2019-2020学年江苏省苏州市姑苏区高二上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省苏州市姑苏区高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题“0x ∀>，2230x x -+≥”的否定是( ) A ．0x ∀≤，2230x x -+< B ．0x ∀>，2230x x -+< C ．0x ∃>，2230x x -+< D ．0x ∃≤，2230x x -+<【答案】C【解析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可. 【详解】“0x ∀>，2230x x -+≥”的否定是0x ∃>，2230x x -+<. 故选：C 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.2．在等比数列{}n a 中，22a =，68a =，则2a 与6a 的等比中项为( ) A ．6 B ．4C ．4-D ．4±【答案】D【解析】根据等比中项的性质进行求解即可. 【详解】因为22a =，68a =，所以2a 与6a 的等比中项为4=±. 故选：D 【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.3．“直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行"是“1m =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据两直线平行求出m 的值，然后根据充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行，所以有1(32)m m m ⋅=⋅-且163m ⨯≠，解得1m =，所以直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行"是“1m =”的充要条件.故选：C 【点睛】本题考查了充要条件的判断，考查了两直线平行求参数问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.4．在等差数列{}n a 中，123a a +=，235a a +=，则910a a +=( ) A ．19 B ．19-C ．15D ．15-【答案】A【解析】根据等差数列的通项公式，结合已知，可得方程组，解方程组求出首项和公差，最后再利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，由123a a +=，235a a +=可得：1119101111318919251a a d a a a a d a d a d a d d ++==⎧⎧⇒∴+=+++=⎨⎨+++==⎩⎩. 故选：A 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力. 5．若0a b <<，则下列结论不正确的是( ) A ．a b ->- BC ．22a b >D ．11a b> 【答案】B【解析】根据不等式的基本性质和作差比较法进行求解即可. 【详解】 A ：由10a ba b <⎧⇒->-⎨-<⎩，故本选项正确；B：由00a b a b <<⇒->->⇒>⇒>项是错误的；C ： 因为0a b <<，所以0,0a b a b +<-<，因此2222()()0a b a b a b a b -=+->⇒>，故本选项是正确的；D ：因为0a b <<，所以0,0ab b a >->，因此11110b a a b ab a b--=>⇒>，故本选项是正确的. 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和作差比较法的应用，属于基础题.6．给出下列四个命题：①有的质数是偶数；②存在正整数x ，使得x 为29的约数；③有的三角形三个内角成等差数列；④与给定的圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中既是存在性命题又是真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据存在性命题的定义进行判断即可. 【详解】①：因为2既是质数又是偶数，其他偶数都不是质数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；②：因为1和29都是29的约数，其他正整数都不是29的约数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；③：因为当三角形一个内角为60︒，则三个内角成等差数列，所以本命题既是存在性命题又是真命题；④：因为任何与给定的圆只有一个公共点的直线就是圆的切线，所以本命题是全称命题不是特称命题，也就是不是存在性命题,因此共有3个命题既是存在性命题又是真命题. 故选：C 【点睛】本题考查了存在性合理的定义，考查了命题的真假判断，属于基础题.7．若不等式20ax bx c ++>的解集是{|1x x <或3}x >，则a ，b ，c 的值可能为( ) A ．1，4，3 B ．1-，4，3-C ．1-，4-，3-D ．1，4-，3【答案】D【解析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集是{|1x x <或3}x >，所以有0134313a a b b a a c ac a ⎧⎪>>⎧⎪⎪⎪+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⨯=⎪⎩，A ：当1a =时，符合0a >，此时4,3b c =-=，故本选项不符合题意；B ：当1a =-时，不符合0a >，故本选项不符合题意；C ：当1a =-时，不符合0a >，故本选项不符合题意；D ：当1a =时，符合0a >，此时4,3b c =-=，故本选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S <，90S >，则当n S 最小时，n 的值为( ) A ．4 B ．5C ．8D ．15【答案】A【解析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】因为90S >，所以有191955()9002002a a a a a a +⋅>⇒+>⇒>⇒>，又因为80S <，所以有18184554()8000002a a a a a a a a +⋅<⇒+<⇒+<>∴<Q ，说明等差数列的公差是正数，因此当4n =时，n S 最小. 故选：A 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式，考查了等差数列下标的性质，属于中档题. 