要的位置关系.
应用示例
例如图,在直三棱柱—中，，，，,点是的中点，
图
（）求证：⊥；
（）求证：∥平面；
（）求异面直线与所成角的余弦值.
（）证明：直三棱柱—，底面三边长，，
∴⊥.
∵⊥,∴⊥平面.
∴⊥.
（）证明：如图,设与的交点为，连接，
()证明：∵、分别为、的中点，∴∥.
又平面,
∴∥平面.
()解:∵⊥,∴.
又∵⊥平面,∴.
取中点,连接,则⊥平面.
作⊥于,连接,则⊥平面.
∴∠是与平面所成的角.
又∥,
∴与平面所成的角的大小等于∠.
在△中∠ ,
∴与平面所.
∵是的中点，若点是△的重心，则、、三点共线.
.本章的核心是空间中点、直线、平面之间的位置关系.从知识结构上看,在平面基本性质的基础上,由易到难的顺序研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.我们利用直线与直线的位置关系研究直线与平面的位置关系,利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系.
反过来,由平面与平面的位置关系可进一步掌握直线与平面的位置关系,由直线与平面、平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系.这种方法,是我们研究与解决空间直线、平面位置关系的重要方法.
图
()求证:平面⊥平面;
()当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;
()求与平面所成角的最大值.
()证明：由题意⊥⊥,
∴∠是二面角的平面角.
又∵二面角是直二面角,
∴⊥.又∵∩,
∴⊥平面.
又平面,
∴平面⊥平面.
()解:作⊥,垂足为,连接(如图),则∥,

高中数学必修2第二章点、直线、平面的位置关系复习课件

3种问题垂直问题
典型例题
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求证：平面ACC1A1 平面A1BD
D1 A1
C1 证明：因为是正方体，所以
B1
AC⊥BD，
D
A
O
C 又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD，
B
因为AC∩BD=O,
பைடு நூலகம்
所以BD⊥平面ACC1A1
故命题得证
3种问题垂直问题
四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是 SA的中点，求证：平面EBD⊥平面ABCD.
解：在图形中，将AC平行移动到A1C1，再连接A1B，则 △A1BC1是一个等边三角形， A1C1与BC1所成的角为60°,所以AC与BC1所成角的大小也是 60°，选C.
3种问题成角问题
例正方形ABCD－A1B1C1D1．求：（1）A1B与CC1所成的角是多少度？ BB1∥CC1,所以∠A1BB1为所求，大小为45°
故EF∥平面PAB
3种问题平行问题
练习
D 1.平行于同一平面的二直线的位置关系是( ）
（A）一定平行（B）平行或相交
（C）相交 2 判断：
（D）平行，相交，异面
直线a∥平面α，则直线a平行于α内的任意直线
错
3种问题平行问题
3、直线a//平面，那么直线a与平面内直线b的位置关系是：
直l线L是的斜线时, 作AB⊥α于B，
直线L与平面α的交点是O
∠AOB（锐角）即为 l与所成的角
Al
O
B
3种问题成角问题
l 或l // 时, l与所成角为00
l 时, l与所成角为900

人教版数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系导学案与同步练习

第二章点直线平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系导学案与同步练习一、【学习目标】：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解四个公理及它们的推论 .二、【回归教材】阅读必修II 6340P P -,熟悉教材中的公理以及推论，熟悉它们的图形表示，作为增强空间想象能力的训练。

通过其中的典型例题来掌握这些公理、定理的基本应用方法，掌握这些常见题型的基本解法。

三、【课前自测】：2. 空间直线与直线的位置关系：（1）位置关系：平行 ① 共面与否 ② 异面（2）公理4（平行公理）：平行于同一直线的两条直线 .（3）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .3. 空间中的直线与平面的位置关系：四、【探讨内容】：题型一：证明三点共线例1、已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，且直线EF 和GH 交于点P ，如图所示：求证：点B 、D 、P 在同一条直线上 .五、【达标练习】：1、若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M ，b ，β之间关系可表示为（） A. β∈∈b M B. β⊂∈b M C. β⊂⊂b M D. β∈⊂b M2、先用符号表示下列语句，并画出相应的图形。

（1）点A 在平面α内，但点B 在平面α外。

（2）直线a 经过平面α外一点M . (3)直线a 既在平面α内，又在平面β内。

（4）B a A a l =⋂=⋂=⋂βαβα,,.3、下列命题中正确的是（）A. 三点确定一条直线B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一个平面内D. 过同一点的三条直线不一定在同一个平面内4、判断下列命题是否正确，正确的再括号内画“ ”，错误的画“ ”。

（1）四边形确定一个平面。

（）（2）两两相交且不共点的三条直线可以确定一个平面。

人教版高中数学必修2学案：第二章 点、直线、平面之间的 位置关系(复习)

人教版高中数学必修二导学案第二章空间点直线平面之间的位置关系复习

新人教版高中数学必修第二册 (学案)空间点、直线、平面之间的位置关系

人教A版高中数学必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习 课件 (共31张PPT)

人教版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系全章教案