9．已知数列{}n a是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③{}1n n a a ++是等比数列；④{}1n n a a +⋅是等比数列，其中正确命题的序号是( ) A ．②④ B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】A【解析】根据等比数列的性质和通项公式，结合举特例法进行判断即可. 【详解】①：当等比数列{}n a 的公比是负数时，显然数列{}n a 中，存在某些项是负数，没有意义，故本命题是假命题；②：因为数列{}n a 是等比数列，所以有11n n a a q -=，其中q 是等比数列的公比，因此有111111111()n n n a a q a q --=⋅=⋅，因为11211111()1(2,)111()n n n n a a q n n N q a a q---⋅==≥∈⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故本命题是真命题；③：显然数列(1)n n a =-是以1-为首项，公比为1-的等比数列，但是10n n a a -+=，因此数列{}1n n a a ++不能成为等比数列，故本命题是假命题；④：因为数列{}n a 是等比数列，所以有11n n a a q -=，其中q 是等比数列的公比，因此有21111(2,)n n n n n n n na a a q a qq n n N a a a a +---⋅⋅⋅⋅==≥∈⋅⋅，因此数列{}1n n a a +⋅是等比数列，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列通项公式的应用，属于中档题.10．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”翻译为现代汉语：今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺.以后蒲草每天增长的长度是前一天增长的一半；而莞草每天增长的长度是前一天增长的两倍，问多少天蒲草、莞草高度相等？蒲草、莞草高度相等的时刻约在( ) A ．第1天 B ．第2天C ．第3天D ．第4天【答案】C【解析】根据题意，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设第n 天，蒲草、莞草高度相等，由题意可知：213[1()]1(12)2(2)72602611212n nn n n ⋅-⋅-=⇒-⋅+=⇒=--或21n =，解得2log 6n =或0n =(不符合题意，舍去)，因为2222log 4log 6log 83=<<=，所以23n <<，由题意可知：蒲草、莞草高度相等的时刻约在第3天. 故选：C 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等比数列的前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.二、多选题11．已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：( ) A ．a a mb b m+<+ B ．a a mb b m ->- C ．a a bmb b am+<+ D ．a a bmb b am-<- 【答案】AC【解析】根据题意，可以得到一个不等式，根据这个不等式所反应的事实对四个选项逐一判断即可. 【详解】由题意可知，可以得到不等式，若0b a >>，0m >，则有a a m b b m+<+，因此选项A 是正确的；由该不等式反应的性质可得：a a am a bmb b am b am++<<++，因此选项C 是正确的；对于选项B ：假设a a mb b m->-成立，例如：当3,1,4b a m ===时，显然1143334->=-不成立，故选项B 不是正确的； 对于选项D ：假设a a bmb b am-<-成立，例如：当3,1,1b a m ===时，显然113113311-⨯<=--⨯不成立，故选项D 不是正确的. 故选：AC 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了数学知识迁移能力，属于中档题.12．已知实数x ，y 满足21x y +=，则11x y+可能的值为( ) A ．0 B ．3C ．6D ．9【答案】CD 【解析】根据11x y+的特征和已知21x y +=，运用基本不等式求出当x ，y 为正实数时，11x y+的取值范围，然后对四个选项逐一判断即可.【详解】 对于式子11x y +而言， ,x y 都不能为零，所以11x y+不能为零，选项A 不符合题意；当x ，y 为正实数时，11222333x y x y y x y y x y x x +=+=++≥+=+++（当且仅当2y xx y=时取等号，即x =时，取等号），显然633>+>+，故选项C 、D 符合题意；因为,x y 都不能为零，所以1122230x y x y y xy y x yx x ++=++++==不成立，故选项B 不符合题意. 故选：CD 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.13．对于数列{}n a ，若存在正整数k ()2k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，则数列{}n a 的“谷值点”为( ) A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】AD【解析】由数列的通项公式求出前七项各项的值，然后根据题意进行求解即可,【详解】 因为98n a n n=+-，所以123456783761292,,2,,,,,245278a a a a a a a a ========，当7,n n N ≥∈，9998088n n a n n n n n+->∴=+-=+-，此时数列单调递增， 21a a <，23a a <，76a a <，78a a <，所以数列{}n a 的“谷值点”为2，7. 故选：AD 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力，考查了数列的单调性，属于中档题.三、填空题14．已知不等式231x x m->+的解集为M ，若1M ∈，则实数m 的取值范围为______________. 【答案】3<1m -<-【解析】根据集合与元素的关系，结合分式不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为1M ∈，所以有21323110031111m m m m m--+>⇒->⇒<⇒-<<-+++.故答案为：3<1m -<- 【点睛】本题考查了集合与元素的关系，考查了分式不等式的解法，考查了数学运算能力. 15．在等比数列{}n a 中，若13541,4(1),a a a a ==-则7a =______ 【答案】4【解析】因为()35441,a a a =-所以233444744(1)2222 4.a a a q a a q =-∴=∴=∴==⨯=16．已知命题“若2430x x -+<，则240x mx -+<”为真命题，则实数m 的取值范围为___________.【答案】5m ≥【解析】先求出不等式2430x x -+<的解集，然后对240x mx -+<进行常变量分离，构造函数，求出函数的值域，然后根据题意进行求解即可. 【详解】243013x x x -+<⇒<<,22440413x mx mx x x m x x-+<⇒>+<<∴>+Q ， 设4()(13)f x x x x=+<<，函数在12x <<时单调递减，在23x <<时单调递增，所以有13(1)5,(2)4,(3)3f f f ===，因此函数4()(13)f x x x x=+<<的值域为[4,5)， 因为“若2430x x -+<，则240x mx -+<”为真命题，所以有5m ≥. 故答案为：5m ≥ 【点睛】本题考查了已知命题是真命题求参数的取值范围，考查了构造法，考查了数学运算能力.17．已知x ，y 为正实数，定义22x y x y xy-⊗=.对于正实数x ，y ，若1x y ⊗=，则x y =______________；当(2)x y y x ⊗+⊗取最小值时，xy=_______________.【解析】根据定义，由1x y ⊗=，通过换元法，解一元二次方程求出xy的值； 【详解】因为1x y ⊗=，所以有2211x y x yx y xy y x-⊗==⇒-=，因为x ，y 为正实数，所以令(0)x t t y =>，因此有21111100,22t t t t t t t +-=⇒--=⇒=>∴=；222222(2)2(2)222x y y x x y x y y x xy yx xy xy--+⊗+⊗=+=≥=x =时，取等号，此时xy=.【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了解一元二次方程，考查了重要不等式的应用，考查了数学运算能力.四、解答题18．在等差数列{}n a 中，已知：13a =-，58115a a =. （1）求数列{}n a 的公差.（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值，并指出此时正整数n 的值. 【答案】（1）2；（2）n S 最小值为4-，此时正整数n 的值为2.【解析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等式58115a a =进行求解即可； （2）由（1），结合等差数列的前n 项和公式，求出n S 的表达式，然后应用配方法进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，由5811111511(4)5(7)3,2a a a d a d a d =⇒+=+=-∴=Q ，所以等差数列的公差为2；（2）因为13,2a d =-=，所以2211(1)4(2)42n na n n d n n n S =+-=-=--，当2n =时，n S 有最小值4-，此时正整数n 的值为2.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最小值问题，考查了数学运算能力.19．已知2()(6)6f x x a a x =+--，a R ∈. （1）解关于a 的不等式()10f >；（2）若不等式()7f x x b >-的解集为(,1)(3,)-∞-+∞U ，求实数a ，b 的值.【答案】（1）15a <<；（2）13a b =⎧⎨=⎩或53a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）根据函数的解析式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解集性质，结合根与系数进行求解即可. 【详解】（1）()221(6)1606510015a a a a a f +-⋅->⇒-+<⇒<⇒<>；（2）222()7(6)67(67)60f x x b x a a x x b a x a x b >-+--+⇒+->⇒-->-，由题意可知：不等式()7f x x b >-的解集为(,1)(3,)-∞-+∞U ，因此有：2113(67)3136a a ab b =⎧-+=---⎧⇒⎨⎨=-⨯=-⎩⎩或53a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了已知一元二次不等式的解集求参数的值，考查了数学运算能力.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和31nn S λ=⋅-，其中λ为实数.（1）求实数λ的值，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的积12n n T a a a =⋅L .【答案】（1）1λ=,123n n a -=⋅；（2）(1)223n n n -⋅.【解析】（1）根据31nn S λ=⋅-，求出123,,a a a ，利用等比数列的性质，以及结合,n n S a 之间的关系进行求解即可；（2）根据等比数列的通项公式，结合等差数列前n 项的和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为31nn S λ=⋅-，所以可得1122133231,6,18a S a S S a S S λλλ==-=-==-=,由等比数列的性质可知: 22213(6)(31)(18)1a a a λλλλ=⇒=-⋅⇒=或0λ=(不符合题意舍去),所以1λ=,因此31nn S =-,当2()n n N ≥∈时,11131(31)23n n n n n n a S S ---==---=⋅-,显然当1n =时,112a S ==也适合,因此123n n a -=⋅；（2）(1)121123(1)2122(23)(23)(23)2323n n n n n nn nT a a a --++++-=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅L K L .【点睛】本题考查了已知等比数列前n 项的和求通项公式，考查了等差数列前n 项的和公式，考查了数学运算能力.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)2n n S n a =+--，*N n ∈.（1）令12n n n b a a ++=-，证明：数列{}n b 为常数数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若12111n n n nc a a a +=+++L ，求数列{}n c 的最大项的值. 【答案】（1）证明见详解，21n a n =-；（2）43. 【解析】（1）根据递推公式2(1)2n n S n a =+--，求出123,,a a a 的值，再对递推公式再递推一步，两个等式相减，再结合12n n n b a a ++=-，可以证明出数列{}n b 为常数数列，也就能求出{}n a 的通项公式；（2）判断数列的单调性，根据数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为2(1)2n n S n a =+--，所以可求出1231,3,5a a a ===， 由2(1)2(1)n n S n a =+--，可得211(2)2(2)n n S n a ++=+--，(2)(1)-得：1223(3)n n a a n +-=+，可得：当2()n n N ≥∈时，1221(4)n n a a n --=+，因为12n n n b a a ++=-，所以(3)(4)-得：12n n b b -=，而120,0b b ==，所以数列0n b =，因此有12n n a a +-=，即说明数列{}n a 是公差为2等差数列，因此21n a n =-； （2）因为12111n n n nc a a a +=+++L ，所以有1112212211111n n n n n n c a a a a a +++++=+++++L ，因此12122111111167414321(41)(43)(21)n n n n n n c c a a a n n n n n n +++--=+-=+-++-++--=， 因为n *∈N ，所以110n n n n c c c c ++-<⇒<，因此数列{}n c 是单调递减数列，所以当1n =，数列{}n c 有最大项，其值为1121114133c a a =+==+.【点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了数列的单调性，考查了等差数列的定义，考查了数学运算能力.22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 【答案】（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大.【解析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得：1.52(2)22(2)CE CG x yDF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x x BCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-，因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大.【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.23．若正整数数列{}n a ，{}n b 满足：对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，则称数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”.（1）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，求证：数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）已知数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，且111a b ==，求证：“数列{}n a 是等差数列” 是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，所以有01211122123252(21)2n n n a b a b a b n -+++=⋅+⋅+⋅++-⋅L L ， 令0121123252(21)2(1)n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅L所以有1232123252(21)2(2)nn S n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，(2)(1)-得：1211(2)2(2)2(2)2(21)2n n n S n -=-+-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L所以12(12)1(2)(21)2(23)2312n n n n S n n --=-+-⋅+-⋅=-⋅+-，而113(23)23nn n a b n -++=-⋅+，因此有对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，所以数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）因为数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，所以对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113(1)n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，因此有11221123(2)n n n n n n a b a b a b a b a b ++++++=++L ，(2)(1)-得：112111112()n n n n n n n n n n n a b a b a b b a a a b +++-+++-+==-⇒+，若数列{}n a 是等差数列，则有11()2n n n a a a +-+=，已知数列{}n a 是正整数数列，因此有212n n b b ++=，因此数列{}n b 是等比数列； 若数列{}n b 是等比数列，设公比为q ，则有11n n n q a a a +-+=，显然只有当2q =时，数列{}n a 是等差数列，因此由数列{}n a 是等差数列能推出数列{}n b 是等比数列，但由数列{}n b 是等比数列不一定能推出数列{}n a 是等差数列，因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查了数列新定义问题，考查了充分不必要的证明，考查了等差数列和等比数列的定义的应用，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.。